Contoh fungsi genap dan ganjil. Fungsi ganjil dan genap. Sifat dasar fungsi

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua fitur presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Sasaran:

• merumuskan konsep fungsi genap dan ganjil, mengajarkan kemampuan menentukan dan menggunakan sifat-sifat tersebut dalam mempelajari fungsi dan membuat grafik;
• mengembangkan aktivitas kreatif siswa, berpikir logis, kemampuan membandingkan dan menggeneralisasi;
• menumbuhkan kerja keras dan budaya matematika; mengembangkan keterampilan komunikasi .

Peralatan: instalasi multimedia, papan tulis interaktif, handout.

Bentuk pekerjaan: frontal dan kelompok dengan unsur kegiatan pencarian dan penelitian.

Sumber informasi:

1. Aljabar kelas 9 A.G. Mordkovich. Buku pelajaran.
2. Aljabar kelas 9 A.G. Mordkovich. Buku soal.
3. Aljabar kelas 9. Tugas untuk pembelajaran dan perkembangan siswa. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

SELAMA KELAS

1. Momen organisasi

Menetapkan tujuan dan sasaran pelajaran.

2. Memeriksa pekerjaan rumah

10.17 (buku soal kelas 9. A.G. Mordkovich).

A) pada = F(X), F(X) =

B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1.D( F) = [– 2; + ∞)
2.E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 pada X ~ 0,4
4. F(X) >0 jam X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Fungsinya meningkat dengan X € [– 2; + ∞)
6. Fungsinya dibatasi dari bawah.
7. pada nama = – 3, pada naib tidak ada
8. Fungsinya kontinu.

(Sudahkah Anda menggunakan algoritma eksplorasi fungsi?) Menggeser.

2. Mari kita periksa tabel yang ditanyakan pada slide.

Isi meja
	Domain	Fungsi nol	Interval keteguhan tanda		Koordinat titik potong grafik dengan Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) kamu kamu(2;∞)	x € (–∞;–5) kamu kamu (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) kamu kamu(2;∞)	x € (–∞;–5) kamu kamu (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) kamu kamu(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Memperbarui pengetahuan

– Fungsi diberikan.
– Tentukan cakupan definisi untuk setiap fungsi.
– Bandingkan nilai masing-masing fungsi untuk setiap pasangan nilai argumen: 1 dan – 1; 2 dan – 2.
– Fungsi manakah yang mempunyai persamaan dalam domain definisinya F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (masukkan data yang diperoleh ke dalam tabel) Menggeser

		F(1) dan F(– 1)	F(2) dan F(– 2)	grafis	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = | X |
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		dan tidak didefinisikan

4. Materi baru

– Saat melakukan pekerjaan ini, teman-teman, kami mengidentifikasi properti lain dari fungsi tersebut, yang asing bagi Anda, tetapi tidak kalah pentingnya dari yang lain - ini adalah kemerataan dan keanehan fungsi tersebut. Tuliskan topik pelajaran: “Fungsi genap dan ganjil”, tugas kita adalah belajar menentukan kegenapan dan keanehan suatu fungsi, mengetahui pentingnya sifat ini dalam mempelajari fungsi dan membuat grafik.
Jadi, mari kita cari definisinya di buku teks dan baca (hlm. 110) . Menggeser

Def. 1 Fungsi pada = F (X), yang didefinisikan pada himpunan X disebut bahkan, jika untuk nilai apa pun X X dieksekusi persamaan f(–x)= f(x). Berikan contoh.

Def. 2 Fungsi kamu = f(x), yang didefinisikan pada himpunan X disebut aneh, jika untuk nilai apa pun X X persamaan f(–х)= –f(х) berlaku. Berikan contoh.

Di mana kita menemukan istilah “genap” dan “ganjil”?
Menurut Anda, manakah dari fungsi berikut yang genap? Mengapa? Yang mana yang aneh? Mengapa?
Untuk fungsi apa pun dari formulir pada= xn, Di mana N– bilangan bulat, dapat dikatakan bahwa fungsinya ganjil ketika N– ganjil dan fungsinya genap ketika N- bahkan.
– Lihat fungsi pada= dan pada = 2X– 3 tidak genap dan tidak ganjil, karena kesetaraan tidak terpenuhi F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

Ilmu yang mempelajari apakah suatu fungsi genap atau ganjil disebut studi tentang paritas suatu fungsi. Menggeser

Dalam definisi 1 dan 2 kita berbicara tentang nilai fungsi di x dan – x, sehingga diasumsikan bahwa fungsi tersebut juga terdefinisi pada nilai X, dan di – X.

