確率論の基本的な概念。 確率論の法則。 確率論と理論の基本概念数学的確率論
いわゆる法の教義。 ランダムな現象。 ロシア語に含まれる外国語の辞書。 チュディノフA.N.、1910年..。 ロシア語の外国語の辞書
確率論--- [L.G。スメンコ。 情報技術の英語ロシア語辞書。 M。：GP TsNIIS、2003年。]主題 情報技術確率確率計算の全体的なEN確率理論理論..。 テクニカル翻訳者ガイド
確率論-さまざまなイベントの確率（確率と統計を参照）間の関係を研究する数学の一部があります。 この科学に関連する最も重要な定理をリストします。 いくつかの一貫性のないイベントの1つが発生する確率は...... 百科事典の辞書 F。 ブロックハウスとI.A. エフロン
確率論-数学。 いくつかのランダムイベントの確率（を参照）を可能にして、c。lに関連するランダムイベントの確率を見つけることを可能にする科学。 最初の方法。 現代のテレビ 公理に基づく（「公理的方法」を参照）A。N.Kolmogorov。 ……について ロシアの社会学百科事典
確率論-数学の分野で、いくつかのランダムなイベントの特定の確率に従って、最初のイベントに何らかの形で関連する他のイベントの確率が検出されます。 確率論は、確率変数とランダムプロセスも研究します。 メインの1つ...... 現代自然科学の概念。 基本用語集
確率論--tikimybiųteorijastatusasTsritis fizika atitikmenys：angl。 確率論vok。 Wahrscheinlichkeitstheorie、frus。 確率論、fpranc。 théoriedesprobabilités、f ...Fizikosterminųžodynas
確率論-...ウィキペディア
確率論-ランダムな現象の法則を研究する数学的分野..。 現代自然科学の始まり
確率論-（確率論）確率を参照してください..。 包括的な説明社会学辞書
確率論とその応用-（「確率論とその応用」）ソ連科学アカデミー数学科の科学ジャーナル。 オリジナル記事を公開し、 ショートメッセージ確率論について、 一般的な問題数理統計学とその自然科学への応用.....。 大きい ソビエト百科事典
本
- 確率論。 、Wentzel E.S ..この本は、通常の大学のコースの範囲内で数学に精通し、確率論の技術的応用に興味がある人々を対象とした教科書です... 2056 UAH（ウクライナのみ）で購入
- 確率論。 、Wentzel E.S ..この本は、通常の大学のコースの範囲で数学に精通し、確率論の技術的応用に興味のある人を対象とした教科書です...
確率とは何ですか？
この言葉に初めて直面したとき、私はそれが何であるかを理解していませんでした。 したがって、私はそれをわかりやすい方法で説明しようとします。
確率とは、必要なイベントが発生する可能性です。
たとえば、友人を訪ねて、入り口や彼が住んでいる床さえ覚えておくことにしました。 でもアパートの数と場所を忘れてしまいました。 そして、ここであなたは階段の上に立っています、そしてあなたの前にあなたが選ぶためのドアがあります。
あなたが最初のドアを鳴らした場合、あなたの友人があなたのために開く可能性（確率）は何ですか？ アパート全体、そして友人はそのうちの1人だけのために住んでいます。 私たちは同じチャンスでどんなドアでも選ぶことができます。
しかし、このチャンスは何ですか？
ドア、右のドア。 最初のドアを鳴らして推測する確率：。 つまり、3回に1回は確実に推測されます。
一度電話して知りたいのですが、どれくらいの頻度でドアを推測しますか？ すべてのオプションを考えてみましょう。
- あなたは電話をしました 1位ドア
- あなたは電話をしました 2位ドア
- あなたは電話をしました 3位ドア
それでは、友達がいる可能性のあるすべてのオプションを見てみましょう。
a。 あたり 1位ドアのそば
b。 あたり 2位ドアのそば
v。 あたり 3位ドアのそば
表の形ですべてのオプションを比較してみましょう。 選択が友人の場所と一致する場合、チェックマークはオプションをマークします。クロスは、一致しない場合です。
すべてをどのように見ていますか 多分 オプション友人の場所と、どのドアを鳴らすかを選択します。
A すべての好ましい結果 . つまり、ドアベルを鳴らして時々推測します。 ..。
これは確率です-可能なイベントの数に対する好ましい結果（あなたの選択が友人の場所と一致した場合）の比率。
定義は公式です。 確率は通常pで表されるため、次のようになります。
そのような式を書くことはあまり便利ではないので、私たちは-好ましい結果の数、そして-結果の総数を取ります。
確率はパーセンテージで表すことができます。このためには、結果の結果に次の値を掛ける必要があります。
おそらく「成果」という言葉が目に留まりました。 数学者はさまざまなアクション（この場合、そのようなアクションはドアベルが鳴る）を実験と呼ぶので、そのような実験の結果を呼び出すのが通例です。
まあ、結果は有利で不利です。
例に戻りましょう。 ドアの1つを鳴らしたが、見知らぬ人がドアを開けたとしましょう。 推測しませんでした。 残りのドアの1つを鳴らした場合、友人が私たちのために開く可能性はどのくらいありますか？
あなたがそれを考えたなら、これは間違いです。 それを理解しましょう。
ドアが2つ残っています。 したがって、可能な手順があります。
1）電話する 1位ドア
2）電話する 2位ドア
友人は、これらすべてを持って、間違いなくそのうちの1人の後ろにいます（結局のところ、彼は私たちが呼んだ人の後ろにはいませんでした）：
a）の友達 1位ドアのそば
b）の友達 2位ドアのそば
もう一度テーブルを描きましょう：
ご覧のとおり、すべてのオプションがあり、そのうちの好ましいものがあります。 つまり、確率は同じです。
なぜだめですか？
私たちが検討した状況- 依存イベントの例。最初のイベントは最初のドアベルで、2番目のイベントは2番目のドアベルです。
また、以下のアクションに影響を与えるため、依存と呼ばれます。 結局のところ、友人が最初のリングの後にドアを開けた場合、彼が他の2つのうちの1つの後ろにいる確率はどのくらいでしょうか？ 右、 。
しかし、依存するイベントがある場合は、 独立？ 確かにあります。
教科書の例はコインを投げることです。
- コインを1回投げます。 たとえば、頭が出てくる確率はどれくらいですか？ そうです-すべてのオプション（表または裏のいずれかで、コインが端に立つ確率を無視します）が、私たちにしか適していないためです。
- しかし、それは尾を引いた。 さて、もう一度投げましょう。 頭を獲得する現在の確率はどれくらいですか？ 何も変わっていません、すべてが同じです。 オプションはいくつですか？ 二。 それは私たちにどれくらい合っていますか？ 一。
そして、それを千回続けて尾を上げさせてください。 一度に頭を獲得する確率は同じになります。 常に選択肢がありますが、好ましいものがあります。
依存イベントと独立イベントを区別するのは簡単です。
