Faqat ehtimollik nazariyasining asosiy formulalari haqida. Ehtimollar nazariyasining rivojlanish tarixi. Ehtimollar nazariyasi nima

12-bo'lim. Ehtimollar nazariyasi.

1.Kirish

2. Ehtimollar nazariyasining eng oddiy tushunchalari

3. Hodisalar algebrasi

4. Tasodifiy hodisa ehtimoli

5. Geometrik ehtimollar

6. Klassik ehtimollar. Kombinatorik formulalar.

7. Shartli ehtimollik. Voqealarning mustaqilligi.

8. Umumiy ehtimollik formulasi va Bayes formulasi

9. Takroriy test sxemasi. Bernulli formulasi va uning asimptotikasi

10. Tasodifiy o‘zgaruvchilar (RV)

11. DSV tarqatish seriyasi

12. Kumulyativ taqsimot funksiyasi

13. NSV taqsimot funksiyasi

14. NSV ning ehtimollik zichligi

15. Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari

16. Muhim SV taqsimotlariga misollar

16.1. DSV ning binom taqsimoti.

16.2. Puasson taqsimoti

16.3. NSV ning bir xil taqsimlanishi.

16.4. Oddiy taqsimot.

17. Ehtimollar nazariyasining limit teoremalari.

Kirish

Ehtimollar nazariyasi, boshqa ko'plab matematik fanlar kabi, amaliyot ehtiyojlaridan kelib chiqqan holda ishlab chiqilgan. Shu bilan birga, real jarayonni o'rganish jarayonida real jarayonning mavhum matematik modelini yaratish kerak edi. Odatda, haqiqiy jarayonning asosiy, eng muhim harakatlantiruvchi kuchlari hisobga olinadi, tasodifiy deb ataladigan ikkilamchi kuchlar hisobga olinadi. Albatta, asosiy va ikkinchi darajali deb hisoblangan narsa alohida vazifadir. Bu savolning yechimi mavhumlik darajasini, matematik modelning soddaligi yoki murakkabligini hamda modelning real jarayonga muvofiqlik darajasini belgilaydi. Mohiyatan, har qanday mavhum model ikki qarama-qarshi intilishning natijasidir: soddalik va haqiqatga moslik.

Masalan, otish nazariyasida bir nuqtada joylashgan quroldan snaryadning uchish yo'lini aniqlash uchun juda oddiy va qulay formulalar ishlab chiqilgan (1-rasm).

Muayyan sharoitlarda, yuqorida aytilgan nazariya, masalan, ommaviy artilleriyaga tayyorgarlik paytida etarli.

Biroq, bir xil sharoitda bir quroldan bir nechta o'q uzilsa, traektoriyalar yaqin bo'lsa-da, baribir boshqacha bo'lishi aniq. Va agar maqsadli o'lcham tarqalish maydoniga nisbatan kichik bo'lsa, unda taklif qilingan modelda hisobga olinmagan omillarning ta'siri bilan bog'liq aniq savollar paydo bo'ladi. Shu bilan birga, qo'shimcha omillarni hisobga olgan holda, foydalanish deyarli mumkin bo'lmagan o'ta murakkab modelga olib keladi. Bundan tashqari, bu tasodifiy omillar ko'p, ularning tabiati ko'pincha noma'lum.

Yuqoridagi misolda, deterministik modeldan tashqariga chiqadigan bunday aniq savollar, masalan, quyidagilar: nishonni ma'lum bir aniqlik bilan urishni kafolatlash uchun qancha o'q otish kerak (masalan, kuni )? Nishonga tegish uchun eng kam miqdordagi snaryadlarni ishlatish uchun nollashni qanday amalga oshirish kerak? va h.k.

Keyinchalik ko'rib turganimizdek, "tasodifiy" va "ehtimollik" so'zlari qat'iy matematik atamalarga aylanadi. Shu bilan birga, ular oddiy so'zlashuv nutqida juda ko'p uchraydi. "Tasodifiy" sifatdoshi "tabiiy" ga qarama-qarshidir, deb ishoniladi. Biroq, bu shunday emas, chunki tabiat tasodifiy jarayonlar naqshlarni ochib beradigan tarzda yaratilgan, lekin ma'lum sharoitlarda.

Asosiy shart deyiladi ommaviy xarakter.

Misol uchun, agar siz tanga tashlasangiz, nima kelishini, gerb yoki raqamni bashorat qila olmaysiz, faqat taxmin qilishingiz mumkin. Biroq, agar bu tanga ko'p marta tashlansa, gerbning tushishi nisbati 0,5 ga yaqin ma'lum bir raqamdan unchalik farq qilmaydi (keyingi o'rinlarda bu raqamni ehtimollik deb ataymiz). Bundan tashqari, otishlar sonining ko'payishi bilan bu raqamdan og'ish kamayadi. Bu xususiyat deyiladi barqarorlik o'rtacha ko'rsatkichlar (bu holda - gerblarning ulushi). Aytish kerakki, ehtimollar nazariyasining dastlabki bosqichlarida, barqarorlik xususiyati mavjudligini amalda tekshirish zarur bo'lganda, hatto buyuk olimlar ham o'zlarining tekshirishlarini amalga oshirishni qiyin deb bilishmagan. Shunday qilib, 4040 marta tanga uloqtirgan Buffonning mashhur tajribasi va gerb 2048 marta ko'tarilgan, shuning uchun gerbning yo'qolishi nisbati (yoki nisbiy chastotasi) 0,508 ni tashkil etadi, bu intuitiv jihatdan yaqin. kutilayotgan raqam 0,5.

Shuning uchun ta'rif odatda beriladi ehtimollar nazariyasi predmeti, matematikaning ommaviy tasodifiy jarayonlarning qonuniyatlarini o'rganadigan bo'limi sifatida.

Aytish kerakki, ehtimollik nazariyasining eng katta yutuqlari o'tgan asrning boshlariga to'g'ri kelganiga qaramay, ayniqsa A.N. asarlarida nazariyaning aksiomatik qurilishi tufayli. Kolmogorov (1903-1987), baxtsiz hodisalarni o'rganishga qiziqish uzoq vaqt oldin paydo bo'lgan.

Dastlabki qiziqishlar qimor o'yinlariga raqamli yondashuvni qo'llashga urinish edi. Ehtimollar nazariyasining dastlabki juda qiziqarli natijalari odatda L. Pacioli (1494), D. Kardano (1526) va N. Tartalya (1556) asarlari bilan bog'liq.

Keyinchalik B. Paskal (1623-1662), P. Ferma (1601-1665), X. Gyuygens (1629-1695) klassik ehtimollik nazariyasiga asos soldi. 18-asr boshlarida J. Bernulli (1654-1705) tasodifiy hodisa ehtimoli tushunchasini qulay imkoniyatlar sonining barcha mumkin boʻlganlar soniga nisbati sifatida shakllantirdi. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitskiy (1881-1941), R. Mizes (1883-1953) to'plam o'lchovi tushunchasidan foydalanish bo'yicha o'z nazariyalarini qurdilar.

To'plam nazariyasi nuqtai nazari eng to'liq shaklda 1933 yilda taqdim etilgan. A.N. Kolmogorov "Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari" monografiyasida. Aynan shu paytdan boshlab ehtimollar nazariyasi qat'iy matematika faniga aylanadi.

Ehtimollar nazariyasini rivojlantirishga katta hissa qo'shgan rus matematiklari P.L. Chebishev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernshteyn (1880-1968) va boshqalar.

Hozirgi vaqtda ehtimollar nazariyasi jadal rivojlanmoqda.

Ehtimollar nazariyasining eng oddiy tushunchalari

Har qanday matematik intizom singari, ehtimollar nazariyasi ham aniqlanmagan, faqat tushuntirilgan eng oddiy tushunchalarni kiritish bilan boshlanadi.

Asosiy asosiy tushunchalardan biri tajriba. Tajriba deganda cheksiz ko'p marta takrorlanishi mumkin bo'lgan muayyan shartlar to'plami tushuniladi. Biz ushbu kompleksning har bir amalga oshirilishini tajriba yoki sinov deb ataymiz. Tajriba natijalari boshqacha bo'lishi mumkin va bu erda tasodif elementi paydo bo'ladi. Tajribaning turli natijalari yoki natijalari deyiladi voqealar(aniqrog'i, tasodifiy hodisalar). Shunday qilib, tajribani amalga oshirish jarayonida u yoki bu hodisa yuz berishi mumkin. Boshqacha qilib aytganda, tasodifiy hodisa tajribani amalga oshirish jarayonida yuzaga kelishi (paydo bo'lishi) yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan tajriba natijasidir.

Tajriba harf bilan belgilanadi va tasodifiy hodisalar odatda bosh harflar bilan belgilanadi

Ko'pincha eksperimentda uning natijalarini oldindan aniqlash mumkin, ularni eng oddiy deb atash mumkin, ularni oddiyroqlarga ajratib bo'lmaydi. Bunday hodisalar deyiladi elementar hodisalar(yoki holatlar).

