ഏത് സാഹചര്യത്തിലാണ് ഫലങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നത്? പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം: പ്രശ്നപരിഹാരത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും. ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് സ്കീം

ഇവന്റുകൾ അവയുടെ സാധ്യതയുടെ അളവ് അനുസരിച്ച് പരസ്പരം താരതമ്യം ചെയ്യുന്നതിന്, വ്യക്തമായും, ഓരോ ഇവന്റുമായി ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ ബന്ധപ്പെടുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അത് വലുതാണ്, ഇവന്റ് കൂടുതൽ സാധ്യമാണ്. ഞങ്ങൾ ഈ സംഖ്യയെ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത എന്ന് വിളിക്കും. അങ്ങനെ, ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതഈ സംഭവത്തിന്റെ വസ്തുനിഷ്ഠമായ സാധ്യതയുടെ അളവിന്റെ ഒരു സംഖ്യാ അളവാണ്.

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ആദ്യ നിർവചനം ക്ലാസിക്കൽ ഒന്നായി കണക്കാക്കണം, അത് ചൂതാട്ടത്തിന്റെ വിശകലനത്തിൽ നിന്ന് ഉടലെടുത്തു, തുടക്കത്തിൽ അവബോധപൂർവ്വം പ്രയോഗിക്കപ്പെട്ടു.

പ്രോബബിലിറ്റി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ക്ലാസിക്കൽ രീതി തുല്യമായി സാധ്യമായതും പൊരുത്തപ്പെടാത്തതുമായ ഇവന്റുകൾ എന്ന ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, അവ തന്നിരിക്കുന്ന അനുഭവത്തിന്റെ അനന്തരഫലങ്ങളും പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പും രൂപീകരിക്കുന്നു.

ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പുണ്ടാക്കുന്ന തുല്യവും അനുയോജ്യമല്ലാത്തതുമായ സംഭവങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം, ഒരേ വലുപ്പത്തിലും ഭാരത്തിലും മറ്റ് വ്യക്തമായ സ്വഭാവസവിശേഷതകളിലുമുള്ള നിരവധി പന്തുകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു പാത്രത്തിൽ നിന്ന് ഒന്നോ അതിലധികമോ പന്ത് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, നീക്കംചെയ്യുന്നതിന് മുമ്പ് നന്നായി കലർത്തി നിറത്തിൽ മാത്രം വ്യത്യാസമുണ്ട്.

അതിനാൽ, പൊരുത്തമില്ലാത്തതും തുല്യസാധ്യതയുള്ളതുമായ സംഭവങ്ങളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ കൂട്ടം രൂപപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പരിശോധന, ഉർണുകളുടെ പാറ്റേണിലേക്കോ കേസുകളുടെ ഒരു പാറ്റേണിലേക്കോ അല്ലെങ്കിൽ ക്ലാസിക്കൽ പാറ്റേണിലേക്ക് യോജിക്കുന്നതിനോ ചുരുക്കുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു.

ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പിനെ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന തുല്യവും സാധ്യമല്ലാത്തതുമായ സംഭവങ്ങളെ കേവലം കേസുകൾ അല്ലെങ്കിൽ അവസരങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കും. മാത്രമല്ല, ഓരോ പരീക്ഷണത്തിലും, കേസുകൾക്കൊപ്പം, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സംഭവങ്ങൾ സംഭവിക്കാം.

ഉദാഹരണം: ഒരു ഡൈസ് എറിയുമ്പോൾ, കേസുകൾക്കൊപ്പം A i - മുകളിലെ വശത്തുള്ള i-പോയിന്റുകളുടെ നഷ്ടം, നമുക്ക് അത്തരം ഇവന്റുകൾ പരിഗണിക്കാം B - പോയിന്റുകളുടെ ഇരട്ട സംഖ്യയുടെ നഷ്ടം, C - ഒരു സംഖ്യയുടെ നഷ്ടം മൂന്നിന്റെ ഗുണിതമായ പോയിന്റുകൾ...

പരീക്ഷണ സമയത്ത് സംഭവിക്കാവുന്ന ഓരോ ഇവന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, കേസുകൾ വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു അനുകൂലമായ, ഈ സംഭവം സംഭവിക്കുന്നതും പ്രതികൂലമായതും, ഇതിൽ ഇവന്റ് സംഭവിക്കുന്നില്ല. മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, A 2, A 4, A 6 കേസുകൾ ഇവന്റ് ബിയെ അനുകൂലിക്കുന്നു; ഇവന്റ് സി - കേസുകൾ എ 3, എ 6.

ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റിഒരു നിശ്ചിത സംഭവത്തിന്റെ സംഭവത്തെ ഈ ഇവന്റ് സംഭവിക്കുന്നതിന് അനുകൂലമായ കേസുകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ അനുപാതം, തന്നിരിക്കുന്ന പരീക്ഷണത്തിലെ സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പിനെ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന തുല്യമായ സാധ്യമായ, പൊരുത്തപ്പെടാത്ത കേസുകളുടെ ആകെ എണ്ണത്തിലേക്കുള്ള അനുപാതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

എവിടെ പി(എ)- ഇവന്റ് എ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത; എം- ഇവന്റ് എയ്ക്ക് അനുകൂലമായ കേസുകളുടെ എണ്ണം; എൻ- ആകെ കേസുകളുടെ എണ്ണം.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

1) (മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണം കാണുക) പി(ബി)= , പി(സി) =.

2) കലത്തിൽ 9 ചുവപ്പും 6 നീലയും പന്തുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ക്രമരഹിതമായി വരച്ച ഒന്നോ രണ്ടോ പന്തുകൾ ചുവപ്പായി മാറാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

എ- ക്രമരഹിതമായി വരച്ച ഒരു ചുവന്ന പന്ത്:

എം= 9, എൻ= 9 + 6 = 15, പി(എ)=

ബി- ക്രമരഹിതമായി വരച്ച രണ്ട് ചുവന്ന പന്തുകൾ:

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നു (സ്വയം കാണിക്കുക):

1) അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത 0 ആണ്;

2) വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത 1 ആണ്;

3) ഏതെങ്കിലും സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത 0 നും 1 നും ഇടയിലാണ്;

4) ഇവന്റിന് വിപരീതമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത,

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക് നിർവചനം ഒരു ട്രയലിന്റെ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം പരിമിതമാണെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നു. പ്രായോഗികമായി, മിക്കപ്പോഴും പരിശോധനകൾ ഉണ്ട്, സാധ്യമായ കേസുകളുടെ എണ്ണം അനന്തമാണ്. കൂടാതെ, ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനത്തിന്റെ ബലഹീനത, ഒരു കൂട്ടം പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ ഒരു പരിശോധനയുടെ ഫലത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് പലപ്പോഴും അസാധ്യമാണ്. ഒരു പരീക്ഷയുടെ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ തുല്യമായി സാധ്യമാണെന്ന് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള കാരണങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കാൻ കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. സാധാരണഗതിയിൽ, പ്രാഥമിക പരിശോധന ഫലങ്ങളുടെ സന്തുലിതാവസ്ഥ സമമിതിയുടെ പരിഗണനകളിൽ നിന്നാണ് നിഗമനം ചെയ്യുന്നത്. എന്നിരുന്നാലും, അത്തരം ജോലികൾ പ്രായോഗികമായി വളരെ വിരളമാണ്. ഈ കാരണങ്ങളാൽ, പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനത്തോടൊപ്പം, പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ മറ്റ് നിർവചനങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റിനടത്തിയ പരിശോധനകളിൽ ഈ സംഭവത്തിന്റെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തിയാണ് ഇവന്റ് എ:

ഇവന്റ് എ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത എവിടെയാണ്;

ഇവന്റ് എ സംഭവിക്കുന്നതിന്റെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി;

ഇവന്റ് എ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ട ട്രയലുകളുടെ എണ്ണം;

ട്രയലുകളുടെ ആകെ എണ്ണം.

ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റി ഒരു പരീക്ഷണാത്മക സ്വഭാവമാണ്.

ഉദാഹരണം: ഒരു ബാച്ചിൽ നിന്നുള്ള ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ഗുണനിലവാരം നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന്, 100 ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്തു, അവയിൽ 3 ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ തകരാറിലായി. വിവാഹത്തിന്റെ സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കുക.

പ്രോബബിലിറ്റി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ രീതി ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുള്ള ഇവന്റുകൾക്ക് മാത്രമേ ബാധകമാകൂ:

പരിഗണനയിലുള്ള ഇവന്റുകൾ ഒരേ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് കീഴിൽ പരിധിയില്ലാത്ത തവണ പുനർനിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുന്ന ടെസ്റ്റുകളുടെ ഫലങ്ങൾ മാത്രമായിരിക്കണം.

ഇവന്റുകൾക്ക് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സ്ഥിരത (അല്ലെങ്കിൽ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തികളുടെ സ്ഥിരത) ഉണ്ടായിരിക്കണം. ഇതിനർത്ഥം, വിവിധ ടെസ്റ്റുകളുടെ പരമ്പരകളിൽ ഇവന്റിന്റെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തിയിൽ ചെറിയ മാറ്റമുണ്ട്.

ഇവന്റ് എയിൽ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ട്രയലുകളുടെ എണ്ണം വളരെ വലുതായിരിക്കണം.

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ നിർവചനത്തിൽ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഉത്ഭവിക്കുന്ന പ്രോബബിലിറ്റി ഗുണങ്ങളും സംരക്ഷിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് പ്രോബബിലിറ്റി. ഈ ആശയത്തിന് നിരവധി നിർവചനങ്ങൾ ഉണ്ട്. ക്ലാസിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു നിർവചനം നൽകാം.

