V akom prípade nastanú výsledky? Teória pravdepodobnosti: vzorce a príklady riešenia problémov. Klasická pravdepodobnostná schéma

Aby bolo možné kvantitatívne porovnávať udalosti medzi sebou podľa miery ich možnosti, je zrejmé, že je potrebné priradiť ku každej udalosti určité číslo, ktoré je tým väčšie, čím je udalosť možnejšia. Toto číslo nazveme pravdepodobnosťou udalosti. teda pravdepodobnosť udalosti je číselnou mierou miery objektívnej možnosti tejto udalosti.

Za prvú definíciu pravdepodobnosti treba považovať tú klasickú, ktorá vzišla z analýzy hazardných hier a bola spočiatku aplikovaná intuitívne.

Klasická metóda určovania pravdepodobnosti je založená na koncepte rovnako možných a nezlučiteľných udalostí, ktoré sú výsledkom danej skúsenosti a tvoria ucelenú skupinu nezlučiteľných udalostí.

Najjednoduchším príkladom rovnako možných a nezlučiteľných udalostí tvoriacich ucelenú skupinu je objavenie sa jednej alebo druhej loptičky z urny obsahujúcej niekoľko loptičiek rovnakej veľkosti, hmotnosti a iných hmatateľných vlastností, líšiacich sa len farbou, dôkladne premiešaných pred vybratím.

Preto sa o teste, ktorého výsledky tvoria kompletnú skupinu nekompatibilných a rovnako možných udalostí, hovorí, že je redukovateľný na vzor urien alebo vzor prípadov, alebo zapadá do klasického vzoru.

Rovnako možné a nezlučiteľné udalosti, ktoré tvoria ucelenú skupinu, sa budú nazývať jednoducho prípady alebo šance. Navyše v každom experimente spolu s prípadmi môžu nastať zložitejšie udalosti.

Príklad: Pri hode kockou spolu s prípadmi A i - strata i-bodov na hornej strane môžeme považovať také udalosti ako B - strata párneho počtu bodov, C - strata počtu bodov. bodov, ktoré sú násobkom troch...

Vo vzťahu ku každej udalosti, ktorá môže nastať počas experimentu, sa prípady delia na priaznivý, v ktorom k tejto udalosti dôjde, a nepriaznivá, v ktorej k udalosti nedochádza. V predchádzajúcom príklade je udalosť B uprednostňovaná prípadmi A 2, A 4, A 6; udalosť C - prípady A 3, A 6.

Klasická pravdepodobnosť výskyt určitej udalosti sa nazýva pomer počtu prípadov priaznivých pre výskyt tejto udalosti k celkovému počtu rovnako možných, nezlučiteľných prípadov, ktoré tvoria úplnú skupinu v danom experimente:

Kde P(A)- pravdepodobnosť výskytu udalosti A; m- počet prípadov priaznivých pre udalosť A; n- celkový počet prípadov.

Príklady:

1) (pozri príklad vyššie) P(B)= , P(C) =.

2) Urna obsahuje 9 červených a 6 modrých loptičiek. Nájdite pravdepodobnosť, že jedna alebo dve náhodne vytiahnuté loptičky sa ukážu ako červené.

A- náhodne vylosovaná červená guľa:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- dve náhodné červené gule:

Z klasickej definície pravdepodobnosti vyplývajú nasledujúce vlastnosti (ukážte sa):

1) Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je 0;

2) Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti je 1;

3) Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti leží medzi 0 a 1;

4) Pravdepodobnosť udalosti opačnej k udalosti A,

Klasická definícia pravdepodobnosti predpokladá, že počet výsledkov pokusu je konečný. V praxi veľmi často existujú testy, ktorých počet možných prípadov je nekonečný. Okrem toho slabinou klasickej definície je, že veľmi často nie je možné znázorniť výsledok testu vo forme súboru elementárnych udalostí. Je ešte ťažšie uviesť dôvody, prečo sa elementárne výsledky testu považujú za rovnako možné. Zvyčajne sa ekvimožnosť základných výsledkov testu vyvodzuje z úvah o symetrii. Takéto úlohy sú však v praxi veľmi zriedkavé. Z týchto dôvodov sa popri klasickej definícii pravdepodobnosti používajú aj iné definície pravdepodobnosti.

Štatistická pravdepodobnosť udalosť A je relatívna frekvencia výskytu tejto udalosti v vykonaných testoch:

kde je pravdepodobnosť výskytu udalosti A;

Relatívna frekvencia výskytu udalosti A;

Počet pokusov, v ktorých sa objavila udalosť A;

Celkový počet pokusov.

Na rozdiel od klasickej pravdepodobnosti je štatistická pravdepodobnosť experimentálna charakteristika.

Príklad: Na kontrolu kvality výrobkov zo šarže bolo náhodne vybraných 100 výrobkov, z ktorých sa 3 výrobky ukázali ako chybné. Určte pravdepodobnosť manželstva.

Štatistická metóda určovania pravdepodobnosti je použiteľná len pre tie udalosti, ktoré majú nasledujúce vlastnosti:

Uvažované udalosti by mali byť výsledkom iba tých testov, ktoré je možné reprodukovať neobmedzene veľakrát za rovnakých podmienok.

Udalosti musia mať štatistickú stabilitu (alebo stabilitu relatívnych frekvencií). To znamená, že v rôznych sériách testov sa relatívna frekvencia udalosti mení len málo.

Počet pokusov vedúcich k udalosti A musí byť dosť veľký.

Je ľahké overiť, že vlastnosti pravdepodobnosti vyplývajúce z klasickej definície sú zachované aj v štatistickej definícii pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť je jedným zo základných pojmov teórie pravdepodobnosti. Existuje niekoľko definícií tohto pojmu. Uveďme definíciu, ktorá sa nazýva klasická.

