Provjerite inverznu matricu. Matrična metoda za rješavanje slougha: primjer rješenja pomoću inverzne matrice. Pronalaženje inverzne matrice pomoću Gaussove metode eliminacije nepoznatih

Obično se inverzne operacije koriste za pojednostavljenje složenih algebarskih izraza. Na primjer, ako problem uključuje operaciju dijeljenja razlomkom, možete je zamijeniti operacijom množenja recipročnom vrijednošću razlomka, što je inverzna operacija. Štoviše, matrice se ne mogu dijeliti, pa morate množiti s inverznom matricom. Izračunavanje inverzne matrice 3x3 prilično je zamorno, ali to morate moći učiniti ručno. Recipročnu vrijednost možete pronaći i pomoću dobrog grafičkog kalkulatora.

Koraci

Korištenje adjungirane matrice

Transponirajte izvornu matricu. Transpozicija je zamjena redaka stupcima u odnosu na glavnu dijagonalu matrice, odnosno potrebno je zamijeniti elemente (i,j) i (j,i). U tom se slučaju elementi glavne dijagonale (počinje u gornjem lijevom kutu i završava u donjem desnom kutu) ne mijenjaju.

Da biste promijenili retke u stupce, napišite elemente prvog retka u prvi stupac, elemente drugog retka u drugi stupac, a elemente trećeg retka u treći stupac. Redoslijed mijenjanja položaja elemenata prikazan je na slici na kojoj su odgovarajući elementi zaokruženi kružićima u boji.

Pronađite definiciju svake 2x2 matrice. Svaki element bilo koje matrice, uključujući transponiranu, pridružen je odgovarajućoj matrici 2x2. Da biste pronašli matricu 2x2 koja odgovara određenom elementu, prekrižite redak i stupac u kojem se taj element nalazi, odnosno potrebno je prekrižiti pet elemenata izvorne matrice 3x3. Četiri elementa će ostati neprecrtana, a to su elementi odgovarajuće matrice 2x2.

Na primjer, da biste pronašli matricu 2x2 za element koji se nalazi na sjecištu drugog retka i prvog stupca, prekrižite pet elemenata koji se nalaze u drugom retku i prvom stupcu. Preostala četiri elementa su elementi odgovarajuće matrice 2x2.
Nađite determinantu svake 2x2 matrice. Da biste to učinili, oduzmite umnožak elemenata sekundarne dijagonale od umnoška elemenata glavne dijagonale (vidi sliku).
Detaljne informacije o 2x2 matricama koje odgovaraju određenim elementima 3x3 matrice mogu se pronaći na Internetu.

Napravite matricu kofaktora. Ranije dobivene rezultate zapišite u obliku nove kofaktorske matrice. Da biste to učinili, napišite pronađenu determinantu svake matrice 2x2 gdje se nalazio odgovarajući element matrice 3x3. Na primjer, ako razmatrate matricu 2x2 za element (1,1), zapišite njegovu determinantu na poziciju (1,1). Zatim promijenite znakove odgovarajućih elemenata prema određenoj shemi, koja je prikazana na slici.

Shema promjene znakova: znak prvog elementa prvog retka se ne mijenja; predznak drugog elementa prvog retka je obrnut; predznak trećeg elementa prvog retka se ne mijenja, i tako red po red. Imajte na umu da znakovi "+" i "-" koji su prikazani na dijagramu (vidi sliku) ne pokazuju da će odgovarajući element biti pozitivan ili negativan. U ovom slučaju znak “+” označava da se predznak elementa ne mijenja, a znak “-” označava promjenu predznaka elementa.
Detaljne informacije o matricama kofaktora mogu se pronaći na internetu.
Na taj način ćete pronaći adjungiranu matricu izvorne matrice. Ponekad se naziva kompleksna konjugirana matrica. Takva matrica se označava kao adj(M).

Podijelite svaki element adjungirane matrice njegovom determinantom. Determinanta matrice M izračunata je na samom početku kako bi se provjerilo postoji li inverzna matrica. Sada podijelite svaki element adjungirane matrice ovom determinantom. Rezultat svake operacije dijeljenja napišite gdje se nalazi odgovarajući element. Na taj način ćete pronaći matricu inverznu izvornoj.

Determinanta matrice koja je prikazana na slici je 1. Dakle, ovdje adjungirana matrica je inverzna matrica (jer kada se bilo koji broj podijeli s 1, on se ne mijenja).
U nekim izvorima operacija dijeljenja zamijenjena je operacijom množenja s 1/det(M). Međutim, konačni rezultat se ne mijenja.

Napiši inverznu matricu. Zapišite elemente koji se nalaze na desnoj polovici velike matrice kao zasebnu matricu, koja je inverzna matrica.

Korištenje kalkulatora

Odaberite kalkulator koji radi s matricama. Nije moguće pronaći inverziju matrice pomoću jednostavnih kalkulatora, ali to se može učiniti na dobrom grafičkom kalkulatoru kao što je Texas Instruments TI-83 ili TI-86.

Unesite izvornu matricu u memoriju kalkulatora. Da biste to učinili, kliknite gumb Matrica, ako je dostupan. Za kalkulator Texas Instruments, možda ćete morati pritisnuti tipke 2nd i Matrix.