സാധ്യതഇവന്റ് എന്നത് ഒരു തന്നിരിക്കുന്ന ഇവന്റിന് അനുകൂലമായ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണവും ഈ ഇവന്റ് ദൃശ്യമാകുന്ന അനുഭവത്തിന്റെ തുല്യമായ സാധ്യമായ എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണവുമായുള്ള അനുപാതമാണ്.

ഇവന്റ് എ യുടെ സംഭാവ്യത സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പി(എ)(ഇവിടെ ആർ- ഒരു ഫ്രഞ്ച് വാക്കിന്റെ ആദ്യ അക്ഷരം സാധ്യതയുള്ള- സാധ്യത).

നിർവചനം അനുസരിച്ച്

ഇവന്റ് സംഭവിക്കുന്നതിന് അനുകൂലമായ പ്രാഥമിക പരിശോധനാ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം എവിടെയാണ്;

സാധ്യമായ പ്രാഥമിക പരിശോധനാ ഫലങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണം.

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ഈ നിർവചനത്തെ വിളിക്കുന്നു ക്ലാസിക്. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വികാസത്തിന്റെ പ്രാരംഭ ഘട്ടത്തിലാണ് ഇത് ഉടലെടുത്തത്.

സംഖ്യയെ പലപ്പോഴും ഒരു സംഭവത്തിന്റെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി എന്ന് വിളിക്കുന്നു എഅനുഭവത്തിൽ.

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത കൂടുന്തോറും അത് പലപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നു, തിരിച്ചും, ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത കുറയുന്നു, അത് പലപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നു. ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത ഒന്നിന് അടുത്തോ തുല്യമോ ആണെങ്കിൽ, അത് മിക്കവാറും എല്ലാ പരീക്ഷണങ്ങളിലും സംഭവിക്കുന്നു. അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു സംഭവമാണ് പറയപ്പെടുന്നത് ഏതാണ്ട് ഉറപ്പായി, അതായത് ഒരാൾക്ക് തീർച്ചയായും അതിന്റെ സംഭവത്തെ കണക്കാക്കാം.

നേരെമറിച്ച്, പ്രോബബിലിറ്റി പൂജ്യമോ വളരെ ചെറുതോ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, സംഭവം വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ സംഭവിക്കൂ; അത്തരമൊരു സംഭവം പറയപ്പെടുന്നു ഏതാണ്ട് അസാധ്യമാണ്.

ചിലപ്പോൾ പ്രോബബിലിറ്റി ഒരു ശതമാനമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു: പി(എ) 100%ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ശരാശരി ശതമാനമാണ് എ.

ഉദാഹരണം 2.13.ഒരു ഫോൺ നമ്പർ ഡയൽ ചെയ്യുമ്പോൾ, വരിക്കാരൻ ഒരു അക്കം മറന്ന് ക്രമരഹിതമായി ഡയൽ ചെയ്തു. ശരിയായ നമ്പർ ഡയൽ ചെയ്യപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

എന്ന് നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം എഇവന്റ് - "ആവശ്യമായ നമ്പർ ഡയൽ ചെയ്തു."

വരിക്കാരന് 10 അക്കങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും ഡയൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും, അതിനാൽ സാധ്യമായ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണം 10 ആണ്. ഈ ഫലങ്ങൾ പൊരുത്തമില്ലാത്തതും തുല്യമായി സാധ്യമായതും ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പ് രൂപീകരിക്കുന്നതുമാണ്. ഇവന്റിനെ അനുകൂലിക്കുന്നു എഒരു ഫലം മാത്രം (ആവശ്യമായ ഒരു നമ്പർ മാത്രമേ ഉള്ളൂ).

ആവശ്യമായ പ്രോബബിലിറ്റി, ഇവന്റിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണവും എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്:

ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുല പ്രോബബിലിറ്റികൾ കണക്കാക്കാൻ വളരെ ലളിതവും പരീക്ഷണ രഹിതവുമായ മാർഗം നൽകുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഫോർമുലയുടെ ലാളിത്യം വളരെ വഞ്ചനാപരമാണ്. ഇത് ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള രണ്ട് ചോദ്യങ്ങൾ സാധാരണയായി ഉയർന്നുവരുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത:

1. പരീക്ഷണ ഫലങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം എങ്ങനെ തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അങ്ങനെ അവ തുല്യമായി സാധ്യമാണ്, ഇത് സാധ്യമാണോ?

2. അക്കങ്ങൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എംഒപ്പം എൻ?

ഒരു പരീക്ഷണത്തിൽ നിരവധി ഒബ്‌ജക്റ്റുകൾ ഉൾപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, എല്ലായ്‌പ്പോഴും ഒരുപോലെ സാധ്യമായ ഫലങ്ങൾ കാണുന്നത് എളുപ്പമല്ല.

മഹാനായ ഫ്രഞ്ച് തത്ത്വചിന്തകനും ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനുമായ ഡി അലംബെർട്ട് തന്റെ പ്രസിദ്ധമായ തെറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ചരിത്രത്തിലേക്ക് പ്രവേശിച്ചു, അതിന്റെ സാരാംശം രണ്ട് നാണയങ്ങൾ മാത്രമുള്ള ഒരു പരീക്ഷണത്തിൽ ഫലങ്ങളുടെ സന്തുലിതാവസ്ഥ അദ്ദേഹം തെറ്റായി നിർണ്ണയിച്ചു എന്നതാണ്!

ഉദാഹരണം 2.14. ( ഡി അലംബെർട്ടിന്റെ തെറ്റ്). സമാനമായ രണ്ട് നാണയങ്ങൾ വലിച്ചെറിയുന്നു. അവർ ഒരേ വശത്ത് വീഴാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

ഡി അലംബെർട്ടിന്റെ പരിഹാരം.

പരീക്ഷണത്തിന് സമാനമായ മൂന്ന് ഫലങ്ങളുണ്ട്:

1. രണ്ട് നാണയങ്ങളും തലയിൽ പതിക്കും;

2. രണ്ട് നാണയങ്ങളും വാലിൽ പതിക്കും;

3. നാണയങ്ങളിലൊന്ന് തലയിലും മറ്റൊന്ന് വാലിലും പതിക്കും.

ശരിയായ പരിഹാരം.

പരീക്ഷണത്തിന് തുല്യമായി സാധ്യമായ നാല് ഫലങ്ങളുണ്ട്:

1. ആദ്യത്തെ നാണയം തലയിൽ വീഴും, രണ്ടാമത്തേത് തലയിലും വീഴും;

2. ആദ്യത്തെ നാണയം വാലുകളിൽ പതിക്കും, രണ്ടാമത്തേത് വാലിൽ പതിക്കും;

3. ആദ്യത്തെ നാണയം തലയിലും രണ്ടാമത്തേത് വാലിലും വീഴും;

4. ആദ്യത്തെ നാണയം വാലുകളിലും രണ്ടാമത്തേത് തലയിലും പതിക്കും.

ഇവയിൽ, രണ്ട് ഫലങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ഇവന്റിന് അനുകൂലമായിരിക്കും, അതിനാൽ ആവശ്യമായ പ്രോബബിലിറ്റി തുല്യമാണ്.

പ്രോബബിലിറ്റി കണക്കാക്കുമ്പോൾ സംഭവിക്കുന്ന ഏറ്റവും സാധാരണമായ തെറ്റുകളിലൊന്ന് ഡി അലംബെർട്ട് ചെയ്തു: അദ്ദേഹം രണ്ട് പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളെ ഒന്നായി സംയോജിപ്പിച്ചു, അതുവഴി പരീക്ഷണത്തിന്റെ ശേഷിക്കുന്ന ഫലങ്ങളുമായി അതിനെ അസമത്വമാക്കി.

"അപകടങ്ങൾ ആകസ്മികമല്ല"... ഒരു തത്ത്വചിന്തകൻ പറഞ്ഞതുപോലെ തോന്നുന്നു, പക്ഷേ വാസ്തവത്തിൽ, ക്രമരഹിതമായ പഠനം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ മഹത്തായ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിധിയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, സാധ്യതാ സിദ്ധാന്തം വഴിയാണ് അവസരം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്. ജോലികളുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും ഈ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പ്രധാന നിർവചനങ്ങളും ലേഖനത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കും.

എന്താണ് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം?

ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങൾ പഠിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗങ്ങളിലൊന്നാണ് പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി.

ഇത് കുറച്ചുകൂടി വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു ചെറിയ ഉദാഹരണം നൽകാം: നിങ്ങൾ ഒരു നാണയം മുകളിലേക്ക് എറിയുകയാണെങ്കിൽ, അത് തലയിലോ വാലിലോ ഇറങ്ങാം. നാണയം വായുവിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഈ രണ്ട് സാധ്യതകളും സാധ്യമാണ്. അതായത്, സാധ്യമായ പ്രത്യാഘാതങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത 1: 1 ആണ്. 36 കാർഡുകളുടെ ഒരു ഡെക്കിൽ നിന്നാണ് ഒന്ന് വരച്ചതെങ്കിൽ, പ്രോബബിലിറ്റി 1:36 ആയി സൂചിപ്പിക്കും. ഇവിടെ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാനും പ്രവചിക്കാനും ഒന്നുമില്ലെന്ന് തോന്നുന്നു, പ്രത്യേകിച്ച് ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത പ്രവർത്തനം പലതവണ ആവർത്തിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നിശ്ചിത പാറ്റേൺ തിരിച്ചറിയാനും അതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി മറ്റ് അവസ്ഥകളിലെ സംഭവങ്ങളുടെ ഫലം പ്രവചിക്കാനും കഴിയും.

മേൽപ്പറഞ്ഞവയെല്ലാം സംഗ്രഹിക്കാൻ, ക്ലാസിക്കൽ അർത്ഥത്തിൽ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ഒരു സംഖ്യാ മൂല്യത്തിൽ സാധ്യമായ സംഭവങ്ങളിലൊന്ന് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യതയെ പഠിക്കുന്നു.

