Konsep dasar teori probabilitas. Hukum teori probabilitas. Teori probabilitas dan konsep dasar teori Teori probabilitas matematis

Doktrin hukum, yang tunduk pada apa yang disebut. fenomena acak. Kamus kata-kata asing termasuk dalam bahasa Rusia. Chudinov A.N., 1910 ... Kamus kata-kata asing dari bahasa Rusia

teori probabilitas- - [L.G. Sumenko. Kamus Bahasa Inggris Rusia Teknologi Informasi. M.: GP TsNIIS, 2003.] Mata Pelajaran Teknologi Informasi keseluruhan EN teori probabilitas teori peluang perhitungan probabilitas ... Panduan penerjemah teknis

Teori probabilitas- ada bagian matematika yang mempelajari hubungan antara probabilitas (lihat Probabilitas dan Statistik) dari berbagai peristiwa. Kami daftar teorema yang paling penting yang terkait dengan ilmu ini. Peluang terjadinya salah satu dari beberapa kejadian yang tidak konsisten sama dengan ... ... kamus ensiklopedis F. Brockhaus dan I.A. Efron

TEORI PROBABILITAS- matematika. ilmu yang memungkinkan untuk probabilitas beberapa kejadian acak (lihat) untuk menemukan probabilitas kejadian acak yang terkait dengan c. l. cara dengan yang pertama. TV modern berdasarkan aksiomatik (lihat. Metode aksiomatik) A. N. Kolmogorov. Pada … … Ensiklopedia Sosiologi Rusia

Teori probabilitas- cabang matematika, di mana, menurut probabilitas yang diberikan dari beberapa peristiwa acak, probabilitas peristiwa lain, terkait dalam beberapa cara dengan yang pertama, ditemukan. Teori probabilitas juga mempelajari variabel acak dan proses acak. Salah satu yang utama ... ... Konsep ilmu alam modern. Glosarium istilah dasar

teori probabilitas- tikimybių teorija status sebagai T sritis fizika atitikmenys: angl. teori probabilitas vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, dari Rusia. teori probabilitas, f pranc. théorie des probabilités, f ... Fizikos terminų odynas

Teori probabilitas- ... Wikipedia

Teori probabilitas- disiplin matematika yang mempelajari hukum fenomena acak ... Awal dari ilmu alam modern

TEORI PROBABILITAS- (teori probabilitas) lihat Probabilitas ... Kamus sosiologis penjelasan yang komprehensif

Teori Probabilitas dan Aplikasinya- ("Teori probabilitas dan aplikasinya",) jurnal ilmiah Departemen Matematika Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet. Menerbitkan artikel asli dan pesan singkat pada teori probabilitas, masalah umum statistik matematika dan aplikasinya dalam ilmu alam dan ... ... Besar ensiklopedia Soviet

Buku

Teori probabilitas. , Wentzel E.S .. Buku ini adalah buku teks yang ditujukan untuk orang-orang yang akrab dengan matematika dalam lingkup kursus universitas reguler dan tertarik dengan aplikasi teknis dari teori probabilitas, di ... Beli untuk 2056 UAH (hanya Ukraina)
Teori probabilitas. , Wentzel E.S .. Buku ini adalah buku teks yang ditujukan untuk orang yang akrab dengan matematika dalam lingkup kursus universitas reguler dan tertarik pada aplikasi teknis teori probabilitas, di ...

Apa itu probabilitas?

Dihadapkan dengan istilah ini untuk pertama kalinya, saya tidak akan mengerti apa itu. Oleh karena itu, saya akan mencoba menjelaskannya dengan cara yang mudah diakses.

Probabilitas adalah peluang terjadinya peristiwa yang kita butuhkan.

Misalnya, Anda memutuskan untuk mengunjungi seorang teman, mengingat pintu masuk dan bahkan lantai tempat dia tinggal. Tapi saya lupa nomor dan lokasi apartemennya. Dan di sini Anda berdiri di tangga, dan di depan Anda ada pintu untuk dipilih.

Berapa peluang (probabilitas) bahwa jika Anda membunyikan pintu pertama, teman Anda akan membukakan untuk Anda? Seluruh apartemen, dan temannya hidup hanya untuk salah satu dari mereka. Kita bisa memilih pintu mana saja dengan peluang yang sama.

Tapi apa kesempatan ini?

Pintu, pintu kanan. Peluang menebak dengan membunyikan pintu pertama :. Artinya, satu kali dari tiga Anda pasti akan menebak.

Kami ingin tahu dengan menelepon sekali, seberapa sering kami akan menebak pintu? Mari kita pertimbangkan semua opsi:

Anda menelepon 1 Pintu
Anda menelepon ke-2 Pintu
Anda menelepon 3 Pintu

Sekarang mari kita lihat semua opsi di mana seorang teman mungkin berada:

sebuah. Per 1 lewat pintu
B. Per ke-2 lewat pintu
v. Per 3 lewat pintu

Mari kita bandingkan semua opsi dalam bentuk tabel. Tanda centang menandai opsi ketika pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman, tanda silang - ketika tidak cocok.

Bagaimana Anda melihat semuanya? mungkin pilihan lokasi teman dan pilihan pintu mana yang Anda pilih.

SEBUAH hasil yang menguntungkan dari semua . Artinya, Anda akan menebak dari waktu ke waktu dengan membunyikan bel pintu. ...

Ini adalah probabilitas - rasio hasil yang menguntungkan (ketika pilihan Anda bertepatan dengan lokasi teman) dengan jumlah kemungkinan peristiwa.

Definisi adalah rumus. Probabilitas biasanya dilambangkan p, oleh karena itu:

Sangat tidak nyaman untuk menulis formula seperti itu, oleh karena itu kami akan mengambil - jumlah hasil yang menguntungkan, dan untuk - jumlah total hasil.

Probabilitas dapat ditulis sebagai persentase, untuk ini Anda perlu mengalikan hasil yang dihasilkan dengan:

Mungkin kata "hasil" menarik perhatian Anda. Karena ahli matematika menyebut berbagai tindakan (dalam kasus kami, tindakan seperti itu adalah bel pintu berdering) eksperimen, biasanya disebut hasil dari eksperimen semacam itu.

Nah, hasilnya menguntungkan dan tidak menguntungkan.

Mari kita kembali ke contoh kita. Katakanlah kita membunyikan salah satu pintu, tetapi orang asing membukanya untuk kita. Kami tidak menduga. Berapa kemungkinan jika kita membunyikan salah satu pintu yang tersisa, teman kita akan membukakan untuk kita?

Jika Anda berpikir demikian, maka ini adalah kesalahan. Mari kita cari tahu.

Kami memiliki dua pintu tersisa. Jadi, kami memiliki langkah-langkah yang mungkin:

1) Hubungi 1 Pintu
2) Hubungi ke-2 Pintu

Seorang teman, dengan semua ini, pasti berada di belakang salah satu dari mereka (bagaimanapun, dia tidak berada di belakang yang kita panggil):

a) Teman untuk 1 lewat pintu
b) Teman untuk ke-2 lewat pintu

Mari kita menggambar tabel lagi:

Seperti yang Anda lihat, ada semua opsi, yang menguntungkan. Artinya, kemungkinannya sama.

Kenapa tidak?

Situasi yang kami pertimbangkan - contoh kejadian dependen. Acara pertama adalah bel pintu pertama, acara kedua adalah bel pintu kedua.

Dan mereka disebut dependen karena mempengaruhi tindakan berikut. Lagi pula, jika seorang teman membuka pintu setelah dering pertama, lalu berapa peluang dia berada di belakang salah satu dari dua lainnya? Benar, .

Tetapi jika ada kejadian yang bergantung, maka pasti ada Mandiri? Benar, ada.

Contoh buku teks adalah melempar koin.

Lempar koin sekali. Berapa probabilitas bahwa, misalnya, kepala akan keluar? Itu benar - karena opsi untuk semuanya (baik kepala atau ekor, kami mengabaikan kemungkinan koin untuk berdiri di tepi), tetapi hanya cocok untuk kami.
Tapi itu muncul ekor. Oke, mari kita buang sekali lagi. Berapa probabilitas mendapatkan kepala saat ini? Tidak ada yang berubah, semuanya sama. Berapa banyak pilihan? Dua. Seberapa cocok untuk kita? Satu.

Dan biarkan itu muncul ribuan kali berturut-turut. Probabilitas mendapatkan kepala pada satu waktu akan sama. Selalu ada pilihan, tetapi yang menguntungkan.

Sangat mudah untuk membedakan peristiwa dependen dari yang independen:

Jika percobaan dilakukan satu kali (sekali mereka melempar koin, membunyikan bel pintu sekali, dll.), maka kejadiannya selalu independen.
Jika percobaan dilakukan beberapa kali (koin dilempar sekali, bel pintu berdering beberapa kali), maka kejadian pertama selalu independen. Dan kemudian, jika jumlah yang menguntungkan atau jumlah semua hasil berubah, maka kejadiannya tergantung, dan jika tidak, mereka independen.

