പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലെ ഒരു സംഭവം എന്താണ്. പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർണ്ണയത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ. സംഭവങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

പ്രായോഗിക പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക്, സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതയുടെ അളവ് അനുസരിച്ച് ഇവന്റുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യാൻ കഴിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നമുക്ക് ഒരു ക്ലാസിക് കേസ് പരിഗണിക്കാം. കലത്തിൽ 10 പന്തുകൾ ഉണ്ട്, അവയിൽ 8 എണ്ണം വെള്ളയും 2 കറുത്തതുമാണ്. വ്യക്തമായും, “കലത്തിൽ നിന്ന് ഒരു വെളുത്ത പന്ത് വരയ്ക്കും” എന്ന സംഭവത്തിനും “കലത്തിൽ നിന്ന് ഒരു കറുത്ത പന്ത് വരയ്ക്കും” ഇവന്റിന് അവ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യതയുടെ വ്യത്യസ്ത അളവുകൾ ഉണ്ട്. അതിനാൽ, ഇവന്റുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യാൻ, ഒരു നിശ്ചിത അളവ് അളവ് ആവശ്യമാണ്.

ഒരു സംഭവം ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യതയുടെ അളവ് അളക്കലാണ് സാധ്യത . ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയുടെ ഏറ്റവും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന നിർവചനങ്ങൾ ക്ലാസിക്കൽ, സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ എന്നിവയാണ്.

ക്ലാസിക് നിർവചനംഅനുകൂലമായ ഒരു ഫലമെന്ന ആശയവുമായി സംഭാവ്യത ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഇത് കൂടുതൽ വിശദമായി നോക്കാം.

ചില പരിശോധനകളുടെ ഫലങ്ങൾ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ സംഭവങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം രൂപപ്പെടുത്തട്ടെ, അത് ഒരുപോലെ സാധ്യമാണ്, അതായത്. അദ്വിതീയമായി സാധ്യമായതും പൊരുത്തമില്ലാത്തതും തുല്യമായി സാധ്യമായതും. അത്തരം ഫലങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ, അഥവാ കേസുകൾ. വരെ ടെസ്റ്റ് തിളച്ചുമറിയുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു കേസ് സ്കീംഅഥവാ " urn പദ്ധതി", കാരണം അത്തരം ഒരു പരിശോധനയ്‌ക്കുള്ള ഏത് പ്രോബബിലിറ്റി പ്രശ്‌നവും വ്യത്യസ്ത നിറങ്ങളിലുള്ള ഉറകളും പന്തുകളും ഉപയോഗിച്ച് തുല്യമായ പ്രശ്‌നത്താൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം.

ഫലം വിളിക്കുന്നു അനുകൂലമായസംഭവം എ, ഈ കേസിന്റെ സംഭവം സംഭവത്തിന്റെ സംഭവത്തെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ എ.

ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത ഈ സംഭവത്തിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണവും ഫലങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തിന് A തുല്യമാണ്, അതായത്.

,

(1.1)

എവിടെ പി(എ)- സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത എ; എം- ഇവന്റിന് അനുകൂലമായ കേസുകളുടെ എണ്ണം എ; എൻ- ആകെ കേസുകളുടെ എണ്ണം.

ഉദാഹരണം 1.1.ഒരു ഡൈസ് എറിയുമ്പോൾ, ആറ് സാധ്യമായ ഫലങ്ങൾ ഉണ്ട്: 1, 2, 3, 4, 5, 6 പോയിന്റുകൾ. ഇരട്ടസംഖ്യ പോയിന്റുകൾ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം. എല്ലാം എൻ= 6 പരിണതഫലങ്ങൾ ഇവന്റുകളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പായി മാറുന്നു, അവ തുല്യമായി സാധ്യമാണ്, അതായത്. അദ്വിതീയമായി സാധ്യമായതും പൊരുത്തമില്ലാത്തതും തുല്യമായി സാധ്യമായതും. ഇവന്റ് എ - "ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ രൂപം" - 3 ഫലങ്ങൾ (കേസുകൾ) അനുകൂലമാണ് - 2, 4 അല്ലെങ്കിൽ 6 പോയിന്റുകളുടെ നഷ്ടം. ഒരു സംഭവത്തിന്റെ പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് ക്ലാസിക്കൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

പി(എ) = = . ◄

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, അതിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

1. ഏതെങ്കിലും സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത പൂജ്യത്തിനും ഒന്നിനും ഇടയിലാണ്, അതായത്.

0 ≤ ആർ(എ) ≤ 1.

2. വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

3. അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത പൂജ്യമാണ്.

നേരത്തെ പറഞ്ഞതുപോലെ, സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ സമമിതിയുള്ള പരിശോധനകളുടെ ഫലമായി ഉണ്ടാകുന്ന സംഭവങ്ങൾക്ക് മാത്രമേ പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനം ബാധകമാകൂ, അതായത്. കേസുകളുടെ പാറ്റേണിലേക്ക് ചുരുക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച് സാദ്ധ്യതകൾ കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ ഒരു വലിയ ക്ലാസ് ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണത്തിന്, നാണയം പരന്നതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, “ഒരു അങ്കിയുടെ രൂപം”, “തലകളുടെ രൂപം” എന്നിവ ഒരുപോലെ സാധ്യമാണെന്ന് കണക്കാക്കാനാവില്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അതിനാൽ, ക്ലാസിക്കൽ സ്കീം അനുസരിച്ച് പ്രോബബിലിറ്റി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഈ കേസിൽ ബാധകമല്ല.

എന്നിരുന്നാലും, നടത്തിയ ട്രയലുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഇവന്റ് എത്ര തവണ സംഭവിക്കും എന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യത കണക്കാക്കുന്നതിന് മറ്റൊരു സമീപനമുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ നിർവചനം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റിഇവന്റ് A എന്നത് നടത്തിയ n ട്രയലുകളിൽ ഈ സംഭവത്തിന്റെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി (ആവൃത്തി) ആണ്, അതായത്.

,

(1.2)

എവിടെ പി*(എ)- ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റി എ; w(A)- സംഭവത്തിന്റെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി എ; എം- ഇവന്റ് നടന്ന ട്രയലുകളുടെ എണ്ണം എ; എൻ- ആകെ ടെസ്റ്റുകളുടെ എണ്ണം.

ഗണിത സാധ്യതയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി പി(എ), ക്ലാസിക്കൽ ഡെഫനിഷൻ, സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ പരിഗണിക്കുന്നു പി*(എ)ഒരു സ്വഭാവമാണ് അനുഭവിച്ചിട്ടുണ്ട്, പരീക്ഷണാത്മക. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രോബബിലിറ്റി എആപേക്ഷിക ആവൃത്തി സ്ഥിരപ്പെടുത്തുന്ന സംഖ്യയാണ് (സെറ്റ്) w(A)ഒരേ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് കീഴിൽ നടത്തിയ പരിശോധനകളുടെ എണ്ണത്തിൽ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനവ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഷൂട്ടറിനെക്കുറിച്ച് അവർ 0.95 സംഭാവ്യതയോടെ ലക്ഷ്യത്തിലെത്തുമെന്ന് അവർ പറയുമ്പോൾ, ചില വ്യവസ്ഥകളിൽ (ഒരേ അകലത്തിൽ ഒരേ ലക്ഷ്യം, ഒരേ റൈഫിൾ മുതലായവ) അവൻ തൊടുത്ത നൂറുകണക്കിന് ഷോട്ടുകളിൽ നിന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. ), ശരാശരി 95 വിജയികളുണ്ട്. സ്വാഭാവികമായും, ഓരോ നൂറിലും 95 വിജയകരമായ ഷോട്ടുകൾ ഉണ്ടാകില്ല, ചിലപ്പോൾ കുറവായിരിക്കും, ചിലപ്പോൾ കൂടുതൽ ആയിരിക്കും, എന്നാൽ ശരാശരി, ഒരേ അവസ്ഥയിൽ പലതവണ ഷൂട്ടിംഗ് ആവർത്തിക്കുമ്പോൾ, ഹിറ്റുകളുടെ ഈ ശതമാനം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരും. ഷൂട്ടറുടെ കഴിവിന്റെ സൂചകമായി വർത്തിക്കുന്ന 0.95 എന്ന കണക്ക് സാധാരണയായി വളരെ കൂടുതലാണ് സ്ഥിരതയുള്ള, അതായത്. മിക്ക ഷൂട്ടിംഗുകളിലെയും ഹിറ്റുകളുടെ ശതമാനം ഒരു നിശ്ചിത ഷൂട്ടറിന് ഏതാണ്ട് തുല്യമായിരിക്കും, അപൂർവ സന്ദർഭങ്ങളിൽ മാത്രമേ അതിന്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് കാര്യമായി വ്യതിചലിക്കുന്നുള്ളൂ.