- 実験が1回実行された場合（コインを投げたり、ドアベルを1回鳴らしたりするなど）、イベントは常に独立しています。
- 実験が数回実行される場合（コインが1回投げられ、ドアベルが数回鳴る）、最初のイベントは常に独立しています。 そして、好ましい結果の数またはすべての結果の数が変化した場合、イベントは依存し、そうでない場合、それらは独立しています。
確率を少し決める練習をしましょう。
例1。
コインは2回投げられます。 頭を2回続けて打つ確率はどれくらいですか？
解決：
考えられるすべてのオプションを考えてみましょう。
- イーグルイーグル
- 頭尾
- 頭尾
- テイルズ-テイルズ
ご覧のとおり、オプション全体です。 これらのうち、私たちにのみ適しています。 つまり、確率：
条件が単に確率を見つけるように求められる場合、答えは小数の形式で与えられなければなりません。 答えをパーセンテージで示す必要があることが示された場合は、を掛けます。
答え：
例2。
チョコレートの箱には、すべてのチョコレートが同じラッパーに詰められています。 しかし、お菓子から-ナッツ、コニャック、チェリー、キャラメル、ヌガーを使って。
キャンディーを1つ取って、ナッツ入りのキャンディーを手に入れる確率はどれくらいですか。 パーセンテージで答えてください。
解決：
考えられる結果はいくつありますか？ ..。
つまり、キャンディーを1つ取ると、箱に入っているキャンディーの1つになります。
いくつの好ましい結果がありますか？
箱にはナッツ入りのチョコレートしか入っていないからです。
答え：
例3。
ボールの箱の中。 それらの白、-黒。
- 白いボールを引き抜く確率はどれくらいですか？
- ボックスに黒いボールを追加しました。 白いボールを引き抜く確率はどれくらいですか？
解決：
a）箱の中にはすべてボールが入っています。 これらのうち、白。
確率は次のとおりです。
b）ボックスにボールが入っています。 そして、同じ数の白人が残った-。
答え：
完全な確率
| 発生する可能性のあるすべてのイベントの確率は（）です。 |
赤と緑のボールの箱の中で言いましょう。 赤いボールを引き抜く確率はどれくらいですか？ 緑のボール？ 赤または緑のボール？
赤いボールを引く可能性
緑のボール：
赤または緑のボール：
ご覧のとおり、考えられるすべてのイベントの合計は（）です。 この瞬間を理解することは、多くの問題を解決するのに役立ちます。
例4。
ボックスには、緑、赤、青、黄、黒のマーカーが含まれています。
赤いフェルトペンではないペンを抜く可能性はどのくらいありますか？
解決：
金額を数えましょう 良好な結果。
赤いマーカーではなく、緑、青、黄色、または黒を意味します。
すべてのイベントの確率。 そして、私たちが不利だと考えるイベントの確率（赤いフェルトペンを抜いたとき）-。
したがって、赤ではないフェルトペンを引き出す確率はです。
答え：
| イベントが発生しない確率は、イベントが発生する確率を引いたものに等しくなります。 |
独立したイベントの確率を乗算するためのルール
あなたはすでに独立したイベントが何であるかを知っています。
しかし、2つ（またはそれ以上）の独立したイベントが連続して発生する確率を見つける必要がある場合はどうでしょうか。
コインを1回投げると、ワシが2回見える確率を知りたいとしましょう。
すでに数えています-。
そして、コインを一度投げたら？ ワシが一列に並ぶ確率はどれくらいですか？
可能なすべてのオプション：
- イーグル-イーグル-イーグル
- 頭-頭-尾
- 頭-尾-頭
- 頭-尾-尾
- 尾-頭-頭
- 尾-頭-尾
- 尾-尾-頭
- テイルズ-テイルズ-テイルズ
あなたのことはわかりませんが、このリストを作成するときに一度間違えました。 わお！ そして、（最初の）オプションだけが私たちに適しています。
5スローの場合、考えられる結果のリストを自分で作成できます。 しかし、数学者はあなたほど勤勉ではありません。
したがって、彼らは最初に気づき、次に、独立したイベントの特定のシーケンスの確率が1つのイベントの確率によって毎回減少することを証明しました。
言い換えると、
同じ不幸なコインの例を考えてみましょう。
挑戦に頭を悩ませる可能性は？ ..。 今度はコインを1回投げます。
頭を1回続けて打つ確率はどれくらいですか？
このルールは、同じイベントが連続して複数回発生する確率を見つけるように求められた場合にのみ機能します。
連続したスローのGRIP-EAGLE-GRILLEシーケンスを見つけたい場合は、同じことを行います。
尾を得る確率-、頭-。
GRILLE-EAGLE-GRILLE-GRILLEのシーケンスから外れる確率：
テーブルを作って自分でチェックできます。
一貫性のないイベントの確率を追加するためのルール。
やめて！ 新しい定義。
それを理解しましょう。 使い古したコインを1回投げます。
可能なオプション：
- イーグル-イーグル-イーグル
- 頭-頭-尾
- 頭-尾-頭
- 頭-尾-尾
- 尾-頭-頭
- 尾-頭-尾
- 尾-尾-頭
- テイルズ-テイルズ-テイルズ
したがって、互換性のないイベントは、明確で事前に決定された一連のイベントです。 互換性のないイベントです。
2つ（またはそれ以上）の互換性のないイベントの確率を決定する場合は、これらのイベントの確率を追加します。
落下する頭または尾は2つの独立したイベントであることを理解する必要があります。
シーケンスの確率（またはその他）を決定する場合は、確率の乗法を使用します。
最初のスロー、2番目と3番目のテールでヘッドを獲得する確率はどれくらいですか？
しかし、たとえば、頭が1回だけ落ちるとき、つまり、いくつかのシーケンスの1つを取得する確率を知りたい場合。 オプションを選択してから、これらのシーケンスの確率を追加する必要があります。
すべてのオプションが私たちに適しています。
各シーケンスの確率を追加することで、同じことを得ることができます。
したがって、一貫性のない一連のイベントの確率を決定する場合は、確率を追加します。
いつ乗算するか、いつ追加するかについての混乱を避けるのに役立つ経験則があります。
コインを1回投げたときの例に戻り、頭が1回見える確率を知りたいと思います。
何が起こるのでしょうか？
ドロップする必要があります：
（頭と尾と尾）OR（尾と頭と尾）OR（尾と尾と頭）。
したがって、次のようになります。
いくつかの例を見てみましょう。
例5。
箱には鉛筆が入っています。 赤、緑、オレンジ、黄色、黒。 赤または緑の鉛筆を抜く可能性はどのくらいですか？
解決：
何が起こるのでしょうか？ 引き抜く必要があります（赤または緑）。
これで明らかです。これらのイベントの確率を追加します。
答え：
例6。
サイコロを2回振った場合、合計8ポイントの確率はどれくらいですか？
解決。
どうすればポイントを獲得できますか？
（and）or（and）or（and）or（and）or（and）。
1つの（任意の）顔から落ちる確率-。
確率を計算します：
答え：
いい結果。