Pravdepodobnosť udalosť je pomer počtu elementárnych výsledkov priaznivých pre danú udalosť k počtu všetkých rovnako možných výsledkov skúsenosti, v ktorej sa táto udalosť môže objaviť.

Pravdepodobnosť udalosti A označujeme P(A)(Tu R– prvé písmeno francúzskeho slova pravdepodobnosť- pravdepodobnosť).

Podľa definície

kde je počet základných výsledkov testu priaznivých pre výskyt udalosti;

Celkový počet možných výsledkov elementárneho testu.

Táto definícia pravdepodobnosti sa nazýva klasický. Vznikla v počiatočnom štádiu vývoja teórie pravdepodobnosti.

Toto číslo sa často nazýva relatívna frekvencia výskytu udalosti A v skúsenostiach.

Čím väčšia je pravdepodobnosť udalosti, tým častejšie sa vyskytuje a naopak, čím menšia je pravdepodobnosť udalosti, tým menej často sa vyskytuje. Keď je pravdepodobnosť udalosti blízka alebo rovná jednej, potom sa vyskytuje takmer vo všetkých pokusoch. O takejto udalosti sa hovorí takmer isté, teda že s jeho výskytom sa dá určite počítať.

Naopak, keď je pravdepodobnosť nulová alebo veľmi malá, potom sa udalosť vyskytuje extrémne zriedkavo; taká udalosť vraj je takmer nemožné.

Niekedy sa pravdepodobnosť vyjadruje v percentách: P(A) 100 % je priemerné percento počtu výskytov udalosti A.

Príklad 2.13. Pri vytáčaní telefónneho čísla účastník zabudol jednu číslicu a vytočil ju náhodne. Nájdite pravdepodobnosť, že je vytočené správne číslo.

Riešenie.

Označme podľa A udalosť - "vytočilo sa požadované číslo."

Účastník môže vytočiť ktorúkoľvek z 10 číslic, takže celkový počet možných základných výsledkov je 10. Tieto výsledky sú nekompatibilné, rovnako možné a tvoria kompletnú skupinu. Uprednostňuje udalosť A len jeden výsledok (je len jeden požadovaný počet).

Požadovaná pravdepodobnosť sa rovná pomeru počtu výsledkov priaznivých pre udalosť k počtu všetkých základných výsledkov:

Klasický vzorec pravdepodobnosti poskytuje veľmi jednoduchý spôsob výpočtu pravdepodobnosti bez experimentov. Jednoduchosť tohto vzorca je však veľmi klamlivá. Faktom je, že pri jeho používaní zvyčajne vznikajú dve veľmi ťažké otázky:

1. Ako zvoliť systém experimentálnych výsledkov tak, aby boli rovnako možné a či je to vôbec možné?

2. Ako nájsť čísla m A n?

Ak je do experimentu zapojených niekoľko objektov, nie je vždy ľahké vidieť rovnako možné výsledky.

Veľký francúzsky filozof a matematik d'Alembert sa zapísal do dejín teórie pravdepodobnosti svojim slávnym omylom, ktorého podstatou bolo, že nesprávne určil ekvimožnosť výsledkov v experimente len s dvoma mincami!

Príklad 2.14. ( d'Alembertova chyba). Hodia sa dve rovnaké mince. Aká je pravdepodobnosť, že padnú na rovnakú stranu?

D'Alembertovo riešenie.

Experiment má tri rovnako možné výsledky:

1. Obe mince pristanú na hlavách;

2. Obe mince pristanú na chvostoch;

3. Jedna z mincí pristane na hlavách, druhá na chvostoch.

Správne riešenie.

Experiment má štyri rovnako možné výsledky:

1. Prvá minca padne na hlavy, druhá tiež padne na hlavy;

2. Prvá minca pristane na chvostoch, druhá tiež pristane na chvostoch;

3. Prvá minca padne na hlavy a druhá na chvosty;

4. Prvá minca pristane na chvostoch a druhá na hlavách.

Z toho dva výsledky budú priaznivé pre našu udalosť, takže požadovaná pravdepodobnosť sa rovná .

D'Alembert urobil jednu z najčastejších chýb pri výpočte pravdepodobnosti: spojil dva elementárne výsledky do jedného, ​​čím sa jeho pravdepodobnosť nerovnala zostávajúcim výsledkom experimentu.

„Nehody nie sú náhodné“... Znie to ako niečo, čo povedal filozof, ale v skutočnosti je štúdium náhodnosti osudom veľkej vedy matematiky. V matematike sa náhodou zaoberá teória pravdepodobnosti. V článku budú uvedené vzorce a príklady úloh, ako aj základné definície tejto vedy.

Čo je teória pravdepodobnosti?

Teória pravdepodobnosti je jednou z matematických disciplín, ktorá študuje náhodné udalosti.

Aby to bolo trochu jasnejšie, uveďme malý príklad: ak hodíte mincu, môže pristáť na hlavách alebo chvostoch. Kým je minca vo vzduchu, obe tieto pravdepodobnosti sú možné. To znamená, že pravdepodobnosť možných následkov je 1:1. Ak je jedna vytiahnutá z balíčka 36 kariet, pravdepodobnosť bude označená ako 1:36. Zdalo by sa, že tu nie je čo skúmať a predpovedať, najmä pomocou matematických vzorcov. Ak však určitú akciu zopakujete mnohokrát, môžete identifikovať určitý vzorec a na základe neho predpovedať výsledok udalostí v iných podmienkach.

Aby sme zhrnuli všetky vyššie uvedené skutočnosti, teória pravdepodobnosti v klasickom zmysle študuje možnosť výskytu jednej z možných udalostí v číselnej hodnote.