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനത്തിന്റെ മറ്റൊരു പോരായ്മ ( 1.1 ) അതിന്റെ ഉപയോഗം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നത്, സാധ്യമായ പരീക്ഷണ ഫലങ്ങളുടെ പരിമിതമായ എണ്ണം അത് അനുമാനിക്കുന്നു എന്നതാണ്. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ജ്യാമിതീയ നിർവ്വചനം ഉപയോഗിച്ച് ഈ പോരായ്മ മറികടക്കാൻ കഴിയും, അതായത്. ഒരു നിശ്ചിത പ്രദേശത്ത് (സെഗ്മെന്റ്, ഒരു വിമാനത്തിന്റെ ഭാഗം മുതലായവ) വീഴുന്ന ഒരു പോയിന്റിന്റെ സംഭാവ്യത കണ്ടെത്തുന്നു.

പരന്ന രൂപം അനുവദിക്കുക ജിഒരു പരന്ന രൂപത്തിന്റെ ഭാഗമാണ് ജി(ചിത്രം 1.1). അനുയോജ്യം ജിഒരു ഡോട്ട് ക്രമരഹിതമായി എറിയപ്പെടുന്നു. ഇതിനർത്ഥം മേഖലയിലെ എല്ലാ പോയിന്റുകളും എന്നാണ് ജിഎറിഞ്ഞ ക്രമരഹിതമായ ഒരു പോയിന്റ് അതിനെ ബാധിക്കുമോ എന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് "തുല്യ അവകാശങ്ങൾ". ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത എന്ന് അനുമാനിക്കുന്നു എ- എറിഞ്ഞ പോയിന്റ് ചിത്രത്തിൽ തട്ടുന്നു ജി- ഈ കണക്കിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് ആനുപാതികമാണ്, അത് ആപേക്ഷികമായി അതിന്റെ സ്ഥാനത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല ജി, ഫോമിൽ നിന്നല്ല ജി, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും

സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൽ, മനുഷ്യ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ മറ്റ് മേഖലകളിലോ പ്രകൃതിയിലോ പോലെ, കൃത്യമായി പ്രവചിക്കാൻ കഴിയാത്ത സംഭവങ്ങളെ നമ്മൾ നിരന്തരം കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ, ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ വിൽപ്പന അളവ് ഡിമാൻഡിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അത് ഗണ്യമായി വ്യത്യാസപ്പെടാം, കൂടാതെ കണക്കിലെടുക്കാൻ ഏതാണ്ട് അസാധ്യമായ മറ്റ് നിരവധി ഘടകങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഉൽപ്പാദനം സംഘടിപ്പിക്കുകയും വിൽപ്പന നടത്തുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം മുൻ അനുഭവം, അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് ആളുകളുടെ സമാന അനുഭവം അല്ലെങ്കിൽ അവബോധം എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലം നിങ്ങൾ പ്രവചിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത് ഒരു വലിയ പരിധി വരെ പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

സംശയാസ്പദമായ ഇവന്റ് എങ്ങനെയെങ്കിലും വിലയിരുത്തുന്നതിന്, ഈ ഇവന്റ് രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ കണക്കിലെടുക്കുകയോ പ്രത്യേകം സംഘടിപ്പിക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

സംശയാസ്പദമായ ഇവന്റ് തിരിച്ചറിയാൻ ചില വ്യവസ്ഥകൾ അല്ലെങ്കിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കുന്നത് വിളിക്കുന്നു അനുഭവംഅഥവാ പരീക്ഷണം.

എന്ന പേരിലാണ് പരിപാടി ക്രമരഹിതമായ, അനുഭവത്തിന്റെ ഫലമായി അത് സംഭവിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ സംഭവിക്കാതിരിക്കാം.

എന്ന പേരിലാണ് പരിപാടി വിശ്വസനീയമായ, നൽകിയ അനുഭവത്തിന്റെ ഫലമായി അത് അനിവാര്യമായും ദൃശ്യമാകുകയാണെങ്കിൽ, ഒപ്പം അസാധ്യം, ഈ അനുഭവത്തിൽ അത് ദൃശ്യമാകുന്നില്ലെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്, നവംബർ 30 ന് മോസ്കോയിൽ മഞ്ഞുവീഴ്ച ഒരു ക്രമരഹിത സംഭവമാണ്. ദിവസേനയുള്ള സൂര്യോദയം വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവമായി കണക്കാക്കാം. ഭൂമധ്യരേഖയിൽ മഞ്ഞ് വീഴുന്നത് അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവമായി കണക്കാക്കാം.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രധാന ജോലികളിലൊന്ന് ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയുടെ അളവ് അളക്കുക എന്നതാണ്.

സംഭവങ്ങളുടെ ബീജഗണിതം

ഒരേ അനുഭവത്തിൽ ഒരുമിച്ച് നിരീക്ഷിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ സംഭവങ്ങളെ പൊരുത്തക്കേട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഒരേ സമയം വിൽപ്പനയ്ക്കായി ഒരു സ്റ്റോറിൽ രണ്ട്, മൂന്ന് കാറുകളുടെ സാന്നിധ്യം രണ്ട് പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങളാണ്.

തുകഇവന്റുകൾ ഈ ഇവന്റുകളിലൊന്നെങ്കിലും സംഭവിക്കുന്ന ഒരു സംഭവമാണ്

ഇവന്റുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഒരു ഉദാഹരണം സ്റ്റോറിൽ കുറഞ്ഞത് രണ്ട് ഉൽപ്പന്നങ്ങളിൽ ഒന്നിന്റെ സാന്നിധ്യമാണ്.

ജോലിഈ സംഭവങ്ങളുടെയെല്ലാം ഒരേസമയം സംഭവിക്കുന്ന ഒരു സംഭവമാണ് ഇവന്റുകൾ

ഒരു സ്റ്റോറിൽ ഒരേ സമയം രണ്ട് സാധനങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന ഒരു ഇവന്റ് ഇവന്റുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമാണ്: - ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ രൂപം, - മറ്റൊരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ രൂപം.

അവയിലൊന്നെങ്കിലും അനുഭവത്തിൽ സംഭവിക്കുമെന്ന് ഉറപ്പാണെങ്കിൽ ഇവന്റുകൾ ഇവന്റുകളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പായി മാറുന്നു.

