Súčet uhlov trojuholníka. Kompletné lekcie - Vedomostný hypermarket. Súčet uhlov trojuholníka - čomu sa rovná? Typy podľa veľkosti uhla

V 8. ročníku sa žiaci na hodinách geometrie v škole prvýkrát zoznamujú s pojmom vypuklý mnohouholník. Veľmi skoro sa dozvedia, že táto figúrka má veľmi zaujímavú vlastnosť. Bez ohľadu na to, aký zložitý môže byť, súčet všetkých vnútorných a vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka nadobúda presne definovanú hodnotu. V tomto článku učiteľ matematiky a fyziky hovorí o tom, čomu sa rovná súčet uhlov konvexného mnohouholníka.

Súčet vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka

Ako dokázať tento vzorec?

Skôr ako prejdeme k dôkazu tohto tvrdenia, pripomeňme si, ktorý mnohouholník sa nazýva konvexný. Konvexný mnohouholník je mnohouholník, ktorý leží celý na jednej strane čiary obsahujúcej ktorúkoľvek z jeho strán. Napríklad ten, ktorý je znázornený na tomto obrázku:

Ak polygón nespĺňa zadanú podmienku, potom sa nazýva nekonvexný. Napríklad takto:

Súčet vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka sa rovná , kde je počet strán mnohouholníka.

Dôkaz tejto skutočnosti je založený na vete o súčte uhlov v trojuholníku, dobre známej všetkým školákom. Som si istý, že táto veta je známa aj vám. Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je .

Cieľom je rozdeliť konvexný mnohouholník na niekoľko trojuholníkov. Dá sa to urobiť rôznymi spôsobmi. V závislosti od toho, ktorú metódu zvolíme, sa dôkazy budú mierne líšiť.

1. Rozdeľte konvexný mnohouholník na trojuholníky pomocou všetkých možných uhlopriečok nakreslených z nejakého vrcholu. Je ľahké pochopiť, že potom bude náš n-uholník rozdelený na trojuholníky:

Navyše súčet všetkých uhlov všetkých výsledných trojuholníkov sa rovná súčtu uhlov nášho n-uholníka. Koniec koncov, každý uhol vo výsledných trojuholníkoch je čiastočným uhlom v našom konvexnom mnohouholníku. To znamená, že požadované množstvo sa rovná .

2. Môžete tiež vybrať bod vo vnútri konvexného mnohouholníka a spojiť ho so všetkými vrcholmi. Potom bude náš n-uholník rozdelený na trojuholníky:

Okrem toho sa súčet uhlov nášho mnohouholníka v tomto prípade bude rovnať súčtu všetkých uhlov všetkých týchto trojuholníkov mínus stredový uhol, ktorý sa rovná . To znamená, že požadované množstvo sa opäť rovná .

Súčet vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka

Položme si teraz otázku: „Aký je súčet vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka? Na túto otázku možno odpovedať nasledovne. Každý vonkajší roh susedí s príslušným vnútorným rohom. Preto sa rovná:

Potom sa súčet všetkých vonkajších uhlov rovná . To znamená, že sa rovná.

To znamená, že sa získa veľmi zábavný výsledok. Ak nakreslíme všetky vonkajšie uhly akéhokoľvek konvexného n-uholníka postupne jeden po druhom, výsledkom bude presne celá rovina.

Tento zaujímavý fakt možno ilustrovať nasledovne. Proporcionálne zmenšme všetky strany nejakého konvexného mnohouholníka, kým sa nezlúči do bodu. Potom sa všetky vonkajšie uhly odložia od seba a vyplnia tak celú rovinu.

Zaujímavý fakt, však? A takých faktov je v geometrii veľa. Učte sa teda geometriu, milí školáci!

Materiál o tom, čomu sa rovná súčet uhlov konvexného mnohouholníka, pripravil Sergey Valerievich

Súčet uhlov trojuholníka- dôležitá, ale pomerne jednoduchá téma, ktorá sa vyučuje v geometrii 7. ročníka. Téma pozostáva z vety, krátkeho dôkazu a niekoľkých logických dôsledkov. Znalosť tejto problematiky pomáha pri riešení geometrických úloh pri následnom štúdiu predmetu.