Mari kita berlatih menentukan probabilitas sedikit.

Contoh 1.

Koin dilempar dua kali. Berapa peluang memukul kepala dua kali berturut-turut?

Larutan:

Mari kita pertimbangkan semua opsi yang memungkinkan:

Elang-elang
kepala-ekor
kepala-ekor
Ekor-ekor

Seperti yang Anda lihat, seluruh opsi. Dari jumlah tersebut, hanya cocok untuk kita. Artinya, kemungkinannya:

Jika kondisi diminta untuk mencari peluang saja, maka jawabannya harus diberikan dalam bentuk pecahan desimal. Jika ditunjukkan bahwa jawabannya harus diberikan dalam persentase, maka kita akan mengalikannya dengan.

Menjawab:

Contoh 2.

Dalam sekotak cokelat, semua cokelat dikemas dalam bungkus yang sama. Namun, dari permen - dengan kacang, dengan cognac, dengan ceri, dengan karamel dan dengan nougat.

Berapa peluang, dengan mengambil satu permen, mendapatkan permen dengan kacang. Berikan jawaban Anda sebagai persentase.

Larutan:

Ada berapa hasil yang mungkin? ...

Artinya, mengambil satu permen, itu akan menjadi salah satu yang ada di dalam kotak.

Berapa banyak hasil yang menguntungkan?

Karena kotak itu hanya berisi cokelat dengan kacang.

Menjawab:

Contoh 3.

Dalam kotak bola. di antaranya putih, - hitam.

Berapa peluang terambilnya bola putih?
Kami telah menambahkan lebih banyak bola hitam ke dalam kotak. Berapakah peluang terambilnya bola putih?

Larutan:

a) Ada semua bola di dalam kotak. Dari jumlah tersebut, putih.

Probabilitasnya sama dengan:

b) Sekarang ada bola di dalam kotak. Dan jumlah kulit putih yang sama tetap -.

Menjawab:

Probabilitas penuh

Peluang semua kejadian yang mungkin adalah ().

Katakanlah dalam kotak bola merah dan hijau. Berapa peluang terambilnya bola merah? bola hijau? Bola merah atau hijau?

Kemungkinan menarik bola merah

bola hijau:

Bola merah atau hijau:

Seperti yang Anda lihat, jumlah semua kejadian yang mungkin adalah (). Memahami momen ini akan membantu Anda memecahkan banyak masalah.

Contoh 4.

Kotak berisi spidol: hijau, merah, biru, kuning, hitam.

Berapa peluang mengeluarkan pulpen felt-tip BUKAN merah?

Larutan:

Mari kita hitung jumlahnya hasil yang menguntungkan.

BUKAN penanda merah, itu berarti hijau, biru, kuning atau hitam.

Probabilitas dari semua kejadian. Dan kemungkinan peristiwa yang kami anggap tidak menguntungkan (ketika kami mengeluarkan spidol merah) -.

Jadi, peluang terambilnya pulpen felt-tip merah BUKAN adalah.

Menjawab:

Peluang suatu peristiwa tidak akan terjadi sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Anda sudah tahu apa itu acara independen.

Tetapi bagaimana jika Anda perlu menemukan probabilitas bahwa dua (atau lebih) peristiwa independen akan terjadi berturut-turut?

Katakanlah kita ingin tahu berapa peluang bahwa ketika kita melempar koin sekali, kita akan melihat elang dua kali?

Kami sudah menghitung -.

Dan jika kita melempar koin sekali? Berapa peluang melihat elang secara berurutan?

Semua opsi yang memungkinkan:

Elang-elang-elang
Kepala-kepala-ekor
Kepala-ekor-kepala
Kepala-ekor-ekor
Ekor-kepala-kepala
Ekor-kepala-ekor
Ekor-ekor-kepala
Ekor-ekor-ekor

Saya tidak tahu tentang Anda, tetapi saya pernah melakukan kesalahan ketika membuat daftar ini. Wow! Dan satu-satunya pilihan (pertama) yang cocok untuk kita.

Untuk 5 lemparan, Anda dapat membuat daftar kemungkinan hasil sendiri. Tapi matematikawan tidak pekerja keras seperti Anda.

Oleh karena itu, mereka pertama-tama memperhatikan dan kemudian membuktikan bahwa probabilitas urutan peristiwa independen tertentu berkurang setiap kali oleh probabilitas satu peristiwa.

Dengan kata lain,

Pertimbangkan contoh koin malang yang sama.

Kemungkinan mendapatkan kepala dalam tantangan? ... Sekarang kita melempar koin sekali.

Berapa peluang memukul kepala sekali berturut-turut?

Aturan ini bekerja tidak hanya jika kita diminta untuk mencari peluang kejadian yang sama akan terjadi beberapa kali berturut-turut.

Jika kita ingin menemukan urutan LATTICE-EAGLE-GRILLE untuk lemparan berturut-turut, kita akan melakukan hal yang sama.

Probabilitas mendapatkan ekor -, kepala -.

Peluang keluar dari barisan GRILLE-EAGLE-GRILLE-GRILLE:

Anda dapat memeriksanya sendiri dengan membuat tabel.

Aturan untuk menambahkan probabilitas kejadian yang tidak konsisten.

Jadi berhenti! Definisi baru.

Mari kita cari tahu. Ambil koin usang kami dan lemparkan sekali.
Opsi yang memungkinkan:

Elang-elang-elang
Kepala-kepala-ekor
Kepala-ekor-kepala
Kepala-ekor-ekor
Ekor-kepala-kepala
Ekor-kepala-ekor
Ekor-ekor-kepala
Ekor-ekor-ekor

Jadi, peristiwa yang tidak sesuai adalah urutan peristiwa yang pasti dan telah ditentukan sebelumnya. adalah peristiwa yang tidak kompatibel.

Jika kita ingin menentukan berapa peluang dari dua (atau lebih) kejadian yang tidak cocok, maka kita tambahkan peluang dari kejadian-kejadian tersebut.

Anda perlu memahami bahwa jatuh kepala atau ekor adalah dua peristiwa independen.

Jika kita ingin menentukan berapa probabilitas suatu barisan) (atau yang lainnya), maka kita menggunakan aturan perkalian probabilitas.
Berapa peluang mendapatkan kepala pada lemparan pertama, dan pada lemparan kedua dan ketiga?

Tetapi jika kita ingin mengetahui berapa probabilitas mendapatkan salah satu dari beberapa urutan, misalnya, ketika kepala jatuh tepat satu kali, mis. pilihan dan, maka kita harus menambahkan probabilitas dari urutan ini.

Semua opsi cocok untuk kita.

Kita bisa mendapatkan hal yang sama dengan menambahkan probabilitas setiap urutan:

Jadi, kita menambahkan probabilitas ketika kita ingin menentukan probabilitas dari beberapa urutan kejadian yang tidak konsisten.

Ada aturan praktis yang bagus untuk membantu Anda menghindari kebingungan kapan harus mengalikan dan kapan harus menambahkan:

Mari kembali ke contoh ketika kita melempar koin sekali, dan kita ingin mengetahui kemungkinan melihat kepala sekali.
Apa yang akan terjadi?

Harus turun:
(kepala DAN ekor DAN ekor) OR (ekor DAN kepala DAN ekor) OR (ekor DAN ekor DAN kepala).
Jadi ternyata:

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 5.

Kotak itu berisi pensil. merah, hijau, oranye dan kuning dan hitam. Berapa peluang tercabutnya pensil merah atau pensil hijau?

Larutan:

Apa yang akan terjadi? Kita harus cabut (merah ATAU hijau).

Sekarang jelas, kami menambahkan probabilitas dari peristiwa ini:

Menjawab:

Contoh 6.

Dadu dilempar dua kali, berapa peluang munculnya total 8 poin?

Larutan.

Bagaimana kita bisa mendapatkan poin?

(dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan) atau (dan).

Probabilitas jatuh dari satu (apa saja) wajah -.

Kami menghitung probabilitas:

Menjawab:

Bekerja.

Saya pikir sekarang menjadi jelas bagi Anda kapan harus menghitung probabilitas, kapan harus menambahkannya, dan kapan harus mengalikannya. Bukankah begitu? Mari kita berlatih sedikit.

Tugas:

Mari kita ambil setumpuk kartu, di mana kartu-kartu itu, termasuk sekop, hati, 13 tongkat dan 13 berlian. Dari ke ace masing-masing setelan.