ഉദാഹരണം.കപ്പലുകൾ സ്വീകരിക്കുന്നതിന് തുറമുഖത്ത് രണ്ട് ബെർത്തുകളുണ്ട്. മൂന്ന് സംഭവങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം: - ബെർത്തുകളിൽ കപ്പലുകളുടെ അഭാവം, - ഒരു ബെർത്തിൽ ഒരു കപ്പലിന്റെ സാന്നിധ്യം, - രണ്ട് ബെർത്തുകളിൽ രണ്ട് കപ്പലുകളുടെ സാന്നിധ്യം. ഈ മൂന്ന് സംഭവങ്ങളും ഇവന്റുകളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പാണ്.

എതിർവശത്ത്ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പുണ്ടാക്കുന്ന രണ്ട് അദ്വിതീയ സംഭവങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു.

വിപരീത സംഭവങ്ങളിൽ ഒന്നിനെ സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വിപരീത സംഭവത്തെ സാധാരണയായി സൂചിപ്പിക്കും.

ഇവന്റ് പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ, സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ നിർവചനങ്ങൾ

പരീക്ഷണങ്ങളുടെ (പരീക്ഷണങ്ങൾ) തുല്യമായി സാധ്യമായ ഓരോ ഫലങ്ങളെയും പ്രാഥമിക ഫലം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അവ സാധാരണയായി അക്ഷരങ്ങളാൽ നിയുക്തമാക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഡൈ എറിയപ്പെടുന്നു. വശങ്ങളിലെ പോയിന്റുകളുടെ എണ്ണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ആകെ ആറ് പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം.

പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഇവന്റ് സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും. അതിനാൽ, ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ഇവന്റ് മൂന്ന് ഫലങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: 2, 4, 6.

സംശയാസ്‌പദമായ സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയുടെ ഒരു അളവ് അളവ് പ്രോബബിലിറ്റിയാണ്.

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയുടെ ഏറ്റവും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന നിർവചനങ്ങൾ ഇവയാണ്: ക്ലാസിക്ഒപ്പം സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക്.

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനം അനുകൂലമായ ഒരു ഫലത്തിന്റെ ആശയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഫലം വിളിക്കുന്നു അനുകൂലമായഒരു തന്നിരിക്കുന്ന ഇവന്റിന് അതിന്റെ സംഭവം ഈ സംഭവത്തിന്റെ സംഭവത്തിന് കാരണമാകുന്നുവെങ്കിൽ.

മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിൽ, സംശയാസ്‌പദമായ ഇവന്റിന്-റോൾ ചെയ്‌ത വശത്ത് ഇരട്ട പോയിന്റുകളുടെ എണ്ണം-മൂന്ന് അനുകൂല ഫലങ്ങൾ ഉണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ജനറൽ
സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം. ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവ്വചനം ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കാമെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ക്ലാസിക് നിർവചനംഅനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണവും സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്

ഇവന്റിന്റെ പ്രോബബിലിറ്റി എവിടെയാണ്, ഇവന്റിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം, സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണം.

പരിഗണിച്ച ഉദാഹരണത്തിൽ

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ നിർവചനം പരീക്ഷണങ്ങളിൽ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി എന്ന ആശയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു

പരീക്ഷണങ്ങളുടെ (ടെസ്റ്റുകൾ) ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം എവിടെയാണ്.

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ നിർവചനം. പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൽ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനയോടെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി സ്ഥിരപ്പെടുത്തുന്ന (സെറ്റ്) സംഖ്യയാണ് ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത.

പ്രായോഗിക പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത, മതിയായ എണ്ണം ട്രയലുകളുടെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തിയായി കണക്കാക്കുന്നു.

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയുടെ ഈ നിർവചനങ്ങളിൽ നിന്ന് അസമത്വം എല്ലായ്പ്പോഴും തൃപ്തികരമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്

ഫോർമുല (1.1) അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത നിർണ്ണയിക്കാൻ, കോമ്പിനേറ്ററിക്സ് ഫോർമുലകൾ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, അവ അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണവും സാധ്യമായ ഫലങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണവും കണ്ടെത്താൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത ഈ സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയുടെ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യാ സ്വഭാവമായി മനസ്സിലാക്കുന്നു. പ്രോബബിലിറ്റി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിന് നിരവധി സമീപനങ്ങളുണ്ട്.

സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത എഈ സംഭവത്തിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ അനുപാതം, സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പിനെ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന തുല്യമായി സാധ്യമായ എല്ലാ പൊരുത്തമില്ലാത്ത പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെയും ആകെ എണ്ണത്തിലേക്കുള്ള അനുപാതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത എഫോർമുലയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു

എവിടെ എം- അനുകൂലമായ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം എ, എൻ- സാധ്യമായ എല്ലാ പ്രാഥമിക പരിശോധന ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണം.

ഉദാഹരണം 3.1.ഒരു ഡൈ എറിയുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു പരീക്ഷണത്തിൽ, എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണം എൻ 6 ന് തുല്യമാണ്, അവയെല്ലാം ഒരുപോലെ സാധ്യമാണ്. സംഭവം നടക്കട്ടെ എഇരട്ട സംഖ്യയുടെ രൂപം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. അപ്പോൾ ഈ ഇവന്റിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങൾ 2, 4, 6 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ രൂപമായിരിക്കും. അവയുടെ സംഖ്യ 3 ആണ്. അതിനാൽ, സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത എതുല്യമാണ്

ഉദാഹരണം 3.2.ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു രണ്ടക്ക സംഖ്യയ്ക്ക് ഒരേ അക്കങ്ങൾ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

രണ്ട് അക്ക സംഖ്യകൾ 10 മുതൽ 99 വരെയുള്ള സംഖ്യകളാണ്, മൊത്തത്തിൽ അത്തരം 90 സംഖ്യകളുണ്ട്. 9 അക്കങ്ങൾക്ക് സമാനമായ അക്കങ്ങളുണ്ട് (ഇവ 11, 22, ..., 99 സംഖ്യകളാണ്). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുതൽ എം=9, എൻ=90, അപ്പോൾ

എവിടെ എ- ഇവന്റ്, "ഒരേ അക്കങ്ങളുള്ള ഒരു സംഖ്യ."

ഉദാഹരണം 3.3. 10 ഭാഗങ്ങളുള്ള ഒരു ബാച്ചിൽ 7 എണ്ണം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആണ്. ക്രമരഹിതമായി എടുത്ത ആറ് ഭാഗങ്ങളിൽ 4 എണ്ണം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആയിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

സാധ്യമായ പ്രാഥമിക പരിശോധന ഫലങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണം 10 ൽ നിന്ന് 6 ഭാഗങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയുന്ന രീതികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, 6 മൂലകങ്ങൾ വീതമുള്ള 10 മൂലകങ്ങളുടെ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം. ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള സംഭവത്തിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം എ(എടുത്ത ആറ് ഭാഗങ്ങളിൽ 4 സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഭാഗങ്ങളുണ്ട്). നാല് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഭാഗങ്ങൾ ഏഴ് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഭാഗങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ എടുക്കാം; അതേ സമയം, ശേഷിക്കുന്ന 6-4=2 ഭാഗങ്ങൾ നിലവാരമില്ലാത്തതായിരിക്കണം, എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് 10-7=3 നിലവാരമില്ലാത്ത ഭാഗങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ രണ്ട് നിലവാരമില്ലാത്ത ഭാഗങ്ങൾ എടുക്കാം. അതിനാൽ, അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണ്.

അപ്പോൾ ആവശ്യമായ പ്രോബബിലിറ്റി തുല്യമാണ്

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നു:

1. വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

തീർച്ചയായും, ഇവന്റ് വിശ്വസനീയമാണെങ്കിൽ, പരിശോധനയുടെ എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളും ഇവന്റിന് അനുകൂലമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ m=n, അതിനാൽ

2. അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത പൂജ്യമാണ്.

