Základný koncept teórie pravdepodobnosti. Zákony teórie pravdepodobnosti. Teória pravdepodobnosti a základné pojmy teórie Teória matematickej pravdepodobnosti

Učenie o zákonoch, na ktoré sa vzťahuje tzv. náhodné udalosti. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Chudinov A.N., 1910 ... Slovník cudzích slov ruského jazyka

teória pravdepodobnosti-- [L.G. Sumenko. Anglický ruský slovník informačných technológií. M.: GP TsNIIS, 2003.] Témy Informačné technológie vo všeobecnosti EN teória pravdepodobnosti teória pravdepodobnosti výpočet pravdepodobnosti ... Technická príručka prekladateľa

Teória pravdepodobnosti- existuje časť matematiky, ktorá študuje vzťahy medzi pravdepodobnosťami (pozri Pravdepodobnosť a štatistika) rôznych udalostí. Uvádzame najdôležitejšie vety súvisiace s touto vedou. Pravdepodobnosť výskytu jednej z niekoľkých nekompatibilných udalostí sa rovná ... ... encyklopedický slovník F. Brockhaus a I.A. Efron

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI- matematický veda, ktorá umožňuje podľa pravdepodobnosti niektorých náhodných udalostí (pozri) nájsť pravdepodobnosti náhodných udalostí spojených s k. l. spôsobom s prvým. Moderný televízor na základe axiomatiky (pozri Axiomatická metóda) A. N. Kolmogorova. Na…… Ruská sociologická encyklopédia

Teória pravdepodobnosti- odvetvie matematiky, v ktorom sa podľa daných pravdepodobností niektorých náhodných udalostí zisťujú pravdepodobnosti iných udalostí, súvisiacich nejakým spôsobom s prvou. Teória pravdepodobnosti tiež študuje náhodné premenné a náhodné procesy. Jedna z hlavných…… Pojmy moderných prírodných vied. Slovník základných pojmov

teória pravdepodobnosti- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teória pravdepodobnosti vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. teória pravdepodobnosti, f pranc. theorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Teória pravdepodobnosti- ... Wikipedia

Teória pravdepodobnosti- matematická disciplína, ktorá študuje vzorce náhodných javov ... Začiatky moderných prírodných vied

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI- (teória pravdepodobnosti) pozri Pravdepodobnosť ... Veľký výkladový sociologický slovník

Teória pravdepodobnosti a jej aplikácie- („Teória pravdepodobnosti a jej aplikácie“), vedecký časopis Katedry matematiky Akadémie vied ZSSR. Publikovať pôvodné články a krátke správy podľa teórie pravdepodobnosti, všeobecné otázky matematická štatistika a jej aplikácie v prírodných vedách a ... ... Veľký sovietska encyklopédia

knihy

  • Teória pravdepodobnosti. , Venttsel E.S. Kniha je učebnica určená pre ľudí, ktorí poznajú matematiku v rozsahu bežného stredoškolského kurzu a zaujímajú sa o technické aplikácie teórie pravdepodobnosti, v ... Kúpiť za 2056 UAH (iba Ukrajina)
  • Teória pravdepodobnosti. , Wentzel E.S. Kniha je učebnicou určenou pre ľudí znalých matematiky v rozsahu bežného stredoškolského kurzu a zaujímajúcich sa o technické aplikácie teórie pravdepodobnosti v ...

Čo je pravdepodobnosť?

Prvýkrát zoči-voči tomuto pojmu by som nerozumel, čo to je. Tak sa to pokúsim vysvetliť zrozumiteľne.

Pravdepodobnosť je šanca, že dôjde k želanej udalosti.

Napríklad ste sa rozhodli navštíviť priateľa, zapamätať si vchod a dokonca aj poschodie, na ktorom žije. Ale zabudol som číslo a polohu bytu. A teraz stojíte na schodisku a pred vami sú dvere, z ktorých si môžete vybrať.

Aká je šanca (pravdepodobnosť), že ak zazvoníte na prvé dvere, otvorí vám priateľ? Celý byt a priateľ býva len za jedným z nich. S rovnakou šancou si môžeme vybrať akékoľvek dvere.

Ale aká je táto šanca?

Dvere, správne dvere. Pravdepodobnosť uhádnutia zvonením na prvé dvere: . To znamená, že jeden z troch prípadov určite uhádnete.

Chceme vedieť tak, že raz zavoláme, ako často uhádneme dvere? Pozrime sa na všetky možnosti:

  1. volali ste 1 dvere
  2. volali ste 2 dvere
  3. volali ste 3 dvere

A teraz zvážte všetky možnosti, kde môže byť priateľ:

ale. pozadu 1 dvere
b. pozadu 2 dvere
v. pozadu 3 dvere

Porovnajme všetky možnosti vo forme tabuľky. Začiarknutie označuje možnosti, keď sa vaša voľba zhoduje s umiestnením priateľa, krížik - ak sa nezhoduje.

Ako všetko vidíte možno možnosti polohu priateľa a váš výber, na ktoré dvere zazvoniť.

ALE priaznivé výsledky všetkých . To znamená, že časy od uhádnete tak, že raz zazvoníte na dvere, t.j. .

Toto je pravdepodobnosť - pomer priaznivého výsledku (keď sa váš výber zhodoval s umiestnením priateľa) k počtu možných udalostí.

Definícia je vzorec. Pravdepodobnosť sa zvyčajne označuje p, takže:

Nie je veľmi vhodné písať takýto vzorec, takže zoberme za - počet priaznivých výsledkov a za - celkový počet výsledkov.

Pravdepodobnosť je možné zapísať ako percento, preto musíte výsledný výsledok vynásobiť:

Pravdepodobne vás zaujalo slovo „výsledky“. Keďže matematici nazývajú rôzne akcie (u nás je takouto akciou zvonček) experimenty, je zvykom nazývať výsledok takýchto experimentov výsledkom.

Nuž, výsledky sú priaznivé aj nepriaznivé.

Vráťme sa k nášmu príkladu. Povedzme, že sme zazvonili pri jedných dverách, no otvoril nám cudzinec. Nehádali sme. Aká je pravdepodobnosť, že ak zazvoníme na jedny zo zostávajúcich dverí, otvorí nám ich priateľ?

Ak ste si to mysleli, tak je to omyl. Poďme na to.

Ostali nám dvoje dvere. Takže máme možné kroky:

1) Zavolajte na 1 dvere
2) Zavolajte 2 dvere

Za jedným z nich určite stojí priateľ (napokon nebol za tým, ktorého sme volali):

a) priateľ 1 dvere
b) priateľ pre 2 dvere

Znovu nakreslíme tabuľku:

Ako vidíte, existujú všetky možnosti, z ktorých - priaznivé. To znamená, že pravdepodobnosť je rovnaká.

Prečo nie?

Situácia, ktorú sme zvážili, je príklad závislých udalostí. Prvou udalosťou je prvý zvonček, druhou udalosťou je druhý zvonček.

A nazývajú sa závislými, pretože ovplyvňujú nasledujúce akcie. Ak by totiž priateľ otvoril dvere po prvom zazvonení, aká by bola pravdepodobnosť, že je za jedným z ostatných dvoch? Správny, .

Ale ak existujú závislé udalosti, potom musia existovať nezávislý? Pravda, existujú.

Učebnicovým príkladom je hod mincou.

  1. Hodíme si mincou. Aká je pravdepodobnosť, že prídu napríklad hlavy? Je to tak - pretože možnosti pre všetko (či už hlavy alebo chvosty, zanedbáme pravdepodobnosť, že čoin bude stáť na hrane), ale vyhovujú iba nám.
  2. Ale vypadli chvosty. Dobre, zopakujme to. Aká je pravdepodobnosť, že sa to teraz objaví? Nič sa nezmenilo, všetko je po starom. Koľko možností? Dva. Nakoľko sme spokojní? Jeden.

A nech vypadnú chvosty aspoň tisíckrát za sebou. Pravdepodobnosť pádu hláv naraz bude rovnaká. Vždy existujú možnosti, ale priaznivé.

Rozlíšenie závislých udalostí od nezávislých je jednoduché:

  1. Ak sa experiment uskutoční raz (raz hodia mincou, raz zazvoní zvonček atď.), potom sú udalosti vždy nezávislé.
  2. Ak sa experiment vykonáva niekoľkokrát (raz sa hodí minca, niekoľkokrát zazvoní zvonček), prvá udalosť je vždy nezávislá. A potom, ak sa zmení počet priaznivých alebo počet všetkých výsledkov, potom sú udalosti závislé, a ak nie, sú nezávislé.

