Što je događaj u teoriji vjerojatnosti. Zadaci klasičnog određivanja vjerojatnosti Primjeri rješenja. Odnosi među događajima
Za praktične aktivnosti potrebno je moći usporediti događaje prema stupnju mogućnosti njihova nastanka. Razmotrimo klasičan slučaj. U urni je 10 kuglica, od kojih je 8 bijelih, 2 crne. Očigledno je da događaj “iz urne će biti izvučena bijela kugla” i događaj “iz urne će biti izvučena crna kugla” imaju različite stupnjeve mogućnosti pojavljivanja. Stoga je za usporedbu događaja potrebna određena kvantitativna mjera.
Kvantitativna mjera mogućnosti događanja događaja je vjerojatnost . Najčešće korištene definicije vjerojatnosti događaja su klasična i statistička.
Klasična definicija vjerojatnost je povezana s konceptom povoljnog ishoda. Pogledajmo ovo detaljnije.
Neka ishodi nekog testa čine potpunu skupinu događaja i neka su jednako mogući, tj. jedinstveno moguće, nekompatibilno i jednako moguće. Takvi se ishodi nazivaju elementarni ishodi, ili slučajeva. Rečeno je da se test svodi na shema slučaja ili " urna shema", jer Svaki problem vjerojatnosti za takav test može se zamijeniti ekvivalentnim problemom s urnama i kuglicama različitih boja.
Ishod se zove povoljan događaj A, ako pojava ovog slučaja povlači za sobom pojavu događaja A.
Prema klasičnoj definiciji vjerojatnost događaja A je jednak omjeru broja ishoda koji su povoljni za ovaj događaj prema ukupnom broju ishoda, tj.
| , | (1.1) |
Gdje GODIŠNJE)– vjerojatnost događaja A; m– broj slučajeva koji pogoduju događaju A; n– ukupan broj predmeta.
Primjer 1.1. Kod bacanja kocke postoji šest mogućih ishoda: 1, 2, 3, 4, 5, 6 bodova. Kolika je vjerojatnost da dobijete paran broj bodova?
Riješenje. svi n= 6 ishoda čine potpunu skupinu događaja i jednako su mogući, tj. jedinstveno moguće, nekompatibilno i jednako moguće. Događaj A - "pojava parnog broja bodova" - favoriziraju 3 ishoda (slučaja) - gubitak 2, 4 ili 6 bodova. Korištenjem klasične formule za vjerojatnost događaja dobivamo
GODIŠNJE) = = . ◄
Na temelju klasične definicije vjerojatnosti događaja, bilježimo njegova svojstva:
1. Vjerojatnost bilo kojeg događaja leži između nule i jedan, tj.
0 ≤ R(A) ≤ 1.
2. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jedinici.
3. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.
Kao što je ranije rečeno, klasična definicija vjerojatnosti primjenjiva je samo za one događaje koji mogu nastati kao rezultat testova koji imaju simetriju mogućih ishoda, tj. svedivi na obrazac slučajeva. Međutim, postoji velika klasa događaja čije se vjerojatnosti ne mogu izračunati korištenjem klasične definicije.
Primjerice, ako pretpostavimo da je novčić spljošten, onda je očito da se događaji “pojava grba” i “pojava glava” ne mogu smatrati jednako mogućima. Stoga formula za određivanje vjerojatnosti prema klasičnoj shemi nije primjenjiva u ovom slučaju.
Međutim, postoji još jedan pristup procjeni vjerojatnosti događaja, koji se temelji na tome koliko često će se određeni događaj pojaviti u provedenim ispitivanjima. U ovom slučaju koristi se statistička definicija vjerojatnosti.
Statistička vjerojatnostdogađaj A je relativna učestalost (učestalost) pojavljivanja ovog događaja u n izvedenih pokusa, tj.
 ,
| (1.2) |
Gdje GODIŠNJE)– statistička vjerojatnost događaja A; w(A)– relativna učestalost događaja A; m– broj pokusa u kojima se događaj dogodio A; n– ukupan broj testova.
Za razliku od matematičke vjerojatnosti GODIŠNJE), u klasičnoj definiciji, statistička vjerojatnost GODIŠNJE) je karakteristika iskusan, eksperimentalni. Drugim riječima, statistička vjerojatnost događaja A je broj oko kojeg se relativna frekvencija stabilizira (postavlja) w(A) s neograničenim povećanjem broja testova koji se provode pod istim skupom uvjeta.
