Dokáž, že cos. Sínus (sin x) a kosínus (cos x) – vlastnosti, grafy, vzorce. Ako zistiť typ uhla bez výpočtu kosínusu

Vycentrované v bode A.
α - uhol vyjadrený v radiánoch.

Definícia
sínus (sin α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku prepony |AC|.

Kosínus (cos α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku prepony |AC|.

Akceptované notácie

;
;
.

Graf funkcie sínus, y = sin x

Graf funkcie kosínus, y = cos x

Vlastnosti sínusu a kosínusu

Periodicita

Funkcie y = hriech x a y = cos x periodický s bodkou 2π.

Parita

Funkcia sínus je nepárna. Kosínusová funkcia je párna.

Oblasť definície a hodnôt, extrémy, nárast, pokles

Funkcie sínus a kosínus sú spojité vo svojej oblasti definície, to znamená pre všetky x (pozri dôkaz spojitosti). Ich hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke (n - celé číslo).

	y= hriech x	y= cos x
Rozsah a kontinuita	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Rozsah hodnôt	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Zvyšovanie
Zostupne
Maxima, y = 1
Minimum, y = - 1
Nuly, y = 0
Priesečník bodov s ordinátnou osou x = 0	y= 0	y= 1

Základné vzorce

Súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu

Vzorce pre sínus a kosínus zo súčtu a rozdielu

;
;

Vzorce na súčin sínusov a kosínusov

Vzorce súčtu a rozdielu

Vyjadrenie sínusu cez kosínus

;
;
;
.

Vyjadrenie kosínusu cez sínus

;
;
;
.

Vyjadrenie prostredníctvom dotyčnice

; .

Kedy máme:
; .

na :
; .

Tabuľka sínusov a kosínusov, tangens a kotangens

Táto tabuľka zobrazuje hodnoty sínusov a kosínusov pre určité hodnoty argumentu.

Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných

;

Eulerov vzorec

Vyjadrenia prostredníctvom hyperbolických funkcií

;
;

Deriváty

; . Odvodzovanie vzorcov >> >

Deriváty n-tého rádu:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Inverzné funkcie

Inverzné funkcie sínusu a kosínusu sú arkzín a arkozínus.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.

Kosínusová veta je zovšeobecnením Pytagorovej vety pre ľubovoľný trojuholník.

Výrok kosínusovej vety

Pre rovinný trojuholník so stranami a, b, c a uhlom α oproti strane a platí nasledujúci vzťah:

Užitočné vzorce kosínusovej vety:

Ako je možné vidieť z vyššie uvedeného, pomocou kosínusovej vety môžete nájsť nielen stranu trojuholníka dvoma stranami a uhol medzi nimi, môžete, ak poznáte veľkosti všetkých strán trojuholníka, určiť kosínus všetkých strán trojuholníka. uhly a tiež vypočítajte veľkosť ľubovoľného uhla trojuholníka. Výpočet ľubovoľného uhla trojuholníka z jeho strán je dôsledkom transformácie vzorca kosínusovej vety.

Dôkaz kosínusovej vety

Uvažujme ľubovoľný trojuholník ABC. Predpokladajme, že poznáme veľkosť strany AC (rovná sa určitému číslu b), veľkosť strany AB (rovná sa určitému číslu c) a uhol medzi týmito stranami, ktorého hodnota sa rovná α. Nájdite veľkosť strany BC (označiac jej dĺžku cez premennú a)

Na dôkaz kosínusové vety Urobme dodatočné stavby. Z vrcholu C na stranu AB znížime výšku CD.
Nájdite dĺžku strany AB. Ako je zrejmé z obrázku, v dôsledku dodatočnej konštrukcie to môžeme povedať
AB = AD + BD

Nájdite dĺžku segmentu AD. Na základe skutočnosti, že trojuholník ADC je pravouhlý, poznáme dĺžku jeho prepony (b) a uhla (α), potom veľkosť strany AD zistíme z pomeru jeho strán pomocou vlastností goniometrických funkcií. v pravouhlom trojuholníku:

