U kojem slučaju dolazi do ishoda? Teorija vjerojatnosti: formule i primjeri rješavanja problema. Klasična probabilistička shema

Da bi se događaji kvantitativno međusobno usporedili prema stupnju njihove mogućnosti, očito je potrebno svakom događaju pridružiti određeni broj, koji je veći što je događaj mogućiji. Taj ćemo broj nazvati vjerojatnošću događaja. Tako, vjerojatnost događaja je brojčana mjera stupnja objektivne mogućnosti ovog događaja.

Prvom definicijom vjerojatnosti treba smatrati onu klasičnu, koja je proizašla iz analize kockanja i u početku se primjenjivala intuitivno.

Klasična metoda određivanja vjerojatnosti temelji se na konceptu jednako mogućih i nekompatibilnih događaja, koji su ishodi određenog iskustva i tvore potpunu skupinu nekompatibilnih događaja.

Najjednostavniji primjer jednako mogućih i nekompatibilnih događaja koji čine cjelovitu skupinu je pojava jedne ili druge kuglice iz urne u kojoj se nalazi nekoliko kuglica iste veličine, težine i drugih opipljivih karakteristika, koje se razlikuju samo u boji, temeljito izmiješane prije vađenja.

Stoga se za test čiji ishodi tvore potpunu skupinu nekompatibilnih i jednako mogućih događaja kaže da se može svesti na obrazac urni, ili obrazac slučajeva, ili se uklapa u klasični obrazac.

Jednako moguće i nekompatibilne događaje koji čine cjelovitu skupinu nazivat ćemo jednostavno slučajevima ili prilikama. Štoviše, u svakom eksperimentu, uz slučajeve, mogu se dogoditi i složeniji događaji.

Primjer: Kod bacanja kocke, uz slučajeve A i - gubitak i-točaka na gornjoj strani, možemo smatrati događaje kao što su B - gubitak parnog broja bodova, C - gubitak određenog broja bodova. bodova koji su višekratnik tri...

U odnosu na svaki događaj koji se može dogoditi tijekom eksperimenta, slučajevi se dijele na povoljan, u kojem se taj događaj događa, i nepovoljan, u kojem se događaj ne događa. U prethodnom primjeru, događaj B favoriziraju slučajevi A 2, A 4, A 6; događaj C - slučajevi A 3, A 6.

Klasična vjerojatnost pojavom određenog događaja naziva se omjer broja slučajeva koji pogoduju nastanku tog događaja prema ukupnom broju jednako mogućih, nekompatibilnih slučajeva koji čine potpunu skupinu u danom eksperimentu:

Gdje GODIŠNJE)- vjerojatnost nastanka događaja A; m- broj slučajeva pogodnih za događaj A; n- ukupan broj slučajeva.

Primjeri:

1) (vidi primjer gore) P(B)= , P(C) =.

2) Urna sadrži 9 crvenih i 6 plavih kuglica. Odredite vjerojatnost da će jedna ili dvije nasumično izvučene kuglice biti crvene.

A- nasumično izvučena crvena kuglica:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, GODIŠNJE)=

B- dvije nasumično izvučene crvene kuglice:

Sljedeća svojstva proizlaze iz klasične definicije vjerojatnosti (pokažite sami):

1) Vjerojatnost nemogućeg događaja je 0;

2) Vjerojatnost pouzdanog događaja je 1;

3) Vjerojatnost bilo kojeg događaja je između 0 i 1;

4) Vjerojatnost događaja suprotnog od događaja A,

Klasična definicija vjerojatnosti pretpostavlja da je broj ishoda pokusa konačan. U praksi vrlo često postoje testovi čiji je broj mogućih slučajeva beskonačan. Osim toga, slabost klasične definicije je što je vrlo često nemoguće prikazati rezultat testa u obliku skupa elementarnih događaja. Još je teže navesti razloge zbog kojih se elementarni ishodi testa smatraju jednako mogućima. Obično se jednakost ishoda elementarnih testova zaključuje iz razmatranja simetrije. Međutim, takvi su zadaci vrlo rijetki u praksi. Iz tih razloga, uz klasičnu definiciju vjerojatnosti, koriste se i druge definicije vjerojatnosti.

Statistička vjerojatnost događaj A je relativna učestalost pojavljivanja ovog događaja u provedenim ispitivanjima:

gdje je vjerojatnost pojavljivanja događaja A;

Relativna učestalost pojavljivanja događaja A;

Broj pokusa u kojima se pojavio događaj A;

Ukupan broj pokušaja.

Za razliku od klasične vjerojatnosti, statistička je vjerojatnost eksperimentalna karakteristika.

Primjer: Za kontrolu kvalitete proizvoda iz serije nasumično je odabrano 100 proizvoda među kojima su se 3 proizvoda pokazala neispravnim. Odredite vjerojatnost braka.

Statistička metoda određivanja vjerojatnosti primjenjiva je samo na one događaje koji imaju sljedeća svojstva:

Događaji koji se razmatraju trebali bi biti ishodi samo onih testova koji se mogu reproducirati neograničen broj puta pod istim skupom uvjeta.

Događaji moraju imati statističku stabilnost (ili stabilnost relativnih frekvencija). To znači da se u različitim serijama testova relativna učestalost događaja malo mijenja.