Zo stránok histórie

Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady prvých úloh sa objavili v ďalekom stredoveku, keď sa prvýkrát objavili pokusy predpovedať výsledok kartových hier.

Spočiatku teória pravdepodobnosti nemala nič spoločné s matematikou. Bolo to odôvodnené empirickými faktami alebo vlastnosťami udalosti, ktoré bolo možné reprodukovať v praxi. Prvé práce v tejto oblasti ako matematickej disciplíne sa objavili v 17. storočí. Zakladateľmi boli Blaise Pascal a Pierre Fermat. Dlho študovali hazard a videli určité vzorce, o ktorých sa rozhodli povedať verejnosti.

Rovnakú techniku ​​vynašiel Christiaan Huygens, aj keď nepoznal výsledky výskumu Pascala a Fermata. Zaviedol pojem „teória pravdepodobnosti“, vzorce a príklady, ktoré sa považujú za prvé v histórii disciplíny.

Nemalý význam majú aj diela Jacoba Bernoulliho, Laplaceove a Poissonove vety. Z teórie pravdepodobnosti urobili skôr matematickú disciplínu. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady základných úloh dostali súčasnú podobu vďaka Kolmogorovovým axiómam. V dôsledku všetkých zmien sa teória pravdepodobnosti stala jedným z matematických odvetví.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Diania

Hlavným konceptom tejto disciplíny je „udalosť“. Existujú tri typy udalostí:

• Spoľahlivý. Tie, ktoré sa aj tak stanú (minca padne).
• nemožné. Udalosti, ktoré sa za žiadnych okolností nestanú (minca zostane visieť vo vzduchu).
• Náhodný. Tie, ktoré sa stanú alebo nestanú. Môžu byť ovplyvnené rôznymi faktormi, ktoré je veľmi ťažké predvídať. Ak hovoríme o minci, potom existujú náhodné faktory, ktoré môžu ovplyvniť výsledok: fyzikálne vlastnosti mince, jej tvar, pôvodná poloha, sila hodu atď.

Všetky udalosti v príkladoch sú označené veľkými latinskými písmenami, s výnimkou P, ktoré má inú úlohu. Napríklad:

• A = „študenti prišli prednášať“.
• Ā = „študenti neprišli na prednášku“.

V praktických úlohách sa udalosti zvyčajne zapisujú slovami.

Jednou z najdôležitejších charakteristík udalostí je ich rovnaká možnosť. To znamená, že ak si hodíte mincou, sú možné všetky varianty počiatočného pádu, kým nepadne. Ale udalosti tiež nie sú rovnako možné. Stáva sa to vtedy, keď niekto úmyselne ovplyvňuje výsledok. Napríklad „označené“ hracie karty alebo kocky, v ktorých je posunuté ťažisko.

Udalosti môžu byť tiež kompatibilné a nekompatibilné. Kompatibilné udalosti nevylučujú vzájomný výskyt. Napríklad:

• A = „študent prišiel na prednášku“.
• B = „študent prišiel na prednášku“.

Tieto udalosti sú na sebe nezávislé a výskyt jednej z nich neovplyvňuje výskyt druhej. Nezlučiteľné udalosti sú definované skutočnosťou, že výskyt jedného vylučuje výskyt iného. Ak hovoríme o tej istej minci, potom strata „chvostov“ znemožňuje objavenie sa „hláv“ v tom istom experimente.

Akcie na udalostiach

Udalosti je možné násobiť a pridávať, podľa toho sú v disciplíne zavedené logické spojky „AND“ a „ALEBO“.

Množstvo je určené skutočnosťou, že buď udalosť A alebo B, alebo dve, môžu nastať súčasne. Ak nie sú kompatibilné, posledná možnosť nie je možná, hodí sa buď A alebo B.

Násobenie udalostí spočíva v objavení sa A a B súčasne.

Teraz môžeme uviesť niekoľko príkladov, aby sme si lepšie zapamätali základy, teóriu pravdepodobnosti a vzorce. Príklady riešenia problémov nižšie.

Cvičenie 1: Spoločnosť sa zúčastňuje súťaže o zákazky na tri druhy prác. Možné udalosti, ktoré môžu nastať:

• A = „firma dostane prvú zmluvu“.
• A 1 = „firma nedostane prvú zákazku“.
• B = „firma dostane druhú zmluvu“.
• B 1 = „firma nedostane druhú zákazku“
• C = „firma dostane tretiu zmluvu“.
• C 1 = „firma nedostane tretiu zákazku“.

Pomocou akcií na udalostiach sa pokúsime vyjadriť nasledujúce situácie:

• K = „spoločnosť dostane všetky zmluvy“.

V matematickom tvare bude mať rovnica nasledujúci tvar: K = ABC.

• M = „spoločnosť nedostane ani jednu zmluvu“.

M = A1B1C1.

Skomplikujme si úlohu: H = „spoločnosť dostane jednu zákazku“. Keďže nie je známe, ktorú zmluvu spoločnosť dostane (prvú, druhú alebo tretiu), je potrebné zaznamenať celý rad možných udalostí:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je séria udalostí, kde firma nedostane prvú a tretiu zmluvu, ale dostane druhú. Ďalšie možné udalosti boli zaznamenané pomocou vhodnej metódy. Symbol υ v disciplíne označuje spojku „ALEBO“. Ak uvedený príklad preložíme do ľudskej reči, firma dostane buď tretiu zmluvu, alebo druhú, alebo prvú. Podobným spôsobom si môžete zapísať ďalšie podmienky v disciplíne „Teória pravdepodobnosti“. Vzorce a príklady riešenia problémov uvedené vyššie vám pomôžu urobiť to sami.

Vlastne pravdepodobnosť

Možno je v tejto matematickej disciplíne ústredným pojmom pravdepodobnosť udalosti. Existujú 3 definície pravdepodobnosti:

• klasický;
• štatistické;
• geometrický.