Def 3. Jika suatu himpunan bilangan, bersama dengan setiap elemennya x, juga mengandung elemen lawannya –x, maka himpunan tersebut X disebut himpunan simetris.

Contoh:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) merupakan himpunan simetris, dan , [–5;4] merupakan himpunan asimetris.

– Apakah fungsi genap mempunyai domain definisi yang merupakan himpunan simetris? Yang aneh?
– Jika D( F) merupakan himpunan asimetris, lalu apa fungsinya?
– Jadi, jika fungsinya pada = F(X) – genap atau ganjil, maka domain definisinya adalah D( F) adalah himpunan simetris. Apakah pernyataan kebalikannya benar: jika domain definisi suatu fungsi adalah himpunan simetris, maka genap atau ganjil?
– Ini berarti bahwa keberadaan himpunan domain definisi yang simetris merupakan kondisi yang diperlukan, tetapi tidak cukup.
– Jadi bagaimana Anda memeriksa fungsi paritas? Mari kita coba membuat algoritma.

Menggeser

Algoritma untuk mempelajari fungsi paritas

1. Tentukan apakah domain definisi fungsi tersebut simetris. Jika tidak, maka fungsinya bukan genap atau ganjil. Jika ya, lanjutkan ke langkah 2 algoritma.

2. Tuliskan ekspresi untuk F(–X).

3. Bandingkan F(–X).Dan F(X):

• Jika F(–X).= F(X), maka fungsinya genap;
• Jika F(–X).= – F(X), maka fungsinya ganjil;
• Jika F(–X) ≠ F(X) Dan F(–X) ≠ –F(X), maka fungsinya bukan genap atau ganjil.

Contoh:

Periksa fungsi a) untuk paritas pada= x 5 +; B) pada= ; V) pada= .

Larutan.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), himpunan simetris.

2) jam (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h(x) => fungsi h(x)= x 5 + ganjil.

b) kamu =,

pada = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), himpunan asimetris, artinya fungsinya bukan genap dan ganjil.

V) F(X) = , kamu = f (x),

1)D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

pilihan 2

1. Apakah himpunan tersebut simetris: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) kamu = x (5 – x 2). 2. Periksa fungsi paritas:

a) kamu = x 2 (2x – x 3), b) kamu =

3. Pada Gambar. grafik telah dibuat pada = F(X), untuk semua X, memenuhi kondisi X? 0.
Grafik Fungsinya pada = F(X), Jika pada = F(X) adalah fungsi genap.

3. Pada Gambar. grafik telah dibuat pada = F(X), untuk semua x memenuhi kondisi x? 0.
Grafik Fungsinya pada = F(X), Jika pada = F(X) adalah fungsi ganjil.

Saling memeriksa menggeser.

6. Pekerjaan rumah: №11.11, 11.21,11.22;

Bukti makna geometris dari sifat paritas.

***(Penugasan opsi USE).

1. Fungsi ganjil y = f(x) terdefinisi pada seluruh garis bilangan. Untuk setiap nilai non-negatif dari variabel x, nilai fungsi ini sama dengan nilai fungsi g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Temukan nilai fungsi h( X) = pada X = 3.

7. Kesimpulannya

Definisi 1. Fungsi tersebut dipanggil bahkan (aneh ), jika bersama-sama dengan setiap nilai variabel
arti - X juga milik
dan kesetaraan tetap berlaku

Jadi, suatu fungsi dapat genap atau ganjil hanya jika domain definisinya simetris terhadap titik asal koordinat pada garis bilangan (bilangan X Dan - X milik pada saat yang sama
). Misalnya saja fungsinya
tidak genap atau ganjil, karena domain definisinya
tidak simetris terhadap titik asal.

Fungsi
bahkan karena
simetris terhadap titik asal dan.

Fungsi
aneh, karena
Dan
.