Berapa peluang terambilnya stik secara berurutan (kami memasukkan kembali kartu pertama yang ditarik ke dalam dek dan mengocoknya)?
Berapa peluang terambilnya kartu hitam (sekop atau tongkat)?
Berapa peluang terambilnya gambar (jack, queen, king, atau ace)?
Berapa peluang terambilnya dua gambar secara berurutan (kami mengeluarkan kartu pertama yang diambil dari tumpukan)?
Berapa probabilitas, setelah mengambil dua kartu, untuk mengumpulkan kombinasi - (jack, ratu atau raja) dan kartu As Urutan di mana kartu akan ditarik tidak masalah.

Jawaban:

Di dek, kartu dari setiap peringkat berarti:
Acara tergantung, karena setelah kartu pertama ditarik, jumlah kartu di dek berkurang (juga jumlah "gambar"). Jumlah jack, queen, king, dan ace di deck awalnya, yang berarti peluang kartu pertama yang mengeluarkan "gambar":
Karena kami mengeluarkan kartu pertama dari dek, itu berarti sudah ada kartu di dek, yang ada gambarnya. Peluang terambilnya gambar dengan kartu kedua:
Karena kita tertarik pada situasi ketika kita mendapatkan dari dek: "gambar" DAN "gambar", maka kita perlu mengalikan probabilitas:
Menjawab:
Setelah kartu pertama ditarik, jumlah kartu di dek akan berkurang, jadi kami memiliki dua opsi:
1) Dengan kartu pertama kami mengeluarkan Ace, yang kedua - jack, ratu atau raja
2) Dengan kartu pertama kami mengeluarkan jack, ratu atau raja, yang kedua - kartu as. (ace dan (jack atau ratu atau raja)) atau ((jack atau ratu atau raja) dan ace). Jangan lupa tentang mengurangi jumlah kartu di dek!

Jika Anda mampu menyelesaikan semua masalah sendiri, maka Anda adalah orang yang hebat! Sekarang Anda akan mengklik masalah pada teori probabilitas dalam ujian!

TEORI PROBABILITAS. LEVEL RATA-RATA

Mari kita lihat sebuah contoh. Katakanlah kita melempar dadu. Tulang macam apa ini, Anda tahu? Ini adalah nama kubus dengan angka di tepinya. Berapa banyak wajah, begitu banyak angka: dari sampai berapa banyak? Sebelum.

Jadi, kita melempar dadu dan ingin melempar atau. Dan itu jatuh ke kita.

Probabilitas mengatakan apa yang terjadi acara yang menguntungkan(jangan bingung dengan yang makmur).

Jika jatuh, acaranya juga akan menguntungkan. Secara total, hanya dua peristiwa yang menguntungkan yang dapat terjadi.

Dan berapa banyak yang tidak menguntungkan? Karena ada semua kemungkinan peristiwa, itu berarti bahwa peristiwa yang tidak menguntungkan termasuk di antara mereka (ini jika jatuh atau).

Definisi:

Probabilitas adalah rasio jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin... Artinya, probabilitas menunjukkan berapa proporsi dari semua kemungkinan kejadian yang menguntungkan.

Mereka menunjukkan probabilitas dengan huruf Latin (tampaknya dari kata Bahasa Inggris probabilitas - probabilitas).

Merupakan kebiasaan untuk mengukur probabilitas sebagai persentase (lihat topik dan). Untuk melakukan ini, nilai probabilitas harus dikalikan dengan. Dalam contoh dadu, probabilitas.

Dan sebagai persentase:.

Contoh (putuskan sendiri):

Berapa peluang munculnya kepala saat melempar koin? Seberapa besar kemungkinannya untuk muncul?
Berapa peluang munculnya angka genap pada sebuah dadu? Dan dengan yang - aneh?
Dalam kotak pensil, pensil biru dan merah. Gambarlah satu pensil secara acak. Berapa probabilitas menarik yang sederhana?

Solusi:

Ada berapa pilihan? Kepala dan ekor hanya dua. Berapa banyak dari mereka yang menguntungkan? Hanya satu yang elang. Jadi kemungkinan
Itu sama dengan ekor:.
Opsi total: (berapa banyak sisi kubus, begitu banyak opsi berbeda). Yang menguntungkan: (ini semua bilangan genap :).
Kemungkinan. Dengan aneh, tentu saja, hal yang sama.
Jumlah: . Baik:. Kemungkinan: .

Probabilitas penuh

Semua pensil di laci berwarna hijau. Berapa peluang terambilnya sebatang pensil merah? Tidak ada peluang: probabilitas (bagaimanapun juga, peristiwa yang menguntungkan -).

Peristiwa seperti itu disebut mustahil.

Berapa peluang terambilnya sebatang pensil hijau? Ada persis jumlah yang sama dari peristiwa yang menguntungkan karena ada total peristiwa (semua peristiwa yang menguntungkan). Jadi, peluangnya sama dengan atau.

Peristiwa semacam itu disebut dapat diandalkan.

Jika ada pensil hijau dan merah di dalam kotak, berapa peluang untuk mengeluarkan pensil hijau atau merah? Namun lagi. Perhatikan hal ini: peluang terambilnya hijau sama, dan merah sama.

Singkatnya, probabilitas ini persis sama. Itu adalah, jumlah peluang semua kejadian yang mungkin sama dengan atau.

Contoh:

Di dalam kotak pensil, di antaranya biru, merah, hijau, polos, kuning, dan selebihnya berwarna oranye. Berapa peluang tidak terambil hijau?

Larutan:

Ingatlah bahwa semua probabilitas bertambah. Dan probabilitas menarik hijau sama dengan. Ini berarti bahwa probabilitas tidak menarik hijau sama dengan.

Ingat trik ini: peluang terjadinya suatu peristiwa sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Peristiwa independen dan aturan perkalian

Anda melempar koin sekali, dan Anda ingin kepala jatuh kedua kali. Apa kemungkinan hal ini terjadi?

Mari kita bahas semua opsi yang mungkin dan tentukan berapa banyak yang ada:

Kepala-Kepala, Kepala-Kepala, Kepala-Kepala, Kepala-Kepala. Apa lagi?

Seluruh pilihan. Dari jumlah tersebut, hanya satu yang cocok untuk kita: Elang-Elang. Total, kemungkinannya adalah.

Oke. Dan sekarang kita melempar koin sekali. Hitung sendiri. Telah terjadi? (menjawab).

Anda mungkin telah memperhatikan bahwa dengan penambahan setiap lemparan berikutnya, kemungkinannya berkurang seiring waktu. Peraturan umum ditelepon aturan perkalian:

Probabilitas peristiwa independen berubah.

Apa itu acara independen? Semuanya logis: ini adalah mereka yang tidak bergantung satu sama lain. Misalnya, ketika kita melempar koin beberapa kali, setiap kali ada lemparan baru, hasilnya tidak tergantung pada semua lemparan sebelumnya. Kita juga bisa membalik dua koin yang berbeda secara bersamaan.

Contoh lainnya:

Dadu dilempar dua kali. Berapa peluang bahwa kedua kali akan digulirkan?
Koin dilempar sekali. Berapa kemungkinan ia akan mendarat dengan kepala terlebih dahulu dan kemudian ekor dua kali?
Pemain melempar dua dadu. Berapa peluang bahwa jumlah angka pada mereka akan sama?

Jawaban:

Peristiwanya independen, yang berarti bahwa aturan perkalian bekerja:.
Peluang munculnya elang adalah. Kemungkinan ekor juga. Kami mengalikan:
12 hanya dapat diperoleh jika dua -ki digulung :.

Acara yang tidak kompatibel dan aturan penambahan

Peristiwa yang tidak kompatibel disebut peristiwa yang saling melengkapi dengan kemungkinan penuh. Seperti namanya, mereka tidak bisa terjadi secara bersamaan. Misalnya, jika kita melempar koin, itu bisa muncul kepala atau ekor.

Contoh.

Di dalam kotak pensil, di antaranya biru, merah, hijau, polos, kuning, dan selebihnya berwarna oranye. Berapa peluang terambilnya warna hijau atau merah?

Solusi.

Peluang terambilnya sebatang pensil hijau adalah. Merah - .

Semua acara keberuntungan: hijau + merah. Ini berarti peluang terambilnya hijau atau merah sama dengan.

Probabilitas yang sama dapat direpresentasikan sebagai berikut:.

Ini adalah aturan penambahan: probabilitas peristiwa yang tidak konsisten bertambah.

Masalah campuran

Contoh.

Koin dilempar dua kali. Berapa kemungkinan hasil lemparan akan berbeda?

Solusi.

Artinya jika pukulan pertama adalah kepala, yang kedua harus ekor, dan sebaliknya. Ternyata ada dua pasang kejadian independen, dan pasangan ini tidak cocok satu sama lain. Bagaimana tidak bingung, di mana untuk mengalikan, dan di mana untuk menambahkan.