Poďme si trochu zacvičiť, aby sme určili pravdepodobnosť.

Príklad 1

Minca sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že dostanete heads up dvakrát za sebou?

Riešenie:

Zvážte všetky možné možnosti:

  1. orol orol
  2. orol chvostnatý
  3. chvostoskok
  4. Chvosty-chvosty

Ako vidíte, všetky možnosti. Z nich sme spokojní len my. To je pravdepodobnosť:

Ak podmienka vyžaduje jednoducho nájsť pravdepodobnosť, potom musí byť odpoveď uvedená ako desatinný zlomok. Ak by bolo uvedené, že odpoveď musí byť uvedená v percentách, potom by sme vynásobili.

odpoveď:

Príklad 2

V bonboniére sú všetky cukríky zabalené v rovnakom obale. Avšak zo sladkostí – s orieškami, koňakom, čerešňami, karamelom a nugátom.

Aká je pravdepodobnosť, že si vezmete jeden cukrík a dostanete cukrík s orechmi. Uveďte svoju odpoveď v percentách.

Riešenie:

Koľko je možných výsledkov? .

To znamená, že keď si vezmete jeden cukrík, bude to jeden z tých v krabici.

A koľko priaznivých výsledkov?

Pretože krabička obsahuje samé čokoládky s orieškami.

odpoveď:

Príklad 3

V krabici s loptičkami. z ktorých sú biele a čierne.

  1. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia bielej gule?
  2. Do krabice sme pridali viac čiernych guličiek. Aká je pravdepodobnosť, že teraz vytiahnete bielu guľu?

Riešenie:

a) V krabici sú iba loptičky. z ktorých sú biele.

Pravdepodobnosť je:

b) Teraz sú v krabici loptičky. A rovnako veľa bielych zostalo.

odpoveď:

Úplná pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť všetkých možných udalostí je ().

Napríklad v krabici červených a zelených guľôčok. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej gule? Zelená guľa? Červená alebo zelená guľa?

Pravdepodobnosť nakreslenia červenej gule

Zelená guľa:

Červená alebo zelená guľa:

Ako vidíte, súčet všetkých možných udalostí sa rovná (). Pochopenie tohto bodu vám pomôže vyriešiť mnohé problémy.

Príklad 4

V krabičke sú fixky: zelená, červená, modrá, žltá, čierna.

Aká je pravdepodobnosť, že nakreslíte NIE červenú značku?

Riešenie:

Spočítajme číslo priaznivé výsledky.

NIE červená značka, to znamená zelená, modrá, žltá alebo čierna.

Pravdepodobnosť všetkých udalostí. A pravdepodobnosť udalostí, ktoré považujeme za nepriaznivé (keď vytiahneme červenú fixku) je .

Pravdepodobnosť nakreslenia NIE červenej fixky je teda -.

odpoveď:

Pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, je mínus pravdepodobnosť, že udalosť nastane.

Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Už viete, čo sú nezávislé udalosti.

A ak potrebujete nájsť pravdepodobnosť, že dôjde k dvom (alebo viacerým) nezávislým udalostiam za sebou?

Povedzme, že chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť, že ak si raz hodíme mincou, dvakrát uvidíme orla?

Už sme zvážili - .

Čo ak si hodíme mincou? Aká je pravdepodobnosť, že uvidíte orla dvakrát za sebou?

Celkom možné možnosti:

  1. Orol-orol-orol
  2. Orlie-hlava-chvosty
  3. Hlava-chvost-orol
  4. Hlava-chvosty-chvosty
  5. chvostoskok-orol-orol
  6. Chvosty-hlavy-chvosty
  7. Chvosty-chvosty-hlavy
  8. Chvosty-chvosty-chvosty

Neviem ako vy, ale ja som si tento zoznam raz pomýlil. Wow! A jediná možnosť (prvá) nám vyhovuje.

Pre 5 hodov si môžete sami vytvoriť zoznam možných výsledkov. Ale matematici nie sú takí pracovití ako ty.

Preto si najprv všimli a potom dokázali, že pravdepodobnosť určitej postupnosti nezávislých udalostí klesá zakaždým o pravdepodobnosť jednej udalosti.

Inými slovami,

Zoberme si príklad tej istej nešťastnej mince.

Pravdepodobnosť, že sa objavíte v procese? . Teraz si hodíme mincou.

Aká je pravdepodobnosť, že dostanete chvosty v rade?

Toto pravidlo nefunguje len vtedy, ak sme požiadaní, aby sme zistili pravdepodobnosť, že sa rovnaká udalosť vyskytne niekoľkokrát za sebou.

Ak by sme chceli nájsť sekvenciu TAILS-EAGLE-TAILS na po sebe idúcich preklopeniach, urobili by sme to isté.

Pravdepodobnosť získania chvostov - , hláv - .

Pravdepodobnosť získania sekvencie TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

Môžete to skontrolovať sami vytvorením tabuľky.

Pravidlo pre sčítanie pravdepodobností nezlučiteľných udalostí.

Tak prestaň! Nová definícia.

Poďme na to. Vezmime našu opotrebovanú mincu a raz ju prehodíme.
Možné možnosti:

  1. Orol-orol-orol
  2. Orlie-hlava-chvosty
  3. Hlava-chvost-orol
  4. Hlava-chvosty-chvosty
  5. chvostoskok-orol-orol
  6. Chvosty-hlavy-chvosty
  7. Chvosty-chvosty-hlavy
  8. Chvosty-chvosty-chvosty

Takže tu sú nezlučiteľné udalosti, toto je určitý, daný sled udalostí. sú nezlučiteľné udalosti.

Ak chceme určiť, aká je pravdepodobnosť dvoch (alebo viacerých) nezlučiteľných udalostí, tak sčítame pravdepodobnosti týchto udalostí.

Musíte pochopiť, že strata orla alebo chvostov sú dve nezávislé udalosti.

Ak chceme určiť, aká je pravdepodobnosť vypadnutia postupnosti (alebo akejkoľvek inej), tak použijeme pravidlo násobenia pravdepodobností.
Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy pri prvom hode a chvost pri druhom a treťom?

Ale ak chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť získania jednej z viacerých sekvencií, napríklad keď hlavy prídu presne raz, t.j. možnosti a potom musíme pridať pravdepodobnosti týchto postupností.

Celkové možnosti nám vyhovujú.

To isté môžeme získať sčítaním pravdepodobnosti výskytu každej postupnosti:

Pravdepodobnosti teda pridávame, keď chceme určiť pravdepodobnosť nejakých, nezlučiteľných, sledov udalostí.

Existuje skvelé pravidlo, ktoré vám pomôže nezmiasť sa, kedy násobiť a kedy sčítať:

Vráťme sa k príkladu, keď sme si raz hádzali mincou a chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť, že raz uvidíme hlavy.
Čo sa stane?

Malo by klesnúť:
(hlavy A chvosty A chvosty) ALEBO (chvosty A hlavy A chvosty) ALEBO (chvosty A chvosty A hlavy).
A tak to dopadá:

Pozrime sa na pár príkladov.

Príklad 5

V krabičke sú ceruzky. červená, zelená, oranžová a žltá a čierna. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej alebo zelenej ceruzky?

Riešenie:

Čo sa stane? Musíme vytiahnuť (červená ALEBO zelená).

Teraz je to jasné, spočítame pravdepodobnosti týchto udalostí:

odpoveď:

Príklad 6

Kocka sa hodí dvakrát, aká je pravdepodobnosť, že padne celkovo 8?

Riešenie.

Ako môžeme získať body?

(a) alebo (a) alebo (a) alebo (a) alebo (a).

Pravdepodobnosť vypadnutia z jednej (akejkoľvek) tváre je .

Vypočítame pravdepodobnosť:

odpoveď:

Školenie.

Myslím, že teraz je ti už jasné, kedy treba počítať pravdepodobnosti, kedy ich sčítať a kedy vynásobiť. Nieje to? Poďme si trochu zacvičiť.

Úlohy:

Zoberme si balíček kariet, v ktorom sú karty piky, srdce, 13 palíc a 13 tamburín. Od po Eso každej farby.