Fungsi
tidak genap dan ganjil, karena meskipun
dan simetris terhadap titik asal, persamaan (11.1) tidak terpenuhi. Misalnya,.

Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbunya kamu, karena kalau intinya

juga termasuk dalam jadwal. Grafik fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik asal, karena jika
milik grafik, maka titik
juga termasuk dalam jadwal.

Saat membuktikan suatu fungsi genap atau ganjil, pernyataan berikut berguna.

Dalil 1. a) Jumlah dua fungsi genap (ganjil) merupakan fungsi genap (ganjil).

b) Hasil kali dua fungsi genap (ganjil) merupakan fungsi genap.

c) Hasil kali fungsi genap dan ganjil adalah fungsi ganjil.

d) Jika F– fungsi genap di lokasi syuting X, dan fungsinya G ditentukan di himpunan
, lalu fungsinya
- bahkan.

d) Jika F– fungsi ganjil di set X, dan fungsinya G ditentukan di himpunan
dan genap (ganjil), maka fungsinya
- bahkan aneh).

Bukti. Mari kita buktikan, misalnya b) dan d).

b) Biarkan
Dan
– fungsi genap. Oleh karena itu. Kasus fungsi ganjil diperlakukan serupa
Dan
.

d) Biarkan F adalah fungsi genap. Kemudian.

Pernyataan teorema selanjutnya dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Teorema tersebut telah terbukti.

Dalil 2. Fungsi apa pun
, ditentukan di set X, simetris terhadap titik asal, dapat direpresentasikan sebagai jumlah fungsi genap dan ganjil.

Bukti. Fungsi
dapat ditulis dalam bentuk

.

Fungsi
– bahkan, karena
, dan fungsinya
– aneh, karena. Dengan demikian,
, Di mana
– genap, dan
– fungsi ganjil. Teorema tersebut telah terbukti.

Definisi 2. Fungsi
ditelepon berkala , jika ada nomor
, sehingga untuk apa pun
angka
Dan
juga termasuk dalam domain definisi
dan persamaan terpenuhi

Jumlah seperti itu T ditelepon periode fungsi
.

Dari Definisi 1 berikut ini jika T– periode fungsi
, lalu nomor – T Sama adalah periode fungsi tersebut
(sejak saat mengganti T pada - T kesetaraan dipertahankan). Dengan menggunakan metode induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa jika T– periode fungsi F, Kemudian
, juga merupakan suatu periode. Oleh karena itu, jika suatu fungsi mempunyai periode, maka fungsi tersebut mempunyai banyak periode yang tak terhingga.

Definisi 3. Periode positif terkecil suatu fungsi disebut fungsi tersebut utama periode.

Dalil 3. Jika T– periode utama fungsi tersebut F, maka periode sisanya adalah kelipatannya.

Bukti. Mari kita asumsikan sebaliknya, yaitu ada suatu periode fungsi F (>0), bukan kelipatan T. Lalu, membagi pada T dengan sisanya, kita dapatkan
, Di mana
. Itu sebabnya

itu adalah – periode fungsi F, Dan
, dan ini bertentangan dengan fakta itu T– periode utama fungsi tersebut F. Pernyataan teorema mengikuti kontradiksi yang dihasilkan. Teorema tersebut telah terbukti.

Diketahui bahwa fungsi trigonometri bersifat periodik. Periode utama
Dan
sama
,
Dan
. Mari kita cari periode fungsinya
. Membiarkan
- periode fungsi ini. Kemudian

(Karena
.

atau
.

Arti T, yang ditentukan dari persamaan pertama, tidak dapat berupa suatu periode, karena bergantung pada X, yaitu. adalah fungsi dari X, dan bukan bilangan konstan. Periode ditentukan dari persamaan kedua:
. Ada banyak sekali periode, dengan
periode positif terkecil diperoleh pada
:
. Ini adalah periode utama dari fungsinya
.

Contoh fungsi periodik yang lebih kompleks adalah fungsi Dirichlet

Perhatikan bahwa jika T adalah bilangan rasional
Dan
adalah bilangan rasional untuk rasional X dan irasional bila tidak rasional X. Itu sebabnya

untuk bilangan rasional apa pun T. Oleh karena itu, bilangan rasional apa pun T adalah periode fungsi Dirichlet. Jelas bahwa fungsi ini tidak memiliki periode utama, karena ada bilangan rasional positif yang mendekati nol (misalnya, bilangan rasional dapat dibuat dengan memilih N mendekati nol).

