Sonuçlar hangi durumda ortaya çıkar? Olasılık teorisi: formüller ve problem çözme örnekleri. Klasik olasılık şeması

Olayları olasılık derecesine göre niceliksel olarak karşılaştırabilmek için, elbette her olayla belirli bir sayıyı ilişkilendirmek gerekir ki o sayı ne kadar büyükse olay o kadar olasıdır. Bu sayıya bir olayın olasılığı adını vereceğiz. Böylece, bir olayın olasılığı bu olayın nesnel olasılık derecesinin sayısal bir ölçüsüdür.

Olasılığın ilk tanımı, kumar analizinden ortaya çıkan ve başlangıçta sezgisel olarak uygulanan klasik tanım olarak düşünülmelidir.

Olasılığı belirlemenin klasik yöntemi, belirli bir deneyimin sonuçları olan ve tam bir uyumsuz olaylar grubunu oluşturan, eşit derecede mümkün ve uyumsuz olaylar kavramına dayanmaktadır.

Tam bir grup oluşturan eşit derecede mümkün ve uyumsuz olayların en basit örneği, aynı boyutta, ağırlıkta ve diğer somut özelliklere sahip, yalnızca renkleri farklı olan ve çıkarılmadan önce iyice karıştırılan birkaç top içeren bir kavanozdan bir veya başka bir topun ortaya çıkmasıdır.

Bu nedenle, sonuçları uyumsuz ve eşit derecede olası olayların tam bir grubunu oluşturan bir testin, bir kutu modeline veya bir vaka modeline indirgenebileceği veya klasik modele uyduğu söylenir.

Tam bir grubu oluşturan eşit derecede mümkün ve uyumsuz olaylara basit vakalar veya şanslar adı verilecektir. Üstelik her deneyde vakalarla birlikte daha karmaşık olaylar da meydana gelebiliyor.

Örnek: Bir zar atarken, A i - üst taraftaki i puanlarının kaybı durumlarının yanı sıra, B - çift sayıda puanın kaybı, C - belirli sayıda puanın kaybı gibi olayları dikkate alabiliriz. üçün katı olan noktalar...

Deney sırasında meydana gelebilecek her olayla ilgili olarak vakalar aşağıdakilere ayrılmıştır: elverişli, bu olayın meydana geldiği yer ve olumsuz, olayın meydana gelmediği durum. Önceki örnekte B olayı A 2, A 4, A 6 durumları tarafından tercih edilmektedir; olay C - vakalar A 3, A 6.

Klasik olasılık belirli bir olayın meydana gelmesine, bu olayın meydana gelmesine elverişli vaka sayısının, belirli bir deneyde tüm grubu oluşturan eşit derecede mümkün, uyumsuz vakaların toplam sayısına oranı denir:

Nerede P(A)- A olayının gerçekleşme olasılığı; M- A olayının lehine olan vakaların sayısı; N- toplam vaka sayısı.

Örnekler:

1) (yukarıdaki örneğe bakın) P(B)= , P(C) =.

2) Torbanın içinde 9 kırmızı ve 6 mavi top vardır. Rastgele çekilen bir veya iki topun kırmızı olma olasılığını bulun.

A- rastgele çekilen kırmızı bir top:

M= 9, N= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- rastgele çekilen iki kırmızı top:

Aşağıdaki özellikler, olasılığın klasik tanımından kaynaklanmaktadır (kendinizi gösterin):

1) İmkansız bir olayın olasılığı 0'dır;

2) Güvenilir bir olayın olasılığı 1'dir;

3) Herhangi bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır;

4) A olayının tersi bir olayın olasılığı,

Olasılığın klasik tanımı, bir denemenin sonuçlarının sayısının sonlu olduğunu varsayar. Uygulamada sıklıkla, olası durumların sayısı sonsuz olan testler vardır. Ek olarak, klasik tanımın zayıflığı, bir testin sonucunu bir dizi temel olay biçiminde temsil etmenin çoğu zaman imkansız olmasıdır. Bir testin temel sonuçlarının eşit derecede mümkün olduğunu düşünmenin nedenlerini belirtmek daha da zordur. Genellikle, temel test sonuçlarının eş-olasılığı simetri hususlarından çıkarılmaktadır. Ancak pratikte bu tür görevler çok nadirdir. Bu nedenlerden dolayı klasik olasılık tanımının yanı sıra başka olasılık tanımları da kullanılmaktadır.

İstatistiksel olasılık A olayı, gerçekleştirilen testlerde bu olayın göreceli görülme sıklığıdır:

A olayının gerçekleşme olasılığı nerede;

A olayının göreceli görülme sıklığı;

A olayının ortaya çıktığı denemelerin sayısı;

Toplam deneme sayısı.

Klasik olasılıktan farklı olarak istatistiksel olasılık deneysel bir özelliktir.

Örnek: Bir partideki ürünlerin kalitesini kontrol etmek için rastgele 100 ürün seçildi ve bunların arasından 3 ürünün kusurlu olduğu ortaya çıktı. Evlenme olasılığını belirleyin.

Olasılığı belirlemeye yönelik istatistiksel yöntem yalnızca aşağıdaki özelliklere sahip olaylara uygulanabilir:

Göz önünde bulundurulan olaylar, yalnızca aynı koşullar altında sınırsız sayıda tekrarlanabilecek testlerin sonuçları olmalıdır.

Olayların istatistiksel kararlılığa (veya göreceli frekansların kararlılığına) sahip olması gerekir. Bu, farklı test serilerinde olayın göreceli sıklığının çok az değiştiği anlamına gelir.

A olayıyla sonuçlanan denemelerin sayısı oldukça fazla olmalıdır.

Olasılığın klasik tanımdan kaynaklanan özelliklerinin, olasılığın istatistiksel tanımında da korunduğunu doğrulamak kolaydır.

Olasılık, olasılık teorisinin temel kavramlarından biridir. Bu kavramın çeşitli tanımları bulunmaktadır. Klasik denilen bir tanım verelim.