Každý má svoje miesto v štúdiu pravdepodobnosti. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady (9. ročník) používajú hlavne klasickú definíciu, ktorá znie takto:

• Pravdepodobnosť situácie A sa rovná pomeru počtu výsledkov, ktoré podporujú jej výskyt, k počtu všetkých možných výsledkov.

Vzorec vyzerá takto: P(A)=m/n.

A je vlastne udalosť. Ak sa objaví prípad opačný ako A, možno ho zapísať ako Ā alebo A 1 .

m je počet možných priaznivých prípadov.

n - všetky udalosti, ktoré sa môžu stať.

Napríklad A = „vytiahnite kartu farby srdca“. V štandardnom balíčku je 36 kariet, z toho 9 sŕdc. V súlade s tým bude vzorec na riešenie problému vyzerať takto:

P(A) = 9/36 = 0,25.

V dôsledku toho bude pravdepodobnosť, že sa z balíčka vyberie karta srdcovej farby, 0,25.

Smerom k vyššej matematike

Teraz je už trochu známe, čo je to teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ktoré sa vyskytujú v školských osnovách. Teóriu pravdepodobnosti však nájdeme aj vo vyššej matematike, ktorá sa vyučuje na univerzitách. Najčastejšie pracujú s geometrickými a štatistickými definíciami teórie a zložitými vzorcami.

Teória pravdepodobnosti je veľmi zaujímavá. Je lepšie začať študovať vzorce a príklady (vyššia matematika) v malom - so štatistickou (alebo frekvenčnou) definíciou pravdepodobnosti.

Štatistický prístup nie je v rozpore s klasickým, ale mierne ho rozširuje. Ak bolo v prvom prípade potrebné určiť, s akou pravdepodobnosťou dôjde k udalosti, potom je potrebné pri tejto metóde uviesť, ako často sa bude vyskytovať. Tu sa zavádza nový pojem „relatívnej frekvencie“, ktorý možno označiť ako W n (A). Vzorec sa nelíši od klasického:

Ak sa na predikciu počíta klasický vzorec, potom sa podľa výsledkov experimentu vypočíta štatistický. Zoberme si napríklad malú úlohu.

Oddelenie technologickej kontroly kontroluje kvalitu výrobkov. Spomedzi 100 produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Ako zistiť frekvenčnú pravdepodobnosť kvalitného produktu?

A = „vzhľad kvalitného produktu“.

Wn(A)=97/100=0,97

Frekvencia kvalitného produktu je teda 0,97. Odkiaľ máš 97? Zo 100 kontrolovaných produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Odpočítame 3 od 100 a dostaneme 97, to je množstvo kvalitného tovaru.

Trochu o kombinatorike

Ďalšia metóda teórie pravdepodobnosti sa nazýva kombinatorika. Jeho základným princípom je, že ak sa určitá voľba A dá urobiť m rôznymi spôsobmi a voľba B sa dá urobiť n rôznymi spôsobmi, potom sa voľba A a B dá urobiť násobením.

Napríklad z mesta A do mesta B vedie 5 ciest. Z mesta B do mesta C vedú 4 cesty. Koľkými spôsobmi sa môžete dostať z mesta A do mesta C?

Je to jednoduché: 5x4=20, čiže dvadsiatimi rôznymi spôsobmi sa môžete dostať z bodu A do bodu C.

Skomplikujme si úlohu. Koľko spôsobov je možné rozložiť karty v solitaire? V balíčku je 36 kariet - to je východiskový bod. Ak chcete zistiť počet spôsobov, musíte „odčítať“ jednu kartu naraz od počiatočného bodu a vynásobiť.

To znamená, že 36x35x34x33x32...x2x1= výsledok sa nezmestí na obrazovku kalkulačky, takže ho možno jednoducho označiť ako 36!. Podpíšte "!" vedľa čísla znamená, že celý rad čísel je vynásobený.

V kombinatorike existujú také pojmy ako permutácia, umiestnenie a kombinácia. Každý z nich má svoj vlastný vzorec.

Usporiadaná množina prvkov množiny sa nazýva usporiadanie. Umiestnenia sa môžu opakovať, to znamená, že jeden prvok možno použiť niekoľkokrát. A to bez opakovania, keď sa prvky neopakujú. n sú všetky prvky, m sú prvky, ktoré sa podieľajú na umiestnení. Vzorec pre umiestnenie bez opakovania bude vyzerať takto:

A n m = n!/(n-m)!

Spojenia n prvkov, ktoré sa líšia iba poradím umiestnenia, sa nazývajú permutácie. V matematike to vyzerá takto: P n = n!

Kombinácie n prvkov z m sú tie zlúčeniny, pri ktorých je dôležité, o aké prvky išlo a aký je ich celkový počet. Vzorec bude vyzerať takto:

A n m = n!/m! (n-m)!

Bernoulliho vzorec

V teórii pravdepodobnosti, ako v každej disciplíne, existujú práce vynikajúcich výskumníkov vo svojom odbore, ktorí ju posunuli na novú úroveň. Jednou z týchto prác je Bernoulliho vzorec, ktorý vám umožňuje určiť pravdepodobnosť výskytu určitej udalosti za nezávislých podmienok. To naznačuje, že výskyt A v experimente nezávisí od výskytu alebo neprítomnosti rovnakej udalosti v skorších alebo nasledujúcich pokusoch.

Bernoulliho rovnica:

Pn (m) = Cnm xpm xqn-m.

Pravdepodobnosť (p) výskytu udalosti (A) je konštantná pre každý pokus. Pravdepodobnosť, že situácia nastane presne m-krát v n počte experimentov, sa vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca. V súlade s tým vzniká otázka, ako zistiť číslo q.