1-misol. Tanga tashlansin. Tajribaning natijalari: gerbning yo'qolishi (biz bu hodisani harf bilan belgilaymiz); raqamlarning yo'qolishi (belgilangan). Keyin yozishimiz mumkin: tajriba = (tanga otish), natijalar: Bu tajribada elementar hodisalar aniq. Boshqacha qilib aytganda, tajribaning barcha elementar hodisalarini sanab o'tish uni to'liq tavsiflaydi. Shu munosabat bilan aytamizki, tajriba elementar hodisalar makonidir va bizning holatlarimizda tajribani qisqacha quyidagicha yozish mumkin: = (tanga otish) = (G; C).

2-misol. =(tanga ikki marta tashlanadi)= Bu erda tajribaning og'zaki tavsifi va barcha elementar hodisalarning ro'yxati keltirilgan: demak, birinchidan, tanganing birinchi otilishida gerb tushgan, ikkinchisida gerb ham tushgan; tanganing birinchi otilishida gerb, ikkinchisida raqam va boshqalar chiqqanini bildiradi.

3-misol. Koordinatalar tizimida nuqtalar kvadratga tashlanadi. Bu misolda elementar hodisalar berilgan tengsizliklarni qanoatlantiradigan koordinatali nuqtalardir. Qisqacha shunday yoziladi:

Jingalak qavs ichidagi ikki nuqta uning nuqtalardan iboratligini bildiradi, lekin hech qanday emas, faqat ikki nuqtadan keyin belgilangan shartni (yoki shartlarni) qanoatlantiradigan nuqtalardan iborat (bizning misolimizda bu tengsizliklar).

4-misol. Tanga birinchi gerb paydo bo'lguncha tashlanadi. Boshqacha qilib aytganda, tanga otish bosh qo'nguncha davom etadi. Ushbu misolda elementar hodisalarni sanab o'tish mumkin, garchi ularning soni cheksiz bo'lsa:

E'tibor bering, 3 va 4-misollarda elementar hodisalar fazosi cheksiz ko'p natijalarga ega. 4-misolda ular sanab o'tilishi mumkin, ya'ni. qayta hisoblang. Bunday to'plam hisoblanuvchi deyiladi. 3-misolda bo'sh joy hisoblanmaydi.

Keling, har qanday tajribada mavjud bo'lgan va katta nazariy ahamiyatga ega bo'lgan yana ikkita voqeani keltiramiz.

Keling, tadbirni chaqiraylik imkonsiz, tajriba natijasida, albatta, sodir bo'lmasa. Biz uni bo'sh to'plam belgisi bilan belgilaymiz. Aksincha, tajriba natijasida sodir bo'lishi aniq bo'lgan hodisa deyiladi ishonchli. Ishonchli hodisa elementar hodisalarning o'zi bilan bir xil tarzda belgilanadi - harf bilan.

Misol uchun, zar otishda hodisa (9 balldan kam yig'ilgan) ishonchli, ammo voqea (aniq 9 ball yig'ilgan) mumkin emas.

Shunday qilib, elementar hodisalarning makonini og'zaki tavsiflash, uning barcha elementar hodisalari ro'yxati va uning barcha elementar hodisalari olinadigan qoidalar yoki shartlarni belgilash orqali aniqlanishi mumkin.

Hodisalar algebrasi

Hozirgacha biz faqat tajribaning bevosita natijasi sifatida elementar hodisalar haqida gapirib keldik. Biroq, tajriba doirasida biz elementar hodisalardan tashqari, boshqa tasodifiy hodisalar haqida gapirishimiz mumkin.

5-misol.При подбрасывании игральной кости, кроме элементарных событий выпадений соответственно единицы, двойки,…, шестерки, можно говорить о других событиях: (выпадение четного числа), (выпадение нечетного числа), (выпадение числа, кратного трем), (выпадение числа, меньшего 4 ) va h.k. Ushbu misolda, og'zaki topshiriqdan tashqari, ko'rsatilgan hodisalar elementar hodisalarni sanab o'tish orqali aniqlanishi mumkin:

Elementar hodisalardan, shuningdek, boshqa hodisalardan yangi hodisalarni shakllantirish voqealar bo'yicha operatsiyalar (yoki harakatlar) yordamida amalga oshiriladi.

Ta'rif. Ikki hodisaning mahsuli - bu tajriba natijasida sodir bo'lishidan iborat bo'lgan hodisa Va voqea, Va hodisa, ya'ni ikkala hodisa birgalikda (bir vaqtning o'zida) sodir bo'ladi.

Mahsulot belgisi (nuqta) ko'pincha o'tkazib yuboriladi:

Ta'rif. Ikki hodisaning yig'indisi - bu tajriba natijasida sodir bo'lishidan iborat hodisa yoki voqea, yoki voqea, yoki ikkalasi birga (bir vaqtning o'zida).

Ikkala ta'rifda ham qo'shma gaplarni ataylab ta'kidladik Va Va yoki- muammolarni hal qilishda o'quvchi e'tiborini nutqingizga jalb qilish uchun. Agar biz "va" birikmasini talaffuz qilsak, unda biz hodisalarning ishlab chiqarilishi haqida gapiramiz; Agar "yoki" bog'lovchisi talaffuz qilinsa, unda voqealar qo'shilishi kerak. Shu bilan birga, kundalik nutqda "yoki" birikmasi ko'pincha ikkitadan birini istisno qilish ma'nosida qo'llanilishini ta'kidlaymiz: "faqat yoki faqat". Ehtimollar nazariyasida bunday istisno qabul qilinmaydi: va , va , va hodisaning sodir bo'lishini anglatadi

Agar elementar hodisalarni sanab berish orqali berilgan bo'lsa, unda ko'rsatilgan amallar yordamida murakkab hodisalarni osongina olish mumkin. Olish uchun ikkala hodisaga tegishli boʻlgan barcha elementar hodisalarni topishingiz kerak; agar ular yoʻq boʻlsa, Hodisalar yigʻindisini tuzish ham oson: ikkita hodisadan birini olib, unga elementar hodisalarni qoʻshishingiz kerak. birinchisiga kiritilmagan boshqa hodisa.

5-misolda, xususan, olamiz

Kiritilgan amallar ikkilik deb ataladi, chunki ikkita hodisa uchun belgilangan. Quyidagi unar amal (bitta hodisa uchun belgilangan) katta ahamiyatga ega: hodisa chaqiriladi qarama-qarshi hodisa, agar u ma'lum bir tajribada voqea sodir bo'lmaganidan iborat bo'lsa. Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, har bir hodisa va uning qarama-qarshiligi quyidagi xususiyatlarga ega: Kiritilgan amal chaqiriladi qo'shimcha voqealar A.

Bundan kelib chiqadiki, agar elementar hodisalar ro'yxati bilan berilgan bo'lsa, u holda hodisaning spetsifikatsiyasini bilib, uni fazoning tegishli bo'lmagan barcha elementar hodisalaridan iboratligini olish oson.Xususan, masalan, 5 hodisa.

Qavslar bo'lmasa, amallarni bajarishda quyidagi ustuvorlik belgilanadi: qo'shish, ko'paytirish, qo'shish.

Shunday qilib, kiritilgan operatsiyalar yordamida elementar hodisalar maydoni boshqa tasodifiy hodisalar bilan to'ldiriladi, ular hodisalar algebrasi.

6-misol. Otuvchi nishonga uch marta o‘q uzdi. Hodisalarni ko'rib chiqing = (otuvchi i-o'q bilan nishonga tegdi), i = 1,2,3.

Keling, ushbu voqealardan bir nechta voqealarni tuzamiz (qarama-qarshi voqealarni unutmaylik). Biz uzoq sharhlar bermaymiz; O'quvchi ularni mustaqil ravishda olib borishiga ishonamiz.

B hodisasi = (uchta o'q ham nishonga tegdi). Batafsil: B = ( Va birinchi, Va ikkinchi, Va uchinchi zarba nishonga tegdi). Ishlatilgan birlashma Va, shuning uchun hodisalar ko'paytiriladi:

Xuddi shunday:

C = (o'qlarning hech biri nishonga tegmadi)

E = (bitta o'q nishonga yetdi)

D = (ikkinchi zarbada nishonga tegish) = ;

F = (ikkita o'q bilan nishonga tegish)

N = (kamida bitta zarba nishonga tegadi)

Ma'lumki, matematikada analitik ob'ektlar, tushunchalar va formulalarning geometrik talqini katta ahamiyatga ega.