Ada aturan praktis sederhana untuk situasi ini. Cobalah untuk menggambarkan apa yang akan terjadi dengan menghubungkan peristiwa dengan AND atau OR. Misalnya, dalam hal ini:

Harus muncul (kepala dan ekor) atau (ekor dan kepala).

Di mana ada konjungsi "dan", akan ada perkalian, dan di mana "atau" - penambahan:

Cobalah sendiri:

Berapa peluang bahwa sisi yang sama akan mendarat pada dua pelemparan koin secara bersamaan?
Dadu dilempar dua kali. Berapa probabilitas bahwa total akan menjadi poin?

Solusi:

(Kepala jatuh dan kepala jatuh) atau (ekor jatuh dan ekor jatuh):.
Apa saja pilihannya? dan. Kemudian:
Putus sekolah (dan) atau (dan) atau (dan):.

Contoh lain:

Kami melempar koin sekali. Berapa probabilitas bahwa kepala akan keluar setidaknya sekali?

Larutan:

Oh, betapa Anda tidak ingin melalui opsi ... Kepala-ekor-ekor, Kepala-kepala-ekor, ... Tapi jangan! Kami mengingat kemungkinan penuh. Ingat? Berapa peluang seekor elang tidak akan dijatuhkan sekali pun? Sederhana saja: ekornya terbang sepanjang waktu, jadi.

TEORI PROBABILITAS. SINGKAT TENTANG UTAMA

Probabilitas adalah rasio jumlah kejadian yang menguntungkan dengan jumlah semua kejadian yang mungkin.

Acara independen

Dua peristiwa adalah independen jika pada terjadinya satu kemungkinan terjadinya yang lain tidak berubah.

Probabilitas penuh

Peluang semua kejadian yang mungkin adalah ().

Peluang suatu peristiwa tidak akan terjadi sama dengan dikurangi peluang terjadinya peristiwa tersebut.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen

Peluang suatu barisan kejadian bebas tertentu sama dengan hasil kali peluang masing-masing kejadian tersebut

Acara yang tidak kompatibel

Peristiwa yang tidak sesuai disebut peristiwa yang tidak dapat terjadi secara bersamaan sebagai akibat dari suatu percobaan. Sejumlah peristiwa yang tidak konsisten membentuk kelompok peristiwa yang lengkap.

Probabilitas peristiwa yang tidak konsisten bertambah.

Setelah menjelaskan apa yang seharusnya terjadi, dengan menggunakan konjungsi "DAN" atau "ATAU", alih-alih "DAN", kami menempatkan tanda perkalian, dan alih-alih "ATAU" - penambahan.

2/3 ARTIKEL SISA HANYA TERSEDIA UNTUK SISWA KAMU!

Menjadi siswa YouClever,

Siapkan OGE atau GUNAKAN dalam matematika dengan harga "secangkir kopi per bulan",

Dan juga dapatkan akses tak terbatas ke buku teks "YouClever", program pelatihan "100gia" (reshebnik), USE dan OGE percobaan tak terbatas, 6000 masalah dengan analisis solusi dan ke layanan YouClever dan 100gia lainnya.

PENGANTAR

Banyak hal yang tidak dapat kita pahami, bukan karena konsep kita lemah;
tetapi karena hal-hal ini tidak termasuk dalam jangkauan konsep kami.
Kozma Prutkov

Tujuan utama mempelajari matematika di lembaga pendidikan khusus menengah adalah untuk membekali siswa dengan seperangkat pengetahuan dan keterampilan matematika yang diperlukan untuk mempelajari disiplin program lain yang menggunakan matematika sampai batas tertentu, untuk kemampuan melakukan perhitungan praktis, untuk pembentukan dan pengembangan berpikir logis.

Karya ini secara konsisten memperkenalkan semua konsep dasar bagian matematika "Dasar-dasar teori probabilitas dan statistik matematika" yang disediakan oleh program dan standar pendidikan Negara untuk pendidikan kejuruan menengah (Kementerian Pendidikan Federasi Rusia. M., 2002 ), merumuskan teorema utama, yang sebagian besar tidak terbukti ... Tugas utama dan metode untuk solusi mereka dan teknologi untuk menerapkan metode ini untuk memecahkan masalah praktis dipertimbangkan. Presentasi disertai dengan komentar rinci dan banyak contoh.

Instruksi metodologis dapat digunakan untuk pengenalan awal dengan materi yang dipelajari, saat membuat catatan kuliah, untuk mempersiapkan latihan praktis, untuk mengkonsolidasikan pengetahuan, kemampuan dan keterampilan yang diperoleh. Selain itu, manual ini akan berguna bagi siswa senior sebagai alat referensi, memungkinkan Anda untuk dengan cepat mengingat apa yang telah dipelajari sebelumnya.

Di akhir pekerjaan, diberikan contoh dan tugas yang dapat dilakukan siswa dalam mode pengendalian diri.

Instruksi metodis ditujukan untuk siswa dari bentuk pendidikan paruh waktu dan penuh waktu.

KONSEP DASAR

Teori probabilitas mempelajari hukum-hukum objektif peristiwa acak massal. Ini adalah dasar teoretis untuk statistik matematika, yang terlibat dalam pengembangan metode untuk mengumpulkan, menggambarkan, dan memproses hasil pengamatan. Melalui observasi (tes, eksperimen), yaitu pengalaman dalam arti luas, kognisi fenomena dunia nyata terjadi.

Dalam praktik kami, kami sering menemukan fenomena, yang hasilnya tidak dapat diprediksi, yang hasilnya tergantung pada kasusnya.

Fenomena acak dapat dicirikan oleh rasio jumlah kemajuannya dengan jumlah percobaan, di mana masing-masing, di bawah kondisi yang sama dari semua percobaan, itu bisa atau mungkin tidak terjadi.

Teori probabilitas adalah cabang matematika di mana fenomena acak (peristiwa) dipelajari dan pola terungkap selama pengulangan besar-besaran mereka.

Statistika matematika adalah cabang matematika yang sebagai pokok bahasannya mempelajari metode pengumpulan, sistematisasi, pengolahan, dan penggunaan data statistik untuk memperoleh kesimpulan dan pengambilan keputusan yang berbasis ilmiah.

Dalam hal ini, data statistik dipahami sebagai kumpulan angka yang mewakili karakteristik kuantitatif dari fitur objek yang menarik bagi kami. Data statistik diperoleh sebagai hasil eksperimen dan pengamatan yang ditetapkan secara khusus.

Data statistik secara inheren tergantung pada banyak faktor acak, oleh karena itu, statistik matematika terkait erat dengan teori probabilitas, yang menjadi dasar teoretisnya.

I. PROBABILITAS. TAMBAHAN DAN PERGANDAAN PROBABILITAS

1.1. Konsep dasar kombinatorik

Di bagian matematika yang disebut kombinatorik, beberapa masalah diselesaikan terkait dengan pertimbangan himpunan dan kompilasi berbagai kombinasi elemen himpunan ini. Misalnya, jika kita mengambil 10 angka berbeda 0, 1, 2, 3,:, 9 dan membuat kombinasi dari mereka, maka kita akan mendapatkan angka yang berbeda, misalnya, 143, 431, 5671, 1207, 43, dst.

Kami melihat bahwa beberapa kombinasi ini hanya berbeda dalam urutan angka (misalnya, 143 dan 431), yang lain dalam jumlah yang termasuk di dalamnya (misalnya, 5671 dan 1207), dan yang lain berbeda dalam jumlah digit ( misalnya, 143 dan 43).

Dengan demikian, kombinasi yang diperoleh memenuhi berbagai kondisi.

Tiga jenis kombinasi dapat dibedakan tergantung pada aturan komposisi: penataan ulang, penempatan, kombinasi.

Yuk kenalan dulu dengan konsepnya faktorial.

Hasil kali semua bilangan asli dari 1 sampai n disebut n-faktorial dan tulis.

Hitung: a); B); v) .

Larutan. sebuah) .

b) Sejak dan , maka Anda dapat mengambil tanda kurung

Kemudian kita mendapatkan

v) .

Permutasi.

Kombinasi dari n elemen yang berbeda satu sama lain hanya dalam urutan elemen disebut permutasi.

Permutasi dilambangkan dengan simbol P n , di mana n adalah jumlah elemen yang termasuk dalam setiap permutasi. ( R- huruf pertama dari kata Perancis permutasi- permutasi).

Banyaknya permutasi dapat dihitung dengan rumus

atau menggunakan faktorial:

Ingat itu 0! = 1 dan 1! = 1.

Contoh 2. Dalam berapa cara enam buku berbeda dapat disusun dalam satu rak?

Larutan. Banyaknya cara yang diperlukan sama dengan banyaknya permutasi dari 6 elemen, yaitu

Akomodasi.

Akomodasi dari M elemen dalam n dalam setiap senyawa tersebut disebut yang berbeda satu sama lain baik oleh unsur-unsur itu sendiri (setidaknya satu), atau berdasarkan urutan pengaturannya.

