Čo je to udalosť v teórii pravdepodobnosti. Úlohy o klasickom určovaní pravdepodobnosti Príklady riešení. Vzťahy medzi udalosťami
Pre praktické činnosti je potrebné vedieť porovnávať udalosti podľa miery možnosti ich vzniku. Zoberme si klasický prípad. V urne je 10 loptičiek, z toho 8 bielych, 2 čierne. Je zrejmé, že udalosť „z urny sa vytiahne biela guľa“ a udalosť „z urny sa vytiahne čierna guľa“ majú rôznu mieru možnosti ich výskytu. Preto je na porovnanie udalostí potrebné určité kvantitatívne meranie.
Kvantitatívna miera možnosti výskytu udalosti je pravdepodobnosť . Najpoužívanejšie definície pravdepodobnosti udalosti sú klasické a štatistické.
Klasická definícia pravdepodobnosť je spojená s pojmom priaznivý výsledok. Pozrime sa na to podrobnejšie.
Nech výsledky nejakého testu tvoria ucelenú skupinu udalostí a sú rovnako možné, t.j. jedinečne možné, nezlučiteľné a rovnako možné. Takéto výsledky sú tzv elementárne výsledky, alebo prípady. Hovorí sa, že test sa scvrkáva prípadová schéma alebo " urnová schéma“, pretože Akýkoľvek problém pravdepodobnosti pre takýto test môže byť nahradený ekvivalentným problémom s urnami a loptičkami rôznych farieb.
Výsledok je tzv priaznivý udalosť A, ak vznik tohto prípadu má za následok vznik udalosti A.
Podľa klasickej definície pravdepodobnosť udalosti A sa rovná pomeru počtu výsledkov priaznivých pre túto udalosť k celkovému počtu výsledkov, t.j.
| , | (1.1) |
Kde P(A)- pravdepodobnosť udalosti A; m– počet prípadov priaznivých pre udalosť A; n– celkový počet prípadov.
Príklad 1.1. Pri hádzaní kockou existuje šesť možných výsledkov: 1, 2, 3, 4, 5, 6 bodov. Aká je pravdepodobnosť získania párneho počtu bodov?
Riešenie. Všetky n= 6 výstupov tvorí ucelenú skupinu udalostí a sú rovnako možné, t.j. jedinečne možné, nezlučiteľné a rovnako možné. Udalosť A – „vznik párneho počtu bodov“ – uprednostňujú 3 výsledky (prípady) – strata 2, 4 alebo 6 bodov. Pomocou klasického vzorca pre pravdepodobnosť udalosti získame
P(A) = = . ◄
Na základe klasickej definície pravdepodobnosti udalosti si všimneme jej vlastnosti:
1. Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti leží medzi nulou a jednou, t.j.
0 ≤ R(A) ≤ 1.
2. Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej.
3. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.
Ako už bolo uvedené, klasická definícia pravdepodobnosti je použiteľná len pre tie udalosti, ktoré môžu vzniknúť ako výsledok testov, ktoré majú symetriu možných výsledkov, t.j. redukovateľné na vzorec prípadov. Existuje však veľká trieda udalostí, ktorých pravdepodobnosti nemožno vypočítať pomocou klasickej definície.
Ak napríklad predpokladáme, že minca je sploštená, je zrejmé, že udalosti „vzhľad erbu“ a „vzhľad hláv“ nemožno považovať za rovnako možné. Preto vzorec na určenie pravdepodobnosti podľa klasickej schémy nie je v tomto prípade použiteľný.
Existuje však aj iný prístup k odhadu pravdepodobnosti udalostí na základe toho, ako často sa daná udalosť vyskytne v vykonaných pokusoch. V tomto prípade sa používa štatistická definícia pravdepodobnosti.
Štatistická pravdepodobnosťudalosť A je relatívna frekvencia (frekvencia) výskytu tejto udalosti v n vykonaných pokusoch, t.j.
 ,
| (1.2) |
Kde P*(A)– štatistická pravdepodobnosť udalosti A; w(A)– relatívna frekvencia udalosti A; m– počet pokusov, v ktorých k udalosti došlo A; n– celkový počet testov.
Na rozdiel od matematickej pravdepodobnosti P(A), považovaný v klasickej definícii, štatistická pravdepodobnosť P*(A) je charakteristika skúsený, experimentálne. Inými slovami, štatistická pravdepodobnosť udalosti A je číslo, okolo ktorého je relatívna frekvencia stabilizovaná (nastavená) w(A) s neobmedzeným zvyšovaním počtu testov vykonaných za rovnakých podmienok.