Ehtimollar nazariyasida tajribani, tasodifiy hodisalarni va ular ustidagi operatsiyalarni vizual tarzda (geometrik talqin) tasvirlash qulaydir. Eyler-Venn diagrammasi. Mohiyat shundaki, har bir tajriba ma'lum bir kvadratga nuqta tashlash bilan aniqlanadi (talqin qilinadi). Nuqtalar tasodifiy tarzda tashlanadi, shuning uchun barcha nuqtalar kvadratning istalgan joyiga tushishi uchun teng imkoniyatga ega. Kvadrat ko'rib chiqilayotgan tajriba doirasini belgilaydi. Tajriba ichidagi har bir hodisa maydonning ma'lum bir maydoni bilan belgilanadi. Boshqacha qilib aytganda, hodisaning yuzaga kelishi harf bilan ko'rsatilgan maydon ichiga tasodifiy nuqta tushishini bildiradi.Keyin hodisalar ustidagi amallar geometrik jihatdan oson izohlanadi (2-rasm).

A:

A + B: har qanday

inkubatsiya

2-rasmda a) aniqlik uchun A hodisasi vertikal soya bilan, B hodisasi gorizontal soya bilan ajratilgan. Keyin ko'paytirish operatsiyasi qo'shaloq lyukka to'g'ri keladi - hodisa kvadratning qo'shaloq lyuk bilan qoplangan qismiga mos keladi. Bundan tashqari, agar ular mos kelmaydigan hodisalar deb ataladi. Shunga ko'ra, qo'shish operatsiyasi har qanday lyukka to'g'ri keladi - hodisa kvadratning har qanday lyuk bilan soyalangan qismini anglatadi - vertikal, gorizontal va qo'sh. 2-rasmda b) hodisa ko'rsatilgan;u kvadratning soyali qismiga to'g'ri keladi - maydonga kiritilmagan barcha narsalar.Kirgilangan amallar quyidagi asosiy xususiyatlarga ega, ularning ba'zilari bir xil nomdagi amallar uchun amal qiladi. raqamlar bo'yicha, lekin o'ziga xoslari ham bor.

10 . ko'paytirishning kommutativligi;

20 . qo'shishning kommutativligi;

o'ttiz. ko'paytirishning assotsiativligi;

4 0 . qo'shimcha assotsiativlik,

50 . ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlanishi,

6 0 . qo'shishning ko'paytirishga nisbatan taqsimlanishi;

9 0 . de Morganning ikkilik qonunlari,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

7-misol. Ivan va Pyotr T soat vaqt oralig'ida uchrashishga kelishib oldilar, masalan, (0,T). Shu bilan birga, ularning har biri yig'ilishga kelgach, bir soatdan ko'p bo'lmagan boshqasini kutishga kelishib oldilar.

Keling, bu misolning geometrik talqinini beraylik. Belgilaymiz: Ivanning yig'ilishga kelgan vaqti; Butrusning uchrashuvga kelish vaqti. Kelishilgan holda: 0 . U holda koordinatalar sistemasida quyidagilarni olamiz: = Bizning misolimizda elementar hodisalar fazosi kvadrat ekanligini payqash oson. 1

0 x kvadratning shu chiziq ustida joylashgan qismiga to'g'ri keladi Xuddi shunday, ikkinchi tengsizlik y≤x+ va; va agar barcha elementlar ishlamasa, ishlamaydi, ya'ni. .Shunday qilib, de Morganning ikkinchi ikkilik qonuni: elementlar parallel ulanganda amalga oshiriladi.

Yuqoridagi misol, ehtimollar nazariyasi nima uchun fizikada, xususan, haqiqiy texnik qurilmalarning ishonchliligini hisoblashda keng qo'llanilishini ko'rsatadi.

“Baxtsiz hodisalar tasodifiy emas”... Bu faylasuf aytgan gapga o‘xshaydi, lekin aslida tasodifiylikni o‘rganish buyuk matematika fanining taqdiridir. Matematikada tasodif ehtimollar nazariyasi bilan shug'ullanadi. Maqolada formulalar va vazifalar misollari, shuningdek, ushbu fanning asosiy ta'riflari keltirilgan.

Ehtimollar nazariyasi nima?

Ehtimollar nazariyasi tasodifiy hodisalarni o'rganadigan matematik fanlardan biridir.

Buni biroz tushunarli qilish uchun kichik bir misol keltiraylik: agar siz tanga tashlasangiz, u bosh yoki dumga tushishi mumkin. Tanga havoda bo'lsa-da, bu ikkala ehtimollik ham mumkin. Ya'ni, yuzaga kelishi mumkin bo'lgan oqibatlarning ehtimoli 1: 1. Agar bitta karta 36 ta kartadan olingan bo'lsa, ehtimollik 1:36 sifatida ko'rsatiladi. Bu erda, ayniqsa, matematik formulalar yordamida o'rganish va bashorat qilish uchun hech narsa yo'qdek tuyuladi. Biroq, agar siz ma'lum bir harakatni ko'p marta takrorlasangiz, siz ma'lum bir naqshni aniqlay olasiz va unga asoslanib, boshqa sharoitlarda hodisalarning natijasini taxmin qilishingiz mumkin.

Yuqorida aytilganlarning barchasini umumlashtirish uchun, ehtimollik nazariyasi klassik ma'noda mumkin bo'lgan hodisalardan birining soni qiymatda sodir bo'lish imkoniyatini o'rganadi.

Tarix sahifalaridan

Ehtimollar nazariyasi, formulalar va birinchi vazifalarning misollari karta o'yinlarining natijalarini oldindan aytishga urinishlar birinchi marta paydo bo'lgan uzoq o'rta asrlarda paydo bo'lgan.

Dastlab, ehtimollar nazariyasi matematikaga hech qanday aloqasi yo'q edi. Bu amalda takrorlanishi mumkin bo'lgan hodisaning empirik faktlari yoki xususiyatlari bilan oqlandi. Matematik fan sifatida bu sohadagi birinchi ishlar 17-asrda paydo boʻlgan. Ta'sischilar Blez Paskal va Per Ferma edi. Ular uzoq vaqt qimor o'ynashni o'rganishdi va ma'lum naqshlarni ko'rishdi, ular haqida jamoatchilikka aytib berishga qaror qilishdi.

Xuddi shu texnikani Kristian Gyuygens ixtiro qilgan, garchi u Paskal va Fermatning tadqiqotlari natijalari bilan tanish bo'lmasa ham. U tomonidan fan tarixida birinchi bo'lib hisoblangan "ehtimollar nazariyasi" tushunchasi, formulalar va misollar kiritilgan.

Yakob Bernulli, Laplas va Puasson teoremalarining ishlari ham kam ahamiyatga ega emas. Ular ehtimollik nazariyasini ko'proq matematik intizomga o'xshatishdi. Ehtimollar nazariyasi, formulalar va asosiy vazifalarning misollari Kolmogorov aksiomalari tufayli hozirgi shaklini oldi. Barcha o'zgarishlar natijasida ehtimollar nazariyasi matematika sohalaridan biriga aylandi.

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari. Voqealar

Ushbu fanning asosiy tushunchasi "hodisa" dir. Uch xil hodisa mavjud:

• Ishonchli. Baribir sodir bo'ladiganlar (tanga tushadi).
• Mumkin emas. Hech qanday sharoitda sodir bo'lmaydigan voqealar (tanga havoda osilgan holda qoladi).
• Tasodifiy. Bo'ladigan yoki sodir bo'lmaydiganlar. Ularga bashorat qilish juda qiyin bo'lgan turli omillar ta'sir qilishi mumkin. Agar tanga haqida gapiradigan bo'lsak, unda natijaga ta'sir qilishi mumkin bo'lgan tasodifiy omillar mavjud: tanganing jismoniy xususiyatlari, shakli, asl holati, otish kuchi va boshqalar.

Misollardagi barcha hodisalar katta lotin harflari bilan ko'rsatilgan, boshqa rolga ega bo'lgan P dan tashqari. Masalan:

• A = "talabalar ma'ruza qilish uchun kelishdi."
• Ā = "talabalar ma'ruzaga kelishmadi."

Amaliy topshiriqlarda voqealar odatda so'z bilan yoziladi.

Hodisalarning eng muhim xususiyatlaridan biri ularning teng imkoniyatidir. Ya'ni, agar siz tanga tashlasangiz, u tushgunga qadar dastlabki tushishning barcha variantlari mumkin. Ammo voqealar ham bir xil darajada mumkin emas. Bu, kimdir biror natijaga ataylab ta'sir qilganda sodir bo'ladi. Masalan, "belgilangan" o'yin kartalari yoki zarlar, unda tortishish markazi siljiydi.

Voqealar ham mos va mos kelmaydigan bo'lishi mumkin. Mos keladigan hodisalar bir-birining sodir bo'lishini istisno qilmaydi. Masalan:

• A = "talaba ma'ruzaga keldi".
• B = "talaba ma'ruzaga keldi".

Bu hodisalar bir-biridan mustaqil bo'lib, ulardan birining sodir bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lishiga ta'sir qilmaydi. Mos kelmaydigan hodisalar birining sodir bo'lishi boshqasining sodir bo'lishini istisno qilishi bilan belgilanadi. Agar biz bir xil tanga haqida gapiradigan bo'lsak, unda "dumlar" ning yo'qolishi bir xil tajribada "boshlar" paydo bo'lishini imkonsiz qiladi.