Na primjer, kada za strijelca kažu da je pogodio metu s vjerojatnošću 0,95, to znači da od stotine hitaca koje je ispalio pod određenim uvjetima (ista meta na istoj udaljenosti, ista puška itd.). ), u prosjeku je oko 95 uspješnih. Naravno, neće svaka stotka imati 95 uspješnih hitaca, nekad će ih biti manje, nekad više, ali u prosjeku, kada se gađanje ponavlja više puta pod istim uvjetima, ovaj postotak pogodaka će ostati nepromijenjen. Brojka od 0,95, koja služi kao pokazatelj strijelčeve vještine, obično je vrlo stabilan, tj. postotak pogodaka u većini gađanja bit će gotovo isti za određenog strijelca, samo će u rijetkim slučajevima značajno odstupati od prosječne vrijednosti.
Još jedan nedostatak klasične definicije vjerojatnosti ( 1.1 ) ograničenje njegove upotrebe je to što pretpostavlja konačan broj mogućih ishoda testa. U nekim slučajevima, ovaj se nedostatak može prevladati korištenjem geometrijske definicije vjerojatnosti, tj. pronalaženje vjerojatnosti pada točke u određeno područje (odsječak, dio ravnine itd.).
Neka ravna figura gčini dio ravne figure G(Slika 1.1). Fit G nasumično se baca točka. To znači da sve točke u regiji G“jednaka prava” s obzirom na to hoće li je bačena nasumična točka pogoditi. Uz pretpostavku da je vjerojatnost događaja A– bačena točka pogodi figuru g– proporcionalna je površini ove figure i ne ovisi o njenom položaju u odnosu na G, niti iz forme g, naći ćemo
U ekonomiji, kao iu drugim područjima ljudske djelatnosti ili u prirodi, stalno imamo posla s događajima koji se ne mogu točno predvidjeti. Dakle, obujam prodaje proizvoda ovisi o potražnji, koja može značajno varirati, te o nizu drugih čimbenika koje je gotovo nemoguće uzeti u obzir. Stoga pri organizaciji proizvodnje i prodaji morate predvidjeti ishod takvih aktivnosti na temelju ili vlastitog prethodnog iskustva, ili sličnog iskustva drugih ljudi, ili intuicije, koja se u velikoj mjeri oslanja i na eksperimentalne podatke.
Da bi se na neki način vrednovao predmetni događaj, potrebno je uzeti u obzir ili posebno organizirati uvjete u kojima se taj događaj snima.
Poziva se provedba određenih uvjeta ili radnji za identifikaciju predmetnog događaja iskustvo ili eksperiment.
Događaj se zove slučajan, ako se kao rezultat iskustva može ili ne mora dogoditi.
Događaj se zove pouzdan, ako se nužno pojavljuje kao rezultat danog iskustva, i nemoguće, ako se ne može pojaviti u ovom iskustvu.
Na primjer, snijeg u Moskvi 30. studenog je slučajan događaj. Dnevni izlazak sunca može se smatrati pouzdanim događajem. Snježne padaline na ekvatoru mogu se smatrati nemogućim događajem.
Jedan od glavnih zadataka u teoriji vjerojatnosti je zadatak određivanja kvantitativne mjere mogućnosti da se događaj dogodi.
Algebra događaja
Događaji se nazivaju nekompatibilnima ako se ne mogu promatrati zajedno u istom iskustvu. Dakle, prisutnost dva i tri automobila u jednoj trgovini za prodaju u isto vrijeme dva su nespojiva događaja.
Iznos događaji su događaji koji se sastoje od pojave najmanje jednog od ovih događaja
Primjer zbroja događaja je prisutnost barem jednog od dva proizvoda u trgovini.
Posao događaji su događaji koji se sastoje od istodobnog događanja svih tih događaja
Događaj koji se sastoji od pojave dviju roba u prodavaonici u isto vrijeme proizvod je događaja: - pojave jednog proizvoda, - pojave drugog proizvoda.
Događaji čine potpunu skupinu događaja ako je barem jedan od njih siguran da će se dogoditi u iskustvu.