Napríklad, keď o strelcovi hovoria, že zasiahne cieľ s pravdepodobnosťou 0,95, znamená to, že zo stoviek výstrelov, ktoré vystrelil za určitých podmienok (rovnaký cieľ v rovnakej vzdialenosti, rovnaká puška atď. ), v priemere je ich asi 95 úspešných. Prirodzene, nie každá stovka bude mať 95 úspešných výstrelov, niekedy ich bude menej, niekedy viac, ale v priemere, keď sa streľba mnohokrát opakuje za rovnakých podmienok, toto percento zásahov zostane nezmenené. Údaj 0,95, ktorý slúži ako ukazovateľ šikovnosti strelca, je väčšinou veľmi stabilný, t.j. percento zásahov vo väčšine strelieb bude pre daného strelca takmer rovnaké, iba v ojedinelých prípadoch sa výrazne odchýli od priemernej hodnoty.
Ďalšou nevýhodou klasickej definície pravdepodobnosti ( 1.1 ) obmedzenie jeho použitia je v tom, že predpokladá konečný počet možných výsledkov testu. V niektorých prípadoch možno túto nevýhodu prekonať použitím geometrickej definície pravdepodobnosti, t.j. zistenie pravdepodobnosti pádu bodu do určitej oblasti (úsečka, časť roviny a pod.).
Nechajte plochú postavu g tvorí súčasť plochej postavy G(obr. 1.1). Fit G náhodne sa hodí bodka. To znamená, že všetky body v regióne G„rovnaké práva“, pokiaľ ide o to, či ho zasiahne hodený náhodný bod. Za predpokladu, že pravdepodobnosť udalosti A– hodený hrot zasiahne figúrku g- je úmerná ploche tohto obrázku a nezávisí od jeho umiestnenia vzhľadom na G, ani z formulára g, nájdeme
V ekonómii, podobne ako v iných oblastiach ľudskej činnosti alebo v prírode, sa neustále musíme zaoberať udalosťami, ktoré sa nedajú presne predpovedať. Objem predaja produktu teda závisí od dopytu, ktorý sa môže výrazne líšiť, a od množstva ďalších faktorov, ktoré je takmer nemožné vziať do úvahy. Preto pri organizovaní výroby a realizácii predaja musíte predvídať výsledok takýchto aktivít buď na základe vlastných predchádzajúcich skúseností, alebo podobných skúseností iných ľudí, prípadne intuície, ktorá sa do značnej miery opiera aj o experimentálne dáta.
Aby bolo možné nejako zhodnotiť predmetnú udalosť, je potrebné vziať do úvahy alebo špeciálne zorganizovať podmienky, v ktorých sa táto udalosť zaznamenáva.
Nazýva sa implementácia určitých podmienok alebo akcií na identifikáciu predmetnej udalosti skúsenosti alebo experimentovať.
Podujatie sa volá náhodný, ak v dôsledku skúseností môže, ale nemusí nastať.
Podujatie sa volá spoľahlivý, ak sa nevyhnutne objaví ako výsledok danej skúsenosti, a nemožné, ak sa nemôže objaviť v tomto zážitku.
Napríklad sneženie v Moskve 30. novembra je náhodná udalosť. Každodenný východ slnka možno považovať za spoľahlivú udalosť. Sneženie na rovníku možno považovať za nemožnú udalosť.
Jednou z hlavných úloh teórie pravdepodobnosti je úloha určiť kvantitatívnu mieru možnosti výskytu udalosti.
Algebra udalostí
Udalosti sa nazývajú nezlučiteľné, ak ich nemožno pozorovať spolu v rovnakom zážitku. Prítomnosť dvoch a troch áut v jednej predajni na predaj v rovnakom čase sú teda dve nezlučiteľné udalosti.
Suma udalosťou je udalosť pozostávajúca z výskytu aspoň jednej z týchto udalostí
Príkladom súčtu udalostí je prítomnosť aspoň jedného z dvoch produktov v predajni.
Práca udalosti je udalosť pozostávajúca zo súčasného výskytu všetkých týchto udalostí
Udalosť pozostávajúca z objavenia sa dvoch tovarov v predajni súčasne je produktom udalostí: - vzhľad jedného produktu, - vzhľad iného produktu.