Broj pokušaja koji rezultiraju događajem A mora biti prilično velik.

Lako je provjeriti da su svojstva vjerojatnosti koja proizlaze iz klasične definicije također sačuvana u statističkoj definiciji vjerojatnosti.

Vjerojatnost je jedan od osnovnih pojmova teorije vjerojatnosti. Postoji nekoliko definicija ovog pojma. Dajmo definiciju koja se naziva klasična.

Vjerojatnost događaj je omjer broja elementarnih ishoda povoljnih za dati događaj prema broju svih jednako mogućih ishoda iskustva u kojima se taj događaj može pojaviti.

Vjerojatnost događaja A označena je sa GODIŠNJE)(Ovdje R– prvo slovo francuske riječi vjerojatnost- vjerojatnost).

Prema definiciji

gdje je broj ishoda elementarnih testova koji su povoljni za pojavu događaja;

Ukupan broj mogućih ishoda elementarnog testa.

Ova definicija vjerojatnosti naziva se klasični. Nastala je u početnoj fazi razvoja teorije vjerojatnosti.

Broj se često naziva relativna učestalost pojavljivanja događaja A u iskustvu.

Što je veća vjerojatnost nekog događaja, to se on češće događa, i obrnuto, što je manja vjerojatnost događaja, to se on rjeđe događa. Kada je vjerojatnost događaja blizu ili jednaka jedinici, tada se on pojavljuje u gotovo svim pokusima. Za takav se događaj kaže da je gotovo sigurno, tj. da se sa sigurnošću može računati na njegovu pojavu.

Naprotiv, kada je vjerojatnost nula ili vrlo mala, tada se događaj događa izuzetno rijetko; za takav se događaj kaže da je skoro nemoguće.

Ponekad se vjerojatnost izražava kao postotak: P(A) 100% je prosječni postotak broja pojavljivanja događaja A.

Primjer 2.13. Prilikom biranja telefonskog broja, pretplatnik je zaboravio jednu znamenku i nazvao ju je nasumično. Odredite vjerojatnost da je pozvan točan broj.

Riješenje.

Označimo sa A događaj - "pozvan je traženi broj."

Pretplatnik može birati bilo koju od 10 znamenki, tako da je ukupan broj mogućih elementarnih ishoda 10. Ovi ishodi su nekompatibilni, jednako mogući i čine potpunu skupinu. Favorizira događaj A samo jedan ishod (postoji samo jedan traženi broj).

Tražena vjerojatnost jednaka je omjeru broja ishoda koji su povoljni za događaj i broja svih elementarnih ishoda:

Klasična formula vjerojatnosti pruža vrlo jednostavan način za izračunavanje vjerojatnosti bez pokusa. Međutim, jednostavnost ove formule vrlo je varljiva. Činjenica je da se pri korištenju obično pojavljuju dva vrlo teška pitanja:

1. Kako odabrati sustav eksperimentalnih ishoda da budu jednako mogući i je li to uopće moguće?

2. Kako pronaći brojeve m I n?

Ako je nekoliko objekata uključeno u eksperiment, nije uvijek lako vidjeti jednako moguće rezultate.

Veliki francuski filozof i matematičar d'Alembert ušao je u povijest teorije vjerojatnosti svojom poznatom pogreškom, čija je bit bila u tome što je u eksperimentu sa samo dva novčića netočno odredio jednakost ishoda!

Primjer 2.14. ( d'Alembertova pogreška). Bacaju se dva identična novčića. Kolika je vjerojatnost da će pasti na istu stranu?

D'Alembertovo rješenje.

Eksperiment ima tri jednako moguća ishoda:

1. Oba će novčića pasti na glave;

2. Oba će novčića sletjeti na repove;

3. Jedan od novčića će pasti na glavu, drugi na rep.

Točno rješenje.

Eksperiment ima četiri jednako moguća ishoda:

1. Prvi će novčić pasti na glave, drugi će također pasti na glave;

2. Prvi novčić će sletjeti na repove, drugi će također sletjeti na repove;

3. Prvi će novčić pasti na glavu, a drugi na rep;

4. Prvi novčić će pasti na repove, a drugi na glave.

Od ovih će dva ishoda biti povoljna za naš događaj, pa je tražena vjerojatnost jednaka .

D'Alembert je napravio jednu od najčešćih pogrešaka pri izračunavanju vjerojatnosti: spojio je dva elementarna ishoda u jedan, čime ga je učinio nejednakim u vjerojatnosti s preostalim ishodima eksperimenta.

“Nesreće nisu slučajne”... Zvuči kao nešto što je rekao neki filozof, ali zapravo je proučavanje slučajnosti sudbina velike znanosti matematike. U matematici se slučajnošću bavi teorija vjerojatnosti. U članku će biti predstavljene formule i primjeri zadataka, kao i glavne definicije ove znanosti.

Što je teorija vjerojatnosti?

Teorija vjerojatnosti je jedna od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje.

Da bi bilo malo jasnije, dajmo mali primjer: ako bacite novčić uvis, on može pasti na glavu ili rep. Dok je novčić u zraku, moguće su obje ove vjerojatnosti. Odnosno, vjerojatnost mogućih posljedica je 1:1. Ako je jedna izvučena iz špila od 36 karata, tada će vjerojatnost biti označena kao 1:36. Čini se da se ovdje nema što istraživati ​​i predviđati, pogotovo uz pomoć matematičkih formula. Međutim, ako određenu radnju ponavljate mnogo puta, možete identificirati određeni obrazac i na temelju njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima.

