Ters matrisi kontrol edin. Slough'u çözmek için matris yöntemi: ters matris kullanarak çözme örneği. Bilinmeyenlerin Gauss Eliminasyonu ile Ters Matrisi Bulma
Tipik olarak, karmaşık cebirsel ifadeleri basitleştirmek için ters işlemler kullanılır. Örneğin, problem bir kesre bölme işlemini içeriyorsa, bunun yerine ters işlem olan bir ters ile çarpma işlemi koyabilirsiniz. Ayrıca matrisler bölünemez, bu nedenle ters matrisle çarpmanız gerekir. 3x3'lük bir matrisin tersini hesaplamak oldukça zahmetlidir, ancak bunu manuel olarak yapabilmeniz gerekir. Ayrıca iyi bir grafik hesap makinesi ile karşılıklı bulabilirsiniz.
adımlar
Ekli matrisi kullanma
Orijinal matrisi transpoze edin. Yer değiştirme, matrisin ana köşegenine göre satırların sütunlarla değiştirilmesidir, yani (i, j) ve (j, i) öğelerini değiştirmeniz gerekir. Bu durumda, ana köşegenin elemanları (sol üst köşede başlar ve sağ alt köşede biter) değişmez.
- Satırları sütunlarla değiştirmek için, ilk satırın öğelerini birinci sütuna, ikinci satırın öğelerini ikinci sütuna ve üçüncü satırın öğelerini üçüncü sütuna yazın. Elemanların konumunu değiştirme sırası, karşılık gelen elemanların renkli dairelerle daire içine alındığı şekilde gösterilmiştir.
Her 2x2 matrisin tanımını bulun. Aktarılan da dahil olmak üzere herhangi bir matrisin her elemanı, karşılık gelen 2x2 matris ile ilişkilendirilir. Belirli bir öğeye karşılık gelen 2x2'lik bir matris bulmak için, bu öğenin bulunduğu satır ve sütunun üzerini çizin, yani orijinal 3x3 matrisinin beş öğesinin üzerini çizmeniz gerekir. Karşılık gelen 2x2 matrisinin öğeleri olan dört öğenin üzeri çizilmeden kalacaktır.
- Örneğin, ikinci satır ile birinci sütunun kesişim noktasında bulunan elemanın 2x2 matrisini bulmak için, ikinci satır ve birinci sütundaki beş elemanın üzerini çiziniz. Kalan dört öğe, karşılık gelen 2x2 matrisinin öğeleridir.
- Her 2x2 matrisin determinantını bulun. Bunu yapmak için, ikincil köşegenin elemanlarının çarpımını ana köşegenin elemanlarının ürününden çıkarın (şekle bakın).
- 3x3 matrisin belirli öğelerine karşılık gelen 2x2 matrisler hakkında ayrıntılı bilgi İnternette bulunabilir.
Bir kofaktör matrisi oluşturun. Daha önce elde edilen sonuçları yeni bir kofaktör matrisi şeklinde kaydedin. Bunu yapmak için, 3x3 matrisin karşılık gelen elemanının bulunduğu her 2x2 matrisin bulunan determinantını yazın. Örneğin (1,1) elemanı için 2x2'lik bir matris düşünülürse, determinantını (1,1) konumuna yazın. Ardından, şekilde gösterilen belirli bir desene göre karşılık gelen elemanların işaretlerini değiştirin.
- İşaret değiştirme şeması: ilk satırın ilk öğesinin işareti değişmez; ilk satırın ikinci elemanının işareti tersine çevrilir; ilk satırın üçüncü öğesinin işareti değişmez ve böylece satır satır. Lütfen şemada (şekle bakınız) gösterilen "+" ve "-" işaretlerinin ilgili elemanın pozitif veya negatif olacağını göstermediğine dikkat edin. Bu durumda "+" işareti elemanın işaretinin değişmediğini, "-" işareti ise elemanın işaretinin değiştiğini gösterir.
- Kofaktör matrisleri hakkında detaylı bilgi internette bulunabilir.
- Orijinal matrisin ilişkili matrisini bu şekilde bulursunuz. Bazen karmaşık eşlenik matris olarak adlandırılır. Böyle bir matris adj(M) olarak gösterilir.
Adjoint matrisin her bir elemanını determinant ile bölün. M matrisinin determinantı, ters matrisin var olduğunu kontrol etmek için en baştan hesaplandı. Şimdi, birleşik matrisin her bir elemanını bu determinantla bölün. Karşılık gelen elemanın bulunduğu her bölme işleminin sonucunu kaydedin. Böylece orijinalin tersi olan matrisi bulacaksınız.