Penempatan ditunjukkan oleh simbol, di mana M- jumlah semua elemen yang tersedia, n- jumlah elemen dalam setiap kombinasi. ( SEBUAH- huruf pertama dari kata Perancis pengaturan, yang berarti "penempatan, penertiban").

Selain itu, diyakini bahwa nm.

Jumlah penempatan dapat dihitung menggunakan rumus

itu. jumlah semua kemungkinan penempatan dari M elemen oleh n sama dengan produk n bilangan bulat berurutan, yang lebih besar adalah M.

Mari kita tulis rumus ini dalam bentuk faktorial:

Contoh 3. Berapa banyak pilihan untuk pembagian tiga voucher di sanatorium dari berbagai profil yang dapat dibuat untuk lima pelamar?

Larutan. Jumlah varian yang diperlukan sama dengan jumlah penempatan 5 elemen dengan 3 elemen, yaitu.

kombinasi.

Kombinasi adalah semua kemungkinan kombinasi dari M elemen oleh n yang berbeda satu sama lain oleh setidaknya satu elemen (di sini M dan n- bilangan asli, dan n m).

Jumlah kombinasi dari M elemen oleh n dilambangkan ( DENGAN-huruf pertama dari kata Perancis kombinasi- kombinasi).

Secara umum, nomor dari M elemen oleh n sama dengan jumlah penempatan dari M elemen oleh n dibagi dengan banyaknya permutasi dari n elemen:

Menggunakan rumus faktorial untuk jumlah penempatan dan permutasi, kita mendapatkan:

Contoh 4. Dalam tim yang terdiri dari 25 orang, Anda perlu mengalokasikan empat orang untuk bekerja di lokasi tertentu. Berapa banyak cara hal ini dapat dilakukan?

Larutan. Karena urutan empat orang yang dipilih tidak menjadi masalah, ada beberapa cara untuk melakukannya.

Kami menemukan dengan rumus pertama

Selain itu, saat menyelesaikan masalah, rumus berikut digunakan yang menyatakan sifat utama kombinasi:

(menurut definisi, diasumsikan dan);

1.2. Memecahkan masalah kombinatorial

Tugas 1. 16 mata pelajaran dipelajari di fakultas. Pada hari Senin, Anda perlu menjadwalkan 3 item. Berapa banyak cara Anda dapat melakukan ini?

Larutan. Ada banyak cara untuk menjadwalkan tiga item dari 16 karena Anda dapat membuat penempatan dari 16 item masing-masing 3 item.

Soal 2. Dari 15 objek perlu dipilih 10 objek. Berapa banyak cara hal ini dapat dilakukan?

Soal 3. Empat tim ambil bagian dalam kompetisi. Berapa banyak pilihan untuk pembagian kursi di antara mereka yang mungkin?

Soal 4. Dalam berapa cara anda dapat membuat patroli yang terdiri dari tiga prajurit dan satu perwira, jika ada 80 prajurit dan 3 perwira?

Larutan. Anda dapat memilih seorang prajurit yang berpatroli

dengan cara, dan petugas dengan cara. Karena setiap perwira dapat pergi dengan setiap tim tentara, hanya ada satu cara.

Soal 5. Temukan, jika diketahui itu.

Karena, kita mendapatkan

Dengan definisi kombinasi berikut bahwa,. Itu. ...

1.3. Konsep peristiwa acak. Jenis acara. Probabilitas peristiwa

Setiap tindakan, fenomena, pengamatan dengan beberapa hasil berbeda, yang diwujudkan dalam serangkaian kondisi tertentu, akan disebut tes.

Hasil dari tindakan atau pengamatan ini disebut peristiwa .

Jika acara di kondisi yang diberikan mungkin atau mungkin tidak terjadi, maka itu disebut acak ... Jika suatu peristiwa pasti terjadi, itu disebut dapat diandalkan , dan dalam kasus ketika itu jelas tidak dapat terjadi, - mustahil.

Peristiwa disebut tidak konsisten jika hanya salah satu dari mereka dapat muncul pada suatu waktu.

Peristiwa disebut persendian jika di bawah kondisi tertentu terjadinya salah satu peristiwa ini tidak mengecualikan terjadinya yang lain selama pengujian yang sama.

Peristiwa disebut di depan jika, di bawah kondisi tes, mereka, sebagai satu-satunya hasil, tidak sesuai.

Acara biasanya ditunjuk dengan huruf kapital alfabet Latin: A, B, C, D, : .

Sistem lengkap kejadian 1, 2, 3,:, n adalah himpunan kejadian yang tidak kompatibel, permulaan paling sedikit salah satunya adalah wajib untuk tes yang diberikan.

Jika sistem yang lengkap terdiri dari dua peristiwa yang tidak kompatibel, maka peristiwa tersebut disebut berlawanan dan ditunjuk A dan.

Contoh. Kotak tersebut berisi 30 bola bernomor. Tentukan mana dari peristiwa berikut yang tidak mungkin, andal, berlawanan:

mendapat bola bernomor (SEBUAH);

mendapat bola bernomor genap (V);

mendapat bola bernomor ganjil (DENGAN);

mendapat bola tanpa nomor (D).

Manakah yang membentuk kelompok lengkap?

Larutan ... SEBUAH- acara yang andal; D- peristiwa yang mustahil;

di dan DENGAN- peristiwa yang berlawanan.

Grup lengkap acara terdiri dari SEBUAH dan D, B dan DENGAN.

Probabilitas suatu peristiwa dianggap sebagai ukuran kemungkinan objektif terjadinya peristiwa acak.

1.4. Definisi klasik dari probabilitas

Bilangan yang merupakan ekspresi dari ukuran kemungkinan objektif terjadinya suatu peristiwa disebut kemungkinan peristiwa ini dan ditunjukkan dengan simbol P (A).

Definisi. Peluang kejadian SEBUAH adalah rasio jumlah hasil m, menguntungkan untuk timbulnya peristiwa tertentu SEBUAH, ke nomor n semua hasil (tidak konsisten, unik dan sama-sama mungkin), yaitu ...

Oleh karena itu, untuk menemukan peluang suatu kejadian, perlu, setelah mempertimbangkan berbagai hasil percobaan, untuk menghitung semua kemungkinan hasil yang tidak konsisten. n, pilih jumlah hasil yang kita minati m dan hitung rasionya M Ke n.

Properti berikut mengikuti dari definisi ini:

Probabilitas tes apapun adalah angka non-negatif tidak melebihi satu.

Memang, jumlah m dari peristiwa yang diinginkan berada dalam batas. Membagi kedua bagian menjadi n, kita mendapatkan

2. Probabilitas suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu, karena ...

3. Probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol, karena.

Soal 1. Dalam lotere 1000 tiket, ada 200 yang menang. Ambil satu tiket secara acak. Berapa probabilitas bahwa tiket ini adalah pemenang?

Larutan. Banyaknya hasil yang berbeda adalah n= 1000. Banyaknya hasil yang menguntungkan untuk mendapatkan kemenangan adalah m = 200. Menurut rumus, kita mendapatkan

Soal 2. Ada 4 bagian yang rusak dalam kumpulan 18 bagian. 5 bagian dipilih secara acak. Tentukan peluang bahwa dari 5 bagian ini, dua akan menjadi rusak.

Larutan. Banyaknya semua hasil bebas yang mungkin sama n sama dengan jumlah kombinasi dari 18 hingga 5 yaitu.

Mari kita hitung bilangan m, menguntungkan untuk kejadian A. Di antara 5 bagian yang diambil secara acak, harus ada 3 yang berkualitas tinggi dan 2 yang rusak. Banyaknya cara untuk memilih dua bagian yang rusak dari 4 bagian yang cacat yang tersedia sama dengan jumlah kombinasi dari 4 hingga 2:

Jumlah metode untuk mengambil sampel tiga suku cadang berkualitas tinggi dari 14 suku cadang berkualitas tinggi yang tersedia adalah

Setiap kelompok suku cadang berkualitas dapat digabungkan dengan sekelompok suku cadang yang rusak, oleh karena itu jumlah total kombinasi M adalah

Peluang kejadian A yang dicari sama dengan rasio jumlah hasil m, menguntungkan untuk kejadian ini, dengan jumlah n dari semua kemungkinan hasil independen yang sama:

Jumlah dari sejumlah kejadian berhingga adalah kejadian yang terdiri dari terjadinya setidaknya satu dari mereka.

Jumlah dua peristiwa dilambangkan dengan simbol A + B, dan jumlah n peristiwa dengan simbol 1 + 2 +: + n.

Teorema penjumlahan untuk peluang.

Probabilitas jumlah dua kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah peluang kejadian tersebut.

Akibat wajar 1. Jika kejadian 1, 2,:, n membentuk suatu sistem yang lengkap, maka jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut sama dengan satu.