  1. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia palíc za sebou (prvú vytiahnutú kartu vložíme späť do balíčka a zamiešame)?
  2. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia čiernej karty (piky alebo palice)?
  3. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia obrázka (jack, dáma, kráľ alebo eso)?
  4. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia dvoch obrázkov za sebou (odstránime prvú vytiahnutú kartu z balíčka)?
  5. Aká je pravdepodobnosť, že ak vezmete dve karty, nazbierate kombináciu - (Jack, Queen alebo King) a Eso Poradie, v ktorom budú karty ťahané, nezáleží.

odpovede:

  1. V balíčku kariet každej hodnoty to znamená:
  2. Udalosti sú závislé, keďže po prvej vytiahnutej karte sa počet kariet v balíčku znížil (rovnako ako počet „obrázkov“). Celkový počet jackov, dám, kráľov a es v balíčku na začiatku, čo znamená pravdepodobnosť vytiahnutia „obrázku“ s prvou kartou:

    Keďže z balíčka odstraňujeme prvú kartu, znamená to, že v balíčku už zostala karta, na ktorej sú obrázky. Pravdepodobnosť nakreslenia obrázka s druhou kartou:

    Keďže nás zaujíma situácia, keď dostaneme z balíčka: „obrázok“ A „obrázok“, potom musíme vynásobiť pravdepodobnosti:

    odpoveď:

  3. Po vytiahnutí prvej karty sa počet kariet v balíčku zníži. Máme teda dve možnosti:
    1) S prvou kartou vytiahneme eso, druhú - jacka, dámu alebo kráľa
    2) S prvou kartou vyberieme jacka, dámu alebo kráľa, druhú - eso. (eso a (jack alebo dáma alebo kráľ)) alebo ((jack alebo dáma alebo kráľ) a eso). Nezabudnite na zníženie počtu kariet v balíčku!

Ak ste boli schopní vyriešiť všetky problémy sami, potom ste skvelý človek! Teraz úlohy z teórie pravdepodobnosti na skúške budete cvakať ako orechy!

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Zvážte príklad. Povedzme, že hodíme kockou. Čo je to za kosť, vieš? Toto je názov kocky s číslami na stenách. Koľko tvárí, toľko čísel: od do koľko? Predtým.

Takže hodíme kockou a chceme, aby prišla s alebo. A vypadneme.

V teórii pravdepodobnosti hovoria, čo sa stalo priaznivá udalosť(nezamieňať s dobrým).

Ak by to vypadlo, akcia by bola tiež priaznivá. Celkovo môžu nastať iba dve priaznivé udalosti.

Koľko zlých? Keďže všetky možné udalosti, nepriaznivé z nich sú udalosti (to je, ak vypadne alebo).

Definícia:

Pravdepodobnosť je pomer počtu priaznivých udalostí k počtu všetkých možných udalostí.. To znamená, že pravdepodobnosť ukazuje, aký podiel všetkých možných udalostí je priaznivý.

Pravdepodobnosť je označená latinským písmenom (zrejme z anglické slovo pravdepodobnosť – pravdepodobnosť).

Je zvykom merať pravdepodobnosť v percentách (pozri témy a). Na to je potrebné vynásobiť hodnotu pravdepodobnosti. V príklade s kockami pravdepodobnosť.

A v percentách: .

Príklady (rozhodnite sa sami):

  1. Aká je pravdepodobnosť, že hod mincou dopadne na hlavu? A aká je pravdepodobnosť chvostov?
  2. Aká je pravdepodobnosť, že pri hode kockou padne párne číslo? A s čím - zvláštne?
  3. V zásuvke obyčajných, modrých a červených ceruziek. Náhodne nakreslíme jednu ceruzku. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia jednoduchého?

Riešenia:

  1. Koľko možností je? Hlavy a chvosty - iba dve. A koľko z nich je priaznivých? Len jeden je orol. Takže pravdepodobnosť

    To isté s chvostmi: .

  2. Celkový počet možností: (koľko strán má kocka, toľko rôznych možností). Priaznivé: (sú to všetko párne čísla :).
    Pravdepodobnosť. S odd, samozrejme, to isté.
  3. Celkom: . Priaznivý: . Pravdepodobnosť: .

Úplná pravdepodobnosť

Všetky ceruzky v zásuvke sú zelené. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej ceruzky? Neexistujú žiadne šance: pravdepodobnosť (napokon, priaznivé udalosti -).

Takáto udalosť sa nazýva nemožná.

Aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej ceruzky? Priaznivých udalostí je presne toľko, koľko je celkových udalostí (všetky udalosti sú priaznivé). Pravdepodobnosť je teda alebo.

Takáto udalosť sa nazýva istá.

Ak sú v krabici zelené a červené ceruzky, aká je pravdepodobnosť, že nakreslíte zelenú alebo červenú? Ešte raz. Všimnite si nasledujúcu vec: pravdepodobnosť nakreslenia zelenej je rovnaká a červená je .

Celkovo sú tieto pravdepodobnosti úplne rovnaké. t.j. súčet pravdepodobností všetkých možných udalostí sa rovná alebo.

Príklad:

V škatuľke ceruziek sú medzi nimi modré, červené, zelené, jednoduché, žlté a ostatné sú oranžové. Aká je pravdepodobnosť, že nenakreslíte zelenú?

Riešenie:

Pamätajte, že všetky pravdepodobnosti sa sčítavajú. A pravdepodobnosť nakreslenia zelenej je rovnaká. To znamená, že pravdepodobnosť nevykreslenia zelenej je rovnaká.

Zapamätajte si tento trik: Pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, je mínus pravdepodobnosť, že udalosť nastane.

Nezávislé udalosti a pravidlo násobenia

Dvakrát hodíte mincou a chcete, aby sa v oboch prípadoch objavila hlava. Aká je pravdepodobnosť tohto?

Poďme prejsť všetkými možnými možnosťami a určiť, koľko ich je:

Eagle-Eagle, Tails-Eagle, Eagle-Tails, Tails-Tails. Čo ešte?

Celý variant. Z nich nám vyhovuje len jeden: Eagle-Eagle. Pravdepodobnosť je teda rovnaká.

Dobre. Teraz si hodíme mincou. Spočítajte si. Stalo? (odpoveď).

Možno ste si všimli, že s pridaním každého ďalšieho hodu sa pravdepodobnosť znižuje o faktor. Všeobecné pravidlo volal pravidlo násobenia:

Pravdepodobnosť nezávislých udalostí sa mení.

Čo sú nezávislé udalosti? Všetko je logické: toto sú tie, ktoré na sebe nezávisia. Keď napríklad hodíme mincou niekoľkokrát, zakaždým sa uskutoční nový hod, ktorého výsledok nezávisí od všetkých predchádzajúcich hodov. S rovnakým úspechom môžeme hodiť dve rôzne mince súčasne.

Ďalšie príklady:

  1. Kocka sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že sa to objaví v oboch prípadoch?
  2. Mincou sa hádže krát. Aká je pravdepodobnosť, že dostaneš najprv hlavy a potom dvakrát chvosty?
  3. Hráč hodí dvoma kockami. Aká je pravdepodobnosť, že súčet čísel na nich bude rovnaký?

odpovede:

  1. Udalosti sú nezávislé, čo znamená, že pravidlo násobenia funguje: .
  2. Pravdepodobnosť orla je rovnaká. Pravdepodobnosť chvostov tiež. Vynásobíme:
  3. 12 možno získať len vtedy, ak vypadnú dve -ki: .

Nekompatibilné udalosti a pravidlo sčítania

Nekompatibilné udalosti sú udalosti, ktoré sa s plnou pravdepodobnosťou navzájom dopĺňajú. Ako už názov napovedá, nemôžu sa stať súčasne. Napríklad, ak si hodíme mincou, môžu vypadnúť buď hlavy alebo chvosty.

Príklad.

V škatuľke ceruziek sú medzi nimi modré, červené, zelené, jednoduché, žlté a ostatné sú oranžové. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej alebo červenej?

Riešenie .

Pravdepodobnosť nakreslenia zelenej ceruzky je rovnaká. Červená - .

Priaznivé udalosti všetkých: zelená + červená. Pravdepodobnosť nakreslenia zelenej alebo červenej je teda rovnaká.

Rovnaká pravdepodobnosť môže byť vyjadrená v nasledujúcom tvare: .

Toto je pravidlo pridávania: pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí sa sčítavajú.

Zmiešané úlohy

Príklad.