- Şekilde gösterilen matrisin determinantı 1'dir. Dolayısıyla buradaki ilişkili matris ters matristir (çünkü herhangi bir sayıyı 1'e bölmek onu değiştirmez).
- Bazı kaynaklarda bölme işlemi 1/det(M) ile çarpma işlemi ile değiştirilir. Bu durumda sonuç değişmez.
Ters matrisi yazın. Büyük matrisin sağ yarısında yer alan elemanları ters matris olan ayrı bir matris olarak yazın.
Hesap makinesi kullanma
Matrislerle çalışan bir hesap makinesi seçin. Basit hesap makineleri ters matrisi bulamaz, ancak Texas Instruments TI-83 veya TI-86 gibi iyi bir grafik hesap makinesi ile yapılabilir.
Orijinal matrisi hesap makinesinin belleğine girin. Bunu yapmak için varsa Matrix düğmesine tıklayın. Texas Instruments hesap makinesi için 2. ve Matrix düğmelerine basmanız gerekebilir.
Düzenle menüsünü seçin. Bunu ok düğmelerini veya hesap makinesi klavyesinin üst kısmında bulunan ilgili işlev düğmesini kullanarak yapın (düğmenin konumu hesap makinesi modeline bağlıdır).
Matris tanımını girin.Çoğu grafik hesap makinesi, gösterilebilen 3-10 matrisle çalışabilir. A-J harfleri. Genel bir kural olarak, orijinal matrisi belirtmek için sadece [A]'yı seçin. Ardından Giriş düğmesine basın.
Matris boyutunu girin. Bu makale 3x3 matrislerden bahsediyor. Ancak grafik hesap makineleri büyük matrislerle çalışabilir. Satır sayısını girin, Giriş düğmesine basın, ardından sütun sayısını girin ve tekrar Giriş düğmesine basın.
Matrisin her bir öğesini girin. Hesap makinesi ekranında bir matris görüntülenecektir. Hesap makinesine daha önce bir matris girilmişse, ekranda görünecektir. İmleç, matrisin ilk öğesini vurgulayacaktır. İlk elemanın değerini girin ve Enter'a basın. İmleç otomatik olarak matrisin sonraki elemanına hareket edecektir.
Bir kare matris düşünün. Δ = det A ile onun determinantını belirtin. Çarpımı A*B = B*A = E ise, aynı dereceden bir A karesi için B karesi (OM)'dir; burada E, A ve B ile aynı dereceden kimlik matrisidir.
A karesi, determinantı sıfır değilse dejenere olmayan veya tekil olmayan ve Δ = 0 ise dejenere veya özel olarak adlandırılır.
Teorem. A'nın tersinin olması için determinantının sıfırdan farklı olması gerekli ve yeterlidir.
(OM) A, A -1 ile gösterilir, böylece B \u003d A -1 ve formülle hesaplanır
, (1)
nerede А ben j - a ben j , Δ = detA öğelerinin cebirsel tamamlayıcıları.
Yüksek dereceli matrisler için formül (1) ile A-1'i hesaplamak çok zahmetlidir, bu nedenle pratikte temel dönüşümler (EP) yöntemini kullanarak A-1'i bulmak uygundur. Yalnızca sütunların (veya yalnızca satırların) EP'si aracılığıyla herhangi bir tekil olmayan A, birim E'ye indirgenebilir. A matrisi üzerinde gerçekleştirilen EP'ler, E birimine aynı sırada uygulanırsa, sonuç A-1 olacaktır. Aynı anda A ve E üzerinde bir EP yapmak, A|E satırı boyunca her ikisini yan yana yazarak uygun olur. A -1 bulmak istiyorsanız, dönüşümlerinizde yalnızca satırları veya yalnızca sütunları kullanmalısınız.
Cebirsel Tamamlayıcıları Kullanarak Ters Matrisi Bulma
örnek 1. İçin 
A-1'i bulun.
Çözüm.İlk önce determinant A'yı buluyoruz. 
dolayısıyla, (OM) vardır ve onu şu formülle bulabiliriz: 
, burada A i j (i,j=1,2,3) - orijinal A'nın a i j öğelerinin cebirsel tamamlayıcıları.
a ij öğesinin cebirsel tümleyeni, determinant veya Min ij'dir. i sütunu ve j satırı silinerek elde edilir. Küçük, daha sonra (-1) i+j ile çarpılır, yani. A ij =(-1) i+j M ij
nerede 
.