Sumirajući sve navedeno, teorija vjerojatnosti u klasičnom smislu proučava mogućnost pojavljivanja jednog od mogućih događaja u brojčanoj vrijednosti.

Sa stranica povijesti

Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada su se prvi put pojavili pokušaji predviđanja ishoda kartaških igara.

U početku teorija vjerojatnosti nije imala nikakve veze s matematikom. Opravdano je empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji se mogu reproducirati u praksi. Prvi radovi na ovom području kao matematičke discipline javljaju se u 17. stoljeću. Osnivači su bili Blaise Pascal i Pierre Fermat. Dugo su proučavali kockanje i uočili određene obrasce o kojima su odlučili govoriti javnosti.

Istu tehniku ​​izumio je Christiaan Huygens, iako nije bio upoznat s rezultatima istraživanja Pascala i Fermata. On je uveo pojam “teorije vjerojatnosti”, formule i primjere koji se smatraju prvima u povijesti discipline.

Radovi Jacoba Bernoullija, Laplaceov i Poissonov teorem također su od ne male važnosti. Učinili su teoriju vjerojatnosti sličnijom matematičkoj disciplini. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerojatnosti postala je jedna od matematičkih grana.

Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti. Događaji

Glavni koncept ove discipline je “događaj”. Postoje tri vrste događaja:

• Pouzdan. Oni koji će se ipak dogoditi (novčić će pasti).
• Nemoguće. Događaji koji se neće dogoditi ni pod kojim uvjetima (novčić će ostati visjeti u zraku).
• Slučajno. One koje će se dogoditi ili se neće dogoditi. Na njih mogu utjecati različiti čimbenici koje je vrlo teško predvidjeti. Ako govorimo o novčiću, onda postoje slučajni čimbenici koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike novčića, njegov oblik, izvorni položaj, sila bacanja itd.

Svi događaji u primjerima označeni su velikim latiničnim slovima, osim P, koje ima drugačiju ulogu. Na primjer:

• A = "studenti su došli na predavanje."
• Ā = “studenti nisu došli na predavanje.”

U praktičnim zadacima događaji se obično zapisuju riječima.

Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova jednaka mogućnost. Odnosno, ako bacite novčić, moguće su sve varijante početnog pada dok on ne padne. Ali događaji također nisu jednako mogući. To se događa kada netko namjerno utječe na ishod. Na primjer, "označene" karte za igranje ili kocke, u kojima je težište pomaknuto.

Događaji također mogu biti kompatibilni i nekompatibilni. Kompatibilni događaji ne isključuju međusobno pojavljivanje. Na primjer:

• A = "student je došao na predavanje."
• B = “student je došao na predavanje.”

Ti su događaji neovisni jedan o drugome i pojava jednog od njih ne utječe na pojavu drugog. Nespojivi događaji definirani su činjenicom da pojava jednog isključuje pojavu drugog. Ako govorimo o istom novčiću, tada gubitak "repova" onemogućuje pojavu "glava" u istom eksperimentu.

Radnje na događajima

Događaji se mogu množiti i zbrajati, sukladno tome u disciplinu se uvode logički veznici “I” i “ILI”.

Količina je određena činjenicom da se događaj A ili B, ili dva, mogu dogoditi istovremeno. Ako su nekompatibilni, posljednja opcija je nemoguća; bacit će se A ili B.

Umnožavanje događaja sastoji se u pojavljivanju A i B u isto vrijeme.

Sada možemo dati nekoliko primjera kako bismo bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema u nastavku.

Vježba 1: Tvrtka sudjeluje u natječaju za dobivanje ugovora za tri vrste radova. Mogući događaji koji se mogu dogoditi:

• A = "tvrtka će dobiti prvi ugovor."
• A 1 = "tvrtka neće primiti prvi ugovor."
• B = "tvrtka će dobiti drugi ugovor."
• B 1 = "tvrtka neće dobiti drugi ugovor"
• C = "tvrtka će dobiti treći ugovor."
• C 1 = "tvrtka neće dobiti treći ugovor."

Koristeći akcije na događaje, pokušat ćemo izraziti sljedeće situacije:

• K = "tvrtka će dobiti sve ugovore."

U matematičkom obliku, jednadžba će imati sljedeći oblik: K = ABC.

• M = "tvrtka neće dobiti niti jedan ugovor."

M = A 1 B 1 C 1.

Zakomplicirajmo zadatak: H = "tvrtka će dobiti jedan ugovor." Budući da se ne zna koji će ugovor tvrtka dobiti (prvi, drugi ili treći), potrebno je zabilježiti cijeli niz mogućih događaja:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je niz događaja u kojima tvrtka ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Ostali mogući događaji zabilježeni su odgovarajućom metodom. Simbol υ u disciplini označava veznik “ILI”. Ako gornji primjer prevedemo na ljudski jezik, tvrtka će dobiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Na sličan način možete zapisati i druge uvjete u disciplini “Teorija vjerojatnosti”. Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to učinite sami.