Minca sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že výsledok hodov bude iný?

Riešenie .

To znamená, že ak sa hlavy zdvihnú ako prvé, chvosty by mali byť druhé a naopak. Ukazuje sa, že tu existujú dva páry nezávislých udalostí a tieto páry sú navzájom nekompatibilné. Ako sa nenechať zmiasť, kde sa má množiť a kde pridávať.

Pre takéto situácie platí jednoduché pravidlo. Skúste popísať, čo by sa malo stať, spojením udalostí s odbormi „AND“ alebo „ALEBO“. Napríklad v tomto prípade:

Must roll (hlavy a chvosty) alebo (chvosty a hlavy).

Kde je spojenie „a“, dôjde k násobeniu a kde „alebo“ je sčítanie:

Vyskúšajte sami:

  1. Aká je pravdepodobnosť, že pri dvoch hodoch mincou bude v oboch prípadoch tá istá strana?
  2. Kocka sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že súčet klesne o body?

Riešenia:

  1. (Hlavy hore a hlavy hore) alebo (chvosty hore a chvosty hore): .
  2. Aké sú možnosti? A potom:
    Valcované (a) alebo (a) alebo (a): .

Ďalší príklad:

Raz si hodíme mincou. Aká je pravdepodobnosť, že sa aspoň raz zdvihnú hlavy?

Riešenie:

Ach, ako sa mi nechce triediť možnosti ... Hlava-chvosty-chvosty, Orlie-hlavy-chvosty, ... Ale nemusíte! Hovorme o plnej pravdepodobnosti. Pamätáte si? Aká je pravdepodobnosť, že orol nikdy neklesne? Je to jednoduché: chvosty lietajú neustále, to znamená.

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI. STRUČNE O HLAVNOM

Pravdepodobnosť je pomer počtu priaznivých udalostí k počtu všetkých možných udalostí.

Nezávislé udalosti

Dve udalosti sú nezávislé, ak výskyt jednej nemení pravdepodobnosť výskytu druhej.

Úplná pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť všetkých možných udalostí je ().

Pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, je mínus pravdepodobnosť, že udalosť nastane.

Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Pravdepodobnosť určitej postupnosti nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností každej z udalostí

Nekompatibilné udalosti

Nekompatibilné udalosti sú také udalosti, ktoré sa v dôsledku experimentu nemôžu vyskytnúť súčasne. Množstvo nekompatibilných udalostí tvorí ucelenú skupinu udalostí.

Pravdepodobnosti nekompatibilných udalostí sa sčítavajú.

Po opísaní toho, čo by sa malo stať, pomocou zväzkov „AND“ alebo „ALEBO“ namiesto „AND“ vložíme znamienko násobenia a namiesto „ALEBO“ - sčítanie.

OSTATNÉ 2/3 ČLÁNKOV SÚ K DISPOZÍCII LEN PRE MLADŠÍCH ŠTUDENTOV!

Staňte sa študentom YouClever,

Pripravte sa na OGE alebo USE v matematike za cenu „šálky kávy za mesiac“,

A tiež získate neobmedzený prístup k učebnici „YouClever“, školiacemu programu „100gia“ (kniha riešení), neobmedzené skúšobné USE a OGE, 6000 úloh s analýzou riešení a ďalšie služby YouClever a 100gia.

ÚVOD

Mnohé veci sú pre nás nepochopiteľné, nie preto, že by naše predstavy boli slabé;
ale pretože tieto veci nevstupujú do okruhu našich pojmov.
Kozma Prutkov

Hlavným cieľom štúdia matematiky na stredných odborných vzdelávacích inštitúciách je poskytnúť študentom súbor matematických vedomostí a zručností potrebných na štúdium iných študijných odborov, ktoré v tej či onej miere využívajú matematiku, pre schopnosť vykonávať praktické výpočty, pre formovanie a rozvoj. logického myslenia.

V tomto príspevku sú všetky základné pojmy sekcie matematiky „Základy teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky“, ktoré poskytuje program a Štátne vzdelávacie štandardy stredného odborného vzdelávania (Ministerstvo školstva Ruskej federácie. M., 2002). ), sú dôsledne zavedené, sú formulované hlavné vety, z ktorých väčšina nie je dokázaná. Uvažuje sa o hlavných úlohách a metódach ich riešenia a technológiách aplikácie týchto metód pri riešení praktických problémov. Prezentáciu dopĺňajú podrobné komentáre a množstvo príkladov.

Metodické pokyny je možné využiť na prvotné oboznámenie sa s preberanou látkou, pri zapisovaní poznámok z prednášok, na prípravu na praktické cvičenia, na upevnenie nadobudnutých vedomostí, zručností a schopností. Okrem toho bude príručka užitočná pre študentov vysokých škôl ako referenčný nástroj, ktorý vám umožní rýchlo obnoviť v pamäti to, čo bolo predtým študované.

V závere práce sú uvedené príklady a úlohy, ktoré môžu žiaci vykonávať v režime sebakontroly.

Metodické pokyny sú určené pre študentov korešpondenčnej a dennej formy vzdelávania.

ZÁKLADNÉ POJMY

Teória pravdepodobnosti študuje objektívne zákonitosti hromadných náhodných udalostí. Ide o teoretický základ pre matematickú štatistiku, zaoberajúci sa vývojom metód zberu, opisu a spracovania výsledkov pozorovaní. Prostredníctvom pozorovaní (testov, experimentov), ​​t.j. skúsenosti v širokom zmysle slova, dochádza k poznaniu javov reálneho sveta.

Pri našej praktickej činnosti sa často stretávame s javmi, ktorých výsledok sa nedá predvídať, výsledok závisí od náhody.

Náhodný jav možno charakterizovať pomerom počtu jeho výskytov k počtu pokusov, pričom v každom z nich by za rovnakých podmienok všetkých pokusov mohol nastať alebo nenastať.

Teória pravdepodobnosti je odvetvie matematiky, v ktorom sa skúmajú náhodné javy (udalosti) a odhaľujú sa zákonitosti pri ich hromadnom opakovaní.

Matematická štatistika je oblasť matematiky, ktorej predmetom je štúdium metód zberu, systematizácie, spracovania a používania štatistických údajov na získanie vedecky podložených záverov a rozhodovania.

Štatistické údaje sa zároveň chápu ako súbor čísel, ktoré predstavujú kvantitatívne charakteristiky znakov študovaných objektov, ktoré nás zaujímajú. Štatistické údaje sa získavajú ako výsledok špeciálne navrhnutých experimentov a pozorovaní.

Štatistické údaje vo svojej podstate závisia od mnohých náhodných faktorov, preto matematická štatistika úzko súvisí s teóriou pravdepodobnosti, ktorá je jej teoretickým základom.

I. PRAVDEPODOBNOSŤ. TEÓMY SČÍTANIA A NÁSOBENIA PRAVDEPODOBNOSTI

1.1. Základné pojmy kombinatoriky

V časti matematiky zvanej kombinatorika sa riešia niektoré problémy súvisiace s uvažovaním množín a zostavovaním rôznych kombinácií prvkov týchto množín. Ak napríklad vezmeme 10 rôznych čísel 0, 1, 2, 3,:, 9 a vytvoríme z nich kombinácie, dostaneme rôzne čísla, napríklad 143, 431, 5671, 1207, 43 atď.

Vidíme, že niektoré z týchto kombinácií sa líšia iba poradím číslic (napríklad 143 a 431), iné číslami, ktoré sú v nich zahrnuté (napríklad 5671 a 1207) a iné sa líšia aj počtom číslic ( napríklad 143 a 43).

Takto získané kombinácie spĺňajú rôzne podmienky.

V závislosti od pravidiel zostavovania možno rozlíšiť tri typy kombinácií: permutácie, umiestnenia, kombinácie.

Najprv sa zoznámime s konceptom faktoriál.

Volá sa súčin všetkých prirodzených čísel od 1 do n vrátane n-faktoriálne a písať.

Vypočítajte: a) ; b) ; v).

Riešenie. ale) .

b) ako aj , potom ho môžete vyňať zo zátvoriek

Potom dostaneme

v) .

Permutácie.

Kombinácia n prvkov, ktoré sa navzájom líšia iba v poradí prvkov, sa nazýva permutácia.

Permutácie sú označené symbolom P n , kde n je počet prvkov v každej permutácii. ( R- prvé písmeno francúzskeho slova permutácia- permutácia).