Temel dönüşümleri kullanarak ters matrisi bulma
Örnek 2. Temel dönüşümler yöntemini kullanarak, A -1'i şu şekilde bulun: A \u003d.
Çözüm. Sağdaki orijinal A'ya aynı dereceden bir birim atfediyoruz: 
. Temel sütun dönüşümlerinin yardımıyla, aynı anda tam olarak bu tür dönüşümleri sağ "yarım" üzerinde gerçekleştirerek sol "yarım" ı birime indirgeriz.
Bunu yapmak için birinci ve ikinci sütunları değiştirin: 
~
. İlkini üçüncü sütuna, birinciyi ikinciye -2 ile çarparız: 
. İlk sütundan ikiye katlanan saniyeyi ve üçüncüsünden - ikincisi 6 ile çarpılır; 
. Üçüncü sütunu birinci ve ikinciye ekleyelim: 
. Son sütunu -1 ile çarpın: 
. Dikey çubuğun sağında elde edilen kare tablo A -1'in tersidir. Böyle, 
.
n. dereceden bir kare matris olsun
Matris A -1 denir ters matris A matrisi ile ilgili olarak, eğer A * A -1 = E ise, burada E, n. mertebeden birim matrisidir.
kimlik matrisi- sol üst köşeden sağ alt köşeye geçen ana köşegen boyunca tüm öğelerin bir olduğu ve geri kalanının sıfır olduğu böyle bir kare matris, örneğin:
ters matris var olabilir sadece kare matrisler içinşunlar. Aynı sayıda satır ve sütuna sahip matrisler için.
Ters Matris Varlık Koşul Teoremi
Bir matrisin ters matrise sahip olması için dejenere olmaması gerekli ve yeterlidir.
A = (A1, A2,...A n) matrisine denir dejenere olmayan sütun vektörleri lineer bağımsız ise. Bir matrisin lineer bağımsız sütun vektörlerinin sayısına matrisin rankı denir. Dolayısıyla bir ters matrisin var olması için matrisin rankının kendi boyutuna eşit olması, yani. r = n.
Ters matrisi bulmak için algoritma
- Gauss yöntemiyle denklem sistemlerini çözmek için tabloya A matrisini yazın ve sağda (denklemlerin doğru kısımlarının yerine) ona E matrisini atayın.
- Jordan dönüşümlerini kullanarak, A matrisini tek sütunlardan oluşan bir matrise getirin; bu durumda, E matrisini aynı anda dönüştürmek gerekir.
- Gerekirse, son tablonun satırlarını (denklemlerini) orijinal tablonun A matrisi altında E birim matrisi elde edilecek şekilde yeniden düzenleyin.
- Son tablodaki A -1 ters matrisini orijinal tablonun E matrisinin altına yazın.
A matrisi için A -1 ters matrisini bulun
Çözüm: A matrisini yazıyoruz ve sağda E birim matrisini atayıyoruz. Jordan dönüşümlerini kullanarak A matrisini E birim matrisine indirgiyoruz. Hesaplamalar Tablo 31.1'de gösterilmektedir.
Orijinal matris A ile ters matris A -1'i çarparak hesaplamaların doğruluğunu kontrol edelim.
Matris çarpımı sonucunda birim matris elde edilir. Bu nedenle, hesaplamalar doğrudur.
Yanıt vermek: 
matris denklemlerinin çözümü
Matris denklemleri şöyle görünebilir:
AX = B, XA = B, AXB = C,
A, B, C matrisleri verildiğinde, X istenen matristir.
Matris denklemleri, denklemin ters matrislerle çarpılmasıyla çözülür.
Örneğin, bir denklemden matrisi bulmak için bu denklemi soldaki ile çarpmanız gerekir.
Bu nedenle denklemin çözümünü bulmak için ters matrisi bulup denklemin sağ tarafındaki matrisle çarpmanız gerekir.
Diğer denklemler de benzer şekilde çözülür.
AX = B denklemini çözün 
Çözüm: Matrisin tersi eşit olduğundan (bkz. örnek 1)
Ekonomik analizde matris yöntemi
Diğerleriyle birlikte, onlar da uygulama buluyor matris yöntemleri. Bu yöntemler lineer ve vektör matris cebirine dayanmaktadır. Bu tür yöntemler, karmaşık ve çok boyutlu ekonomik olguları analiz etmek amacıyla kullanılır. Çoğu zaman, bu yöntemler, kuruluşların işleyişini ve yapısal bölümlerini karşılaştırmak gerektiğinde kullanılır.