ചരിത്രത്തിന്റെ താളുകളിൽ നിന്ന്

കാർഡ് ഗെയിമുകളുടെ ഫലം പ്രവചിക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങൾ ആദ്യം ഉയർന്നുവന്ന വിദൂര മധ്യകാലഘട്ടത്തിൽ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, ആദ്യ ജോലികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്നിവ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു.

തുടക്കത്തിൽ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന് ഗണിതവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല. പ്രായോഗികമായി പുനർനിർമ്മിക്കാവുന്ന ഒരു സംഭവത്തിന്റെ അനുഭവപരമായ വസ്തുതകളോ സവിശേഷതകളോ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ന്യായീകരിക്കപ്പെട്ടു. ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗമെന്ന നിലയിൽ ഈ മേഖലയിലെ ആദ്യത്തെ കൃതികൾ പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. ബ്ലെയ്‌സ് പാസ്കലും പിയറി ഫെർമറ്റും ആയിരുന്നു സ്ഥാപകർ. അവർ വളരെക്കാലം ചൂതാട്ടം പഠിക്കുകയും ചില പാറ്റേണുകൾ കാണുകയും ചെയ്തു, അത് പൊതുജനങ്ങളോട് പറയാൻ തീരുമാനിച്ചു.

പാസ്കലിന്റെയും ഫെർമാറ്റിന്റെയും ഗവേഷണ ഫലങ്ങളെക്കുറിച്ച് അദ്ദേഹത്തിന് പരിചിതമായിരുന്നില്ലെങ്കിലും ക്രിസ്റ്റ്യൻ ഹ്യൂഗൻസും ഇതേ സാങ്കേതികവിദ്യ കണ്ടുപിടിച്ചു. "പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി" എന്ന ആശയം, അച്ചടക്കത്തിന്റെ ചരിത്രത്തിൽ ആദ്യത്തേതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും അദ്ദേഹം അവതരിപ്പിച്ചു.

ജേക്കബ് ബെർണൂലി, ലാപ്ലേസ്, പോയിസൺ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ എന്നിവയുടെ കൃതികളും ചെറുതല്ല. അവർ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ പോലെയാക്കി. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, അടിസ്ഥാന ജോലികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്നിവയ്ക്ക് അവയുടെ നിലവിലെ രൂപം ലഭിച്ചത് കോൾമോഗോറോവിന്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾക്ക് നന്ദി. എല്ലാ മാറ്റങ്ങളുടെയും ഫലമായി, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ഗണിതശാഖകളിൽ ഒന്നായി മാറി.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ. ഇവന്റുകൾ

ഈ അച്ചടക്കത്തിന്റെ പ്രധാന ആശയം "ഇവന്റ്" ആണ്. മൂന്ന് തരത്തിലുള്ള ഇവന്റുകൾ ഉണ്ട്:

• വിശ്വസനീയം.എന്തായാലും സംഭവിക്കുന്നവ (നാണയം വീഴും).
• അസാധ്യം.ഒരു സാഹചര്യത്തിലും സംഭവിക്കാത്ത സംഭവങ്ങൾ (നാണയം വായുവിൽ തൂങ്ങിക്കിടക്കും).
• ക്രമരഹിതം.സംഭവിക്കുന്നതോ നടക്കാത്തതോ ആയവ. പ്രവചിക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള വിവിധ ഘടകങ്ങളാൽ അവ സ്വാധീനിക്കപ്പെടാം. നമ്മൾ ഒരു നാണയത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫലത്തെ ബാധിക്കുന്ന ക്രമരഹിതമായ ഘടകങ്ങളുണ്ട്: നാണയത്തിന്റെ ഭൗതിക സവിശേഷതകൾ, അതിന്റെ ആകൃതി, അതിന്റെ യഥാർത്ഥ സ്ഥാനം, എറിയുന്ന ശക്തി മുതലായവ.

ഉദാഹരണങ്ങളിലെ എല്ലാ സംഭവങ്ങളും വലിയ ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങളിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, പി ഒഴികെ, വ്യത്യസ്തമായ റോളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്:

• എ = "വിദ്യാർത്ഥികൾ പ്രഭാഷണത്തിന് വന്നു."
• Ā = "വിദ്യാർത്ഥികൾ പ്രഭാഷണത്തിന് വന്നില്ല."

പ്രായോഗിക ജോലികളിൽ, സംഭവങ്ങൾ സാധാരണയായി വാക്കുകളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

സംഭവങ്ങളുടെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സവിശേഷതകളിലൊന്ന് അവയുടെ തുല്യ സാധ്യതയാണ്. അതായത്, നിങ്ങൾ ഒരു നാണയം എറിയുകയാണെങ്കിൽ, അത് വീഴുന്നതുവരെ പ്രാരംഭ വീഴ്ചയുടെ എല്ലാ വകഭേദങ്ങളും സാധ്യമാണ്. എന്നാൽ സംഭവങ്ങളും തുല്യമായി സാധ്യമല്ല. ആരെങ്കിലും ബോധപൂർവം ഒരു ഫലത്തെ സ്വാധീനിക്കുമ്പോൾ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, "അടയാളപ്പെടുത്തിയ" കാർഡുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ഡൈസ്, അതിൽ ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രം മാറ്റി.

ഇവന്റുകൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നതും പൊരുത്തപ്പെടാത്തതും ആകാം. അനുയോജ്യമായ ഇവന്റുകൾ പരസ്പരം സംഭവിക്കുന്നതിനെ ഒഴിവാക്കുന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്:

• എ = "വിദ്യാർത്ഥി പ്രഭാഷണത്തിന് വന്നു."
• ബി = "വിദ്യാർത്ഥി പ്രഭാഷണത്തിന് വന്നു."

ഈ സംഭവങ്ങൾ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമാണ്, അവയിലൊന്നിന്റെ സംഭവം മറ്റൊന്നിന്റെ സംഭവത്തെ ബാധിക്കില്ല. പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങളെ നിർവചിക്കുന്നത് ഒന്നിന്റെ സംഭവം മറ്റൊന്നിന്റെ സംഭവത്തെ ഒഴിവാക്കുന്നു എന്നതാണ്. നമ്മൾ ഒരേ നാണയത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, "വാലുകൾ" നഷ്ടപ്പെടുന്നത് അതേ പരീക്ഷണത്തിൽ "തലകൾ" പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത് അസാധ്യമാക്കുന്നു.

ഇവന്റുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

ഇവന്റുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ചെയ്യാം; അതനുസരിച്ച്, ലോജിക്കൽ കണക്റ്റീവുകൾ "AND", "OR" എന്നിവ അച്ചടക്കത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ഇവന്റ് എ അല്ലെങ്കിൽ ബി അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട്, ഒരേസമയം സംഭവിക്കാം എന്ന വസ്തുതയാണ് തുക നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. അവ അനുയോജ്യമല്ലെങ്കിൽ, അവസാന ഓപ്ഷൻ അസാധ്യമാണ്; ഒന്നുകിൽ A അല്ലെങ്കിൽ B റോൾ ചെയ്യും.

സംഭവങ്ങളുടെ ഗുണനം ഒരേ സമയം എ, ബി എന്നിവയുടെ രൂപത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എന്നിവ നന്നായി ഓർമ്മിക്കാൻ ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം. പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെ.

വ്യായാമം 1: മൂന്ന് തരത്തിലുള്ള ജോലികൾക്കുള്ള കരാറുകൾ സ്വീകരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മത്സരത്തിൽ കമ്പനി പങ്കെടുക്കുന്നു. സാധ്യമായ സംഭവങ്ങൾ സംഭവിക്കാം:

• A = "സ്ഥാപനത്തിന് ആദ്യ കരാർ ലഭിക്കും."
• A 1 = "സ്ഥാപനത്തിന് ആദ്യ കരാർ ലഭിക്കില്ല."
• ബി = "സ്ഥാപനത്തിന് രണ്ടാമത്തെ കരാർ ലഭിക്കും."
• B 1 = "സ്ഥാപനത്തിന് രണ്ടാമത്തെ കരാർ ലഭിക്കില്ല"
• സി = "സ്ഥാപനത്തിന് മൂന്നാമത്തെ കരാർ ലഭിക്കും."
• C 1 = "സ്ഥാപനത്തിന് മൂന്നാമത്തെ കരാർ ലഭിക്കില്ല."

ഇവന്റുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന സാഹചര്യങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും:

• കെ = "എല്ലാ കരാറുകളും കമ്പനിക്ക് ലഭിക്കും."

ഗണിതശാസ്ത്ര രൂപത്തിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കും: K = ABC.

• M = "കമ്പനിക്ക് ഒരു കരാർ പോലും ലഭിക്കില്ല."

M = A 1 B 1 C 1.

നമുക്ക് ചുമതല സങ്കീർണ്ണമാക്കാം: H = "കമ്പനിക്ക് ഒരു കരാർ ലഭിക്കും." കമ്പനിക്ക് ഏത് കരാർ ലഭിക്കുമെന്ന് അറിയാത്തതിനാൽ (ആദ്യം, രണ്ടാമത്തേത് അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നാമത്തേത്), സാധ്യമായ സംഭവങ്ങളുടെ മുഴുവൻ ശ്രേണിയും രേഖപ്പെടുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

1 ബിസി 1 എന്നത് സ്ഥാപനത്തിന് ഒന്നും മൂന്നും കരാർ ലഭിക്കാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ ഒരു പരമ്പരയാണ്, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തേത് സ്വീകരിക്കുന്നു. സാധ്യമായ മറ്റ് സംഭവങ്ങൾ ഉചിതമായ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖപ്പെടുത്തി. അച്ചടക്കത്തിലെ υ എന്ന ചിഹ്നം "OR" എന്ന ബന്ധത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണം ഞങ്ങൾ മാനുഷിക ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്താൽ, കമ്പനിക്ക് മൂന്നാമത്തെ കരാർ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തേത് അല്ലെങ്കിൽ ആദ്യത്തേത് ലഭിക്കും. സമാനമായ രീതിയിൽ, "പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി" എന്ന അച്ചടക്കത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റ് വ്യവസ്ഥകൾ എഴുതാം. മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രശ്നപരിഹാരത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും ഇത് സ്വയം ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

യഥാർത്ഥത്തിൽ, സാധ്യത

ഒരുപക്ഷേ, ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗത്തിൽ, ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയാണ് കേന്ദ്ര ആശയം. പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് 3 നിർവചനങ്ങൾ ഉണ്ട്:

• ക്ലാസിക്;
• സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ;
• ജ്യാമിതീയ.