Počet permutácií možno vypočítať pomocou vzorca

alebo s faktoriálom:

Pripomeňme si to 0!=1 a 1!=1.

Príklad 2. Koľkými spôsobmi možno umiestniť šesť rôznych kníh na jednu policu?

Riešenie. Požadovaný počet spôsobov sa rovná počtu permutácií 6 prvkov, t.j.

Ubytovanie.

Umiestnenia z m prvky v n v každom sa nazývajú také zlúčeniny, ktoré sa navzájom líšia buď samotnými prvkami (aspoň jedným), alebo poradím umiestnenia.

Miesta sú označené symbolom , kde m je počet všetkých dostupných prvkov, n je počet prvkov v každej kombinácii. ( ALE- prvé písmeno francúzskeho slova usporiadanie, čo znamená „umiestnenie, uvedenie do poriadku“).

Zároveň sa predpokladá, že nm.

Počet umiestnení možno vypočítať pomocou vzorca

,

tie. počet všetkých možných umiestnení z m prvky podľa n sa rovná produktu n po sebe idúce celé čísla, z ktorých väčšie je m.

Tento vzorec napíšeme vo faktoriálnom tvare:

Príklad 3. Koľko možností na distribúciu troch poukážok do sanatória rôznych profilov možno urobiť pre piatich žiadateľov?

Riešenie. Požadovaný počet možností sa rovná počtu umiestnení 5 prvkov po 3 prvkoch, t.j.

.

Kombinácie.

Kombinácie sú všetky možné kombinácie m prvky podľa n, ktoré sa od seba líšia aspoň jedným prvkom (tu m A n- prirodzené čísla a n m).

Počet kombinácií od m prvky podľa n sú označené ( OD- prvé písmeno francúzskeho slova kombinácia- kombinácia).

Vo všeobecnosti počet m prvky podľa n rovná počtu umiestnení z m prvky podľa n delené počtom permutácií z n prvky:

Pomocou faktoriálových vzorcov pre čísla umiestnení a permutácií dostaneme:

Príklad 4. V tíme 25 ľudí musíte prideliť štyroch na prácu v určitej oblasti. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?

Riešenie. Keďže na poradí vybraných štyroch ľudí nezáleží, dá sa to urobiť rôznymi spôsobmi.

Nájdeme podľa prvého vzorca

.

Okrem toho sa pri riešení problémov používajú nasledujúce vzorce, ktoré vyjadrujú hlavné vlastnosti kombinácií:

(podľa definície a predpokladajú sa);

.

1.2. Riešenie kombinatorických úloh

Úloha 1. Na fakulte sa študuje 16 predmetov. V pondelok si treba dať do rozvrhu 3 predmety. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?

Riešenie. Existuje toľko spôsobov, ako naplánovať tri položky zo 16, ako existuje toľko umiestnení so 16 prvkami, každý po 3.

Úloha 2. Z 15 objektov je potrebné vybrať 10 objektov. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?

Úloha 3. Súťaže sa zúčastnili štyri družstvá. Koľko možností na rozdelenie miest medzi nimi je možných?

.

Úloha 4. Koľkými spôsobmi možno vytvoriť hliadku troch vojakov a jedného dôstojníka, ak je 80 vojakov a 3 dôstojníci?

Riešenie. Je možné vybrať vojaka na hliadke

spôsoby a spôsoby dôstojníkov. Keďže každý dôstojník môže ísť s každým tímom vojakov, existujú len spôsoby.

Úloha 5. Zistite, či je známe, že .

Od , dostaneme

,

,

Z definície kombinácie vyplýva, že . To. .

1.3. Koncept náhodnej udalosti. Typy udalostí. Pravdepodobnosť udalosti

Vyvolá sa akákoľvek akcia, jav, pozorovanie s niekoľkými rôznymi výsledkami, realizované za daného súboru podmienok test.

Výsledkom tejto akcie alebo pozorovania je tzv udalosť .

Ak sa podujatie o dané podmienky môže a nemusí sa stať, hovorí sa náhodný . V prípade, že k nejakej udalosti určite dôjde, je tzv autentické a v prípade, že sa to určite nemôže stať, - nemožné.

Udalosti sú tzv nezlučiteľné ak sa zakaždým môže objaviť len jeden z nich.

Udalosti sú tzv kĺb ak za daných podmienok výskyt jednej z týchto udalostí nevylučuje výskyt druhej v tom istom teste.

Udalosti sú tzv opak , ak sú za testovacích podmienok ako jeho jediné výsledky nezlučiteľné.

Udalosti sa zvyčajne označujú veľkými písmenami latinskej abecedy: A B C D, : .

Kompletný systém udalostí A 1, A 2, A 3, : , A n je súbor nezlučiteľných udalostí, z ktorých výskyt aspoň jedného je povinný pre daný test.

Ak úplný systém pozostáva z dvoch nekompatibilných udalostí, potom sa takéto udalosti nazývajú opačné a označujú sa A a .

Príklad. V krabici je 30 očíslovaných loptičiek. Určte, ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, isté, opačné:

dostal očíslovanú loptu (ALE);

nakreslite loptičku s párnym číslom (IN);

vytiahol loptičku s nepárnym číslom (OD);

dostal loptu bez čísla (D).

Ktorí z nich tvoria ucelenú skupinu?

Riešenie . ALE- určitá udalosť; D- nemožná udalosť;

V a OD- opačné deje.

Kompletná skupina udalostí je ALE A D, V A OD.

Pravdepodobnosť udalosti sa považuje za mieru objektívnej možnosti výskytu náhodnej udalosti.

1.4. Klasická definícia pravdepodobnosti

Číslo, ktoré je vyjadrením miery objektívnej možnosti vzniku udalosti, sa nazýva pravdepodobnosť túto udalosť a je označená symbolom P(A).

Definícia. Pravdepodobnosť udalosti ALE je pomer počtu výsledkov m, ktoré podporujú výskyt danej udalosti ALE, na číslo n všetky výsledky (nekompatibilné, jedinečné a rovnako možné), t.j. .

Preto, aby sme našli pravdepodobnosť udalosti, je potrebné po zvážení rôznych výsledkov testu vypočítať všetky možné nekompatibilné výsledky. n, vyberte počet výsledkov, ktoré nás zaujímajú a vypočítajte pomer m do n.

Z tejto definície vyplývajú nasledujúce vlastnosti:

Pravdepodobnosť akéhokoľvek pokusu je nezáporné číslo nepresahujúce jednu.

Skutočne, počet m požadovaných udalostí leží v . Rozdelenie oboch častí na n, dostaneme

2. Pravdepodobnosť určitej udalosti sa rovná jednej, pretože .

3. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová, pretože .

Úloha 1. V lotérii je 200 výhercov z 1000 tiketov. Jeden tiket sa žrebuje náhodne. Aká je pravdepodobnosť, že tento tiket vyhrá?

Riešenie. Celkový počet rôznych výsledkov je n= 1000. Počet výsledkov v prospech výhry je m=200. Podľa vzorca dostaneme

.

Úloha 2. V dávke 18 dielov sú 4 chybné. Náhodne sa vyberie 5 kusov. Nájdite pravdepodobnosť, že dve z týchto 5 častí sú chybné.

Riešenie. Počet všetkých rovnako možných nezávislých výsledkov n sa rovná počtu kombinácií od 18 do 5 t.j.

Vypočítajme číslo m, ktoré uprednostňuje udalosť A. Medzi 5 náhodne vybranými časťami by mali byť 3 kvalitné a 2 chybné. Počet spôsobov, ako vybrať dva chybné diely zo 4 dostupných chybných dielov, sa rovná počtu kombinácií od 4 do 2:

Počet spôsobov výberu troch kvalitných dielov zo 14 dostupných kvalitných dielov je rovnaký

.

Akákoľvek skupina kvalitných dielov môže byť kombinovaná s akoukoľvek skupinou chybných dielov, teda celkový počet kombinácií m je

Požadovaná pravdepodobnosť udalosti A sa rovná pomeru počtu výsledkov m, ktoré podporujú túto udalosť, k počtu n všetkých rovnako možných nezávislých výsledkov:

.

Súčet konečného počtu udalostí je udalosť, ktorá spočíva v výskyte aspoň jednej z nich.

Súčet dvoch udalostí je označený symbolom A + B a súčet n symbol udalostí A 1 +A 2 + : +A n .

Veta o sčítaní pravdepodobností.