Voqealar bo'yicha harakatlar

Hodisalarni ko'paytirish va qo'shish mumkin, shunga mos ravishda fanga mantiqiy bog'lovchilar "VA" va "YOKI" kiritiladi.

Miqdor A yoki B hodisasi yoki ikkitasi bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkinligi bilan belgilanadi. Agar ular bir-biriga mos kelmasa, oxirgi variantni amalga oshirish mumkin emas, A yoki B o'raladi.

Hodisalarning ko'payishi bir vaqtning o'zida A va B ning paydo bo'lishidan iborat.

Endi biz asoslarni, ehtimollik nazariyasini va formulalarni yaxshiroq eslab qolish uchun bir nechta misollar keltirishimiz mumkin. Quyida muammolarni hal qilish misollari.

1-mashq: Kompaniya uch turdagi ishlar bo'yicha shartnomalar olish uchun tanlovda ishtirok etadi. Bo'lishi mumkin bo'lgan hodisalar:

• A = "firma birinchi shartnomani oladi."
• A 1 = "firma birinchi shartnomani olmaydi."
• B = "firma ikkinchi shartnomani oladi."
• B 1 = "firma ikkinchi shartnomani olmaydi"
• C = "firma uchinchi shartnomani oladi."
• C 1 = "firma uchinchi shartnomani olmaydi."

Voqealar bo'yicha harakatlardan foydalanib, biz quyidagi vaziyatlarni ifodalashga harakat qilamiz:

• K = "kompaniya barcha shartnomalarni oladi."

Matematik shaklda tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: K = ABC.

• M = "kompaniya bitta shartnoma olmaydi."

M = A 1 B 1 C 1.

Vazifani murakkablashtiramiz: H = "kompaniya bitta shartnoma oladi." Kompaniya qaysi shartnomani (birinchi, ikkinchi yoki uchinchi) olishi noma'lum bo'lganligi sababli, yuzaga kelishi mumkin bo'lgan barcha hodisalarni qayd etish kerak:

H = A 1 BC 1 y AB 1 C 1 y A 1 B 1 C.

Va 1 BC 1 - firma birinchi va uchinchi shartnomani olmaydigan, lekin ikkinchisini oladigan voqealar seriyasidir. Boshqa mumkin bo'lgan hodisalar tegishli usul yordamida qayd etilgan. Intizomdagi y belgisi “YOKI” bog‘lovchisini bildiradi. Yuqoridagi misolni inson tiliga tarjima qiladigan bo'lsak, kompaniya yoki uchinchi shartnomani oladi, yoki ikkinchi yoki birinchi. Xuddi shunday, siz "Ehtimollik nazariyasi" fanida boshqa shartlarni yozishingiz mumkin. Yuqorida keltirilgan formulalar va muammolarni hal qilish misollari buni o'zingiz qilishingizga yordam beradi.

Aslida, ehtimollik

Ehtimol, ushbu matematik intizomda hodisaning ehtimolligi markaziy tushunchadir. Ehtimollikning 3 ta ta'rifi mavjud:

• klassik;
• statistik;
• geometrik.

Har birining ehtimolini o'rganishda o'z o'rni bor. Ehtimollar nazariyasi, formulalar va misollar (9-sinf) asosan klassik ta'rifdan foydalanadi, bu quyidagicha eshitiladi:

• A vaziyatining ehtimoli uning yuzaga kelishiga yordam beradigan natijalar sonining barcha mumkin bo'lgan natijalar soniga nisbatiga teng.

Formula quyidagicha ko'rinadi: P(A)=m/n.

A aslida hodisadir. Agar A ga qarama-qarshi holat paydo bo'lsa, uni Ā yoki A 1 shaklida yozish mumkin.

m - mumkin bo'lgan qulay holatlar soni.

n - sodir bo'lishi mumkin bo'lgan barcha hodisalar.

Masalan, A = "yurak kostyumining kartasini chizish." Standart kartada 36 ta karta mavjud, ulardan 9 tasi yurak. Shunga ko'ra, muammoni hal qilish formulasi quyidagicha ko'rinadi:

P(A)=9/36=0,25.

Natijada, palubadan yurak kostyumining kartasini olish ehtimoli 0,25 ga teng bo'ladi.

Oliy matematikaga

Endi ehtimollik nazariyasi nima ekanligi, formulalar va maktab o'quv dasturida uchraydigan muammolarni echish misollari biroz ma'lum bo'ldi. Biroq, ehtimollar nazariyasi universitetlarda o'qitiladigan oliy matematikada ham mavjud. Ko'pincha ular nazariyaning geometrik va statistik ta'riflari va murakkab formulalar bilan ishlaydi.

Ehtimollar nazariyasi juda qiziq. Formulalar va misollarni (yuqori matematika) kichikdan - ehtimollikning statistik (yoki chastotali) ta'rifi bilan o'rganishni boshlash yaxshiroqdir.

Statistik yondashuv klassikaga zid emas, balki uni biroz kengaytiradi. Agar birinchi holatda hodisaning qanday ehtimollik bilan sodir bo'lishini aniqlash kerak bo'lsa, unda bu usulda uning qanchalik tez-tez sodir bo'lishini ko'rsatish kerak. Bu erda W n (A) bilan belgilanishi mumkin bo'lgan "nisbiy chastota" ning yangi tushunchasi kiritiladi. Formula klassikdan farq qilmaydi:

Agar bashorat qilish uchun klassik formula hisoblansa, statistik formula tajriba natijalariga ko'ra hisoblanadi. Masalan, kichik bir vazifani olaylik.

Texnologik nazorat bo'limi mahsulot sifatini tekshiradi. 100 ta mahsulot orasida 3 tasi sifatsiz deb topildi. Sifatli mahsulotning chastota ehtimolini qanday topish mumkin?

A = "sifatli mahsulotning ko'rinishi".

W n (A)=97/100=0,97

Shunday qilib, sifatli mahsulotning chastotasi 0,97 ni tashkil qiladi. 97 ni qayerdan oldingiz? Tekshirilgan 100 ta mahsulotdan 3 tasi sifatsizligi aniqlangan. Biz 100 dan 3 ni ayirib, 97 ni olamiz, bu sifatli tovarlar miqdori.

Kombinatorika haqida bir oz

Ehtimollar nazariyasining yana bir usuli kombinatorika deb ataladi. Uning asosiy printsipi shundan iboratki, agar ma'lum bir A tanlovi m xil yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin bo'lsa va B tanlovi n xil usulda amalga oshirilishi mumkin bo'lsa, u holda A va B ni tanlash ko'paytirish orqali amalga oshirilishi mumkin.

Masalan, A shahridan B shahriga olib boruvchi 5 ta yo‘l bor. B shahridan C shahriga 4 ta yo'l bor. A shahridan C shahriga necha xil usulda borish mumkin?

Hammasi oddiy: 5x4=20, ya'ni yigirma xil usulda A nuqtadan C nuqtaga o'tish mumkin.

Keling, vazifani murakkablashtiramiz. Solitaireda kartalarni joylashtirishning nechta usuli bor? Kemada 36 ta karta bor - bu boshlang'ich nuqta. Yo'llar sonini bilish uchun siz boshlang'ich nuqtadan bir vaqtning o'zida bitta kartani "ayirish" va ko'paytirishingiz kerak.

Ya'ni, 36x35x34x33x32...x2x1= natija kalkulyator ekraniga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun uni oddiygina 36 deb belgilash mumkin!. Belgisi "!" raqamning yonida raqamlarning butun qatori bir-biriga ko'paytirilishini bildiradi.

Kombinatorikada almashtirish, joylashtirish va kombinatsiya kabi tushunchalar mavjud. Ularning har biri o'z formulasiga ega.

To'plam elementlarining tartiblangan to'plami tartibga solish deyiladi. Joylashuvlar takrorlanishi mumkin, ya'ni bitta element bir necha marta ishlatilishi mumkin. Va takrorlanmasdan, elementlar takrorlanmasa. n - barcha elementlar, m - joylashtirishda ishtirok etadigan elementlar. Takrorlanmasdan joylashtirish formulasi quyidagicha ko'rinadi:

A n m =n!/(n-m)!

Faqat joylashtirish tartibida farq qiluvchi n ta elementning ulanishlari almashtirishlar deyiladi. Matematikada shunday ko'rinadi: P n = n!

m ning n ta elementining birikmalari - ular qanday elementlar bo'lganligi va ularning umumiy soni qancha ekanligi muhim bo'lgan birikmalar. Formula quyidagicha ko'rinadi:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernulli formulasi

Har bir fanda bo'lgani kabi ehtimollar nazariyasida ham o'z sohalarida uni yangi bosqichga olib chiqqan taniqli tadqiqotchilarning ishlari mavjud. Ushbu ishlardan biri Bernulli formulasi bo'lib, u mustaqil sharoitda ma'lum bir hodisaning yuzaga kelish ehtimolini aniqlash imkonini beradi. Bu shuni ko'rsatadiki, tajribada A ning paydo bo'lishi xuddi shu hodisaning oldingi yoki keyingi sinovlarda sodir bo'lishi yoki ro'y bermasligiga bog'liq emas.