Akibat wajar 2. Jumlah peluang kejadian yang berlawanan sama dengan satu.

Soal 1. Ada 100 tiket lotere. Diketahui bahwa 5 tiket akan menerima hadiah masing-masing 20.000 rubel, 10 tiket - masing-masing 15.000 rubel, 15 tiket - masing-masing 10.000 rubel, masing-masing 25 - 2.000 rubel. dan tidak ada untuk sisanya. Temukan probabilitas bahwa hadiah setidaknya 10.000 rubel akan diterima pada tiket yang dibeli.

Larutan. Misalkan A, B, dan C adalah kejadian yang terdiri dari fakta bahwa hadiah jatuh pada tiket yang dibeli, masing-masing sama dengan 20.000, 15.000, dan 10.000 rubel. karena kejadian A, B dan C tidak konsisten, maka

Masalah 2. Aktif di luar sekolah sekolah teknik menerima tes matematika dari kota A, B dan DENGAN... Probabilitas diterimanya pekerjaan uji dari kota SEBUAH sama dengan 0,6, dari kota V- 0,1. Tentukan peluang berikutnya tes akan datang dari kota DENGAN.

Banyak, ketika dihadapkan dengan konsep "teori probabilitas", menjadi takut, berpikir bahwa ini adalah sesuatu yang luar biasa, sangat sulit. Tapi semuanya sebenarnya tidak begitu tragis. Hari ini kita akan mempertimbangkan konsep dasar teori probabilitas, kita akan belajar bagaimana memecahkan masalah menggunakan contoh-contoh spesifik.

Ilmu

Apa yang dipelajari oleh cabang matematika seperti "teori probabilitas"? Dia mencatat pola dan jumlah. Untuk pertama kalinya, para ilmuwan menjadi tertarik pada masalah ini pada abad kedelapan belas, ketika mereka mempelajari perjudian. Konsep dasar teori peluang adalah suatu kejadian. Ini adalah setiap fakta yang dipastikan dengan pengalaman atau pengamatan. Tapi apa itu pengalaman? Konsep dasar lain dari teori probabilitas. Ini berarti bahwa rangkaian keadaan ini tidak diciptakan secara kebetulan, tetapi untuk tujuan tertentu. Adapun observasi, di sini peneliti sendiri tidak berpartisipasi dalam eksperimen, tetapi hanya menyaksikan peristiwa-peristiwa ini, dia sama sekali tidak mempengaruhi apa yang terjadi.

Acara

Kami belajar bahwa konsep dasar teori probabilitas adalah suatu peristiwa, tetapi kami tidak mempertimbangkan klasifikasi. Mereka semua termasuk dalam kategori berikut:

kredibel.
Mustahil.
Acak.

Terlepas dari jenis peristiwa apa yang diamati atau dibuat selama eksperimen, semuanya tunduk pada klasifikasi ini. Kami mengundang Anda untuk berkenalan dengan masing-masing jenis secara terpisah.

Acara yang kredibel

Ini adalah keadaan seperti itu, di mana serangkaian tindakan yang diperlukan telah diambil. Untuk lebih memahami esensi, lebih baik memberikan beberapa contoh. Fisika, kimia, ekonomi, dan matematika tingkat tinggi semuanya tunduk pada hukum ini. Teori probabilitas mencakup konsep penting seperti peristiwa yang dapat diandalkan. Berikut beberapa contohnya:

Kami bekerja dan menerima balas jasa berupa upah.
Kami lulus ujian dengan baik, lulus kompetisi, untuk ini kami menerima hadiah berupa tiket masuk ke lembaga pendidikan.
Kami telah menginvestasikan uang di bank, jika perlu, kami akan mendapatkannya kembali.

Peristiwa semacam itu dapat dipercaya. Jika kita telah melakukan semuanya syarat-syarat yang diperlukan, maka kita pasti akan mendapatkan hasil yang diharapkan.

Peristiwa yang tidak mungkin

Kita sekarang melihat unsur-unsur teori probabilitas. Kami mengusulkan untuk beralih ke penjelasan tentang jenis peristiwa berikutnya, yaitu yang tidak mungkin. Untuk memulainya, kami akan menetapkan yang paling aturan penting- peluang suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol.

Seseorang tidak dapat menyimpang dari formulasi ini ketika memecahkan masalah. Untuk klarifikasi, berikut adalah contoh peristiwa tersebut:

Air membeku pada suhu plus sepuluh (ini tidak mungkin).
Kurangnya listrik tidak mempengaruhi produksi dengan cara apapun (sama tidak mungkin seperti pada contoh sebelumnya).

Tidak ada gunanya memberikan lebih banyak contoh, karena yang dijelaskan di atas sangat jelas mencerminkan esensi dari kategori ini. Peristiwa yang mustahil tidak akan pernah terjadi selama pengalaman dalam keadaan apa pun.

Peristiwa acak

Mempelajari elemen Perhatian khusus layak diberikan untuk jenis acara khusus ini. Merekalah yang mempelajari ilmu ini. Sebagai hasil dari pengalaman, sesuatu bisa terjadi atau tidak. Selain itu, tes dapat dilakukan dalam jumlah yang tidak terbatas. Contoh mencolok dapat melayani:

Lemparan koin adalah pengalaman, atau ujian; jatuhnya kepala adalah sebuah peristiwa.
Menarik bola keluar dari tas secara membabi buta adalah ujian, bola merah ditangkap - ini adalah acara, dan seterusnya.

Mungkin ada jumlah yang tidak terbatas dari contoh seperti itu, tetapi, secara umum, esensinya harus jelas. Untuk meringkas dan mensistematisasikan pengetahuan yang diperoleh tentang peristiwa, tabel diberikan. Teori probabilitas hanya mempelajari spesies terakhir dari semua yang disajikan.

judul	definisi
kredibel	Peristiwa yang terjadi dengan jaminan 100% tunduk pada kondisi tertentu.	Masuk ke lembaga pendidikan dengan lulus ujian masuk yang baik.
Mustahil	Peristiwa yang tidak akan pernah terjadi dalam keadaan apapun.	Salju turun pada suhu udara ditambah tiga puluh derajat Celcius.
Acak	Suatu peristiwa yang mungkin atau mungkin tidak terjadi selama percobaan / pengujian.	Memukul atau meleset saat melempar bola basket ke dalam keranjang.

hukum

Teori probabilitas adalah ilmu yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Seperti yang lain, ia memiliki beberapa aturan. Ada hukum-hukum berikut dari teori probabilitas:

Konvergensi urutan variabel acak.
Hukum bilangan besar.

Saat menghitung kemungkinan kompleks, Anda dapat menggunakan serangkaian peristiwa sederhana untuk mencapai hasil dengan cara yang lebih mudah dan lebih cepat. Perhatikan bahwa hukum teori probabilitas dengan mudah dibuktikan dengan menggunakan beberapa teorema. Kami menyarankan Anda untuk berkenalan dengan hukum pertama.

Konvergensi urutan variabel acak

Perhatikan bahwa ada beberapa jenis konvergensi:

Urutan variabel acak konvergen dalam probabilitas.
Hampir tidak mungkin.
Konvergensi akar-rata-rata-kuadrat.
Konvergensi dalam distribusi.

Jadi, dengan cepat, sangat sulit untuk memahami esensinya. Berikut adalah beberapa definisi yang akan membantu Anda memahami topik ini. Sebagai permulaan, pandangan pertama. Urutannya disebut konvergen dalam probabilitas, jika kondisi berikut terpenuhi: n cenderung tak hingga, bilangan yang barisannya cenderung lebih besar dari nol dan mendekati satu.

Mari kita beralih ke bentuk berikutnya, hampir pasti... Barisan tersebut dikatakan konvergen hampir pasti ke variabel acak karena n cenderung tak terhingga, dan P cenderung ke nilai yang mendekati satu.

Jenis selanjutnya adalah konvergensi RMS... Saat menggunakan SK-konvergensi, studi proses stokastik vektor direduksi menjadi studi proses stokastik koordinatnya.

Jenis terakhir tetap, mari kita analisis secara singkat untuk melanjutkan langsung ke pemecahan masalah. Konvergensi dalam distribusi juga memiliki satu nama lagi - "lemah", di bawah ini kami akan menjelaskan alasannya. Konvergensi lemah Apakah konvergensi fungsi distribusi di semua titik kontinuitas fungsi distribusi pembatas.

Kami pasti akan menepati janji kami: konvergensi lemah berbeda dari semua hal di atas karena variabel acak tidak ditentukan pada ruang probabilitas. Ini dimungkinkan karena kondisinya dibentuk secara eksklusif menggunakan fungsi distribusi.

Hukum bilangan besar

Teorema teori probabilitas, seperti:

Pertidaksamaan Chebyshev.
teorema Chebyshev.
Teorema Chebyshev Umum.
teorema Markov.

