Matematik,
doğru bakarsan,
sadece gerçeği yansıtmakla kalmaz,
ama aynı zamanda eşsiz güzellik.
Bertrand Russell.

Fraktalları kesinlikle duymuşsunuzdur. Bryce3d'den gerçekliğin kendisinden daha gerçek olan bu nefes kesici görüntüleri kesinlikle görmüşsünüzdür. Dağlar, bulutlar, ağaç kabuğu - tüm bunlar olağan Öklid geometrisinin ötesine geçer. Adanın taşını veya sınırlarını çizgiler, daireler ve üçgenlerle tarif edemeyiz. Ve burada fraktallar kurtarmaya geliyor. Nedir bu tanıdık yabancılar? Ne zaman ortaya çıktılar?

Görünüm tarihi.

Fraktal geometrinin ilk fikirleri 19. yüzyılda ortaya çıktı. Cantor, basit bir özyinelemeli (tekrarlayan) prosedür kullanarak, çizgiyi bir dizi bağlantısız noktaya (Cantor'un Tozu olarak adlandırılan) dönüştürdü. Bir çizgi aldı ve ortadaki üçüncüyü çıkardı ve ardından kalan bölümlerle aynı şeyi tekrarladı. Peano özel bir çizgi çizdi (resim #1). Bunu çizmek için Peano aşağıdaki algoritmayı kullandı.

İlk adımda düz bir çizgi aldı ve onu orijinal çizginin uzunluğundan 3 kat daha kısa 9 parça ile değiştirdi (Şekil 1, Kısım 1 ve 2). Sonra aynı şeyi ortaya çıkan çizginin her bir parçası için yaptı. Ve böylece sonsuza kadar. Benzersizliği, tüm düzlemi doldurmasıdır. Düzlemdeki her nokta için Peano doğrusuna ait bir nokta bulunabileceği kanıtlanmıştır. Peano'nun Eğrisi ve Cantor'un Tozu sıradan geometrik nesnelerin ötesine geçti. Net bir ölçüleri yoktu. Cantor'un tozu, tek boyutlu bir düz çizgi temelinde inşa edildi, ancak noktalardan oluşuyordu (boyut 0). Ve Peano eğrisi tek boyutlu bir çizgi temelinde inşa edildi ve sonuç bir düzlemdi. Bilimin diğer birçok alanında, çözümü yukarıda açıklananlar gibi garip sonuçlara yol açan sorunlar ortaya çıktı (Brown hareketi, hisse senedi fiyatları).

fraktalların babası

20. yüzyıla kadar, bu tür garip nesneler hakkında, onları sistematikleştirmeye yönelik herhangi bir girişim olmaksızın bir veri birikimi vardı. Bu, modern fraktal geometrinin ve fraktal kelimesinin babası Benoit Mandelbrot'un onları ele geçirmesine kadardı. IBM'de matematiksel analist olarak çalışırken, elektronik devrelerde istatistiklerle tanımlanamayan gürültü üzerine çalıştı. Yavaş yavaş gerçekleri karşılaştırarak, matematikte yeni bir yönün keşfine geldi - fraktal geometri.

Fraktal nedir. Mandelbrot, fraktal kelimesini, kırık (parçalara ayrılmış) anlamına gelen Latince fractus kelimesinden türetmiştir. Ve bir fraktalın tanımlarından biri, parçalardan oluşan ve her biri bütünün küçültülmüş bir kopyasını (en azından yaklaşık olarak) temsil edecek parçalara bölünebilen geometrik bir şekildir.

Bir fraktal daha açık bir şekilde hayal etmek için, B. Mandelbrot'un “Doğanın Fraktal Geometrisi” kitabında verilen ve klasik hale gelen “Britanya kıyıları ne kadardır?” Örneği düşünün. Bu sorunun cevabı göründüğü kadar basit değil. Her şey kullanacağımız aletin uzunluğuna bağlıdır. Sahili bir kilometre cetveliyle ölçtükten sonra biraz uzunluk elde ederiz. Ancak, cetvelimizden çok daha küçük olan birçok küçük koy ve yarımadayı atlayacağız. Cetvelin boyutunu 1 metreye indirerek, manzaranın bu ayrıntılarını dikkate alacağız ve buna bağlı olarak kıyı uzunluğu artacaktır. Devam edelim ve bir milimetre cetveli kullanarak kıyı uzunluğunu ölçelim, burada bir milimetreden fazla olan detayları dikkate alacağız, uzunluk daha da büyük olacaktır. Sonuç olarak, görünüşte basit bir sorunun cevabı herkesi şaşırtabilir - Britanya kıyılarının uzunluğu sonsuzdur.

Boyutlar hakkında biraz.

Günlük hayatımızda sürekli boyutlarla karşılaşırız. Yolun uzunluğunu (250 m) tahmin ediyoruz, dairenin alanını (78 m2) buluyoruz ve etikette bir bira şişesinin (0.33 dm3) hacmini arıyoruz. Bu kavram sezgisel olarak oldukça açıktır ve öyle görünüyor ki, açıklama gerektirmiyor. Çizginin boyutu 1'dir. Bu, bir referans noktası seçtikten sonra, pozitif veya negatif 1 sayı kullanarak bu çizgi üzerindeki herhangi bir noktayı tanımlayabileceğimiz anlamına gelir. Ve bu tüm çizgiler için geçerlidir - bir daire, bir kare, bir parabol, vb.

Boyut 2, herhangi bir noktayı iki sayı ile benzersiz bir şekilde tanımlayabileceğimiz anlamına gelir. İki boyutlunun düz anlamına geldiğini düşünmeyin. Bir kürenin yüzeyi de iki boyutludur (iki değer kullanılarak tanımlanabilir - genişlik ve boylam gibi açılar).

Matematiksel bir bakış açısından, boyut şu şekilde belirlenir: tek boyutlu nesneler için - doğrusal boyutlarını iki katına çıkarmak, boyutta (bu durumda uzunluk) iki kez (2 ^ 1) bir artışa yol açar.

2B nesneler için doğrusal boyutları iki katına çıkarmak, boyutu (örneğin, bir dikdörtgenin alanı) (2 ^ 2) dört katına çıkaracaktır.

3-B nesneler için, doğrusal boyutlarda iki kat artış, hacimde sekiz kat (2 ^ 3) artışa yol açar ve bu böyle devam eder.

Böylece, D boyutu, S nesnesinin "boyutundaki" artışın L doğrusal boyutlarındaki artışa bağımlılığına dayalı olarak hesaplanabilir. D = log (S) / log (L). D satırı için = log (2) / log (2) = 1. Düzlem için D = log (4) / log (2) = 2. Hacim için D = log (8) / log (2) = 3. Biraz kafa karıştırıcı olabilir ama genel olarak zor ve anlaşılır değil.

Bütün bunları neden anlatıyorum? Ve fraktalları örneğin sosisten nasıl ayıracağımızı anlamak için. Peano eğrisinin boyutunu hesaplamaya çalışalım. Böylece, X uzunluğundaki üç parçadan oluşan orijinal çizgimiz, üç kat daha kısa 9 parça ile değiştirilmiştir. Böylece, minimum segmentte 3 kat artışla, tüm çizginin uzunluğu 9 kat artar ve D = log (9) / log (3) = 2 - iki boyutlu bir nesne !!!

Yani, en basit nesnelerden (parçalardan) elde edilen şeklin boyutu bu nesnelerin boyutundan daha büyük olduğunda, bir fraktal ile uğraşıyoruz.

Fraktallar gruplara ayrılır. En büyük gruplar şunlardır:

Geometrik fraktallar.

Fraktalların tarihi onlarla birlikte başladı. Bu tür fraktal, basit geometrik yapılarla elde edilir. Genellikle, bu fraktalları oluştururken, aşağıdakiler yapılır: bir "tohum" alınır - bir aksiyom - fraktalın oluşturulacağı bir dizi segment. Daha sonra bu "tohum"a, onu bir tür geometrik şekle dönüştüren bir dizi kural uygulanır. Daha sonra, bu şeklin her bir parçasına aynı kurallar dizisi uygulanır. Her adımda, şekil giderek daha karmaşık hale gelecek ve (en azından zihnimizde) sonsuz sayıda dönüşüm gerçekleştirirsek, geometrik bir fraktal elde edeceğiz.

Yukarıda tartışılan Peano eğrisi geometrik bir fraktaldır. Aşağıdaki şekil diğer geometrik fraktal örneklerini göstermektedir (soldan sağa Koch Kar Tanesi, Liszt, Sierpinski Üçgeni).

koch kar tanesi

Çarşaf

Sierpinski üçgeni

Bu geometrik fraktallardan ilki olan Koch kar tanesi çok ilginç ve oldukça ünlüdür. Bir eşkenar üçgen temelinde inşa edilmiştir. Her satırın yerini ___, orijinal _ / \ _'nin 1/3 uzunluğunda 4 satır alır. Böylece, her yinelemede eğrinin uzunluğu üçte bir oranında artar. Ve sonsuz sayıda yineleme yaparsak, bir fraktal elde ederiz - sonsuz uzunlukta bir Koch kar tanesi. Sonsuz eğrimizin sınırlı bir alanı kapsadığı ortaya çıktı. Aynısını Öklid geometrisinden yöntemler ve şekiller kullanarak yapmaya çalışın.

Koch kar tanesinin boyutu (bir kar tanesi 3 kat büyüdüğünde uzunluğu 4 kat artar) D = log (4) / log (3) = 1.2619 ...

Sözde L-Sistemleri, geometrik fraktallar oluşturmak için çok uygundur. Bu sistemlerin özü, her biri belirli bir eylemi ve karakter dönüşümü için bir dizi kuralı ifade eden belirli bir sistem sembolleri kümesinin olmasıdır. Örneğin, Fractint programında L-Systems kullanarak bir Koch kar tanesini tanımlamak

; Mandelbrot'tan Doğanın Fraktal Geometrisinden Adrian Mariano koch1 ( ; dönme açısını ayarlayın 360/6 = 60 derece açı 6 ; İnşaat için ilk çizim Aksiyom F - F - F ; Karakter dönüştürme kuralı F = F + F - F + F)

Bu tarifte sembollerin geometrik anlamları şu şekildedir:

F, çekme çizgisi anlamına gelir + saat yönünde çevirin - saat yönünün tersine çevirin

Fraktalların ikinci özelliği kendine benzerliktir. Örneğin, Sierpinski üçgenini alın. Onu bir eşkenar üçgenin merkezinden oluşturmak için bir üçgeni "kesin". Aynı işlemi, oluşan üç üçgen için (merkezi hariç) ve sonsuza kadar tekrarlıyoruz. Şimdi oluşan üçgenlerden herhangi birini alıp büyütürsek, bütünün tam bir kopyasını alacağız. Bu durumda, tam bir özbenzerlik ile uğraşıyoruz.

Bu makaledeki fraktal çizimlerin çoğunun Fractint programı kullanılarak elde edildiğine dair hemen bir rezervasyon yapacağım. Fraktallarla ilgileniyorsanız, o zaman bu program sahip olmalı Senin için. Onun yardımıyla yüzlerce farklı fraktal oluşturabilir, onlar hakkında kapsamlı bilgi alabilir ve hatta fraktalların nasıl ses çıkardığını dinleyebilirsiniz;).