പ്രോബബിലിറ്റി പഠനത്തിൽ ഓരോന്നിനും അതിന്റേതായ സ്ഥാനമുണ്ട്. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി, ഫോർമുലകൾ, ഉദാഹരണങ്ങൾ (9-ാം ഗ്രേഡ്) പ്രധാനമായും ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് ഇതുപോലെ തോന്നുന്നു:

• സാഹചര്യം A യുടെ സംഭാവ്യത, സാധ്യമായ എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണവുമായി അത് സംഭവിക്കുന്നതിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: P(A)=m/n.

എ യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു സംഭവമാണ്. A ന് എതിരായി ഒരു കേസ് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, അത് Ā അല്ലെങ്കിൽ A 1 എന്ന് എഴുതാം.

m എന്നത് സാധ്യമായ അനുകൂല കേസുകളുടെ എണ്ണമാണ്.

n - സംഭവിക്കാവുന്ന എല്ലാ സംഭവങ്ങളും.

ഉദാഹരണത്തിന്, A = "ഹൃദയ സ്യൂട്ടിന്റെ ഒരു കാർഡ് വരയ്ക്കുക." ഒരു സാധാരണ ഡെക്കിൽ 36 കാർഡുകളുണ്ട്, അവയിൽ 9 എണ്ണം ഹൃദയങ്ങളുടേതാണ്. അതനുസരിച്ച്, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

പി(എ)=9/36=0.25.

തൽഫലമായി, ഡെക്കിൽ നിന്ന് ഹാർട്ട് സ്യൂട്ടിന്റെ ഒരു കാർഡ് വരയ്ക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.25 ആയിരിക്കും.

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലേക്ക്

സ്‌കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിയിൽ വരുന്ന പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്നിവ എന്താണെന്ന് ഇപ്പോൾ കുറച്ചുകൂടി അറിയപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, സർവ്വകലാശാലകളിൽ പഠിപ്പിക്കുന്ന ഉയർന്ന ഗണിതത്തിലും പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം കാണപ്പെടുന്നു. മിക്കപ്പോഴും അവർ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെയും സങ്കീർണ്ണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെയും ജ്യാമിതീയവും സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളും നിർവചിച്ചാണ് പ്രവർത്തിക്കുന്നത്.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം വളരെ രസകരമാണ്. പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ (അല്ലെങ്കിൽ ആവൃത്തി) നിർവ്വചനം ഉപയോഗിച്ച് സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും (ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം) ചെറുതായി പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതാണ് നല്ലത്.

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സമീപനം ക്ലാസിക്കൽ സമീപനത്തിന് വിരുദ്ധമല്ല, മറിച്ച് അതിനെ ചെറുതായി വികസിപ്പിക്കുന്നു. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ ഒരു സംഭവം സംഭവിക്കാൻ സാധ്യതയുണ്ടെന്ന് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, ഈ രീതിയിൽ അത് എത്ര തവണ സംഭവിക്കുമെന്ന് സൂചിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇവിടെ "ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി" എന്ന ഒരു പുതിയ ആശയം അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, അത് W n (A) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം. ഫോർമുല ക്ലാസിക് ഒന്നിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല:

പ്രവചനത്തിനായി ക്ലാസിക്കൽ ഫോർമുല കണക്കാക്കിയാൽ, പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഫലങ്ങൾ അനുസരിച്ച് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് കണക്കാക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു ചെറിയ ജോലിയെടുക്കാം.

സാങ്കേതിക നിയന്ത്രണ വിഭാഗം ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ഗുണനിലവാരം പരിശോധിക്കുന്നു. 100 ഉൽപ്പന്നങ്ങളിൽ മൂന്നെണ്ണം ഗുണനിലവാരമില്ലാത്തവയാണെന്ന് കണ്ടെത്തി. ഒരു ഗുണനിലവാരമുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഫ്രീക്വൻസി പ്രോബബിലിറ്റി എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

A = "ഒരു ഗുണനിലവാരമുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ രൂപം."

W n (A)=97/100=0.97

അങ്ങനെ, ഗുണനിലവാരമുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ആവൃത്തി 0.97 ആണ്. നിങ്ങൾക്ക് 97 എവിടെ നിന്ന് ലഭിച്ചു? 100 ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പരിശോധിച്ചതിൽ മൂന്നെണ്ണം ഗുണനിലവാരമില്ലാത്തവയാണെന്ന് കണ്ടെത്തി. ഞങ്ങൾ 100 ൽ നിന്ന് 3 കുറയ്ക്കുകയും 97 നേടുകയും ചെയ്യുന്നു, ഇതാണ് ഗുണനിലവാരമുള്ള സാധനങ്ങളുടെ അളവ്.

കോമ്പിനേറ്ററിക്സിനെക്കുറിച്ച് കുറച്ച്

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ മറ്റൊരു രീതിയെ കോമ്പിനേറ്ററിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിന്റെ അടിസ്ഥാന തത്വം എന്തെന്നാൽ, ഒരു നിശ്ചിത ചോയ്‌സ് A യെ m വ്യത്യസ്‌ത രീതിയിലും ഒരു ചോയ്‌സ് B വ്യത്യസ്‌ത രീതിയിലും നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, A, B എന്നിവയുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ഗുണനത്തിലൂടെ നടത്താം എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, നഗരം എയിൽ നിന്ന് ബി നഗരത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന 5 റോഡുകളുണ്ട്. ബി നഗരത്തിൽ നിന്ന് സി നഗരത്തിലേക്ക് 4 പാതകളുണ്ട്. എയിൽ നിന്ന് സിറ്റി സിയിലേക്ക് എത്ര വഴികളിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് എത്തിച്ചേരാനാകും?

ഇത് ലളിതമാണ്: 5x4=20, അതായത്, ഇരുപത് വ്യത്യസ്ത വഴികളിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് പോയിന്റ് എ മുതൽ പോയിന്റ് സി വരെ ലഭിക്കും.

നമുക്ക് ചുമതല സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. സോളിറ്റയറിൽ കാർഡുകൾ ഇടാൻ എത്ര വഴികളുണ്ട്? ഡെക്കിൽ 36 കാർഡുകൾ ഉണ്ട് - ഇതാണ് ആരംഭ പോയിന്റ്. വഴികളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ആരംഭ പോയിന്റിൽ നിന്ന് ഒരു സമയം ഒരു കാർഡ് "കുറച്ച്" ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അതായത്, 36x35x34x33x32...x2x1= ഫലം കാൽക്കുലേറ്റർ സ്ക്രീനിൽ യോജിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ ഇത് 36 എന്ന് നിയുക്തമാക്കാം!. അടയാളം "!" സംഖ്യയുടെ അടുത്ത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ ശ്രേണിയും ഒരുമിച്ച് ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നാണ്.

കോമ്പിനേറ്ററിക്സിൽ പെർമ്യൂട്ടേഷൻ, പ്ലേസ്മെന്റ്, കോമ്പിനേഷൻ തുടങ്ങിയ ആശയങ്ങളുണ്ട്. അവയിൽ ഓരോന്നിനും അതിന്റേതായ ഫോർമുലയുണ്ട്.

ഒരു സെറ്റിന്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമപ്പെടുത്തിയ ഒരു കൂട്ടത്തെ ക്രമീകരണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പ്ലെയ്‌സ്‌മെന്റുകൾ ആവർത്തിക്കാം, അതായത്, ഒരു ഘടകം നിരവധി തവണ ഉപയോഗിക്കാം. ആവർത്തനമില്ലാതെ, ഘടകങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാത്തപ്പോൾ. n എന്നത് എല്ലാ ഘടകങ്ങളും, m എന്നത് പ്ലേസ്‌മെന്റിൽ പങ്കെടുക്കുന്ന ഘടകങ്ങളാണ്. ആവർത്തനമില്ലാതെ പ്ലേസ്‌മെന്റിനുള്ള ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

A n m =n!/(n-m)!

പ്ലെയ്‌സ്‌മെന്റിന്റെ ക്രമത്തിൽ മാത്രം വ്യത്യാസമുള്ള n മൂലകങ്ങളുടെ കണക്ഷനുകളെ പെർമ്യൂട്ടേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: P n = n!

m ന്റെ n മൂലകങ്ങളുടെ കോമ്പിനേഷനുകൾ ആ സംയുക്തങ്ങളാണ്, അവ ഏതൊക്കെ മൂലകങ്ങളായിരുന്നുവെന്നും അവയുടെ ആകെ സംഖ്യ എത്രയാണെന്നും പ്രധാനമാണ്. ഫോർമുല ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

A n m =n!/m!(n-m)!

ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല

പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിൽ, എല്ലാ വിഷയങ്ങളിലെയും പോലെ, അവരുടെ മേഖലയിലെ മികച്ച ഗവേഷകരുടെ സൃഷ്ടികൾ ഉണ്ട്, അവർ അതിനെ ഒരു പുതിയ തലത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുപോയി. ഈ കൃതികളിൽ ഒന്ന് ബെർണൂലി ഫോർമുലയാണ്, ഇത് സ്വതന്ത്ര സാഹചര്യങ്ങളിൽ സംഭവിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഒരു പരീക്ഷണത്തിൽ A യുടെ ആവിർഭാവം മുമ്പത്തെ അല്ലെങ്കിൽ തുടർന്നുള്ള പരീക്ഷണങ്ങളിൽ അതേ സംഭവത്തിന്റെ സംഭവവികാസത്തെയോ അല്ലാത്തതിനെയോ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം:

P n (m) = C n m ×p m × q n-m.