Ak sa udalosť A vyskytne p toľkokrát, nemusí nastať. Jednotka je číslo, ktoré sa používa na označenie všetkých výsledkov situácie v disciplíne. Preto q je číslo, ktoré označuje možnosť, že udalosť nenastane.

Teraz poznáte Bernoulliho vzorec (teóriu pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov (prvá úroveň) zvážime nižšie.

Úloha 2: Návštevník obchodu uskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2. Do predajne samostatne vstúpilo 6 návštevníkov. Aká je pravdepodobnosť, že návštevník uskutoční nákup?

Riešenie: Keďže nie je známe, koľko návštevníkov by malo uskutočniť nákup, jeden alebo všetkých šesť, je potrebné vypočítať všetky možné pravdepodobnosti pomocou Bernoulliho vzorca.

A = „návštevník uskutoční nákup.“

V tomto prípade: p = 0,2 (ako je uvedené v úlohe). V súlade s tým q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (keďže v predajni je 6 zákazníkov). Číslo m sa bude meniť od 0 (ani jeden zákazník nenakúpi) do 6 (všetci návštevníci obchodu niečo kúpia). V dôsledku toho dostaneme riešenie:

P6 (0) = Co6 xp0 xq6 = q6 = (0,8)6 = 0,2621.

Žiadny z kupujúcich neuskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2621.

Ako inak sa používa Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti)? Príklady riešenia problémov (druhá úroveň) nižšie.

Po vyššie uvedenom príklade vyvstávajú otázky, kam sa podeli C a r. Vo vzťahu k p sa číslo s mocninou 0 rovná jednej. Pokiaľ ide o C, možno ho nájsť podľa vzorca:

C n m = n! /m!(n-m)!

Keďže v prvom príklade m = 0, C = 1, čo v zásade neovplyvňuje výsledok. Pomocou nového vzorca sa pokúsme zistiť, aká je pravdepodobnosť nákupu tovaru dvoma návštevníkmi.

P6 (2) = C6 2 ×p 2 ×q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teória pravdepodobnosti nie je až taká zložitá. Bernoulliho vzorec, ktorého príklady sú uvedené vyššie, je toho priamym dôkazom.

Poissonov vzorec

Poissonova rovnica sa používa na výpočet náhodných situácií s nízkou pravdepodobnosťou.

Základný vzorec:

Pn(m)=Am/m! x e (-λ).

V tomto prípade λ = n x p. Tu je jednoduchý Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Nižšie zvážime príklady riešenia problémov.

Úloha 3: Továreň vyrobila 100 000 dielov. Výskyt chybnej časti = 0,0001. Aká je pravdepodobnosť, že v dávke bude 5 chybných dielov?

Ako vidíte, manželstvo je nepravdepodobná udalosť, a preto sa na výpočet používa Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia úloh tohto druhu sa nelíšia od iných úloh v disciplíne, potrebné údaje dosadíme do daného vzorca:

A = “náhodne vybraný diel bude chybný.”

p = 0,0001 (podľa podmienok úlohy).

n = 100 000 (počet častí).

m = 5 (chybné časti). Údaje dosadíme do vzorca a získame:

R 100 000 (5) = 105/5! Xe-io = 0,0375.

Rovnako ako Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešení, ktoré sú napísané vyššie, má Poissonova rovnica neznáme e. V skutočnosti ju možno nájsť podľa vzorca:

e-λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

Existujú však špeciálne tabuľky, ktoré obsahujú takmer všetky hodnoty napr.

De Moivre-Laplaceova veta

Ak je počet pokusov v Bernoulliho schéme dostatočne veľký a pravdepodobnosť výskytu udalosti A vo všetkých schémach je rovnaká, potom pravdepodobnosť výskytu udalosti A v určitom počte opakovaní v sérii testov možno nájsť pomocou Laplaceov vzorec:

Р n (m) = 1/√npq x ϕ (X m).

Xm = m-np/√npq.

Aby ste si lepšie zapamätali Laplaceov vzorec (teória pravdepodobnosti), nižšie sú uvedené príklady problémov.

Najprv nájdime X m, dosadíme údaje (všetky sú uvedené vyššie) do vzorca a dostaneme 0,025. Pomocou tabuliek nájdeme číslo ϕ(0,025), ktorého hodnota je 0,3988. Teraz môžete nahradiť všetky údaje do vzorca:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Pravdepodobnosť, že leták bude fungovať presne 267-krát, je teda 0,03.

Bayesov vzorec

Bayesov vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešenia problémov, pomocou ktorých budú uvedené nižšie, je rovnica, ktorá popisuje pravdepodobnosť udalosti na základe okolností, ktoré by s ňou mohli byť spojené. Základný vzorec je nasledujúci:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A a B sú určité udalosti.

P(A|B) je podmienená pravdepodobnosť, to znamená, že udalosť A môže nastať za predpokladu, že udalosť B je pravdivá.

P (B|A) - podmienená pravdepodobnosť udalosti B.

Takže poslednou časťou krátkeho kurzu „Teória pravdepodobnosti“ je Bayesov vzorec, príklady riešení problémov, s ktorými sú uvedené nižšie.

Úloha 5: Do skladu boli privezené telefóny od troch firiem. Zároveň je podiel telefónov vyrobených v prvom závode 25%, v druhom - 60%, v treťom - 15%. Je tiež známe, že priemerné percento chybných výrobkov v prvom závode je 2%, v druhom - 4% a v treťom - 1%. Musíte nájsť pravdepodobnosť, že náhodne vybraný telefón bude chybný.

A = „náhodne vybraný telefón“.

B 1 - telefón, ktorý vyrobila prvá továreň. Podľa toho sa objavia úvodné B 2 a B 3 (pre druhú a tretiu továreň).