Programın iyi olduğunu söylemek hiçbir şey söylememektir. Bir şey dışında harika - en son sürüm 20.0 sadece DOS için mevcut :(. Bu programı (en son sürüm 20.0) http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html adresinde bulabilirsiniz.

yorum Yap

Yorumlar (1)

Bir atıştırma için ilginç bir örnek Microsoft Excel A2 ve B2 hücreleri 0 ile 1 arasında aynı değerlere sahiptir. 0,5 değerinde hiçbir etkisi yoktur.

Fratal'ın resmi üzerinde prog yapmayı başaran herkese merhaba. 2800 mH'lik bir taş üzerinde 100.000 dt yinelemeli bir 3d max substrat ile eğrelti otu fraktallarının temizlenmesini oluşturmak için hangi döngü yönteminin benim için daha iyi olduğunu kim söyleyebilir?

Dragon eğrisini çizmek için bir program içeren bir kaynak kodu da var, ayrıca bir fraktal.

Makale harika. Ve eski kürk ağacı muhtemelen bir yardımcı işlemci hatasıdır (son düşük dereceli bitlerde)

Fraktal nasıl keşfedildi

Fraktallar olarak bilinen matematiksel formlar, ünlü bilim adamı Benoit Mandelbrot'un dehasına aittir. Hayatının çoğu için ABD'de Yale Üniversitesi'nde matematik öğretti. 1977 - 1982'de Mandelbrot, "fraktal geometri" veya "doğanın geometrisi" çalışmasına ayrılmış, görünüşte rastgele matematiksel formları, daha yakından incelendiğinde, tekrarlayan kurucu öğelere ayırdığı ve varlığını kanıtlayan bilimsel çalışmalar yayınladı. kopyalamak için belirli bir desen ... Mandelbrot'un keşfinin fizik, astronomi ve biyolojinin gelişiminde önemli sonuçları oldu.

Doğada fraktallar

Doğada, birçok nesne fraktal özelliklere sahiptir, örneğin: ağaç taçları, karnabahar, bulutlar, insan ve hayvanların dolaşım ve alveolar sistemleri, kristaller, kar taneleri, elementleri tek bir karmaşık yapıda düzenlenmiş, kıyılar (fraktal kavramı bilim adamlarına izin verdi) Britanya Adaları kıyı şeridini ve daha önce ölçülemeyen diğer nesneleri ölçmek için).

Karnabaharın yapısını düşünün. Çiçeklerden birini keserseniz, elinizde aynı karnabaharın sadece daha küçük bir boyutta kaldığı açıktır. Mikroskop altında bile tekrar tekrar kesmeye devam edebilirsiniz - ancak, elde ettiğimiz tek şey karnabaharın küçük kopyalarıdır. Bu en basit durumda, fraktalın küçük bir kısmı bile nihai yapının tamamı hakkında bilgi içerir.

Dijital teknolojide fraktallar

Fraktal geometri, dijital müzik alanında yeni teknolojilerin geliştirilmesine paha biçilmez bir katkı sağladı ve dijital görüntülerin sıkıştırılmasını mümkün kıldı. Mevcut fraktal görüntü sıkıştırma algoritmaları, dijital görüntünün kendisi yerine sıkıştırılmış bir görüntünün saklanması ilkesine dayanmaktadır. Sıkıcı bir görüntü için ana resim sabit bir nokta olarak kalır. Microsoft, ansiklopedisini yayınlarken bu algoritmanın türevlerinden birini kullandı, ancak bir nedenden ötürü bu fikir geniş çapta yayılmadı.

Fraktal grafiklerin matematiksel temeli, orijinal "ana nesnelerden" kalıtım ilkesinin "görüntü mirasçıları" oluşturma yöntemlerinin temeline yerleştirildiği fraktal geometridir. Fraktal geometri ve fraktal grafik kavramları yalnızca yaklaşık 30 yıl önce ortaya çıktı, ancak bilgisayar tasarımcıları ve matematikçiler tarafından şimdiden sağlam bir şekilde yerleştirildi.

Fraktal bilgisayar grafiklerinin temel kavramları şunlardır:

• Fraktal üçgen - fraktal şekil - fraktal nesne (azalan düzende hiyerarşi)
• fraktal çizgi
• fraktal kompozisyon
• "Üst nesne" ve "Ardıl nesne"

Vektör ve 3D grafiklerde olduğu gibi, fraktal görüntüler oluşturmak matematiksel olarak hesaplanır. İlk iki grafik türünden temel fark, bir fraktal görüntünün bir denklem veya denklem sistemine göre oluşturulmasıdır - tüm hesaplamaları gerçekleştirmek için bilgisayarın belleğinde bir formülden başka hiçbir şeyin saklanması gerekmez - ve böyle bir kompaktlık. matematiksel aparat, bu fikri bilgisayar grafiklerinde kullanmayı mümkün kıldı. Sadece denklemin katsayılarını değiştirerek, kolayca tamamen farklı bir fraktal görüntü elde edebilirsiniz - birkaç matematiksel katsayı kullanarak, yatay ve dikey, simetri ve asimetri gibi kompozisyon tekniklerini uygulamanıza izin veren çok karmaşık şekillerin yüzeyleri ve çizgileri ayarlanır. , çapraz yönler ve çok daha fazlası.

Bir fraktal nasıl oluşturulur?

Fraktal yaratıcısı aynı zamanda bir sanatçı, fotoğrafçı, heykeltıraş ve bilim adamı-mucit rolünü oynar. "Sıfırdan" bir resim oluşturma çalışmasının aşamaları nelerdir?

• resmin şeklini matematiksel bir formülle ayarlayın
• sürecin yakınsamasını araştırmak ve parametrelerini değiştirmek
• görüntü türünü seçin
• bir renk paleti seçin

Fraktal grafik editörleri ve diğerleri arasında grafik programları Ayırt edilebilir:

• "Sanat Dabbler"
• "Ressam" (bilgisayar olmadan, hiçbir sanatçı programcıların sunduğu olanaklara yalnızca kurşun kalem ve fırça kalem yardımıyla ulaşamaz)
• "Adobe Photoshop" (ancak burada görüntü "sıfırdan" oluşturulmaz, ancak kural olarak yalnızca işlenir)

Rastgele bir fraktal geometrik figürün cihazını düşünün. Merkezinde en basit unsur var - aynı adı alan bir eşkenar üçgen: "fraktal". Kenarların orta kısmında, orijinal fraktal üçgenin kenarının üçte birine eşit bir kenarı olan eşkenar üçgenler oluşturun. İkinci neslin daha küçük üçgenleri bile aynı prensip üzerine inşa edilmiştir - ve sonsuza kadar böyle devam eder. Ortaya çıkan nesneye, dizilerinden bir "fraktal kompozisyon" elde ettiğimiz "fraktal figür" denir.

Kaynak: http://www.iknowit.ru/

Fraktallar ve antik mandalalar

Bu para çekmek için bir mandala. Kırmızı rengin para mıknatısı gibi çalıştığı iddia ediliyor. Süslü desenler size hiçbir şey hatırlatmıyor mu? Bana çok tanıdık geldiler ve mandalaları fraktal olarak araştırmaya başladım.

Prensip olarak, bir mandala, Evrenin bir modeli, bir "kozmosun haritası" olarak yorumlanan karmaşık bir yapının geometrik bir sembolüdür. Bu, fraktallığın ilk işaretidir!

Kumaş üzerine işlenir, kum üzerine boyanır, renkli tozlarla yapılır ve metal, taş, ahşaptan yapılır. Parlak ve büyüleyici görünüm onu güzel dekorasyon Hindistan'daki tapınakların zeminleri, duvarları ve tavanları. Eski Hint dilinde "mandala", Evrenin manevi ve maddi enerjilerinin veya başka bir deyişle yaşam çiçeğinin birbirine bağlı mistik çemberi anlamına gelir.

Çok küçük fraktal mandalalar hakkında, minimum paragraflarla, ilişkinin açıkça var olduğunu gösteren bir inceleme yazmak istedim. Bununla birlikte, bir farkındalık bulmaya ve fraktallar ve mandalalar hakkındaki bilgileri tek bir bütün halinde birleştirmeye çalışırken, bilmediğim bir uzaya kuantum sıçraması hissettim.

Bu konunun yoğunluğunu bir alıntı ile gösteriyorum: "Bu tür fraktal kompozisyonlar veya mandalalar, hem resim, hem de yaşam ve çalışma alanları için tasarım öğeleri, giyilebilir muskalar, video kasetler, bilgisayar programları şeklinde kullanılabilir ... " Genel olarak, fraktalların incelenmesi için konu sadece çok büyük.

Kesin olarak söyleyebileceğim bir şey var ki, dünya zihnimizin bu konudaki zavallı fikirlerinden çok daha çeşitli ve daha zengin.

Fraktal deniz hayvanları

Fraktal deniz hayvanları hakkındaki tahminlerim temelsiz değildi. İşte ilk temsilciler. Ahtapot, kafadanbacaklılar takımından bir deniz bentik hayvanıdır.

Bu fotoğrafa baktığımda, vücudunun fraktal yapısı ve bu hayvanın sekiz dokunaçındaki emiciler benim için bariz hale geldi. Yetişkin bir ahtapotun dokunaçlarındaki vantuzlar 2.000'e kadar ulaşır.

İlginç bir gerçek, ahtapotun üç kalbe sahip olmasıdır: biri (ana) vücutta mavi kanı hareket ettirir ve diğer ikisi - solungaç - kanı solungaçlardan iter. Bu derin deniz fraktallarından bazıları zehirlidir.

Ahtapot, bulunduğu ortama uyum sağlayarak ve kendini gizleyerek çok kullanışlı bir renk değiştirme yeteneğine sahiptir.

Ahtapotlar, tüm omurgasızların en zekisi olarak kabul edilir. İnsanları tanırlar, onları besleyenlere alışırlar. Eğitilmesi kolay, iyi bir hafızaya sahip ve hatta geometrik şekilleri ayırt edebilen ahtapotlara bakmak ilginç olurdu. Ancak bu fraktal hayvanların yaşı kısadır - maksimum 4 yıl.

İnsan, bu canlı fraktal ve diğer kafadanbacaklıların mürekkebini kullanır. Dayanıklılıkları ve güzel kahverengi tonları nedeniyle sanatçılar tarafından aranırlar. Akdeniz mutfağında ahtapot B3, B12 vitaminleri, potasyum, fosfor ve selenyum kaynağıdır. Ama bence onları yemekten zevk alabilmek için bu deniz fraktallarını pişirebilmen gerekiyor.

Bu arada, ahtapotların yırtıcı olduğuna dikkat edilmelidir. Fraktal dokunaçları ile yumuşakçalar, kabuklular ve balık şeklinde avlarını tutarlar. Bu kadar güzel bir yumuşakçanın bu deniz fraktallarının yemeği haline gelmesi üzücü. Bence, aynı zamanda deniz krallığının fraktallarının tipik bir temsilcisi.