തീർച്ചയായും, ഒരു സംഭവം അസാധ്യമാണെങ്കിൽ, പരിശോധനയുടെ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളൊന്നും ഇവന്റിനെ അനുകൂലിക്കുന്നില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അത് അർത്ഥമാക്കുന്നത്

3. ക്രമരഹിതമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത പൂജ്യത്തിനും ഒന്നിനും ഇടയിലുള്ള പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.

തീർച്ചയായും, ടെസ്റ്റിന്റെ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗം മാത്രമേ റാൻഡം ഇവന്റിന് അനുകൂലമായിട്ടുള്ളൂ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ< എം< n, 0 എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് < m/n < 1, അതായത് 0< പി(എ) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

ഒരു റാൻഡം സംഭവത്തിന്റെ അച്ചുതണ്ട് നിർവ്വചനത്തെയും അതിന്റെ പ്രോബബിലിറ്റിയെയും അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ യുക്തിസഹമായ പൂർണ്ണമായ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ നിർമ്മാണം. A. N. Kolmogorov നിർദ്ദേശിച്ച സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ സമ്പ്രദായത്തിൽ, നിർവചിക്കപ്പെടാത്ത ആശയങ്ങൾ ഒരു പ്രാഥമിക സംഭവവും സാധ്യതയുമാണ്. പ്രോബബിലിറ്റി നിർവചിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഇതാ:

1. ഓരോ ഇവന്റ് എഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് റിയൽ നമ്പർ നൽകി പി(എ). ഈ സംഖ്യയെ ഇവന്റിന്റെ പ്രോബബിലിറ്റി എന്ന് വിളിക്കുന്നു എ.

2. വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

3. ജോടിയായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഇവന്റുകളിലൊന്നെങ്കിലും ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത ഈ ഇവന്റുകളുടെ സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ ഗുണങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ആശ്രിതത്വങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളായി ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്.

സ്വയം പരിശോധനാ ചോദ്യങ്ങൾ

1. ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയുടെ സംഖ്യാ സ്വഭാവത്തിന്റെ പേരെന്താണ്?

2. ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത എന്താണ്?

3. വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത എന്താണ്?

4. അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത എന്താണ്?

5. ക്രമരഹിതമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയുടെ പരിധികൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

6. ഏതെങ്കിലും സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയുടെ പരിധികൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

7. പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ഏത് നിർവചനത്തെ ക്ലാസിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു?

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ

പ്ലാൻ:

1. ക്രമരഹിതമായ ഇവന്റുകൾ

2. പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക് നിർവചനം

3. ഇവന്റ് പ്രോബബിലിറ്റികളുടെയും കോമ്പിനേറ്ററിക്സുകളുടെയും കണക്കുകൂട്ടൽ

4. ജ്യാമിതീയ സാധ്യത

സൈദ്ധാന്തിക വിവരങ്ങൾ

ക്രമരഹിതമായ ഇവന്റുകൾ.

ക്രമരഹിതമായ പ്രതിഭാസം- ഫലം വ്യക്തമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ലാത്ത ഒരു പ്രതിഭാസം. ഈ ആശയം സാമാന്യം വിശാലമായ അർത്ഥത്തിൽ വ്യാഖ്യാനിക്കാം. അതായത്: പ്രകൃതിയിലെ എല്ലാം തികച്ചും ക്രമരഹിതമാണ്, ഏതൊരു വ്യക്തിയുടെയും രൂപവും ജനനവും ഒരു യാദൃശ്ചിക പ്രതിഭാസമാണ്, ഒരു സ്റ്റോറിൽ ഒരു ഉൽപ്പന്നം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതും ഒരു ക്രമരഹിതമായ പ്രതിഭാസമാണ്, പരീക്ഷയിൽ ഗ്രേഡ് നേടുന്നത് ക്രമരഹിതമായ ഒരു പ്രതിഭാസമാണ്, രോഗവും വീണ്ടെടുക്കലും ക്രമരഹിതമായ പ്രതിഭാസങ്ങളാണ്. , തുടങ്ങിയവ.

ക്രമരഹിതമായ പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

~ ഒരു നിശ്ചിത കോണിൽ തിരശ്ചീനമായി ഘടിപ്പിച്ച തോക്കിൽ നിന്നാണ് വെടിവയ്പ്പ് നടത്തുന്നത്. ലക്ഷ്യത്തിലെത്തുന്നത് ആകസ്മികമാണ്, എന്നാൽ ഒരു നിശ്ചിത "ഫോർക്ക്" തട്ടുന്ന പ്രൊജക്റ്റൈൽ ഒരു പാറ്റേൺ ആണ്. പ്രൊജക്‌ടൈൽ പറക്കാത്തതും അതിനേക്കാളും അടുത്തുള്ള ദൂരം നിങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയും. നിങ്ങൾക്ക് ഒരുതരം "പ്രൊജക്റ്റൈൽ ഡിസ്പർഷൻ ഫോർക്ക്" ലഭിക്കും

~ ഒരേ ശരീരം പലതവണ തൂക്കിയിരിക്കുന്നു. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഓരോ തവണയും നിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ഫലങ്ങൾ ലഭിക്കും, അവ നിസ്സാരമായ അളവിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടാലും, അവ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും.

~ ഒരേ റൂട്ടിലൂടെ പറക്കുന്ന ഒരു വിമാനത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക ഫ്ലൈറ്റ് കോറിഡോർ ഉണ്ട്, അതിനുള്ളിൽ വിമാനത്തിന് കുതിച്ചുകയറാൻ കഴിയും, എന്നാൽ അതിന് ഒരിക്കലും ഒരേ റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കില്ല.

~ ഒരു കായികതാരത്തിന് ഒരേ സമയം ഒരേ ദൂരം ഓടാൻ കഴിയില്ല. അതിന്റെ ഫലങ്ങളും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യാ പരിധിക്കുള്ളിലായിരിക്കും.

അനുഭവം, പരീക്ഷണം, നിരീക്ഷണം എന്നിവയാണ് പരീക്ഷണങ്ങൾ

വിചാരണ- ആവർത്തിച്ച് നടപ്പിലാക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത വ്യവസ്ഥകളുടെ നിരീക്ഷണം അല്ലെങ്കിൽ പൂർത്തീകരണം, ഒരേ ക്രമത്തിലും ദൈർഘ്യത്തിലും മറ്റ് സമാന പാരാമീറ്ററുകൾ പാലിച്ചും പതിവായി ആവർത്തിക്കുന്നു.

ഒരു കായികതാരം ലക്ഷ്യത്തിൽ വെടിയുതിർത്തത് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. അത് നടപ്പിലാക്കുന്നതിന്, അത്ലറ്റിനെ തയ്യാറാക്കുക, ആയുധം കയറ്റുക, ലക്ഷ്യം വെക്കുക തുടങ്ങിയ നിബന്ധനകൾ പാലിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. "ഹിറ്റ്", "മിസ്ഡ്" - ഒരു ഷോട്ടിന്റെ ഫലമായി ഇവന്റുകൾ.

സംഭവം- ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ള പരിശോധന ഫലം.

ഒരു സംഭവം നടക്കുകയോ നടക്കാതിരിക്കുകയോ ചെയ്യാം. ഇവന്റുകൾ വലിയ അക്ഷരങ്ങളിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്: D = "ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യത്തിലെത്തി." S="വെളുത്ത പന്ത് വരച്ചു." കെ="ഒരു ലോട്ടറി ടിക്കറ്റ് വിജയിക്കാതെ ക്രമരഹിതമായി എടുത്തത്.".