Zapravo, vjerojatnost

Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerojatnost događaja središnji koncept. Postoje 3 definicije vjerojatnosti:

• klasični;
• statistički;
• geometrijski.

Svaki ima svoje mjesto u proučavanju vjerojatnosti. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (9. razred) uglavnom koriste klasičnu definiciju, koja zvuči ovako:

• Vjerojatnost situacije A jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju njenom nastanku prema broju svih mogućih ishoda.

Formula izgleda ovako: P(A)=m/n.

A je zapravo događaj. Ako se pojavi padež suprotan A, može se napisati kao Ā ili A 1 .

m je broj mogućih povoljnih slučajeva.

n - svi događaji koji se mogu dogoditi.

Na primjer, A = "izvucite kartu boje srca." Postoji 36 karata u standardnom špilu, od kojih su 9 srca. Prema tome, formula za rješavanje problema izgledat će ovako:

P(A)=9/36=0,25.

Kao rezultat toga, vjerojatnost da će karta boje srca biti izvučena iz špila bit će 0,25.

Prema višoj matematici

Sada je postalo malo poznato što je teorija vjerojatnosti, formule i primjeri rješavanja problema koji se nalaze u školskom kurikulumu. Međutim, teorija vjerojatnosti također se nalazi u višoj matematici, koja se predaje na sveučilištima. Najčešće operiraju geometrijskim i statističkim definicijama teorije i složenim formulama.

Teorija vjerojatnosti vrlo je zanimljiva. Bolje je početi proučavati formule i primjere (viša matematika) malo - sa statističkom (ili frekvencijskom) definicijom vjerojatnosti.

Statistički pristup nije u suprotnosti s klasičnim, već ga malo proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno odrediti s kojom vjerojatnošću će se događaj dogoditi, onda je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko često će se dogoditi. Ovdje se uvodi novi koncept "relativne frekvencije", koji se može označiti s W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

Ako se klasična formula izračunava za predviđanje, onda se statistička izračunava prema rezultatima eksperimenta. Uzmimo za primjer mali zadatak.

Odjel tehnološke kontrole provjerava kvalitetu proizvoda. Od 100 proizvoda, 3 su nekvalitetna. Kako pronaći vjerojatnost učestalosti kvalitetnog proizvoda?

A = “izgled kvalitetnog proizvoda.”

Wn(A)=97/100=0,97

Dakle, frekvencija kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 pregledanih proizvoda, 3 su nekvalitetna. Od 100 oduzmemo 3 i dobijemo 97, to je količina kvalitetne robe.

Malo o kombinatorici

Druga metoda teorije vjerojatnosti naziva se kombinatorika. Njegovo osnovno načelo je da ako se određeni izbor A može napraviti na m različitih načina, a izbor B može se napraviti na n različitih načina, tada se izbor A i B može napraviti množenjem.

Na primjer, postoji 5 cesta koje vode od grada A do grada B. Od grada B do grada C vode 4 staze. Na koliko načina možete doći iz grada A u grad C?

Jednostavno je: 5x4=20, odnosno na dvadeset različitih načina možete doći od točke A do točke C.

Zakomplicirajmo zadatak. Na koliko načina postoji raspored karata u pasijansu? U špilu je 36 karata - ovo je početna točka. Da biste saznali broj načina, morate "oduzimati" jednu po jednu kartu od početne točke i množiti.

Odnosno, 36x35x34x33x32...x2x1= rezultat ne stane na zaslon kalkulatora, tako da se jednostavno može označiti s 36!. Znak "!" pored broja označava da je cijeli niz brojeva pomnožen zajedno.

U kombinatorici postoje pojmovi kao što su permutacija, postavljanje i kombinacija. Svaki od njih ima svoju formulu.

Uređen skup elemenata skupa naziva se raspored. Postavljanje se može ponavljati, odnosno jedan element se može koristiti više puta. I bez ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m su elementi koji sudjeluju u postavljanju. Formula za postavljanje bez ponavljanja izgledat će ovako:

A n m =n!/(n-m)!

Veze od n elemenata koji se razlikuju samo po redoslijedu postavljanja nazivaju se permutacijama. U matematici to izgleda ovako: P n = n!

Kombinacije n elemenata od m su oni spojevi u kojima je važno koji su elementi bili i koliki im je ukupan broj. Formula će izgledati ovako:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoullijeva formula

U teoriji vjerojatnosti, kao iu svakoj disciplini, postoje radovi izvrsnih istraživača u svom području koji su ga podigli na novu razinu. Jedno od tih djela je Bernoullijeva formula, koja vam omogućuje određivanje vjerojatnosti da će se određeni događaj dogoditi u neovisnim uvjetima. Ovo sugerira da pojavljivanje A u eksperimentu ne ovisi o pojavljivanju ili nepojavljivanju istog događaja u ranijim ili sljedećim ispitivanjima.

Bernoullijeva jednadžba:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Vjerojatnost (p) pojave događaja (A) je konstantna za svaki pokušaj. Vjerojatnost da će se situacija dogoditi točno m puta u n broj eksperimenata izračunat će se gore prikazanom formulom. Sukladno tome, postavlja se pitanje kako saznati broj q.