Primjer. Luka ima dva veza za prihvat brodova. U obzir se mogu uzeti tri događaja: - odsutnost brodova na vezovima, - prisutnost jednog broda na jednom od veza, - prisutnost dvaju brodova na dva veza. Ova tri događaja čine cjelovitu skupinu događaja.
Suprotan nazivaju se dva jedinstvena moguća događaja koji čine potpunu skupinu.
Ako je jedan od događaja koji je suprotan označen s , tada se suprotan događaj obično označava s .
Klasične i statističke definicije vjerojatnosti događaja
Svaki od jednako mogućih rezultata ispitivanja (pokusa) naziva se elementarni ishod. Obično se označavaju slovima. Na primjer, baca se kocka. Može postojati ukupno šest osnovnih ishoda na temelju broja bodova na stranama.
Od elementarnih ishoda možete stvoriti složeniji događaj. Dakle, slučaj parnog broja bodova određuju tri ishoda: 2, 4, 6.
Kvantitativna mjera mogućnosti nastanka predmetnog događaja je vjerojatnost.
Najčešće korištene definicije vjerojatnosti događaja su: klasični I statistički.
Klasična definicija vjerojatnosti povezana je s konceptom povoljnog ishoda.
Ishod se zove povoljan određenom događaju ako njegova pojava povlači za sobom pojavu ovog događaja.
U gornjem primjeru, predmetni događaj—paran broj bodova na otkotrljanoj strani—ima tri povoljna ishoda. U ovom slučaju general
broj mogućih ishoda. To znači da se ovdje može koristiti klasična definicija vjerojatnosti događaja.
Klasična definicija jednak je omjeru broja povoljnih ishoda prema ukupnom broju mogućih ishoda
gdje je vjerojatnost događaja, je broj ishoda koji su povoljni za događaj, je ukupan broj mogućih ishoda.
U razmatranom primjeru
Statistička definicija vjerojatnosti povezana je s konceptom relativne učestalosti pojavljivanja događaja u eksperimentima.
Relativna učestalost pojavljivanja događaja izračunava se pomoću formule
gdje je broj pojavljivanja događaja u nizu eksperimenata (testova).
Statistička definicija. Vjerojatnost događaja je broj oko kojeg se relativna frekvencija stabilizira (postavlja) s neograničenim povećanjem broja eksperimenata.
U praktičnim problemima, vjerojatnost događaja se uzima kao relativna učestalost za dovoljno veliki broj pokušaja.
Iz ovih definicija vjerojatnosti događaja jasno je da je nejednakost uvijek zadovoljena
Za određivanje vjerojatnosti nekog događaja na temelju formule (1.1) često se koriste kombinatoričke formule pomoću kojih se nalazi broj povoljnih ishoda i ukupan broj mogućih ishoda.
Vjerojatnost događaja shvaća se kao određena numerička karakteristika mogućnosti nastanka tog događaja. Postoji nekoliko pristupa određivanju vjerojatnosti.
Vjerojatnost događaja A naziva se omjerom broja ishoda koji su povoljni za ovaj događaj prema ukupnom broju svih jednako mogućih nekompatibilnih elementarnih ishoda koji tvore kompletnu skupinu. Dakle, vjerojatnost događaja A određuje se formulom
Gdje m– broj elementarnih ishoda povoljnih A, n– broj svih mogućih elementarnih ishoda testa.
Primjer 3.1. U eksperimentu koji uključuje bacanje kocke, broj svih ishoda n jednako 6 i svi su jednako mogući. Neka događaj A znači pojavu parnog broja. Tada će za ovaj događaj povoljni ishodi biti pojavljivanje brojeva 2, 4, 6. Njihov je broj 3. Dakle, vjerojatnost događaja A jednak
Primjer 3.2. Kolika je vjerojatnost da nasumce odabran dvoznamenkasti broj ima iste znamenke?
Dvoznamenkasti brojevi su brojevi od 10 do 99, a takvih je ukupno 90. 9 brojeva ima iste znamenke (to su brojevi 11, 22, ..., 99). Pošto u ovom slučaju m=9, n=90, dakle
Gdje A– događaj, “broj s istim znamenkama.”