Pravdepodobnosť súčtu dvoch nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí.

Dôsledok 1. Ak udalosti А 1 , А 2 , : , А n tvoria úplný systém, potom sa súčet pravdepodobností týchto udalostí rovná jednej.

Dôsledok 2. Súčet pravdepodobností opačných udalostí a je rovný jednej.

.

Problém 1. Existuje 100 tiketov lotérie. Je známe, že 5 lístkov získa výhru 20 000 rubľov, 10 - 15 000 rubľov, 15 - 10 000 rubľov, 25 - 2 000 rubľov. a zvyšok nič. Nájdite pravdepodobnosť, že zakúpený lístok vyhrá najmenej 10 000 rubľov.

Riešenie. Nech A, B a C sú udalosti, ktoré spočívajú v tom, že na zakúpený lístok pripadá cena rovnajúca sa 20 000, 15 000 a 10 000 rubľov. keďže udalosti A, B a C sú nezlučiteľné, potom

Úloha 2. Zap extramurálne technická škola dostáva od miest testy z matematiky A, B A OD. Pravdepodobnosť prijatia kontrolných prác od mesta ALE rovná 0,6, od mesta IN- 0,1. Nájdite pravdepodobnosť, že nabudúce test príde z mesta OD.

Mnohí, konfrontovaní s konceptom „teórie pravdepodobnosti“, sú vystrašení, myslia si, že ide o niečo ohromujúce, veľmi zložité. Ale v skutočnosti to nie je až také tragické. Dnes zvážime základný koncept teórie pravdepodobnosti, naučíme sa riešiť problémy pomocou konkrétnych príkladov.

Veda

Čo študuje taký odbor matematiky ako „teória pravdepodobnosti“? Všíma si vzory a veličiny. Prvýkrát sa vedci o túto problematiku začali zaujímať už v osemnástom storočí, keď študovali hazardné hry. Základným pojmom teórie pravdepodobnosti je udalosť. Je to akákoľvek skutočnosť, ktorá je zistená skúsenosťou alebo pozorovaním. Ale čo je skúsenosť? Ďalší základný koncept teórie pravdepodobnosti. Znamená to, že táto skladba okolností nevznikla náhodou, ale za určitým účelom. Čo sa týka pozorovania, tu sa samotný výskumník nezúčastňuje experimentu, ale je jednoducho svedkom týchto udalostí, nijako neovplyvňuje dianie.

Vývoj

Dozvedeli sme sa, že základný koncept teórie pravdepodobnosti je udalosť, ale nezohľadnili sme klasifikáciu. Všetky spadajú do nasledujúcich kategórií:

  • Spoľahlivý.
  • nemožné.
  • Náhodný.

Bez ohľadu na to, aké udalosti sú pozorované alebo vytvorené v priebehu skúseností, všetky podliehajú tejto klasifikácii. Ponúkame možnosť zoznámiť sa s každým druhom zvlášť.

Dôveryhodná udalosť

Toto je okolnosť, pred ktorou bol prijatý potrebný súbor opatrení. Aby sme lepšie pochopili podstatu, je lepšie uviesť niekoľko príkladov. Fyzika, chémia, ekonómia a vyššia matematika podliehajú tomuto zákonu. Teória pravdepodobnosti zahŕňa taký dôležitý pojem, akým je určitá udalosť. Tu je niekoľko príkladov:

  • Pracujeme a dostávame odmenu vo forme mzdy.
  • Dobre sme zvládli skúšky, zvládli súťaž, za to dostávame odmenu v podobe prijatia na vzdelávacia inštitúcia.
  • Peniaze sme investovali do banky, v prípade potreby ich dostaneme späť.

Takéto udalosti sú spoľahlivé. Ak sme urobili všetko potrebné podmienky, potom dostaneme očakávaný výsledok.

Nemožné udalosti

Teraz zvážime prvky teórie pravdepodobnosti. Navrhujeme prejsť na vysvetlenie ďalšieho typu udalosti, konkrétne nemožné. Na začiatok si povedzme najviac dôležité pravidlo- pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.

Od tejto formulácie sa pri riešení problémov nemožno odchýliť. Na objasnenie uvádzame príklady takýchto udalostí:

  • Voda zamrzla pri teplote plus desať (to je nemožné).
  • Nedostatok elektriny nijako neovplyvňuje výrobu (rovnako nemožné ako v predchádzajúcom príklade).

Viac príkladov by sa nemalo uvádzať, pretože vyššie opísané veľmi jasne odrážajú podstatu tejto kategórie. Nemožná udalosť sa počas zážitku za žiadnych okolností nikdy nestane.

náhodné udalosti

Skúmanie prvkov Osobitná pozornosť by sa mala venovať tomuto konkrétnemu typu udalosti. To je to, čo študuje veda. V dôsledku skúseností sa niečo môže, ale aj nemusí stať. Okrem toho je možné test opakovať neobmedzený počet krát. Živé príklady môže slúžiť:

  • Hádzanie mincou je zážitok, alebo skúška, smerovanie je udalosť.
  • Vytiahnutie lopty naslepo z vrecka je test, chytená červená lopta je udalosť atď.

Takýchto príkladov môže byť neobmedzený počet, ale vo všeobecnosti by mala byť podstata jasná. Na zhrnutie a systematizáciu získaných poznatkov o udalostiach je uvedená tabuľka. Teória pravdepodobnosti študuje len posledný typ zo všetkých prezentovaných.

titul

definícia

Dôveryhodný

Udalosti, ktoré sa vyskytnú so 100% zárukou, za určitých podmienok.

Prijatie do vzdelávacej inštitúcie s dobrým zložením prijímacej skúšky.

nemožné

Udalosti, ktoré sa za žiadnych okolností nikdy nestanú.

Sneží pri teplote vzduchu plus tridsať stupňov Celzia.

Náhodný

Udalosť, ktorá môže, ale nemusí nastať počas experimentu/testu.

Traf alebo netraf pri hádzaní basketbalovej lopty do koša.

zákonov

Teória pravdepodobnosti je veda, ktorá skúma možnosť výskytu udalosti. Rovnako ako ostatné, má určité pravidlá. Existujú nasledujúce zákony teórie pravdepodobnosti:

  • Konvergencia postupností náhodných premenných.
  • Zákon veľkých čísel.

Pri výpočte možnosti komplexu je možné použiť komplex jednoduchých udalostí na dosiahnutie výsledku jednoduchším a rýchlejším spôsobom. Všimnite si, že zákony teórie pravdepodobnosti sa dajú ľahko dokázať pomocou niektorých teorémov. Začnime prvým zákonom.

Konvergencia postupností náhodných premenných

Všimnite si, že existuje niekoľko typov konvergencie:

  • Postupnosť náhodných premenných je z hľadiska pravdepodobnosti konvergentná.
  • Takmer nemožné.
  • RMS konvergencia.
  • Konvergencia distribúcie.

Takže za behu je veľmi ťažké dostať sa dnu. Tu je niekoľko definícií, ktoré vám pomôžu pochopiť túto tému. Začnime prvým pohľadom. Sekvencia je tzv konvergentné v pravdepodobnosti, ak je splnená nasledujúca podmienka: n smeruje k nekonečnu, číslo, ku ktorému postupnosť smeruje, je väčšie ako nula a blízko jednej.

Prejdime k ďalšej, takmer určite. Hovorí sa, že postupnosť konverguje takmer určite k náhodnej premennej s n smerujúcim k nekonečnu a P smerujúcim k hodnote blízkej jednotke.

Ďalší typ je RMS konvergencia. Pri použití SC-konvergencie sa štúdium vektorových náhodných procesov redukuje na štúdium ich súradnicových náhodných procesov.

Zostáva posledný typ, stručne si ho rozoberme, aby sme pristúpili priamo k riešeniu problémov. Distribučná konvergencia má iný názov - „slabá“, nižšie vysvetlíme prečo. Slabá konvergencia je konvergencia distribučných funkcií vo všetkých bodoch kontinuity limitnej distribučnej funkcie.

Sľub určite splníme: slabá konvergencia sa od všetkých vyššie uvedených líši tým, že náhodná premenná nie je definovaná na pravdepodobnostnom priestore. Je to možné, pretože stav sa vytvára výlučne pomocou distribučných funkcií.