V dôsledku toho dostaneme:

P(B1) = 25 %/100 % = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - teda sme zistili pravdepodobnosť každej možnosti.

Teraz musíte nájsť podmienené pravdepodobnosti požadovanej udalosti, to znamená pravdepodobnosť chybných produktov v spoločnostiach:

P (A/B1) = 2 %/100 % = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B3) = 0,01.

Teraz nahraďme údaje do Bayesovho vzorca a získame:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Článok predstavuje teóriu pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ale toto je len špička ľadovca obrovskej disciplíny. A po všetkom, čo bolo napísané, bude logické položiť si otázku, či je v živote potrebná teória pravdepodobnosti. Pre bežného človeka je ťažké odpovedať; je lepšie opýtať sa niekoho, kto to použil na výhru jackpotu viac ako raz.

V ekonómii, podobne ako v iných oblastiach ľudskej činnosti alebo v prírode, sa neustále musíme zaoberať udalosťami, ktoré sa nedajú presne predpovedať. Objem predaja produktu teda závisí od dopytu, ktorý sa môže výrazne líšiť, a od množstva ďalších faktorov, ktoré je takmer nemožné vziať do úvahy. Preto pri organizovaní výroby a realizácii predaja musíte predvídať výsledok takýchto aktivít buď na základe vlastných predchádzajúcich skúseností, alebo podobných skúseností iných ľudí, prípadne intuície, ktorá sa do veľkej miery opiera aj o experimentálne dáta.

Aby bolo možné nejako zhodnotiť predmetnú udalosť, je potrebné vziať do úvahy alebo špeciálne zorganizovať podmienky, v ktorých sa táto udalosť zaznamenáva.

Nazýva sa implementácia určitých podmienok alebo akcií na identifikáciu predmetnej udalosti skúsenosti alebo experimentovať.

Podujatie sa volá náhodný, ak v dôsledku skúseností môže, ale nemusí nastať.

Podujatie sa volá spoľahlivý, ak sa nevyhnutne objaví ako výsledok danej skúsenosti, a nemožné, ak sa nemôže objaviť v tomto zážitku.

Napríklad sneženie v Moskve 30. novembra je náhodná udalosť. Každodenný východ slnka možno považovať za spoľahlivú udalosť. Sneženie na rovníku možno považovať za nemožnú udalosť.

Jednou z hlavných úloh teórie pravdepodobnosti je úloha určiť kvantitatívnu mieru možnosti výskytu udalosti.

Algebra udalostí

Udalosti sa nazývajú nezlučiteľné, ak ich nemožno pozorovať spolu v rovnakom zážitku. Prítomnosť dvoch a troch áut v jednej predajni na predaj v rovnakom čase sú teda dve nezlučiteľné udalosti.

Suma udalosťou je udalosť pozostávajúca z výskytu aspoň jednej z týchto udalostí

Príkladom súčtu udalostí je prítomnosť aspoň jedného z dvoch produktov v predajni.

Práca udalosti je udalosť pozostávajúca zo súčasného výskytu všetkých týchto udalostí

Udalosť pozostávajúca z objavenia sa dvoch tovarov v predajni súčasne je produktom udalostí: - vzhľad jedného produktu, - vzhľad iného produktu.

Udalosti tvoria ucelenú skupinu udalostí, ak aspoň jedna z nich nastane v zážitku.

Príklad. Prístav má dve kotviská na prijímanie lodí. Do úvahy možno považovať tri udalosti: - neprítomnosť lodí v kotviskách, - prítomnosť jednej lode na jednom z kotvísk, - prítomnosť dvoch lodí na dvoch kotviskách. Tieto tri udalosti tvoria ucelenú skupinu udalostí.

Naproti nazývajú sa dve jedinečné možné udalosti, ktoré tvoria kompletnú skupinu.

Ak je jedna z opačných udalostí označená ako , potom sa opačná udalosť zvyčajne označuje ako .

Klasické a štatistické definície pravdepodobnosti udalosti

Každý z rovnako možných výsledkov testov (experimentov) sa nazýva elementárny výsledok. Zvyčajne sú označené písmenami. Napríklad sa hádže kockou. Na základe počtu bodov na stranách môže byť celkovo šesť základných výsledkov.

Z elementárnych výsledkov môžete vytvoriť komplexnejšiu udalosť. Udalosť s párnym počtom bodov je teda určená tromi výsledkami: 2, 4, 6.

Kvantitatívnym meradlom možnosti výskytu predmetnej udalosti je pravdepodobnosť.

Najpoužívanejšie definície pravdepodobnosti udalosti sú: klasický A štatistické.

Klasická definícia pravdepodobnosti je spojená s pojmom priaznivý výsledok.

Výsledok je tzv priaznivý k danej udalosti, ak jej výskyt znamená výskyt tejto udalosti.

Vo vyššie uvedenom príklade má daná udalosť – párny počet bodov na hodenej strane – tri priaznivé výsledky. V tomto prípade generál
počet možných výsledkov. To znamená, že tu možno použiť klasickú definíciu pravdepodobnosti udalosti.

Klasická definícia sa rovná pomeru počtu priaznivých výsledkov k celkovému počtu možných výsledkov

kde je pravdepodobnosť udalosti, je počet výsledkov priaznivých pre udalosť, je celkový počet možných výsledkov.

V uvažovanom príklade

Štatistická definícia pravdepodobnosti je spojená s pojmom relatívnej frekvencie výskytu udalosti v experimentoch.

Relatívna frekvencia výskytu udalosti sa vypočíta pomocou vzorca

kde je počet výskytov udalosti v sérii experimentov (testov).

Štatistická definícia. Pravdepodobnosť udalosti je číslo, okolo ktorého sa relatívna frekvencia ustáli (nastaví) s neobmedzeným nárastom počtu experimentov.