Udalosti tvoria ucelenú skupinu udalostí, ak aspoň jedna z nich nastane v zážitku.
Príklad. Prístav má dve kotviská na prijímanie lodí. Do úvahy možno považovať tri udalosti: - neprítomnosť lodí v kotviskách, - prítomnosť jednej lode na jednom z kotvísk, - prítomnosť dvoch lodí na dvoch kotviskách. Tieto tri udalosti tvoria ucelenú skupinu udalostí.
Naproti nazývajú sa dve jedinečné možné udalosti, ktoré tvoria kompletnú skupinu.
Ak je jedna z opačných udalostí označená ako , potom sa opačná udalosť zvyčajne označuje ako .
Klasické a štatistické definície pravdepodobnosti udalosti
Každý z rovnako možných výsledkov testov (experimentov) sa nazýva elementárny výsledok. Zvyčajne sú označené písmenami. Napríklad sa hádže kockou. Na základe počtu bodov na stranách môže byť celkovo šesť základných výsledkov.
Z elementárnych výsledkov môžete vytvoriť komplexnejšiu udalosť. Udalosť s párnym počtom bodov je teda určená tromi výsledkami: 2, 4, 6.
Kvantitatívnym meradlom možnosti výskytu predmetnej udalosti je pravdepodobnosť.
Najpoužívanejšie definície pravdepodobnosti udalosti sú: klasický A štatistické.
Klasická definícia pravdepodobnosti je spojená s pojmom priaznivý výsledok.
Výsledok je tzv priaznivý k danej udalosti, ak jej výskyt znamená výskyt tejto udalosti.
Vo vyššie uvedenom príklade má daná udalosť – párny počet bodov na hodenej strane – tri priaznivé výsledky. V tomto prípade generál
počet možných výsledkov. To znamená, že tu možno použiť klasickú definíciu pravdepodobnosti udalosti.
Klasická definícia sa rovná pomeru počtu priaznivých výsledkov k celkovému počtu možných výsledkov
kde je pravdepodobnosť udalosti, je počet výsledkov priaznivých pre udalosť, je celkový počet možných výsledkov.
V uvažovanom príklade
Štatistická definícia pravdepodobnosti je spojená s pojmom relatívnej frekvencie výskytu udalosti v experimentoch.
Relatívna frekvencia výskytu udalosti sa vypočíta pomocou vzorca
kde je počet výskytov udalosti v sérii experimentov (testov).
Štatistická definícia. Pravdepodobnosť udalosti je číslo, okolo ktorého sa relatívna frekvencia ustáli (nastaví) s neobmedzeným nárastom počtu experimentov.
V praktických problémoch sa pravdepodobnosť udalosti považuje za relatívnu frekvenciu pre dostatočne veľký počet pokusov.
Z týchto definícií pravdepodobnosti udalosti je zrejmé, že nerovnosť je vždy splnená
Na určenie pravdepodobnosti udalosti na základe vzorca (1.1) sa často používajú kombinatorikové vzorce, ktoré sa používajú na zistenie počtu priaznivých výsledkov a celkového počtu možných výsledkov.
Pravdepodobnosť udalosti sa chápe ako určitá číselná charakteristika možnosti výskytu tejto udalosti. Existuje niekoľko spôsobov, ako určiť pravdepodobnosť.
Pravdepodobnosť udalosti A sa nazýva pomer počtu výsledkov priaznivých pre túto udalosť k celkovému počtu všetkých rovnako možných nekompatibilných elementárnych výsledkov, ktoré tvoria kompletnú skupinu. Takže pravdepodobnosť udalosti A sa určuje podľa vzorca
Kde m– počet základných výsledkov priaznivých A, n– počet všetkých možných výsledkov elementárneho testu.
Príklad 3.1. V experimente, ktorý zahŕňa hádzanie kockou, počet všetkých výsledkov n rovná sa 6 a všetky sú rovnako možné. Nechajte udalosť A znamená výskyt párneho čísla. Potom pre túto udalosť bude priaznivým výsledkom výskyt čísel 2, 4, 6. Ich počet je 3. Preto pravdepodobnosť udalosti A rovná
Príklad 3.2. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybrané dvojciferné číslo má rovnaké číslice?
Dvojciferné čísla sú čísla od 10 do 99, takýchto čísel je spolu 90. 9 čísel má rovnaké číslice (sú to čísla 11, 22, ..., 99). Keďže v tomto prípade m=9, n= 90 teda
Kde A– udalosť, „číslo s rovnakými číslicami“.