Veta - aké uhly sa sčítajú v ľubovoľnom trojuholníku?

Veta hovorí, že ak vezmete akýkoľvek trojuholník, bez ohľadu na jeho typ, súčet všetkých uhlov bude vždy 180 stupňov. Dokazuje sa to nasledovne:

napríklad zoberte trojuholník ABC, nakreslite priamku cez bod B umiestnený na vrchole a označte ho ako „a“, priamka „a“ je presne rovnobežná so stranou AC;
medzi priamkou „a“ a stranami AB a BC sú označené uhly, ktoré sú označené číslami 1 a 2;
uhol 1 sa považuje za rovný uhlu A a uhol 2 sa považuje za rovný uhlu C, pretože tieto uhly sa považujú za ležiace priečne;
teda súčet medzi uhlami 1, 2 a 3 (ktorý je označený namiesto uhla B) je uznaný ako rovný rozvinutému uhlu s vrcholom B - a je 180 stupňov.

Ak je súčet uhlov označených číslami 180 stupňov, potom sa súčet uhlov A, B a C považuje za rovný 180 stupňom. Toto pravidlo platí pre akýkoľvek trojuholník.

Čo vyplýva z geometrickej vety

Je obvyklé zdôrazniť niekoľko dôsledkov z vyššie uvedenej vety.

Ak problém uvažuje trojuholník s pravým uhlom, potom jeden z jeho uhlov bude štandardne rovný 90 stupňom a súčet ostrých uhlov bude tiež 90 stupňov.
Ak hovoríme o pravouhlom rovnoramennom trojuholníku, potom jeho ostré uhly, ktorých súčet je 90 stupňov, sa budú jednotlivo rovnať 45 stupňom.
Rovnostranný trojuholník pozostáva z troch rovnakých uhlov, pričom každý z nich sa bude rovnať 60 stupňom a celkovo bude mať 180 stupňov.
Vonkajší uhol akéhokoľvek trojuholníka sa bude rovnať súčtu dvoch vnútorných uhlov, ktoré s ním nesusedia.

Môžeme odvodiť nasledujúce pravidlo: každý trojuholník má aspoň dva ostré uhly. V niektorých prípadoch trojuholník pozostáva z troch ostrých uhlov a ak sú iba dva, potom bude tretí uhol tupý alebo pravý.

(súhrn pozadia)

Vizuálna geometria 7. ročník. Podporná poznámka č. 4 Súčet uhlov trojuholníka.

Veľký francúzsky vedec 17. storočia Blaise Pascal Ako dieťa som sa rád hrabal s geometrickými tvarmi. Poznal uhlomer a vedel merať uhly. Mladý výskumník si všimol, že pre všetky trojuholníky je súčet troch uhlov rovnaký – 180°. „Ako to môžeme dokázať? - pomyslel si Pascal. "Koniec koncov, je nemožné skontrolovať súčet uhlov všetkých trojuholníkov - je ich nekonečné množstvo." Potom nožnicami odstrihol dva rohy trojuholníka a pripevnil ich k tretiemu rohu. Výsledkom je natočený uhol, ktorý, ako je známe, sa rovná 180°. Toto bol jeho prvý vlastný objav. Budúci osud chlapca bol už vopred určený.

V tejto téme sa dozviete päť vlastností zhody pravouhlých trojuholníkov a možno aj najobľúbenejšiu vlastnosť pravouhlého trojuholníka s uhlom 30°. Znie to takto: noha ležiaca oproti uhlu 30° sa rovná polovici prepony. Delením rovnostranného trojuholníka výškou okamžite získame dôkaz o tejto vlastnosti.

TEOREM. Súčet uhlov trojuholníka je 180°. Aby ste to dokázali, nakreslite čiaru cez hornú časť rovnobežnú so základňou. Tmavé uhly sú rovnaké a sivé uhly sú rovnaké, ako keby ležali krížom na rovnobežných čiarach. Tmavý uhol, šedý uhol a vrcholový uhol tvoria rozšírený uhol, ich súčet je 180°. Z vety vyplýva, že uhly rovnostranného trojuholníka sa rovnajú 60° a súčet ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka sa rovná 90°.