Bu salyangozların bir akrabasıdır, gastropod nudibranch yumuşakça Glaucus, diğer adıyla Glaucus, diğer adıyla Glaucus atlanticus, diğer adıyla Glaucilla marginata. Bu fraktal, aynı zamanda, su yüzeyinin altında yaşadığı ve hareket ettiği, yüzey gerilimi tarafından tutulduğu için olağandışıdır. Çünkü yumuşakça hermafrodittir, daha sonra her iki "ortak" da çiftleştikten sonra yumurta bırakır. Bu fraktal tropikal bölgedeki tüm okyanuslarda bulunur.

Deniz krallığının fraktalları

Her birimiz hayatında en az bir kez ellerinde tuttuk ve gerçek bir çocuksu ilgiyle bir deniz kabuğunu inceledik.

Genellikle deniz kabukları, deniz gezisini anımsatan güzel bir hatıradır. Omurgasız yumuşakçaların bu sarmal oluşumuna baktığınızda, fraktal doğası hakkında hiçbir şüphe yoktur.

Biz insanlar, rahat beton fraktal evlerde yaşayan, bedenlerimizi hızlı arabalara yerleştirip hareket ettiren bu yumuşak gövdeli yumuşakçaları biraz anımsatırız.

Fraktal sualtı dünyasının bir başka tipik temsilcisi mercandır.
Doğada, 350'ye kadar renk tonunun ayırt edildiği paletinde 3500'den fazla mercan türü bilinmektedir.

Mercan, yine omurgasız ailesinden bir mercan polip kolonisinin iskelet malzemesidir. Devasa birikimleri, fraktal oluşum şekli aşikar olan tüm mercan resiflerini oluşturur.

Mercan, deniz krallığından güvenle bir fraktal olarak adlandırılabilir.

Ayrıca insanlar tarafından hediyelik eşya veya mücevher ve süs eşyaları için hammadde olarak kullanılır. Ancak fraktal doğanın güzelliğini ve mükemmelliğini tekrarlamak çok zordur.

Nedense sualtı dünyasında da birçok fraktal hayvanın bulunacağından şüphem yok.

Bir kez daha mutfakta bir bıçak ve kesme tahtası ile bir ritüel gerçekleştirmek ve ardından bıçağı soğuk su, gözlerimde neredeyse her gün beliren gözyaşı fraktalıyla nasıl başa çıkacağımı bir kez daha buldum.

Fraktalite ilkesi, ünlü matryoshka - yuvalama ile aynıdır. Bu nedenle fraktalite hemen fark edilmez. Ek olarak, hafif tek tip renk ve doğal neden olma yeteneği rahatsızlık evrenin yakından gözlemlenmesine ve fraktal matematiksel yasaların belirlenmesine katkıda bulunmazlar.

Ancak leylak rengi marul soğanları, renkleri ve gözyaşı fitocidlerinin olmaması nedeniyle, bu sebzenin doğal fraktalitesi üzerine düşüncelere yol açtı. Tabii ki, basit bir fraktal, farklı çaplarda sıradan daireler, hatta en ilkel fraktal bile diyebiliriz. Ancak topun evrenimizde ideal bir geometrik figür olarak kabul edildiğini hatırlamakta zarar vermez.

Ö faydalı özellikler soğan, internette birçok makale yayınlandı, ancak bir şekilde hiç kimse bu doğal örneği fraktalite açısından incelemeye çalışmadı. Mutfağımda soğan şeklinde bir fraktal kullanmanın yararını ancak belirtebilirim.

not Ve zaten bir fraktal öğütmek için bir sebze kesici satın aldım. Şimdi sıradan beyaz lahana gibi sağlıklı bir sebzenin ne kadar fraktal olduğunu düşünmelisiniz. Aynı yuvalama ilkesi.

Halk sanatında fraktallar

Dikkatimi dünyaca ünlü oyuncak "Matryoshka" nın tarihi çekti. Daha yakından baktığımızda, bu hatıra oyuncağının tipik bir fraktal olduğunu güvenle söyleyebiliriz.

Fraktalite ilkesi, ahşap bir oyuncağın tüm figürleri sıralandığında ve iç içe geçmediğinde açıktır.

Bu oyuncak fraktalın dünya pazarındaki görünümünün tarihi üzerine yaptığım küçük araştırmalar, bu güzelliğin Japon köklerine sahip olduğunu gösterdi. Matryoshka her zaman ilkel bir Rus hatırası olarak kabul edildi. Ancak, bir zamanlar Japonya'dan Moskova'ya getirilen eski adaçayı Fukurum'un Japon heykelciğinin prototipi olduğu ortaya çıktı.

Ancak bu Japon heykelciğine dünya çapında ün kazandıran Rus oyuncak zanaatıydı. Bir oyuncağın fraktal yuvalama fikrinin nereden geldiği, şahsen benim için bir sır olarak kaldı. Büyük olasılıkla, bu oyuncağın yazarı, figürleri birbirine yerleştirme ilkesini kullandı. Ve eklemenin en kolay yolu, farklı boyutlardaki benzer figürlerdir ve bu zaten bir fraktaldır.

Eşit derecede ilginç bir araştırma nesnesi, fraktal bir oyuncağın resmidir. Bu dekoratif bir resim - khokhloma. Khokhloma'nın geleneksel unsurları, çiçeklerin, meyvelerin ve dalların bitkisel desenleridir.

Yine, fraktalitenin tüm işaretleri. Sonuçta, aynı eleman farklı versiyonlarda ve oranlarda birkaç kez tekrarlanabilir. Sonuç, bir halk fraktal resmidir.

Ve bilgisayar farelerinin, dizüstü bilgisayar kılıflarının ve telefonların yeni çıkmış resmiyle kimseyi şaşırtmayacaksanız, o zaman halk tarzında fraktal araba ayarı, otomobil tasarımında yeni bir şeydir. Geriye sadece fraktallar dünyasının hayatımızdaki böyle sıradan şeylerde böylesine olağandışı bir şekilde tezahür etmesine şaşırmak kalıyor.

mutfaktaki fraktallar

Karnabaharı kaynar suda haşlamak için küçük çiçek salkımlarına her aldığımda, bu örnek elime geçene kadar fraktallığın bariz belirtilerine bir kez bile dikkat etmemiştim.

Mutfak masamda tipik bir bitki fraktalı vardı.

Karnabahara olan tüm sevgimle, her zaman görünür fraktallık belirtileri olmayan tek tip bir yüzeye sahip örneklerle karşılaştım ve iç içe geçmiş çok sayıda çiçek salkımı bile bu faydalı sebzede bir fraktal görmem için bir neden vermedi.

Ancak, belirgin bir fraktal geometriye sahip bu özel örneğin yüzeyi, bu lahana türünün fraktal kökeni hakkında en ufak bir şüphe bırakmadı.

Hipermarkete yapılan bir başka gezi, yalnızca lahananın fraktal durumunu doğruladı. Çok sayıda egzotik sebze arasında bir kutu fraktal vardı. Romanescu veya Romanesk brokoli, karnabahardı.

Tasarımcıların ve 3D sanatçılarının egzotik, fraktal benzeri şekillerine hayran olduğu ortaya çıktı.

Lahana tomurcukları logaritmik bir spiral içinde büyür. Romanescu lahanasının ilk sözleri 16. yüzyılda İtalya'dan geldi.

Ve brokoli lahana, içerik açısından olmasına rağmen, diyetimde sık sık misafir değil. besinler ve mikro besinler, bazen karnabaharı aşar. Ama yüzeyi ve şekli o kadar tekdüze ki, içinde bir bitkisel fraktal görmek hiç aklıma gelmedi.

Quilling'de fraktallar

Quilling tekniğinin kullanıldığı ajur el sanatlarını görünce, bana bir şeyi hatırlattıkları hissini hiç bırakmadım. Aynı öğelerin farklı boyutlarda tekrarı - elbette bu, fraktallık ilkesidir.

Quilling üzerine bir sonraki ustalık sınıfını izledikten sonra, quilling'in fraktalitesi hakkında bir şüphe bile yoktu. Sonuçta, yapmak için çeşitli unsurlar el sanatları quilling için farklı çaplarda dairelere sahip özel bir cetvel kullanılır. Ürünlerin tüm güzelliği ve benzersizliği için bu inanılmaz derecede basit bir tekniktir.

Quilling el sanatları için neredeyse tüm temel unsurlar kağıttan yapılmıştır. Quilling kağıtlarını ücretsiz olarak stoklamak için evde kitap raflarınızı kontrol edin. Elbette, orada birkaç parlak parlak dergi bulacaksınız.

Quilling araçları basit ve ucuzdur. Amatör quilling çalışması için ihtiyacınız olan her şeyi ev ofis malzemeleriniz arasında bulabilirsiniz.

Ve quilling tarihi, Avrupa'da 18. yüzyılda başlar. Rönesans'ta, Fransız ve İtalyan manastırlarındaki keşişler, kitap kapaklarını süslemek için quilling kullandılar ve icat ettikleri kağıt haddeleme tekniğinin küçüklüğünün farkında bile değildiler. Yüksek sosyeteden kızlar, özel okullarda quilling kursu bile aldılar. Bu teknik, ülkeler ve kıtalar arasında bu şekilde yayılmaya başladı.

Lüks tüyler yapmak için yapılan bu ustalık sınıfı video, "kendin yap fraktalları" olarak bile adlandırılabilir. Kağıt fraktalların yardımıyla harika özel Sevgililer Günü kartları ve diğer birçok ilginç şey elde edilir. Sonuçta, doğa gibi fantezi de tükenmez.

Japonların yaşamda çok sınırlı bir alana sahip oldukları ve bu nedenle onu etkin bir şekilde kullanmak için ellerinden gelenin en iyisini yapmaları gerektiği kimse için bir sır değil. Takeshi Miyakawa, bunun hem verimli hem de estetik olarak nasıl yapılabileceğini gösteriyor. Fraktal gardırop, tasarımda fraktalların kullanımının sadece modaya bir övgü değil, aynı zamanda sınırlı bir alanda uyumlu bir tasarım çözümü olduğunu doğrular.

Mobilya tasarımına uygulanan gerçek hayatta fraktalların kullanımına ilişkin bu örnek, bana fraktalların yalnızca matematiksel formüllerde ve bilgisayar programlarında kağıt üzerinde gerçek olmadığını gösterdi.

Ve görünüşe göre doğa fraktallık ilkesini her yerde kullanıyor. Sadece ona daha yakından bakmanız gerekiyor ve o tüm muhteşem bolluğu ve varlığının sonsuzluğu içinde kendini gösterecek.

Yani fraktal, bu kümeye benzer nesnelerden oluşan bir matematiksel kümedir. Yani bir fraktal figürün küçük bir parçasına büyütme altında bakarsak, bu figürün daha büyük ölçekli bir parçası, hatta bir bütün olarak figür gibi görünecektir. Ayrıca bir fraktal için ölçekte bir artış, yapının basitleştirilmesi anlamına gelmez. Bu nedenle, her düzeyde eşit derecede karmaşık bir resim göreceğiz.

fraktal özellikler

Yukarıdaki tanıma göre, bir fraktal genellikle aşağıdaki özelliklerden bir veya daha fazlasını karşılayan geometrik bir şekil olarak temsil edilir:

Her büyütmede karmaşık bir yapıya sahiptir;

Yaklaşık olarak kendine benzer (parçalar bütüne benzer);

Daha topolojik olan kesirli bir boyuta sahiptir;

Özyinelemeli bir yöntem kullanılarak oluşturulabilir.