Ako se događaj A dogodi p broj puta, prema tome, možda se neće dogoditi. Jedinica je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda situacije u disciplini. Stoga je q broj koji označava mogućnost da se događaj ne dogodi.

Sada znate Bernoullijevu formulu (teorija vjerojatnosti). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema (prva razina).

Zadatak 2: Posjetitelj trgovine će kupiti s vjerojatnošću 0,2. U trgovinu je samostalno ušlo 6 posjetitelja. Koja je vjerojatnost da će posjetitelj obaviti kupnju?

Rješenje: Budući da je nepoznato koliko posjetitelja treba obaviti kupnju, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerojatnosti pomoću Bernoullijeve formule.

A = "posjetitelj će obaviti kupnju."

U ovom slučaju: p = 0,2 (kako je navedeno u zadatku). Prema tome, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (budući da u trgovini ima 6 kupaca). Broj m će varirati od 0 (niti jedan kupac neće kupiti) do 6 (svi posjetitelji trgovine će nešto kupiti). Kao rezultat, dobivamo rješenje:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Niti jedan kupac neće obaviti kupnju s vjerojatnošću 0,2621.

Kako se inače koristi Bernoullijeva formula (teorija vjerojatnosti)? Primjeri rješavanja problema (druga razina) u nastavku.

Nakon gornjeg primjera postavljaju se pitanja gdje su nestali C i r. U odnosu na p, broj na potenciju 0 bit će jednak jedan. Što se tiče C, može se pronaći po formuli:

C n m = n! /m!(n-m)!

Budući da je u prvom primjeru m = 0, odnosno C = 1, što u načelu ne utječe na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati koja je vjerojatnost da dva posjetitelja kupe robu.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teorija vjerojatnosti nije tako komplicirana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri gore navedeni, izravan je dokaz za to.

Poissonova formula

Poissonova jednadžba koristi se za izračun slučajnih situacija male vjerojatnosti.

Osnovna formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

U ovom slučaju λ = n x p. Ovdje je jednostavna Poissonova formula (teorija vjerojatnosti). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema.

Zadatak 3: Tvornica je proizvela 100.000 dijelova. Pojava neispravnog dijela = 0,0001. Kolika je vjerojatnost da će u seriji biti 5 neispravnih dijelova?

Kao što vidite, brak je malo vjerojatan događaj, pa se za izračun koristi Poissonova formula (teorija vjerojatnosti). Primjeri rješavanja zadataka ove vrste ne razlikuju se od ostalih zadataka u disciplini, potrebne podatke zamjenjujemo u zadanu formulu:

A = "nasumično odabrani dio bit će neispravan."

p = 0,0001 (prema uvjetima zadatka).

n = 100000 (broj dijelova).

m = 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formulu i dobivamo:

100 000 R (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Baš kao i Bernoullijeva formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješenja koja koriste gore napisani, Poissonova jednadžba ima nepoznatu e. Zapravo, može se pronaći formulom:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Međutim, postoje posebne tablice koje sadrže gotovo sve vrijednosti e.

De Moivre-Laplaceov teorem

Ako je u Bernoullijevoj shemi broj pokušaja dovoljno velik, a vjerojatnost pojavljivanja događaja A u svim shemama ista, tada se vjerojatnost pojavljivanja događaja A određeni broj puta u nizu testova može pronaći pomoću Laplaceova formula:

R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Da biste bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), u nastavku su navedeni primjeri problema koji će vam pomoći.

Prvo, pronađimo X m, zamijenimo podatke (svi su gore navedeni) u formulu i dobijemo 0,025. Pomoću tablica nalazimo broj ϕ(0,025) čija je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formulu:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Dakle, vjerojatnost da će letak raditi točno 267 puta je 0,03.

Bayesova formula

Bayesova formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja problema uz pomoć kojih će biti navedeni u nastavku, jednadžba je koja opisuje vjerojatnost događaja na temelju okolnosti koje bi mogle biti povezane s njim. Osnovna formula je sljedeća:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B su određeni događaji.

P(A|B) je uvjetna vjerojatnost, odnosno događaj A se može dogoditi pod uvjetom da je događaj B istinit.

P (B|A) - uvjetna vjerojatnost događaja B.

Dakle, završni dio kratkog tečaja "Teorija vjerojatnosti" je Bayesova formula, primjeri rješenja problema s kojima su u nastavku.

Zadatak 5: U skladište su dopremljeni telefoni tri firme. Istovremeno, udio telefona koji se proizvode u prvoj tvornici je 25%, u drugoj - 60%, u trećoj - 15%. Također je poznato da je prosječni postotak neispravnih proizvoda u prvoj tvornici 2%, u drugoj 4%, au trećoj 1%. Morate pronaći vjerojatnost da će nasumično odabrani telefon biti neispravan.

A = "nasumično odabran telefon."

B 1 - telefon koji je proizvela prva tvornica. Sukladno tome pojavit će se uvodni B 2 i B 3 (za drugu i treću tvornicu).

Kao rezultat dobivamo:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - tako smo pronašli vjerojatnost svake opcije.