Bernulli tenglamasi:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Hodisa (A) sodir bo'lish ehtimoli (p) har bir sinov uchun doimiydir. n ta tajribada vaziyatning aynan m marta sodir bo'lish ehtimoli yuqorida keltirilgan formula bo'yicha hisoblanadi. Shunga ko'ra, q sonini qanday topish mumkinligi haqida savol tug'iladi.

Agar A hodisasi p marta sodir bo'lsa, shunga ko'ra, u sodir bo'lmasligi mumkin. Birlik - bu fandagi vaziyatning barcha natijalarini belgilash uchun ishlatiladigan raqam. Demak, q hodisa sodir bo'lmasligi ehtimolini bildiruvchi sondir.

Endi siz Bernulli formulasini bilasiz (ehtimollar nazariyasi). Biz quyida muammolarni yechish (birinchi daraja) misollarini ko'rib chiqamiz.

2-topshiriq: Do'konga tashrif buyuruvchi 0,2 ehtimollik bilan xarid qiladi. Do'konga 6 nafar tashrif buyuruvchi mustaqil ravishda kirdi. Mehmonning xarid qilish ehtimoli qanday?

Yechim: Qancha tashrif buyuruvchi sotib olishi kerakligi noma'lum bo'lgani uchun, bitta yoki oltitasi, Bernoulli formulasi yordamida barcha mumkin bo'lgan ehtimolliklarni hisoblash kerak.

A = "tashrif buyuruvchi xarid qiladi."

Bunday holda: p = 0,2 (topshiriqda ko'rsatilganidek). Shunga ko'ra, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (chunki do'konda 6 ta mijoz bor). m raqami 0 dan (birorta ham xaridor xarid qilmaydi) 6 gacha (do'konga tashrif buyurgan barcha mehmonlar biror narsa sotib oladi) o'zgaradi. Natijada biz yechimni olamiz:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Xaridorlarning hech biri 0,2621 ehtimollik bilan xarid qilmaydi.

Bernulli formulasidan (ehtimollar nazariyasi) yana qanday foydalaniladi? Quyida muammolarni hal qilish misollari (ikkinchi daraja).

Yuqoridagi misoldan keyin C va r qaerga ketganligi haqida savollar tug'iladi. p ga nisbatan 0 ning kuchiga teng bo'lgan son birga teng bo'ladi. C ga kelsak, uni quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:

C n m = n! /m!(n-m)!

Birinchi misolda m = 0, mos ravishda C = 1 bo'lgani uchun, bu printsipial jihatdan natijaga ta'sir qilmaydi. Yangi formuladan foydalanib, keling, ikkita tashrif buyuruvchining tovarlarni sotib olish ehtimoli qanday ekanligini aniqlashga harakat qilaylik.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Ehtimollar nazariyasi unchalik murakkab emas. Yuqorida misollari keltirilgan Bernulli formulasi buning bevosita dalilidir.

Puasson formulasi

Puasson tenglamasi past ehtimolli tasodifiy vaziyatlarni hisoblash uchun ishlatiladi.

Asosiy formula:

P n (m)=l m /m! × e (-l) .

Bu holda l = n x p. Mana oddiy Puasson formulasi (ehtimollar nazariyasi). Biz quyida muammolarni hal qilish misollarini ko'rib chiqamiz.

Vazifa 3: Zavod 100 000 ta detal ishlab chiqardi. Buzuq qismning paydo bo'lishi = 0,0001. Partiyada 5 ta nuqsonli qism bo‘lish ehtimoli qanday?

Ko'rib turganingizdek, nikoh ehtimol bo'lmagan hodisadir va shuning uchun hisoblash uchun Puasson formulasi (ehtimollar nazariyasi) qo'llaniladi. Ushbu turdagi muammolarni hal qilish misollari fanning boshqa vazifalaridan farq qilmaydi, biz kerakli ma'lumotlarni berilgan formulaga almashtiramiz:

A = "tasodifiy tanlangan qism nuqsonli bo'ladi."

p = 0,0001 (vazifa shartlariga muvofiq).

n = 100000 (qismlar soni).

m = 5 (nuqsonli qismlar). Biz ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Xuddi Bernulli formulasi (ehtimollar nazariyasi), yuqorida yozilgan yechimlar misollari kabi, Puasson tenglamasi noma'lum e ga ega.Aslida uni quyidagi formula bilan topish mumkin:

e -l = lim n ->∞ (1-l/n) n .

Biroq, e ning deyarli barcha qiymatlarini o'z ichiga olgan maxsus jadvallar mavjud.

De Moivr-Laplas teoremasi

Agar Bernulli sxemasida sinovlar soni yetarlicha ko‘p bo‘lsa va barcha sxemalarda A hodisasining ro‘y berish ehtimoli bir xil bo‘lsa, u holda bir qator sinovlarda A hodisasining ma’lum bir necha marta sodir bo‘lish ehtimoli quyidagicha topiladi: Laplas formulasi:

R n (m)= 1/√npq x s(X m).

X m = m-np/√npq.

Laplas formulasini (ehtimollar nazariyasini) yaxshiroq eslab qolish uchun quyidagi muammolar misollari yordam beradi.

Birinchidan, X m ni topamiz, ma'lumotlarni (ularning barchasi yuqorida sanab o'tilgan) formulaga almashtiramiz va 0,025 ni olamiz. Jadvallardan foydalanib, s(0,025) raqamini topamiz, uning qiymati 0,3988. Endi siz barcha ma'lumotlarni formulaga almashtirishingiz mumkin:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Shunday qilib, flyerning aniq 267 marta ishlashi ehtimoli 0,03 ga teng.

Bayes formulasi

Bayes formulasi (ehtimollar nazariyasi), uning yordamida muammolarni hal qilish misollari quyida keltiriladi, u bilan bog'liq bo'lishi mumkin bo'lgan holatlarga asoslangan hodisaning ehtimolini tavsiflovchi tenglama. Asosiy formula quyidagicha:

P (A | B) = P (B | A) x P (A) / P (B).

A va B aniq hodisalardir.

P(A|B) - shartli ehtimol, ya'ni B hodisa rost bo'lgan taqdirda A hodisa sodir bo'lishi mumkin.

P (B|A) - B hodisasining shartli ehtimoli.

Shunday qilib, "Ehtimollar nazariyasi" qisqa kursining yakuniy qismi Bayes formulasi bo'lib, quyida muammolarni hal qilish misollari keltirilgan.

Vazifa 5: Omborga uchta kompaniyaning telefonlari keltirildi. Shu bilan birga, birinchi zavodda ishlab chiqarilgan telefonlar ulushi 25 foizni, ikkinchisida 60 foizni, uchinchisida 15 foizni tashkil etadi. Bundan tashqari, birinchi zavodda nuqsonli mahsulotlarning o'rtacha ulushi 2%, ikkinchisida - 4%, uchinchisida - 1% ni tashkil etishi ma'lum. Tasodifiy tanlangan telefonning nuqsonli bo'lish ehtimolini topishingiz kerak.

A = "tasodifiy tanlangan telefon".

B 1 - birinchi zavod ishlab chiqargan telefon. Shunga ko'ra, kirish B 2 va B 3 paydo bo'ladi (ikkinchi va uchinchi zavodlar uchun).

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - shuning uchun biz har bir variantning ehtimolini topdik.

Endi siz istalgan hodisaning shartli ehtimolini, ya'ni kompaniyalarda nuqsonli mahsulotlarning paydo bo'lish ehtimolini topishingiz kerak:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Keling, ma'lumotlarni Bayes formulasiga almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Maqolada ehtimollik nazariyasi, formulalar va muammolarni hal qilish misollari keltirilgan, ammo bu keng fanning aysbergining faqat uchi. Va hamma yozilganlardan so'ng, ehtimollik nazariyasi hayotda kerakmi, degan savolni berish mantiqan to'g'ri keladi. Oddiy odamga javob berish qiyin, uni ishlatgan odamdan bir necha marta jekpot yutishini so'rash yaxshidir.

Ehtimollar nazariyasi - matematikaning tasodifiy hodisalarning qonuniyatlarini o'rganadigan bo'limi: tasodifiy hodisalar, tasodifiy o'zgaruvchilar, ularning xossalari va ular ustida amallar.

Uzoq vaqt davomida ehtimollik nazariyasi aniq ta'rifga ega emas edi. U faqat 1929 yilda ishlab chiqilgan. Ehtimollar nazariyasining fan sifatida paydo bo‘lishi o‘rta asrlarda va qimor o‘yinlarini matematik tahlil qilishning birinchi urinishlariga (bo‘lak, zar, ruletka) to‘g‘ri keladi. 17-asrning frantsuz matematiklari Blez Paskal va Per Fermat qimor o'yinlarida yutuqni bashorat qilishni o'rganar ekanlar, zar otishda paydo bo'ladigan birinchi ehtimollik naqshlarini topdilar.