Jika kita mempertimbangkan semua teorema ini, maka pertanyaan ini dapat berlarut-larut selama beberapa puluh halaman. Tugas utama kita adalah menerapkan teori probabilitas dalam praktik. Kami menyarankan Anda melakukan ini sekarang dan melakukannya. Tetapi sebelum itu, pertimbangkan aksioma teori probabilitas, mereka akan menjadi penolong utama dalam memecahkan masalah.

aksioma

Kami sudah bertemu pertama kali ketika kami berbicara tentang peristiwa yang mustahil. Mari kita ingat: probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol. Kami memberikan contoh yang sangat jelas dan mudah diingat: salju turun pada suhu udara tiga puluh derajat Celcius.

Yang kedua adalah sebagai berikut: peristiwa yang dapat diandalkan terjadi dengan probabilitas sama dengan satu. Sekarang kita akan menunjukkan bagaimana menulis ini menggunakan bahasa matematika: P (B) = 1.

Ketiga: Suatu peristiwa acak mungkin atau mungkin tidak terjadi, tetapi kemungkinannya selalu bervariasi dari nol hingga satu. Semakin dekat nilainya dengan satu, semakin besar peluangnya; jika nilainya mendekati nol, kemungkinannya sangat kecil. Mari kita tulis dalam bahasa matematika: 0<Р(С)<1.

Pertimbangkan aksioma terakhir, keempat, yang berbunyi seperti ini: peluang jumlah dua peristiwa sama dengan jumlah peluangnya. Kami menulis dalam bahasa matematika: P (A + B) = P (A) + P (B).

Aksioma teori probabilitas adalah aturan paling sederhana yang tidak akan sulit untuk diingat. Mari kita coba memecahkan beberapa masalah, mengandalkan pengetahuan yang sudah diperoleh.

Tiket lotere

Mari kita mulai dengan melihat contoh paling sederhana - lotere. Bayangkan Anda membeli satu tiket lotere untuk keberuntungan. Berapa probabilitas Anda akan memenangkan setidaknya dua puluh rubel? Secara total, seribu tiket berpartisipasi dalam pengundian, salah satunya memiliki hadiah lima ratus rubel, sepuluh untuk seratus rubel, lima puluh untuk dua puluh rubel, dan seratus untuk lima. Masalah probabilitas didasarkan pada menemukan peluang untuk keberuntungan. Sekarang kita akan menganalisis solusi dari tugas yang disajikan di atas bersama-sama.

Jika kita menunjukkan kemenangan lima ratus rubel dengan huruf A, maka kemungkinan mendapatkan A adalah 0,001. Bagaimana kami mendapatkannya? Anda hanya perlu membagi jumlah tiket "beruntung" dengan jumlah totalnya (dalam hal ini: 1/1000).

B adalah kemenangan seratus rubel, kemungkinannya adalah 0,01. Sekarang kami bertindak dengan prinsip yang sama seperti pada tindakan sebelumnya (10/1000)

- kemenangannya sama dengan dua puluh rubel. Kami menemukan probabilitas, itu sama dengan 0,05.

Sisa tiket tidak menarik bagi kami, karena dana hadiahnya kurang dari yang ditentukan dalam ketentuan. Mari kita terapkan aksioma keempat: Probabilitas memenangkan setidaknya dua puluh rubel adalah P (A) + P (B) + P (C). Huruf P menunjukkan kemungkinan terjadinya peristiwa ini, kami telah menemukannya di tindakan sebelumnya. Tetap hanya menambahkan data yang diperlukan, dalam jawaban kita mendapatkan 0,061. Nomor ini akan menjadi jawaban untuk pertanyaan tugas.

Dek kartu

Masalah teori probabilitas bisa lebih kompleks, misalnya, mari kita ambil tugas berikut. Ini adalah setumpuk tiga puluh enam kartu. Tugas Anda adalah menggambar dua kartu berturut-turut tanpa mencampur tumpukan, kartu pertama dan kedua harus ace, suit tidak masalah.

Pertama, mari kita cari probabilitas bahwa kartu pertama adalah kartu As, untuk ini kita bagi empat dengan tiga puluh enam. Mereka mengesampingkannya. Kami mengeluarkan kartu kedua, itu akan menjadi kartu as dengan probabilitas tiga tiga puluh lima. Kemungkinan acara kedua tergantung pada kartu mana yang kita ambil terlebih dahulu, kita bertanya-tanya apakah itu kartu As atau bukan. Dari sini dapat disimpulkan bahwa kejadian B bergantung pada kejadian A.

Langkah selanjutnya adalah mencari peluang terjadinya serentak, yaitu mengalikan A dan B. Hasil perkaliannya diperoleh sebagai berikut: peluang suatu peristiwa dikalikan dengan peluang bersyarat dari peristiwa lain, yang kita hitung, dengan asumsi bahwa yang pertama peristiwa terjadi, yaitu, kami menggambar ace dengan kartu pertama.

Untuk memperjelas semuanya, kami akan memberikan penunjukan pada elemen seperti peristiwa. Ini dihitung, dengan asumsi bahwa peristiwa A telah terjadi. Dihitung sebagai berikut: P(B/A).

Mari kita lanjutkan menyelesaikan masalah kita: P (A * B) = P (A) * P (B / A) atau P (A * B) = P (B) * P (A / B). Probabilitasnya adalah (4/36) * ((3/35) / (4/36). Hitung, pembulatan ke ratusan terdekat. Kami memiliki: 0,11 * (0,09 / 0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Probabilitas bahwa kita akan menggambar dua kartu As berturut-turut sama dengan sembilan ratus Nilainya sangat kecil, yang berarti bahwa kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut sangat kecil.

nomor yang terlupakan

Kami mengusulkan untuk menganalisis beberapa opsi lagi untuk tugas-tugas yang dipelajari oleh teori probabilitas. Anda telah melihat contoh penyelesaian beberapa di antaranya di artikel ini, mari kita coba selesaikan masalah berikut: bocah itu lupa digit terakhir nomor telepon temannya, tetapi karena panggilan itu sangat penting, dia mulai memutar semuanya secara bergantian. Kita perlu menghitung probabilitas bahwa dia akan menelepon tidak lebih dari tiga kali. Solusi untuk masalah ini adalah yang paling sederhana jika aturan, hukum, dan aksioma dari teori probabilitas diketahui.

Sebelum melihat solusinya, coba selesaikan sendiri. Kita tahu bahwa digit terakhir bisa dari nol hingga sembilan, yaitu, hanya ada sepuluh nilai. Peluang mendapatkan yang dibutuhkan adalah 1/10.

Selanjutnya, kita perlu mempertimbangkan opsi untuk asal acara, misalkan anak laki-laki itu menebak dengan benar dan segera mengetik yang diinginkan, probabilitas kejadian tersebut adalah 1/10. Opsi kedua: panggilan pertama meleset, dan yang kedua tepat sasaran. Mari kita hitung probabilitas kejadian seperti itu: kalikan 9/10 dengan 1/9, pada akhirnya kita juga mendapatkan 1/10. Opsi ketiga: panggilan pertama dan kedua berada di alamat yang salah, hanya dari yang ketiga anak laki-laki itu mendapatkan tempat yang diinginkannya. Kami menghitung probabilitas peristiwa seperti itu: kalikan 9/10 dengan 8/9 dan dengan 1/8, kami mendapatkan 1/10 sebagai hasilnya. Kami tidak tertarik dengan opsi lain sesuai dengan kondisi masalahnya, jadi kami harus menjumlahkan hasil yang diperoleh, pada akhirnya kami memiliki 3/10. Jawaban: Peluang seorang anak laki-laki akan menelepon tidak lebih dari tiga kali adalah 0,3.

Kartu angka

Ada sembilan kartu di depan Anda, yang masing-masing memiliki angka dari satu hingga sembilan tertulis, angkanya tidak berulang. Mereka dimasukkan ke dalam kotak dan dicampur secara menyeluruh. Anda perlu menghitung probabilitas bahwa

nomor genap akan dijatuhkan;
dua digit.

Sebelum melanjutkan ke solusi, mari kita tentukan bahwa m adalah jumlah kasus yang berhasil, dan n adalah jumlah opsi. Mari kita cari peluang munculnya bilangan genap. Tidak akan sulit untuk menghitung bahwa ada empat angka genap, ini akan menjadi m kami, total sembilan opsi dimungkinkan, yaitu, m = 9. Maka peluangnya adalah 0,44 atau 4/9.

Pertimbangkan kasus kedua: jumlah opsi adalah sembilan, tetapi tidak ada hasil yang berhasil sama sekali, yaitu, m sama dengan nol. Probabilitas bahwa kartu yang ditarik akan berisi nomor dua digit juga nol.