ഒരു നാണയം എറിയുന്നത് ഒരു പരീക്ഷണമാണ്. അവളുടെ "കോട്ട് ഓഫ് ആംസ്" വീഴുന്നത് ഒരു സംഭവമാണ്, അവളുടെ "ഡിജിറ്റൽ" വീഴുന്നത് രണ്ടാമത്തെ സംഭവമാണ്.

ഏത് പരിശോധനയിലും നിരവധി സംഭവങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. അവയിൽ ചിലത് ഒരു നിശ്ചിത സമയത്ത് ഗവേഷകന് ആവശ്യമായേക്കാം, മറ്റുള്ളവ ആവശ്യമില്ലായിരിക്കാം.

സംഭവത്തെ റാൻഡം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, എങ്കിൽ, ഒരു നിശ്ചിത വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുമ്പോൾ എസ്അത് ഒന്നുകിൽ സംഭവിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ സംഭവിക്കാതിരിക്കാം. താഴെ പറയുന്ന കാര്യങ്ങളിൽ, "S എന്ന വ്യവസ്ഥയുടെ ഒരു കൂട്ടം പൂർത്തീകരിച്ചു" എന്ന് പറയുന്നതിനുപകരം ഞങ്ങൾ ചുരുക്കമായി പറയും: "പരിശോധന നടത്തി." അതിനാൽ, ഇവന്റ് പരിശോധനയുടെ ഫലമായി കണക്കാക്കും.

~ നാല് മേഖലകളായി തിരിച്ച് ഒരു ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് ഷൂട്ടർ ഷൂട്ട് ചെയ്യുന്നു. ഷോട്ട് ഒരു പരീക്ഷണമാണ്. ടാർഗെറ്റിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത പ്രദേശത്ത് തട്ടുന്നത് ഒരു സംഭവമാണ്.

~ കലത്തിൽ നിറമുള്ള പന്തുകൾ ഉണ്ട്. ഒരു പന്ത് പാത്രത്തിൽ നിന്ന് ക്രമരഹിതമായി എടുക്കുന്നു. ഒരു കലത്തിൽ നിന്ന് ഒരു പന്ത് വീണ്ടെടുക്കുന്നത് ഒരു പരീക്ഷണമാണ്. ഒരു നിശ്ചിത നിറത്തിലുള്ള ഒരു പന്ത് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത് ഒരു സംഭവമാണ്.

ക്രമരഹിതമായ സംഭവങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

1. സംഭവങ്ങളെ പൊരുത്തമില്ലാത്തത് എന്ന് വിളിക്കുന്നുഅവയിലൊന്നിന്റെ സംഭവം അതേ ട്രയലിൽ മറ്റ് സംഭവങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നത് ഒഴിവാക്കുകയാണെങ്കിൽ.

~ ഭാഗങ്ങളുടെ ബോക്സിൽ നിന്ന് ഒരു ഭാഗം ക്രമരഹിതമായി നീക്കംചെയ്യുന്നു. ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഭാഗത്തിന്റെ രൂപം നിലവാരമില്ലാത്ത ഭാഗത്തിന്റെ രൂപം ഇല്ലാതാക്കുന്നു. ഇവന്റുകൾ € ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഭാഗം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു" കൂടാതെ നിലവാരമില്ലാത്ത ഭാഗം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു" - പൊരുത്തമില്ല.

~ ഒരു നാണയം എറിഞ്ഞു. "കോട്ട് ഓഫ് ആംസ്" ന്റെ രൂപം ലിഖിതത്തിന്റെ രൂപം ഒഴിവാക്കുന്നു. “ഒരു അങ്കി പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു”, “ഒരു ലിഖിതം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു” എന്നീ സംഭവങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല.

നിരവധി സംഭവങ്ങൾ രൂപപ്പെടുന്നു മുഴുവൻ ഗ്രൂപ്പ്,പരിശോധനയുടെ ഫലമായി അവയിലൊന്നെങ്കിലും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഒരു സംഭവമെങ്കിലും സംഭവിക്കുന്നത് വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവമാണ്.

പ്രത്യേകിച്ചും, സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പ് രൂപീകരിക്കുന്ന ഇവന്റുകൾ ജോടിയായി പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണെങ്കിൽ, പരിശോധനയുടെ ഫലം ഈ ഇവന്റുകളിൽ ഒന്ന് മാത്രമായിരിക്കും. ഈ പ്രത്യേക കേസ് ഞങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും താൽപ്പര്യമുള്ളതാണ്, കാരണം ഇത് കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കും.

~ രണ്ട് പണവും വസ്ത്ര ലോട്ടറി ടിക്കറ്റും വാങ്ങി. ഇനിപ്പറയുന്ന സംഭവങ്ങളിൽ ഒന്ന് മാത്രം സംഭവിക്കുമെന്ന് ഉറപ്പാണ്:

1. "വിജയങ്ങൾ ആദ്യ ടിക്കറ്റിൽ വീണു, രണ്ടാമത്തേതിൽ വീണില്ല"

2. "വിജയങ്ങൾ ആദ്യ ടിക്കറ്റിൽ വീണില്ല, രണ്ടാമത്തേതിൽ വീണു"

3. "വിജയങ്ങൾ രണ്ട് ടിക്കറ്റുകളിലും വീണു",

4. "രണ്ട് ടിക്കറ്റുകളും വിജയിച്ചില്ല."

ഈ ഇവന്റുകൾ ജോടിയായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഇവന്റുകളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പാണ്,

~ ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് നിറയൊഴിച്ചു. ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് സംഭവങ്ങളിൽ ഒന്ന് തീർച്ചയായും സംഭവിക്കും: ഹിറ്റ്, മിസ്സ്. ഈ രണ്ട് പൊരുത്തപ്പെടാത്ത സംഭവങ്ങളും ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പായി മാറുന്നു.

2. ഇവന്റുകൾ വിളിക്കുന്നു തുല്യമായി സാധ്യമാണ്,അവ രണ്ടും മറ്റൊന്നിനേക്കാൾ സാധ്യമല്ലെന്ന് വിശ്വസിക്കാൻ കാരണമുണ്ടെങ്കിൽ.

~ ഒരു "കോട്ട് ഓഫ് ആംസ്" പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതും ഒരു നാണയം എറിയുമ്പോൾ ഒരു ലിഖിതത്തിന്റെ രൂപവും ഒരുപോലെ സാധ്യമായ സംഭവങ്ങളാണ്. തീർച്ചയായും, നാണയം ഒരു ഏകീകൃത പദാർത്ഥം കൊണ്ടാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, ഒരു സാധാരണ സിലിണ്ടർ ആകൃതിയുണ്ട്, കൂടാതെ നാണയത്തിന്റെ ഒരു വശമോ മറ്റൊന്നോ നഷ്ടപ്പെടുന്നതിനെ ബാധിക്കില്ല.

~ എറിഞ്ഞ പകിടകളിൽ ഒന്നോ അതിലധികമോ പോയിന്റുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത് ഒരുപോലെ സാധ്യമായ സംഭവങ്ങളാണ്. തീർച്ചയായും, ഡൈ ഒരു ഏകീകൃത പദാർത്ഥം കൊണ്ടാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, ഒരു സാധാരണ പോളിഹെഡ്രോണിന്റെ ആകൃതിയുണ്ട്, കൂടാതെ പോയിന്റുകളുടെ സാന്നിധ്യം ഏതെങ്കിലും മുഖത്തിന്റെ നഷ്ടത്തെ ബാധിക്കില്ല.