V praktických problémoch sa pravdepodobnosť udalosti považuje za relatívnu frekvenciu pre dostatočne veľký počet pokusov.

Z týchto definícií pravdepodobnosti udalosti je zrejmé, že nerovnosť je vždy splnená

Na určenie pravdepodobnosti udalosti na základe vzorca (1.1) sa často používajú kombinatorikové vzorce, ktoré sa používajú na zistenie počtu priaznivých výsledkov a celkového počtu možných výsledkov.

OBECNÁ VÝCHOVNÁ INŠTITÚCIA

GYMNÁZIUM č.6

na tému „Klasická definícia pravdepodobnosti“.

Absolvoval žiak 8. ročníka „B“

Klimantová Alexandra.

Učiteľka matematiky: Videnkina V. A.

Voronež, 2008

Mnoho hier používa kocky. Kocka má 6 strán, každá strana má na sebe vyznačený iný počet bodiek, od 1 do 6. Hráč hodí kockou a pozrie sa, koľko bodiek je na spadnutej strane (na strane, ktorá sa nachádza navrchu) . Pomerne často sa body na lícnej strane kocky nahrádzajú zodpovedajúcim číslom a potom sa hovorí o hodení 1, 2 alebo 6. Hod kockou možno považovať za zážitok, experiment, test a získaný výsledok je výsledok testu alebo elementárnej udalosti. Ľudia majú záujem uhádnuť výskyt tejto alebo tej udalosti a predpovedať jej výsledok. Aké predpovede môžu urobiť, keď hodia kockou? Napríklad tieto:

1) udalosť A - padne číslo 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6;

2) udalosť B - objaví sa číslo 7, 8 alebo 9;

3) udalosť C - objaví sa číslo 1.

Udalosť A, predpovedaná v prvom prípade, určite nastane. Vo všeobecnosti sa nazýva udalosť, ktorá sa v danom zážitku určite vyskytne spoľahlivá udalosť .

Udalosť B, predpovedaná v druhom prípade, nikdy nenastane, je to jednoducho nemožné. Vo všeobecnosti sa nazýva udalosť, ktorá v danom zážitku nemôže nastať nemožné podujatie .

A nastane alebo nenastane udalosť C, predpovedaná v treťom prípade? Na túto otázku nevieme s úplnou istotou odpovedať, keďže 1 môže a nemusí vypadnúť. Udalosť, ktorá môže alebo nemusí nastať v danom zážitku, sa nazýva náhodná udalosť .

Keď uvažujeme o výskyte spoľahlivej udalosti, s najväčšou pravdepodobnosťou nepoužijeme slovo „pravdepodobne“. Napríklad, ak je dnes streda, zajtra je štvrtok, je to spoľahlivá udalosť. V stredu nepovieme: „Pravdepodobne zajtra je štvrtok,“ povieme stručne a jasne: „Zajtra je štvrtok“. Je pravda, že ak máme sklon ku krásnym frázam, môžeme povedať toto: „So stopercentnou pravdepodobnosťou hovorím, že zajtra je štvrtok. Naopak, ak je dnes streda, potom je začiatok piatku zajtra nemožná udalosť. Pri hodnotení tejto udalosti v stredu môžeme povedať toto: „Som si istý, že zajtra nie je piatok. Alebo toto: "Je neuveriteľné, že zajtra je piatok." No, ak máme sklon ku krásnym frázam, môžeme povedať toto: „Pravdepodobnosť, že zajtra je piatok, je nulová. Spoľahlivá udalosť je teda udalosť, ktorá sa vyskytuje za daných podmienok so stopercentnou pravdepodobnosťou(t. j. vyskytujúce sa v 10 prípadoch z 10, v 100 prípadoch zo 100 atď.). Nemožná udalosť je udalosť, ktorá za daných podmienok nikdy nenastane, udalosť s nulovou pravdepodobnosťou .

Ale, bohužiaľ (a možno aj našťastie), nie všetko v živote je také jasné a presné: vždy to bude (určitá udalosť), nikdy nebude (nemožná udalosť). Najčastejšie sa stretávame s náhodnými udalosťami, z ktorých niektoré sú pravdepodobnejšie, iné menej pravdepodobné. Zvyčajne ľudia používajú slová „pravdepodobnejšie“ alebo „menej pravdepodobné“, ako sa hovorí, z rozmaru, spoliehajúc sa na to, čo sa nazýva zdravý rozum. Takéto odhady sa však veľmi často ukážu ako nedostatočné, pretože je dôležité vedieť ako dlho percent pravdepodobne náhodná udalosť resp koľko krát jedna náhodná udalosť je pravdepodobnejšia ako iná. Inými slovami, potrebujeme presné kvantitatívne charakteristiky, musíte vedieť charakterizovať pravdepodobnosť číslom.

V tomto smere sme už urobili prvé kroky. Povedali sme, že pravdepodobnosť výskytu určitej udalosti je charakterizovaná ako sto percent a pravdepodobnosť výskytu nemožnej udalosti je ako nula. Vzhľadom na to, že 100 % sa rovná 1, ľudia sa zhodli na nasledujúcom:

1) pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa považuje za rovnakú 1;

2) pravdepodobnosť nemožnej udalosti sa považuje za rovnakú 0.

Ako vypočítať pravdepodobnosť náhodnej udalosti? Veď sa aj stalo náhodne, čo znamená, že nedodržiava zákony, algoritmy ani vzorce. Ukazuje sa, že vo svete náhodnosti platia určité zákony, ktoré umožňujú vypočítať pravdepodobnosti. Toto je odvetvie matematiky, ktoré sa nazýva - teória pravdepodobnosti .

Matematika sa zaoberá Model nejaký fenomén reality okolo nás. Zo všetkých modelov používaných v teórii pravdepodobnosti sa obmedzíme na ten najjednoduchší.