Sada trebate pronaći uvjetne vjerojatnosti željenog događaja, odnosno vjerojatnost neispravnih proizvoda u tvrtkama:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Sada zamijenimo podatke Bayesovom formulom i dobijemo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Članak predstavlja teoriju vjerojatnosti, formule i primjere rješavanja problema, no to je samo vrh ledenog brijega goleme discipline. I nakon svega napisanog, logično će biti postaviti pitanje je li teorija vjerojatnosti potrebna u životu. Običnoj osobi je teško odgovoriti, bolje je pitati nekoga tko je više puta osvojio jackpot.

U ekonomiji, kao iu drugim područjima ljudske djelatnosti ili u prirodi, stalno imamo posla s događajima koji se ne mogu točno predvidjeti. Dakle, obujam prodaje proizvoda ovisi o potražnji, koja može značajno varirati, te o nizu drugih čimbenika koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir. Stoga pri organizaciji proizvodnje i prodaji morate predvidjeti ishod takvih aktivnosti na temelju ili vlastitog prethodnog iskustva, ili sličnog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se u velikoj mjeri oslanja i na eksperimentalne podatke.

Da bi se na neki način vrednovao predmetni događaj, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizirati uvjete u kojima se taj događaj snima.

Poziva se provedba određenih uvjeta ili radnji za identifikaciju predmetnog događaja iskustvo ili eksperiment.

Događaj se zove slučajan, ako se kao rezultat iskustva može ili ne mora dogoditi.

Događaj se zove pouzdan, ako se nužno pojavljuje kao rezultat danog iskustva, i nemoguće, ako se ne može pojaviti u ovom iskustvu.

Na primjer, snijeg u Moskvi 30. studenog je slučajan događaj. Dnevni izlazak sunca može se smatrati pouzdanim događajem. Snježne padaline na ekvatoru mogu se smatrati nemogućim događajem.

Jedan od glavnih zadataka u teoriji vjerojatnosti je zadatak određivanja kvantitativne mjere mogućnosti da se događaj dogodi.

Algebra događaja

Događaji se nazivaju nekompatibilnima ako se ne mogu promatrati zajedno u istom iskustvu. Dakle, prisutnost dva i tri automobila u jednoj trgovini za prodaju u isto vrijeme dva su nespojiva događaja.

Iznos događaji su događaji koji se sastoje od pojave najmanje jednog od ovih događaja

Primjer zbroja događaja je prisutnost barem jednog od dva proizvoda u trgovini.

Posao događaji su događaji koji se sastoje od istodobnog događanja svih tih događaja

Događaj koji se sastoji od pojave dviju roba u prodavaonici u isto vrijeme proizvod je događaja: - pojave jednog proizvoda, - pojave drugog proizvoda.

Događaji čine potpunu skupinu događaja ako je barem jedan od njih siguran da će se dogoditi u iskustvu.

Primjer. Luka ima dva veza za prihvat brodova. U obzir se mogu uzeti tri događaja: - odsutnost brodova na vezovima, - prisutnost jednog broda na jednom od veza, - prisutnost dvaju brodova na dva veza. Ova tri događaja čine cjelovitu skupinu događaja.

Suprotan nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine potpunu skupinu.

Ako je jedan od događaja koji je suprotan označen s , tada se suprotan događaj obično označava s .

Klasične i statističke definicije vjerojatnosti događaja

Svaki od jednako mogućih rezultata ispitivanja (pokusa) naziva se elementarni ishod. Obično se označavaju slovima. Na primjer, baca se kocka. Može postojati ukupno šest osnovnih ishoda na temelju broja bodova na stranama.

Od elementarnih ishoda možete stvoriti složeniji događaj. Dakle, slučaj parnog broja bodova određuju tri ishoda: 2, 4, 6.

Kvantitativna mjera mogućnosti nastanka predmetnog događaja je vjerojatnost.

Najčešće korištene definicije vjerojatnosti događaja su: klasični I statistički.

Klasična definicija vjerojatnosti povezana je s konceptom povoljnog ishoda.

Ishod se zove povoljan određenom događaju ako njegova pojava povlači za sobom pojavu ovog događaja.

U gornjem primjeru, predmetni događaj—paran broj bodova na otkotrljanoj strani—ima tri povoljna ishoda. U ovom slučaju general
broj mogućih ishoda. To znači da se ovdje može koristiti klasična definicija vjerojatnosti događaja.

Klasična definicija jednak je omjeru broja povoljnih ishoda prema ukupnom broju mogućih ishoda

gdje je vjerojatnost događaja, je broj ishoda koji su povoljni za događaj, je ukupan broj mogućih ishoda.

U razmatranom primjeru

Statistička definicija vjerojatnosti povezana je s konceptom relativne učestalosti pojavljivanja događaja u eksperimentima.

Relativna učestalost pojavljivanja događaja izračunava se pomoću formule

gdje je broj pojavljivanja događaja u nizu eksperimenata (testova).

Statistička definicija. Vjerojatnost događaja je broj oko kojeg se relativna frekvencija stabilizira (postavlja) s neograničenim povećanjem broja eksperimenata.

U praktičnim problemima, vjerojatnost događaja se uzima kao relativna učestalost za dovoljno veliki broj pokušaja.

Iz ovih definicija vjerojatnosti događaja jasno je da je nejednakost uvijek zadovoljena

Za određivanje vjerojatnosti nekog događaja na temelju formule (1.1) često se koriste kombinatoričke formule pomoću kojih se nalazi broj povoljnih ishoda i ukupan broj mogućih ishoda.