Odaberite izbornik Uredi. Učinite to pomoću gumba sa strelicama ili odgovarajućeg funkcijskog gumba koji se nalazi na vrhu tipkovnice kalkulatora (mjesto gumba razlikuje se ovisno o modelu kalkulatora).

Unesite zapis matrice. Većina grafičkih kalkulatora može raditi s 3-10 matrica, koje se mogu označiti slova A-J. Obično samo odaberite [A] za označavanje izvorne matrice. Zatim pritisnite tipku Enter.

Unesite veličinu matrice. Ovaj članak govori o matricama 3x3. Ali grafički kalkulatori mogu raditi s velikim matricama. Unesite broj redaka, pritisnite Enter, zatim unesite broj stupaca i ponovno pritisnite Enter.

Unesite svaki element matrice. Matrica će se prikazati na ekranu kalkulatora. Ako ste prethodno unijeli matricu u kalkulator, ona će se pojaviti na ekranu. Kursor će istaknuti prvi element matrice. Unesite vrijednost za prvi element i pritisnite Enter. Kursor će se automatski pomaknuti na sljedeći element matrice.

Razmotrimo kvadratnu matricu. Neka Δ = det A označava njegovu determinantu. Kvadrat B je (OM) za kvadrat A istog reda ako je njihov umnožak A*B = B*A = E, gdje je E matrica identiteta istog reda kao A i B.

Kvadrat A nazivamo nedegeneriranim, ili nesingularnim, ako mu je determinanta različita od nule, i degeneriranim, ili specijalnim, ako je Δ = 0.

Teorema. Da bi A imao svoj inverz, potrebno je i dovoljno da njegova determinanta bude različita od nule.

(OM) A, označava se s A -1, pa je B = A -1 i izračunava se formulom

, (1)

gdje su A i j algebarski komplementi elemenata a i j, Δ = detA.

Izračunavanje A -1 pomoću formule (1) za matrice visokog reda vrlo je zahtjevno, pa je u praksi zgodno pronaći A -1 pomoću metode elementarnih transformacija (ET). Svaki nesingularni A može se reducirati na jedinicu E pomoću EP-a samo stupaca (ili samo redaka). Ako se EP-ovi savršeni preko matrice A primijene istim redoslijedom na jedinicu E, tada će rezultat biti A - 1. Prikladno je izvoditi EP na A i E u isto vrijeme, pišući oba jedan pored drugog kroz liniju A|E. Ako trebate pronaći A -1, trebali biste koristiti samo retke ili samo stupce tijekom procesa transformacije.

Pronalaženje inverza matrice pomoću algebarskih sabiranja

Primjer 1. Za nađi A -1 .

Riješenje. Prvo nalazimo determinantu A
To znači da (OM) postoji i možemo ga pronaći pomoću formule: , gdje su A i j (i,j=1,2,3) algebarski dodaci elemenata a i j izvornog A.

Algebarski komplement elementa a ij je determinanta ili minor od M ij. Dobiva se križanjem stupca i i reda j. Tada se minor množi s (-1) i+j , tj. A ij =(-1) i+j M ij

gdje .

Nalaženje inverzne matrice pomoću elementarnih transformacija

Primjer 2. Metodom elementarnih transformacija pronađite A -1 za: A= .

Riješenje. Izvornom A s desne strane pridružujemo jedinicu istog reda: . Pomoću elementarnih transformacija stupaca lijevu ćemo “polovicu” svesti na jediničnu, dok ćemo istovremeno izvršiti potpuno iste transformacije na desnoj “polovici”.
Da biste to učinili, zamijenite prvi i drugi stupac: ~. Trećem stupcu dodamo prvi, a drugom - prvi, pomnožen s -2: . Od prvog stupca oduzimamo drugi udvostručeni, a od trećeg - drugi pomnožen sa 6; . Dodajmo treći stupac prvom i drugom: . Pomnožite zadnji stupac s -1: . Kvadratna tablica dobivena desno od okomite trake je inverzna od A -1. Tako,
.

Neka postoji kvadratna matrica n-tog reda

Matrica A -1 se zove inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A*A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda.

Matrica identiteta- takva kvadratna matrica u kojoj su svi elementi duž glavne dijagonale, koja prolazi od gornjeg lijevog kuta do donjeg desnog kuta, jedinice, a ostali su nule, na primjer:

inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice oni. za one matrice u kojima se broj redaka i stupaca podudara.

Teorem za uvjet postojanja inverzne matrice

Da bi matrica imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da ona bude nesingularna.

Matrica A = (A1, A2,...A n) se zove nedegeneriran, ako su vektori stupaca linearno neovisni. Broj linearno nezavisnih vektora stupaca matrice naziva se rang matrice. Dakle, možemo reći da je za postojanje inverzne matrice neophodno i dovoljno da rang matrice bude jednak njenoj dimenziji, tj. r = n.