Dış dünyadaki fraktallar

"Fractal" kavramı son derece soyut görünse de, hayatta bu olgunun birçok gerçek hayatta ve hatta pratik örneğine rastlayabilirsiniz. Ayrıca, çevredeki dünyadan kesinlikle dikkate alınmalıdır, çünkü fraktal ve özelliklerinin daha iyi anlaşılmasını sağlayacaktır.

Örneğin, tasarımları fraktal yöntemle gerçekleştirilen çeşitli cihazların antenleri, geleneksel tasarımlı antenlere göre %20 daha yüksek verim göstermektedir. Ayrıca, fraktal anten, çok çeşitli frekanslarda aynı anda mükemmel performansla çalışabilir. Bu yüzden çağdaş cep telefonları Zaten pratik olarak tasarımlarında klasik cihazın harici antenleri yoktur - ikincisi, doğrudan telefonun baskılı devre kartına monte edilen dahili fraktal antenlerle değiştirilir.

Fraktallar gelişme ile büyük ilgi gördü. Bilişim Teknolojileri... Şu anda, fraktalları kullanarak çeşitli görüntüleri sıkıştırmak için algoritmalar geliştirilmiştir, bilgisayar grafik nesnelerini (ağaçlar, dağlar ve deniz yüzeyleri) fraktal bir şekilde oluşturmak için yöntemler ve ayrıca bazı ağlarda IP adresleri atamak için bir fraktal sistem vardır.

Ekonomide, hisse senedi ve döviz fiyatlarını analiz ederken fraktalları kullanmanın bir yolu vardır. Belki de Forex piyasasında işlem yapan bir okuyucu, fraktal analizi bir ticaret terminalinde çalışırken görmüş veya hatta pratikte uygulamıştır.

Ayrıca insan tarafından yapay olarak yaratılan fraktal özelliklere sahip nesnelere ek olarak, doğal doğada da bu tür birçok nesne vardır. Bir fraktalın iyi örnekleri mercanlar, deniz kabukları, bazı çiçekler ve bitkiler (brokoli, karnabahar), insan ve hayvanların dolaşım sistemi ve bronşları, cam üzerinde oluşturulmuş desenler, doğal kristallerdir. Bunlar ve diğer birçok nesne belirgin bir fraktal şekle sahiptir.

Okuduklarımdaki her şeyi anlamadığımda, özellikle üzülmüyorum. Konu daha sonra aklıma gelmezse, o zaman özellikle önemli değil (en azından benim için). Konu üçüncü kez tekrar gelirse daha iyi anlamak için yeni şansım olacak. Fraktallar bu tür temalar arasındadır. Onları önce Nassim Taleb kitabından ve daha sonra Benoit Mandelbrot kitabından daha ayrıntılı olarak öğrendim. Bugün, istek üzerine "fraktal", sitede 20 not alabilirsiniz.

Bölüm I. KAYNAKLARA YOLCULUK

İSİM VERMEK, ÖĞRENMEK ANLAMINA GELMEKTEDİR. 20. yüzyılın başında Henri Poincaré şunları söyledi: “Bir kelimenin sahip olabileceği güce şaşırıyorsunuz. İşte vaftiz edilene kadar hakkında hiçbir şey söylenemeyecek bir nesne. Bir mucizenin gerçekleşmesi için ona bir isim vermek yeterliydi ”(ayrıca bakınız). Ve böylece, 1975'te Polonya kökenli bir Fransız matematikçi Benoit Mandelbrot Word'ü bir araya getirdiğinde oldu. Latince kelimelerden fransız(ara) ve fraktüs(süreksiz, ayrık, kesirli) fraktal oluştu. Mandelbrot, duygusal çekiciliğe ve rasyonel faydaya vurgu yapan bir marka olarak fraktalın tanıtımını ve reklamını ustaca yaptı. Fractal Geometry of Nature (1982) dahil olmak üzere birçok monografi yayınlar.

DOĞA VE SANATTA FRAKTALLER. Mandelbrot, Öklid dışındaki fraktal geometrinin ana hatlarını çizdi. Fark, Lobachevsky veya Riemann'ın geometrilerinde olduğu gibi paralellik aksiyomu için geçerli değildi. Fark, Öklid'in varsayılan düzgünlük gereksiniminin terk edilmesindeydi. Bazı nesnelerde pürüzlülük, gözeneklilik veya parçalanma vardır ve bunların çoğu "her ölçekte aynı ölçüde" belirtilen özelliklere sahiptir. Doğada bu tür formların sıkıntısı yoktur: ayçiçeği ve brokoli, deniz kabukları, eğrelti otları, kar taneleri, dağ yarıkları, sahil şeritleri, fiyortlar, dikitler ve sarkıtlar, yıldırım.

Dikkatli ve dikkatli insanlar, bazı formların "yakın veya uzak" görüntülendiğinde tekrarlayan bir model sergilediğini uzun zamandır fark etmişlerdir. Bu tür nesnelere yaklaşırken, yalnızca küçük ayrıntıların değiştiğini, ancak bir bütün olarak şeklin neredeyse değişmediğini fark ederiz. Buna dayanarak, bir fraktal, herhangi bir ölçekte tekrar eden öğeler içeren geometrik bir şekil olarak tanımlamak en kolay yoldur.

MİTLER VE MİSTİKASYONLAR. Mandelbrot tarafından keşfedilen yeni form katmanı, tasarımcılar, mimarlar ve mühendisler için bir altın madeni haline geldi. Sayılamayan sayıda fraktal, aynı çoklu tekrar ilkelerine göre inşa edilmiştir. Buradan, bir fraktal, herhangi bir ölçekte tekrar eden öğeler içeren geometrik bir şekil olarak tanımlamak en kolay yoldur. Bu geometrik form yerel olarak değişmez (değişmez), ölçeklenmiş kendine benzer ve sınırlılığında integral, karmaşıklığı yaklaştıkça ortaya çıkan gerçek bir tekilliktir ve uzaktan önemsizliğin kendisidir.

ŞEYTANIN MERDİVENİ. Bilgisayarlar arasında veri iletmek için son derece güçlü elektrik sinyalleri kullanılır. Bu sinyal ayrıktır. Elektrik şebekelerinde birçok nedenden dolayı yanlışlıkla parazit veya gürültü meydana gelir ve bilgisayarlar arasında bilgi aktarılırken veri kaybına neden olur. Geçen yüzyılın altmışlı yıllarının başlarında gürültünün veri iletimi üzerindeki etkisini ortadan kaldırmak için Mandelbrot'un yer aldığı bir grup IBM mühendisi görevlendirildi.

Kaba bir analiz, tek bir hatanın kaydedilmediği dönemlerin varlığını gösterdi. Bir saatlik periyotları vurgulayan mühendisler, aralarında hatasız sinyal iletim periyotlarının da kesintili olduğunu fark ettiler, burada yaklaşık yirmi dakika süren daha kısa duraklamalar var. Böylece hatasız veri iletimi, veri paketleri ile karakterize edilir. farklı uzunluklar ve sinyalin hatasız iletildiği gürültüde duraklar. Daha yüksek seviyedeki paketler, daha düşük seviyedeki yerleşik paketlerdir. Böyle bir açıklama, üst sıradaki pakette en düşük sıradaki paketlerin göreli konumu gibi bir şeyin varlığını varsayar. Deneyimler, paketlerin bu göreli konumlarının olasılık dağılımının, sıralarından bağımsız olduğunu göstermiştir. Bu değişmezlik, elektriksel gürültünün etkisi altında veri bozulma sürecinin kendine benzerliğini gösterir. Veri iletimi sırasında sinyaldeki hatasız duraklamaları kesme prosedürü, onlar için yeni olduğu için elektrik mühendislerinin aklına gelemezdi.

Ancak saf matematik okuyan Mandelbrot, 1883'te açıklanan ve titiz bir algoritmaya göre elde edilen noktalardan tozu temsil eden Cantor kümesinin çok iyi farkındaydı. "Cantor'un tozu" oluşturmak için algoritmanın özü aşağıdaki gibidir. Düz bir çizgi parçası alın. Segmentin orta üçte birini, iki ucunu koruyarak ondan çıkarın. Şimdi aynı işlemi son segmentler vb. ile tekrarlayacağız. Mandelbrot, bunun tam olarak paketlerin geometrisi olduğunu keşfetti ve bilgisayarlar arasında sinyallerin iletiminde durakladı. Hata birikiyor. Birikimi aşağıdaki gibi modellenebilir. İlk adımda, aralıktaki tüm noktalara 1/2 değerini, aralıktan 1/4'e kadar olan ikinci adımda, aralıktaki noktalara 3/4 değerini vb. atayacağız. Bu değerlerin adım adım toplamı, sözde "şeytanın merdiveni"ni oluşturmamızı sağlar (Şekil 1). "Cantor'un tozu"nun ölçüsü, "altın oran" veya "İlahi oran" olarak bilinen, 0,618'e eşit bir irrasyonel sayıdır.

Bölüm II. FRAKTALLER ÖZ

KEDİ OLMADAN GÜLÜMSEME: FRAKTAL BOYUT. Boyut, matematiğin çok ötesine geçen temel kavramlardan biridir. "Başlangıçlar"ın ilk kitabında Öklid, nokta, doğru, düzlem geometrisinin temel kavramlarını tanımladı. Bu tanımlara dayanarak, üç boyutlu Öklid uzayı kavramı neredeyse iki buçuk bin yıldır değişmeden kaldı. Dört, beş veya daha fazla boyutlu uzaylarla sayısız flört aslında hiçbir şey eklemez, ancak insan hayal gücünün hayal edemediği şeylerle karşı karşıya kalırlar. Fraktal geometrinin keşfi ile boyut kavramında köklü bir devrim gerçekleşti. Çok çeşitli boyutlar ortaya çıktı ve aralarında yalnızca tam boyutlar değil, aynı zamanda kesirli olanlar ve hatta irrasyonel olanlar da var. Ve bu boyutlar görsel ve duyusal sunum için mevcuttur. Aslında delikli peyniri, boyutu ikiden fazla olan, ancak peynir kütlesinin boyutunu küçülten peynir delikleri nedeniyle üçe ulaşmayan ortamın bir modeli olarak kolayca hayal edebiliriz.

Kesirli veya fraktal boyutları anlamak için, İngiltere'nin engebeli kıyı şeridinin sonsuz uzunlukta olduğunu öne süren Richardson paradoksuna dönüyoruz! Louis Fry Richardson, ölçeğin Britanya kıyı şeridinin ölçülen uzunluğu üzerindeki etkisini merak etti. Kontur haritaları ölçeğinden "kıyı çakılları" ölçeğine geçerken, garip ve beklenmedik bir sonuca vardı: kıyı şeridinin uzunluğu süresiz olarak artar ve bu artışın sınırı yoktur. Düzgün, kıvrımlı çizgiler böyle davranmaz. Richardson'ın daha büyük ölçekli haritalarda elde edilen ampirik verileri, ölçüm adımında bir azalma ile kıyı şeridinin uzunluğunda bir kuvvet yasası artışı gösterdi:

Bu basit Richardson formülünde L kıyının ölçülen bir uzunluğu var, ε Ölçüm adımının büyüklüğü ve β ≈ 3/2, bulduğu ölçüm adımında bir azalma ile kıyı uzunluğundaki artış derecesidir. Çevrenin aksine, İngiltere'nin kıyı şeridinin uzunluğu 55 sınırının üzerine çıkıyor. Bu sonsuz! Eğrilerin kırık, düzgün olmayan, sınırlayıcı bir uzunluğu olmadığı gerçeğini kabul etmemiz gerekiyor.