Vonkajší roh trojuholníka je uhol susediaci s uhlom trojuholníka. Preto sa niekedy uhly samotného trojuholníka nazývajú vnútorné uhly.

VETA o vonkajšom uhle trojuholníka. Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch vnútorných uhlov, ktoré s ním nesusedia. Vonkajší roh a dva vnútorné, ktoré k nemu nepriliehajú, dopĺňajú tieňovaný uhol až do 180°. Z vety vyplýva, že vonkajší uhol je väčší ako akýkoľvek vnútorný uhol, ktorý s ním nesusedí.

TEOREMA o vzťahoch medzi stranami a uhlami trojuholníka. V trojuholníku je väčší uhol oproti väčšej strane a väčší uhol je oproti väčšiemu uhlu. Z toho vyplýva: 1) Noha je menšia ako prepona. 2) Kolmica je menšia ako naklonená.

Vzdialenosť od bodu k čiare . Pretože kolmica je menšia ako akákoľvek naklonená čiara vedená z rovnakého bodu, jej dĺžka sa berie ako vzdialenosť od bodu k priamke.

Trojuholníková nerovnosť . Dĺžka ktorejkoľvek strany trojuholníka je menšia ako súčet jeho dvoch ďalších strán, t.j. A< b + с , b< а + с , s< а + b . Dôsledok. Dĺžka prerušovanej čiary je väčšia ako úsek spájajúci jej konce.

ZNAKY ROVNOSTI
OBDŽNÍKOVÉ TROJUHOLNÍKY

Na dvoch stranách. Ak sa dve ramená jedného pravouhlého trojuholníka rovnajú dvom ramenám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Pozdĺž nohy a priľahlého ostrého uhla. Ak sa rameno a priľahlý ostrý uhol jedného pravouhlého trojuholníka zhodujú s ramenom a susedným ostrým uhlom iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Pozdĺž nohy a opačný ostrý uhol. Ak sa rameno a ostrý uhol jedného pravouhlého trojuholníka rovnajú ramenu a ostrý uhol oproti nemu iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Podľa prepony a ostrého uhla. Ak sa prepona a ostrý uhol jedného pravouhlého trojuholníka zhodujú s preponou a ostrým uhlom iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Dôkaz týchto znakov sa okamžite redukuje na jeden z testov rovnosti trojuholníkov.

Nohou a preponou. Ak sa rameno a prepona jedného pravouhlého trojuholníka rovná ramenu a prepone iného pravouhlého trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Dôkaz. Pripojíme trojuholníky s rovnakými nohami. Dostaneme rovnoramenný trojuholník. Jeho výška vytiahnutá z vrcholu bude zároveň stredom. Potom majú trojuholníky rovnaké druhé nohy a trojuholníky sú rovnaké na troch stranách.

TEOREM o vlastnosti nohy ležiacej oproti uhlu 30°. Noha oproti uhlu 30° sa rovná polovici prepony. Dokázané doplnením trojuholníka na rovnostranný.

VETA o vlastnosti bodov osy uhla. Ľubovoľný bod na osi uhla je rovnako vzdialený od jeho strán. Ak je bod v rovnakej vzdialenosti od strán uhla, potom leží na osi uhla. Dokázané nakreslením dvoch kolmíc na strany uhla a zvážením pravouhlých trojuholníkov.

Druhý skvelý bod . Osy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Vzdialenosť medzi rovnobežnými čiarami. TEOREM. Všetky body každej z dvoch rovnobežných čiar sú v rovnakej vzdialenosti od druhej čiary. Veta implikuje definíciu vzdialenosti medzi rovnobežnými čiarami.

Definícia. Vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami je vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu jednej z rovnobežných čiar k druhej čiare.

Podrobné dôkazy teorémov

Toto je referenčná poznámka č. 4 o geometrii v 7. ročníku. Vyberte ďalšie kroky:

Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 1800. Toto je jedna zo základných axióm Euklidovej geometrie. Toto je geometria, ktorú študujú školáci. Geometria je definovaná ako veda, ktorá študuje priestorové formy reálneho sveta.