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

Upišite matricu A u tablicu za rješavanje sustava jednadžbi Gaussovom metodom i pripišite joj matricu E s desne strane (mjesto desnih strana jednadžbi).
Koristeći Jordanove transformacije, reducirajte matricu A na matricu koja se sastoji od jediničnih stupaca; u ovom slučaju potrebno je istovremeno transformirati matricu E.
Ako je potrebno, preuredite retke (jednadžbe) posljednje tablice tako da ispod matrice A originalne tablice dobijete matricu identiteta E.
Zapišite inverznu matricu A -1 koja se nalazi u posljednjoj tablici ispod matrice E izvorne tablice.

Primjer 1

Za matricu A pronađite inverznu matricu A -1

Rješenje: Napišemo matricu A i desnoj strani pridružujemo matricu identiteta E. Pomoću Jordanovih transformacija reduciramo matricu A na matricu identiteta E. Izračuni su dati u tablici 31.1.

Provjerimo ispravnost izračuna množenjem izvorne matrice A i inverzne matrice A -1.

Kao rezultat množenja matrica, dobivena je matrica identiteta. Stoga su izračuni izvedeni ispravno.

Odgovor:

Rješavanje matričnih jednadžbi

Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:

AX = B, HA = B, AXB = C,

gdje su A, B, C navedene matrice, X je željena matrica.

Matrične jednadžbe rješavaju se množenjem jednadžbe inverznim matricama.

Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednadžbe, morate ovu jednadžbu pomnožiti s lijevo.

Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je s matricom na desnoj strani jednadžbe.

Slično se rješavaju i ostale jednadžbe.

Primjer 2

Riješite jednadžbu AX = B ako

Riješenje: Budući da je inverzna matrica jednaka (vidi primjer 1)

Matrična metoda u ekonomskoj analizi

Uz ostale koriste se i oni matrične metode. Ove se metode temelje na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri. Takve se metode koriste za potrebe analize složenih i višedimenzionalnih ekonomskih pojava. Najčešće se ove metode koriste kada je potrebno napraviti usporednu procjenu funkcioniranja organizacija i njihovih strukturnih odjela.

U procesu primjene metoda matrične analize može se razlikovati nekoliko faza.

U prvoj fazi formira se sustav ekonomskih pokazatelja i na temelju njega se sastavlja matrica početnih podataka, koja je tablica u kojoj su u pojedinim redovima prikazani brojevi sustava (i = 1,2,....,n), au okomitim stupcima - brojevi pokazatelja (j = 1,2,....,m).

U drugoj fazi Za svaki okomiti stupac identificira se najveća od dostupnih vrijednosti indikatora, koja se uzima kao jedna.

Nakon toga se svi iznosi prikazani u ovom stupcu dijele s najveća vrijednost te se formira matrica standardiziranih koeficijenata.

U trećoj fazi sve komponente matrice su kvadrirane. Ako imaju različit značaj, tada se svakom pokazatelju matrice dodjeljuje određeni težinski koeficijent k. Vrijednost potonjeg utvrđuje se vještačenjem.

Na posljednjem, četvrta faza pronađene vrijednosti ocjene R j grupirani su prema njihovom rastu ili smanjenju.

Navedene matrične metode treba koristiti, primjerice, u komparativnoj analizi različitih investicijski projekti, kao i pri ocjeni drugih ekonomskih pokazatelja organizacija.

Matrica A -1 se naziva inverzna matrica u odnosu na matricu A ako je A*A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda. Inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice.

Svrha usluge. Pomoću ove usluge online možete pronaći algebarske komplemente, transponiranu matricu A T, srodnu matricu i inverznu matricu. Odluka se provodi izravno na web stranici (online) i besplatna je. Rezultati izračuna se prikazuju u izvješću u Word i Excel formatu (tj. moguće je provjeriti rješenje). pogledajte primjer dizajna.

upute. Za dobivanje rješenja potrebno je odrediti dimenziju matrice. Zatim ispunite matricu A u novom dijaloškom okviru.

Vidi također Inverzna matrica pomoću Jordano-Gaussove metode

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

Nalaženje transponirane matrice A T .
Definicija algebarskih komplemenata. Svaki element matrice zamijenite njegovim algebarskim komplementom.
Sastavljanje inverzne matrice iz algebarskih dodavanja: svaki element rezultirajuće matrice podijeljen je determinantom izvorne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna izvornoj matrici.

Sljedeći algoritam za pronalaženje inverzne matrice sličan prethodnom osim u nekim koracima: prvo se izračunaju algebarski komplementi, a zatim se odredi srodna matrica C.

Odredite je li matrica kvadratna. Ako nije, onda za to ne postoji inverzna matrica.
Izračunavanje determinante matrice A. Ako nije jednaka nuli, nastavljamo rješavanje, inače inverzna matrica ne postoji.
Definicija algebarskih komplemenata.
Ispunjavanje unijske (međusobne, adjungirane) matrice C .
Sastavljanje inverzne matrice iz algebarskih sabiranja: svaki element adjungirane matrice C podijeli se s determinantom izvorne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna izvornoj matrici.
Rade provjeru: množe izvornu i dobivenu matricu. Rezultat bi trebala biti matrica identiteta.

Primjer br. 1. Napišimo matricu u obliku:

Algebarski dodaci. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

A -1 =