いつ確率を数えるか、いつ加算するか、いつ乗算するかが明確になったと思います。 そうではありませんか？ 少し練習しましょう。
タスク：
スペード、ハート、13のクラブ、13のダイヤを含むカードが入ったカードデッキを見てみましょう。 各スーツのエースから。
- クラブを続けて引く確率はどれくらいですか（最初に引いたカードをデッキに戻し、シャッフルします）？
- ブラックカード（スペードまたはクラブ）を引く確率はどれくらいですか？
- 写真（ジャック、クイーン、キング、またはエース）を引く確率はどれくらいですか？
- 2枚の絵を続けて引く確率はどれくらいですか（最初に引いたカードをデッキから取り除きます）？
- 2枚のカードを持って組み合わせを集める確率はどれくらいですか-（ジャック、クイーン、またはキング）とエースカードが引かれる順序は重要ではありません。
回答：
- デッキでは、各ランクのカードは次のことを意味します。
- 最初のカードが引かれた後、デッキ内のカードの数（および「写真」の数）が減少したため、イベントは依存しています。 最初にデッキにあるジャック、クイーン、キング、エースの合計。これは、最初のカードが「絵」を引き出す確率を意味します。
デッキから最初のカードを取り除くので、それはすでにデッキにカードがあり、その中に写真があることを意味します。 2枚目のカードで絵を引く確率：
デッキから取得するときの状況に関心があるので、「画像」と「画像」の場合、確率を乗算する必要があります。
答え：
- 最初のカードが引かれると、デッキのカードの数が減るので、2つのオプションがあります。
1）最初のカードでエースを取り出し、2番目のカード-ジャック、クイーン、またはキング
2）最初のカードで、ジャック、クイーン、またはキング、2番目のカード（エース）を取り出します。 （エースと（ジャックまたはクイーンまたはキング））または（（ジャックまたはクイーンまたはキング）とエース）。 デッキのカード数を減らすことを忘れないでください！
あなたが自分ですべての問題を解決することができたなら、あなたは素晴らしい仲間です！ 今、あなたは試験の確率論の問題をクリックするでしょう！
確率論。 平均レベル
例を見てみましょう。 サイコロを振ったとしましょう。 これはどんな骨なのか分かりますか これは、エッジに数字が付いた立方体の名前です。 顔の数、数の数：から何まで？ 前。
だから、サイコロを振って、またはを転がしたい。 そしてそれは私たちに落ちます。
確率は何が起こったかを言います 好意的なイベント（繁栄と混同しないでください）。
それが落ちた場合、イベントも好意的です。 合計で、2つの好ましいイベントのみが発生する可能性があります。
そして、いくつが不利ですか？ 考えられるすべてのイベントがあるので、それは不利なイベントがそれらの中にあることを意味します（これはそれが落ちるかどうかです）。
意味：
確率は、すべての可能なイベントの数に対する好ましいイベントの数の比率です。..。 つまり、確率は、考えられるすべてのイベントのどの割合が好ましいかを示します。
それらはラテン文字で確率を示します（明らかに 英語の単語確率-確率）。
確率をパーセンテージで測定するのが通例です（トピックとを参照）。 これを行うには、確率値にを掛ける必要があります。 サイコロの例では、確率。
そしてパーセンテージとして：。
例（自分で決める）：
- コインを投げたときに頭が出る確率はどれくらいですか？ 尾を引く可能性はどのくらいありますか？
- 偶数がサイコロに振られる確率はどれくらいですか？ そして、どれで-奇妙ですか？
- 鉛筆の箱に、青と赤の鉛筆。 鉛筆をランダムに1本描きます。 単純なものを引き出す確率はどれくらいですか？
ソリューション：
- オプションはいくつありますか？ 頭と尾はたった2つです。 それらのどれだけが有利ですか？ 1つだけがワシです。 だから確率
尻尾も同じです。
- 合計オプション:(キューブの辺の数、非常に多くの異なるオプション）。 好ましいもの:(これらはすべて偶数です:)。
確率。 もちろん、奇妙なことに、同じことです。 - 合計： 。 好ましい：。 確率：。
完全な確率
引き出しの中の鉛筆はすべて緑色です。 赤鉛筆を抜く確率はどれくらいですか？ チャンスはありません：確率（結局のところ、好ましいイベント-）。
そのような出来事は不可能と呼ばれます。
緑の鉛筆を抜く確率はどれくらいですか？ 合計イベント数とまったく同じ数の有利なイベントがあります（すべてのイベントが有利です）。 したがって、確率はまたはに等しくなります。
このようなイベントは信頼できると呼ばれます。
箱の中に緑と赤の鉛筆がある場合、緑または赤を引き出す可能性はどのくらいありますか？ 再び。 このことに注意してください。緑を引く確率は等しく、赤はです。
要するに、これらの確率は正確に等しいです。 あれは、 発生する可能性のあるすべてのイベントの確率の合計は、またはに等しくなります。
例：
鉛筆の箱の中には、青、赤、緑、無地、黄色、そして残りはオレンジ色です。 グリーンを引かない確率はどれくらいですか？
解決：
すべての確率が合計されることを忘れないでください。 そして、緑を引く確率はに等しい。 これは、グリーンを引かない確率がに等しいことを意味します。
このトリックを覚えておいてください：イベントが発生しない確率は、イベントが発生する確率を引いたものに等しくなります。
独立したイベントと確率の乗法
コインを1回投げて、両方の時間に頭を落としたいとします。 これが起こる可能性はどのくらいですか？
考えられるすべてのオプションを調べて、いくつあるかを判断しましょう。
頭-頭、頭-頭、頭-頭、頭-頭。 ほかに何か？
オプション全体。 これらのうち、私たちに適しているのは1つだけです。Eagle-Eagleです。 合計、確率はです。
わかった。 そして今、私たちは一度コインを投げます。 自分で数えてください。 起こりました？ （答え）。
次のスローを追加するたびに、確率が時間とともに減少することに気付いたかもしれません。 原則と呼ばれる 乗算の法定:
独立したイベントの確率は変化します。
独立したイベントとは何ですか？ すべてが論理的です：これらは互いに依存しないものです。 たとえば、コインを数回投げると、新しい投げが行われるたびに、その結果は以前のすべての投げに依存しません。 2つの異なるコインを同時に裏返すこともできます。
その他の例：
- サイコロを2回振る。 両方の時間がロールされる確率はどれくらいですか？
- コインは一度投げられます。 最初に頭を着陸させ、次に尾を2回着陸させる可能性はどのくらいですか？
- プレイヤーは2つのサイコロを振ります。 それらの数字の合計が等しくなる確率はどれくらいですか？
回答：
- イベントは独立しています。つまり、乗算ルールは機能します。
- ワシの確率はです。 尻尾の可能性もあります。 乗算します：
- 12は、2つのkiがロールされた場合にのみ取得できます。
互換性のないイベントと追加ルール