3. ഇവന്റ് വിളിക്കുന്നു വിശ്വസനീയമായ,സഹായിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ സംഭവിക്കാതിരിക്കുക

4. ഇവന്റ് വിളിക്കുന്നു വിശ്വസനീയമല്ലാത്ത, അത് സംഭവിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ.

5. ഇവന്റ് വിളിക്കുന്നു എതിർവശത്ത്ഈ ഇവന്റ് സംഭവിക്കാത്തത് ഉൾക്കൊള്ളുന്നുണ്ടെങ്കിൽ ചില ഇവന്റിലേക്ക്. വിപരീത സംഭവങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല, പക്ഷേ അവയിലൊന്ന് അനിവാര്യമായും സംഭവിക്കണം. വിപരീത സംഭവങ്ങളെ സാധാരണയായി നിഷേധങ്ങളായി നിയോഗിക്കപ്പെടുന്നു, അതായത്. അക്ഷരത്തിന് മുകളിൽ ഒരു ഡാഷ് എഴുതിയിരിക്കുന്നു. വിപരീത സംഭവങ്ങൾ: എ, എ; U, Ū മുതലായവ. .

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക് നിർവചനം

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് പ്രോബബിലിറ്റി.

ഈ ആശയത്തിന് നിരവധി നിർവചനങ്ങൾ ഉണ്ട്. ക്ലാസിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു നിർവചനം നൽകാം. അടുത്തതായി, ഈ നിർവചനത്തിന്റെ ബലഹീനതകൾ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുകയും ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനത്തിന്റെ പോരായ്മകളെ മറികടക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന മറ്റ് നിർവചനങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യും.

സാഹചര്യം പരിഗണിക്കുക: ഒരു ബോക്സിൽ 6 സമാനമായ പന്തുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, 2 ചുവപ്പ്, 3 നീല, 1 വെള്ള. വ്യക്തമായും, ക്രമരഹിതമായി ഒരു കലത്തിൽ നിന്ന് നിറമുള്ള (അതായത്, ചുവപ്പ് അല്ലെങ്കിൽ നീല) പന്ത് വരയ്ക്കാനുള്ള സാധ്യത ഒരു വെളുത്ത പന്ത് വരയ്ക്കാനുള്ള സാധ്യതയേക്കാൾ വലുതാണ്. ഈ സാധ്യതയെ ഒരു സംഖ്യയാൽ വിശേഷിപ്പിക്കാം, അതിനെ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത (നിറമുള്ള പന്തിന്റെ രൂപം) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സാധ്യത- ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയുടെ അളവ് വ്യക്തമാക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യ.

പരിഗണനയിലുള്ള സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു:

ഇവന്റ് എ = "ഒരു നിറമുള്ള പന്ത് പുറത്തെടുക്കുന്നു."

പരിശോധനയുടെ സാധ്യമായ ഓരോ ഫലങ്ങളും (ഒരു പന്തിൽ നിന്ന് ഒരു പന്ത് നീക്കം ചെയ്യുന്നതാണ് ടെസ്റ്റ്) വിളിക്കുന്നത് പ്രാഥമിക (സാധ്യമായ) ഫലവും സംഭവവും.താഴെയുള്ള സൂചികകളുള്ള അക്ഷരങ്ങളാൽ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്: k 1, k 2.

ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ 6 പന്തുകൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ 6 സാധ്യമായ ഫലങ്ങൾ ഉണ്ട്: ഒരു വെളുത്ത പന്ത് ദൃശ്യമാകുന്നു; ഒരു ചുവന്ന പന്ത് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു; ഒരു നീല പന്ത് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, മുതലായവ. ഈ ഫലങ്ങൾ ജോടിയായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പായി മാറുന്നത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ് (ഒരു പന്ത് മാത്രമേ ദൃശ്യമാകൂ) അവ ഒരുപോലെ സാധ്യമാണ് (പന്ത് ക്രമരഹിതമായി വരയ്ക്കുന്നു, പന്തുകൾ സമാനവും നന്നായി മിശ്രിതവുമാണ്).

നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള സംഭവം സംഭവിക്കുന്ന പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളെ നമുക്ക് വിളിക്കാം അനുകൂലമായ ഫലങ്ങൾഈ സംഭവം. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇവന്റ് അനുകൂലമാണ് എ(ഒരു നിറമുള്ള പന്തിന്റെ രൂപം) ഇനിപ്പറയുന്ന 5 ഫലങ്ങൾ:

അങ്ങനെ സംഭവം എപ്രാഥമിക ഫലങ്ങളിൽ ഒന്ന് അനുകൂലമാണെങ്കിൽ നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു എ.ഏത് നിറമുള്ള പന്തിന്റെയും രൂപമാണിത്, അതിൽ 5 എണ്ണം ബോക്സിൽ ഉണ്ട്

പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, 6 പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ ഉണ്ട്; അവരിൽ 5 പേർ ഇവന്റിനെ അനുകൂലിക്കുന്നു എ.അതിനാൽ, പി(എ)= 5/6. ഈ സംഖ്യ ഒരു നിറമുള്ള പന്ത് പ്രത്യക്ഷപ്പെടാനുള്ള സാധ്യതയുടെ അളവ് വിലയിരുത്തുന്നു.

സാധ്യതയുടെ നിർവ്വചനം:

സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത എഈ സംഭവത്തിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ അനുപാതം, സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പിനെ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന തുല്യമായി സാധ്യമായ എല്ലാ പൊരുത്തമില്ലാത്ത പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെയും ആകെ എണ്ണത്തിലേക്കുള്ള അനുപാതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

P(A)=m/n അല്ലെങ്കിൽ P(A)=m: n, എവിടെ:

m എന്നത് അനുകൂലമായ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ് എ;

പി- സാധ്യമായ എല്ലാ പ്രാഥമിക പരിശോധന ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണം.

പ്രാഥമിക പരിണതഫലങ്ങൾ പൊരുത്തമില്ലാത്തതും തുല്യസാധ്യതയുള്ളതും ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പായി മാറുന്നതും ഇവിടെ അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു.

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നു:

1. വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

തീർച്ചയായും, ഇവന്റ് വിശ്വസനീയമാണെങ്കിൽ, പരിശോധനയുടെ എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളും ഇവന്റിന് അനുകൂലമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ m = nഅതിനാൽ p=1

2. അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത പൂജ്യമാണ്.

തീർച്ചയായും, ഒരു സംഭവം അസാധ്യമാണെങ്കിൽ, പരിശോധനയുടെ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളൊന്നും ഇവന്റിനെ അനുകൂലിക്കുന്നില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ m=0, അതിനാൽ p=0.

3.ക്രമരഹിതമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത പൂജ്യത്തിനും ഒന്നിനും ഇടയിലുള്ള പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. 0ടി< n.

തുടർന്നുള്ള വിഷയങ്ങളിൽ, ചില സംഭവങ്ങളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന സാധ്യതകൾ ഉപയോഗിച്ച് മറ്റ് സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ കണ്ടെത്താൻ ഒരാളെ അനുവദിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ നൽകും.

അളവ്. വിദ്യാർത്ഥികളുടെ സംഘത്തിൽ 6 പെൺകുട്ടികളും 4 ആൺകുട്ടികളുമുണ്ട്. ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ട ഒരു വിദ്യാർത്ഥി ഒരു പെൺകുട്ടിയാകാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്? ഒരു ചെറുപ്പക്കാരൻ ഉണ്ടാകുമോ?

p dev = 6 / 10 =0.6 p yun = 4 / 10 = 0.4

ആധുനിക കർക്കശമായ പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി കോഴ്സുകളിലെ "പ്രോബബിലിറ്റി" എന്ന ആശയം ഒരു സെറ്റ്-തിയറിറ്റിക് അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഈ സമീപനത്തിന്റെ ചില വശങ്ങൾ നോക്കാം.