OPĆINSKA OBRAZOVNA USTANOVA

GIMNAZIJA br.6

na temu “Klasična definicija vjerojatnosti”.

Ispunila učenica 8. „B“ razreda.

Klimantova Aleksandra.

Učitelj matematike: Videnkina V. A.

Voronjež, 2008

Mnoge igre koriste kockice. Kocka ima 6 stranica, svaka stranica ima označen različit broj točkica, od 1 do 6. Igrač baca kockicu i gleda koliko točaka ima na ispuštenoj strani (na strani koja se nalazi na vrhu) . Često se točke na plohi kocke zamijene odgovarajućim brojem i tada se govori o izbacivanju 1, 2 ili 6. Bacanje kocke može se smatrati iskustvom, eksperimentom, testom, a dobiveni rezultat je ishod testa ili elementarni događaj. Ljudi su zainteresirani za pogađanje pojave ovog ili onog događaja i predviđanje njegovog ishoda. Koja predviđanja mogu dati kad bacaju kockice? Na primjer, ove:

1) događaj A - baca se broj 1, 2, 3, 4, 5 ili 6;

2) događaj B - pojavljuje se broj 7, 8 ili 9;

3) događaj C - pojavljuje se broj 1.

Događaj A, predviđen u prvom slučaju, sigurno će se dogoditi. Općenito, događaj za koji je sigurno da će se dogoditi u određenom iskustvu naziva se pouzdan događaj .

Događaj B, predviđen u drugom slučaju, nikada se neće dogoditi, to je jednostavno nemoguće. Općenito, događaj koji se ne može dogoditi u danom iskustvu naziva se nemoguć događaj .

I hoće li se događaj C, predviđen u trećem slučaju, dogoditi ili ne? Ne možemo s potpunom sigurnošću odgovoriti na ovo pitanje, jer 1 može, ali i ne mora ispasti. Događaj koji se može ili ne mora dogoditi u danom iskustvu naziva se slučajni događaj .

Kada razmišljamo o pojavi pouzdanog događaja, najvjerojatnije nećemo koristiti riječ “vjerojatno”. Na primjer, ako je danas srijeda, a sutra je četvrtak, ovo je pouzdan događaj. U srijedu nećemo reći: “Vjerojatno je sutra četvrtak”, reći ćemo kratko i jasno: “Sutra je četvrtak”. Istina, ako smo skloni lijepim frazama, možemo reći ovo: "Sa stopostotnom vjerojatnošću kažem da je sutra četvrtak." Naprotiv, ako je danas srijeda, onda je početak petka sutra nemoguć događaj. Ocjenjujući ovaj događaj u srijedu, možemo reći sljedeće: "Siguran sam da sutra nije petak." Ili ovo: "Nevjerojatno je da je sutra petak." Pa, ako smo skloni lijepim frazama, možemo reći ovo: “Vjerojatnost da je sutra petak je nula.” Dakle, pouzdani događaj je događaj koji se dogodi u danim uvjetima sa stopostotnom vjerojatnošću(tj. javlja se u 10 slučajeva od 10, u 100 slučajeva od 100, itd.). Nemogući događaj je događaj koji se nikada ne dogodi u danim uvjetima, događaj s nultom vjerojatnošću .

Ali, nažalost (a možda i na sreću), nije sve u životu tako jasno i precizno: uvijek će biti (određeni događaj), neće biti nikada (nemogući događaj). Najčešće se susrećemo sa slučajnim događajima od kojih su neki vjerojatniji, drugi manje vjerojatni. Obično ljudi koriste riječi "vjerojatnije" ili "manje vjerojatno", kako kažu, iz hira, oslanjajući se na ono što se zove zdrav razum. Ali vrlo često se takve procjene pokažu nedostatnima, jer je važno znati kako dugo posto vjerojatno slučajan događaj ili koliko puta jedan je slučajni događaj vjerojatniji od drugog. Drugim riječima, trebamo točne kvantitativni karakteristike, morate biti u stanju okarakterizirati vjerojatnost brojem.

Već smo napravili prve korake u tom smjeru. Rekli smo da se vjerojatnost događanja određenog događaja karakterizira kao sto posto, a vjerojatnost da se dogodi nemoguć događaj je kao nula. S obzirom da je 100% jednako 1, ljudi su se složili oko sljedećeg:

1) vjerojatnost pouzdanog događaja smatra se jednakom 1;

2) vjerojatnost nemogućeg događaja smatra se jednakom 0.

Kako izračunati vjerojatnost slučajnog događaja? Uostalom, dogodilo se slučajno, što znači da ne poštuje zakone, algoritme ili formule. Ispostavilo se da u svijetu slučajnosti vrijede određeni zakoni koji omogućuju izračunavanje vjerojatnosti. Ovo je grana matematike koja se zove - teorija vjerojatnosti .

Matematika se bavi model neki fenomen stvarnosti oko nas. Od svih modela koji se koriste u teoriji vjerojatnosti, ograničit ćemo se na najjednostavniji.