Teori probabilitas adalah cabang matematika yang mempelajari hukum fenomena acak: peristiwa acak, variabel acak, sifat dan operasinya.

Untuk waktu yang lama, teori probabilitas tidak memiliki definisi yang jelas. Itu baru dirumuskan pada tahun 1929. Munculnya teori probabilitas sebagai ilmu dikaitkan dengan Abad Pertengahan dan upaya pertama dalam analisis matematika perjudian (koin, dadu, roulette). Matematikawan Prancis abad ke-17 Blaise Pascal dan Pierre Fermat, menyelidiki prediksi kemenangan dalam perjudian, menemukan hukum probabilitas pertama yang muncul dari lemparan dadu.

Teori probabilitas muncul sebagai ilmu dari keyakinan bahwa pola-pola tertentu terletak di jantung peristiwa massa acak. Teori probabilitas mempelajari pola-pola ini.

Teori probabilitas berkaitan dengan studi tentang peristiwa, yang kejadiannya tidak diketahui secara pasti. Ini memungkinkan Anda untuk menilai tingkat kemungkinan terjadinya beberapa peristiwa dibandingkan dengan yang lain.

Sebagai contoh: tidak mungkin untuk menentukan dengan jelas hasil mendapatkan "kepala" atau "ekor" sebagai hasil dari lemparan koin, tetapi dengan lemparan berulang, kira-kira jumlah "kepala" dan "ekor" yang hilang, yang berarti bahwa probabilitas mendapatkan "kepala" atau "ekor" "sama dengan 50%.

Tes dalam hal ini, penerapan serangkaian kondisi tertentu disebut, yaitu, dalam hal ini, melempar koin. Tantangannya dapat dimainkan dalam jumlah yang tidak terbatas. Dalam hal ini, kompleks kondisi mencakup faktor acak.

Hasil tesnya adalah peristiwa... Peristiwa terjadi:

Kredibel (selalu terjadi sebagai hasil tes).
Mustahil (tidak pernah terjadi).
Tidak disengaja (mungkin atau mungkin tidak terjadi sebagai akibat dari tes).

Misalnya, ketika sebuah koin dilempar, sebuah peristiwa yang tidak mungkin - koin akan berada di tepi, peristiwa acak - jatuhnya "kepala" atau "ekor". Hasil tes khusus disebut acara dasar... Sebagai hasil dari tes, hanya peristiwa dasar yang terjadi. Totalitas dari semua hasil tes yang mungkin, berbeda, dan spesifik disebut ruang acara dasar.

Konsep dasar teori

Kemungkinan- tingkat kemungkinan asal mula peristiwa. Ketika alasan untuk beberapa peristiwa yang mungkin benar-benar terjadi lebih besar daripada alasan yang berlawanan, maka peristiwa itu disebut kemungkinan, jika tidak, atau tidak mungkin.

Nilai acak adalah suatu nilai yang, sebagai hasil pengujian, dapat mengambil nilai tertentu, dan tidak diketahui sebelumnya yang mana. Misalnya: jumlah ke stasiun pemadam kebakaran per hari, jumlah hit dengan 10 tembakan, dll.

Variabel acak dapat dibagi menjadi dua kategori.

Variabel acak diskrit adalah besaran yang, sebagai hasil dari pengujian, dapat mengambil nilai-nilai tertentu dengan probabilitas tertentu, membentuk himpunan yang dapat dihitung (kumpulan yang elemen-elemennya dapat diberi nomor). Himpunan ini bisa berhingga dan tak berhingga. Misalnya, jumlah tembakan sebelum pukulan pertama pada target adalah variabel acak diskrit, karena nilai ini dapat mengambil jumlah nilai yang tak terbatas, meskipun dapat dihitung.
Variabel acak kontinu kuantitas seperti itu disebut yang dapat mengambil nilai apa pun dari interval terbatas atau tak terbatas tertentu. Jelas, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu tidak terbatas.

Ruang probabilitas- sebuah konsep yang diperkenalkan oleh A.N. Kolmogorov pada 30-an abad XX untuk memformalkan konsep probabilitas, yang memunculkan perkembangan pesat teori probabilitas sebagai disiplin matematika yang ketat.

Ruang probabilitas adalah triplet (kadang-kadang dikelilingi oleh kurung sudut :, di mana

Ini adalah himpunan arbitrer, yang elemen-elemennya disebut peristiwa, hasil, atau poin elementer;
- sigma-aljabar himpunan bagian yang disebut peristiwa (acak);
- ukuran atau probabilitas probabilistik, mis. ukuran terbatas sigma-aditif sehingga.

Teorema Moivre-Laplace- salah satu teorema limit dari teori probabilitas, yang dibuat oleh Laplace pada tahun 1812. Dia berpendapat bahwa jumlah keberhasilan dengan beberapa pengulangan dari percobaan acak yang sama dengan dua hasil yang mungkin memiliki distribusi yang mendekati normal. Ini memungkinkan Anda untuk menemukan nilai perkiraan probabilitas.

Jika, untuk setiap pengujian independen, peluang terjadinya suatu kejadian acak sama dengan () dan merupakan jumlah pengujian yang benar-benar terjadi, maka peluang pertidaksamaan tersebut mendekati (untuk besar) dengan nilai integral Laplace.

Fungsi distribusi dalam teori probabilitas- fungsi yang mencirikan distribusi variabel acak atau vektor acak; probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai kurang dari atau sama dengan x, di mana x adalah bilangan real arbitrer. Jika kondisi tertentu terpenuhi, itu sepenuhnya menentukan variabel acak.

Nilai yang diharapkan- nilai rata-rata dari variabel acak (ini adalah distribusi probabilitas dari variabel acak, dipertimbangkan dalam teori probabilitas). Dalam literatur berbahasa Inggris, ini dilambangkan dengan, dalam bahasa Rusia -. Dalam statistik, notasi sering digunakan.

Biarkan ruang probabilitas dan variabel acak yang ditentukan di dalamnya diberikan. Artinya, menurut definisi, itu adalah fungsi yang dapat diukur. Kemudian, jika terdapat integral Lebesgue dari ruang, maka disebut ekspektasi matematis, atau nilai rata-rata dan dinotasikan.

Varians dari variabel acak- ukuran penyebaran variabel acak yang diberikan, yaitu, penyimpangannya dari ekspektasi matematis. Ini ditunjukkan dalam sastra Rusia dan dalam sastra asing. Dalam statistika, sebutan atau sering digunakan. Akar kuadrat dari varians disebut standar deviasi, standar deviasi, atau standar deviasi.

Membiarkan menjadi variabel acak yang didefinisikan pada ruang probabilitas tertentu. Kemudian

di mana simbol menunjukkan harapan matematis.

Dalam teori probabilitas, dua peristiwa acak disebut Mandiri jika terjadinya salah satunya tidak mengubah kemungkinan terjadinya yang lain. Demikian pula, dua variabel acak disebut bergantung jika nilai salah satunya mempengaruhi probabilitas nilai yang lain.

Bentuk paling sederhana dari hukum bilangan besar adalah teorema Bernoulli, yang menyatakan bahwa jika peluang suatu kejadian sama pada semua percobaan, maka dengan bertambahnya jumlah percobaan, frekuensi kejadian cenderung ke peluang terjadinya peristiwa dan berhenti menjadi acak.

Hukum bilangan besar dalam teori probabilitas menyatakan bahwa rata-rata aritmatika sampel hingga dari distribusi tetap dekat dengan harapan matematis rata-rata teoretis dari distribusi itu. Tergantung pada jenis konvergensi, perbedaan dibuat antara hukum lemah bilangan besar, ketika ada konvergensi dalam probabilitas, dan hukum kuat bilangan besar, ketika konvergensi hampir pasti.

Arti umum dari hukum bilangan besar adalah bahwa aksi bersama dari sejumlah besar faktor acak yang identik dan independen mengarah pada hasil yang tidak bergantung pada kasus di limit.

Metode untuk memperkirakan probabilitas berdasarkan analisis sampel hingga didasarkan pada properti ini. Contoh ilustratifnya adalah prakiraan hasil pemilu berdasarkan jajak pendapat dari sampel pemilih.

Teorema limit pusat- kelas teorema dalam teori probabilitas, yang menyatakan bahwa jumlah dari sejumlah besar variabel acak bergantung lemah yang memiliki skala yang kira-kira sama (tidak ada suku yang mendominasi, tidak memberikan kontribusi yang menentukan pada jumlah) memiliki distribusi mendekati normal.

Karena banyak variabel acak dalam aplikasi terbentuk di bawah pengaruh beberapa faktor acak yang bergantung lemah, distribusinya dianggap normal. Dalam hal ini harus dipenuhi syarat bahwa tidak ada faktor yang dominan. Teorema limit pusat dalam kasus ini membenarkan penerapan distribusi normal.