Primjer 3.3. U seriji od 10 dijelova, 7 je standardno. Odredite vjerojatnost da su od šest nasumično uzetih dijelova 4 standardna.
Ukupan broj mogućih elementarnih ishoda testa jednak je broju načina na koji se iz 10 može izdvojiti 6 dijelova, odnosno broju kombinacija 10 elemenata od po 6 elemenata. Odredimo broj ishoda koji su povoljni za događaj koji nas zanima A(među šest uzetih dijelova su 4 standardna). Četiri standardna dijela mogu se uzeti iz sedam standardnih dijelova na različite načine; u isto vrijeme, preostalih 6-4=2 dijela moraju biti nestandardni, ali možete uzeti dva nestandardna dijela iz 10-7=3 nestandardnih dijelova na različite načine. Stoga je broj povoljnih ishoda jednak .
Tada je tražena vjerojatnost jednaka
Sljedeća svojstva proizlaze iz definicije vjerojatnosti:
1. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jedinici.
Doista, ako je događaj pouzdan, tada svaki elementarni ishod testa ide u prilog događaju. U ovom slučaju m=n, dakle
2. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.
Doista, ako je događaj nemoguć, tada nijedan od elementarnih ishoda testa ne ide u prilog tom događaju. U ovom slučaju znači
3. Vjerojatnost slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.
Doista, samo dio ukupnog broja elementarnih ishoda testa favorizira slučajni događaj. U ovom slučaju< m< n, znači 0 < m/n < 1, tj. 0< GODIŠNJE) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
Izgradnja logički potpune teorije vjerojatnosti temelji se na aksiomatskoj definiciji slučajnog događaja i njegove vjerojatnosti. U sustavu aksioma koji je predložio A. N. Kolmogorov, nedefinirani pojmovi su elementarni događaj i vjerojatnost. Evo aksioma koji definiraju vjerojatnost:
1. Svaki događaj A dodijeljen nenegativan realan broj GODIŠNJE). Taj se broj naziva vjerojatnost događaja A.
2. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jedinici.
3. Vjerojatnost pojavljivanja barem jednog od po paru nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja.
Na temelju ovih aksioma, svojstva vjerojatnosti i ovisnosti među njima izvode se kao teoremi.
Pitanja za samotestiranje
1. Kako se zove numerička karakteristika mogućnosti događanja događaja?
2. Kolika je vjerojatnost događaja?
3. Kolika je vjerojatnost pouzdanog događaja?
4. Kolika je vjerojatnost nemogućeg događaja?
5. Koje su granice vjerojatnosti slučajnog događaja?
6. Koje su granice vjerojatnosti bilo kojeg događaja?
7. Koja se definicija vjerojatnosti naziva klasičnom?
Osnove teorije vjerojatnosti
Plan:
1. Slučajni događaji
2. Klasična definicija vjerojatnosti
3. Izračun vjerojatnosti događaja i kombinatorika
4. Geometrijska vjerojatnost
Teorijske informacije
Slučajni događaji.
Slučajna pojava- pojava čiji ishod nije jasno definiran. Ovaj se koncept može tumačiti u prilično širokom smislu. Naime: sve je u prirodi prilično slučajno, pojava i rođenje svake jedinke je slučajna pojava, odabir proizvoda u trgovini također je slučajna pojava, dobiti ocjenu na ispitu je slučajna pojava, bolest i oporavak su slučajne pojave itd.
Primjeri slučajnih pojava:
~ Gađanje se izvodi iz pištolja postavljenog pod određenim kutom u odnosu na horizontalu. Pogodak u metu je slučajan, ali projektil koji pogađa određenu "rašlju" je uzorak. Možete odrediti udaljenost kojoj projektil neće letjeti bliže i dalje. Dobit ćete neku vrstu "vilice za raspršivanje projektila"
~ Isto se tijelo važe nekoliko puta. Strogo govoreći, svaki put ćete dobiti različite rezultate, čak i ako se razlikuju neznatno, ali će biti drugačiji.
~ Zrakoplov koji leti istom rutom ima određeni koridor leta unutar kojeg zrakoplov može manevrirati, ali nikada neće imati potpuno identičnu rutu
~ Sportaš nikada neće moći pretrčati istu udaljenost u istom vremenu. Njegovi će rezultati također biti unutar određenog brojčanog raspona.