Ehtimollar nazariyasi fan sifatida ommaviy tasodifiy hodisalar ma'lum qonuniyatlarga asoslanadi, degan e'tiqoddan kelib chiqqan. Ehtimollar nazariyasi bu naqshlarni o'rganadi.

Ehtimollar nazariyasi sodir bo'lishi aniq ma'lum bo'lmagan hodisalarni o'rganish bilan shug'ullanadi. Bu sizga ba'zi hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli darajasini boshqalarga nisbatan baholash imkonini beradi.

Masalan: tanga otish natijasida "boshlar" yoki "dumlar" natijasini aniq aniqlash mumkin emas, lekin takroriy otish bilan taxminan bir xil miqdordagi "boshlar" va "dumlar" paydo bo'ladi, ya'ni "Boshlar" yoki "dumlar" tushishi ehtimoli 50% ga teng.

Sinov bunda ma'lum shartlar majmuini amalga oshirish, ya'ni bu holda tanga otish deyiladi. Chalg'igan cheksiz ko'p marta o'ynash mumkin. Bunday holda, shartlar to'plami tasodifiy omillarni o'z ichiga oladi.

Sinov natijasi voqea. Voqea sodir bo'ladi:

1. Ishonchli (har doim sinov natijasida yuzaga keladi).
2. Mumkin emas (hech qachon sodir bo'lmaydi).
3. Tasodifiy (sinov natijasida yuzaga kelishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin).

Masalan, tanga otishda imkonsiz hodisa - tanga uning chetiga tushishi, tasodifiy hodisa - "boshlar" yoki "dumlar" paydo bo'lishi. Maxsus test natijasi chaqiriladi elementar hodisa. Sinov natijasida faqat elementar hodisalar yuzaga keladi. Barcha mumkin bo'lgan, har xil, o'ziga xos test natijalari to'plami deyiladi elementar hodisalar maydoni.

Nazariyaning asosiy tushunchalari

Ehtimollik- hodisaning yuzaga kelish ehtimoli darajasi. Mumkin bo'lgan biron bir hodisaning sabablari qarama-qarshi sabablarga ko'ra ko'proq bo'lsa, bu hodisa ehtimoliy, aks holda - dargumon yoki ehtimolsiz deb ataladi.

Tasodifiy qiymat- bu sinov natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi mumkin bo'lgan miqdor va qaysi biri oldindan ma'lum emas. Masalan: kuniga bitta o't o'chirish stantsiyasining soni, 10 ta o'q bilan urishlar soni va boshqalar.

Tasodifiy o'zgaruvchilarni ikki toifaga bo'lish mumkin.

1. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi- bu sinov natijasida ma'lum bir ehtimollik bilan ma'lum qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan, hisoblanuvchi to'plamni (elementlari raqamlanishi mumkin bo'lgan to'plam) hosil qiladigan miqdor. Bu to'plam chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin. Misol uchun, nishonga birinchi urishdan oldin o'qlar soni diskret tasodifiy o'zgaruvchidir, chunki bu miqdor cheksiz, sanab bo'ladigan bo'lsa-da, qiymatlar sonini olishi mumkin.
2. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi qandaydir chekli yoki cheksiz oraliqdan istalgan qiymatni qabul qila oladigan miqdor. Shubhasiz, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksizdir.

Ehtimollar maydoni- A.N tomonidan kiritilgan kontseptsiya. Kolmogorov 20-asrning 30-yillarida ehtimollik kontseptsiyasini rasmiylashtirdi, bu ehtimollik nazariyasining qat'iy matematik intizom sifatida jadal rivojlanishiga sabab bo'ldi.

Ehtimollar fazosi uchlikdir (ba'zan burchakli qavslar ichiga olinadi: , bu erda

Bu ixtiyoriy to'plam bo'lib, uning elementlari elementar hodisalar, natijalar yoki nuqtalar deb ataladi;
- (tasodifiy) hodisalar deb ataladigan kichik to'plamlarning sigma algebrasi;
- ehtimollik o'lchovi yoki ehtimollik, ya'ni. sigma-qo'shimchali chekli o'lchov shundayki.

De Moivr-Laplas teoremasi- 1812 yilda Laplas tomonidan o'rnatilgan ehtimollar nazariyasining chegaraviy teoremalaridan biri. Unda aytilishicha, ikkita mumkin bo'lgan natija bilan bir xil tasodifiy tajribani qayta-qayta takrorlashda muvaffaqiyatlar soni taxminan normal taqsimlanadi. Bu sizga taxminiy ehtimollik qiymatini topish imkonini beradi.

Agar mustaqil sinovlarning har biri uchun biron bir tasodifiy hodisaning yuzaga kelish ehtimoli () ga teng bo'lsa va u haqiqatda sodir bo'lgan sinovlar soniga teng bo'lsa, u holda tengsizlikning rost bo'lish ehtimoli (katta qiymatlar uchun) ga yaqin bo'ladi. Laplas integralining qiymati.

Ehtimollar nazariyasida taqsimot funksiyasi- tasodifiy yoki tasodifiy vektorning taqsimlanishini tavsiflovchi funksiya; X tasodifiy o'zgaruvchining x dan kichik yoki unga teng qiymat qabul qilish ehtimoli, bu erda x - ixtiyoriy haqiqiy son. Agar ma'lum shartlar bajarilsa, u tasodifiy o'zgaruvchini to'liq aniqlaydi.

Kutilgan qiymat- tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati (bu ehtimollik nazariyasida ko'rib chiqilgan tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti). Ingliz tilidagi adabiyotlarda , rus tilida - bilan belgilanadi. Statistikada yozuv ko'pincha ishlatiladi.

Ehtimollar fazosi va unda aniqlangan tasodifiy miqdor berilsin. Ya'ni, ta'rifga ko'ra, o'lchanadigan funktsiya. U holda, agar fazo ustidagi Lebeg integrali bo'lsa, u matematik kutish yoki o'rtacha qiymat deb ataladi va .

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi- berilgan tasodifiy miqdorning tarqalishining o'lchovi, ya'ni uning matematik kutilganidan chetga chiqishi. U rus va xorijiy adabiyotlarda belgilangan. Statistikada ko'pincha yoki belgisi ishlatiladi. Dispersiyaning kvadrat ildizi standart og'ish, standart og'ish yoki standart tarqalish deb ataladi.

Ba'zi ehtimollik fazosida aniqlangan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin. Keyin

bu erda belgi matematik kutishni bildiradi.

Ehtimollar nazariyasida ikkita tasodifiy hodisa deyiladi mustaqil, agar ulardan birining paydo bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lish ehtimolini o'zgartirmasa. Xuddi shunday, ikkita tasodifiy o'zgaruvchilar chaqiriladi qaram, agar ulardan birining qiymati boshqasining qiymatlari ehtimoliga ta'sir qilsa.

Katta sonlar qonunining eng oddiy ko‘rinishi Bernulli teoremasi bo‘lib, unda aytilishicha, agar biror hodisaning yuzaga kelish ehtimoli barcha sinovlarda bir xil bo‘lsa, u holda sinovlar soni ortgan sari hodisaning chastotasi hodisaning ehtimoli va tasodifiy bo'lishni to'xtatadi.

Ehtimollar nazariyasidagi katta sonlar qonuni sobit taqsimotdan olingan chekli tanlamaning oʻrtacha arifmetik qiymati shu taqsimotning nazariy oʻrtacha qiymatiga yaqin ekanligini taʼkidlaydi. Konvergentsiyaning turiga qarab, yaqinlashuv ehtimoli bo‘yicha sodir bo‘ladigan katta sonlarning kuchsiz qonuni va yaqinlashuv deyarli aniq bo‘lgan katta sonlarning kuchli qonuni o‘rtasida farqlanadi.

Katta sonlar qonunining umumiy ma'nosi shundaki, ko'p sonli bir xil va mustaqil tasodifiy omillarning birgalikdagi harakati, chegarada tasodifga bog'liq bo'lmagan natijaga olib keladi.

Cheklangan namunaviy tahlilga asoslangan ehtimollikni baholash usullari ushbu xususiyatga asoslanadi. Saylovchilar o‘rtasida o‘tkazilgan so‘rovnoma asosida saylov natijalari prognozi yaqqol misoldir.

Markaziy chegara teoremalari- ehtimollar nazariyasida taxminan bir xil masshtablarga ega bo'lgan (hech bir atama ustunlik qilmaydi yoki yig'indiga hal qiluvchi hissa qo'shmaydi) etarlicha katta miqdordagi kuchsiz bog'liq tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi normaga yaqin taqsimotga ega ekanligini bildiruvchi teoremalar sinfi.