互換性のないイベントは、完全な可能性で相互に補完するイベントと呼ばれます。 名前が示すように、それらは同時に起こることはできません。 たとえば、コインを投げると、表または裏のどちらかになります。
例。
鉛筆の箱の中には、青、赤、緑、無地、黄色、そして残りはオレンジ色です。 緑または赤を引く確率はどれくらいですか？
解決 。
緑の鉛筆を抜く確率はです。 赤 - 。
すべての縁起の良いイベント：緑+赤。 これは、緑または赤を引き出す確率がに等しいことを意味します。
同じ確率は次のように表すことができます。
これは追加ルールです：一貫性のないイベントの確率が合計されます。
混合問題
例。
コインは2回投げられます。 スローの結果が異なる可能性はどのくらいですか？
解決 。
つまり、最初のヒットがヘッドの場合、2番目のヒットはテールである必要があり、その逆も同様です。 独立したイベントのペアが2つあり、これらのペアは互いに互換性がないことがわかりました。 混乱しないようにする方法、乗算する場所、追加する場所。
これらの状況には簡単な経験則があります。 イベントをANDまたはORで接続して、何が起こるかを説明してください。 たとえば、この場合：
（頭と尾）または（尾と頭）が現れるはずです。
接続詞「and」がある場合は乗算があり、「or」-加算がある場合：
自分で試してみてください：
- 同じ側が2回のコイン投げに両方とも着地する可能性はどのくらいですか？
- サイコロを2回振る。 合計がポイントになる確率はどれくらいですか？
ソリューション：
- （頭が落ちて頭が落ちた）または（尾が落ちて尾が落ちた）:。
- オプションは何ですか？ と。 それで：
ドロップアウト（および）または（および）または（および）:。
もう一つの例：
一度コインを投げます。 頭が少なくとも一度出てくる確率はどれくらいですか？
解決：
ああ、どのようにあなたがオプションを通り抜けたくないのか...頭-尾-尾、頭-頭-尾、...しかし、しないでください！ 完全な確率を思い出します。 覚えていますか？ ワシがいる確率はどれくらいですか 一度も落とされない？ 簡単です。尻尾はいつも飛んでいるので。
確率論。 メインについて簡単に
確率は、すべての可能なイベントの数に対する好ましいイベントの数の比率です。
独立したイベント
一方が発生したときにもう一方が発生する確率が変わらない場合、2つのイベントは独立しています。
完全な確率
発生する可能性のあるすべてのイベントの確率は（）です。
イベントが発生しない確率は、イベントが発生する確率を引いたものに等しくなります。
独立したイベントの確率を乗算するためのルール
独立したイベントの特定のシーケンスの確率は、各イベントの確率の積に等しくなります
互換性のないイベント
互換性のないイベントは、実験の結果として同時に発生することのないイベントと呼ばれます。 一貫性のないイベントの数は、イベントの完全なグループを形成します。
一貫性のないイベントの確率が合計されます。
何が起こるかを説明したので、接続詞「AND」または「OR」を使用して、「AND」の代わりに乗算の記号を付け、「OR」の代わりに加算します。
残りの2/3の記事は、賢い学生だけが利用できます。
YouCleverの学生になり、
「月額コーヒー1杯」の価格で数学のOGEまたはUSEの準備をします。
また、「YouClever」教科書、「100gia」トレーニングプログラム（reshebnik）、無制限のトライアルUSEおよびOGE、ソリューションの分析に関する6000の問題、およびその他のYouCleverおよび100giaサービスへの無制限のアクセスを取得します。
前書き
私たちの概念が弱いからではなく、多くのことが私たちには理解できません。
しかし、これらのものは私たちの概念の範囲に含まれていないからです。
コズマ・プリュートコフ
二次専門教育機関で数学を勉強する主な目標は、数学をある程度使用する他のプログラム分野を勉強するために必要な一連の数学の知識とスキルを学生に提供することです。論理的思考。
この作品は、プログラムによって提供される数学のセクション「確率論と数理統計学の基礎」のすべての基本的な概念と中等職業教育の州の教育基準を一貫して紹介しています（ロシア連邦教育省、M.、2002年）。 ）、主な定理を定式化しますが、そのほとんどは証明されていません... それらの解決策の主なタスクと方法、およびこれらの方法を実際の問題を解決するために適用するための技術が考慮されます。 プレゼンテーションには、詳細なコメントと多数の例が付属しています。
方法論の指示は、講義のメモを取るとき、実践的な演習の準備のため、習得した知識、能力、スキルを統合するために、研究された資料に最初に精通するために使用できます。 また、シニアの方にも参考になるマニュアルで、以前に勉強したことをすぐに思い出すことができます。
作業の最後に、生徒がセルフコントロールモードで実行できる例と課題が示されます。
系統だった指導は、パートタイムおよびフルタイムの教育形態の学生を対象としています。
基本概念
確率論は、質量保存の法則を研究します。 これは数理統計学の理論的基礎であり、観測結果を収集、記述、処理する方法の開発に従事しています。 観察（テスト、実験）を通じて、すなわち 言葉の広い意味での経験、現実世界の現象の認識が行われます。
私たちの実践では、結果を予測できない現象に遭遇することがよくあり、その結果はケースによって異なります。
ランダムな現象は、試行回数に対する進行回数の比率によって特徴付けることができます。各試行では、すべての試行の同じ条件下で、発生した場合と発生しなかった場合があります。
確率論は数学の一分野であり、ランダムな現象（イベント）が研究され、それらの大規模な繰り返しの間にパターンが明らかになります。
数理統計学は数学の一分野であり、統計データを収集、体系化、処理、および使用して、科学に基づいた結論と意思決定を取得する方法を研究対象としています。
この場合、統計データは、関心のあるオブジェクトの特徴の定量的特性を表す一連の数値として理解されます。 統計データは、特別に設定された実験と観察の結果として取得されます。
統計データは本質的に多くのランダムな要因に依存しているため、数理統計はその理論的基礎である確率論と密接に関連しています。
I.確率。 確率の加算と乗算
1.1。 組み合わせ論の基本概念
組み合わせ論と呼ばれる数学のセクションでは、集合の考慮とこれらの集合の要素のさまざまな組み合わせの編集に関連するいくつかの問題が解決されます。 たとえば、10個の異なる数字0、1、2、3、：、9を取り、それらから組み合わせを作成すると、異なる番号（143、431、5671、1207、43など）が得られます。
これらの組み合わせの中には、桁の順序のみが異なるもの（たとえば、143と431）、含まれる数が異なるもの（たとえば、5671と1207）、さらに桁数が異なるもの（たとえば、5671と1207）があります。たとえば、143および43）。
したがって、得られた組み合わせは様々な条件を満たす。
構成の規則に応じて、3つのタイプの組み合わせを区別できます。 再配置、配置、組み合わせ.