ഇവന്റ് (എ) സംഭവിക്കുന്നതിന്റെ പ്രോബബിലിറ്റി (പി) ഓരോ ട്രയലിനും സ്ഥിരമാണ്. n പരീക്ഷണങ്ങളിൽ സാഹചര്യം കൃത്യമായി m തവണ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ച ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കും. അതനുസരിച്ച്, q നമ്പർ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്ന ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു.

ഇവന്റ് എ നിരവധി തവണ p സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതനുസരിച്ച്, അത് സംഭവിക്കാനിടയില്ല. ഒരു അച്ചടക്കത്തിൽ ഒരു സാഹചര്യത്തിന്റെ എല്ലാ ഫലങ്ങളും നിർണ്ണയിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ് യൂണിറ്റ്. അതിനാൽ, ഒരു സംഭവം നടക്കാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ് q.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല (പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി) അറിയാം. പ്രശ്‌നപരിഹാരത്തിന്റെ (ആദ്യ ലെവൽ) ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചുവടെ പരിഗണിക്കും.

ടാസ്ക് 2:ഒരു സ്റ്റോർ സന്ദർശകൻ പ്രോബബിലിറ്റി 0.2 ഉപയോഗിച്ച് ഒരു വാങ്ങൽ നടത്തും. 6 സന്ദർശകർ സ്വതന്ത്രമായി സ്റ്റോറിൽ പ്രവേശിച്ചു. ഒരു സന്ദർശകൻ ഒരു വാങ്ങൽ നടത്താനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം: എത്ര സന്ദർശകർ ഒരു പർച്ചേസ് നടത്തണം, ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ ആറെണ്ണമോ എന്ന് അജ്ഞാതമായതിനാൽ, ബെർണൂലി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സാധ്യമായ എല്ലാ സാധ്യതകളും കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

എ = "സന്ദർശകൻ ഒരു വാങ്ങൽ നടത്തും."

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ: p = 0.2 (ടാസ്ക്കിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ). അതനുസരിച്ച്, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (സ്റ്റോറിൽ 6 ഉപഭോക്താക്കൾ ഉള്ളതിനാൽ). m എന്ന സംഖ്യ 0 (ഒരു ഉപഭോക്താവ് പോലും വാങ്ങില്ല) മുതൽ 6 വരെ വ്യത്യാസപ്പെടും (സ്റ്റോറിലെ എല്ലാ സന്ദർശകരും എന്തെങ്കിലും വാങ്ങും). തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം ലഭിക്കും:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 × q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

വാങ്ങുന്നവരാരും 0.2621 പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് വാങ്ങില്ല.

ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല (പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി) എങ്ങനെയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്? പ്രശ്നപരിഹാരത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ (രണ്ടാം തലം) താഴെ.

മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിനു ശേഷം, C ഉം r ഉം എവിടെ പോയി എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ ഉയർന്നുവരുന്നു. പിയുമായി ആപേക്ഷികമായി, 0 ന്റെ ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഒരു സംഖ്യ ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കും. സിയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഇത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

C n m = n! /m!(n-m)!

ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ m = 0, യഥാക്രമം, C = 1, തത്വത്തിൽ ഫലത്തെ ബാധിക്കില്ല. പുതിയ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, രണ്ട് സന്ദർശകർ സാധനങ്ങൾ വാങ്ങുന്നതിനുള്ള സാധ്യത എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 × q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം അത്ര സങ്കീർണ്ണമല്ല. ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല, മുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ച ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതിന് നേരിട്ടുള്ള തെളിവാണ്.

പോയിസന്റെ ഫോർമുല

കുറഞ്ഞ പ്രോബബിലിറ്റി ക്രമരഹിതമായ സാഹചര്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ Poisson's equation ഉപയോഗിക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം:

P n (m)=λ m /m! × ഇ (-λ) .

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ λ = n x p. ഇതാ ഒരു ലളിതമായ Poisson ഫോർമുല (സംഭാവ്യ സിദ്ധാന്തം). പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചുവടെ പരിഗണിക്കും.

ടാസ്ക് 3: ഫാക്ടറി 100,000 ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു. ഒരു വികലമായ ഭാഗം സംഭവിക്കുന്നത് = 0.0001. ഒരു ബാച്ചിൽ 5 വികലമായ ഭാഗങ്ങൾ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വിവാഹം ഒരു സാധ്യതയില്ലാത്ത സംഭവമാണ്, അതിനാൽ കണക്കുകൂട്ടലിനായി Poisson ഫോർമുല (സംഭാവ്യത സിദ്ധാന്തം) ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ അച്ചടക്കത്തിലെ മറ്റ് ജോലികളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല; തന്നിരിക്കുന്ന ഫോർമുലയിലേക്ക് ആവശ്യമായ ഡാറ്റ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

A = "ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു ഭാഗം വികലമായിരിക്കും."

p = 0.0001 (ടാസ്ക് വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്).

n = 100000 (ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം).

m = 5 (വികലമായ ഭാഗങ്ങൾ). ഞങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് ഡാറ്റ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.

ബെർണൂലി ഫോർമുല (പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി) പോലെ, മുകളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പോലെ, പോയിസൺ സമവാക്യത്തിന് ഒരു അജ്ഞാത ഇ ഉണ്ട്. വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും:

e -λ = ലിം n ->∞ (1-λ/n) n .

എന്നിരുന്നാലും, ഇ യുടെ മിക്കവാറും എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പ്രത്യേക പട്ടികകളുണ്ട്.

ഡി മോവ്രെ-ലാപ്ലേസ് സിദ്ധാന്തം

ബെർണൂലി സ്കീമിൽ ട്രയലുകളുടെ എണ്ണം ആവശ്യത്തിന് വലുതാണെങ്കിൽ, എല്ലാ സ്കീമുകളിലും ഇവന്റ് എ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത ഒരുപോലെയാണെങ്കിൽ, ഇവന്റ് എ ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ടെസ്റ്റുകളുടെ ഒരു പരമ്പരയിൽ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത ലാപ്ലേസിന്റെ ഫോർമുല:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

ലാപ്ലേസിന്റെ സൂത്രവാക്യം (പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി) നന്നായി ഓർമ്മിക്കാൻ, പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

ആദ്യം, നമുക്ക് X m കണ്ടെത്താം, ഫോർമുലയിലേക്ക് ഡാറ്റ (അവയെല്ലാം മുകളിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു) മാറ്റി 0.025 നേടുക. പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ϕ (0.025) എന്ന സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നു, അതിന്റെ മൂല്യം 0.3988 ആണ്. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാ ഡാറ്റയും ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

പി 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

അങ്ങനെ, ഫ്ലയർ കൃത്യമായി 267 തവണ പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.03 ആണ്.

ബയേസ് ഫോർമുല

ബയേസ് ഫോർമുല (പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി), അതിന്റെ സഹായത്തോടെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെ നൽകും, ഒരു സംഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സാഹചര്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സംഭാവ്യത വിവരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യമാണ്. അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം ഇപ്രകാരമാണ്:

പി (എ|ബി) = പി (ബി|എ) x പി (എ) / പി (ബി).

എയും ബിയും കൃത്യമായ സംഭവങ്ങളാണ്.

P(A|B) എന്നത് ഒരു സോപാധിക പ്രോബബിലിറ്റിയാണ്, അതായത്, ഇവന്റ് ബി ശരിയാണെങ്കിൽ ഇവന്റ് എ സംഭവിക്കാം.

പി (ബി|എ) - ഇവന്റ് ബിയുടെ സോപാധിക സംഭാവ്യത.

അതിനാൽ, “പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി” എന്ന ഹ്രസ്വ കോഴ്‌സിന്റെ അവസാന ഭാഗം ബയേസ് ഫോർമുലയാണ്, പ്രശ്‌നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

ടാസ്ക് 5: മൂന്ന് കമ്പനികളുടെ ഫോണുകളാണ് ഗോഡൗണിൽ എത്തിച്ചത്. അതേ സമയം, ആദ്യത്തെ പ്ലാന്റിൽ നിർമ്മിക്കുന്ന ഫോണുകളുടെ പങ്ക് 25% ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് - 60%, മൂന്നാമത്തേത് - 15%. ആദ്യത്തെ ഫാക്ടറിയിലെ കേടായ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ശരാശരി ശതമാനം 2%, രണ്ടാമത്തേത് - 4%, മൂന്നാമത്തേത് - 1% എന്നിങ്ങനെയാണ്. ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഫോൺ വികലമാകാനുള്ള സാധ്യത നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

A = "ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഫോൺ."

ബി 1 - ആദ്യത്തെ ഫാക്ടറി നിർമ്മിച്ച ഫോൺ. അതനുസരിച്ച്, ആമുഖ ബി 2, ബി 3 എന്നിവ ദൃശ്യമാകും (രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഫാക്ടറികൾക്ക്).

ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പി (ബി 1) = 25%/100% = 0.25; പി (ബി 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - അങ്ങനെ ഓരോ ഓപ്ഷന്റെയും സാധ്യത ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള ഇവന്റിന്റെ സോപാധിക സാധ്യതകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, കമ്പനികളിലെ വികലമായ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത:

പി (എ/ബി 1) = 2%/100% = 0.02;

പി(എ/ബി 2) = 0.04;

പി (എ/ബി 3) = 0.01.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ബേയ്സ് ഫോർമുലയിലേക്ക് ഡാറ്റ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

പി (എ) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.