Čo motivovalo starých Grékov k rozvoju geometrie? Potreba merať polia, lúky – plochy zemského povrchu. Starí Gréci zároveň uznávali, že povrch Zeme je vodorovný a plochý. Berúc do úvahy tento predpoklad, boli vytvorené Euklidove axiómy, vrátane súčtu vnútorných uhlov trojuholníka 180 0.

Axióma je návrh, ktorý nevyžaduje dôkaz. Ako tomu treba rozumieť? Vysloví sa želanie, ktoré sa danej osobe hodí, a následne je potvrdené ilustráciami. Ale všetko, čo nebolo dokázané, je fikcia, niečo, čo v skutočnosti neexistuje.

Ak vezmeme zemský povrch vodorovne, starí Gréci automaticky akceptovali tvar Zeme ako plochý, ale je iný – guľový. V prírode neexistujú vôbec žiadne horizontálne roviny alebo priame čiary, pretože gravitácia ohýba priestor. Priame čiary a horizontálne roviny sa nachádzajú iba v ľudskom mozgu.

Preto je Euklidova geometria, ktorá vysvetľuje priestorové formy fiktívneho sveta, simulakrum – kópia, ktorá nemá originál.

Jedna z Euklidových axióm hovorí, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180 0. V skutočnosti v skutočnom zakrivenom priestore alebo na guľovom povrchu Zeme je súčet vnútorných uhlov trojuholníka vždy väčší ako 180 0.

Uvažujme takto. Ktorýkoľvek poludník na zemeguli sa pretína s rovníkom pod uhlom 90°. Ak chcete získať trojuholník, musíte presunúť ďalší poludník od poludníka. Súčet uhlov trojuholníka medzi poludníkmi a stranou rovníka bude 180 0. Ale na tyči bude stále uhol. Výsledkom je, že súčet všetkých uhlov bude väčší ako 180 0.

Ak sa strany pretínajú v póle pod uhlom 90 0, potom súčet vnútorných uhlov takéhoto trojuholníka bude 270 0. Dva poludníky, ktoré v tomto trojuholníku pretínajú rovník v pravom uhle, budú navzájom rovnobežné a na póle, ktorý sa pretína pod uhlom 90°, sa stanú kolmicami. Ukazuje sa, že dve rovnobežné čiary v tej istej rovine sa nielen pretínajú, ale môžu byť aj kolmé na pól.

Samozrejme, že strany takého trojuholníka nebudú rovné čiary, ale konvexné, opakujúce guľový tvar zemegule. Ale presne toto je skutočný svet vesmíru.

Geometria reálneho priestoru s prihliadnutím na jeho zakrivenie v polovici 19. storočia. vyvinul nemecký matematik B. Riemann (1820-1866). Ale školákom sa o tom nehovorí.

Takže euklidovská geometria, ktorá má podobu Zeme ako plochej s vodorovným povrchom, ktorým v skutočnosti nie je, je simulakrum. Nootic je Riemannovská geometria, ktorá berie do úvahy zakrivenie priestoru. Súčet vnútorných uhlov trojuholníka v ňom je väčší ako 180 0.

>>Geometria: Súčet uhlov trojuholníka. Kompletné lekcie

TÉMA LEKCIE: Súčet uhlov trojuholníka.

Ciele lekcie:

Upevnenie a testovanie vedomostí študentov na tému: „Súčet uhlov trojuholníka“;
Dôkaz vlastností uhlov trojuholníka;
Aplikácia tejto vlastnosti pri riešení jednoduchých problémov;
Používanie historického materiálu na rozvoj kognitívnej činnosti žiakov;
Vštepovanie zručnosti presnosti pri vytváraní výkresov.

Ciele lekcie:

Otestujte si zručnosti študentov pri riešení problémov.

Plán lekcie:

Trojuholník;
Veta o súčte uhlov trojuholníka;
Príklady úloh.

Trojuholník.