Olasılık olay, belirli bir olay için olumlu olan temel sonuçların sayısının, bu olayın ortaya çıkabileceği deneyimin eşit derecede olası tüm sonuçlarının sayısına oranıdır.

A olayının olasılığı şu şekilde gösterilir: P(A)(Burada R– Fransızca bir kelimenin ilk harfi olasılık- olasılık).

Tanıma göre

olayın meydana gelmesine elverişli temel test sonuçlarının sayısı nerede;

Olası temel test sonuçlarının toplam sayısı.

Olasılığın bu tanımına denir klasik. Olasılık teorisinin gelişiminin ilk aşamasında ortaya çıktı.

Bu sayıya genellikle bir olayın göreceli görülme sıklığı denir. A deneyimde.

Bir olayın olasılığı ne kadar yüksekse, o kadar sık ​​meydana gelir; bunun tersi de, bir olayın olasılığı ne kadar azsa, o kadar az sıklıkta meydana gelir. Bir olayın olasılığı bire yakın veya ona eşit olduğunda, hemen hemen tüm denemelerde bu olay meydana gelir. Böyle bir olayın olduğu söyleniyor neredeyse kesin yani bunun meydana geleceğine kesinlikle güvenilebilir.

Tam tersine olasılık sıfır veya çok küçük olduğunda olay son derece nadir gerçekleşir; böyle bir olayın olduğu söyleniyor neredeyse imkansız.

Bazen olasılık yüzde olarak ifade edilir: P(A)100% bir olayın meydana gelme sayısının ortalama yüzdesidir A.

Örnek 2.13. Abone, telefon numarasını çevirirken bir rakamı unutup rastgele çevirdi. Doğru numaranın çevrilme olasılığını bulun.

Çözüm.

ile belirtelim A olay - “gerekli numara çevrildi.”

Abone 10 rakamdan herhangi birini çevirebilir, dolayısıyla olası temel sonuçların toplam sayısı 10'dur. Bu sonuçlar uyumsuzdur, eşit derecede mümkündür ve tam bir grup oluşturur. Etkinliği tercih ediyor A yalnızca bir sonuç (gerekli yalnızca bir sayı vardır).

Gerekli olasılık, olaya uygun sonuçların sayısının tüm temel sonuçların sayısına oranına eşittir:

Klasik olasılık formülü olasılıkları hesaplamak için çok basit ve deney gerektirmeyen bir yol sağlar. Ancak bu formülün basitliği oldukça yanıltıcıdır. Gerçek şu ki, onu kullanırken genellikle iki çok zor soru ortaya çıkıyor:

1. Deneysel sonuçların eşit derecede mümkün olmasını sağlayacak bir sistem nasıl seçilir ve bunu yapmak mümkün müdür?

2. Sayılar nasıl bulunur? M Ve N?

Bir deneyde birden fazla nesne yer alıyorsa eşit derecede olası sonuçları görmek her zaman kolay değildir.

Büyük Fransız filozof ve matematikçi d'Alembert, olasılık teorisi tarihine ünlü hatasıyla girdi; bu hatanın özü, yalnızca iki madeni parayla yapılan bir deneyde sonuçların eş-olasılığını yanlış belirlemesiydi!

Örnek 2.14. ( d'Alembert'in hatası). Birbirinin aynısı iki madeni para atılıyor. Aynı tarafa düşme olasılıkları nedir?

D'Alembert'in çözümü.

Deneyin eşit derecede olası üç sonucu vardır:

1. Her iki madeni para da tura gelecek;

2. Her iki madeni para da tura gelecek;

3. Paralardan biri tura, diğeri yazı üzerine düşecektir.

Doğru çözüm.

Deneyin eşit derecede olası dört sonucu vardır:

1. İlk para tura düşecek, ikincisi de tura düşecek;

2. İlk para yazıya gelecek, ikincisi de yazıya gelecek;

3. İlk para tura, ikincisi yazı üzerine düşecektir;

4. İlk para yazıya, ikincisi yazıya gelecek.

Bunlardan iki sonuç olayımız için uygun olacaktır, yani gerekli olasılık eşittir.

D'Alembert olasılığı hesaplarken yapılan en yaygın hatalardan birini yaptı: iki temel sonucu tek bir sonuçta birleştirdi, böylece deneyin geri kalan sonuçlarının olasılık açısından eşitsiz olmasını sağladı.

“Kazalar tesadüfi değildir”... Kulağa bir filozofun söylediği gibi gelebilir ama aslında rastlantısallığı incelemek büyük matematik biliminin kaderidir. Matematikte şans konusu olasılık teorisiyle ele alınır. Makalede formüller ve görev örnekleri ile bu bilimin temel tanımları sunulacaktır.

Olasılık teorisi nedir?

Olasılık teorisi rastgele olayları inceleyen matematik disiplinlerinden biridir.

Konuyu biraz daha açık hale getirmek için küçük bir örnek verelim: Eğer bir parayı havaya atarsanız, yazı veya tura gelebilir. Madeni para havadayken bu olasılıkların her ikisi de mümkündür. Yani olası sonuçların olasılığı 1:1'dir. 36 kartlık bir desteden bir kart çekilirse olasılık 1:36 olarak gösterilecektir. Burada, özellikle matematiksel formüllerin yardımıyla keşfedilecek ve tahmin edilecek hiçbir şey yok gibi görünüyor. Bununla birlikte, belirli bir eylemi birçok kez tekrarlarsanız, belirli bir modeli tanımlayabilir ve buna dayanarak diğer koşullardaki olayların sonucunu tahmin edebilirsiniz.

Yukarıdakilerin hepsini özetlemek gerekirse, klasik anlamda olasılık teorisi, olası olaylardan birinin sayısal bir değerde meydana gelme olasılığını inceler.

Tarihin sayfalarından

Olasılık teorisi, formüller ve ilk görevlerin örnekleri, kart oyunlarının sonucunu tahmin etme girişimlerinin ilk ortaya çıktığı uzak Orta Çağ'da ortaya çıktı.