ലേഖനം പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം, സമവാക്യങ്ങൾ, പ്രശ്നപരിഹാരത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ എന്നിവ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഇത് ഒരു വലിയ അച്ചടക്കത്തിന്റെ മഞ്ഞുമലയുടെ അഗ്രം മാത്രമാണ്. എഴുതിയതെല്ലാം കഴിഞ്ഞാൽ, ജീവിതത്തിൽ പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം ആവശ്യമുണ്ടോ എന്ന ചോദ്യം ചോദിക്കുന്നത് യുക്തിസഹമായിരിക്കും. ഒരു സാധാരണ വ്യക്തിക്ക് ഉത്തരം നൽകാൻ പ്രയാസമാണ്; ഒന്നിലധികം തവണ ജാക്ക്പോട്ട് നേടാൻ അത് ഉപയോഗിച്ച ഒരാളോട് ചോദിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.

സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൽ, മനുഷ്യ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ മറ്റ് മേഖലകളിലോ പ്രകൃതിയിലോ പോലെ, കൃത്യമായി പ്രവചിക്കാൻ കഴിയാത്ത സംഭവങ്ങളെ നമ്മൾ നിരന്തരം കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ, ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ വിൽപ്പന അളവ് ഡിമാൻഡിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അത് ഗണ്യമായി വ്യത്യാസപ്പെടാം, കൂടാതെ കണക്കിലെടുക്കാൻ ഏതാണ്ട് അസാധ്യമായ മറ്റ് നിരവധി ഘടകങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഉൽപ്പാദനം സംഘടിപ്പിക്കുകയും വിൽപ്പന നടത്തുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം മുൻ അനുഭവം, അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് ആളുകളുടെ സമാന അനുഭവം അല്ലെങ്കിൽ അവബോധം എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലം നിങ്ങൾ പ്രവചിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത് ഒരു വലിയ പരിധി വരെ പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

സംശയാസ്പദമായ ഇവന്റ് എങ്ങനെയെങ്കിലും വിലയിരുത്തുന്നതിന്, ഈ ഇവന്റ് രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ കണക്കിലെടുക്കുകയോ പ്രത്യേകം സംഘടിപ്പിക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

സംശയാസ്പദമായ ഇവന്റ് തിരിച്ചറിയാൻ ചില വ്യവസ്ഥകൾ അല്ലെങ്കിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കുന്നത് വിളിക്കുന്നു അനുഭവംഅഥവാ പരീക്ഷണം.

എന്ന പേരിലാണ് പരിപാടി ക്രമരഹിതമായ, അനുഭവത്തിന്റെ ഫലമായി അത് സംഭവിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ സംഭവിക്കാതിരിക്കാം.

എന്ന പേരിലാണ് പരിപാടി വിശ്വസനീയമായ, നൽകിയ അനുഭവത്തിന്റെ ഫലമായി അത് അനിവാര്യമായും ദൃശ്യമാകുകയാണെങ്കിൽ, ഒപ്പം അസാധ്യം, ഈ അനുഭവത്തിൽ അത് ദൃശ്യമാകുന്നില്ലെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്, നവംബർ 30 ന് മോസ്കോയിൽ മഞ്ഞുവീഴ്ച ഒരു ക്രമരഹിത സംഭവമാണ്. ദിവസേനയുള്ള സൂര്യോദയം വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവമായി കണക്കാക്കാം. ഭൂമധ്യരേഖയിൽ മഞ്ഞ് വീഴുന്നത് അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവമായി കണക്കാക്കാം.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രധാന ജോലികളിലൊന്ന് ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയുടെ അളവ് അളക്കുക എന്നതാണ്.

സംഭവങ്ങളുടെ ബീജഗണിതം

ഒരേ അനുഭവത്തിൽ ഒരുമിച്ച് നിരീക്ഷിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ സംഭവങ്ങളെ പൊരുത്തക്കേട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഒരേ സമയം വിൽപ്പനയ്ക്കായി ഒരു സ്റ്റോറിൽ രണ്ട്, മൂന്ന് കാറുകളുടെ സാന്നിധ്യം രണ്ട് പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങളാണ്.

തുകഇവന്റുകൾ ഈ ഇവന്റുകളിലൊന്നെങ്കിലും സംഭവിക്കുന്ന ഒരു സംഭവമാണ്

ഇവന്റുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഒരു ഉദാഹരണം സ്റ്റോറിൽ കുറഞ്ഞത് രണ്ട് ഉൽപ്പന്നങ്ങളിൽ ഒന്നിന്റെ സാന്നിധ്യമാണ്.

ജോലിഈ സംഭവങ്ങളുടെയെല്ലാം ഒരേസമയം സംഭവിക്കുന്ന ഒരു സംഭവമാണ് ഇവന്റുകൾ

ഒരു സ്റ്റോറിൽ ഒരേ സമയം രണ്ട് സാധനങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന ഒരു ഇവന്റ് ഇവന്റുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമാണ്: - ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ രൂപം, - മറ്റൊരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ രൂപം.

അവയിലൊന്നെങ്കിലും അനുഭവത്തിൽ സംഭവിക്കുമെന്ന് ഉറപ്പാണെങ്കിൽ ഇവന്റുകൾ ഇവന്റുകളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പായി മാറുന്നു.

ഉദാഹരണം.കപ്പലുകൾ സ്വീകരിക്കുന്നതിന് തുറമുഖത്ത് രണ്ട് ബെർത്തുകളുണ്ട്. മൂന്ന് സംഭവങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം: - ബെർത്തുകളിൽ കപ്പലുകളുടെ അഭാവം, - ഒരു ബെർത്തിൽ ഒരു കപ്പലിന്റെ സാന്നിധ്യം, - രണ്ട് ബെർത്തുകളിൽ രണ്ട് കപ്പലുകളുടെ സാന്നിധ്യം. ഈ മൂന്ന് സംഭവങ്ങളും ഇവന്റുകളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പാണ്.

എതിർവശത്ത്ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പുണ്ടാക്കുന്ന രണ്ട് അദ്വിതീയ സംഭവങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു.

വിപരീത സംഭവങ്ങളിൽ ഒന്നിനെ സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വിപരീത സംഭവത്തെ സാധാരണയായി സൂചിപ്പിക്കും.

ഇവന്റ് പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ, സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ നിർവചനങ്ങൾ

പരീക്ഷണങ്ങളുടെ (പരീക്ഷണങ്ങൾ) തുല്യമായി സാധ്യമായ ഓരോ ഫലങ്ങളെയും പ്രാഥമിക ഫലം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അവ സാധാരണയായി അക്ഷരങ്ങളാൽ നിയുക്തമാക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഡൈ എറിയപ്പെടുന്നു. വശങ്ങളിലെ പോയിന്റുകളുടെ എണ്ണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ആകെ ആറ് പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം.

പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഇവന്റ് സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും. അതിനാൽ, ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ഇവന്റ് മൂന്ന് ഫലങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: 2, 4, 6.

സംശയാസ്‌പദമായ സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയുടെ ഒരു അളവ് അളവ് പ്രോബബിലിറ്റിയാണ്.

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയുടെ ഏറ്റവും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന നിർവചനങ്ങൾ ഇവയാണ്: ക്ലാസിക്ഒപ്പം സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക്.

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനം അനുകൂലമായ ഒരു ഫലത്തിന്റെ ആശയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഫലം വിളിക്കുന്നു അനുകൂലമായഒരു തന്നിരിക്കുന്ന ഇവന്റിന് അതിന്റെ സംഭവം ഈ സംഭവത്തിന്റെ സംഭവത്തിന് കാരണമാകുന്നുവെങ്കിൽ.

മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിൽ, സംശയാസ്‌പദമായ ഇവന്റിന്-റോൾ ചെയ്‌ത വശത്ത് ഇരട്ട പോയിന്റുകളുടെ എണ്ണം-മൂന്ന് അനുകൂല ഫലങ്ങൾ ഉണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ജനറൽ
സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം. ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവ്വചനം ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കാമെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ക്ലാസിക് നിർവചനംഅനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണവും സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്

ഇവന്റിന്റെ പ്രോബബിലിറ്റി എവിടെയാണ്, ഇവന്റിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം, സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണം.

പരിഗണിച്ച ഉദാഹരണത്തിൽ

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ നിർവചനം പരീക്ഷണങ്ങളിൽ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി എന്ന ആശയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു

പരീക്ഷണങ്ങളുടെ (ടെസ്റ്റുകൾ) ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം എവിടെയാണ്.

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ നിർവചനം. പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൽ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനയോടെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി സ്ഥിരപ്പെടുത്തുന്ന (സെറ്റ്) സംഖ്യയാണ് ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത.

പ്രായോഗിക പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത, മതിയായ എണ്ണം ട്രയലുകളുടെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തിയായി കണക്കാക്കുന്നു.

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയുടെ ഈ നിർവചനങ്ങളിൽ നിന്ന് അസമത്വം എല്ലായ്പ്പോഴും തൃപ്തികരമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്

ഫോർമുല (1.1) അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത നിർണ്ണയിക്കാൻ, കോമ്പിനേറ്ററിക്സ് ഫോർമുലകൾ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, അവ അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണവും സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണവും കണ്ടെത്താൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

മുനിസിപ്പൽ വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം

ജിംനേഷ്യം നമ്പർ 6

"പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനം" എന്ന വിഷയത്തിൽ.

ഗ്രേഡ് 8 "ബി" യിലെ ഒരു വിദ്യാർത്ഥി പൂർത്തിയാക്കി

ക്ലിമന്തോവ അലക്സാണ്ട്ര.

ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകൻ: വിഡെൻകിന വി.എ.