Dalil 4. Jika fungsinya F ditentukan di himpunan X dan mempunyai periode T, dan fungsinya G ditentukan di himpunan
, maka fungsi yang kompleks
juga mempunyai periode T.

Bukti. Oleh karena itu, kami punya

yaitu pernyataan teorema terbukti.

Misalnya sejak karena X memiliki periode
, lalu fungsinya
memiliki periode
.

Definisi 4. Fungsi yang tidak periodik disebut non-periodik .

bahkan, jika untuk semua \(x\) dari domain definisinya, hal berikut ini benar: \(f(-x)=f(x)\) .

Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu \(y\):

Contoh: fungsi \(f(x)=x^2+\cos x\) genap, karena \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Fungsi \(f(x)\) dipanggil aneh, jika untuk semua \(x\) dari domain definisinya, hal berikut ini benar: \(f(-x)=-f(x)\) .

Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal:

Contoh: fungsi \(f(x)=x^3+x\) ganjil karena \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Fungsi yang bukan genap maupun ganjil disebut fungsi bentuk umum. Fungsi seperti itu selalu dapat direpresentasikan secara unik sebagai jumlah dari fungsi genap dan ganjil.

Misalnya, fungsi \(f(x)=x^2-x\) adalah jumlah dari fungsi genap \(f_1=x^2\) dan fungsi ganjil \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Beberapa properti:

1) Hasil kali dan hasil bagi dua fungsi yang paritasnya sama merupakan fungsi genap.

2) Hasil kali dan hasil bagi dua fungsi yang paritasnya berbeda merupakan fungsi ganjil.

3) Jumlah dan selisih fungsi genap – fungsi genap.

4) Jumlah dan selisih fungsi ganjil – fungsi ganjil.

5) Jika \(f(x)\) merupakan fungsi genap, maka persamaan \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) mempunyai akar tunggal jika dan hanya jika \( x =0\) .

6) Jika \(f(x)\) merupakan fungsi genap atau ganjil, dan persamaan \(f(x)=0\) mempunyai akar \(x=b\), maka persamaan tersebut pasti mempunyai fungsi kedua akar \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Fungsi \(f(x)\) disebut periodik pada \(X\) jika untuk suatu bilangan \(T\ne 0\) berlaku: \(f(x)=f( x+T) \) , di mana \(x, x+T\in X\) . \(T\) terkecil yang memenuhi persamaan ini disebut periode utama (utama) dari fungsi tersebut.

Fungsi periodik mempunyai bilangan apa pun dalam bentuk \(nT\) , dengan \(n\in \mathbb(Z)\) juga berupa periode.

Contoh: setiap fungsi trigonometri bersifat periodik;
untuk fungsi \(f(x)=\sin x\) dan \(f(x)=\cos x\) periode utamanya sama dengan \(2\pi\), untuk fungsi \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) dan \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) periode utama sama dengan \(\pi\) .

Untuk membuat grafik fungsi periodik, Anda dapat memplot grafiknya pada segmen mana pun yang panjangnya \(T\) (periode utama); kemudian grafik seluruh fungsi diselesaikan dengan menggeser bagian yang dibangun sebanyak bilangan bulat periode ke kanan dan kiri:

\(\blacktriangleright\) Domain \(D(f)\) dari fungsi \(f(x)\) adalah himpunan yang terdiri dari semua nilai argumen \(x\) yang fungsi tersebut masuk akal (didefinisikan).

Contoh: fungsi \(f(x)=\sqrt x+1\) mempunyai domain definisi: \(x\in

Tugas 1 #6364

Tingkat tugas: Setara dengan Ujian Negara Bersatu

Berapa nilai parameter \(a\) persamaannya

punya solusi tunggal?