Başlangıçta olasılık teorisinin matematikle hiçbir ilgisi yoktu. Pratikte yeniden üretilebilecek bir olayın ampirik gerçekleri veya özellikleriyle gerekçelendirildi. Bir matematik disiplini olarak bu alanda ilk çalışmalar 17. yüzyılda ortaya çıkmıştır. Kurucuları Blaise Pascal ve Pierre Fermat'tı. Uzun süre kumar üzerine çalıştılar ve belli kalıpları gördüler ve bunları halka anlatmaya karar verdiler.

Aynı teknik, Pascal ve Fermat'ın araştırmalarının sonuçlarına aşina olmamasına rağmen Christiaan Huygens tarafından icat edildi. Disiplinin tarihinde ilk sayılan “olasılık teorisi” kavramı, formülleri ve örnekleri onun tarafından ortaya atılmıştır.

Jacob Bernoulli'nin çalışmaları, Laplace ve Poisson teoremlerinin önemi de azımsanmayacak düzeydedir. Olasılık teorisini daha çok bir matematik disiplini haline getirdiler. Olasılık teorisi, formüller ve temel görev örnekleri Kolmogorov'un aksiyomları sayesinde bugünkü halini aldı. Tüm değişikliklerin sonucunda olasılık teorisi matematiğin dallarından biri haline geldi.

Olasılık teorisinin temel kavramları. Olaylar

Bu disiplinin ana kavramı “olay”dır. Üç tür olay vardır:

• Güvenilir. Zaten olacak olanlar (para düşecek).
• İmkansız. Hiçbir koşulda gerçekleşmeyecek olaylar (paranın havada asılı kalması).
• Rastgele. Olacakları veya olmayacakları. Tahmin edilmesi çok zor olan çeşitli faktörlerden etkilenebilirler. Bir madeni paradan bahsedersek, sonucu etkileyebilecek rastgele faktörler vardır: madalyonun fiziksel özellikleri, şekli, orijinal konumu, atış kuvveti vb.

Örneklerdeki tüm olaylar, farklı bir role sahip olan P hariç, büyük Latin harfleriyle gösterilmiştir. Örneğin:

• A = “öğrenciler derse geldi.”
• Ā = “öğrenciler derse gelmedi.”

Pratik görevlerde olaylar genellikle kelimelerle yazılır.

Olayların en önemli özelliklerinden biri olasılıklarının eşit olmasıdır. Yani, eğer bir parayı atarsanız, düşene kadar ilk düşüşün tüm çeşitleri mümkündür. Ancak olaylar da aynı derecede mümkün değildir. Bu, birisi kasıtlı olarak bir sonucu etkilediğinde meydana gelir. Örneğin, ağırlık merkezinin kaydırıldığı "işaretli" oyun kartları veya zarlar.

Etkinlikler aynı zamanda uyumlu ve uyumsuz olabilir. Uyumlu olaylar birbirinin oluşumunu dışlamaz. Örneğin:

• A = “öğrenci derse geldi.”
• B = “öğrenci derse geldi.”

Bu olaylar birbirinden bağımsızdır ve birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini etkilemez. Uyumsuz olaylar, birinin meydana gelmesinin diğerinin meydana gelmesini dışlaması gerçeğiyle tanımlanır. Aynı madeni paradan bahsedersek, "yazı" kaybı aynı deneyde "tura" çıkmasını imkansız hale getirir.

Etkinliklerle ilgili eylemler

Olaylar çoğaltılabilir ve toplanabilir; buna göre disiplinde mantıksal bağlaçlar “AND” ve “OR” tanıtılmıştır.

Tutar, A veya B olayının ya da ikisinin aynı anda meydana gelebilmesi gerçeğine göre belirlenir. Eğer uyumsuzlarsa son seçenek imkansızdır; ya A ya da B atılacaktır.

Olayların çoğalması A ve B'nin aynı anda ortaya çıkmasından ibarettir.

Artık temelleri, olasılık teorisini ve formülleri daha iyi hatırlamak için birkaç örnek verebiliriz. Aşağıda problem çözme örnekleri.

1. Egzersiz: Şirket üç tür iş için sözleşme almak üzere bir yarışmaya katılmaktadır. Meydana gelebilecek olası olaylar:

• A = “Firma ilk sözleşmeyi alacak.”
• A 1 = “Firma ilk sözleşmeyi alamayacak.”
• B = “firma ikinci bir sözleşme alacak.”
• B 1 = “firma ikinci bir sözleşme alamayacak”
• C = “firma üçüncü bir sözleşme alacak.”
• C 1 = “firma üçüncü bir sözleşme alamayacak.”

Olaylara ilişkin eylemleri kullanarak aşağıdaki durumları ifade etmeye çalışacağız:

• K = “şirket tüm sözleşmeleri alacak.”

Matematiksel formda denklem şu forma sahip olacaktır: K = ABC.

• M = “şirket tek bir sözleşme alamayacak.”

M = A 1 B 1 C 1.

Görevi karmaşıklaştıralım: H = “şirket bir sözleşme alacak.” Şirketin hangi sözleşmeyi (birinci, ikinci veya üçüncü) alacağı bilinmediğinden, olası olayların tamamının kaydedilmesi gerekir:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Ve MÖ 1 1, firmanın birinci ve üçüncü sözleşmeyi almadığı, ancak ikinciyi aldığı bir dizi olaydır. Diğer olası olaylar uygun yöntem kullanılarak kaydedildi. Disiplindeki υ sembolü “OR” bağlacı anlamına gelir. Yukarıdaki örneği insan diline çevirirsek, şirket ya üçüncü sözleşmeyi ya ikinciyi ya da birinciyi alacaktır. Benzer şekilde “Olasılık Teorisi” disiplinindeki diğer koşulları da yazabilirsiniz. Yukarıda sunulan formüller ve problem çözme örnekleri, bunu kendi başınıza yapmanıza yardımcı olacaktır.