പരിശോധനയുടെ ഫലമായി സംഭവങ്ങളിൽ ഒന്ന് മാത്രം സംഭവിക്കട്ടെ: w i(i=1, 2, .... p). ഇവന്റുകൾ w i- വിളിച്ചു പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങൾ (പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ). കുറിച്ച്പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങൾ ജോടിയായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. ഒരു ടെസ്റ്റിൽ സംഭവിക്കാവുന്ന എല്ലാ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെയും കൂട്ടത്തെ വിളിക്കുന്നു പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെ ഇടംΩ (ഗ്രീക്ക് വലിയ അക്ഷരം ഒമേഗ), കൂടാതെ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങൾ തന്നെ ഈ സ്ഥലത്തിന്റെ പോയിന്റുകൾ..

സംഭവം എഒരു ഉപവിഭാഗം (സ്പേസ് Ω) ഉപയോഗിച്ച് തിരിച്ചറിഞ്ഞു, ഇവയുടെ ഘടകങ്ങൾ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങൾ അനുകൂലമാണ് എ;സംഭവം INഒരു ഉപഗണമാണ് Ω അതിന്റെ ഘടകങ്ങൾ അനുകൂലമായ ഫലങ്ങൾ ആണ് IN,അങ്ങനെ, ഒരു ടെസ്റ്റിൽ സംഭവിക്കാവുന്ന എല്ലാ സംഭവങ്ങളുടെയും ഗണമാണ് Ω യുടെ എല്ലാ ഉപവിഭാഗങ്ങളുടെയും ഗണം. Ω തന്നെ ടെസ്റ്റിന്റെ ഏത് ഫലത്തിനും സംഭവിക്കുന്നു, അതിനാൽ Ω ഒരു വിശ്വസനീയമായ സംഭവമാണ്; സ്ഥലത്തിന്റെ ഒരു ശൂന്യമായ ഉപവിഭാഗം Ω - അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവമാണ് (ഇത് പരീക്ഷയുടെ ഒരു ഫലത്തിലും സംഭവിക്കുന്നില്ല).

എലിമെന്ററി ഇവന്റുകൾ എല്ലാ വിഷയ സംഭവങ്ങളിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമാണ്, “അവയിൽ ഓരോന്നിലും ഒരു ഘടകം മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ Ω

എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളും w iഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുത്തുക പി ഐ- ഈ ഫലത്തിന്റെ സംഭാവ്യത, എല്ലാറ്റിന്റെയും ആകെത്തുക പി ഐ 1 ന് തുല്യമോ ഒരു തുക ചിഹ്നമോ ഉപയോഗിച്ച്, ഈ വസ്തുത ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ എഴുതപ്പെടും:

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, സാധ്യത പി(എ)സംഭവങ്ങൾ എഅനുകൂലമായ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് എ.അതിനാൽ, വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവം പൂജ്യമാണ്, ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ ഇവന്റ് പൂജ്യത്തിനും ഒന്നിനും ഇടയിലാണ്.

എല്ലാ ഫലങ്ങളും ഒരുപോലെ സാധ്യമാകുമ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു പ്രധാന പ്രത്യേക കേസ് പരിഗണിക്കാം, ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം n ആണ്, എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുക ഒന്നിന് തുല്യമാണ്; അതിനാൽ, ഓരോ ഫലത്തിന്റെയും സംഭാവ്യത 1/p ആണ്. സംഭവം നടക്കട്ടെ എ m ഫലങ്ങളെ അനുകൂലിക്കുന്നു.

സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത എഅനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് എ:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ഒരു ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനം ലഭിച്ചു.

അവിടെയും ഉണ്ട് അച്ചുതണ്ട്"സാധ്യത" എന്ന ആശയത്തിലേക്കുള്ള സമീപനം. നിർദ്ദേശിച്ച സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ സമ്പ്രദായത്തിൽ. Kolmogorov A.N., നിർവചിക്കപ്പെടാത്ത ആശയങ്ങൾ ഒരു പ്രാഥമിക സംഭവവും സാധ്യതയുമാണ്. ഒരു റാൻഡം സംഭവത്തിന്റെ അച്ചുതണ്ട് നിർവ്വചനത്തെയും അതിന്റെ പ്രോബബിലിറ്റിയെയും അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ യുക്തിസഹമായ പൂർണ്ണമായ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ നിർമ്മാണം.

പ്രോബബിലിറ്റി നിർവചിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഇതാ:

1. ഓരോ ഇവന്റ് എഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് റിയൽ നമ്പർ നൽകി ആർ(എ).ഈ സംഖ്യയെ ഇവന്റിന്റെ പ്രോബബിലിറ്റി എന്ന് വിളിക്കുന്നു എ.

2. വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത ഒന്നിന് തുല്യമാണ്:

3. ജോടിയായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഇവന്റുകളിലൊന്നെങ്കിലും ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത ഈ ഇവന്റുകളുടെ സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ ഗുണങ്ങളും അവ തമ്മിലുള്ള ആശ്രിതത്വവും സിദ്ധാന്തങ്ങളായി ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്.

ക്രമരഹിത സംഭവങ്ങളുടെ പാറ്റേണുകൾ പഠിക്കുന്ന ഒരു ഗണിത ശാസ്ത്രമാണ് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം. ഒരു പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് പരീക്ഷണം (ടെസ്റ്റ്, നിരീക്ഷണം) ഒരു പരീക്ഷണമാണ്, അതിന്റെ ഫലം മുൻകൂട്ടി പ്രവചിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഈ പരീക്ഷണത്തിൽ, ഏത് ഫലവും (ഫലം) ആണ് സംഭവം.

സംഭവം ആവാം വിശ്വസനീയമായ(എപ്പോഴും ഒരു പരിശോധനയുടെ ഫലമായി സംഭവിക്കുന്നത്); അസാധ്യം(വ്യക്തമായും പരിശോധനയ്ക്കിടെ സംഭവിക്കുന്നില്ല); ക്രമരഹിതമായ(ഈ പരീക്ഷണത്തിന്റെ സാഹചര്യങ്ങളിൽ സംഭവിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ സംഭവിക്കാതിരിക്കാം).

ലളിതമായ സംഭവങ്ങളായി വിഭജിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു സംഭവത്തെ വിളിക്കുന്നു പ്രാഥമിക.നിരവധി പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളുടെ സംയോജനമായി അവതരിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സംഭവത്തെ വിളിക്കുന്നു സങ്കീർണ്ണമായ(കമ്പനിക്ക് നഷ്ടം സംഭവിച്ചില്ല - ലാഭം പോസിറ്റീവോ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമോ ആകാം).

ഒരേസമയം സംഭവിക്കാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് സംഭവങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു (നികുതി വർദ്ധനവ് - ഡിസ്പോസിബിൾ വരുമാനത്തിൽ വർദ്ധനവ്; നിക്ഷേപത്തിൽ വർദ്ധനവ് - അപകടസാധ്യത കുറയുന്നു) പൊരുത്തമില്ലാത്ത.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അവയിലൊന്നിന്റെ സംഭവം മറ്റൊന്നിന്റെ സംഭവത്തെ ഒഴിവാക്കിയാൽ രണ്ട് സംഭവങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. അല്ലാത്തപക്ഷം അവർ സംയുക്ത(വിൽപന അളവിൽ വർദ്ധനവ് - ലാഭത്തിൽ വർദ്ധനവ്). ഇവന്റുകൾ വിളിക്കുന്നു എതിർ,അവയിലൊന്ന് സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, മറ്റൊന്ന് സംഭവിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ മാത്രം (ഉൽപ്പന്നം വിൽക്കുന്നു - ഉൽപ്പന്നം വിൽക്കുന്നില്ല).

സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത -സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതയുടെ തോത് അനുസരിച്ച് ഇവന്റുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യാൻ അവതരിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യാ അളവാണിത്.

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക് നിർവചനം.സാധ്യത ആർ(എ) ഇവന്റുകൾ എസംഖ്യ അനുപാതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു എംസംഭവത്തിന്റെ സംഭവവികാസത്തിന് അനുകൂലമായ ഒരുപോലെ സാധ്യമായ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങൾ (ഫലങ്ങൾ). എ, മൊത്തം സംഖ്യയിലേക്ക് എൻഈ പരീക്ഷണത്തിന്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫലങ്ങളും:

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ മുകളിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു:

1.0 £ ആർ(എ) £ 1.

2. ഒരു നിശ്ചിത സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത എതുല്യം 1: ആർ(എ) = 1.

3. അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത A 0 ആണ്: ആർ(എ) = 0.

4. ഇവന്റുകൾ എങ്കിൽ എഒപ്പം INപൊരുത്തമില്ലാത്തവയാണ്, അപ്പോൾ ആർ(എ + IN) = ആർ(എ) + ആർ(IN); സംഭവങ്ങൾ എങ്കിൽ എഒപ്പം INസംയുക്തമാണ്, അപ്പോൾ ആർ(എ + IN) = ആർ(എ) + ആർ(IN) - ആർ(എ . ബി).(ആർ(എ . ബി)ഈ സംഭവങ്ങളുടെ സംയുക്ത സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യതയാണ്).

5. എങ്കിൽ എപിന്നെ വിപരീത സംഭവങ്ങളും ആർ() = 1 - ആർ(എ).

ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത മറ്റൊരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയെ മാറ്റുന്നില്ലെങ്കിൽ, അത്തരം സംഭവങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു സ്വതന്ത്രമായ.

സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ നേരിട്ട് കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഒരു വലിയ എണ്ണം ഫലങ്ങളാൽ, കോമ്പിനേറ്ററിക്സ് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കണം. ഒരു കൂട്ടം സംഭവങ്ങൾ പഠിക്കാൻ (അനുമാനങ്ങൾ)

മൊത്തം പ്രോബബിലിറ്റി, ബയേസ്, ബെർണൂലി എന്നിവയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു ( എൻസ്വതന്ത്ര പരിശോധനകൾ - പരീക്ഷണങ്ങളുടെ ആവർത്തനം).

ചെയ്തത് സംഭാവ്യതയുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ നിർണ്ണയംസംഭവങ്ങൾ എകീഴിൽ എൻഇവന്റ് യഥാർത്ഥത്തിൽ നടത്തിയ മൊത്തം ടെസ്റ്റുകളുടെ എണ്ണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എകൃത്യമായി കണ്ടുമുട്ടി എംഒരിക്കല്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ബന്ധം എം/എൻആപേക്ഷിക ആവൃത്തി (ആവൃത്തി) എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഡബ്ല്യു എൻ(എ) സംഭവത്തിന്റെ സംഭവം എവി എൻപരിശോധനകൾ നടത്തി.

വഴി സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ വിദഗ്ധ വിലയിരുത്തലുകളുടെ രീതികീഴിൽ എൻഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യതയെക്കുറിച്ച് അഭിമുഖം നടത്തിയ വിദഗ്ധരുടെ (ഒരു നിശ്ചിത മേഖലയിലെ വിദഗ്ധരുടെ) എണ്ണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എ. അതിൽ എംഅതിൽ അവർ സംഭവം അവകാശപ്പെടുന്നു എസംഭവിക്കും.

ഒരു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗം ഉള്ള അളവുകളുടെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഫലങ്ങൾ വിവരിക്കാൻ ഒരു റാൻഡം ഇവന്റ് എന്ന ആശയം പര്യാപ്തമല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു എന്റർപ്രൈസസിന്റെ സാമ്പത്തിക ഫലം വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ, അവർ പ്രാഥമികമായി അതിന്റെ വലുപ്പത്തിൽ താൽപ്പര്യപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു റാൻഡം ഇവന്റ് എന്ന ആശയം ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ എന്ന ആശയത്താൽ പൂരകമാണ്.

താഴെ റാൻഡം വേരിയബിൾ(എസ്‌വി) നിരീക്ഷണത്തിന്റെ (പരീക്ഷണത്തിന്റെ) ഫലമായി, മുൻകൂട്ടി അറിയാത്തതും ക്രമരഹിതമായ സാഹചര്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ച്, സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം എടുക്കുന്ന ഒരു അളവായിട്ടാണ് മനസ്സിലാക്കുന്നത്. ഓരോ എലിമെന്ററി ഇവന്റിനും, എസ്വിക്ക് ഒരൊറ്റ അർത്ഥമുണ്ട്.

വ്യതിരിക്തവും തുടർച്ചയായതുമായ എസ്‌വികളുണ്ട്. വേണ്ടി വ്യതിരിക്തമായ SV അതിന്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം പരിമിതമോ എണ്ണാവുന്നതോ ആണ്, അതായത്, ചില സാധ്യതകളോടെ മുൻകൂട്ടി ലിസ്റ്റുചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന വ്യക്തിഗത ഒറ്റപ്പെട്ട മൂല്യങ്ങൾ SV എടുക്കുന്നു. വേണ്ടി തുടർച്ചയായഎസ്വി, അതിന്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം അനന്തവും കണക്കാക്കാനാവാത്തതുമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയുടെ എല്ലാ സംഖ്യകളും, അതായത്. എസ്‌വിയുടെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ മുൻകൂട്ടി ലിസ്റ്റുചെയ്യാനും തുടർച്ചയായി ഒരു നിശ്ചിത വിടവ് നികത്താനും കഴിയില്ല.

റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ: എക്സ്- സൂപ്പർമാർക്കറ്റിലെ ഉപഭോക്താക്കളുടെ പ്രതിദിന എണ്ണം (വ്യതിരിക്തമായ എസ്വി); വൈ- ഒരു നിശ്ചിത അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ് സെന്ററിൽ (വ്യതിരിക്തമായ എസ്വി) പകൽ സമയത്ത് ജനിച്ച കുട്ടികളുടെ എണ്ണം; Z- ഒരു പീരങ്കി ഷെല്ലിന്റെ (തുടർച്ചയായ NE) ആഘാതത്തിന്റെ പോയിന്റിന്റെ ഏകോപനം.

സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൽ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പല എസ്‌വികൾക്കും വളരെയധികം സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുണ്ട്, അവ തുടർച്ചയായ എസ്‌വികളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, വിനിമയ നിരക്ക്, ഗാർഹിക വരുമാനം മുതലായവ.

എസ്‌വിയെ വിവരിക്കുന്നതിന്, എസ്‌വിയുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും അവയുടെ സാധ്യതകളും തമ്മിൽ ഒരു ബന്ധം സ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ അനുപാതം വിളിക്കപ്പെടും എസ്.വി.യുടെ വിതരണ നിയമം. ഒരു വ്യതിരിക്തമായ എസ്‌വിക്ക് ഇത് പട്ടികയായോ വിശകലനപരമായോ (ഒരു ഫോർമുലയുടെ രൂപത്തിൽ) അല്ലെങ്കിൽ ഗ്രാഫിക്കലായോ വ്യക്തമാക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, എസ്.വി.ക്കുള്ള പട്ടിക എക്സ്