まず、コンセプトを理解しましょう 階乗.
1からnまでのすべての自然数の積はと呼ばれます n階乗 そして書く。
計算：a）; b）; v）。
解決。 a）。
b）以降および 
、その後、ブラケットを取り出すことができます
次に、
v） 
.
順列。
要素の順序のみが異なるn個の要素の組み合わせは、順列と呼ばれます。
順列は記号で示されます P n 、ここで、nは各順列に含まれる要素の数です。 （（ R-フランス語の単語の最初の文字 順列-順列）。
順列の数は、次の式で計算できます。
または階乗を使用する：
それを覚えておいてください 0！= 1および1！= 1。
例2.1つの棚に6冊の本を並べることができる方法はいくつありますか。
解決。 必要なウェイの数は、6つの要素の順列の数と同じです。
宿泊施設。
からの宿泊施設 mの要素 nそれぞれのそのような化合物は、要素自体（少なくとも1つ）または配置の順序のいずれかによって互いに異なると呼ばれます。
配置は記号で示されます。 m-利用可能なすべての要素の数、 n-各組み合わせの要素の数。 （（ A-フランス語の最初の文字 配置、これは「配置、整理」を意味します）。
また、 nm。
プレースメントの数は、次の式を使用して計算できます
,
それらの。 からのすべての可能な配置の数 mによる要素 n製品に等しい n連続する整数。大きい方が大きい m.
この式を階乗形式で書いてみましょう。
例3.5人の申請者に対して、さまざまなプロファイルの療養所で3つのバウチャーを配布するためのオプションをいくつ作成できますか。
解決。 必要なバリアントの数は、5要素×3要素の配置数と同じです。
.
組み合わせ。
組み合わせはすべて可能な組み合わせです mによる要素 n少なくとも1つの要素が互いに異なる（ここでは mと n-自然数、および n m).
の組み合わせの数 mによる要素 nで示されます（ と-フランス語の単語の最初の文字 組み合わせ-組み合わせ）。
一般的に、からの数 mによる要素 nからのプレースメントの数に等しい mによる要素 nからの順列の数で割った値 n要素：
配置と順列の数の階乗式を使用すると、次のようになります。
例4.25人のチームで、特定のサイトで作業するために4人を割り当てる必要があります。 これを行う方法はいくつありますか？
解決。 選択した4人の順番は関係ないので、これを行うにはいくつかの方法があります。
最初の式で見つける
.
さらに、問題を解決するときは、組み合わせの主な特性を表す次の式が使用されます。
（定義上、それは想定されています）;
.
1.2。 組み合わせ問題の解決
タスク1.16科目が学部で研究されています。 月曜日に、3つのアイテムをスケジュールする必要があります。 これを行う方法はいくつありますか？
解決。 16個中3個のアイテムをスケジュールする方法は、それぞれ3個ずつ16個のアイテムから配置できるのと同じくらい多くあります。
問題2.15個のオブジェクトから10個のオブジェクトを選択する必要があります。 これを行う方法はいくつありますか？
問題3.4つのチームが競技に参加しました。 それらの間で座席を配分するためのオプションはいくつありますか？
.
問題4.80人の兵士と3人の警官がいる場合、3人の兵士と1人の警官のパトロールをどのように作成できますか？
解決。 パトロール中の兵士を選ぶことができます
ある意味で、そしてある意味で役員。 どの将校も兵士の各チームと一緒に行くことができるので、方法しかありません。
問題5.それがわかっている場合は、見つけます。
以来、
,
,
組み合わせの定義により、次のようになります。 それか。 ..。
1.3。 ランダムイベントの概念。 イベントの種類。 イベント確率
与えられた一連の条件下で実現された、いくつかの異なる結果を伴うアクション、現象、観察は、呼び出されます テスト。
この行動または観察の結果はと呼ばれます イベント .
イベントの場合 与えられた条件起こるかもしれないし起こらないかもしれない、そしてそれは呼ばれる ランダム ..。 イベントが確実に発生しなければならない場合、それは呼び出されます 信頼性のある 、そしてそれが明らかに起こり得ない場合には、- 無理だよ.
イベントは呼ばれます 一貫性がない 一度に1つしか表示されない場合。
イベントは呼ばれます ジョイント 与えられた条件下で、これらのイベントの1つの発生が、同じテスト中の別のイベントの発生を除外しない場合。
イベントは呼ばれます 反対 テストの条件下で、それらが唯一の結果である場合、互換性がありません。
イベントは通常、ラテンアルファベットの大文字で指定されます。 あいうえお、 : .
イベントの完全なシステムА1、А2、А3、：、Аnは互換性のないイベントのセットであり、その少なくとも1つの開始は特定のテストに必須です。
システム全体が2つの互換性のないイベントで構成されている場合、そのようなイベントは反対と呼ばれ、Aおよびと指定されます。
例。 ボックスには30個の番号付きボールが含まれています。 次のイベントのどれが不可能で、信頼でき、反対であるかを確認します。
番号付きのボールを手に入れました （A）;
偶数のボールを手に入れました （V）;
奇数のボールを手に入れました （と）;
番号のないボールを手に入れました （D）。
どれが完全なグループを構成しますか？
解決 ..。 A-信頼できるイベント。 D-不可能なイベント。
と と-反対のイベント。
イベントの完全なグループは、 Aと D、Bと と.
イベントの確率は、ランダムなイベントの発生の客観的な可能性の尺度と見なされます。
1.4。 確率の古典的な定義
イベントが発生する客観的な可能性の尺度の表現である数は、と呼ばれます 確率 このイベントは、記号で示されます P（A）。
意味。 イベントの確率 Aは、結果の数mの比率であり、特定のイベントの開始に有利です。 A、数に nすべての結果（一貫性がなく、一意で、等しく可能）、つまり ..。
したがって、イベントの確率を見つけるには、試行のさまざまな結果を考慮した後、考えられるすべての矛盾した結果を計算する必要があります。 n、関心のある結果の数mを選択し、比率を計算します mに n.
この定義から、次のプロパティが続きます。
テストの確率は、1を超えない非負の数です。
実際、目的のイベントの数mは制限内です。 両方の部分をに分割する n、 我々が得る
2.信頼できるイベントの確率は、次のように1に等しくなります。 ..。
3.不可能なイベントの確率はゼロです。
問題1.1000枚の宝くじには、200枚の当選があります。 ランダムに1枚のチケットを取り出します。 このチケットが勝者になる確率はどれくらいですか？
解決。 さまざまな結果の総数は n= 1000。 勝利を得るために有利な結果の数はm = 200です。 式によると、
.