Aslında olasılık

Belki de bu matematik disiplininde bir olayın olasılığı merkezi kavramdır. Olasılığın 3 tanımı vardır:

• klasik;
• istatistiksel;
• geometrik.

Her birinin olasılık çalışmasında yeri vardır. Olasılık teorisi, formüller ve örnekler (9. sınıf) esas olarak şuna benzeyen klasik tanımı kullanır:

• A durumunun olasılığı, onun gerçekleşmesini destekleyen sonuçların sayısının tüm olası sonuçların sayısına oranına eşittir.

Formül şuna benzer: P(A)=m/n.

A aslında bir olaydır. A'nın tersi bir durum ortaya çıkarsa Ā veya A 1 olarak yazılabilir.

m olası olumlu durumların sayısıdır.

n - gerçekleşebilecek tüm olaylar.

Örneğin, A = “kalp renginden bir kart çek.” Standart bir destede 36 kart vardır ve bunların 9'u kupadır. Buna göre sorunu çözme formülü şöyle görünecektir:

P(A)=9/36=0,25.

Sonuç olarak desteden kalp renginde bir kartın çekilme olasılığı 0,25 olacaktır.

Yüksek matematiğe doğru

Artık olasılık teorisinin ne olduğu, okul müfredatında karşılaşılan problem çözme formülleri ve örnekleri çok az biliniyor. Ancak üniversitelerde öğretilen yüksek matematikte olasılık teorisine de rastlanmaktadır. Çoğunlukla teorinin geometrik ve istatistiksel tanımları ve karmaşık formüllerle çalışırlar.

Olasılık teorisi çok ilginçtir. Olasılığın istatistiksel (veya frekans) tanımıyla formülleri ve örnekleri (yüksek matematik) küçük çapta çalışmaya başlamak daha iyidir.

İstatistiksel yaklaşım klasik yaklaşımla çelişmez ancak onu biraz genişletir. İlk durumda bir olayın hangi olasılıkla meydana geleceğini belirlemek gerekliyse, bu yöntemde olayın ne sıklıkta gerçekleşeceğini belirtmek gerekir. Burada Wn(A) ile gösterilebilecek yeni bir “göreceli frekans” kavramı tanıtılmaktadır. Formül klasik olandan farklı değil:

Tahmin için klasik formül hesaplanırsa, deney sonuçlarına göre istatistiksel formül hesaplanır. Örneğin küçük bir görevi ele alalım.

Teknolojik kontrol departmanı ürünleri kalite açısından kontrol eder. 100 üründen 3'ünün kalitesiz olduğu tespit edildi. Kaliteli bir ürünün sıklık olasılığı nasıl bulunur?

A = “kaliteli bir ürünün görünümü.”

Wn(A)=97/100=0,97

Yani kaliteli bir ürünün frekansı 0,97’dir. 97'yi nereden buldun? Kontrol edilen 100 üründen 3'ünün kalitesiz olduğu tespit edildi. 100'den 3 çıkarıp 97 elde ediyoruz, bu kaliteli mal miktarıdır.

Kombinatorik hakkında biraz

Olasılık teorisinin başka bir yöntemine kombinatorik denir. Temel prensibi şudur: Eğer belirli bir A seçimi m farklı şekilde yapılabiliyorsa ve bir B seçimi de n farklı şekilde yapılabiliyorsa, o zaman A ve B'nin seçimi çarpma yoluyla yapılabilir.

Örneğin A şehrinden B şehrine giden 5 yol vardır. B şehrinden C şehrine 4 yol vardır. A şehrinden C şehrine kaç farklı yoldan gidebilirsiniz?

Çok basit: 5x4=20 yani A noktasından C noktasına yirmi farklı yoldan ulaşabilirsiniz.

Görevi karmaşıklaştıralım. Solitaire'de kartları yerleştirmenin kaç yolu vardır? Destede 36 kart var; bu başlangıç ​​noktasıdır. Yol sayısını bulmak için, başlangıç ​​​​noktasından her seferinde bir kartı "çıkarmanız" ve çarpmanız gerekir.

Yani 36x35x34x33x32...x2x1= sonuç hesap makinesi ekranına sığmadığından basitçe 36! olarak belirtilebilir. İmza "!" sayının yanındaki sayı dizisinin tamamının birbiriyle çarpıldığını gösterir.

Kombinatorikte permütasyon, yerleştirme ve kombinasyon gibi kavramlar vardır. Her birinin kendine has formülü var.

Bir kümenin elemanlarının sıralı bir kümesine düzenleme denir. Yerleştirmeler tekrarlanabilir, yani bir öğe birkaç kez kullanılabilir. Ve tekrarlanmadan, öğeler tekrarlanmadığında. n tüm öğelerdir, m ise yerleştirmeye katılan öğelerdir. Tekrarlama olmadan yerleştirme formülü şöyle görünecektir:

A n m =n!/(n-m)!

Yalnızca yerleştirme sırası farklılık gösteren n elemanın bağlantılarına permütasyon denir. Matematikte şöyle görünür: P n = n!

M'nin n elementinin kombinasyonları, hangi elementlerin olduğu ve toplam sayılarının ne olduğunun önemli olduğu bileşiklerdir. Formül şöyle görünecek:

a n m =n!/m!(n-m)!

Bernoulli'nin formülü

Olasılık teorisinde, her disiplinde olduğu gibi, kendi alanında onu yeni bir seviyeye taşıyan seçkin araştırmacıların çalışmaları bulunmaktadır. Bu çalışmalardan biri, belirli bir olayın bağımsız koşullar altında meydana gelme olasılığını belirlemenizi sağlayan Bernoulli formülüdür. Bu, bir deneyde A'nın ortaya çıkmasının, aynı olayın daha önceki veya sonraki denemelerde meydana gelip gelmemesine bağlı olmadığını göstermektedir.

Bernoulli denklemi:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

(A) olayının gerçekleşme olasılığı (p) her deneme için sabittir. N sayıda deneyde durumun tam olarak m kez ortaya çıkma olasılığı yukarıda sunulan formülle hesaplanacaktır. Buna göre q sayısının nasıl bulunacağı sorusu ortaya çıkıyor.

