Kako razumjeti je li funkcija parna ili neparna. Paritet funkcije. Najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu
Funkcija se naziva parna (neparna) ako za bilo koju i jednakost 
.
Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os 
.
Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.
Primjer 6.2. Ispitajte je li funkcija parna ili neparna
1)
;
2)
;
3)
.
Riješenje.
1) Funkcija je definirana kada 
. Naći ćemo 
.
Oni. 
. To znači da je ova funkcija parna.
2) Funkcija je definirana kada 
Oni. 
. Dakle, ova funkcija je neparna.
3) funkcija je definirana za , tj. Za
,
. Stoga funkcija nije ni parna ni neparna. Nazovimo to funkcijom općeg oblika.
3. Proučavanje funkcije za monotonost.
Funkcija 
nazivamo rastućim (opadajućim) na određenom intervalu ako u tom intervalu svakoj većoj vrijednosti argumenta odgovara veća (manja) vrijednost funkcije.
Funkcije koje rastu (padaju) u određenom intervalu nazivaju se monotonima.
Ako funkcija 
diferencijabilan na intervalu 
a ima pozitivnu (negativnu) derivaciju 
, zatim funkcija 
povećava (smanjuje) u ovom intervalu.
Primjer 6.3. Odredite intervale monotonosti funkcija
1)
;
3)
.
Riješenje.
1) Ova je funkcija definirana na cijelom brojevnom pravcu. Nađimo izvod.
Derivacija je jednaka nuli ako 
I 
. Domena definicije je brojčana os, podijeljena točkama 
,
u intervalima. Odredimo predznak derivacije u svakom intervalu.
U intervalu 
derivacija je negativna, funkcija opada na tom intervalu.
U intervalu 
izvod je pozitivan, stoga funkcija raste u tom intervalu.
2) Ova funkcija je definirana ako 
ili
.
U svakom intervalu određujemo predznak kvadratnog trinoma.
Dakle, domena definiranja funkcije
Nađimo izvod 
,
, Ako 
, tj. 
, Ali 
. Odredimo predznak derivacije u intervalima 
.
U intervalu 
derivacija je negativna, dakle funkcija opada na intervalu 
. U intervalu 
derivacija je pozitivna, funkcija raste u intervalu 
.
4. Proučavanje funkcije na ekstremumu.
Točka 
naziva se točka maksimuma (minimuma) funkcije 
, ako postoji takva okolina točke 
to je za sve 
iz ove okoline vrijedi nejednakost 
.
Točke maksimuma i minimuma funkcije nazivaju se točkama ekstrema.
Ako funkcija 
u točki 
ima ekstrem, tada je derivacija funkcije u ovoj točki jednaka nuli ili ne postoji (nužan uvjet za postojanje ekstrema).
Točke u kojima je derivacija nula ili ne postoji nazivaju se kritičnim.
5. Dovoljni uvjeti za postojanje ekstrema.
Pravilo 1. Ako pri prijelazu (slijeva na desno) kroz kritičnu točku 
izvedenica 
mijenja predznak s “+” na “–”, zatim na točku 
funkcija 
ima maksimum; ako je od "–" do "+", tada minimum; Ako 
ne mijenja predznak, tada nema ekstrema.
Pravilo 2. Neka u točki 
prvi izvod funkcije 
jednaka nuli 
, a druga derivacija postoji i različita je od nule. Ako 
, To 
– maksimalni bod, ako 
, To 
– minimalna točka funkcije.
Primjer 6.4 . Istražite maksimalne i minimalne funkcije:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Riješenje.
1) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu 
.
Nađimo izvod 
i riješite jednadžbu 
, tj. 
.Odavde 
– kritične točke.
Odredimo predznak derivacije u intervalima , 
.
Pri prolasku kroz točke 
I 
izvod mijenja predznak iz “–” u “+”, dakle prema pravilu 1 
– minimalni broj bodova.
Pri prolasku kroz točku 
izvod mijenja predznak iz “+” u “–”, pa 
– maksimalni bod.
,
.
2) Funkcija je definirana i kontinuirana u intervalu 
. Nađimo izvod 
.