Perhatikan bahwa karena \(x^2\) dan \(\cos x\) merupakan fungsi genap, jika persamaan tersebut memiliki akar \(x_0\) , maka persamaan tersebut juga akan memiliki akar \(-x_0\) .
Memang benar bahwa \(x_0\) adalah akar, yaitu persamaan \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) Kanan. Mari kita gantikan \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Jadi, jika \(x_0\ne 0\) , maka persamaan tersebut sudah memiliki setidaknya dua akar. Oleh karena itu, \(x_0=0\) . Kemudian:

Kami menerima dua nilai untuk parameter \(a\) . Perhatikan bahwa kami menggunakan fakta bahwa \(x=0\) adalah akar persamaan awal. Tapi kami tidak pernah menggunakan fakta bahwa dialah satu-satunya. Oleh karena itu, Anda perlu mengganti nilai yang dihasilkan dari parameter \(a\) ke dalam persamaan asli dan memeriksa \(a\) spesifik mana yang akarnya \(x=0\) benar-benar unik.

1) Jika \(a=0\) , maka persamaannya akan berbentuk \(2x^2=0\) . Jelasnya, persamaan ini hanya memiliki satu akar \(x=0\) . Oleh karena itu, nilai \(a=0\) cocok untuk kita.

2) Jika \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , maka persamaannya akan berbentuk \ Mari kita tulis ulang persamaannya dalam bentuk \ Karena \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Itu \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Oleh karena itu, nilai ruas kanan persamaan (*) termasuk dalam ruas tersebut \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Karena \(x^2\geqslant 0\) , maka ruas kiri persamaan (*) lebih besar atau sama dengan \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Jadi, persamaan (*) hanya benar jika kedua ruas persamaan sama dengan \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Dan ini berarti itu \[\begin(kasus) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(kasus) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(kasus) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(kasus)\quad\Panah Kanan Kiri\quad x=0\] Oleh karena itu, nilai \(a=-\mathrm(tg)\,1\) cocok untuk kita.

Menjawab:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Tugas 2 #3923

Tingkat tugas: Setara dengan Ujian Negara Bersatu

Temukan semua nilai parameter \(a\) , yang masing-masing memiliki grafik fungsi \

simetris terhadap titik asal.

Jika grafik suatu fungsi simetris terhadap titik asal, maka fungsi tersebut ganjil, yaitu, \(f(-x)=-f(x)\) berlaku untuk semua \(x\) dari domain definisi fungsi. Oleh karena itu, diperlukan untuk mencari nilai parameter yang \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(rata) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Panah Kanan\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\kanan) \quad \Panah Kanan\\ \Panah Kanan\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Panah Kanan \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \kiri(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\kanan)=0 \quad \Panah Kanan\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(sejajar)\]

Persamaan terakhir harus dipenuhi untuk semua \(x\) dari domain \(f(x)\), oleh karena itu, \(\sin(2\pi a)=0 \Panah kanan a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Menjawab:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Tugas 3 #3069

Tingkat tugas: Setara dengan Ujian Negara Bersatu

Temukan semua nilai parameter \(a\) , yang masing-masing persamaan \ memiliki 4 solusi, dengan \(f\) adalah fungsi periodik genap dengan periode \(T=\dfrac(16)3\) didefinisikan pada seluruh garis bilangan, dan \(f(x)=ax^2\) untuk \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Tugas dari pelanggan)

Tugas 4 #3072

Tingkat tugas: Setara dengan Ujian Negara Bersatu

Temukan semua nilai \(a\) , yang masing-masing memiliki persamaan \

memiliki setidaknya satu akar.

(Tugas dari pelanggan)

Mari kita tulis ulang persamaannya dalam bentuk \ dan pertimbangkan dua fungsi: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) dan \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Fungsi \(g(x)\) genap dan memiliki titik minimum \(x=0\) (dan \(g(0)=49\) ).
Fungsi \(f(x)\) untuk \(x>0\) menurun, dan untuk \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Memang benar, ketika \(x>0\) modul kedua akan terbuka secara positif (\(|x|=x\) ), oleh karena itu, terlepas dari bagaimana modul pertama akan terbuka, \(f(x)\) akan sama ke \( kx+A\) , di mana \(A\) adalah ekspresi \(a\) dan \(k\) sama dengan \(-9\) atau \(-3\) . Ketika \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Mari kita cari nilai \(f\) pada titik maksimum: \

Agar persamaan mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, grafik fungsi \(f\) dan \(g\) harus mempunyai paling sedikit satu titik potong. Oleh karena itu, Anda memerlukan: \ Memecahkan rangkaian sistem ini, kami mendapatkan jawabannya: \\]

Menjawab:

\(a\di \(-7\)\cangkir\)

Tugas 5 #3912

Tingkat tugas: Setara dengan Ujian Negara Bersatu

Temukan semua nilai parameter \(a\) , yang masing-masing memiliki persamaan \

memiliki enam solusi berbeda.