Iskustvo, eksperiment, promatranje su testovi
suđenje– promatranje ili ispunjavanje određenog skupa uvjeta koji se ponavljaju i redovito ponavljaju u istom slijedu, trajanju iu skladu s drugim identičnim parametrima.
Razmotrimo sportaša koji puca u metu. Da bi se mogao provesti, potrebno je ispuniti uvjete kao što su priprema sportaša, punjenje oružja, nišanjenje itd. „Pogodak“ i „promašaj“ – događaji kao rezultat pogotka.
Događaj– kvalitetan rezultat ispitivanja.
Događaj se može i ne mora dogoditi. Događaji se označavaju velikim slovima. Na primjer: D = "Strijelac je pogodio metu." S="Bijela kugla je izvučena." K="Srećka lutrije uzeta nasumično bez dobitka.".
Bacanje novčića je test. Pad njenog “grba” je jedan događaj, pad njenog “digitala” je drugi događaj.
Svaki test uključuje pojavu nekoliko događaja. Neki od njih mogu biti potrebni istraživaču u određenom trenutku, drugi možda neće biti potrebni.
Događaj se naziva slučajnim, ako, kada je ispunjen određeni skup uvjeta S može se dogoditi ili ne dogoditi. U nastavku, umjesto da kažemo "skup uvjeta S je ispunjen", reći ćemo kratko: "test je proveden". Stoga će se događaj smatrati rezultatom testa.
~ Strijelac puca u metu podijeljenu u četiri područja. Snimak je test. Pogađanje određenog područja mete je događaj.
~ U urni su kuglice u boji. Iz urne se nasumično uzima jedna kuglica. Vađenje lopte iz urne je test. Pojava kuglice određene boje je događaj.
Vrste slučajnih događaja
1. Događaji se nazivaju nekompatibilnim ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih događaja u istom pokusu.
~ Dio se nasumično uklanja iz kutije s dijelovima. Pojava standardnog dijela eliminira pojavu nestandardnog dijela. Događaji € pojavio se standardni dio" i pojavio se nestandardni dio" - nekompatibilno.
~ Bačen je novčić. Pojava "grba" isključuje pojavu natpisa. Događaji "pojavio se grb" i "pojavio se natpis" su nespojivi.
Forma nekoliko događaja puna grupa, ako se barem jedan od njih pojavi kao rezultat testa. Drugim riječima, pojava barem jednog od događaja cijele grupe je pouzdan događaj.
Konkretno, ako su događaji koji tvore potpunu skupinu parno nekompatibilni, tada će rezultat testa biti jedan i samo jedan od tih događaja.Ovaj poseban slučaj je za nas od najvećeg interesa, jer će se dalje koristiti.
~ Kupljene su dvije srećke za novac i odjeću. Jedan i samo jedan od sljedećih događaja sigurno će se dogoditi:
1. “dobitak je pao na prvi listić, a nije pao na drugi,”
2. “dobitak nije pao na prvi listić, a pao je na drugi,”
3. “dobitak je pao na oba listića”,
4. “oba listića nisu dobitna.”
Ovi događaji tvore potpunu skupinu upareno nekompatibilnih događaja,
~ Strijelac je pucao u metu. Jedan od sljedeća dva događaja će se sigurno dogoditi: pogodak, promašaj. Ova dva nespojiva događaja također čine potpunu skupinu.
2. Događaji se nazivaju jednako moguće, ako postoji razlog vjerovati da ni jedno od njih nije više moguće od drugoga.
~ Pojava “grba” i pojava natpisa prilikom bacanja novčića su jednako mogući događaji. Doista, pretpostavlja se da je kovanica izrađena od homogenog materijala, pravilnog cilindričnog oblika, a prisutnost kovanja ne utječe na gubitak jedne ili druge strane kovanice.
~ Pojava jednog ili drugog broja bodova na bačenoj kocki jednako su mogući događaji. Doista, pretpostavlja se da je matrica izrađena od homogenog materijala, da ima oblik pravilnog poliedra, a prisutnost točaka ne utječe na gubitak bilo kojeg lica.