Matris analiz yöntemlerini uygulama sürecinde, birkaç aşama ayırt edilebilir.
ilk aşamada bir ekonomik göstergeler sisteminin oluşumu gerçekleştirilir ve temelinde, sistem numaralarının kendi satırlarında gösterildiği bir tablo olan bir ilk veri matrisi derlenir. (i = 1,2,....,n) ve dikey grafikler boyunca - göstergelerin sayısı (j = 1,2,....,m).
ikinci aşamada her dikey sütun için, bir birim olarak alınan göstergelerin mevcut değerlerinin en büyüğü ortaya çıkar.
Bundan sonra, bu sütuna yansıtılan tüm miktarlar en büyük değere bölünür ve standartlaştırılmış katsayılardan oluşan bir matris oluşturulur.
üçüncü aşamada matrisin tüm bileşenlerinin karesi alınır. Farklı önemleri varsa, matrisin her bir göstergesine belirli bir ağırlık katsayısı atanır. k. İkincisinin değeri bir uzman tarafından belirlenir.
son olarak dördüncü aşama reytinglerin bulunan değerleri Rj artan veya azalan sırasına göre gruplandırılmıştır.
Yukarıdaki matris yöntemleri, örneğin, çeşitli yatırım projelerinin karşılaştırmalı bir analizinde ve ayrıca kuruluşların diğer ekonomik performans göstergelerinin değerlendirilmesinde kullanılmalıdır.
Matris A -1, A * A -1 \u003d E ise, A matrisine göre ters matris olarak adlandırılır, burada E, n'inci sıranın kimlik matrisidir. Ters matris sadece kare matrisler için var olabilir.
Servis ataması. Bu hizmeti çevrimiçi kullanarak cebirsel eklemeler, transpoze matris A T , birleşim matrisi ve ters matris bulabilirsiniz. Çözüm doğrudan sitede (çevrimiçi) gerçekleştirilir ve ücretsizdir. Hesaplama sonuçları bir rapor halinde Word formatında ve Excel formatında sunulur (yani çözümü kontrol etmek mümkündür). tasarım örneğine bakın.
Talimat. Bir çözüm elde etmek için matrisin boyutunu belirtmelisiniz. Ardından, yeni iletişim kutusunda A matrisini doldurun.
Ayrıca bkz. Jordan-Gauss Metodu ile Ters Matris
Ters matrisi bulmak için algoritma
- Transpoze edilmiş matrisi bulma A T .
- Cebirsel eklemelerin tanımı. Matrisin her bir elemanını cebirsel tamamlayıcısı ile değiştirin.
- Cebirsel eklemelerden bir ters matrisin derlenmesi: ortaya çıkan matrisin her bir elemanı, orijinal matrisin determinantına bölünür. Ortaya çıkan matris, orijinal matrisin tersidir.
- Matrisin kare olup olmadığını belirleyin. Değilse, bunun için ters matris yoktur.
- A matrisinin determinantının hesaplanması . Sıfıra eşit değilse çözüme devam ederiz, aksi takdirde ters matris yoktur.
- Cebirsel eklemelerin tanımı.
- Birleşim (karşılıklı, birleşik) matrisinin doldurulması C .
- Cebirsel toplamalardan ters matrisin derlenmesi: birleşik matris C'nin her bir elemanı orijinal matrisin determinantına bölünür. Ortaya çıkan matris, orijinal matrisin tersidir.
- Bir kontrol yapın: orijinali ve elde edilen matrisleri çarpın. Sonuç bir kimlik matrisi olmalıdır.
Örnek 1. Matrisi şu şekilde yazıyoruz:
| bir -1 = |
|
Ters matrisi bulmak için başka bir algoritma
Ters matrisi bulmak için başka bir şema sunuyoruz.- Verilen A kare matrisinin determinantını bulun.
- A matrisinin tüm elemanlarına cebirsel eklemeler buluyoruz.
- Satırların elemanlarının cebirsel tümleyenlerini sütunlara yazarız (transpozisyon).
- Elde edilen matrisin her bir elemanını A matrisinin determinantına böleriz.
özel bir durum: E birim matrisine göre tersi, E birim matrisidir.