Bununla birlikte, Richardson'ın çalışmaları, azalan ölçekle birlikte uzunluğun arttığının derecesinin bazı karakteristik ölçülerine sahip olduklarını ileri sürdü. Kırık çizgiyi bir kişinin kişiliğinin parmak izi olarak mistik olarak tanımlayan bu değer olduğu ortaya çıktı. Mandelbrot, kıyı şeridini fraktal bir nesne olarak yorumladı - boyutu β üssü ile çakışan bir nesne.

Örneğin, Norveç'in batı kıyısı için kıyı sınır eğrilerinin boyutları 1.52'dir; Birleşik Krallık için - 1.25; Almanya için - 1.15; Avustralya için - 1.13; Güney Afrika'nın nispeten pürüzsüz kıyıları için - 1.02 ve son olarak, tamamen pürüzsüz bir daire için - 1.0.

Bir fraktal parçasına baktığınızda, boyutunun ne olduğunu söyleyemezsiniz. Ve bunun nedeni, parçanın geometrik karmaşıklığında değil, parça çok basit olabilir, ancak fraktal boyutun sadece parçanın şeklini değil, aynı zamanda yapım sürecinde parçanın dönüşüm biçimini de yansıtması gerçeğindedir. fraktal. Fraktal boyut, adeta formdan çıkarılır. Ve bu nedenle, fraktal boyutun değeri değişmez kalır; anketin herhangi bir ölçeğinde fraktalın herhangi bir parçası için aynıdır. “Parmaklarınızla kavrayamazsınız”, ancak hesaplanabilir.

FRAKTAL TEKRAR. Tekrar, doğrusal olmayan denklemler kullanılarak modellenebilir. Doğrusal denklemler, değişkenlerin bire bir yazışmaları ile karakterize edilir: her değer NS bir ve yalnızca bir değerle eşleşir NS ve tersi. Örneğin, x + y = 1 denklemi doğrusaldır. Doğrusal fonksiyonların davranışı tamamen deterministiktir, benzersiz bir şekilde başlangıç ​​koşulları tarafından belirlenir. Doğrusal olmayan fonksiyonların davranışı o kadar açık değildir, çünkü iki farklı başlangıç ​​koşulu aynı sonuca yol açabilir. Bu temelde, işlemin tekrarının yinelenmesi iki farklı biçimde görünür. Hesaplamaların her adımında başlangıç ​​durumuna bir dönüş olduğunda, doğrusal bir referans karakterine sahip olabilir. Bu bir tür "kalıp yinelemesi" dir. Bir konveyör üzerinde seri üretim “kalıp yinelemesidir”. Doğrusal referans formatındaki yineleme, sistemin evriminin ara durumlarına bağlı değildir. Burada her yeni yineleme ocaktan başlar. Yinelemenin bir özyineleme biçimine sahip olması, yani önceki yineleme adımının sonucunun bir sonraki adımın başlangıç ​​koşulu olması tamamen başka bir konudur.

Özyineleme, Girard dizisi şeklinde temsil edilen Fibonacci serisi ile gösterilebilir:

u n +2 = u n +1 + u n

Sonuç Fibonacci sayılarıdır:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Bu örnekte, fonksiyonun başlangıç ​​değerine bakılmadan kendisine uygulandığı oldukça açıktır. Fibonacci serisi boyunca kayar ve önceki yinelemenin her sonucu bir sonrakinin başlangıç ​​değeri olur. Fraktal şekiller oluştururken gerçekleştirilen bu tekrardır.

"Sierpinski peçetesini" (kesme yöntemini ve CIF yöntemini kullanarak) oluşturmak için algoritmalarda fraktal tekrarın nasıl uygulandığını gösterelim.

Kesme yöntemi. Bir kenarı olan bir eşkenar üçgen alın r... İlk adımda, ortasından kenar uzunluğu ters çevrilmiş bir eşkenar üçgen kesiyoruz. r 1 = r 0/2. Bu adımın sonucunda kenar uzunlukları olan üç eşkenar üçgen elde ederiz. r 1 = r 0/2, orijinal üçgenin köşelerinde bulunur (Şekil 2).

İkinci adımda, oluşturulan üç üçgenin her birinde, bir kenar uzunluğu olan ters çevrilmiş yazılı üçgenleri kestik. r 2 = r 1 /2 = r 0/4. Sonuç - Kenar uzunluğu olan 9 üçgen r 2 = r 0/4. Sonuç olarak, Sierpinski peçetenin şekli giderek daha belirgin hale geliyor. Fiksasyon her adımda gerçekleşir. Önceki tüm taahhütler olduğu gibi "silinen".

SIF Yöntemi veya Barnsley Yinelenen İşlev Sistemleri Yöntemi. Verilen: A (0,0), B (1,0), C (1/2, √3 / 2) açılarının koordinatlarına sahip bir eşkenar üçgen. Z 0 - bu üçgenin içinde keyfi bir nokta (Şekil 3). Kenarlarında A, B ve C harfleri olan bir zar alıyoruz.

Adım 1. Kemiği yuvarlayın. Her harfin düşme olasılığı 2/6 = 1/3'tür.

• A harfi düşerse, ortasına bir z 1 noktası koyduğumuz bir z 0 –A segmenti oluştururuz.
• B harfi düşerse, ortasına z 1 noktası koyduğumuz bir z 0 – B segmenti oluşturun.
• C harfi düşerse, ortasına z 1 noktası koyduğumuz bir z 0 –C segmenti oluştururuz.

Adım 2. Kemiği tekrar yuvarlayın.

• A harfi düşerse, ortasına bir z 2 noktası koyduğumuz bir z 1 –A segmenti oluştururuz.
• B harfi düşerse, ortasına bir z 2 noktası koyduğumuz bir z 1 – B segmenti oluşturun.
• C harfi düşerse, ortasına z 2 noktası koyduğumuz bir z 1 -C segmenti oluştururuz.

İşlemi birçok kez tekrarlayarak z 3, z 4,…, z n puanları alıyoruz. Her birinin özelliği, noktanın bir öncekinden keyfi olarak seçilen bir tepe noktasına tam olarak yarı yolda olmasıdır. Şimdi, örneğin, z 0'dan z 100'e kadar olan başlangıç ​​noktalarını atarsak, geri kalanı, yeterince fazla sayıda, bir "Sierpinski peçete" yapısını oluşturur. Daha fazla nokta, daha fazla iterasyon, Sierpinski fraktalının gözlemci için daha net olduğu anlamına gelir. Ve bu, sürecin devam etmesine rağmen, rastgele bir şekilde (zarlar sayesinde) görünüyor. "Sierpinski peçete", sürecin bir tür çekicisidir, yani bu süreçte oluşturulan tüm yörüngelerin yeterince büyük sayıda yinelemeyle yöneldiği figürdür. Bu durumda, görüntünün sabitlenmesi kümülatif, birikimli bir süreçtir. Her bir nokta, belki de hiçbir zaman Sierpinski fraktalının noktasıyla çakışmayacak, ancak "tesadüfen" düzenlenen bu sürecin sonraki her bir noktası, "Sierpinski peçete" noktalarına daha yakın ve daha yakın çekilir.

GERİBİLDİRİM DÖNGÜSÜ. Sibernetiğin kurucusu Norbert Wiener, geri besleme döngüsünü tanımlamak için örnek olarak bir tekne dümencisi kullandı. Dümenci rotada kalmalı ve sürekli olarak teknenin rotada ne kadar iyi olduğunu değerlendirmelidir. Dümenci teknenin saptığını görürse, dümeni ayarlanan rotaya geri döndürür. Bir süre sonra tekrar tekrar değerlendirir ve dümen yardımıyla gidiş yönünü düzeltir. Böylece navigasyon, belirli bir rotaya tekne hareketinin iterasyonları, tekrarı ve sıralı yaklaşımı yardımıyla gerçekleştirilir.

Tipik bir geri besleme döngüsü Şekil 2'de gösterilmektedir. 4 Değişken parametrelerin (tekne yönü) ve kontrollü parametre С'nin (tekne rotası) değiştirilmesiyle ilgilidir.

Bernoulli Kayması eşlemesini düşünün. Başlangıç ​​durumu olarak 0 ile 1 aralığına ait bir sayı seçilsin. Bu sayıyı ikili sayı sistemine yazalım:

x 0 = 0.01011010001010011001010 ...

Şimdi, zamandaki evrimin bir adımı, sıfırlar ve birler dizisinin bir konum sola kaydırılması ve ondalık noktanın sol tarafındaki rakamın atılmasıdır:

x 1 = 0.1011010001010011001010 ...

x 2 = 0.011010001010011001010 ...

x 3 = 0.11010001010011001010 ...

Orijinal sayılar ise x 0 rasyonel, daha sonra yineleme sırasında değerler NSn periyodik yörüngeye girin. Örneğin, 11/24'lük bir tohum için yineleme sırasında bir dizi değer alacağız:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Orijinal değerler ise x 0 irrasyonel, ekran asla periyodik moda geçmeyecektir. Başlangıç ​​değerleri aralığı x 0 ∈, sonsuz sayıda rasyonel nokta ve sonsuz sayıda irrasyonel nokta içerir. Böylece periyodik yörüngelerin yoğunluğu, periyodik rejime hiç girmeyen yörüngelerin yoğunluğuna eşittir. Rasyonel değerin herhangi bir mahallesinde x 0 orijinal parametrenin irrasyonel bir değeri var x'0 Bu durumda, kaçınılmaz olarak başlangıç ​​koşullarına karşı ince bir hassasiyet ortaya çıkar. Bu, sistemin dinamik bir kaos halinde olduğunun karakteristik bir işaretidir.

TEMEL GERİ BİLDİRİM MENTEŞELERİ. tersi gerekli kondisyon ve kendini şaşırtan herhangi bir yan bakışın sonucu. Ters çevirme döngüsünün simgesi, her daire ile alt tarafının üst tarafa döndüğü, iç kısmın dış olduğu ve bunun tersi olduğu bir Mobius şeridi olabilir. Ters işlemdeki farklılıkların birikmesi, önce görüntüyü orijinalinden kaldırır ve ardından ona geri döner. Mantıkta, ters döngü Epimenides'in paradoksu ile gösterilmektedir: "Bütün Giritliler yalancıdır." Ama Epimenides'in kendisi bir Giritliydi.