Zákon veľkých čísel

Vynikajúcimi pomocníkmi pri dokazovaní tohto zákona budú vety teórie pravdepodobnosti, ako napríklad:

  • Čebyševova nerovnosť.
  • Čebyševova veta.
  • Zovšeobecnená Čebyševova veta.
  • Markovova veta.

Ak vezmeme do úvahy všetky tieto teorémy, potom sa táto otázka môže natiahnuť na niekoľko desiatok listov. Našou hlavnou úlohou je aplikovať teóriu pravdepodobnosti v praxi. Pozývame vás, aby ste to urobili práve teraz. Predtým však zvážime axiómy teórie pravdepodobnosti, ktoré budú hlavnými pomocníkmi pri riešení problémov.

Axiómy

S prvým sme sa už stretli, keď sme hovorili o nemožnej udalosti. Pamätajme: pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová. Uviedli sme veľmi názorný a nezabudnuteľný príklad: sneh padal pri teplote vzduchu tridsať stupňov Celzia.

Druhá je nasledovná: určitá udalosť nastane s pravdepodobnosťou rovnajúcou sa jednej. Teraz si ukážeme, ako to zapísať pomocou matematického jazyka: P(B)=1.

Po tretie: Náhodná udalosť môže alebo nemusí nastať, ale možnosť sa vždy pohybuje od nuly do jednej. Čím je hodnota bližšia k jednej, tým väčšia je šanca; ak sa hodnota blíži nule, pravdepodobnosť je veľmi nízka. Napíšme to v matematickom jazyku: 0<Р(С)<1.

Zoberme si poslednú, štvrtú axiómu, ktorá znie takto: pravdepodobnosť súčtu dvoch udalostí sa rovná súčtu ich pravdepodobností. Píšeme v matematickom jazyku: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Axiómy teórie pravdepodobnosti sú najjednoduchšie pravidlá, ktoré sa dajú ľahko zapamätať. Pokúsme sa vyriešiť niektoré problémy na základe už získaných vedomostí.

Lístok do lotérie

Na začiatok zvážte najjednoduchší príklad - lotériu. Predstavte si, že ste si kúpili jeden žreb pre šťastie. Aká je pravdepodobnosť, že vyhráte aspoň dvadsať rubľov? Celkovo sa v obehu zúčastňuje tisíc lístkov, z ktorých jeden má cenu päťsto rubľov, desať zo sto rubľov, päťdesiat z dvadsiatich rubľov a sto päť. Problémy v teórii pravdepodobnosti sú založené na hľadaní možnosti šťastia. Poďme sa spoločne pozrieť na riešenie vyššie uvedeného problému.

Ak písmenom A označíme výhru päťsto rubľov, pravdepodobnosť získania A bude 0,001. Ako sme to získali? Stačí vydeliť počet „šťastných“ tiketov ich celkovým počtom (v tomto prípade: 1/1000).

B je výhra sto rubľov, pravdepodobnosť sa bude rovnať 0,01. Teraz sme konali na rovnakom princípe ako v predchádzajúcej akcii (10/1000)

C - výhry sa rovnajú dvadsiatim rubľov. Nájdeme pravdepodobnosť, rovná sa 0,05.

Zostávajúce vstupenky nás nezaujímajú, pretože ich výherný fond je nižší ako je uvedený v podmienkach. Aplikujme štvrtú axiómu: Pravdepodobnosť výhry aspoň dvadsiatich rubľov je P(A)+P(B)+P(C). Písmeno P označuje pravdepodobnosť výskytu tejto udalosti, našli sme ich už v predchádzajúcich krokoch. Zostáva len doplniť potrebné údaje, v odpovedi dostaneme 0,061. Toto číslo bude odpoveďou na otázku úlohy.

balíček kariet

Problémy v teórii pravdepodobnosti sú tiež zložitejšie, zoberte si napríklad nasledujúcu úlohu. Pred vami je balíček tridsiatich šiestich kariet. Vašou úlohou je ťahať dve karty za sebou bez toho, aby ste zamiešali kôpku, prvá a druhá karta musia byť esá, na farbe nezáleží.

Na začiatok zistíme pravdepodobnosť, že prvou kartou bude eso, preto vydelíme štyri tridsiatimi šiestimi. Odložili to bokom. Vyťahujeme druhú kartu, bude to eso s pravdepodobnosťou tri tridsiate pätiny. Pravdepodobnosť druhej udalosti závisí od toho, ktorú kartu sme si vytiahli ako prvú, nás zaujíma, či to bolo eso alebo nie. Z toho vyplýva, že udalosť B závisí od udalosti A.

Ďalším krokom je zistenie pravdepodobnosti simultánnej implementácie, to znamená, že vynásobíme A a B. Ich súčin nájdeme nasledovne: pravdepodobnosť jednej udalosti vynásobíme podmienenou pravdepodobnosťou inej, ktorú vypočítame za predpokladu, že prvá došlo k udalosti, to znamená, že sme vytiahli eso s prvou kartou.

Aby bolo všetko jasné, dajme označenie takému prvku ako udalosti. Vypočítava sa za predpokladu, že udalosť A nastala. Vypočítané takto: P(B/A).

Pokračujme v riešení nášho problému: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) alebo P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Pravdepodobnosť je (4/36) * ((3/35)/(4/36). Vypočítajte zaokrúhlením na stotiny. Máme: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0, 82 = 0,09 Pravdepodobnosť, že vytiahne dve esá za sebou je deväť stotín. Hodnota je veľmi malá, z toho vyplýva, že pravdepodobnosť výskytu udalosti je extrémne malá.

Zabudnuté číslo

Navrhujeme analyzovať niekoľko ďalších možností pre úlohy, ktoré študuje teória pravdepodobnosti. Príklady riešenia niektorých ste už videli v tomto článku, skúsme vyriešiť nasledujúci problém: chlapec zabudol poslednú číslicu telefónneho čísla svojho priateľa, ale keďže hovor bol veľmi dôležitý, začal postupne vytáčať všetko. Musíme vypočítať pravdepodobnosť, že nezavolá viac ako trikrát. Riešenie úlohy je najjednoduchšie, ak sú známe pravidlá, zákony a axiómy teórie pravdepodobnosti.

Predtým, ako sa pozriete na riešenie, skúste ho vyriešiť sami. Vieme, že posledná číslica môže byť od nuly do deviatich, to znamená, že celkovo existuje desať hodnôt. Pravdepodobnosť získania toho pravého je 1/10.

Ďalej musíme zvážiť možnosti pôvodu udalosti, predpokladajme, že chlapec uhádol správne a okamžite skóroval správne, pravdepodobnosť takejto udalosti je 1/10. Druhá možnosť: prvý hovor je zmeškaný a druhý je na cieľ. Vypočítame pravdepodobnosť takejto udalosti: vynásobte 9/10 1/9, výsledkom je tiež 1/10. Tretia možnosť: prvý a druhý hovor sa ukázal ako na nesprávnej adrese, až z tretieho sa chlapec dostal tam, kam chcel. Vypočítame pravdepodobnosť takejto udalosti: vynásobíme 9/10 8/9 a 1/8, dostaneme 1/10. Podľa stavu problému nás iné možnosti nezaujímajú, zostáva nám teda sčítať výsledky, vo výsledku máme 3/10. Odpoveď: Pravdepodobnosť, že chlapec nezavolá viac ako trikrát, je 0,3.

Kartičky s číslami

Pred vami je deväť kariet, z ktorých každá obsahuje číslo od jedna do deväť, čísla sa neopakujú. Boli umiestnené v krabici a dôkladne premiešané. Musíte vypočítať pravdepodobnosť, že

  • príde párne číslo;
  • dvojciferný.

Predtým, ako prejdeme k riešeniu, stanovme, že m je počet úspešných prípadov a n je celkový počet možností. Nájdite pravdepodobnosť, že číslo je párne. Nebude ťažké vypočítať, že existujú štyri párne čísla, toto bude naše m, celkovo je deväť možností, teda m = 9. Potom je pravdepodobnosť 0,44 alebo 4/9.

Uvažujeme o druhom prípade: počet možností je deväť a nemôžu existovať žiadne úspešné výsledky, to znamená, že m sa rovná nule. Pravdepodobnosť, že vytiahnutá karta bude obsahovať dvojciferné číslo, je tiež nulová.

Teória pravdepodobnosti je odvetvie matematiky, ktoré študuje vzorce náhodných javov: náhodné udalosti, náhodné premenné, ich vlastnosti a operácie s nimi.