Mari kita lakukan penggantian \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Maka persamaannya akan berbentuk \ Kami akan menuliskan secara bertahap kondisi di mana persamaan awal akan memiliki enam solusi.
Perhatikan bahwa persamaan kuadrat \((*)\) dapat memiliki maksimal dua solusi. Persamaan kubik apa pun \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) tidak boleh memiliki lebih dari tiga solusi. Oleh karena itu, jika persamaan \((*)\) memiliki dua solusi berbeda (positif!, karena \(t\) harus lebih besar dari nol) \(t_1\) dan \(t_2\) , maka dengan melakukan kebalikannya substitusi, kita kita peroleh: \[\kiri[\begin(berkumpul)\begin(sejajar) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(sejajar)\end(berkumpul)\kanan.\] Karena bilangan positif apa pun dapat direpresentasikan sebagai \(\sqrt2\) sampai batas tertentu, misalnya, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), maka persamaan pertama himpunan tersebut akan ditulis ulang dalam bentuk \ Seperti yang telah kami katakan, setiap persamaan kubik memiliki tidak lebih dari tiga solusi, oleh karena itu, setiap persamaan dalam himpunan akan memiliki tidak lebih dari tiga solusi. Artinya keseluruhan himpunan mempunyai tidak lebih dari enam solusi.
Artinya agar persamaan awal mempunyai enam penyelesaian, persamaan kuadrat \((*)\) harus mempunyai dua penyelesaian yang berbeda, dan setiap persamaan kubik yang dihasilkan (dari himpunan) harus mempunyai tiga penyelesaian yang berbeda (dan bukan satu penyelesaian dari satu persamaan harus sama dengan persamaan mana pun -dengan keputusan persamaan kedua!)
Jelasnya, jika persamaan kuadrat \((*)\) memiliki satu solusi, maka kita tidak akan mendapatkan enam solusi dari persamaan aslinya.

Dengan demikian, rencana solusinya menjadi jelas. Mari kita tuliskan syarat-syarat yang harus dipenuhi poin demi poin.

1) Agar persamaan \((*)\) mempunyai dua solusi berbeda, diskriminannya harus positif: \

2) Kedua akar juga harus positif (karena \(t>0\) ). Jika hasil kali dua akar bernilai positif dan jumlah keduanya positif, maka akar-akarnya juga positif. Oleh karena itu, Anda memerlukan: \[\begin(kasus) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(kasus)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Jadi, kita telah menyediakan dua akar positif yang berbeda \(t_1\) dan \(t_2\) .

3) Mari kita lihat persamaan ini \ Untuk \(t\) apa ia mempunyai tiga solusi berbeda?
Pertimbangkan fungsinya \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Dapat difaktorkan: \ Oleh karena itu, angka nolnya adalah: \(x=-1;2\) .
Jika kita mencari turunannya \(f"(x)=3x^2-6x\) , maka kita mendapatkan dua titik ekstrem \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Oleh karena itu, grafiknya terlihat seperti ini:


Kita melihat bahwa setiap garis horizontal \(y=k\) , di mana \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) mempunyai tiga solusi berbeda, maka \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Jadi, Anda membutuhkan: \[\mulai(kasus) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Mari kita segera perhatikan juga bahwa jika angka \(t_1\) dan \(t_2\) berbeda, maka angka \(\log_(\sqrt2)t_1\) dan \(\log_(\sqrt2)t_2\) akan menjadi berbeda, yang berarti persamaannya \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Dan \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) akan mempunyai akar yang berbeda.
Sistem \((**)\) dapat ditulis ulang sebagai berikut: \[\mulai(kasus) 1