問題2.18個の部品のバッチに4個の欠陥部品があります。 5つのパーツがランダムに選択されます。 これらの5つの部分のうち、2つが欠陥であることが判明する確率を見つけます。
解決。 すべての等しく可能な独立した結果の数 n 18から5までの組み合わせの数に等しいです。
イベントAに適した数mを数えましょう。ランダムに取られた5つのパーツのうち、高品質のパーツが3つ、不良品が2つあるはずです。 利用可能な4つの不良部品から2つの不良部品を選択する方法の数は、4から2までの組み合わせの数と同じです。
利用可能な14の高品質部品から3つの高品質部品をサンプリングする方法の数は次のとおりです。
.
品質の高い部品の任意のグループを欠陥のある部品の任意のグループと組み合わせることができるため、組み合わせの総数 mは
イベントAの求められる確率は、このイベントに有利な結果の数mと、等しく可能なすべての独立した結果の数nの比率に等しくなります。
.
有限数のイベントの合計は、少なくとも1つのイベントの発生で構成されるイベントです。
2つのイベントの合計は、記号A + Bで示され、合計は n記号によるイベントА1+А2+：+Аn。
確率の加法定理。
2つの互換性のないイベントの合計の確率は、これらのイベントの確率の合計に等しくなります。
系1.イベントА1、А2、：、Аnが完全なシステムを形成する場合、これらのイベントの確率の合計は1に等しくなります。
系2。反対のイベントの確率の合計は1に等しい。
.
問題1.宝くじが100枚あります。 5枚のチケットはそれぞれ20,000ルーブル、10枚のチケットはそれぞれ15,000ルーブル、15枚のチケットはそれぞれ10,000ルーブル、25〜2,000ルーブルの賞金を受け取ることが知られています。 残りは何もありません。 購入したチケットで少なくとも10,000ルーブルの賞金が受け取られる確率を見つけます。
解決。 A、B、Cを、購入したチケットに賞金が当たるという事実からなるイベントとします。それぞれ20,000、15,000、10,000ルーブルに相当します。 イベントA、B、Cは一貫していないため、
問題2.オン 壁外専門学校は都市から数学のテストを受けます A、Bと と..。 市からの試験作業の受領確率 A都市から0.6に等しい V-0.1。 次の確率を見つける テスト街から来る と.
多くの人は、「確率論」の概念に直面すると、これは圧倒的で非常に難しいものだと思って怖がります。 しかし、実際にはすべてがそれほど悲劇的ではありません。 今日は確率論の基本的な考え方を考え、具体例を使って問題を解決する方法を学びます。
科学
「確率論」のような数学の分野は何を研究していますか？ 彼女はパターンと量に注意します。 科学者たちは、ギャンブルを研究した18世紀に初めてこの問題に興味を持つようになりました。 確率論の基本的な概念はイベントです。 これは、経験または観察によって確認された事実です。 しかし、経験とは何ですか？ 確率論のもう1つの基本的な概念。 これは、この一連の状況が偶然ではなく、特定の目的のために作成されたことを意味します。 観察に関しては、ここでは研究者自身は実験に参加していませんが、単にこれらの出来事を目撃しているだけで、何が起こっているかに影響を与えることはありません。
イベント
確率論の基本的な概念はイベントであることを学びましたが、分類については考慮していませんでした。 それらはすべて次のカテゴリに分類されます。
- クレディブル。
- 不可能。
- ランダム。
実験の過程でどのような種類のイベントが観察または作成されたかに関係なく、それらはすべてこの分類の対象となります。 それぞれのタイプを個別に理解することをお勧めします。
信頼できるイベント
これはそのような状況であり、その前に必要な一連の措置が講じられています。 本質をよりよく理解するために、いくつかの例を挙げたほうがよいでしょう。 物理学、化学、経済学、および高等数学はすべてこの法律の対象となります。 確率論には、信頼できるイベントなどの重要な概念が含まれています。 ここではいくつかの例を示します。
- 私たちは働き、賃金の形で報酬を受け取ります。
- 私たちは試験に合格し、コンテストに合格しました。これにより、入学という形で報酬を受け取ります。 教育機関.
- 私たちは銀行にお金を投資しました、必要ならば、私たちはそれを取り戻します。
そのようなイベントは信頼できます。 私たちがすべてをやったら 必要な条件、その後、私たちは間違いなく期待される結果を得るでしょう。
不可能なイベント
私たちは今、確率論の要素を見ています。 次のタイプのイベント、つまり不可能の説明に移ることを提案します。 まず、一番規定します 重要なルール-不可能なイベントの確率はゼロです。
問題を解決するとき、この定式化から逸脱することはできません。 明確にするために、ここにそのようなイベントの例があります：
- 水はプラス10の温度で凍結しました（これは不可能です）。
- 電気の不足は生産にまったく影響を与えません（前の例と同じように不可能です）。
上記の例はこのカテゴリの本質を非常に明確に反映しているため、これ以上例を示す価値はありません。 どんな状況でも、体験中に不可能な出来事が起こることは決してありません。
ランダムイベント
要素を研究する 特別な注意この特定の種類のイベントに与える価値があります。 この科学が研究しているのは彼らです。 経験の結果として、何かが起こるかどうかはわかりません。 また、テストは何度でも実行できます。 印象的な例提供できる：
- コインを投げることは経験、またはテストです。頭の落下はイベントです。
- やみくもにボールをバッグから引き出すことはテストであり、赤いボールがキャッチされます-これはイベントなどです。
そのような例は無制限に存在する可能性がありますが、一般的に、本質は明確である必要があります。 イベントについて得られた知識を要約して体系化するために、表が示されています。 確率論は、提示されたすべての最後の種のみを研究します。
タイトル | 意味 | |
クレディブル | 特定の条件に従って100％保証で発生するイベント。 | 入学試験に合格した教育機関への入学。 |
不可能 | いかなる状況でも決して起こらないイベント。 | 気温プラス30度で雪が降っています。 |
ランダム | 実験/テスト中に発生する場合と発生しない場合があるイベント。 | バスケットボールをバスケットに投げるときに当たったり行方不明になったりします。 |
法制
確率論は、イベントが発生する可能性を研究する科学です。 他の人のように、それはいくつかのルールを持っています。 確率論には次の法則があります。
- 確率変数のシーケンスの収束。
- 大数の法則。
複合体の可能性を計算するときは、一連の単純なイベントを使用して、より簡単で高速な方法で結果を得ることができます。 確率論の法則は、いくつかの定理を使用して簡単に証明されることに注意してください。 最初に最初の法則に精通することをお勧めします。
確率変数のシーケンスの収束
収束にはいくつかのタイプがあることに注意してください。
- 確率変数のシーケンスは確率で収束します。
- 不可能に近い。
- 二乗平均平方根収束。
- 配布の収束。
そのため、その場で本質を把握することは非常に困難です。 このトピックを理解するのに役立ついくつかの定義を次に示します。 手始めに、最初のビュー。 シーケンスは呼び出されます 確率で収束する、次の条件が満たされる場合：nが無限大になる傾向がある場合、シーケンスが傾向がある数は0より大きく、1に近くなります。
次のフォームに移りましょう、 ほぼ確実に..。 シーケンスは収束すると言われています ほぼ確実に nは無限大になる傾向があり、Pは1に近い値になる傾向があるため、確率変数になります。
次のタイプは RMSコンバージェンス..。 SK収束を使用する場合、ベクトル確率過程の研究は、それらの座標確率過程の研究に還元されます。
最後のタイプは残っています。問題の解決に直接進むために、簡単に分析してみましょう。 分布の収束には、もう1つの名前があります。「弱い」です。以下でその理由を説明します。 弱い収束限界分布関数の連続性のすべての点での分布関数の収束です。
弱収束は、確率空間で確率変数が定義されていないという点で、上記のすべてとは異なります。 これが可能なのは、条件が分布関数のみを使用して形成されるためです。
大数の法則
次のような確率論の定理：
- チェビシェフの不等式。
- チェビシェフの定理。
- 一般化されたチェビシェフの定理。
- マルコフの定理。
これらすべての定理を考慮すると、この質問は数十ページに及ぶ可能性があります。 私たちの主な仕事は、確率論を実際に適用することです。 今すぐこれを実行することをお勧めします。 しかしその前に、確率論の公理を考えてみてください。それらは問題を解決する上での主要なヘルパーになります。
公理
不可能な出来事について話したとき、私たちはすでに最初に会いました。 覚えておきましょう。不可能なイベントの確率はゼロです。 非常に鮮やかで記憶に残る例を挙げました。気温が摂氏30度で雪が降ったのです。
2つ目は次のとおりです。信頼できるイベントが1に等しい確率で発生します。 次に、数学言語を使用してこれを作成する方法を示します：P（B）= 1。
3番目：ランダムなイベントが発生する場合と発生しない場合がありますが、可能性は常に0から1まで変化します。 値が1に近いほど、可能性が高くなります。 値がゼロに近づくと、確率は非常に小さくなります。 数学言語で書いてみましょう：0<Р(С)<1.