A olayı p sayıda meydana gelirse, buna göre gerçekleşmeyebilir. Birim, bir disiplindeki bir durumun tüm sonuçlarını belirtmek için kullanılan bir sayıdır. Bu nedenle q, bir olayın gerçekleşmeme olasılığını gösteren bir sayıdır.

Artık Bernoulli'nin formülünü (olasılık teorisi) biliyorsunuz. Aşağıda problem çözme örneklerini (birinci seviye) ele alacağız.

Görev 2: Bir mağaza ziyaretçisi 0,2 olasılıkla satın alma işlemi gerçekleştirecektir. Mağazaya bağımsız olarak 6 ziyaretçi girdi. Bir ziyaretçinin satın alma yapma olasılığı nedir?

Çözüm: Kaç ziyaretçinin (biri veya altısı) alışveriş yapması gerektiği bilinmediğinden, olası tüm olasılıkları Bernoulli formülünü kullanarak hesaplamak gerekir.

A = “ziyaretçi alışveriş yapacak.”

Bu durumda: p = 0,2 (görevde belirtildiği gibi). Buna göre q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (mağazada 6 müşteri olduğu için). m sayısı 0'dan (tek bir müşteri satın alma işlemi yapmayacak) 6'ya (mağazaya gelen tüm ziyaretçiler bir şey satın alacak) kadar değişecektir. Sonuç olarak çözüme ulaşıyoruz:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Hiçbir alıcı 0,2621 olasılıkla alım yapmayacak.

Bernoulli'nin formülü (olasılık teorisi) başka nasıl kullanılır? Aşağıda problem çözme örnekleri (ikinci seviye) yer almaktadır.

Yukarıdaki örnekten sonra C ve r'nin nereye gittiğine dair sorular ortaya çıkıyor. P'ye göre, 0'ın üssü bir sayı bire eşit olacaktır. C'ye gelince, aşağıdaki formülle bulunabilir:

C n m = n! /m!(n-m)!

İlk örnekte sırasıyla m = 0 olduğundan, prensipte sonucu etkilemeyen C = 1'dir. Yeni formülü kullanarak iki ziyaretçinin ürün satın alma olasılığının ne olduğunu bulmaya çalışalım.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Olasılık teorisi o kadar da karmaşık değil. Örnekleri yukarıda sunulan Bernoulli formülü bunun doğrudan kanıtıdır.

Poisson formülü

Poisson denklemi düşük olasılıklı rastgele durumları hesaplamak için kullanılır.

Temel formül:

Pn(m)=λm/m! × e (-λ) .

Bu durumda λ = n x p. İşte basit bir Poisson formülü (olasılık teorisi). Aşağıda problem çözme örneklerini ele alacağız.

Görev 3: Fabrika 100.000 parça üretti. Arızalı parçanın meydana gelmesi = 0,0001. Bir partide 5 adet hatalı parça olma olasılığı nedir?

Gördüğünüz gibi evlilik pek olası olmayan bir olaydır ve bu nedenle hesaplama için Poisson formülü (olasılık teorisi) kullanılır. Bu tür problemleri çözme örnekleri disiplindeki diğer görevlerden farklı değildir; gerekli verileri verilen formüle koyarız:

A = “Rastgele seçilen bir parça kusurlu olacaktır.”

p = 0,0001 (görev koşullarına göre).

n = 100000 (parça sayısı).

m = 5 (kusurlu parçalar). Verileri formülde değiştiririz ve şunu elde ederiz:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Tıpkı yukarıda yazılan çözüm örnekleri olan Bernoulli formülü (olasılık teorisi) gibi, Poisson denkleminin de bilinmeyen bir e değeri vardır.Aslında aşağıdaki formülle bulunabilir:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Ancak e'nin hemen hemen tüm değerlerini içeren özel tablolar vardır.

De Moivre-Laplace teoremi

Bernoulli şemasında deneme sayısı yeterince büyükse ve A olayının tüm şemalarda meydana gelme olasılığı aynıysa, o zaman A olayının bir dizi testte belirli sayıda meydana gelme olasılığı şu şekilde bulunabilir: Laplace'ın formülü:

n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Laplace formülünü (olasılık teorisi) daha iyi hatırlamak için aşağıda sorun örnekleri verilmiştir.

Öncelikle X m'yi bulalım, verileri (hepsi yukarıda listelenmiştir) formülde yerine koyalım ve 0,025 elde edelim. Tabloları kullanarak değeri 0,3988 olan ϕ(0,025) sayısını buluruz. Artık tüm verileri formülde değiştirebilirsiniz:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Yani uçucunun tam olarak 267 kez çalışma olasılığı 0,03'tür.

Bayes formülü

Aşağıda yardımı ile problem çözme örnekleri verilecek olan Bayes formülü (olasılık teorisi), bir olayın olasılığını, onunla ilişkilendirilebilecek koşullara göre tanımlayan bir denklemdir. Temel formül aşağıdaki gibidir:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A ve B kesin olaylardır.

P(A|B) koşullu bir olasılıktır, yani B olayının doğru olması koşuluyla A olayı gerçekleşebilir.

P (B|A) - B olayının koşullu olasılığı.

Dolayısıyla, “Olasılık Teorisi” adlı kısa dersin son kısmı Bayes formülüdür, aşağıda problemlerin çözüm örnekleri yer almaktadır.

Görev 5: Depoya 3 firmadan telefon getirildi. Aynı zamanda ilk tesiste üretilen telefonların payı %25, ikinci tesiste %60, üçüncü tesiste ise %15'tir. Ayrıca ilk fabrikada kusurlu ürün oranının ortalama %2, ikinci fabrikada %4 ve üçüncü fabrikada %1 olduğu da bilinmektedir. Rastgele seçilen bir telefonun arızalı olma olasılığını bulmanız gerekiyor.

A = “rastgele seçilen telefon.”