Garip DÖNGÜ. Garip döngü olgusunun dinamik özü, dönüşen ve orijinalinden giderek farklılaşan bir görüntünün sayısız deformasyon sürecinde orijinal görüntüye geri dönmesi, ancak hiçbir zaman tam olarak tekrarlamamasıdır. Hofstadter, bu fenomeni tanımlarken kitapta "garip döngü" terimini tanıtıyor. Hem Escher, hem Bach hem de Gödel'in eserlerinde garip döngüler keşfettikleri veya daha doğrusu görsel sanatlar, müzik ve matematikte yaratıcılık kullandıkları sonucuna varıyor. Metamorfozlar'da Escher, realitenin çeşitli planlarının tuhaf tutarlılığını keşfetti. Sanatsal perspektiflerden birinin biçimleri plastik olarak başka bir sanatsal perspektifin biçimlerine dönüştürülür (Şekil 5).

Pirinç. 5. Maurits Escher. El çizimi. 1948

Bu tuhaflık, müzikte tuhaf bir şekilde kendini gösterdi. Bach'ın "Müzikal Arzunun" kanonlarından biri ( Tono başına Canon- Tonal kanon), görünen finali beklenmedik şekilde sorunsuz bir şekilde başlangıca geçiş yapacak, ancak anahtarda bir değişiklik olacak şekilde tasarlanmıştır. Bu ardışık modülasyonlar, dinleyiciyi ilk anahtardan daha da yükseğe çıkarır. Ancak, mucizevi bir şekilde, altı modülasyondan sonra neredeyse geri döndük. Artık tüm sesler başlangıçta olduğundan tam olarak bir oktav daha yüksek çıkıyor. Tek tuhaflık, belirli bir hiyerarşinin basamaklarını tırmanırken, kendimizi birdenbire yolculuğumuza başladığımız yerin hemen hemen aynısında bulmamızdır - tekrar etmeden geri dön.

Kurt Gödel, matematiğin en eski ve en usta alanlarından biri olan sayılar teorisinde garip döngüler keşfetti. Gödel'in teoremi ilk olarak Principle Mathematica'daki 1931 tarihli "Formal Olarak Çözülemeyen Yargılar Üzerine" makalesinde Teorem VI olarak gün ışığına çıktı. Teorem şunları belirtir: sayı teorisinin tüm tutarlı aksiyomatik formülasyonları, karar verilemeyen önermeler içerir. Sayı kuramı yargıları sayı kuramı yargıları hakkında hiçbir şey söylemez; bunlar sayı teorisinin yargılarından başka bir şey değildir. Burada bir döngü var, ama tuhaflık yok. Kanıtta garip bir döngü gizlidir.

GARANTİ ÇEKİCİ.Çekici (İngilizce'den. çekmekçekme) sistem davranışının tüm olası yörüngelerini çeken bir nokta veya kapalı bir çizgi. Çekici sabittir, yani uzun vadede çekicinin davranışının tek olası modeli, geri kalan her şey geçicidir. Çekici, tüm süreci kapsayan, ne nedeni ne de sonucu olan uzamsal-zamansal bir nesnedir. Yalnızca sınırlı sayıda serbestlik derecesine sahip sistemler tarafından oluşturulur. Çekiciler bir nokta, bir daire, bir torus ve bir fraktal olabilir. İkinci durumda, çekiciye “garip” denir (Şekil 6).

Bir nokta çekici, sistemin herhangi bir kararlı durumunu tanımlar. Faz uzayında, etrafında bir "düğüm", "odak" veya "eyer"in yerel yörüngelerinin oluşturulduğu bir noktadır. Sarkaç böyle davranır: herhangi bir başlangıç ​​hızında ve herhangi bir başlangıç ​​konumunda, yeterli bir süre sonra, sürtünme etkisi altında, sarkaç durur ve kararlı bir denge durumuna gelir. Dairesel (döngüsel) bir çekici, bir daire içinde ideal bir sarkaç (sürtünmesiz) gibi ileri geri harekettir.

Garip çekiciler ( garip çekiciler) sadece dışarıdan garip görünüyor, ancak "garip çekici" terimi, 1971'de David Ruel ve Hollandalı Floris Takens tarafından "Türbülansın Doğası" makalesinin ortaya çıkmasından hemen sonra yayıldı (ayrıca bakınız). Ruelle ve Takens, herhangi bir çekicinin uygun bir dizi özelliğe sahip olup olmadığını merak etti: kararlılık, sınırlı sayıda serbestlik derecesi ve periyodik olmama. İLE BİRLİKTE geometrik nokta Soru saf bir bulmaca gibi görünüyordu. Sonsuz uzun bir yörünge hangi biçimde tasvir edilmelidir? Kısıtlı boşluk asla tekrar etmemek veya kendini aşmamak? Her ritmi yeniden üretmek için yörünge, sınırlı bir alan üzerinde sonsuz uzunlukta bir çizgi olmalı, başka bir deyişle kendi kendini yutmalıdır (Şekil 7).

1971'e gelindiğinde, bilimsel literatürde böyle bir çekicinin bir taslağı zaten vardı. Edward Lorenz, bunu 1963 tarihli deterministik kaos hakkındaki makalesine bir ek yaptı. Bu çekici sabitti, periyodik değildi, az sayıda serbestlik derecesine sahipti ve hiçbir zaman kendisini geçmedi. Böyle bir şey olursa ve daha önce geçtiği noktaya geri dönerse, hareket gelecekte tekrarlanarak bir toroidal çekici oluşturacaktı, ancak bu olmadı.

Çekicinin tuhaflığı, Ruelle'nin inandığı gibi, eşdeğer olmayan, ancak pratikte birlikte var olan üç özellikte yatmaktadır:

• fraktalite (yuvalama, benzerlik, tutarlılık);
• determinizm (başlangıç ​​koşullarına bağımlılık);
• tekillikler (sonlu sayıda tanımlayıcı parametre).

Bölüm III. FRAKTAL FORMLARIN ETKİLEYİCİ HAFİFLIĞI

HAYAL SAYILAR, FAZ PORTRELERİ VE OLASILIK. Fraktal geometri, hayali sayılar teorisine, dinamik faz portrelerine ve olasılık teorisine dayanır. Hayali sayı teorisi, eksi birin karekökü olduğunu varsayar. Gerolamo Cardano, "Büyük Sanat" ("Ars Magna", 1545) adlı çalışmasında, z 3 + pz + q = 0 kübik denklemine genel bir çözüm sundu. Cardano, sanal sayıların köklerini ifade etmek için teknik bir formalizm olarak hayali sayıları kullanır. denklem. Basit bir denklem olan x 3 = 15x + 4 ile örneklediği bir tuhaflığı fark eder. Bu denklemin bariz bir çözümü vardır: x = 4. Ancak, genelleme formülü garip bir sonuç verir. Negatif bir sayının kökünü içerir:

Raphael Bombelli cebir üzerine kitabında ("L'Cebir", 1560) = 2 ± i olduğuna dikkat çekti ve bu hemen onun gerçek bir x = 4 kökü elde etmesine izin verdi. Benzer durumlarda, karmaşık sayılar eşleniği olduğunda, gerçek bir kök ve karmaşık sayılar, kübik bir denklemin çözümünü elde etme sürecinde teknik bir yardım görevi görür.

Newton, eksi bir kökü içeren çözümlerin “fiziksel olarak anlamlı” olmadığı ve atılması gerektiğine inanıyordu. XVII-XVIII yüzyıllarda, hayali, manevi, hayali bir şeyin, birlikte alınan gerçek her şeyden daha az gerçek olmadığı anlayışı oluşturuldu. Hatta Descartes'ın yeni düşünce "cogito ergo sum" manifestosunu formüle ettiği 10 Kasım 1619 tarihini bile verebiliriz. Bu andan itibaren düşünce mutlak ve şüphe götürmez bir gerçektir: “Düşünüyorsam varım demektir”! Daha doğrusu, düşünce artık gerçeklik olarak algılanıyor. Descartes'ın ortogonal bir koordinat sistemi fikri, hayali sayılar sayesinde tamlığını kazanır. Artık bu hayali sayıları anlamlarla doldurmak mümkün.

19. yüzyılda Euler, Argan, Cauchy, Hamilton'un çalışmaları karmaşık sayılarla çalışmak için bir aritmetik aygıt geliştirdi. Herhangi bir karmaşık sayı, X + iY toplamı olarak temsil edilebilir, burada X ve Y alıştığımız gerçek sayılardır ve ben hayali birim (aslında √ – 1'dir). Her karmaşık sayı, karmaşık düzlemde koordinatları (X, Y) olan bir noktaya karşılık gelir.

İkinci önemli kavram - dinamik bir sistemin faz portresi XX yüzyılda oluşturulmuştur. Einstein, her şeyin ışığa göre aynı hızla hareket ettiğini gösterdikten sonra, bir sistemin dinamik davranışını, dinamik bir sistemin faz portresi olarak adlandırılan donmuş geometrik çizgiler biçiminde ifade etme olasılığı fikri edinildi. açık bir fiziksel anlam.

Bunu bir sarkaç örneği ile açıklayalım. Jean Foucault bir sarkaçla ilk deneylerini 1851'de bir mahzende, ardından Paris Gözlemevinde, ardından Pantheon'un kubbesi altında gerçekleştirdi. Son olarak, 1855'te, Foucault'nun sarkacı Paris Saint-Martin-de-Chan kilisesinin kubbesinin altına asıldı. Foucault sarkacının ip uzunluğu 67 m, ağırlığı ise 28 kg. Uzak bir mesafeden sarkaç bir nokta gibi görünüyor. Nokta her zaman hareketsizdir. Yaklaşırken, üç tipik yörüngeye sahip bir sistemi ayırt ediyoruz: harmonik bir osilatör (sinϕ ≈ ϕ), bir sarkaç (ileri geri salınımlar), bir pervane (dönüş).

Yerel gözlemci topun hareketinin üç olası konfigürasyonundan birini gördüğünde, süreçten çıkarılan analist topun üç tipik hareketten birini gerçekleştirdiğini varsayabilir. Bu bir plan üzerinde tasvir edilebilir. "İplik üzerindeki topu", söz konusu sistemin serbestlik derecesi kadar koordinatı olan soyut bir faz uzayına hareket ettireceğimiz konusunda hemfikir olmamız gerekiyor. Bu durumda iki serbestlik dereceli hızdan bahsediyoruz. v ve bilye ile ipliğin dikey ϕ ile eğim açısı. ϕ ve v koordinatlarında, harmonik osilatörün yörüngesi, eşmerkezli daireler sistemidir, ϕ açısı arttıkça bu daireler oval hale gelir ve ϕ = ± π ovalin kapanması kaybolur. Bu sarkacın pervane moduna geçtiği anlamına gelir: v = sabit(şek. 8).

Pirinç. 8. Sarkaç: a) ideal sarkacın faz uzayındaki yörünge; b) sönümleme ile sallanan bir sarkacın faz uzayındaki yörünge; c) faz portresi

Faz uzayında uzunluklar, süreler veya hareketler olmayabilir. Burada herhangi bir eylem önceden verilmiştir, ancak hepsi geçerli değildir. Geometriden geriye sadece ölçüler, parametreler, boyutlar ve boyutlar yerine topoloji kalır. Burada, herhangi bir dinamik sistemin kendine özgü bir baskısı, bir faz portresi vardır. Ve bunların arasında oldukça garip evre portreleri var: karmaşık oldukları için tek bir parametre tarafından belirlenirler; orantılı olduklarından orantısızdırlar; sürekli oldukları için ayrıktırlar. Bu tür garip faz portreleri, fraktal bir çekici konfigürasyonuna sahip sistemlerin karakteristiğidir. Çekim merkezlerinin (çekiciler) ayrıklığı, bir kuantum etkisi, bir boşluk veya bir sıçrama etkisi yaratırken, yörüngeler sürekliliği korur ve tek bir bağlantılı garip bir çekici formu üretir.