最後の4番目の公理を考えてみましょう。これは次のように聞こえます。2つのイベントの合計の確率は、それらの確率の合計に等しくなります。 数学言語で書きます：P（A + B）= P（A）+ P（B）。
確率論の公理は、覚えるのが難しくない最も単純な規則です。 すでに習得した知識を頼りに、いくつかの問題を解決してみましょう。
宝くじ
最も簡単な例である宝くじから始めましょう。 幸運のために宝くじを1枚購入したと想像してみてください。 少なくとも20ルーブルを獲得する確率はどれくらいですか？ 抽選には合計1,000枚のチケットが参加し、そのうちの1枚は500ルーブル、10枚は100ルーブル、50枚は20ルーブル、100枚は5枚の賞金があります。 確率の問題は、運の機会を見つけることに基づいています。 次に、上記のタスクの解決策を一緒に分析します。
500ルーブルの勝利を文字Aで表すと、Aを獲得する確率は0.001になります。 どうやって手に入れたの？ 「ラッキー」チケットの数を合計数（この場合は1/1000）で割るだけです。
Bは100ルーブルの勝利であり、確率は0.01になります。 今、私たちは前の行動（10/1000）と同じ原則に基づいて行動しました
С-賞金は20ルーブルに相当します。 確率を見つけます、それは0.05に等しいです。
残りのチケットは、賞金が条件で指定されたものよりも少ないため、私たちには関心がありません。 4番目の公理を適用してみましょう。少なくとも20ルーブルを獲得する確率は、P（A）+ P（B）+ P（C）です。 文字Pは、このイベントの発生確率を示します。以前のアクションですでに検出されています。 必要なデータを追加するだけで、答えは0.061になります。 この番号は、タスクの質問に対する答えになります。
カードデッキ
確率論の問題はもっと複雑になる可能性があります。たとえば、次のタスクを実行してみましょう。 これが36枚のカードのデッキです。 あなたの仕事は、パイルを混ぜずに2枚のカードを続けて引くことです。1枚目と2枚目のカードはエースでなければなりません。スーツは関係ありません。
まず、最初のカードがエースになる確率を見つけましょう。このために、4を36で割ります。 彼らはそれを脇に置いた。 2枚目のカードを取り出します。確率は3/5のエースになります。 2番目のイベントの可能性は、最初に引いたカードによって異なります。それがエースだったかどうかは疑問です。 このことから、イベントBはイベントAに依存していることがわかります。
次のステップは、同時発生の確率を見つけることです。つまり、AとBを乗算します。それらの積は次のように求められます。あるイベントの確率に別のイベントの条件付き確率を掛けます。イベントが発生しました。つまり、最初のカードでエースを引きました。
すべてを明確にするために、イベントなどの要素を指定します。 イベントAが発生したと仮定して計算されます。 次のように計算されます：P（B / A）。
問題の解決を続けましょう：P（A * B）= P（A）* P（B / A）またはP（A * B）= P（B）* P（A / B）。 確率は（4/36）*（（3/35）/（4/36）です。計算し、100分の1に四捨五入します。次のようになります。0.11*（0.09 / 0.11）= 0.11 * 0、82 = 0.09確率2つのエースを続けて描くことは100分の1に相当します。値は非常に小さいため、イベントが発生する確率は非常に低くなります。
忘れた番号
確率論が研究するタスクについて、さらにいくつかのオプションを分析することを提案します。 この記事でそれらのいくつかを解決する例をすでに見てきました。次の問題を解決してみましょう。男の子は友人の電話番号の最後の桁を忘れましたが、電話が非常に重要だったため、順番にすべてをダイヤルし始めました。 彼が3回以内に電話をかける確率を計算する必要があります。 確率論の規則、法則、公理がわかっていれば、問題の解決策は最も簡単です。
解決策を検討する前に、自分で解決してみてください。 最後の桁は0から9までであることがわかっています。つまり、値は10個だけです。 必要なものを手に入れる確率は1/10です。
次に、イベントの発生源のオプションを検討する必要があります。男の子が正しく推測し、すぐに目的のイベントを入力したとすると、そのようなイベントの確率は1/10です。 2番目のオプション：最初の呼び出しはミスであり、2番目の呼び出しはターゲットにあります。 このようなイベントの確率を計算してみましょう。9/ 10に1/9を掛けると、最終的には1/10になります。 3番目のオプション：最初と2番目の電話は間違った住所にあり、3番目からだけ男の子は彼が望む場所に着きました。 このようなイベントの確率を計算します。9/ 10に8/9を掛け、1/8を掛けると、結果として1/10になります。 問題の状態に応じて他のオプションには関心がないため、得られた結果を合計する必要があり、最終的に3/10になります。 回答：男の子が3回以内に電話をかける確率は0.3です。
ナンバーカード
目の前には9枚のカードがあり、それぞれに1から9までの数字が書かれており、数字は繰り返されません。 それらは箱に入れられ、完全に混合されました。 あなたはその確率を計算する必要があります
- 偶数は削除されます。
- 2桁。
解決策に進む前に、mが成功したケースの数、nがオプションの総数であることを規定しましょう。 数が偶数になる確率を見つけましょう。 4つの偶数があることを計算するのは難しくありません。これは私たちのmになり、合計9つのオプションが可能です。つまり、m = 9です。 その場合、確率は0.44または4/9です。
2番目のケースを考えてみましょう。オプションの数は9ですが、成功する結果はまったくありません。つまり、mはゼロに等しくなります。 描かれたカードに2桁の数字が含まれる確率もゼロです。
確率論は、ランダムな現象の法則を研究する数学の一分野です：ランダムなイベント、ランダムな変数、それらの特性とそれらに対する操作。
長い間、確率論には明確な定義がありませんでした。 それは1929年にのみ策定されました。 科学としての確率論の出現は、中世とギャンブル（コイン、サイコロ、ルーレット）の数学的分析の最初の試みに起因しています。 17世紀のフランスの数学者ブレーズパスカルとピエールフェルマーは、ギャンブルでの勝利の予測を調査し、サイコロを投げることから生じる最初の確率の法則を発見しました。