Klasična probabilistička shema

Da biste pronašli vjerojatnost događaja A pri provođenju nekog eksperimenta, trebali biste:

1) pronađite broj N svih mogućih ishoda ovog eksperimenta;

2) prihvatiti pretpostavku jednake vjerojatnosti (jednake mogućnosti) svih ovih ishoda;

3) pronaći broj N(A) onih eksperimentalnih ishoda u kojima se pojavljuje događaj A;

4) nađi kvocijent ; bit će jednaka vjerojatnosti događaja A.

Uobičajeno je da se vjerojatnost događaja A označava s P(A). Objašnjenje za ovu oznaku je vrlo jednostavno: riječ "vjerojatnost" na francuskom je vjerojatnost, na engleskom- vjerojatnost.Oznaka koristi prvo slovo riječi.

Koristeći ovu oznaku, vjerojatnost događaja A prema klasičnoj shemi može se pronaći pomoću formule

P(A)=.

Često su sve točke gornje klasične probabilističke sheme izražene u jednoj prilično dugoj frazi.

Klasična definicija vjerojatnosti

Vjerojatnost događaja A tijekom određenog testa je omjer broja ishoda uslijed kojih se događa događaj A prema ukupnom broju svih jednako mogućih ishoda ovog testa.

Primjer 1. Odredite vjerojatnost da će u jednom bacanju kocke rezultat biti: a) 4; b) 5; c) paran broj bodova; d) broj bodova veći od 4; e) broj bodova nedjeljiv s tri.

Riješenje. Ukupno postoji N=6 mogućih ishoda: ispadanje s površine kocke s brojem bodova jednakim 1, 2, 3, 4, 5 ili 6. Vjerujemo da nijedan od njih nema prednosti u odnosu na druge, tj. prihvatiti pretpostavku da je jednaka vjerojatnost ovih ishoda.

a) U točno jednom od ishoda dogodit će se događaj A koji nas zanima — pojavit će se broj 4. To znači da je N(A)=1 i

P ( A )= =.

b) Rješenje i odgovor isti su kao u prethodnom odlomku.

c) Događaj B koji nas zanima dogodit će se u točno tri slučaja kada je broj bodova 2, 4 ili 6. To znači

N ( B )=3 i P ( B )==.

d) Događaj C koji nas zanima dogodit će se u točno dva slučaja kada je broj bodova 5 ili 6. To znači

N ( C ) =2 i R(S)=.

e) Od šest mogućih izvučenih brojeva četiri (1, 2, 4 i 5) nisu višekratnik tri, a preostala dva (3 i 6) su djeljiva s tri. To znači da se događaj koji nas zanima događa u točno četiri od šest mogućih i jednako vjerojatnih i jednako vjerojatnih ishoda eksperimenta. Stoga se ispostavlja da je odgovor

. ; b) ; V) ; G) ; d).

Prava kocka može se razlikovati od idealne (modelne) kocke, stoga je za opisivanje njezina ponašanja potreban točniji i detaljniji model, uzimajući u obzir prednosti jednog lica nad drugim, moguću prisutnost magneta itd. Ali "vrag je u detaljima", a veća točnost dovodi do veće složenosti, a dobivanje odgovora postaje problem. Ograničavamo se na razmatranje najjednostavnijeg probabilističkog modela, gdje su svi mogući ishodi jednako vjerojatni.

Napomena 1. Pogledajmo još jedan primjer. Postavljeno je pitanje: "Koja je vjerojatnost da dobijete tri na jednom bacanju kocke?" Student je odgovorio: "Vjerojatnost je 0,5." I obrazložio je svoj odgovor: “Tri će ili doći ili neće. To znači da postoje ukupno dva ishoda i da se u točno jednom od njih događa događaj koji nas zanima. Korištenjem klasične probabilističke sheme dobivamo odgovor 0,5.” Postoji li greška u ovom razmišljanju? Na prvi pogled ne. Međutim, ona još uvijek postoji, i to u temeljnom smislu. Da, doista, trojka će se ili pojaviti ili ne, tj. s ovom definicijom ishoda ždrijeba N=2. Također je točno da je N(A) = 1 i, naravno, točno je da

=0,5, tj. tri točke probabilističke sheme su uzete u obzir, ali je provedba točke 2) upitna. Naravno, s čisto pravne točke gledišta, imamo pravo vjerovati da je jednako vjerojatno da bacanje trojke ne ispadne. Ali možemo li tako misliti bez kršenja vlastitih prirodnih pretpostavki o "istovjetnosti" rubova? Naravno da ne! Ovdje se radi o ispravnom zaključivanju unutar određenog modela. Ali ovaj model je sam po sebi "pogrešan", ne odgovara stvarnom fenomenu.

Napomena 2. Kada raspravljate o vjerojatnosti, nemojte izgubiti iz vida sljedeću važnu okolnost. Ako kažemo da prilikom bacanja kocke, vjerojatnost dobivanja jednog boda je

, to uopće ne znači da ćete bacanjem kocke 6 puta dobiti jedan bod točno jednom, bacanjem kocke 12 puta dobit ćete po jedan bod točno dva puta, bacanjem kocke 18 puta dobit ćete jedan bod točno tri vremena itd. Riječ je vjerojatno spekulativna. Pretpostavljamo što će se najvjerojatnije dogoditi. Vjerojatno ako bacimo kocku 600 puta, jedan bod će se pojaviti 100 puta, ili oko 100.