Riješivši jednadžbu 
, naći ćemo 
I 
– kritične točke. Ako nazivnik 
, tj. 
, onda izvod ne postoji. Tako, 
– treća kritična točka. Odredimo predznak derivacije u intervalima.
Dakle, funkcija ima minimum u točki 
, najviše u bodovima 
I 
.
3) Funkcija je definirana i neprekidna ako 
, tj. na 
.
Nađimo izvod 
.
Pronađimo kritične točke: 
Okolice točaka 
ne pripadaju domeni definicije, stoga nisu ekstremi. Dakle, ispitajmo kritične točke 
I 
.
4) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu 
. Iskoristimo pravilo 2. Nađi izvod 
.
Pronađimo kritične točke:
Nađimo drugu derivaciju 
i odrediti njegov predznak u točkama 
U točkama 
funkcija ima minimum.
U točkama 
funkcija ima maksimum.
Ravnomjerna funkcija.
Čak je funkcija čiji se predznak ne mijenja pri promjeni predznaka x.
x jednakost vrijedi f(–x) = f(x). Znak x ne utječe na znak g.
Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatnu os (slika 1).
Primjeri parne funkcije:
g=cos x
g = x 2
g = –x 2
g = x 4
g = x 6
g = x 2 + x
Obrazloženje:
Uzmimo funkciju g = x 2 ili g = –x 2 .
Za bilo koju vrijednost x funkcija je pozitivna. Znak x ne utječe na znak g. Graf je simetričan u odnosu na koordinatnu os. Ovo je parna funkcija.
Čudna funkcija.
Neparan je funkcija čiji se predznak mijenja promjenom predznaka x.
Drugim riječima, za bilo koju vrijednost x jednakost vrijedi f(–x) = –f(x).
Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (slika 2).
Primjeri neparnih funkcija:
g= grijeh x
g = x 3
g = –x 3
Obrazloženje:
Uzmimo funkciju y = – x 3 .
Sva značenja na imat će znak minus. To je znak x utječe na znak g. Ako je nezavisna varijabla pozitivan broj, tada je funkcija pozitivna, ako je nezavisna varijabla negativan broj, tada je funkcija negativna: f(–x) = –f(x).
Graf funkcije je simetričan oko ishodišta. Ovo je čudna funkcija.
Svojstva parnih i neparnih funkcija:
BILJEŠKA:
Nisu sve funkcije parne ili neparne. Postoje funkcije koje se ne pokoravaju takvoj gradaciji. Na primjer, korijenska funkcija na = √x ne odnosi se ni na parne ni na neparne funkcije (slika 3). Prilikom navođenja svojstava takvih funkcija treba dati odgovarajući opis: ni par ni nepar.
Periodične funkcije.
Kao što znate, periodičnost je ponavljanje određenih procesa u određenom intervalu. Funkcije koje opisuju te procese nazivaju se periodične funkcije. Odnosno, to su funkcije u čijim grafovima postoje elementi koji se ponavljaju u određenim numeričkim intervalima.
Koji su vam bili poznati u ovoj ili onoj mjeri. Također je navedeno da će se zaliha funkcionalnih svojstava postupno nadopunjavati. U ovom odjeljku bit će riječi o dva nova svojstva.
Definicija 1.
Funkcija y = f(x), x ê X, poziva se čak i ako za bilo koju vrijednost x iz skupa X vrijedi jednakost f (-x) = f (x).
Definicija 2.
Funkcija y = f(x), x ê X, naziva se neparnom ako za bilo koju vrijednost x iz skupa X vrijedi jednakost f (-x) = -f (x).
Dokažite da je y = x 4 parna funkcija.
Riješenje. Imamo: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ali (-x) 4 = x 4. To znači da za svaki x vrijedi jednakost f(-x) = f(x), tj. funkcija je parna.
Slično se može dokazati da su funkcije y - x 2, y = x 6, y - x 8 parne.
Dokažite da je y = x 3 ~ neparna funkcija.
Riješenje. Imamo: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ali (-x) 3 = -x 3. To znači da za svaki x vrijedi jednakost f (-x) = -f (x), tj. funkcija je neparna.