3. Događaj se zove pouzdan, ako ne može a da se ne dogodi
4. Događaj se zove nepouzdan, ako se to ne može dogoditi.
5. Događaj se zove suprotan nekom događaju ako se sastoji od nepojavljivanja ovog događaja. Suprotni događaji nisu kompatibilni, ali se jedan od njih nužno mora dogoditi. Suprotni događaji obično se označavaju kao negacije, tj. Iznad slova napisana je crtica. Suprotni događaji: A i Ā; U i Ū itd. .
Klasična definicija vjerojatnosti
Vjerojatnost je jedan od osnovnih pojmova teorije vjerojatnosti.
Postoji nekoliko definicija ovog pojma. Dajmo definiciju koja se naziva klasična. Zatim ćemo ukazati na slabosti ove definicije i dati druge definicije koje nam omogućuju prevladavanje nedostataka klasične definicije.
Razmotrimo situaciju: Kutija sadrži 6 identičnih kuglica, 2 su crvene, 3 plave i 1 bijela. Očito, mogućnost izvlačenja obojene (tj. crvene ili plave) kuglice iz urne nasumično je veća od mogućnosti izvlačenja bijele kuglice. Ovu mogućnost možemo karakterizirati brojem koji se naziva vjerojatnost događaja (pojava obojene kuglice).
Vjerojatnost- broj koji karakterizira stupanj mogućnosti da se događaj dogodi.
U situaciji koja se razmatra, označavamo:
Događaj A = "Izvlačenje obojene lopte."
Prozvat će se svaki od mogućih rezultata testa (test se sastoji od vađenja kuglice iz urne). elementarni (mogući) ishod i događaj. Elementarni ishodi mogu se označiti slovima s indeksima ispod, na primjer: k 1, k 2.
U našem primjeru postoji 6 loptica, dakle postoji 6 mogućih ishoda: pojavljuje se bijela loptica; pojavila se crvena kugla; pojavila se plava kuglica itd. Lako je vidjeti da ovi ishodi tvore potpunu skupinu po paru nekompatibilnih događaja (pojavit će se samo jedna kuglica) i da su jednako mogući (kuglica je izvučena nasumično, kuglice su identične i temeljito izmiješane).
Nazovimo elementarne ishode u kojima se događa događaj koji nas zanima povoljni ishodi ovaj događaj. U našem primjeru, događaj je favoriziran A(pojava obojene lopte) sljedećih 5 ishoda:
Dakle događaj A promatra se ako je jedan od osnovnih ishoda povoljan za A. Ovo je izgled bilo koje kuglice u boji, kojih ima 5 u kutiji
U primjeru koji razmatramo postoji 6 elementarnih ishoda; Njih 5 favorizira događaj A. Stoga, P(A)= 5/6. Ovaj broj daje kvantitativnu procjenu stupnja mogućnosti pojave obojene kuglice.
Definicija vjerojatnosti:
Vjerojatnost događaja A naziva se omjerom broja ishoda koji su povoljni za ovaj događaj prema ukupnom broju svih jednako mogućih nekompatibilnih elementarnih ishoda koji tvore kompletnu skupinu.
P(A)=m/n ili P(A)=m: n, gdje je:
m je broj povoljnih elementarnih ishoda A;
P- broj svih mogućih elementarnih ishoda testa.
Ovdje se pretpostavlja da su elementarni ishodi nekompatibilni, jednako mogući i da čine potpunu skupinu.
Sljedeća svojstva proizlaze iz definicije vjerojatnosti:
1. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jedinici.
Doista, ako je događaj pouzdan, tada svaki elementarni ishod testa ide u prilog događaju. U ovom slučaju m = n dakle p=1
2. Vjerojatnost nemogućeg događaja je nula.
Doista, ako je događaj nemoguć, tada nijedan od elementarnih ishoda testa ne ide u prilog tom događaju. U ovom slučaju m=0, dakle p=0.
3.Vjerojatnost slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan. 0
U sljedećim temama bit će dani teoremi koji omogućuju pronalaženje vjerojatnosti drugih događaja koristeći poznate vjerojatnosti nekih događaja.
Mjerenje. U grupi učenika je 6 djevojčica i 4 dječaka. Kolika je vjerojatnost da će slučajno odabrani učenik biti djevojčica? hoće li biti mladić?
p dev = 6 / 10 = 0,6 p yun = 4 / 10 = 0,4
Koncept "vjerojatnosti" u suvremenim tečajevima rigorozne teorije vjerojatnosti izgrađen je na teoretskoj osnovi. Pogledajmo neke aspekte ovog pristupa.