Jadi, kita telah menentukan bahwa kedua akar persamaan \((*)\) harus terletak pada interval \((1;4)\) . Bagaimana cara menulis kondisi ini?
Kami tidak akan menuliskan akarnya secara eksplisit.
Pertimbangkan fungsinya \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Grafiknya berbentuk parabola dengan cabang ke atas, yang memiliki dua titik potong dengan sumbu x (kondisi ini kita tuliskan di paragraf 1)). Bagaimana seharusnya grafiknya agar titik potongnya dengan sumbu x berada pada interval \((1;4)\)? Jadi:


Pertama, nilai \(g(1)\) dan \(g(4)\) fungsi di titik \(1\) dan \(4\) harus positif, dan kedua, titik puncak dari fungsi tersebut parabola \(t_0\ ) juga harus berada dalam interval \((1;4)\) . Oleh karena itu, kita dapat menulis sistemnya: \[\begin(kasus) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4

Jadi, kita perlu memotong nilai parameter \(a\) yang terdapat pada poin ke-1, ke-2, dan ke-3, dan kita akan mendapatkan jawabannya: \[\begin(kasus) a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\\ a<10\\ 4

Sembunyikan tampilan

Metode untuk menentukan suatu fungsi

Misalkan fungsinya diberikan dengan rumus: y=2x^(2)-3. Dengan menetapkan nilai apa pun ke variabel independen x, Anda dapat menghitung, menggunakan rumus ini, nilai yang sesuai dari variabel dependen y. Misalnya, jika x=-0,5, maka, dengan menggunakan rumus, kita menemukan bahwa nilai y yang bersesuaian adalah y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

Dengan mengambil nilai apa pun yang diambil oleh argumen x dalam rumus y=2x^(2)-3, Anda hanya dapat menghitung satu nilai fungsi yang bersesuaian dengannya. Fungsi tersebut dapat direpresentasikan sebagai tabel:

X	−2	−1	0	1	2	3
kamu	−4	−3	−2	−1	0	1

Dengan menggunakan tabel ini, Anda dapat melihat bahwa untuk nilai argumen −1, nilai fungsi −3 akan sesuai; dan nilai x=2 akan sesuai dengan y=0, dst. Penting juga untuk mengetahui bahwa setiap nilai argumen dalam tabel hanya berhubungan dengan satu nilai fungsi.

Lebih banyak fungsi dapat ditentukan menggunakan grafik. Dengan menggunakan grafik, ditentukan nilai fungsi mana yang berkorelasi dengan nilai x tertentu. Paling sering, ini akan menjadi nilai perkiraan fungsi.

Fungsi genap dan ganjil

Fungsinya adalah bahkan berfungsi, ketika f(-x)=f(x) untuk sembarang x dari domain definisi. Fungsi seperti itu akan simetris terhadap sumbu Oy.

Fungsinya adalah fungsi ganjil, ketika f(-x)=-f(x) untuk sembarang x dari domain definisi. Fungsi seperti itu akan simetris terhadap titik asal O (0;0) .

Fungsinya adalah bahkan tidak, tidak ada yang aneh dan dipanggil fungsi umum, jika tidak memiliki simetri terhadap sumbu atau titik asal.

Mari kita periksa fungsi paritas berikut:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) dengan domain definisi simetris relatif terhadap titik asal. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Artinya fungsi f(x)=3x^(3)-7x^(7) ganjil.

Fungsi periodik

Fungsi y=f(x) , yang domainnya persamaan f(x+T)=f(x-T)=f(x) berlaku untuk sembarang x, disebut fungsi periodik dengan periode T \neq 0 .

Mengulangi grafik suatu fungsi pada setiap ruas sumbu x yang panjangnya T.

Interval yang fungsinya positif, yaitu f(x) > 0, adalah ruas sumbu absis yang bersesuaian dengan titik-titik grafik fungsi yang terletak di atas sumbu absis.

f(x) > 0 aktif (x_(1); x_(2)) \cangkir (x_(3); +\infty)

Interval yang fungsinya negatif, yaitu f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cangkir (x_(2); x_(3))

Fungsi terbatas

Dibatasi dari bawah Merupakan kebiasaan untuk memanggil suatu fungsi y=f(x), x \in X jika ada bilangan A yang pertidaksamaannya f(x) \geq A berlaku untuk sembarang x \in X .