FRAKTALLERİN SINIFLANDIRILMASI. Fraktalın üç hipostazı vardır: birbirine dik olan biçimsel, işlemsel ve sembolik. Bu, aynı fraktal şeklin farklı algoritmalar kullanılarak elde edilebileceği ve şekildeki tamamen farklı fraktallar için aynı fraktal boyut numarasının görünebileceği anlamına gelir. Bu açıklamaları dikkate alarak fraktalları sembolik, biçimsel ve işlemsel özelliklerine göre sınıflandırıyoruz:

• sembolik olarak, bir fraktalin boyut özelliği tam veya kesirli olabilir;
• biçimsel bir temelde, fraktallar yaprak veya bulut gibi tutarlı ve toz gibi tutarsız olabilir;
• operasyonel temelde, fraktallar düzenli ve stokastik olarak ayrılabilir.

Düzenli fraktallar, kesin olarak tanımlanmış bir algoritmaya göre oluşturulur. Bu durumda, inşaat süreci tersine çevrilebilir. Deterministik algoritma sürecinde oluşturulan herhangi bir görüntüyü nokta nokta silerek tüm işlemleri ters sırada tekrarlayabilirsiniz. Deterministik algoritma doğrusal veya doğrusal olmayan olabilir.

Stokastik anlamda benzer olan stokastik fraktallar, yapılarının algoritmasında, yinelemeler sırasında herhangi bir parametre rastgele değiştiğinde ortaya çıkar. Stokastiklik terimi Yunanca kelimeden gelmektedir. stokaz- tahmin et tahmin et. Stokastik bir süreç, değişimin doğası doğru bir şekilde tahmin edilemeyen bir süreçtir. Fraktallar doğanın kaprisinde üretilir (kayaların, bulutların, türbülanslı akışların, köpüklerin, jellerin, kurum parçacıklarının konturlarının, hisse senedi fiyatlarındaki ve nehir seviyelerindeki değişiklikler, vb.'nin kırık yüzeyleri), geometrik benzerlikten yoksundur, ancak inatla yeniden üretilir. her parça, bütünün istatistiksel özelliklerini ortalama olarak. Bilgisayar, sözde rasgele sayı dizileri oluşturmanıza ve anında stokastik algoritmaları ve şekilleri simüle etmenize olanak tanır.

DOĞRUSAL FRAKTALLER. Doğrusal fraktallar, hepsi belirli bir doğrusal algoritmaya göre oluşturuldukları için bu şekilde adlandırılmıştır. Bu fraktallar kendine benzerdir, ölçekte herhangi bir değişiklikte bozulmaz ve hiçbir noktada türevlenebilir değildir. Bu tür fraktallar oluşturmak için bir taban ve bir parça ayarlamak yeterlidir. Bu öğeler, ölçeği sonsuza kadar azaltarak birçok kez tekrarlanacaktır.

Cantor'un Tozu. 19. yüzyılda, Alman matematikçi Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor (1845-1918), matematik topluluğuna 0 ile 1 arasında garip bir sayı kümesi önerdi. Küme, belirtilen aralıkta sonsuz sayıda eleman içeriyordu ve, üstelik sıfır boyuta sahipti. Rastgele atılan bir ok, bu kalabalığın tek bir unsuruna bile çarpamazdı.

İlk önce, birim uzunlukta bir segment seçmeniz gerekir (ilk adım: n = 0), ardından onu üç parçaya bölmeniz ve ortadaki üçte birini (n = 1) çıkarmanız gerekir. Ardından, oluşturulan segmentlerin her biri ile aynı şeyi yapacağız. İşlemin sonsuz sayıda tekrarının bir sonucu olarak, gerekli olan “Cantor'un tozu” setini elde ederiz. Şimdi, süreksiz ve sonsuz bölünebilir arasında bir karşıtlık yoktur, "Cantor'un tozu" her ikisidir (bkz. Şekil 1). "Cantor's Dust" bir fraktaldır. Fraktal boyutu 0.6304 ...

Tek boyutlu Cantor kümesinin iki boyutlu analoglarından biri Polonyalı matematikçi Vaclav Sierpinski tarafından tanımlanmıştır. Buna "Cantor halısı" veya daha sık olarak "Sierpinski halısı" denir. O kesinlikle kendine benzer. Fraktal boyutunu ln8 / lnЗ = 1.89 ... olarak hesaplayabiliriz (Şekil 9).

UÇAĞI DOLDURAN HATLAR. Bir düzlemi doldurabilen eğriler olan bütün bir düzenli fraktal ailesini düşünün. Leibniz bile şunu savundu: "Birinin kağıda tesadüfen bir sürü nokta koyduğunu varsayarsak,<… >Belli bir kurala uyan, tüm noktalardan geçecek sabit ve integral bir geometrik çizgi belirlemenin mümkün olduğunu söylüyorum." Leibniz'in bu ifadesi, uzaydaki bir noktanın konumunun benzersiz bir şekilde belirlendiği en küçük parametre sayısı olarak Öklidci boyut anlayışıyla çelişiyordu. Kesin bir kanıtın yokluğunda, Leibniz'in bu fikirleri matematiksel düşüncenin çevresinde kaldı.

Peano eğrisi. Ancak 1890'da İtalya'dan bir matematikçi olan Giuseppe Peano, tüm noktalarından geçen düz bir yüzeyi tamamen kaplayan bir doğru oluşturdu. "Peano eğrisinin" yapısı Şekil 2'de gösterilmektedir. on.

Peano eğrisinin topolojik boyutu bire eşit iken, fraktal boyutu d = ln (1/9) / ln (1/3) = 2'dir. Fraktal geometri çerçevesinde paradoks en doğal şekilde çözülmüştür. yol. Örümcek ağı gibi bir çizgi bir uçağı kaplayabilir. Bu durumda bire bir yazışma kurulur: doğrunun her noktası düzlemde bir noktaya karşılık gelir. Ancak bu yazışma bire bir değildir, çünkü düzlemdeki her nokta doğru üzerinde bir veya daha fazla noktaya karşılık gelir.

Hilbert eğrisi. Bir yıl sonra, 1891'de, Alman matematikçi David Hilbert (1862–1943) tarafından, kesişimleri veya teğetlikleri olmayan bir düzlemi kapsayan bir eğri sunduğu bir makale yayınlandı. "Hilbert eğrisinin" yapısı Şekil 2'de gösterilmektedir. on bir.

Hilbert eğrisi, SSBF eğrilerinin ilk örneğiydi (boşluk doldurma, kendinden kaçınma, Basit ve boşluk doldurma kendinden kaçınma, basit ve kendine benzer çizgiler). Peano eğrisi gibi Gilbert çizgisinin fraktal boyutu ikidir.

Minkowski'nin kaseti. Hilbert'in öğrencilik yıllarından yakın arkadaşı olan Hermann Minkowski, uçağın tamamını kaplamayan, şerit gibi bir şey oluşturan bir eğri oluşturmuştur. Her adımda "Minkowski şeridini" oluştururken, her segment, 8 segmentten oluşan kesik bir çizgi ile değiştirilir. Bir sonraki aşamada, her yeni segment ile işlem 1: 4 ölçeğinde tekrarlanır. Minkowski şeridinin fraktal boyutu d = ln (l / 8) / ln (1/4) = 1.5'tir.

DOĞRUSAL OLMAYAN FRAKTALLER. Karmaşık düzlemin kendi üzerine en basit doğrusal olmayan eşlemesi, birinci bölümde ele alınan Julia eşleme zgz 2 + C'dir.Bu, kapalı bir çevrim üzerinden bir hesaplamadır, burada bir önceki çevrimin sonucunun kendisine bir sabit eklenerek kendisiyle çarpılır. yani, ikinci dereceden bir geri besleme döngüsüdür (şek. 13).

Sabit bir C sabit değerindeki yinelemeler sırasında, keyfi bir başlangıç ​​noktası Z 0'a bağlı olarak, Z n noktası n-> ∞ sonlu veya sonsuz olabilir. Her şey z = 0 orijine göre Z 0'ın konumuna bağlıdır. Hesaplanan değer sonluysa, Julia kümesine dahil edilir; sonsuza giderse, Julia kümesinden kesilir.

Julia haritasını belirli bir yüzeyin noktalarına uyguladıktan sonra elde edilen şekil, benzersiz bir şekilde C parametresi tarafından belirlenir. Küçük C için bunlar basit bağlantılı döngülerdir, büyük C için bunlar bağlantısız ancak kesin olarak sıralanmış noktaların kümeleridir. Genel olarak, tüm Julia formları iki büyük aileye ayrılabilir - bağlantılı ve bağlantısız haritalar. İlki Koch'un kar tanesini andırıyor, ikincisi Kantor'un tozunu.

Julia'nın çeşitli formları, bu formları bilgisayar monitörlerinde ilk kez gözlemleyebildiklerinde matematikçilerin cesaretini kırdı. Bu manifoldu sıralama girişimleri çok koşulluydu ve Mandelbrot kümesinin Julia eşlemelerinin sınıflandırılması için temel alındığı gerçeğine kadar kaynatıldı; bu, ortaya çıktığı gibi, Julia eşlemelerine asimptotik olarak benzer.

C = 0 ile Julia haritasının tekrarı z 0, z 0 2, z 0 4, z 0 8, z 0 16 ... şeklinde bir dizi sayı verir. Sonuç olarak, üç seçenek mümkündür:

• için |z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• için |z 0 | > 1 yinelemeler sırasında, z n sayıları sonsuzluğa doğru giderek mutlak değerde artar. Bu durumda, çekici sonsuzdaki noktadır ve bu tür değerleri Julia kümesinden hariç tutuyoruz;
• için |z 0 | = 1 dizinin tüm noktaları bu birim çember üzerinde kalmaya devam eder. Bu durumda, çekici bir dairedir.

Böylece, C = 0'da, çeken ve iten başlangıç ​​noktaları arasındaki sınır bir dairedir. Bu durumda, eşlemenin iki sabit noktası vardır: z = 0 ve z = 1. Bunlardan birincisi, ikinci dereceden fonksiyonun sıfırdaki türevi 0 olduğu için çekici ve ikincisi, ikinci dereceden fonksiyonun türevi olduğu için iticidir. parametrenin değerindeki fonksiyon ikiye eşittir.

Sabit C'nin gerçek bir sayı olduğu durumu düşünün, yani. Mandelbrot kümesinin ekseni boyunca hareket ediyor gibiyiz (Şekil 14). С = –0.75'te Julia kümesinin sınırı kendi kendisiyle kesişir ve ikinci bir çekici ortaya çıkar. Bu noktada fraktal, Mandelbrot tarafından kendisine ünlü Venedik katedralinin onuruna verilen San Marco fraktalının adını taşır. Çizime bakıldığında, Mandelbrot'un fraktalı tam olarak bu yapıdan sonra adlandırma fikrine neden sahip olduğunu anlamak zor değil: benzerlik şaşırtıcı.