Teória pravdepodobnosti dlho nemala jasnú definíciu. Bol sformulovaný až v roku 1929. Vznik teórie pravdepodobnosti ako vedy sa pripisuje stredoveku a prvým pokusom o matematickú analýzu hazardných hier (los, kocky, ruleta). Francúzski matematici 17. storočia Blaise Pascal a Pierre de Fermat objavili prvé pravdepodobnostné vzorce, ktoré vznikajú pri hádzaní kockou, keď študovali predpovedanie výhier v hazardných hrách.

Teória pravdepodobnosti vznikla ako veda z presvedčenia, že určité zákonitosti sú základom masívnych náhodných udalostí. Teória pravdepodobnosti študuje tieto vzorce.

Teória pravdepodobnosti sa zaoberá štúdiom udalostí, ktorých výskyt nie je s určitosťou známy. Umožňuje vám posúdiť mieru pravdepodobnosti výskytu niektorých udalostí v porovnaní s inými.

Napríklad: nie je možné jednoznačne určiť výsledok hádzania hlavy alebo chvosta mince, ale pri opakovanom hádzaní vypadne približne rovnaký počet hláv a chvostov, čo znamená, že pravdepodobnosť padnutia hláv alebo chvostov je rovnaká. na 50 %.

test v tomto prípade sa nazýva realizácia určitého súboru podmienok, teda v tomto prípade hod mincou. Výzvu je možné hrať neobmedzený počet krát. V tomto prípade komplex podmienok zahŕňa náhodné faktory.

Výsledok testu je udalosť. Udalosť sa koná:

  1. Spoľahlivé (vždy sa vyskytuje ako výsledok testovania).
  2. Nemožné (nikdy sa to nestane).
  3. Náhodné (môže alebo nemusí nastať ako výsledok testu).

Napríklad pri hode mincou nemožná udalosť – minca skončí na hrane, náhodná udalosť – strata „hlavy“ alebo „chvosty“. Konkrétny výsledok testu je tzv elementárna udalosť. Výsledkom testu sú iba elementárne udalosti. Nazýva sa súhrn všetkých možných, rôznych, špecifických výsledkov testov priestor elementárnych podujatí.

Základné pojmy teórie

Pravdepodobnosť- miera možnosti výskytu udalosti. Keď dôvody pre nejakú možnú udalosť skutočne nastanú prevažujú nad opačnými dôvodmi, potom sa táto udalosť nazýva pravdepodobná, inak - nepravdepodobná alebo nepravdepodobná.

Náhodná hodnota- ide o hodnotu, ktorá v dôsledku testu môže nadobudnúť jednu alebo druhú hodnotu a nie je vopred známe, ktorá. Napríklad: počet hasičských staníc za deň, počet zásahov 10 ranami atď.

Náhodné premenné možno rozdeliť do dvoch kategórií.

  1. Diskrétna náhodná premenná nazýva sa také množstvo, ktoré v dôsledku testu môže s určitou pravdepodobnosťou nadobudnúť určité hodnoty, čím sa vytvorí spočítateľná množina (množina, ktorej prvky možno očíslovať). Táto množina môže byť buď konečná alebo nekonečná. Napríklad počet výstrelov pred prvým zásahom do cieľa je diskrétna náhodná premenná, pretože táto hodnota môže nadobudnúť nekonečný, hoci spočítateľný počet hodnôt.
  2. Spojitá náhodná premenná je veličina, ktorá môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z nejakého konečného alebo nekonečného intervalu. Je zrejmé, že počet možných hodnôt spojitej náhodnej premennej je nekonečný.

Priestor pravdepodobnosti- koncept zavedený A.N. Kolmogorova v 30. rokoch 20. storočia formalizovať pojem pravdepodobnosti, čo dalo podnet k rýchlemu rozvoju teórie pravdepodobnosti ako rigoróznej matematickej disciplíny.

Pravdepodobnostný priestor je trojitý (niekedy orámovaný v lomených zátvorkách: , kde

Ide o ľubovoľnú množinu, ktorej prvky sa nazývajú elementárne udalosti, výsledky alebo body;
- sigma-algebra podmnožín nazývaných (náhodné) udalosti;
- pravdepodobnostná miera alebo pravdepodobnosť, t.j. sigma-aditívna konečná miera taká, že .

De Moivre-Laplaceova veta- jedna z limitujúcich teorémov teórie pravdepodobnosti, ktorú v roku 1812 stanovil Laplace. Uvádza, že počet úspechov pri opakovaní rovnakého náhodného experimentu s dvoma možnými výsledkami je približne normálne rozdelený. Umožňuje vám nájsť približnú hodnotu pravdepodobnosti.

Ak sa pre každý z nezávislých pokusov pravdepodobnosť výskytu nejakej náhodnej udalosti rovná () a je to počet pokusov, v ktorých k nej skutočne dôjde, potom je pravdepodobnosť platnosti nerovnosti blízka (pre veľké ) k hodnote Laplaceovho integrálu.

Distribučná funkcia v teórii pravdepodobnosti- funkcia charakterizujúca rozdelenie náhodnej premennej alebo náhodného vektora; pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu alebo rovnú x, kde x je ľubovoľné reálne číslo. Za určitých podmienok úplne určuje náhodnú premennú.

Očakávaná hodnota- priemerná hodnota náhodnej veličiny (ide o rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny, uvažované v teórii pravdepodobnosti). V anglickej literatúre sa v ruštine označuje ako -. V štatistike sa často používa zápis.

Nech je daný pravdepodobnostný priestor a náhodná premenná na ňom definovaná. To je podľa definície merateľná funkcia. Potom, ak existuje Lebesgueov integrál nad priestorom , potom sa nazýva matematické očakávanie alebo stredná hodnota a označuje sa .

Rozptyl náhodnej premennej- miera šírenia danej náhodnej veličiny, teda jej odchýlky od matematického očakávania. Označené v ruskej literatúre a v zahraničí. V štatistike sa často používa označenie alebo. Druhá odmocnina rozptylu sa nazýva štandardná odchýlka, štandardná odchýlka alebo štandardné rozpätie.

Nech je náhodná premenná definovaná na nejakom pravdepodobnostnom priestore. Potom

kde symbol označuje matematické očakávanie.

V teórii pravdepodobnosti sa nazývajú dve náhodné udalosti nezávislý ak výskyt jedného z nich nemení pravdepodobnosť výskytu druhého. Podobne sa nazývajú dve náhodné premenné závislý ak hodnota jednej z nich ovplyvňuje pravdepodobnosť hodnôt druhej.

Najjednoduchšou formou zákona veľkých čísel je Bernoulliho veta, ktorá hovorí, že ak je pravdepodobnosť udalosti vo všetkých pokusoch rovnaká, potom s narastajúcim počtom pokusov sa frekvencia udalosti približuje k pravdepodobnosti udalosti a prestáva byť náhodný.

Zákon veľkých čísel v teórii pravdepodobnosti hovorí, že aritmetický priemer konečnej vzorky z pevného rozdelenia je blízky teoretickému priemeru tohto rozdelenia. Podľa typu konvergencie sa rozlišuje slabý zákon veľkých čísel, kedy dochádza ku konvergencii pravdepodobnosti, a silný zákon veľkých čísel, kedy ku konvergencii takmer určite dochádza.

Všeobecný význam zákona veľkých čísel je, že spoločné pôsobenie veľkého počtu rovnakých a nezávislých náhodných faktorov vedie k výsledku, ktorý v limite nezávisí od náhody.

Na tejto vlastnosti sú založené metódy odhadu pravdepodobnosti založené na analýze konečnej vzorky. Dobrým príkladom je predikcia výsledkov volieb na základe prieskumu na vzorke voličov.

Centrálne limitné vety- trieda viet v teórii pravdepodobnosti hovoriaca o tom, že súčet dostatočne veľkého počtu slabo závislých náhodných premenných, ktoré majú približne rovnakú stupnicu (žiadny z členov nedominuje, neprispieva k súčtu rozhodujúcim spôsobom) má rozdelenie blízke normálne.

Keďže veľa náhodných premenných v aplikáciách vzniká pod vplyvom niekoľkých slabo závislých náhodných faktorov, ich rozdelenie sa považuje za normálne. V tomto prípade treba dodržať podmienku, že žiadny z faktorov nie je dominantný. Centrálne limitné vety v týchto prípadoch oprávňujú použitie normálneho rozdelenia.



Odporúčame prečítať