Slično se može dokazati da su funkcije y = x, y = x 5, y = x 7 neparne.
Vi i ja smo se već više puta uvjerili da novi pojmovi u matematici najčešće imaju “zemaljsko” porijeklo, tj. mogu se nekako objasniti. To je slučaj i s parnim i s neparnim funkcijama. Vidi: y - x 3, y = x 5, y = x 7 su neparne funkcije, dok su y = x 2, y = x 4, y = x 6 parne funkcije. I općenito, za bilo koju funkciju oblika y = x" (u nastavku ćemo posebno proučiti te funkcije), gdje je n prirodan broj, možemo zaključiti: ako je n neparan broj, tada je funkcija y = x" neparan; ako je n paran broj, onda je funkcija y = xn parna.
Postoje i funkcije koje nisu ni parne ni neparne. Takva je npr. funkcija y = 2x + 3. Doista, f(1) = 5, a f (-1) = 1. Kao što vidite, ovdje, dakle, niti identitet f(-x) = f ( x), niti identitet f(-x) = -f(x).
Dakle, funkcija može biti parna, neparna ili nijedna.
Proučavanje je li određena funkcija parna ili neparna obično se naziva proučavanje pariteta.
Definicije 1 i 2 odnose se na vrijednosti funkcije u točkama x i -x. Ovo pretpostavlja da je funkcija definirana i u točki x i u točki -x. To znači da točka -x pripada domeni definicije funkcije istovremeno s točkom x. Ako numerički skup X, zajedno sa svakim svojim elementom x, sadrži i suprotni element -x, tada se X naziva simetričnim skupom. Recimo, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) su simetrični skupovi, dok je ; (∞;∞) su simetrični skupovi, a , [–5;4] su asimetrični.
– Imaju li parne funkcije domenu definiranja koja je simetrični skup? One čudne?
– Ako je D( f) je asimetričan skup, što je onda funkcija?
– Dakle, ako funkcija na = f(x) – par ili nepar, tada je njegova domena definicije D( f) je simetričan skup. Je li obrnuta tvrdnja istinita: ako je domena definiranja funkcije simetričan skup, je li on paran ili neparan?
– To znači da je postojanje simetričnog skupa domene definicije nužan uvjet, ali ne i dovoljan.
– Dakle, kako ispitati paritet funkcije? Pokušajmo stvoriti algoritam.
slajd
Algoritam za proučavanje funkcije za parnost
1. Utvrditi je li područje definicije funkcije simetrično. Ako nije, tada funkcija nije ni parna ni neparna. Ako da, prijeđite na korak 2 algoritma.
2. Napiši izraz za f(–x).
3. Usporedi f(–x).I f(x):
- Ako f(–x).= f(x), tada je funkcija parna;
- Ako f(–x).= – f(x), tada je funkcija neparna;
- Ako f(–x) ≠ f(x) I f(–x) ≠ –f(x), tada funkcija nije ni parna ni neparna.
Primjeri:
Ispitajte parnost funkcije a). na= x 5 +; b) na= ; V) na= .
Riješenje.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrični skup.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x)= x 5 + neparan.
b) y =,
na = f(x), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrični skup, što znači da funkcija nije ni parna ni neparna.
V) f(x) = , y = f (x),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
opcija 2
1. Je li zadani skup simetričan: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Grafikirajte funkciju na = f(x), Ako na = f(x) je parna funkcija.
Grafikirajte funkciju na = f(x), Ako na = f(x) je neparna funkcija.
Uključena međusobna provjera tobogan.
6. Domaća zadaća: №11.11, 11.21,11.22;
Dokaz geometrijskog značenja svojstva parnosti.
***(Dodjela opcije jedinstvenog državnog ispita).
1. Neparna funkcija y = f(x) definirana je na cijelom brojevnom pravcu. Za bilo koju nenegativnu vrijednost varijable x, vrijednost ove funkcije podudara se s vrijednošću funkcije g( x) = x(x + 1)(x + 3)(x– 7). Odredite vrijednost funkcije h( x) = na x = 3.
7. Sažimanje