Pirinç. 14. Gerçek C değeri 0'dan -1'e düştüğünde Julia kümesinin şeklindeki değişiklik

С'yi -1.25'e düşürerek, С değerlerine kadar kalan dört sabit nokta ile yeni bir tipik şekil elde ederiz.< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Pirinç. 15. Julia setinin yeni formlarının ortaya çıkması, gerçek değerinde bir düşüşle C< –1

Bu nedenle, Mandelbrot fraktalının ekseninde kalsak bile (sabit C gerçek bir sayıdır), dikkat alanında "yakaladık" ve bir şekilde Julia'nın çemberden toza oldukça geniş bir form çeşitliliğini sıraladık. Şimdi Mandelbrot fraktalının işaret alanlarını ve Julia'nın fraktallarının karşılık gelen formlarını ele alalım. Öncelikle Mandelbrot fraktalını "kardioid", "böbrek" ve "soğan" terimleriyle tanımlayalım (Şekil 16).

Ana kardioid ve bitişik daire, Mandelbrot fraktalının ana şeklini oluşturur. Bunlara, genellikle böbrek adı verilen sonsuz sayıda kopyası bitişiktir. Bu tomurcukların her biri birbirine benzeyen sonsuz sayıda küçük tomurcukla çevrilidir. Ana kardiyoidin üstündeki ve altındaki en büyük iki tomurcuk soğan olarak adlandırılır.

Bu kümenin tipik fraktalını (С = –0.12 + 0.74i) inceleyen Fransız Adrien Daudi ve Amerikalı Bill Hubbard, buna “tavşan fraktal” adını verdiler (Şekil 17).

Mandelbrot fraktalının sınırını geçerken, Julia'nın fraktalları her zaman bağlantıyı kaybeder ve belirli C değerleri için sonsuz uzak bir noktayı çektiğini kanıtlayan Pierre Fatou'nun onuruna yaygın olarak "Fatou tozu" olarak adlandırılan toza dönüşür. toz gibi çok ince bir küme dışında tüm karmaşık düzlem ( şek. 18).

STOKASTİK FRAKTALLER. Kesinlikle kendine benzeyen von Koch eğrisi ile örneğin Norveç kıyıları arasında önemli bir fark vardır. İkincisi, kesinlikle kendine benzer olmamakla birlikte, istatistiksel anlamda benzerlik gösterir. Bu durumda her iki eğri de o kadar kırıktır ki hiçbir noktasına teğet çizemezsiniz, yani ayırt edemezsiniz. Bu tür eğriler, normal Öklid çizgileri arasında bir tür "canavar"dır. Herhangi bir noktasında teğeti olmayan sürekli bir fonksiyon oluşturan ilk kişi Karl Theodor Wilhelm Weierstrass oldu. Çalışmaları 18 Temmuz 1872'de Kraliyet Prusya Akademisi'ne sunuldu ve 1875'te yayınlandı. Weierstrass tarafından açıklanan işlevler gürültüye benziyor (Şekil 19).

Borsa tablolarına, sıcaklık veya hava basıncı dalgalanmalarının bir özetine bakın ve bir tür düzenli düzensizlik bulacaksınız. Ayrıca, ölçeğin artmasıyla düzensizlik karakteri devam eder. Ve bu bizi fraktal geometriye yönlendirir.

Brownian hareketi, stokastik bir sürecin en ünlü örneklerinden biridir. 1926'da Jean Perrin, Brownian hareketinin doğası üzerine yaptığı araştırma için Nobel Ödülü'nü aldı. Brownian yörüngesinin kendine benzerliğine ve ayırt edilemezliğine dikkat çeken oydu.

Son zamanlarda matematik dünyasının fraktallar gibi ilginç nesnelerini öğrendim. Ama onlar sadece matematikte mevcut değiller. Her yerde bizi çevreliyorlar. Fraktallar doğaldır. Bu yazıda fraktalların ne olduğundan, fraktal türleri, bu nesnelerin örneklerinden ve uygulamalarından bahsedeceğim. Başlangıç ​​olarak, size kısaca fraktalın ne olduğunu anlatacağım.

Fraktal (Latin fractus - ezilmiş, kırılmış, kırılmış), kendine benzerlik özelliğine sahip, yani her biri bir bütün olarak bütün şekle benzeyen birkaç parçadan oluşan karmaşık bir geometrik şekildir. Daha geniş anlamda, fraktallar, Öklid uzayında kesirli bir metrik boyuta (Minkowski veya Hausdorff anlamında) veya topolojik dışında bir metrik boyuta sahip nokta kümeleri olarak anlaşılır. Örnek olarak, dört farklı fraktalın resmini ekleyeceğim.

Size biraz fraktalların tarihçesinden bahsedeceğim. 70'lerin sonlarında ortaya çıkan fraktal ve fraktal geometri kavramları, 80'lerin ortalarından itibaren matematikçilerin ve programcıların günlük yaşamının bir parçası haline geldi. "Fraktal" kelimesi, 1975 yılında Benoit Mandelbrot tarafından üzerinde çalıştığı düzensiz fakat kendine benzer yapılara atıfta bulunmak için icat edildi. Fraktal geometrinin doğuşu genellikle 1977'de Mandelbrot'un Doğanın Fraktal Geometrisi kitabının yayınlanmasıyla ilişkilendirilir. Çalışmalarında, 1875-1925 döneminde aynı alanda çalışan diğer bilim adamlarının (Poincare, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) bilimsel sonuçlarını kullandı. Ancak çalışmalarını tek bir sistemde birleştirmek yalnızca zamanımızda mümkün oldu.

Fraktalların birçok örneği var, çünkü dediğim gibi, bizi her yerde çevreliyorlar. Benim düşünceme göre, tüm Evrenimiz bile devasa bir fraktaldır. Sonuçta, atomun yapısından Evrenin kendisinin yapısına kadar içindeki her şey birbirini aynen tekrarlar. Ancak, elbette, farklı alanlardan daha spesifik fraktal örnekleri var. Örneğin fraktallar karmaşık dinamiklerde bulunur. Onlar oradalar doğrusal olmayan çalışmalarda doğal olarak görünür dinamik sistemler... En çok çalışılan durum, dinamik bir sistemin bir polinom veya bir holomorfik yinelemelerle belirtilmesidir. değişkenler kompleksinin bir fonksiyonu yüzeyde. Bu türden en ünlü fraktallardan bazıları Julia kümesi, Mandelbrot kümesi ve Newton'un havzalarıdır. Aşağıda, sırayla, resimler yukarıdaki fraktalların her birini göstermektedir.

Fraktallara başka bir örnek de fraktal eğrilerdir. Fraktal eğrileri örneğini kullanarak bir fraktalın nasıl oluşturulacağını açıklamak en iyisidir. Bu eğrilerden biri sözde Koch Kar Tanesi'dir. basit vardüzlemde fraktal eğriler elde etme prosedürü. Jeneratör adı verilen sınırlı sayıda bağlantıya sahip rastgele bir çoklu çizgi tanımlayalım. Ardından, içindeki her parçayı bir jeneratörle değiştiririz (daha doğrusu, jeneratöre benzer kesikli bir çizgi). Ortaya çıkan kesik çizgide, her segmenti tekrar bir jeneratörle değiştirin. Sonsuza kadar devam edersek, limitte fraktal bir eğri elde ederiz. Koch Kar Tanesi (veya eğrisi) aşağıda gösterilmiştir.

Ayrıca çok çeşitli fraktal eğriler vardır. Bunların en ünlüsü, daha önce bahsedilen Koch Kar Tanesi, ayrıca Levy eğrisi, Minkowski eğrisi, Dragon'un kırık eğrisi, Piyano eğrisi ve Pisagor ağacıdır. Bu fraktalların görüntüsünü ve tarihlerini, isterseniz Wikipedia'da kolayca bulabileceğinizi düşünüyorum.

Üçüncü örnek veya fraktal türü, stokastik fraktallardır. Bu fraktallar, Brown hareketinin yörüngesini içerir. uçakta ve uzayda, Schramm-Löwner evrimi, Farklı çeşit rastgele fraktallar, yani her adımda rastgele bir parametrenin girildiği özyinelemeli bir prosedür kullanılarak elde edilen fraktallar.

Ayrıca tamamen matematiksel fraktallar da vardır. Bunlar örneğin Cantor seti, Menger süngeri, Sierpinski üçgeni ve diğerleridir.

Ama belki de en ilginç fraktallar doğal olanlardır. Doğal fraktallar, doğada fraktal özelliklere sahip nesnelerdir. Ve burada liste zaten uzun. Her şeyi listelemeyeceğim çünkü muhtemelen hepsini listeleyemem ama size bazılarından bahsedeceğim. Örneğin doğada bu tür fraktallar dolaşım sistemimizi ve akciğerlerimizi içerir. Ve ayrıca ağaçların taçları ve yaprakları. Ayrıca denizyıldızı içerir, deniz kestaneleri, mercanlar, deniz kabukları, lahana veya brokoli gibi bazı bitkiler. Yaban hayatından bu tür birkaç doğal fraktal aşağıda açıkça gösterilmiştir.

Cansız doğayı ele alırsak, yaşayan doğadan çok daha ilginç örnekler vardır. Şimşek, kar taneleri, bulutlar, herkes tarafından iyi bilinir, soğuk günlerde pencerelerdeki desenler, kristaller, dağ sıraları - bunların hepsi cansız doğadan doğal fraktal örnekleridir.

Örnekleri ve fraktal türlerini inceledik. Fraktalların kullanımına gelince, çeşitli bilgi alanlarında kullanılırlar. Fizikte, türbülanslı sıvı akışı, karmaşık difüzyon-adsorpsiyon süreçleri, alevler, bulutlar vb. gibi doğrusal olmayan süreçler modellenirken fraktallar doğal olarak ortaya çıkar. Fraktallar, örneğin petrokimyada gözenekli malzemelerin modellenmesinde kullanılır. Biyolojide popülasyonları modellemek ve sistemleri tanımlamak için kullanılırlar. iç organlar(kan damarı sistemi). Koch eğrisinin oluşturulmasından sonra, kıyı şeridinin uzunluğu hesaplanırken kullanılması önerildi. Fraktallar ayrıca radyo mühendisliği, bilgisayar bilimi ve bilgisayar Teknolojisi, telekomünikasyon ve hatta ekonomi. Ve elbette, fraktal görüş, çağdaş sanat ve mimaride aktif olarak kullanılmaktadır. İşte fraktal resimlere bir örnek:

Ve böylece, fraktal gibi alışılmadık bir matematiksel fenomen hakkındaki hikayemi tamamlamayı düşünüyorum. Bugün fraktalın ne olduğunu, nasıl ortaya çıktığını, fraktal çeşitlerini ve örneklerini öğrendik. Ayrıca uygulamalarından bahsettim ve bazı fraktalları görsel olarak gösterdim. Umarım şaşırtıcı ve büyüleyici fraktal nesnelerin dünyasına bu kısa geziyi beğenmişsinizdir.