Ilovalardagi ko'plab tasodifiy o'zgaruvchilar bir nechta kuchsiz bog'liq tasodifiy omillar ta'sirida hosil bo'lganligi sababli ularning taqsimlanishi normal hisoblanadi. Bunday holda, omillarning hech biri dominant emasligi sharti bajarilishi kerak. Bu holatlarda markaziy chegara teoremalari normal taqsimotdan foydalanishni oqlaydi.

Ba'zi dasturchilar muntazam tijorat ilovalarini ishlab chiqish sohasida ishlagandan so'ng, mashinani o'rganishni o'rganish va ma'lumotlar tahlilchisi bo'lish haqida o'ylashadi. Ular ko'pincha ma'lum usullarning nima uchun ishlashini tushunmaydilar va ko'pchilik mashinani o'rganish usullari sehr kabi ko'rinadi. Aslida, mashinani o'rganish matematik statistikaga asoslanadi, bu esa o'z navbatida ehtimollar nazariyasiga asoslanadi. Shuning uchun biz ushbu maqolada ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalariga e'tibor qaratamiz: ehtimollik, taqsimot ta'riflariga to'xtalib, bir nechta oddiy misollarni tahlil qilamiz.

Ehtimollar nazariyasi shartli ravishda 2 qismga bo'linganligini bilishingiz mumkin. Diskret ehtimollar nazariyasi mumkin bo'lgan xatti-harakatlarning cheklangan (yoki sanab o'tiladigan) variantlari (zarlar, tangalar otish) bilan taqsimlanishi bilan tavsiflanishi mumkin bo'lgan hodisalarni o'rganadi. Uzluksiz ehtimollar nazariyasi ba'zi bir zich to'plamda, masalan, segment yoki aylanada taqsimlangan hodisalarni o'rganadi.

Ehtimollar nazariyasi mavzusini oddiy misol yordamida ko'rib chiqishimiz mumkin. O'zingizni shooter ishlab chiqaruvchisi sifatida tasavvur qiling. Ushbu janrdagi o'yinlarning rivojlanishining ajralmas qismi - otish mexanikasi. Barcha qurollar mutlaqo aniq o'q otadigan otishma o'yinchilarni unchalik qiziqtirmasligi aniq. Shuning uchun, qurolingizga tarqalishni qo'shish juda muhimdir. Ammo qurolning zarba nuqtalarini shunchaki tasodifiy tanlash nozik sozlashga imkon bermaydi, shuning uchun o'yin balansini sozlash qiyin bo'ladi. Shu bilan birga, tasodifiy o'zgaruvchilar va ularning taqsimotlaridan foydalanish qurolning ma'lum bir tarqalish bilan qanday ishlashini tahlil qilish va kerakli tuzatishlarni kiritishga yordam beradi.

Elementar natijalar maydoni

Aytaylik, biz ko'p marta takrorlashimiz mumkin bo'lgan tasodifiy tajribadan (masalan, tanga tashlashda) biz ba'zi rasmiylashtirilgan ma'lumotlarni olishimiz mumkin (u boshlar yoki dumlar paydo bo'ldi). Ushbu ma'lumot elementar natija deb ataladi va ko'pincha Ō (Omega) harfi bilan belgilanadigan barcha elementar natijalar to'plamini ko'rib chiqish foydalidir.

Ushbu makonning tuzilishi butunlay eksperimentning tabiatiga bog'liq. Misol uchun, agar biz etarlicha katta dumaloq nishonga otishni hisobga olsak, elementar natijalar maydoni qulaylik uchun markaz nolga teng bo'lgan doira bo'ladi va natija bu doiradagi nuqta bo'ladi.

Bundan tashqari, elementar natijalar to'plami - hodisalar ko'rib chiqiladi (masalan, birinchi o'nlikka urish - bu nishon bilan kichik radiusli konsentrik doira). Diskret holatda hamma narsa juda oddiy: biz cheklangan vaqt ichida har qanday hodisani, shu jumladan elementar natijalarni ham olishimiz mumkin. Uzluksiz holatda, hamma narsa ancha murakkab: bizga qo'shilishi, ayirilishi, bo'linishi va ko'paytirilishi mumkin bo'lgan oddiy haqiqiy raqamlarga o'xshash algebra deb ataladigan juda yaxshi to'plamlar oilasini ko'rib chiqish kerak. Algebrada to'plamlar kesishishi va birlashtirilishi mumkin va operatsiya natijasi algebrada bo'ladi. Bu barcha tushunchalar ortida yotgan matematika uchun juda muhim xususiyatdir. Minimal oila faqat ikkita to'plamdan iborat - bo'sh to'plam va elementar natijalar maydoni.

O'lchov va ehtimollik

Ehtimollik - bu juda murakkab ob'ektlarning qanday ishlashini tushunmasdan, ularning xatti-harakatlari haqida xulosa chiqarish usuli. Shunday qilib, ehtimollik raqamni qaytaradigan hodisaning (juda yaxshi to'plamlar oilasidan) funktsiyasi sifatida aniqlanadi - bunday hodisa haqiqatda qanchalik tez-tez sodir bo'lishining ba'zi bir xarakteristikasi. Ishonch hosil qilish uchun matematiklar bu raqam noldan birgacha bo'lishi kerakligiga rozi bo'lishdi. Bundan tashqari, bu funktsiyaning talablari mavjud: mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimolligi nolga teng, natijalarning butun to'plamining ehtimolligi birlik va ikkita mustaqil hodisani (ajralgan to'plamlar) birlashtirish ehtimoli ehtimollar yig'indisiga teng. Ehtimollikning boshqa nomi - ehtimollik o'lchovidir. Ko'pincha Lebeg o'lchovi qo'llaniladi, bu uzunlik, maydon, hajm tushunchalarini har qanday o'lchamlarga (n o'lchovli hajm) umumlashtiradi va shuning uchun u to'plamlarning keng sinfiga taalluqlidir.

Birgalikda elementar natijalar to'plami, to'plamlar oilasi va ehtimollik o'lchovi deyiladi. ehtimollik maydoni. Keling, nishonga otish misoli uchun qanday qilib ehtimollik maydonini qurishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik.

R radiusli katta dumaloq nishonga otishni o'ylab ko'ring, uni o'tkazib yuborishning iloji yo'q. Elementar hodisalar to'plami bo'yicha biz R radiusli koordinatalarning boshiga markazli aylana o'rnatamiz. Hodisa ehtimolini tavsiflash uchun maydondan (ikki o‘lchovli to‘plamlar uchun Lebeg o‘lchovi) foydalanmoqchi bo‘lganimiz sababli, biz o‘lchanadigan (bu o‘lchov mavjud) to‘plamlar oilasidan foydalanamiz.

Eslatma Aslida, bu texnik nuqta va oddiy muammolarda o'lchov va to'plamlar oilasini aniqlash jarayoni alohida rol o'ynamaydi. Ammo bu ikki ob'ekt mavjudligini tushunish kerak, chunki ehtimollik nazariyasiga oid ko'plab kitoblarda teoremalar quyidagi so'zlar bilan boshlanadi: " (Ō,S,P) ehtimollik fazosi bo'lsin...».

Yuqorida aytib o'tilganidek, elementar natijalarning butun maydonining ehtimoli birga teng bo'lishi kerak. Maktabdan ma'lum bo'lgan formulaga ko'ra, doira maydoni (ikki o'lchovli Lebeg o'lchovi, biz l 2 (A) ni belgilaymiz, bu erda A - hodisa) p * R 2 ga teng. Keyin biz P(A) = l 2 (A) / (p *R 2) ehtimolligini kiritishimiz mumkin va bu qiymat har qanday A hodisasi uchun allaqachon 0 dan 1 gacha bo'ladi.

Agar nishonning biron bir nuqtasiga tegish ehtimoli teng deb hisoblasak, otishmaning nishonning biron bir joyiga tegishi ehtimolini izlash ushbu to'plamning maydonini topishga to'g'ri keladi (shundan xulosa qilishimiz mumkinki, ehtimol Muayyan nuqtaga tegish nolga teng, chunki nuqtaning maydoni nolga teng).

Misol uchun, biz otishmaning birinchi o'ntalikka kirishi ehtimoli qanday ekanligini bilmoqchimiz (A hodisasi - otuvchi kerakli to'plamni uradi). Bizning modelimizda "o'nlik" markazi nolga teng va radiusi r bo'lgan doira bilan ifodalanadi. U holda bu aylanaga kirish ehtimoli P(A) = l 2 /(A)p *R 2 = p * r 2 /(p R 2)= (r/R) 2 ga teng.

Bu "geometrik ehtimollik" masalalarining eng oddiy turlaridan biri - bu masalalarning aksariyati maydonni topishni talab qiladi.

Tasodifiy o'zgaruvchilar

Tasodifiy o'zgaruvchi elementar natijalarni haqiqiy sonlarga aylantiruvchi funktsiyadir. Masalan, ko'rib chiqilayotgan masalada biz tasodifiy o'zgaruvchini kiritishimiz mumkin r(ō) - ta'sir nuqtasidan nishon markazigacha bo'lgan masofa. Modelimizning soddaligi elementar natijalar fazosini aniq belgilash imkonini beradi: Ō = (ō = (x,y) x 2 +y 2 ≤ R 2 ) shunday raqamlar. U holda tasodifiy miqdor r(ō) = r(x,y) = x 2 +y 2 .

Ehtimoliy fazodan abstraksiya vositalari. Tarqatish funksiyasi va zichligi

Kosmosning tuzilishi yaxshi ma'lum bo'lsa yaxshi, lekin aslida bu har doim ham shunday emas. Fazoning tuzilishi ma'lum bo'lsa ham, u murakkab bo'lishi mumkin. Tasodifiy o'zgaruvchilar, agar ularning ifodasi noma'lum bo'lsa, ularni tavsiflash uchun taqsimlash funktsiyasi tushunchasi mavjud bo'lib, u F p (x) = P (p) bilan belgilanadi.< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Tarqatish funktsiyasi bir nechta xususiyatlarga ega:

1. Birinchidan, u 0 dan 1 gacha.
2. Ikkinchidan, uning argumenti x ortganda kamaymaydi.
3. Uchinchidan, -x soni juda katta bo’lsa, taqsimot funksiyasi 0 ga, x ning o’zi katta bo’lsa, taqsimot funksiyasi 1 ga yaqin bo’ladi.

Ehtimol, bu qurilishning ma'nosi birinchi o'qishda juda aniq emas. Foydali xususiyatlardan biri shundaki, taqsimot funksiyasi qiymatning intervaldan qiymat olishi ehtimolini izlashga imkon beradi. Shunday qilib, P (tasodifiy o'zgaruvchi l intervaldan qiymatlarni oladi) = F p (b) - F p (a). Ushbu tenglikka asoslanib, intervalning a va b chegaralari yaqin bo'lsa, bu qiymat qanday o'zgarishini o'rganishimiz mumkin.

d = b-a, keyin b = a+d bo'lsin. Va shuning uchun F p (b) - F p (a) = F p (a+d) - F p (a) . d ning kichik qiymatlari uchun yuqoridagi farq ham kichik (agar taqsimot uzluksiz bo'lsa). p p (a,d)= (F p (a+d) - F p (a))/d nisbatini hisobga olish mantiqiy. Agar d ning etarlicha kichik qiymatlari uchun bu nisbat d ga bog'liq bo'lmagan ba'zi bir doimiy p p (a) dan ozgina farq qilsa, bu vaqtda tasodifiy o'zgaruvchi p p (a) ga teng zichlikka ega bo'ladi.

Eslatma Ilgari hosila tushunchasiga duch kelgan o'quvchilar p p (a) a nuqtadagi F p (x) funksiyaning hosilasi ekanligini payqashlari mumkin. Har qanday holatda, siz Mathprofi veb-saytidagi ushbu mavzu bo'yicha maqolada lotin tushunchasini o'rganishingiz mumkin.

Endi taqsimlash funktsiyasining ma'nosini quyidagicha aniqlash mumkin: uning hosilasi (zichligi p p, biz yuqorida belgilaganmiz) a nuqtada tasodifiy o'zgaruvchining a nuqtasida (a nuqta qo'shnisi) markazlashtirilgan kichik intervalga qanchalik tez-tez tushishini tavsiflaydi. ) boshqa nuqtalarning mahallalari bilan solishtirganda. Boshqacha qilib aytganda, taqsimlash funksiyasi qanchalik tez o'ssa, tasodifiy tajribada bunday qiymat paydo bo'lishi ehtimoli shunchalik yuqori bo'ladi.

Keling, misolga qaytaylik. Tasodifiy o'zgaruvchi uchun taqsimlash funksiyasini hisoblashimiz mumkin, r(ō) = r(x,y) = x 2 +y 2, bu markazdan nishonga tasodifiy urish nuqtasigacha bo'lgan masofani bildiradi. Ta'rifiga ko'ra, F r (t) = P (r (x, y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Ushbu tasodifiy o'zgaruvchining p r zichligini topishimiz mumkin. Darhol ta'kidlaymizki, intervaldan tashqarida u nolga teng, chunki bu interval bo'yicha taqsimlash funktsiyasi o'zgarmaydi. Ushbu intervalning oxirida zichlik aniqlanmaydi. Interval ichida uni lotinlar jadvali (masalan, Mathprofi veb-saytidan) va farqlashning elementar qoidalari yordamida topish mumkin. t 2 /R 2 hosilasi 2t/R 2 ga teng. Bu shuni anglatadiki, biz haqiqiy sonlarning butun o'qi bo'yicha zichlikni topdik.

Zichlikning yana bir foydali xossasi - bu funktsiyaning oraliqdan qiymat olish ehtimoli, bu oraliqdagi zichlik integrali yordamida hisoblanadi (bu nima ekanligini Mathprofi-dagi to'g'ri, noto'g'ri va noaniq integrallar haqidagi maqolalardan bilib olishingiz mumkin). veb-sayt).

Birinchi o'qishda f(x) funksiyaning oraliqdagi integralini egri trapezoidning maydoni deb hisoblash mumkin. Uning tomonlari Ox o'qining bo'lagi, bo'shliq (gorizontal koordinata o'qi), egri chiziqdagi nuqtalarni (a,f(a)), (b,f(b)) (a,0) bilan bog'laydigan vertikal segmentlar, (b,0 ) Ox o'qida. Oxirgi tomoni f funksiya grafigining (a,f(a)) dan (b,f(b)) gacha bo'lgan qismidir. Biz (-∞; b] oraliqdagi integral haqida gapirishimiz mumkin, bunda etarlicha katta manfiy qiymatlar uchun a, intervaldagi integralning qiymati a sonining o'zgarishiga nisbatan ahamiyatsiz darajada o'zgaradi. Intervallar bo'yicha integral shunga o'xshash tarzda aniqlanadi.Jami 2Ї2Ї2Ї2 = 16 ta natija bo'ladi.Alohida otishlar natijalari mustaqil degan farazga ko'ra, bu natijalarning ehtimolini aniqlash uchun formula (3) va unga eslatma qo'llanilishi kerak. , natija ehtimoli (y, n.n, n) 0,2º0,8º0,8Ї0, 8 = 0,1024 ga teng bo'lishi kerak, bu erda 0,8 = 1-0,2 - bitta otish bilan o'tkazib yuborilish ehtimoli. Nishon uch marta urilgan” so‘zi natijalar (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y) bo‘yicha ma’qullanadi. (n, y, y, y) , har birining ehtimoli bir xil:

0,2Ї0,2Ї0,2Ї0,8 =...... =0,8Ї0,2Ї0,2Ї0,2 = 0,0064;

shuning uchun talab qilinadigan ehtimollik tengdir

4−0,0064 = 0,0256.

Tahlil qilinayotgan misolning mulohazalarini umumlashtirib, ehtimollar nazariyasining asosiy formulalaridan birini chiqarishimiz mumkin: agar A1, A2,..., An hodisalari mustaqil boʻlsa va har birida p ehtimollik boʻlsa, ularning aynan m sodir boʻlish ehtimoli shunday boʻladi. ga teng

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

bu yerda Cnm m ning n ta elementining birikmalar sonini bildiradi. Katta n uchun formula (4) yordamida hisoblash qiyinlashadi. Oldingi misoldagi zarbalar soni 100 ta bo'lsin va urilganlar soni 8 dan 32 gacha bo'lgan oraliqda bo'lish ehtimoli x ni topish uchun savol beriladi. (4) formulani qo'llash va qo'shish teoremasi aniqlikni beradi, lekin kerakli ehtimollikning amalda yaroqsiz ifodasi

X ehtimollikning taxminiy qiymatini Laplas teoremasi yordamida topish mumkin

va xatolik 0,0009 dan oshmaydi. Topilgan natija voqea 8 £ m £ 32 deyarli aniq ekanligini ko'rsatadi. Bu ehtimollar nazariyasida chegara teoremalaridan foydalanishning eng oddiy, ammo tipik misolidir.

Elementar ehtimollar nazariyasining asosiy formulalariga umumiy ehtimollik formulasi ham kiradi: agar A1, A2,..., Ar hodisalari juftlik mos kelmasa va ularning birlashuvi ishonchli hodisa boʻlsa, har qanday B hodisasi uchun uning ehtimoli teng boʻladi. summasi

Murakkab testlarni ko'rib chiqishda ehtimollarni ko'paytirish teoremasi ayniqsa foydalidir. Agar T sinovining har bir natijasi tegishli Ai, Bj,..., Xk, Yl natijalarining kombinatsiyasidan iborat bo‘lsa, T sinovi T1, T2,..., Tn-1, Tn sinovlaridan iborat deyiladi. sinovlar T1, T2,... , Tn-1, Tn. Bu yoki boshqa sabablarga ko'ra, ehtimolliklar ko'pincha ma'lum