Klasická pravdepodobnostná schéma

Ak chcete zistiť pravdepodobnosť udalosti A pri vykonávaní nejakého experimentu, mali by ste:

1) nájdite počet N všetkých možných výsledkov tohto experimentu;

2) prijať predpoklad rovnakej pravdepodobnosti (rovnakej možnosti) všetkých týchto výsledkov;

3) nájdite počet N(A) tých experimentálnych výsledkov, v ktorých nastala udalosť A;

4) nájsť kvocient ; bude sa rovnať pravdepodobnosti udalosti A.

Je zvykom označovať pravdepodobnosť udalosti A: P(A). Vysvetlenie tohto označenia je veľmi jednoduché: slovo „pravdepodobnosť“ vo francúzštine je pravdepodobnosť, v angličtine- pravdepodobnosť.Označenie používa prvé písmeno slova.

Pomocou tohto zápisu možno pomocou vzorca zistiť pravdepodobnosť udalosti A podľa klasickej schémy

P(A)=.

Často sú všetky body vyššie uvedenej klasickej pravdepodobnostnej schémy vyjadrené jednou pomerne dlhou frázou.

Klasická definícia pravdepodobnosti

Pravdepodobnosť udalosti A počas určitého testu je pomer počtu výsledkov, ktorých výsledkom je udalosť A, k celkovému počtu všetkých rovnako možných výsledkov tohto testu.

Príklad 1. Nájdite pravdepodobnosť, že pri jednom hode kockou bude výsledok: a) 4; b) 5; c) párny počet bodov; d) počet bodov väčší ako 4; e) počet bodov nedeliteľný tromi.

Riešenie. Celkovo je N=6 možných výsledkov: vypadnutie z plochy kocky s počtom bodov rovným 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6. Veríme, že žiadny z nich nemá oproti ostatným žiadne výhody, t.j. prijať predpoklad, že ekvipravdepodobnosť týchto výsledkov.

a) Presne v jednom z výsledkov nastane udalosť A, ktorá nás zaujíma – objaví sa číslo 4. To znamená, že N(A)=1 a

P ( A )= =.

b) Riešenie a odpoveď sú rovnaké ako v predchádzajúcom odseku.

c) Udalosť B, ktorá nás zaujíma, nastane práve v troch prípadoch, keď je počet bodov 2, 4 alebo 6. To znamená

N ( B ) = 3 a P ( B )==.

d) Udalosť C, ktorá nás zaujíma, nastane práve v dvoch prípadoch, keď je počet bodov 5 alebo 6. To znamená

N ( C ) =2 a Р(С)=.

e) Zo šiestich možných vyžrebovaných čísel štyri (1, 2, 4 a 5) nie sú násobkom troch a zvyšné dve (3 a 6) sú deliteľné tromi. To znamená, že pre nás zaujímavá udalosť sa vyskytuje presne v štyroch zo šiestich možných a rovnako pravdepodobných a rovnako pravdepodobných výsledkov experimentu. Preto sa ukazuje, že odpoveď je

. ; b) ; V); G); d).

Skutočná kocka sa môže veľmi líšiť od ideálnej (modelovej) kocky, preto je na opis jej správania potrebný presnejší a podrobnejší model, ktorý zohľadňuje výhody jednej strany oproti druhej, možnú prítomnosť magnetov atď. „diabol je v detailoch“ a väčšia presnosť vedie k väčšej zložitosti a získanie odpovede sa stáva problémom. Obmedzíme sa na zváženie najjednoduchšieho pravdepodobnostného modelu, kde sú všetky možné výsledky rovnako pravdepodobné.

Poznámka 1. Pozrime sa na ďalší príklad. Bola položená otázka: „Aká je pravdepodobnosť, že dostanete trojku na jeden hod? Študent odpovedal: "Pravdepodobnosť je 0,5." A svoju odpoveď vysvetlil: „Buď prídu traja, alebo nie. To znamená, že sú celkovo dva výsledky a presne v jednom z nich nastane udalosť, ktorá nás zaujíma. Použitím klasickej pravdepodobnostnej schémy dostaneme odpoveď 0,5.“ Je v tejto úvahe chyba? Na prvý pohľad nie. Stále však existuje, a to zásadným spôsobom. Áno, skutočne, trojka buď príde alebo nie, t.j. s touto definíciou výsledku losovania N=2. Tiež platí, že N(A) = 1 a samozrejme platí, že

=0,5, t.j. do úvahy sa berú tri body pravdepodobnostnej schémy, ale o realizácii bodu 2) sa pochybuje. Samozrejme, z čisto právneho hľadiska máme právo veriť, že pri hodení trojky je rovnako pravdepodobné, že nevypadneme. Môžeme si to však myslieť bez toho, aby sme porušili naše vlastné prirodzené predpoklady o „rovnakosti“ hrán? Samozrejme, že nie! Tu máme do činenia so správnym uvažovaním v rámci určitého modelu. Ale tento model sám o sebe je „nesprávny“, nezodpovedá skutočnému fenoménu.

Poznámka 2. Pri diskusii o pravdepodobnosti nezabúdajte na nasledujúcu dôležitú okolnosť. Ak to povieme pri hode kockou, pravdepodobnosť získania jedného bodu je

, to vôbec neznamená, že 6-krát hodením kockou získate jeden bod presne raz, 12-krát hodením kockou získate jeden bod presne dvakrát, 18-krát hodením kockou získate jeden bod presne tri. časy atď. Slovo je pravdepodobne špekulatívne. Predpokladáme, čo sa s najväčšou pravdepodobnosťou stane. Pravdepodobne, ak hodíme kockou 600-krát, jeden bod príde 100-krát, čiže asi 100-krát.