Neka se jedan i samo jedan od događaja dogodi kao rezultat testa: w i(i=1, 2, .... p). Događaji w i- pozvao elementarni događaji (elementarni ishodi). OKO slijedi da su elementarni događaji parno nekompatibilni. Skup svih elementarnih događaja koji se mogu dogoditi u testu naziva se prostor elementarnih događajaΩ (grčko veliko slovo omega), a sami elementarni događaji su točaka ovog prostora..
Događaj A identificiran s podskupom (prostora Ω), čiji su elementi elementarni povoljni ishodi A; događaj U je podskup Ω čiji su elementi povoljni ishodi U, itd. Dakle, skup svih događaja koji se mogu dogoditi u testu je skup svih podskupova od Ω. Sam Ω se pojavljuje za bilo koji ishod testa, stoga je Ω pouzdan događaj; prazan podskup prostora Ω - je nemoguć događaj (ne javlja se ni pod kojim ishodom testa).
Elementarni događaji razlikuju se od svih tematskih događaja, “svaki od njih sadrži samo jedan element Ω
Svaki elementarni ishod w i odgovaraju pozitivnom broju p i- vjerojatnost ovog ishoda i zbroj svih p i jednaka 1 ili sa predznakom zbroja, ova činjenica će biti zapisana u obliku izraza:
Po definiciji, vjerojatnost GODIŠNJE) događanja A jednak zbroju vjerojatnosti povoljnih elementarnih ishoda A. Stoga je vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka jedan, nemogućeg događaja je nula, a proizvoljnog događaja je između nula i jedan.
Razmotrimo važan poseban slučaj kada su svi ishodi jednako mogući.Broj ishoda je n, zbroj vjerojatnosti svih ishoda jednak je jedan; stoga je vjerojatnost svakog ishoda 1/p. Neka događaj A favorizira m ishode.
Vjerojatnost događaja A jednak zbroju vjerojatnosti povoljnih ishoda A:
P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1
Dobivena je klasična definicija vjerojatnosti.
Postoji također aksiomatski pristup konceptu "vjerojatnosti". U sustavu predloženih aksioma. Kolmogorov A.N., nedefinirani pojmovi su elementarni događaj i vjerojatnost. Izgradnja logički potpune teorije vjerojatnosti temelji se na aksiomatskoj definiciji slučajnog događaja i njegove vjerojatnosti.
Evo aksioma koji definiraju vjerojatnost:
1. Svaki događaj A dodijeljen nenegativan realan broj R(A). Taj se broj naziva vjerojatnost događaja A.
2. Vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka je jedan:
3. Vjerojatnost pojavljivanja barem jednog od po paru nekompatibilnih događaja jednaka je zbroju vjerojatnosti tih događaja.
Na temelju ovih aksioma svojstva vjerojatnosti i ovisnosti među njima izvode se kao teoremi.
Teorija vjerojatnosti je matematička znanost koja proučava obrasce slučajnih događaja. Vjerojatnosni pokus (test, promatranje) je pokus čiji se rezultat ne može unaprijed predvidjeti. U ovom eksperimentu svaki rezultat (ishod) je događaj.
Događaj može biti pouzdan(uvijek se javlja kao rezultat testa); nemoguće(očito se ne pojavljuje tijekom testiranja); slučajan(može se, ali i ne mora dogoditi u uvjetima ovog eksperimenta).
Događaj koji se ne može rastaviti na jednostavnije događaje nazivamo elementarni. Događaj predstavljen kao kombinacija nekoliko elementarnih događaja naziva se kompleks(poduzeće nije pretrpjelo gubitke - dobit može biti pozitivna ili jednaka nuli).
Dva događaja koja se ne mogu dogoditi istovremeno (povećanje poreza - povećanje raspoloživog dohotka; povećanje ulaganja - smanjenje rizika) nazivaju se nekompatibilan.
Drugim riječima, dva događaja su nekompatibilna ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog. Inače jesu spojnica(povećanje obima prodaje – povećanje dobiti). Događaji se zovu suprotan, ako se jedno od njih dogodi ako i samo ako se drugo ne dogodi (proizvod je prodan - proizvod nije prodan).