Contoh fungsi yang dibatasi dari bawah: y=\sqrt(1+x^(2)) karena y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 untuk sembarang x .

Dibatasi dari atas suatu fungsi y=f(x), x \dalam X dipanggil jika ada bilangan B yang pertidaksamaannya f(x) \neq B berlaku untuk sembarang x \dalam X .

Contoh fungsi yang dibatasi di bawah ini: y=\sqrt(1-x^(2)), x \dalam [-1;1] karena y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 untuk setiap x \in [-1;1] .

Terbatas Suatu fungsi y=f(x), x \dalam X biasanya dipanggil jika ada bilangan K > 0 yang pertidaksamaannya \left | f(x)\kanan | \neq K untuk setiap x \dalam X .

Contoh fungsi terbatas: y=\sin x terbatas pada seluruh sumbu bilangan, karena \kiri | \dosa x \kanan | \neq 1.

Fungsi bertambah dan berkurang

Merupakan kebiasaan untuk menyebut suatu fungsi yang bertambah pada interval yang dipertimbangkan sebagai peningkatan fungsi kemudian, ketika nilai x yang lebih besar berhubungan dengan nilai fungsi yang lebih besar y=f(x) . Oleh karena itu, mengambil dua nilai arbitrer dari argumen x_(1) dan x_(2) dari interval yang dipertimbangkan, dengan x_(1) > x_(2) , hasilnya adalah y(x_(1)) > kamu(x_(2)).

Suatu fungsi yang berkurang pada interval yang ditinjau disebut fungsi menurun ketika nilai x yang lebih besar berhubungan dengan nilai fungsi y(x) yang lebih kecil. Oleh karena itu, dengan mengambil dari interval yang dipertimbangkan dua nilai arbitrer dari argumen x_(1) dan x_(2) , dan x_(1) > x_(2) , hasilnya adalah y(x_(1))< y(x_{2}) .

Akar Fungsi Merupakan kebiasaan untuk menyebut titik-titik di mana fungsi F=y(x) memotong sumbu absis (titik-titik tersebut diperoleh dengan menyelesaikan persamaan y(x)=0).

a) Jika untuk x > 0 suatu fungsi genap bertambah, maka fungsi tersebut berkurang untuk x< 0

b) Jika suatu fungsi genap berkurang di x > 0, maka fungsi tersebut bertambah di x< 0

c) Jika suatu fungsi ganjil bertambah di x > 0, maka fungsi tersebut juga bertambah di x< 0

d) Jika suatu fungsi ganjil berkurang untuk x > 0, maka fungsi tersebut juga akan berkurang untuk x< 0

Fungsi ekstrem

Titik minimum dari fungsi tersebut y=f(x) biasanya disebut titik x=x_(0) yang disekitarnya terdapat titik-titik lain (kecuali titik x=x_(0)), dan bagi titik tersebut pertidaksamaan f(x) > f maka akan menjadi puas (x_(0)) . y_(min) - penunjukan fungsi pada titik min.

Titik maksimum dari fungsi tersebut y=f(x) biasanya disebut titik x=x_(0) yang disekitarnya terdapat titik-titik lain (kecuali titik x=x_(0)), dan bagi titik tersebut pertidaksamaan f(x) akan terpenuhi< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Prasyarat

Menurut teorema Fermat: f"(x)=0 ketika fungsi f(x) yang terdiferensiasi di titik x_(0) akan mempunyai titik ekstrem di titik ini.

Kondisi cukup

1. Jika turunannya berubah tanda dari plus ke minus, maka x_(0) menjadi titik minimum;
2. x_(0) - akan menjadi titik maksimum hanya jika turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus ketika melewati titik stasioner x_(0) .

Nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi pada suatu interval

Langkah-langkah perhitungan:

1. Turunan f"(x) dicari;
2. Titik-titik stasioner dan kritis dari fungsi tersebut ditemukan dan titik-titik yang termasuk dalam segmen tersebut dipilih;
3. Nilai fungsi f(x) ditemukan pada titik stasioner dan kritis serta ujung segmen. Semakin kecil hasil yang didapat nilai terkecil dari fungsi tersebut, dan banyak lagi - terbesar.