確率論は、特定のパターンがランダムな大量のイベントの中心にあるという信念から科学として生まれました。 確率論はこれらのパターンを研究します。
確率論は、イベントの研究を扱いますが、その発生は確実にはわかっていません。 これにより、一部のイベントの発生確率を他のイベントと比較して判断できます。
例：コイントスの結果として「頭」または「尾」を取得した結果を明確に判断することは不可能ですが、投げを繰り返すと、ほぼ同じ数の「頭」と「尾」が落ちます。 「表」または「裏」を取得する確率は50％に等しいこと。
テストこの場合、特定の条件のセットの実装が呼び出されます。つまり、この場合、コインを投げます。 チャレンジは何度でもプレイできます。 この場合、条件の複合体にはランダムな要因が含まれます。
テスト結果は イベント..。 イベントが発生します：
- 信頼できる（常にテストの結果として発生します）。
- 不可能（決して起こりません）。
- 偶発的（テストの結果として発生する場合と発生しない場合があります）。
たとえば、コインが投げられたとき、不可能なイベント-コインは端にあり、ランダムなイベント-「頭」または「尾」の落下です。 特定のテスト結果はと呼ばれます エレメンタリーイベント..。 テストの結果、基本的なイベントのみが発生します。 考えられるすべての異なる特定のテスト結果の全体は、 エレメンタリーイベントのスペース.
理論の基本概念
確率-イベントの発生の可能性の程度。 ある可能性のあるイベントが実際に発生する理由が反対の理由を上回っている場合、そのイベントは可能性があると呼ばれ、そうでない場合は可能性が低いか、可能性が低いと呼ばれます。
ランダム値は、テストの結果、特定の値をとることができる値であり、どちらが事前にわかっているかはわかりません。 例：1日あたりの消防署への数、10発のヒット数など。
確率変数は2つのカテゴリに分けることができます。
- 離散確率変数テストの結果、特定の確率で特定の値を取り、可算集合（要素に番号を付けることができる集合）を形成できる量です。 このセットは、有限と無限の両方にすることができます。 たとえば、ターゲットに最初にヒットする前のショット数は、離散確率変数です。 この値は、数えられる数の値ではありますが、無限になります。
- 連続確率変数そのような量は、特定の有限または無限の間隔から任意の値を取ることができると呼ばれます。 明らかに、連続確率変数の可能な値の数は無限です。
確率空間-A.N.によって導入されたコンセプト 確率の概念を形式化するためのXX世紀の30年代のコルモゴロフは、厳密な数学的分野としての確率論の急速な発展をもたらしました。
確率空間はトリプレットです（山かっこで囲まれている場合があります：、ここで
これは任意のセットであり、その要素は基本イベント、結果、またはポイントと呼ばれます。
-シグマ-（ランダム）イベントと呼ばれるサブセットの代数。
-確率的な尺度または確率、つまり シグマ-そのような加法有限測度。
ドモアブル-ラプラスの定理-1812年にラプラスによって確立された確率論の極限定理の1つ。 彼女は、2つの可能な結果を伴う同じランダムな実験の複数の繰り返しによる成功の数は、ほぼ正規分布であると主張します。 それはあなたが確率の概算値を見つけることを可能にします。
独立したテストのそれぞれについて、ランダムなイベントが発生する確率が（）に等しく、それが実際に発生するテストの数である場合、不等式の確率は（大きい場合は）値に近くなります。ラプラス積分の。
確率論における分布関数-確率変数または確率ベクトルの分布を特徴付ける関数。 確率変数Xがx以下の値を取る確率。ここでxは任意の実数です。 特定の条件が満たされると、確率変数が完全に決定されます。
期待値-確率変数の平均値（これは、確率論で考慮される確率変数の確率分布です）。 英文学では、ロシア語で-で表されます。 統計では、表記がよく使用されます。
確率空間とそれに定義された確率変数を与えましょう。 つまり、定義上、それは可測関数です。 次に、空間上のルベーグ積分がある場合、それは数学的な期待値、または平均値と呼ばれ、示されます。
確率変数の分散-与えられた確率変数の広がりの尺度、つまり、数学的な期待値からの偏差。 それはロシア文学と外国文学に示されています。 統計では、またはという指定がよく使用されます。 分散の平方根は、標準偏差、標準偏差、または標準偏差と呼ばれます。
特定の確率空間で定義された確率変数とします。 それで
ここで、記号は数学的な期待値を示します。
確率論では、2つのランダムなイベントが呼び出されます 独立それらの一方の発生が他方の発生の確率を変えない場合。 同様に、2つの確率変数は 依存それらの一方の値が他方の値の確率に影響を与える場合。
大数の法則の最も単純な形式はベルヌーイの定理です。これは、イベントの確率がすべての試行で同じである場合、試行回数が増えると、イベントの頻度はイベントとランダムでなくなります。
確率論における大数の法則は、固定分布からの有限サンプルの算術平均は、その分布の理論的平均数学期待値に近いと述べています。 収束のタイプに応じて、確率に収束がある場合の大数の法則と、収束がほぼ確実である場合の大数の法則が区別されます。
大数の法則の一般的な意味は、多数の同一で独立したランダムな因子の共同作用が、限界の場合に依存しない結果をもたらすということです。
有限サンプルの分析に基づいて確率を推定する方法は、この特性に基づいています。 実例は、有権者のサンプルの投票に基づく選挙結果の予測です。
中心極限定理-確率論の定理のクラスは、ほぼ同じスケールを持つ十分に多数の弱く依存する確率変数の合計（どの項も支配的ではなく、合計に決定的な貢献をしない）は分布を持っていると主張します通常に近い。
アプリケーションの多くの確率変数は、いくつかの弱く依存する確率因子の影響下で形成されるため、それらの分布は正常であると見なされます。 この場合、どの要素も支配的ではないという条件が満たされている必要があります。 これらの場合の中心極限定理は、正規分布の適用を正当化します。