Vjerojatnost događaja – Ovo je numerička mjera koja se uvodi radi usporedbe događaja prema stupnju mogućnosti njihova događanja.
Klasična definicija vjerojatnosti. Vjerojatnost R(A) događaji A naziva se brojčani omjer m jednako mogući elementarni događaji (ishodi) povoljni za nastanak događaja A, do ukupnog broja n svi mogući elementarni ishodi ovog eksperimenta:
Iz navedenog slijede sljedeća osnovna svojstva vjerojatnosti:
1,0 £ R(A) £ 1.
2. Vjerojatnost određenog događaja A jednako 1: R(A) = 1.
3. Vjerojatnost nemogućeg događaja A je 0: R(A) = 0.
4. Ako događaji A I U su onda nekompatibilni R(A + U) = R(A) + R(U); ako događaji A I U su zajednički, zatim R(A + U) = R(A) + R(U) - R(A . B).(R(A . B) je vjerojatnost zajedničke pojave ovih događaja).
5. Ako A i suprotnih događaja, dakle R() = 1 - R(A).
Ako vjerojatnost događanja jednog događaja ne mijenja vjerojatnost događanja drugog, tada se takvi događaji nazivaju nezavisna.
Pri izravnom izračunavanju vjerojatnosti događaja koje karakterizira veliki broj ishoda treba koristiti kombinatoričke formule. Proučiti grupu događaja (hipoteze)
primjenjuju se formule potpune vjerojatnosti, Bayes i Bernoulli ( n neovisni testovi – ponavljanje pokusa).
Na statističko određivanje vjerojatnosti događanja A pod, ispod n odnosi se na ukupan broj stvarno izvedenih testova u kojima je događaj A upoznao točno m jednom. U ovom slučaju odnos m/n zove se relativna frekvencija (frekvencija) Wn(A) pojava događaja A V n izvršena ispitivanja.
Pri određivanju vjerojatnosti po metoda stručnih procjena pod, ispod n odnosi se na broj stručnjaka (specijalista u određenom području) koji su intervjuirani u vezi s mogućnošću nastanka događaja A. pri čemu m za koje tvrde da je događaj A dogodit će se.
Koncept slučajnog događaja nije dovoljan da opiše rezultate promatranja veličina koje imaju numerički izraz. Na primjer, kada se analizira financijski rezultat poduzeća, prvenstveno ih zanima njegova veličina. Stoga je koncept slučajnog događaja dopunjen konceptom slučajne varijable.
Pod, ispod nasumična varijabla(SV) se razumijeva kao veličina koja kao rezultat promatranja (testiranja) poprima jednu od mogućih skupova svojih vrijednosti, unaprijed nepoznatih i ovisno o slučajnim okolnostima. Za svaki elementarni događaj, SV ima jedno značenje.
Postoje diskretni i kontinuirani SV. Za diskretna SV skup njegovih mogućih vrijednosti je konačan ili prebrojiv, tj. SV preuzima pojedinačne izolirane vrijednosti koje se mogu unaprijed navesti, s određenim vjerojatnostima. Za stalan SV, skup njegovih mogućih vrijednosti je beskonačan i neprebrojiv, na primjer, svi brojevi zadanog intervala, tj. moguće vrijednosti SV ne mogu se unaprijed navesti i kontinuirano popunjavati određenu prazninu.
Primjeri slučajnih varijabli: x- dnevni broj kupaca u supermarketu (diskretni SV); Y- broj djece rođene tijekom dana u određenom administrativnom središtu (diskretni SV); Z- koordinata točke udara topničke granate (kontinuirani NE).
Mnogi SV-ovi koji se razmatraju u ekonomiji imaju toliko velik broj mogućih vrijednosti da ih je prikladnije predstaviti u obliku kontinuiranih SV-ova. Na primjer, devizni tečaj, prihod kućanstva itd.
Za opisivanje SV potrebno je uspostaviti odnos između svih mogućih vrijednosti SV i njihovih vjerojatnosti. Ovaj omjer će se zvati zakon raspodjele SV. Za diskretni SV može se specificirati tablično, analitički (u obliku formule) ili grafički. Na primjer, tabelarno za SV x