Súbor:O.gif Trojuholník- najjednoduchší mnohouholník, ktorý má 3 vrcholy (uhly) a 3 strany; časť roviny ohraničená tromi bodmi a tromi segmentmi spájajúcimi tieto body v pároch.
Tri body v priestore, ktoré neležia na rovnakej priamke, zodpovedajú len jednej rovine.
Akýkoľvek mnohouholník možno rozdeliť na trojuholníky - tento proces sa nazýva triangulácia.
Existuje časť matematiky venovaná výlučne štúdiu zákonov trojuholníkov - Trigonometria.

Veta o súčte uhlov trojuholníka.

Súbor:T.gif Veta o súčte uhlov trojuholníka je klasická veta euklidovskej geometrie, ktorá hovorí, že súčet uhlov trojuholníka je 180°.

dôkaz" :

Nech je dané Δ ABC. Vedieme priamku rovnobežnú s (AC) cez vrchol B a označme na nej bod D tak, aby body A a D ležali na opačných stranách priamky BC. Potom sú uhol (DBC) a uhol (ACB) rovnaké ako vnútorné priečne ležiace s rovnobežnými priamkami BD a AC a sečnicou (BC). Potom sa súčet uhlov trojuholníka vo vrcholoch B a C rovná uhlu (ABD). Ale uhol (ABD) a uhol (BAC) vo vrchole A trojuholníka ABC sú vnútorné jednostranné s rovnobežkami BD a AC a sečnicou (AB) a ich súčet je 180°. Preto je súčet uhlov trojuholníka 180°. Veta bola dokázaná.

Dôsledky.

Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch uhlov trojuholníka, ktoré s ním nesusedia.

dôkaz:

Nech je dané Δ ABC. Bod D leží na priamke AC tak, že A leží medzi C a D. Potom je BAD vonkajší voči uhlu trojuholníka pri vrchole A a A + BAD = 180°. Ale A + B + C = 180°, a teda B + C = 180° – A. Preto ZLE = B + C. Dôsledok je dokázaný.

Dôsledky.

Vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako ktorýkoľvek uhol trojuholníka, ktorý s ním nesusedí.

Úloha.

Vonkajší uhol trojuholníka je uhol susediaci s ktorýmkoľvek uhlom tohto trojuholníka. Dokážte, že vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch uhlov trojuholníka, ktoré s ním nesusedia.
(Obr.1)

Riešenie:

Nech je v Δ ABC ∠DAС externé (obr. 1). Potom ∠DAC = 180°-∠BAC (vlastnosťou susedných uhlov), podľa vety o súčte uhlov trojuholníka ∠B+∠C = 180°-∠BAC. Z týchto rovníc dostaneme ∠DAС=∠В+∠С

Zaujímavý fakt:

Súčet uhlov trojuholníka" :

V Lobačevského geometrii je súčet uhlov trojuholníka vždy menší ako 180. V euklidovskej geometrii je vždy rovný 180. V Riemannovej geometrii je súčet uhlov trojuholníka vždy väčší ako 180.

Z histórie matematiky:

Euklides (3. storočie pred Kristom) vo svojom diele „Elementy“ uvádza nasledujúcu definíciu: „Rovnobežné čiary sú čiary, ktoré sú v rovnakej rovine a sú predĺžené v oboch smeroch na neurčito, nestretávajú sa navzájom na žiadnej strane.
Posidonius (1. storočie pred Kristom) „Dve rovné čiary ležiace v rovnakej rovine, rovnako vzdialené od seba“
Staroveký grécky vedec Pappus (III. storočie pred nl) zaviedol symbol rovnobežných línií - znak =. Následne anglický ekonóm Ricardo (1720-1823) použil tento symbol ako znak rovnosti.
Až v 18. storočí začali pre rovnobežky používať symbol - znak ||.
Živé spojenie medzi generáciami sa ani na chvíľu nepreruší, každý deň sa učíme skúsenostiam, ktoré nazbierali naši predkovia. Starovekí Gréci na základe pozorovaní a praktických skúseností vyvodili závery, vyjadrili hypotézy a potom sa na stretnutiach vedcov - sympóziách (doslova „sviatok“) - snažili tieto hypotézy podložiť a dokázať. V tom čase vznikol výrok: „Pravda sa rodí v spore“.

otázky: