Bagaimana memahami suatu fungsi genap atau ganjil. Paritas fungsi. Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu interval
Suatu fungsi disebut genap (ganjil) jika untuk sembarang dan persamaannya 
.
Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbunya 
.
Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal.
Contoh 6.2. Periksa apakah suatu fungsi genap atau ganjil
1)
;
2)
;
3)
.
Larutan.
1) Fungsi didefinisikan kapan 
. Kami akan menemukannya 
.
Itu. 
. Artinya fungsi ini genap.
2) Fungsi didefinisikan kapan 
Itu. 
. Jadi, fungsi ini ganjil.
3) fungsi didefinisikan untuk , mis. Untuk
,
. Oleh karena itu fungsinya tidak genap dan ganjil. Sebut saja fungsi bentuk umum.
3. Mempelajari fungsi monotonisitas.
Fungsi 
disebut naik (turun) pada interval tertentu jika dalam interval ini setiap nilai argumen yang lebih besar berhubungan dengan nilai fungsi yang lebih besar (lebih kecil).
Fungsi yang bertambah (berkurang) dalam selang waktu tertentu disebut fungsi monotonik.
Jika fungsinya 
terdiferensiasi pada intervalnya 
dan memiliki turunan positif (negatif). 
, lalu fungsinya 
meningkat (menurun) selama interval ini.
Contoh 6.3. Temukan interval monotonisitas fungsi
1)
;
3)
.
Larutan.
1) Fungsi ini didefinisikan pada seluruh garis bilangan. Mari kita cari turunannya.
Turunannya sama dengan nol jika 
Dan 
. Daerah definisinya adalah sumbu bilangan yang dibagi titik 
,
secara berkala. Mari kita tentukan tanda turunannya pada setiap interval.
Di sela-sela 
turunannya negatif, fungsinya menurun pada interval ini.
Di sela-sela 
turunannya positif, oleh karena itu, fungsinya meningkat pada interval ini.
2) Fungsi ini didefinisikan jika 
atau
.
Kami menentukan tanda trinomial kuadrat di setiap interval.
Jadi, domain definisi fungsi
Mari kita cari turunannya 
,
, Jika 
, yaitu 
, Tetapi 
. Mari kita tentukan tanda turunannya pada interval tersebut 
.
Di sela-sela 
turunannya negatif, oleh karena itu fungsinya menurun pada interval tersebut 
. Di sela-sela 
turunannya positif, fungsinya meningkat sepanjang interval 
.
4. Mempelajari fungsi pada titik ekstrem.
Dot 
disebut titik maksimum (minimum) dari fungsi tersebut 
, jika ada lingkungan seperti itu 
itu untuk semua orang 
dari lingkungan ini ketimpangan terus terjadi 
.
Titik maksimum dan minimum suatu fungsi disebut titik ekstrem.
Jika fungsinya 
pada intinya 
mempunyai ekstrem, maka turunan fungsi pada titik ini sama dengan nol atau tidak ada (kondisi yang diperlukan untuk adanya ekstrem).
Titik-titik yang turunannya nol atau tidak ada disebut titik kritis.
5. Kondisi yang cukup untuk keberadaan suatu ekstrem.
Aturan 1. Jika pada saat transisi (dari kiri ke kanan) melalui titik kritis 
turunan 
mengubah tanda dari “+” menjadi “–”, lalu pada titik 
fungsi 
memiliki maksimum; jika dari “–” ke “+”, maka minimum; Jika 
tidak berubah tanda, maka tidak ada ekstrem.
Aturan 2. Biarkan pada intinya 
turunan pertama suatu fungsi 
sama dengan nol 
, dan turunan keduanya ada dan berbeda dari nol. Jika 
, Itu 
– titik maksimum, jika 
, Itu 
– titik minimum dari fungsi tersebut.
Contoh 6.4 . Jelajahi fungsi maksimum dan minimum:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Larutan.
1) Fungsinya terdefinisi dan kontinu pada interval tersebut 
.
Mari kita cari turunannya 
dan selesaikan persamaannya 
, yaitu 
.Dari sini 
– titik kritis.
Mari kita tentukan tanda turunannya pada interval , 
.
Saat melewati titik 
Dan 
turunannya berubah tanda dari “–” menjadi “+”, oleh karena itu, menurut aturan 1 
– poin minimal.
Saat melewati suatu titik 
turunannya berubah tanda dari “+” menjadi “–”, jadi 
– titik maksimum.
,
.
2) Fungsinya terdefinisi dan kontinu dalam intervalnya 
. Mari kita cari turunannya 
.
Setelah menyelesaikan persamaan 
, kita akan menemukannya 
Dan 
– titik kritis. Jika penyebutnya 
, yaitu 
, maka turunannya tidak ada. Jadi, 
– titik kritis ketiga. Mari kita tentukan tanda turunannya dalam interval.
Oleh karena itu, fungsi tersebut mempunyai titik minimum 
, poin maksimum 
Dan 
.
3) Suatu fungsi terdefinisi dan kontinu jika 
, yaitu pada 
.
Mari kita cari turunannya 
.
Mari kita temukan poin-poin penting: 
Lingkungan poin 
tidak termasuk dalam domain definisi, oleh karena itu tidak termasuk ekstrem. Jadi, mari kita periksa poin-poin kritisnya 
Dan 
.
4) Fungsinya terdefinisi dan kontinu pada interval tersebut 
. Mari kita gunakan aturan 2. Temukan turunannya 
.
Mari kita temukan poin-poin penting:
Mari kita cari turunan keduanya 
dan tentukan tandanya pada titik-titik tersebut 
Pada titik-titik 
fungsi memiliki minimum.
Pada titik-titik 
fungsinya sudah maksimal.
Fungsi genap.
Bahkan adalah fungsi yang tandanya tidak berubah bila tandanya diubah X.
X kesetaraan berlaku F(–X) = F(X). Tanda X tidak mempengaruhi tandanya kamu.
Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu koordinat (Gbr. 1).
Contoh fungsi genap:
kamu= karena X
kamu = X 2
kamu = –X 2
kamu = X 4
kamu = X 6
kamu = X 2 + X
Penjelasan:
Mari kita ambil fungsinya kamu = X 2 atau kamu = –X 2 .
Untuk nilai berapa pun X fungsinya positif. Tanda X tidak mempengaruhi tandanya kamu. Grafiknya simetris terhadap sumbu koordinat. Ini adalah fungsi genap.
Fungsi aneh.
Aneh adalah fungsi yang tandanya berubah ketika tandanya berubah X.
Dengan kata lain, untuk nilai berapa pun X kesetaraan berlaku F(–X) = –F(X).
Grafik fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik asal (Gbr. 2).
Contoh fungsi ganjil:
kamu= dosa X
kamu = X 3
kamu = –X 3
Penjelasan:
Mari kita ambil fungsi y = – X 3 .
Semua arti pada itu akan memiliki tanda minus. Itu adalah sebuah tanda X mempengaruhi tanda tersebut kamu. Jika variabel bebasnya berupa bilangan positif maka fungsinya positif, jika variabel bebasnya berupa bilangan negatif maka fungsinya negatif: F(–X) = –F(X).
Grafik fungsinya simetris terhadap titik asal. Ini adalah fungsi yang aneh.
Sifat-sifat fungsi genap dan ganjil:
CATATAN:
Tidak semua fungsi genap atau ganjil. Ada fungsi yang tidak mengikuti gradasi tersebut. Misalnya fungsi root pada = √X tidak berlaku untuk fungsi genap atau ganjil (Gbr. 3). Saat membuat daftar properti dari fungsi tersebut, deskripsi yang sesuai harus diberikan: tidak genap atau ganjil.
Fungsi periodik.
Seperti diketahui, periodisitas adalah pengulangan proses tertentu dalam interval tertentu. Fungsi yang menjelaskan proses ini disebut fungsi periodik. Artinya, ini adalah fungsi yang grafiknya terdapat elemen yang berulang pada interval numerik tertentu.
Yang sampai tingkat tertentu sudah tidak asing lagi bagi Anda. Dicatat juga di sana bahwa stok properti fungsi akan diisi ulang secara bertahap. Dua properti baru akan dibahas di bagian ini.
Definisi 1.
Fungsi y = f(x), x є X, dipanggil meskipun untuk sembarang nilai x dari himpunan X persamaan f (-x) = f (x) berlaku.
Definisi 2.
Fungsi y = f(x), x є X, disebut ganjil jika untuk sembarang nilai x dari himpunan X persamaan f (-x) = -f (x) berlaku.
Buktikan bahwa y = x 4 merupakan fungsi genap.
Larutan. Kita mempunyai: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Tapi(-x) 4 = x 4. Ini berarti bahwa untuk setiap x persamaan f(-x) = f(x) berlaku, yaitu. fungsinya genap.
Demikian pula dapat dibuktikan bahwa fungsi y - x 2, y = x 6, y - x 8 adalah fungsi genap.
Buktikan bahwa y = x 3 ~ merupakan fungsi ganjil.
Larutan. Kita mempunyai: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Tapi (-x) 3 = -x 3. Artinya untuk sembarang x persamaan f (-x) = -f (x) berlaku, yaitu. fungsinya ganjil.
Demikian pula dapat dibuktikan bahwa fungsi y = x, y = x 5, y = x 7 ganjil.
Anda dan saya telah yakin lebih dari sekali bahwa istilah-istilah baru dalam matematika paling sering berasal dari “duniawi”, yaitu. mereka bisa dijelaskan entah bagaimana. Hal ini berlaku pada fungsi genap dan ganjil. Perhatikan: y - x 3, y = x 5, y = x 7 merupakan fungsi ganjil, sedangkan y = x 2, y = x 4, y = x 6 merupakan fungsi genap. Dan secara umum, untuk setiap fungsi yang berbentuk y = x" (di bawah ini kita akan mempelajari secara khusus fungsi-fungsi tersebut), dimana n adalah bilangan asli, kita dapat menyimpulkan: jika n adalah bilangan ganjil, maka fungsi y = x" adalah aneh; jika n bilangan genap, maka fungsi y = xn genap.
Ada juga fungsi yang tidak genap maupun ganjil. Misalnya, fungsi y = 2x + 3. Memang, f(1) = 5, dan f (-1) = 1. Seperti yang Anda lihat, oleh karena itu, tidak ada identitas f(-x) = f ( x), maupun identitas f(-x) = -f(x).
Jadi, suatu fungsi bisa genap, ganjil, atau tidak keduanya.
Ilmu yang mempelajari apakah suatu fungsi genap atau ganjil biasa disebut studi paritas.
Definisi 1 dan 2 mengacu pada nilai fungsi di titik x dan -x. Ini mengasumsikan bahwa fungsi tersebut terdefinisi di titik x dan titik -x. Artinya titik -x termasuk dalam daerah definisi fungsi secara simultan dengan titik x. Jika suatu himpunan bilangan X, bersama dengan setiap elemennya x, juga mengandung elemen lawannya -x, maka X disebut himpunan simetris. Katakanlah (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) adalah himpunan simetris, sedangkan ; (∞;∞) merupakan himpunan simetris, dan , [–5;4] merupakan himpunan asimetris.
– Apakah fungsi genap mempunyai domain definisi yang merupakan himpunan simetris? Yang aneh?
– Jika D( F) merupakan himpunan asimetris, lalu apa fungsinya?
– Jadi, jika fungsinya pada = F(X) – genap atau ganjil, maka domain definisinya adalah D( F) adalah himpunan simetris. Apakah pernyataan kebalikannya benar: jika domain definisi suatu fungsi adalah himpunan simetris, maka genap atau ganjil?
– Ini berarti bahwa keberadaan himpunan domain definisi yang simetris merupakan kondisi yang diperlukan, tetapi tidak cukup.
– Jadi bagaimana Anda memeriksa fungsi paritas? Mari kita coba membuat algoritma.
Menggeser
Algoritma untuk mempelajari fungsi paritas
1. Tentukan apakah domain definisi fungsi tersebut simetris. Jika tidak, maka fungsinya bukan genap atau ganjil. Jika ya, lanjutkan ke langkah 2 algoritma.
2. Tuliskan ekspresi untuk F(–X).
3. Bandingkan F(–X).Dan F(X):
- Jika F(–X).= F(X), maka fungsinya genap;
- Jika F(–X).= – F(X), maka fungsinya ganjil;
- Jika F(–X) ≠ F(X) Dan F(–X) ≠ –F(X), maka fungsinya bukan genap atau ganjil.
Contoh:
Periksa fungsi a) untuk paritas pada= x 5 +; B) pada= ; V) pada= .
Larutan.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), himpunan simetris.
2) jam (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h(x) => fungsi h(x)= x 5 + ganjil.
b) kamu =,
pada = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), himpunan asimetris, artinya fungsinya bukan genap dan ganjil.
V) F(X) = , kamu = f (x),
1)D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
pilihan 2
1. Apakah himpunan tersebut simetris: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) kamu = x (5 – x 2).
a) kamu = x 2 (2x – x 3), b) kamu =
Grafik Fungsinya pada = F(X), Jika pada = F(X) adalah fungsi genap.
Grafik Fungsinya pada = F(X), Jika pada = F(X) adalah fungsi ganjil.
Saling memeriksa menggeser.
6. Pekerjaan rumah: №11.11, 11.21,11.22;
Bukti makna geometris dari sifat paritas.
***(Penugasan opsi USE).
1. Fungsi ganjil y = f(x) terdefinisi pada seluruh garis bilangan. Untuk setiap nilai non-negatif dari variabel x, nilai fungsi ini sama dengan nilai fungsi g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Temukan nilai fungsi h( X) = pada X = 3.
7. Kesimpulannya