B 1 - ilk fabrikanın ürettiği telefon. Buna göre tanıtım B 2 ve B 3 görünecektir (ikinci ve üçüncü fabrikalar için).

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

P(B1) = %25/%100 = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - böylece her seçeneğin olasılığını bulduk.

Şimdi istenen olayın koşullu olasılıklarını, yani şirketlerdeki kusurlu ürün olasılığını bulmanız gerekiyor:

P(A/B1) = %2/%100 = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P(A/B3) = 0,01.

Şimdi verileri Bayes formülünde yerine koyalım ve şunu elde edelim:

P(A) = 0,25x0,2 + 0,6x0,4 + 0,15x0,01 = 0,0305.

Makale olasılık teorisini, formülleri ve problem çözme örneklerini sunuyor, ancak bu geniş bir disiplinin buzdağının yalnızca görünen kısmı. Ve yazılanlardan sonra hayatta olasılık teorisine ihtiyaç olup olmadığı sorusunu sormak mantıklı olacaktır. Sıradan bir insanın cevap vermesi zordur; ikramiyeyi birden fazla kez kazanmak için kullanan birine sormak daha iyidir.

İnsan faaliyetinin diğer alanlarında veya doğada olduğu gibi ekonomide de sürekli olarak doğru bir şekilde tahmin edilemeyen olaylarla uğraşmak zorundayız. Bu nedenle, bir ürünün satış hacmi, önemli ölçüde değişebilen talebe ve dikkate alınması neredeyse imkansız olan bir dizi başka faktöre bağlıdır. Bu nedenle, üretimi organize ederken ve satışları gerçekleştirirken, bu tür faaliyetlerin sonucunu ya kendi önceki deneyiminize ya da diğer insanların benzer deneyimlerine ya da büyük ölçüde deneysel verilere dayanan sezgilere dayanarak tahmin etmeniz gerekir.

Söz konusu olayı bir şekilde değerlendirebilmek için bu olayın kaydedildiği koşulları dikkate almak veya özel olarak düzenlemek gerekir.

Söz konusu olayı tanımlamak için belirli koşulların veya eylemlerin uygulanmasına denir. deneyim veya deney.

Olayın adı rastgele, eğer deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkabilir veya çıkmayabilir.

Olayın adı güvenilir zorunlu olarak belirli bir deneyimin sonucu olarak ortaya çıkıyorsa ve imkansız, eğer bu deneyimde ortaya çıkamıyorsa.

Örneğin 30 Kasım'da Moskova'ya kar yağması tesadüfi bir olaydır. Günlük gün doğumu güvenilir bir olay olarak kabul edilebilir. Ekvatorda kar yağışı imkansız bir olay sayılabilir.

Olasılık teorisindeki ana görevlerden biri, bir olayın meydana gelme olasılığının niceliksel bir ölçüsünü belirleme görevidir.

Olayların cebiri

Olaylar aynı deneyimde bir arada gözlemlenemiyorsa uyumsuz olarak adlandırılır. Dolayısıyla satılık bir mağazada aynı anda iki ve üç arabanın bulunması birbiriyle uyumsuz iki olaydır.

Miktar olaylar, bu olaylardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır

Olayların toplamına bir örnek, mağazada iki üründen en az birinin bulunmasıdır.

İş olaylar tüm bu olayların aynı anda meydana gelmesinden oluşan bir olaydır

Bir mağazada iki ürünün aynı anda ortaya çıkmasından oluşan olay, aşağıdaki olayların ürünüdür: - bir ürünün ortaya çıkması, - başka bir ürünün ortaya çıkması.

Olaylar, eğer deneyimde en az bir tanesinin gerçekleşeceği kesinse, tam bir olaylar grubu oluşturur.

Örnek. Limanda gemilerin kabulü için iki iskele bulunmaktadır. Üç olay dikkate alınabilir: - Rıhtımlarda gemi bulunmaması, - Rıhtımlardan birinde bir geminin bulunması, - İki rıhtımda iki geminin bulunması. Bu üç olay tam bir olaylar grubunu oluşturur.

Zıt Tam bir grup oluşturan iki benzersiz olası olaya denir.

Zıt olaylardan biri ile gösterilirse, karşıt olay genellikle ile gösterilir.

Olay olasılığının klasik ve istatistiksel tanımları

Testlerin (deneylerin) eşit derecede olası sonuçlarının her birine temel sonuç denir. Genellikle harflerle belirtilirler. Örneğin bir zar atılıyor. Kenarlardaki noktaların sayısına bağlı olarak toplam altı temel sonuç olabilir.

Temel sonuçlardan daha karmaşık bir olay yaratabilirsiniz. Böylece çift sayıda puan olayı üç sonuçla belirlenir: 2, 4, 6.

Söz konusu olayın meydana gelme olasılığının niceliksel ölçüsü olasılıktır.

Bir olayın olasılığının en yaygın kullanılan tanımları şunlardır: klasik Ve istatistiksel.

Olasılığın klasik tanımı, olumlu bir sonuç kavramıyla ilişkilidir.

Sonuç denir elverişli Belirli bir olaya, eğer bu olayın gerçekleşmesi bu olayın gerçekleşmesini gerektiriyorsa.

Yukarıdaki örnekte, söz konusu olayın - yuvarlanan tarafta çift sayıda nokta - üç olumlu sonucu vardır. Bu durumda genel
olası sonuçların sayısı. Bu, bir olayın olasılığının klasik tanımının burada kullanılabileceği anlamına gelir.

Klasik tanım olumlu sonuçların sayısının olası sonuçların toplam sayısına oranına eşittir

olayın olasılığı nerede, olaya uygun sonuçların sayısı, olası sonuçların toplam sayısı.

Ele alınan örnekte

Olasılığın istatistiksel tanımı, deneylerde bir olayın göreceli olarak ortaya çıkma sıklığı kavramıyla ilişkilidir.

Bir olayın göreceli görülme sıklığı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

bir dizi deneyde (testlerde) bir olayın meydana gelme sayısı nerede?