വൊറോനെഷ്, 2008

പല ഗെയിമുകളും ഡൈസ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ക്യൂബിന് 6 വശങ്ങളുണ്ട്, ഓരോ വശത്തും 1 മുതൽ 6 വരെ വ്യത്യസ്ത എണ്ണം ഡോട്ടുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. പ്ലെയർ ഡൈസ് ഉരുട്ടി, വീഴ്ത്തിയ ഭാഗത്ത് (മുകളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഭാഗത്ത്) എത്ര ഡോട്ടുകൾ ഉണ്ടെന്ന് നോക്കുന്നു. . മിക്കപ്പോഴും, ക്യൂബിന്റെ മുഖത്തെ പോയിന്റുകൾ അനുബന്ധ നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, തുടർന്ന് അവർ 1, 2 അല്ലെങ്കിൽ 6 റോളിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു. ഒരു ഡൈ എറിയുന്നത് ഒരു അനുഭവമായി, ഒരു പരീക്ഷണമായി, ഒരു പരീക്ഷണമായി കണക്കാക്കാം, കൂടാതെ ലഭിച്ച ഫലം ഒരു പരിശോധനയുടെ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പ്രാഥമിക സംഭവത്തിന്റെ ഫലം. ഈ അല്ലെങ്കിൽ ആ സംഭവത്തിന്റെ സംഭവം ഊഹിക്കാനും അതിന്റെ ഫലം പ്രവചിക്കാനും ആളുകൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. അവർ ഡൈസ് ഉരുട്ടുമ്പോൾ അവർക്ക് എന്ത് പ്രവചനങ്ങൾ നടത്താൻ കഴിയും? ഉദാഹരണത്തിന്, ഇവ:

1) ഇവന്റ് എ - നമ്പർ 1, 2, 3, 4, 5 അല്ലെങ്കിൽ 6 ഉരുട്ടി;

2) ഇവന്റ് ബി - നമ്പർ 7, 8 അല്ലെങ്കിൽ 9 ദൃശ്യമാകുന്നു;

3) ഇവന്റ് സി - നമ്പർ 1 ദൃശ്യമാകുന്നു.

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ പ്രവചിച്ച ഇവന്റ് എ തീർച്ചയായും സംഭവിക്കും. പൊതുവേ, നൽകിയിരിക്കുന്ന അനുഭവത്തിൽ സംഭവിക്കുമെന്ന് ഉറപ്പുള്ള ഒരു സംഭവത്തെ വിളിക്കുന്നു വിശ്വസനീയമായ സംഭവം .

രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ പ്രവചിച്ച ഇവന്റ് ബി ഒരിക്കലും സംഭവിക്കില്ല, അത് അസാധ്യമാണ്. പൊതുവേ, നൽകിയിരിക്കുന്ന അനുഭവത്തിൽ സംഭവിക്കാത്ത ഒരു സംഭവത്തെ വിളിക്കുന്നു അസാധ്യമായ സംഭവം .

മൂന്നാമത്തെ കേസിൽ പ്രവചിച്ച ഇവന്റ് സി സംഭവിക്കുമോ ഇല്ലയോ? ഈ ചോദ്യത്തിന് പൂർണമായ ഉറപ്പോടെ ഉത്തരം നൽകാൻ ഞങ്ങൾക്കാവില്ല, കാരണം 1 വ്യക്തമാകാം അല്ലെങ്കിൽ വീഴാതിരിക്കാം. തന്നിരിക്കുന്ന അനുഭവത്തിൽ സംഭവിക്കാനിടയുള്ളതോ അല്ലാത്തതോ ആയ ഒരു സംഭവത്തെ വിളിക്കുന്നു ക്രമരഹിതമായ സംഭവം .

വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭവത്തെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ മിക്കവാറും "ഒരുപക്ഷേ" എന്ന വാക്ക് ഉപയോഗിക്കില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇന്ന് ബുധനാഴ്ചയാണെങ്കിൽ, നാളെ വ്യാഴാഴ്ചയാണ്, ഇത് വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവമാണ്. ബുധനാഴ്ച ഞങ്ങൾ പറയില്ല: “ഒരുപക്ഷേ നാളെ വ്യാഴാഴ്ചയാണ്,” ഞങ്ങൾ ചുരുക്കമായും വ്യക്തമായും പറയും: “നാളെ വ്യാഴാഴ്ച.” ശരിയാണ്, നമ്മൾ മനോഹരമായ പദസമുച്ചയങ്ങൾക്ക് ചായ്‌വുള്ളവരാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇത് പറയാൻ കഴിയും: "നൂറു ശതമാനം സാധ്യതയോടെ, നാളെ വ്യാഴാഴ്ചയാണെന്ന് ഞാൻ പറയുന്നു." നേരെമറിച്ച്, ഇന്ന് ബുധനാഴ്ചയാണെങ്കിൽ, നാളെ വെള്ളിയാഴ്ച ആരംഭിക്കുന്നത് അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവമാണ്. ബുധനാഴ്ച ഈ ഇവന്റ് വിലയിരുത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഇത് പറയാൻ കഴിയും: "നാളെ വെള്ളിയാഴ്ചയല്ലെന്ന് എനിക്ക് ഉറപ്പുണ്ട്." അല്ലെങ്കിൽ ഇത്: "നാളെ വെള്ളിയാഴ്ചയാണെന്നത് അവിശ്വസനീയമാണ്." ശരി, നമ്മൾ മനോഹരമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് വിധേയരാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇത് പറയാം: "നാളെ വെള്ളിയാഴ്ചയാകാനുള്ള സാധ്യത പൂജ്യമാണ്." അതിനാൽ, വിശ്വസനീയമായ ഇവന്റ് എന്നത് നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ സംഭവിക്കുന്ന ഒരു സംഭവമാണ് നൂറു ശതമാനം സംഭാവ്യതയോടെ(അതായത്, 10 ൽ 10 കേസുകളിൽ സംഭവിക്കുന്നത്, 100 ൽ 100 ​​കേസുകളിൽ, മുതലായവ). ഒരു അസാദ്ധ്യമായ സംഭവം എന്നത് നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒരിക്കലും സംഭവിക്കാത്ത ഒരു സംഭവമാണ്, ഒരു സംഭവം പൂജ്യം സംഭാവ്യതയോടെ .

പക്ഷേ, നിർഭാഗ്യവശാൽ (ഒരുപക്ഷേ ഭാഗ്യവശാൽ), ജീവിതത്തിലെ എല്ലാം അത്ര വ്യക്തവും കൃത്യവുമല്ല: അത് എല്ലായ്പ്പോഴും (ചില സംഭവങ്ങൾ), അത് ഒരിക്കലും (അസാധ്യമായ സംഭവം) ആയിരിക്കും. മിക്കപ്പോഴും നമ്മൾ ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങളെ അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു, അവയിൽ ചിലത് കൂടുതൽ സാധ്യതയുള്ളതും മറ്റുള്ളവ കുറവുമാണ്. സാധാരണയായി ആളുകൾ "കൂടുതൽ സാധ്യത" അല്ലെങ്കിൽ "കുറവ്" എന്ന വാക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അവർ പറയുന്നതുപോലെ, സാമാന്യബുദ്ധി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നു. എന്നാൽ പലപ്പോഴും അത്തരം കണക്കുകൾ അപര്യാപ്തമാണ്, കാരണം അറിയേണ്ടത് പ്രധാനമാണ് എത്രനാളത്തേക്ക്ശതമാനം ഒരുപക്ഷേ ക്രമരഹിതമായ ഒരു സംഭവം അല്ലെങ്കിൽ എത്ര തവണഒരു യാദൃശ്ചിക സംഭവം മറ്റൊന്നിനേക്കാൾ കൂടുതൽ സാധ്യതയുണ്ട്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് കൃത്യത ആവശ്യമാണ് അളവ്സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് സംഭാവ്യതയെ വിശേഷിപ്പിക്കാൻ കഴിയണം.

ഈ ദിശയിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ ആദ്യ ചുവടുകൾ എടുത്തിട്ടുണ്ട്. ഒരു നിശ്ചിത സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത ഇപ്രകാരമാണ് എന്ന് ഞങ്ങൾ പറഞ്ഞു നൂറ് ശതമാനം, കൂടാതെ അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത ഇങ്ങനെയാണ് പൂജ്യം. 100% 1 ന് തുല്യമായതിനാൽ, ആളുകൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ അംഗീകരിച്ചു:

1) വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത തുല്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു 1;

2) അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത തുല്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു 0.

ഒരു റാൻഡം ഇവന്റിന്റെ പ്രോബബിലിറ്റി എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? എല്ലാത്തിനുമുപരി, അത് സംഭവിച്ചു ആകസ്മികമായി, അതിനർത്ഥം അത് നിയമങ്ങളോ അൽഗോരിതങ്ങളോ ഫോർമുലകളോ അനുസരിക്കുന്നില്ല എന്നാണ്. ക്രമരഹിതമായ ലോകത്ത്, സാധ്യതകൾ കണക്കാക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ചില നിയമങ്ങൾ ബാധകമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. ഇതാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖയെ വിളിക്കുന്നത് - സാധ്യത സിദ്ധാന്തം .

ഗണിതശാസ്ത്രം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു മാതൃകനമുക്ക് ചുറ്റുമുള്ള യാഥാർത്ഥ്യത്തിന്റെ ചില പ്രതിഭാസങ്ങൾ. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന എല്ലാ മോഡലുകളിലും, ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായവയിലേക്ക് സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തും.

ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് സ്കീം

ചില പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ ഇവന്റ് A യുടെ സംഭാവ്യത കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യണം:

1) ഈ പരീക്ഷണത്തിന്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും നമ്പർ N കണ്ടെത്തുക;

2) ഈ എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും തുല്യ സംഭാവ്യത (തുല്യ സാധ്യത) അനുമാനം അംഗീകരിക്കുക;

3) ഇവന്റ് എ സംഭവിക്കുന്ന പരീക്ഷണ ഫലങ്ങളുടെ നമ്പർ N(A) കണ്ടെത്തുക;

4) ഘടകഭാഗം കണ്ടെത്തുക ; ഇത് എ ഇവന്റ് പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് തുല്യമായിരിക്കും.

A: P(A) എന്ന സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പതിവാണ്. ഈ പദവിയുടെ വിശദീകരണം വളരെ ലളിതമാണ്: ഫ്രഞ്ച് ഭാഷയിൽ "സാധ്യത" എന്ന വാക്ക് സാധ്യതയുള്ള, ഇംഗ്ലീഷിൽ- സാധ്യത.പദത്തിന്റെ ആദ്യ അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഈ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, ക്ലാസിക്കൽ സ്കീം അനുസരിച്ച് ഇവന്റ് എ യുടെ സംഭാവ്യത ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം

പി(എ)=.

മിക്കപ്പോഴും മുകളിലുള്ള ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് സ്കീമിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളും ഒരു നീണ്ട വാക്യത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക് നിർവചനം

ഒരു നിശ്ചിത പരിശോധനയ്ക്കിടെ ഇവന്റ് എ യുടെ സംഭാവ്യത എന്നത് ഈ ടെസ്റ്റിന്റെ തുല്യമായ എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും ആകെ എണ്ണവുമായി ഇവന്റ് എ സംഭവിക്കുന്ന ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ അനുപാതമാണ്.

ഉദാഹരണം 1. ഒരു ഡൈയുടെ ഒരു ത്രോയിൽ ഫലം ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക: a) 4; ബി) 5; സി) പോയിന്റുകളുടെ ഇരട്ട സംഖ്യ; d) 4-ൽ കൂടുതൽ പോയിന്റുകളുടെ എണ്ണം; ഇ) മൂന്ന് കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവാത്ത പോയിന്റുകളുടെ എണ്ണം.

പരിഹാരം. മൊത്തത്തിൽ N=6 ​​സാധ്യമായ ഫലങ്ങൾ ഉണ്ട്: 1, 2, 3, 4, 5 അല്ലെങ്കിൽ 6 ന് തുല്യമായ നിരവധി പോയിന്റുകളുള്ള ഒരു ക്യൂബ് ഫെയ്‌സിൽ നിന്ന് വീഴുന്നത്. അവയ്‌ക്കൊന്നും മറ്റുള്ളവയെ അപേക്ഷിച്ച് ഒരു ഗുണവുമില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ വിശ്വസിക്കുന്നു, അതായത് ഞങ്ങൾ ഈ ഫലങ്ങളുടെ സന്തുലിതാവസ്ഥ എന്ന അനുമാനം അംഗീകരിക്കുക.

a) ഫലങ്ങളിലൊന്നിൽ, നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള A ഇവന്റ് സംഭവിക്കും - നമ്പർ 4 ദൃശ്യമാകും. ഇതിനർത്ഥം N(A)=1 ഒപ്പം

പി ( എ )= =.

b) പരിഹാരവും ഉത്തരവും മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിലെ പോലെ തന്നെ.

c) പോയിന്റുകളുടെ എണ്ണം 2, 4 അല്ലെങ്കിൽ 6 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള ഇവന്റ് ബി കൃത്യമായി മൂന്ന് സന്ദർഭങ്ങളിൽ സംഭവിക്കും. ഇതിനർത്ഥം

എൻ ( ബി )=3 ഒപ്പം പി ( ബി )==.

d) പോയിന്റുകളുടെ എണ്ണം 5 അല്ലെങ്കിൽ 6 ആകുമ്പോൾ നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള ഇവന്റ് C കൃത്യമായി രണ്ട് സന്ദർഭങ്ങളിൽ സംഭവിക്കും. ഇതിനർത്ഥം

എൻ ( സി ) =2, Р(С)=.

ഇ) വരച്ച സാധ്യമായ ആറ് സംഖ്യകളിൽ, നാലെണ്ണം (1, 2, 4, 5) മൂന്നിന്റെ ഗുണിതമല്ല, ശേഷിക്കുന്ന രണ്ടെണ്ണം (3, 6) മൂന്നാൽ ഹരിക്കാവുന്നതാണ്. ഇതിനർത്ഥം, ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള ഇവന്റ്, പരീക്ഷണത്തിന്റെ സാധ്യമായതും തുല്യവും തുല്യവുമായ സാധ്യതയുള്ളതുമായ ഫലങ്ങളിൽ ആറിൽ നാലിലും സംഭവിക്കുന്നു എന്നാണ്. അതിനാൽ ഉത്തരം മാറുന്നു

. ; ബി) ; വി) ; ജി) ; d).

ഒരു യഥാർത്ഥ ഡൈസ് ഒരു ആദർശ (മോഡൽ) ക്യൂബിൽ നിന്ന് വളരെ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും, അതിനാൽ, അതിന്റെ സ്വഭാവം വിവരിക്കാൻ, കൂടുതൽ കൃത്യവും വിശദവുമായ ഒരു മോഡൽ ആവശ്യമാണ്, ഒരു മുഖത്തിന്റെ മറ്റൊരു മുഖത്തിന്റെ ഗുണങ്ങൾ, കാന്തങ്ങളുടെ സാധ്യമായ സാന്നിധ്യം മുതലായവ കണക്കിലെടുക്കുന്നു. "വിശദാംശങ്ങളിൽ പിശാച് ഉണ്ട്," കൂടുതൽ കൃത്യത കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണതയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നത് ഒരു പ്രശ്നമായി മാറുന്നു. ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് മോഡൽ പരിഗണിക്കുന്നതിലേക്ക് ഞങ്ങൾ സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു, അവിടെ സാധ്യമായ എല്ലാ ഫലങ്ങളും ഒരുപോലെ സാധ്യമാണ്.

കുറിപ്പ് 1. മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. ചോദ്യം ചോദിച്ചു: "ഒരു ഡൈ റോളിൽ മൂന്ന് ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?" വിദ്യാർത്ഥി ഉത്തരം പറഞ്ഞു: "സാധ്യത 0.5 ആണ്." അവൻ തന്റെ ഉത്തരം വിശദീകരിച്ചു: “മൂന്ന് ഒന്നുകിൽ വരും അല്ലെങ്കിൽ വരില്ല. ഇതിനർത്ഥം മൊത്തത്തിൽ രണ്ട് ഫലങ്ങളുണ്ടെന്നും അവയിലൊന്നിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള സംഭവം സംഭവിക്കുന്നുവെന്നുമാണ്. ക്ലാസിക്കൽ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് സ്കീം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഉത്തരം 0.5 ലഭിക്കും. ഈ ന്യായവാദത്തിൽ എന്തെങ്കിലും തെറ്റുണ്ടോ? ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഇല്ല. എന്നിരുന്നാലും, അത് ഇപ്പോഴും നിലവിലുണ്ട്, അടിസ്ഥാനപരമായും. അതെ, തീർച്ചയായും, മൂന്ന് വരുമോ ഇല്ലയോ, അതായത്, ടോസ് N=2 ന്റെ ഫലത്തിന്റെ ഈ നിർവ്വചനം. N(A) = 1 എന്നതും ശരിയാണ്, തീർച്ചയായും അത് ശരിയാണ്

=0.5, അതായത് പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് സ്കീമിന്റെ മൂന്ന് പോയിന്റുകൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നു, എന്നാൽ പോയിന്റ് 2 നടപ്പിലാക്കുന്നത് സംശയത്തിലാണ്. തീർച്ചയായും, തികച്ചും നിയമപരമായ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, മൂന്നെണ്ണം ഉരുട്ടുന്നത് വീഴാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത തുല്യമാണെന്ന് വിശ്വസിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്. എന്നാൽ അരികുകളുടെ "സമത്വം" സംബന്ധിച്ച നമ്മുടെ സ്വാഭാവിക അനുമാനങ്ങൾ ലംഘിക്കാതെ നമുക്ക് അങ്ങനെ ചിന്തിക്കാനാകുമോ? തീർച്ചയായും ഇല്ല! ഇവിടെ നമ്മൾ ഒരു നിശ്ചിത മാതൃകയിൽ ശരിയായ ന്യായവാദം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു. എന്നാൽ ഈ മാതൃക തന്നെ "തെറ്റാണ്", യഥാർത്ഥ പ്രതിഭാസവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല.

കുറിപ്പ് 2. പ്രോബബിലിറ്റി ചർച്ച ചെയ്യുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന സുപ്രധാന സാഹചര്യങ്ങൾ കാണാതെ പോകരുത്. ഒരു ഡൈ എറിയുമ്പോൾ എന്ന് പറഞ്ഞാൽ, ഒരു പോയിന്റ് ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത

, 6 തവണ ഉരുട്ടിയാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പോയിന്റ് കൃത്യമായി ലഭിക്കും, 12 തവണ എറിഞ്ഞാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പോയിന്റ് കൃത്യമായി രണ്ട് തവണ ലഭിക്കും, 18 തവണ എറിഞ്ഞാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പോയിന്റ് കൃത്യമായി മൂന്ന് ലഭിക്കും എന്നല്ല ഇതിനർത്ഥം. സമയങ്ങൾ മുതലായവ. ഈ വാക്ക് ഊഹക്കച്ചവടമാണ്. എന്താണ് സംഭവിക്കാൻ സാധ്യതയുള്ളതെന്ന് ഞങ്ങൾ ഊഹിക്കുന്നു. ഒരുപക്ഷേ 600 തവണ ഉരുട്ടിയാൽ ഒരു പോയിന്റ് 100 മടങ്ങ് അല്ലെങ്കിൽ ഏകദേശം 100 വരും.