Príklad 3.3. V dávke 10 dielov je 7 štandardných. Nájdite pravdepodobnosť, že zo šiestich náhodne vybratých častí sú 4 štandardné.
Celkový počet možných výsledkov elementárneho testu sa rovná počtu spôsobov, ktorými je možné extrahovať 6 častí z 10, t. j. počtu kombinácií 10 prvkov po 6 prvkoch. Stanovme počet výsledkov priaznivých pre udalosť, ktorá nás zaujíma A(medzi šiestimi odobratými časťami sú 4 štandardné). Štyri štandardné diely je možné odobrať zo siedmich štandardných dielov rôznymi spôsobmi; zároveň zvyšných 6-4=2 dielov musí byť neštandardných, ale dva neštandardné diely z 10-7=3 neštandardných dielov môžete zobrať rôznymi spôsobmi. Preto sa počet priaznivých výsledkov rovná .
Potom sa požadovaná pravdepodobnosť rovná
Z definície pravdepodobnosti vyplývajú tieto vlastnosti:
1. Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej.
V skutočnosti, ak je udalosť spoľahlivá, potom každý elementárny výsledok testu podporuje udalosť. V tomto prípade teda m=n
2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.
V skutočnosti, ak je udalosť nemožná, potom žiadny z elementárnych výsledkov testu nepodporuje danú udalosť. V tomto prípade to znamená
3. Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je kladné číslo medzi nulou a jednotkou.
V skutočnosti je náhodná udalosť zvýhodnená iba časťou celkového počtu základných výsledkov testu. V tomto prípade< m< n, znamená 0 < m/n < 1, teda 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
Konštrukcia logicky úplnej teórie pravdepodobnosti je založená na axiomatickej definícii náhodnej udalosti a jej pravdepodobnosti. V systéme axióm navrhnutých A. N. Kolmogorovom sú nedefinované pojmy elementárnou udalosťou a pravdepodobnosťou. Tu sú axiómy, ktoré definujú pravdepodobnosť:
1. Každá udalosť A priradené nezáporné reálne číslo P(A). Toto číslo sa nazýva pravdepodobnosť udalosti A.
2. Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej.
3. Pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej z párovo nekompatibilných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí.
Na základe týchto axióm sa odvodzujú vlastnosti pravdepodobností a závislosti medzi nimi ako vety.
Samotestovacie otázky
1. Ako sa nazýva číselná charakteristika možnosti výskytu udalosti?
2. Aká je pravdepodobnosť udalosti?
3. Aká je pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti?
4. Aká je pravdepodobnosť nemožnej udalosti?
5. Aké sú hranice pravdepodobnosti náhodnej udalosti?
6. Aké sú hranice pravdepodobnosti akejkoľvek udalosti?
7. Aká definícia pravdepodobnosti sa nazýva klasická?
Základy teórie pravdepodobnosti
Plán:
1. Náhodné udalosti
2. Klasická definícia pravdepodobnosti
3. Výpočet pravdepodobnosti udalostí a kombinatorika
4. Geometrická pravdepodobnosť
Teoretické informácie
Náhodné udalosti.
Náhodný jav- jav, ktorého výsledok nie je jasne definovaný. Tento pojem možno interpretovať v pomerne širokom zmysle. Totiž: všetko v prírode je celkom náhodné, vzhľad a narodenie každého jednotlivca je náhodný jav, výber produktu v obchode je tiež náhodný jav, získanie známky na skúške je náhodný jav, choroba a uzdravenie sú náhodné javy , atď.
Príklady náhodných javov:
~ Streľba sa vykonáva z pištole namontovanej v danom uhle k horizontále. Zasiahnutie cieľa je náhodné, ale zasiahnutie projektilu do určitej „vidlice“ je vzor. Môžete určiť vzdialenosť, ku ktorej bližšie a ďalej ako projektil nedoletí. Získate nejaký druh „rozptyľovacej vidličky“
~ To isté telo sa niekoľkokrát váži. Presne povedané, zakaždým získate iné výsledky, aj keď sa budú líšiť v zanedbateľnom množstve, ale budú odlišné.
~ Lietadlo letiace po rovnakej trase má určitý letový koridor, v rámci ktorého môže lietadlo manévrovať, ale nikdy nebude mať presne identickú trasu
~ Športovec nikdy nebude schopný zabehnúť rovnakú vzdialenosť za rovnaký čas. Jeho výsledky budú tiež v určitom číselnom rozmedzí.
Skúsenosť, experiment, pozorovanie sú testy
Skúška– dodržiavanie alebo splnenie určitého súboru podmienok, ktoré sa vykonávajú opakovane a pravidelne sa opakujú v rovnakom poradí, trvaní a pri dodržaní iných rovnakých parametrov.
Zoberme si športovca strieľajúceho na cieľ. Na jeho uskutočnenie je potrebné splniť také podmienky ako príprava športovca, nabitie zbrane, mierenie atď. „Hit“ a „missed“ – udalosti ako výsledok výstrelu.
Udalosť- vysokokvalitný výsledok testu.
Udalosť sa môže, ale nemusí stať. Udalosti sú označené veľkými písmenami. Napríklad: D = "Strelec zasiahol cieľ." S="Biela guľa je vytiahnutá." K="Náhodný tiket lotérie bez výhry.".
Hádzanie mincou je skúška. Pád jej „erbu“ je jednou udalosťou, pád jej „digitálu“ je druhou udalosťou.
Každý test zahŕňa výskyt niekoľkých udalostí. Niektoré z nich môžu byť pre výskumníka v danom čase potrebné, iné nemusia byť potrebné.
Udalosť sa nazýva náhodná, ak je splnený určitý súbor podmienok S buď sa to môže stať, alebo nie. V nasledujúcom texte namiesto toho, aby sme povedali „súbor podmienok S bol splnený“, stručne povieme: „test bol vykonaný“. Udalosť sa teda bude považovať za výsledok testu.
~ Strelec strieľa na terč rozdelený do štyroch oblastí. Záber je skúška. Zasiahnutie určitej oblasti cieľa je udalosťou.
~ V urne sú farebné loptičky. Z urny sa náhodne vyberie jedna loptička. Vyzdvihnutie lopty z urny je skúška. Vzhľad lopty určitej farby je udalosťou.
Typy náhodných udalostí
1. Udalosti sa nazývajú nekompatibilné ak výskyt jednej z nich vylučuje výskyt iných udalostí v tom istom pokuse.
~ Diel sa náhodne vyberie zo škatule na diely. Vzhľad štandardného dielu eliminuje vzhľad neštandardného dielu. Udalosti € objavila sa štandardná časť" a objavila sa neštandardná časť" - nekompatibilné.
~ Hodí sa minca. Vzhľad „erbu“ vylučuje vzhľad nápisu. Udalosti „objavil sa erb“ a „objavil sa nápis“ sú nezlučiteľné.
Tvorí sa niekoľko udalostí celá skupina, ak sa aspoň jeden z nich objaví ako výsledok testu. Inými slovami, výskyt aspoň jednej z udalostí celej skupiny je spoľahlivou udalosťou.
Najmä ak sú udalosti, ktoré tvoria celú skupinu, párovo nekompatibilné, výsledkom testu bude jedna z týchto udalostí. Tento špeciálny prípad nás najviac zaujíma, pretože sa bude ďalej používať.
~ Boli zakúpené dva žreby do lotérie v hotovosti a šatstva. S istotou nastane jedna a len jedna z nasledujúcich udalostí:
1. „výhra padla na prvý tiket a nepadla na druhý,“
2. „výhra nepadla na prvý tiket a padla na druhý,“
3. „výhra padla na oba tikety“,
4. „nevyhrali oba lístky.“
Tieto udalosti tvoria kompletnú skupinu párovo nekompatibilných udalostí,
~ Strelec vystrelil na cieľ. Jedna z nasledujúcich dvoch udalostí sa určite stane: hit, miss. Aj tieto dve nezlučiteľné udalosti tvoria ucelenú skupinu.
2. Udalosti sú tzv rovnako možné, ak existuje dôvod domnievať sa, že ani jeden z nich nie je možnejší ako ten druhý.
~ Vzhľad „erbu“ a objavenie sa nápisu pri hode mincou sú rovnako možné udalosti. V skutočnosti sa predpokladá, že minca je vyrobená z homogénneho materiálu, má pravidelný valcový tvar a prítomnosť razby neovplyvňuje stratu jednej alebo druhej strany mince.
~ Objavenie sa jedného alebo druhého počtu bodov na hodenej kocke sú rovnako možné udalosti. V skutočnosti sa predpokladá, že matrica je vyrobená z homogénneho materiálu, má tvar pravidelného mnohostena a prítomnosť hrotov neovplyvňuje stratu žiadnej plochy.
3. Udalosť sa volá spoľahlivý, ak to nemôže inak, ale stane sa
4. Udalosť sa volá nespoľahlivé, ak sa to nemôže stať.
5. Udalosť sa volá opak k nejakej udalosti, ak spočíva v nenastúpení tejto udalosti. Opačné udalosti nie sú kompatibilné, ale jedna z nich sa nevyhnutne musí stať. Opačné udalosti sa zvyčajne označujú ako negácie, t.j. Nad písmenom je napísaná pomlčka. Opačné udalosti: A a Ā; U a Ū atď. .
Klasická definícia pravdepodobnosti
Pravdepodobnosť je jedným zo základných pojmov teórie pravdepodobnosti.
Existuje niekoľko definícií tohto pojmu. Uveďme definíciu, ktorá sa nazýva klasická. Ďalej uvedieme slabé stránky tejto definície a uvedieme ďalšie definície, ktoré nám umožňujú prekonať nedostatky klasickej definície.
Zvážte situáciu: Krabica obsahuje 6 rovnakých loptičiek, 2 sú červené, 3 sú modré a 1 je biela. Je zrejmé, že možnosť náhodného vytiahnutia farebnej (t.j. červenej alebo modrej) gule z urny je väčšia ako možnosť vytiahnutia bielej gule. Túto možnosť možno charakterizovať číslom, ktoré sa nazýva pravdepodobnosť udalosti (vzhľad farebnej gule).
Pravdepodobnosť- číslo charakterizujúce mieru možnosti výskytu udalosti.
V uvažovanej situácii označujeme:
Udalosť A = "Vytiahnutie farebnej gule."
Vyvolá sa každý z možných výsledkov testu (test pozostáva z vybratia loptičky z urny). elementárny (možný) výsledok a udalosť. Elementárne výsledky môžu byť označené písmenami s indexmi nižšie, napríklad: k 1, k 2.
V našom príklade je 6 loptičiek, takže existuje 6 možných výsledkov: objaví sa biela guľa; objavila sa červená guľa; objavila sa modrá guľa atď. Je ľahké vidieť, že tieto výsledky tvoria kompletnú skupinu párovo nekompatibilných udalostí (objaví sa iba jedna loptička) a sú rovnako možné (lopta je náhodne vylosovaná, loptičky sú identické a dôkladne premiešané).
Nazvime elementárne výstupy, v ktorých nastane pre nás zaujímavá udalosť priaznivé výsledky táto udalosť. V našom príklade je udalosť zvýhodnená A(vzhľad farebnej gule) nasledujúcich 5 výsledkov:
Takže udalosť A sa pozoruje, ak je jeden zo základných výsledkov priaznivý pre A. Takto vyzerá ľubovoľná farebná guľa, ktorých je v krabici 5 kusov
V uvažovanom príklade je 6 základných výsledkov; 5 z nich podporuje podujatie A. teda P(A)= 5/6. Toto číslo poskytuje kvantitatívne hodnotenie stupňa možnosti výskytu farebnej gule.
Definícia pravdepodobnosti:
Pravdepodobnosť udalosti A sa nazýva pomer počtu výsledkov priaznivých pre túto udalosť k celkovému počtu všetkých rovnako možných nekompatibilných elementárnych výsledkov, ktoré tvoria kompletnú skupinu.
P(A)=m/n alebo P(A)=m:n, kde:
m je počet priaznivých elementárnych výsledkov A;
P- počet všetkých možných výsledkov elementárneho testu.
Tu sa predpokladá, že elementárne výsledky sú nezlučiteľné, rovnako možné a tvoria ucelenú skupinu.
Z definície pravdepodobnosti vyplývajú tieto vlastnosti:
1. Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej.
V skutočnosti, ak je udalosť spoľahlivá, potom každý elementárny výsledok testu podporuje udalosť. V tomto prípade m = n preto p=1
2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.
V skutočnosti, ak je udalosť nemožná, potom žiadny z elementárnych výsledkov testu nepodporuje danú udalosť. V tomto prípade m=0, teda p=0.
3.Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je kladné číslo medzi nulou a jednou. 0
V nasledujúcich témach budú uvedené vety, ktoré umožňujú nájsť pravdepodobnosti iných udalostí pomocou známych pravdepodobností niektorých udalostí.
Meranie. V skupine žiakov je 6 dievčat a 4 chlapci. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybraný študent bude dievča? bude tam mladý muž?
p dev = 6/10 = 0,6 p jun = 4/10 = 0,4
Koncept „pravdepodobnosti“ v moderných kurzoch teórie pravdepodobnosti je postavený na teoretickom základe. Pozrime sa na niektoré aspekty tohto prístupu.
Nech sa ako výsledok testu vyskytne iba jedna z udalostí: w i(i=1, 2, .... p). Diania w i- volal elementárne udalosti (elementárne výsledky). O z toho vyplýva, že elementárne udalosti sú párovo nekompatibilné. Volá sa množina všetkých elementárnych udalostí, ktoré sa môžu v teste vyskytnúť priestor elementárnych udalostíΩ (grécke veľké písmeno omega), a samotné elementárne udalosti sú body tohto priestoru..
Udalosť A identifikované s podmnožinou (priestoru Ω), ktorej prvky sú elementárne výsledky priaznivé A; udalosť IN je podmnožina Ω, ktorej prvky majú priaznivé výsledky IN, Množina všetkých udalostí, ktoré sa môžu v teste vyskytnúť, je teda množinou všetkých podmnožín Ω. Samotné Ω sa vyskytuje pri akomkoľvek výsledku testu, preto je Ω spoľahlivá udalosť; prázdna podmnožina priestoru Ω - je nemožná udalosť (nevyskytuje sa pri žiadnom výsledku testu).
Elementárne udalosti sa odlišujú od všetkých tematických udalostí, „každá z nich obsahuje len jeden prvok Ω
Každý elementárny výsledok w i zodpovedať kladnému číslu p i- pravdepodobnosť tohto výsledku a súčet všetkých p i rovná 1 alebo so znamienkom súčtu, táto skutočnosť sa zapíše vo forme výrazu:
Podľa definície pravdepodobnosť P(A) diania A rovná súčtu pravdepodobností priaznivých elementárnych výsledkov A. Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti je teda rovná jednej, nemožná udalosť je nula a ľubovoľná udalosť je medzi nulou a jednou.
Zoberme si dôležitý špeciálny prípad, keď sú všetky výsledky rovnako možné: Počet výsledkov je n, súčet pravdepodobností všetkých výsledkov je rovný jednej; preto je pravdepodobnosť každého výsledku 1/p. Nechajte udalosť A uprednostňuje m výsledky.
Pravdepodobnosť udalosti A rovná súčtu pravdepodobností priaznivých výsledkov A:
P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1
Získa sa klasická definícia pravdepodobnosti.
Je tu tiež axiomatická prístup k pojmu „pravdepodobnosť“. V systéme navrhovaných axióm. Kolmogorov A.N., nedefinované pojmy sú elementárnou udalosťou a pravdepodobnosťou. Konštrukcia logicky úplnej teórie pravdepodobnosti je založená na axiomatickej definícii náhodnej udalosti a jej pravdepodobnosti.
Tu sú axiómy, ktoré definujú pravdepodobnosť:
1. Každá udalosť A priradené nezáporné reálne číslo R(A). Toto číslo sa nazýva pravdepodobnosť udalosti A.
2. Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej:
3. Pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej z párovo nekompatibilných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí.
Na základe týchto axióm sa odvodzujú vlastnosti pravdepodobností a závislosť medzi nimi ako vety.
Teória pravdepodobnosti je matematická veda, ktorá študuje vzorce náhodných udalostí. Pravdepodobný experiment (test, pozorovanie) je experiment, ktorého výsledok nemožno vopred predpovedať. V tomto experimente je akýkoľvek výsledok (výsledok). udalosť.
Udalosť môže byť spoľahlivý(vždy sa vyskytuje ako výsledok testu); nemožné(samozrejme sa nevyskytuje počas testovania); náhodný(môže alebo nemusí nastať za podmienok tohto experimentu).
Udalosť, ktorá sa nedá rozložiť na jednoduchšie udalosti, sa nazýva elementárne. Udalosť prezentovaná ako spojenie niekoľkých elementárnych udalostí sa nazýva komplexné(spoločnosť neutrpela straty - zisk môže byť kladný alebo rovný nule).
Dve udalosti, ktoré nemôžu nastať súčasne (zvýšenie daní - zvýšenie disponibilného príjmu; zvýšenie investície - zníženie rizika), sa nazývajú nezlučiteľné.
Inými slovami, dve udalosti sú nezlučiteľné, ak výskyt jednej z nich vylučuje výskyt druhej. Inak sú kĺb(zvýšenie objemu predaja – zvýšenie zisku). Udalosti sú tzv opak, ak jedna z nich nastane vtedy a len vtedy, ak druhá nenastane (výrobok sa predá - výrobok sa nepredá).
Pravdepodobnosť udalosti - Ide o číselnú mieru, ktorá sa zavádza na porovnanie udalostí podľa stupňa možnosti ich výskytu.
Klasická definícia pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť R(A) diania A sa nazýva pomer čísel m rovnako možné elementárne udalosti (výsledky) priaznivé pre vznik udalosti A, na celkový počet n všetky možné základné výsledky tohto experimentu:
Z vyššie uvedeného vyplývajú tieto základné vlastnosti pravdepodobnosti:
1,0 £ R(A) 1 £.
2. Pravdepodobnosť určitej udalosti A rovná sa 1: R(A) = 1.
3. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti A je 0: R(A) = 0.
4. Ak udalosti A A IN sú teda nezlučiteľné R(A + IN) = R(A) + R(IN); ak udalosti A A IN sú teda spoločné R(A + IN) = R(A) + R(IN) - R(A . B).(R(A . B) je pravdepodobnosť spoločného výskytu týchto udalostí).
5. Ak A a potom opačné udalosti R() = 1 - R(A).
Ak pravdepodobnosť výskytu jednej udalosti nemení pravdepodobnosť výskytu inej udalosti, potom sa takéto udalosti nazývajú nezávislý.
Pri priamom výpočte pravdepodobnosti udalostí charakterizovaných veľkým počtom výsledkov by sme mali použiť kombinatorické vzorce. Študovať skupinu udalostí (hypotézy)
aplikujú sa vzorce celkovej pravdepodobnosti, Bayes a Bernoulli ( n nezávislé testy – opakovanie experimentov).
O štatistické určenie pravdepodobnosti diania A pod n sa vzťahuje na celkový počet skutočne vykonaných testov, pri ktorých sa event A stretol presne m raz. V tomto prípade vzťah m/n nazývaná relatívna frekvencia (frekvencia) Wn(A) výskyt udalosti A V n vykonané testy.
Pri určovaní pravdepodobnosti podľa spôsob znaleckých posudkov pod n sa vzťahuje na počet expertov (špecialistov v danej oblasti), o ktorých sa hovorilo v súvislosti s možnosťou výskytu udalosti A. V čom m o ktorých tvrdia, že udalosť A stane sa.
Na opis výsledkov pozorovaní veličín, ktoré majú číselné vyjadrenie, nestačí pojem náhodná udalosť. Napríklad pri analýze finančného výsledku podniku ich v prvom rade zaujíma jeho veľkosť. Preto pojem náhodná udalosť dopĺňa pojem náhodná premenná.
Pod náhodná premenná(SV) sa chápe ako veličina, ktorá v dôsledku pozorovania (testovania) nadobudne niektorú z vopred neznámych a náhodných okolností závisiacich od možnej množiny svojich hodnôt. Pre každú elementárnu udalosť má SV jeden význam.
Existujú diskrétne a kontinuálne SV. Pre diskrétne SV množina jeho možných hodnôt je konečná alebo spočítateľná, t.j. SV naberá jednotlivé izolované hodnoty, ktoré je možné s určitou pravdepodobnosťou vypísať vopred. Pre nepretržitý SV, množina jeho možných hodnôt je nekonečná a nespočítateľná, napríklad všetky čísla daného intervalu, t.j. možné hodnoty SV nie je možné vopred vypísať a priebežne vypĺňať určitú medzeru.
Príklady náhodných premenných: X- denný počet zákazníkov v supermarkete (diskrétne SV); Y- počet detí narodených počas dňa v určitom administratívnom stredisku (diskrétne SV); Z- súradnica bodu dopadu delostreleckého granátu (súvislý SV).
Mnohé SV zvažované v ekonomike majú taký veľký počet možných hodnôt, že je vhodnejšie ich reprezentovať vo forme súvislých SV. Napríklad výmenné kurzy, príjem domácnosti atď.
Na opísanie SV je potrebné vytvoriť vzťah medzi všetkými možnými hodnotami SV a ich pravdepodobnosťami. Tento pomer bude tzv zákon o rozdeľovaní SV. Pre diskrétnu SV môže byť špecifikovaná tabuľkovo, analyticky (vo forme vzorca) alebo graficky. Napríklad tabuľkové pre SV X