İstatistiksel tanım. Bir olayın olasılığı, deney sayısındaki sınırsız artışla bağıl frekansın sabitlendiği (ayarlandığı) sayıdır.

Pratik problemlerde, bir olayın olasılığı yeterince fazla sayıda denemenin bağıl sıklığı olarak alınır.

Bir olayın olasılığının bu tanımlarından eşitsizliğin her zaman karşılandığı açıktır.

Formül (1.1)'e dayalı bir olayın olasılığını belirlemek için, olumlu sonuçların sayısını ve olası sonuçların toplam sayısını bulmak için kullanılan kombinatorik formüller sıklıkla kullanılır.

BELEDİYE EĞİTİM KURUMU

6 Nolu SPOR SALONU

“Olasılığın klasik tanımı” konulu.

8. sınıf "B" öğrencisi tarafından tamamlandı

Klimantova Alexandra.

Matematik öğretmeni: Videnkina V. A.

Voronej, 2008

Birçok oyunda zar kullanılır. Küpün 6 ​​tarafı vardır ve her iki tarafta da 1'den 6'ya kadar farklı sayıda nokta işaretlenmiştir. Oyuncu zarları atar ve düşen tarafta (üst tarafta) kaç nokta olduğuna bakar. . Çoğu zaman küpün yüzeyindeki noktalar karşılık gelen sayıyla değiştirilir ve ardından 1, 2 veya 6'nın atılmasından bahsedilir. Bir zarın atılması bir deneyim, bir deney, bir test olarak düşünülebilir ve elde edilen sonuç şu şekildedir: Bir testin veya temel bir olayın sonucu. İnsanlar şu ya da bu olayın meydana geldiğini tahmin etmek ve sonucunu tahmin etmekle ilgileniyorlar. Zar attıklarında ne gibi tahminlerde bulunabilirler? Örneğin, bunlar:

1) A olayı - 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 sayısının atılması;

2) olay B - 7, 8 veya 9 sayısı belirir;

3) olay C - 1 sayısı belirir.

İlk durumda tahmin edilen A olayı kesinlikle gerçekleşecektir. Genel olarak, belirli bir deneyimde gerçekleşmesi kesin olan bir olaya denir. güvenilir olay .

İkinci durumda tahmin edilen B olayı asla gerçekleşmeyecek, kesinlikle imkansızdır. Genel olarak belirli bir deneyimde gerçekleşemeyen bir olaya denir. imkansız olay .

Peki üçüncü durumda tahmin edilen C olayı gerçekleşecek mi, gerçekleşmeyecek mi? 1 düşebileceği veya düşmeyebileceği için bu soruya tam bir kesinlik ile cevap veremiyoruz. Belirli bir deneyimde meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek bir olaya denir rastgele olay .

Güvenilir bir olayın meydana geldiğini düşünürken büyük ihtimalle “muhtemelen” kelimesini kullanmayacağız. Örneğin bugün Çarşamba ise yarın Perşembe ise bu güvenilir bir olaydır. Çarşamba günü “Muhtemelen yarın Perşembe” demeyeceğiz, kısa ve net bir şekilde “Yarın Perşembe” diyeceğiz. Doğru, güzel sözlere yatkınsak şunu söyleyebiliriz: “Yüzde yüz olasılıkla yarının perşembe olduğunu söylüyorum.” Aksine, bugün Çarşamba ise yarın Cuma'nın başlaması imkansız bir olaydır. Çarşamba günü yaşanan bu olayı değerlendirdiğimizde şunu söyleyebiliriz: “Yarının Cuma olmadığına eminim.” Veya şu: "Yarının Cuma olması inanılmaz." Peki güzel sözlere yatkınsak şunu söyleyebiliriz: “Yarının Cuma olma ihtimali sıfırdır.” Yani güvenilir bir olay, belirli koşullar altında meydana gelen bir olaydır. yüzde yüz olasılıkla(yani 10 vakanın 10'unda, 100 vakanın 100'ünde vb. meydana gelir). İmkansız olay, belirli koşullar altında hiçbir zaman meydana gelmeyen bir olaydır. sıfır olasılıkla .

Ancak ne yazık ki (ve belki de neyse ki), hayatta her şey o kadar açık ve kesin değil: her zaman olacak (belirli bir olay), hiçbir zaman olmayacak (imkansız bir olay). Çoğu zaman, bazıları daha olası, bazıları daha az olası olan rastgele olaylarla karşı karşıya kalırız. Genellikle insanlar "daha muhtemel" veya "daha az muhtemel" kelimelerini, kendi dedikleri gibi, sağduyu denilen şeye dayanarak bir hevesle kullanırlar. Ancak çoğu zaman bu tür tahminler yetersiz kalıyor çünkü bilmek önemli. ne kadar süreliğine yüzde muhtemelen rastgele bir olay veya kaç sefer rastgele bir olayın olasılığı diğerinden daha yüksektir. Başka bir deyişle, doğru bir şekilde ihtiyacımız var nicel olasılıkları bir sayıyla karakterize edebilmeniz gerekir.

Bu yönde ilk adımları zaten atmış durumdayız. Belirli bir olayın meydana gelme olasılığının şu şekilde karakterize edildiğini söylemiştik: yüzde yüz ve imkansız bir olayın meydana gelme olasılığı şu şekildedir: sıfır. % 100'ün 1'e eşit olduğu göz önüne alındığında, insanlar aşağıdakiler üzerinde anlaştılar:

1) güvenilir bir olayın olasılığı eşit kabul edilir 1;

2) imkansız bir olayın olasılığı eşit kabul edilir 0.

Rastgele bir olayın olasılığı nasıl hesaplanır? Sonuçta oldu kazara yani yasalara, algoritmalara veya formüllere uymaz. Rastgelelik dünyasında olasılıkların hesaplanmasına izin veren belirli yasaların geçerli olduğu ortaya çıktı. Bu, matematiğin dalı olarak adlandırılan - olasılık teorisi .

Matematik ilgilenir modeli etrafımızdaki gerçekliğin bir fenomeni. Olasılık teorisinde kullanılan tüm modeller arasında kendimizi en basitiyle sınırlayacağız.

Klasik olasılık şeması

Bir deney yaparken A olayının olasılığını bulmak için şunları yapmalısınız:

1) bu deneyin tüm olası sonuçlarının N sayısını bulun;

2) tüm bu sonuçların eşit olasılık (eşit olasılık) varsayımını kabul edin;

3) A olayının meydana geldiği deneysel sonuçların N(A) sayısını bulun;

4) bölümü bul ; A olayının olasılığına eşit olacaktır.

A olayının olasılığını P(A) olarak belirtmek gelenekseldir. Bu adlandırmanın açıklaması çok basittir: Fransızca'daki "olasılık" kelimesi olasılık, İngilizce- olasılık.Adlandırmada kelimenin ilk harfi kullanılır.

Bu gösterimi kullanarak, klasik şemaya göre A olayının olasılığı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

P(A)=.

Çoğunlukla yukarıdaki klasik olasılık şemasının tüm noktaları oldukça uzun bir cümleyle ifade edilir.

Olasılığın klasik tanımı

Belirli bir test sırasında A olayının olasılığı, A olayının meydana geldiği sonuçların sayısının, bu testin eşit derecede olası tüm sonuçlarının toplam sayısına oranıdır.

örnek 1. Bir zar atıldığında sonucun şu şekilde olma olasılığını bulun: a) 4; b) 5; c) çift sayıda nokta; d) 4'ten büyük nokta sayısı; e) Üçe bölünmeyen puanların sayısı.

Çözüm. Toplamda N=6 olası sonuç vardır: noktaları 1, 2, 3, 4, 5 veya 6'ya eşit olan bir küp yüzünden düşmek. Hiçbirinin diğerlerine göre herhangi bir avantajı olmadığına inanıyoruz, yani biz bu sonuçların eşit olasılıklı olduğu varsayımını kabul edin.

a) Sonuçlardan tam olarak birinde bizi ilgilendiren A olayı gerçekleşecek, 4 sayısı ortaya çıkacak, yani N(A)=1 ve

P ( A )= =.

b) Çözüm ve cevap bir önceki paragraftakiyle aynıdır.

c) İlgilendiğimiz B olayı, puan sayısının 2, 4 veya 6 olduğu tam üç durumda gerçekleşecektir. Bu şu anlama gelir:

N ( B )=3 ve P ( B )==.

d) İlgilendiğimiz C olayı, puan sayısının 5 veya 6 olduğu tam olarak iki durumda gerçekleşecektir. Bu şu anlama gelir:

N ( C ) =2 ve Р(С)=.

e) Çekilen olası altı sayıdan dördü (1, 2, 4 ve 5) üçün katı değildir ve geri kalan ikisi (3 ve 6) üçe bölünebilir. Bu, bizi ilgilendiren olayın, deneyin altı olası ve eşit olasılıklı ve eşit olasılıklı sonucundan tam olarak dördünde meydana geldiği anlamına gelir. Bu nedenle cevap şu şekilde çıkıyor:

. ; B) ; V) ; G) ; D).

Gerçek bir zar, ideal (model) bir küpten çok farklı olabilir, bu nedenle davranışını tanımlamak için, bir yüzün diğerine göre avantajlarını, mıknatısların olası varlığını vb. dikkate alarak daha doğru ve ayrıntılı bir model gereklidir. Ancak "Şeytan ayrıntıda gizlidir" ve daha fazla doğruluk, daha fazla karmaşıklığa yol açma eğilimindedir ve bir yanıt almak sorun haline gelir. Kendimizi tüm olası sonuçların eşit derecede olası olduğu en basit olasılıksal modeli düşünmekle sınırlıyoruz.

Not 1. Başka bir örneğe bakalım. Şu soru soruldu: "Bir zar atışında üç gelme olasılığı nedir?" Öğrenci cevap verdi: “Olasılık 0,5.” Cevabını da şöyle açıkladı: “Üçü ya çıkacak, ya çıkmayacak. Bu, toplamda iki sonucun olduğu ve bunlardan tam olarak birinde bizi ilgilendiren olayın meydana geldiği anlamına gelir. Klasik olasılık şemasını kullanarak 0,5 cevabını alıyoruz.” Bu mantıkta bir hata var mı? İlk bakışta hayır. Ancak hâlâ var ve temel bir biçimde. Evet, gerçekten de, kuranın sonucunun N=2 tanımına göre ya bir üçlü gelecektir ya da gelmeyecektir. Ayrıca N(A) = 1 olduğu da doğrudur ve elbette ki doğrudur

=0,5, yani olasılık şemasının üç noktası dikkate alınır, ancak 2) numaralı maddenin uygulanması şüphelidir. Elbette tamamen yasal bir bakış açısıyla, üç atmanın düşmeme olasılığının eşit olduğuna inanma hakkımız var. Peki kenarların “aynılığı” konusundaki doğal varsayımlarımızı ihlal etmeden böyle düşünebilir miyiz? Tabii ki değil! Burada belli bir model dahilinde doğru akıl yürütmeyle uğraşıyoruz. Ancak bu modelin kendisi "yanlıştır" ve gerçek olguya karşılık gelmemektedir.

Not 2. Olasılığı tartışırken aşağıdaki önemli durumu gözden kaçırmayın. Bir zarı atarken bir puan alma olasılığının ne kadar olduğunu söylersek

Bu hiç de zarları 6 kez atarak tam bir kez bir puan alacağınız, 12 kez atarak tam iki kez bir puan alacağınız, zarları 18 kez atarak bir puan tam olarak üç alacağınız anlamına gelmez. kez vb. Kelime muhtemelen spekülatiftir. Olabilecek en muhtemel şeyi varsayıyoruz. Muhtemelen zarları 600 kez atarsak, 100 kez, yani yaklaşık 100 kez bir puan gelecektir.