AD/AC = cos α
kde
AD = AC cos α
AD = b cos α

Dĺžku strany BD nájdeme ako rozdiel medzi AB a AD:
BD = AB - AD
BD = c − b cos α

Teraz si zapíšme Pytagorovu vetu pre dva pravouhlé trojuholníky ADC a BDC:
pre trojuholník BDC
CD 2 + BD 2 = BC 2
pre trojuholník ADC
CD 2 + AD 2 = AC 2

Všimnime si, že oba trojuholníky majú spoločnú stranu - CD. Určme jeho dĺžku pre každý trojuholník - jeho hodnotu umiestnime na ľavú stranu výrazu a zvyšok na pravú.
CD 2= BC 2 - BD 2
CD 2= AC 2 - AD 2

Keďže ľavé strany rovníc (štvorec strany CD) sú rovnaké, dávame rovnítko medzi pravé strany rovníc:
BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2

Na základe predchádzajúcich výpočtov už vieme, že:
AD = b cos α
BD = c − b cos α
A.C. = b(podľa podmienok)

A hodnotu strany BC označujeme ako a.
BC=a
(To je to, čo musíme nájsť)

BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2
Nahradme písmenové označenia strán výsledkami našich výpočtov
a 2 - ( c − b cos α ) 2 = b 2 - ( b cos α ) 2
posuňte neznámu hodnotu (a) doľava a zvyšné časti rovnice doprava
a 2 = (c − b cos α ) 2 + b 2 - (b cos α ) 2
otvoríme zátvorky
a 2 = b 2 + c 2 - 2c b cos α + (b cos α) 2 - (b cos α) 2
dostaneme
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α

Kosínusová veta bola dokázaná.

Čo je kosínusová veta? Predstavte si túto... Pytagorovu vetu pre ľubovoľný trojuholník.

Kosínusová veta: formulácia.

Kosínusová veta hovorí: Druhá mocnina ktorejkoľvek strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán trojuholníka mínus dvojnásobok súčinu týchto strán a kosínusu uhla medzi nimi.

A teraz vysvetlím, prečo je to tak a čo s tým má spoločné Pytagorova veta.

Napokon, čo hovorí Pytagorova veta?

Čo sa stane, ak je to povedzme pikantné?

Čo ak som hlúpy?

Teraz to zistíme, alebo skôr, najprv to sformulujeme a potom to dokážeme.

Takže pre každý (akútny, tupý a dokonca pravouhlý!) trojuholník platí nasledovné: kosínusová veta.

Kosínusová veta:

Čo je a?

možno vyjadriť z trojuholníka (obdĺžnikového!).

A je to tu (znova).

Nahradíme:

Prezrádzame:

Používame to, čo máme a... to je všetko!

2 Prípad: let.

Teda hlúposť.

A teraz pozor, ten rozdiel!

Toto je z, ktorý je teraz vonku, a

Zapamätajme si to

(prečítaj si tému, ak si úplne zabudol, prečo to tak je).

Takže, to je všetko! Rozdiel je prekonaný!

Ako to bolo, teda:

No, zostáva posledný prípad.

3 Prípad: let.

Takže, . Ale potom sa kosínusová veta jednoducho zmení na Pytagorovu vetu:

V akých problémoch je užitočná kosínusová veta?

No ak napríklad máte dané dve strany trojuholníka a uhol medzi nimi, potom ty hneď môžete nájsť tretiu stranu.

Alebo ak ty všetky tri strany sú dané, tak to hneď nájdete kosínusľubovoľný uhol podľa vzorca

A aj keby ste dané dve strany a uhol NIE medzi nimi, potom tretiu stranu môžeme nájsť aj riešením kvadratickej rovnice. Je pravda, že v tomto prípade niekedy dostanete dve odpovede a musíte prísť na to, ktorú si vybrať, alebo nechať obe.

Skúste to použiť a nebojte sa - kosínusová veta sa používa takmer rovnako ľahko ako Pytagorova veta.

TEOREM O KOSÍNOCH. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Kosínusová veta: Druhá mocnina strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán a kosínusu uhla medzi nimi:

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Za úspešné absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky, za vstup na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE, na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy s časom.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Ak chcete lepšie používať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku -
Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - Kúpte si učebnicu - 899 RUR

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Kosínusová veta je teorém Euklidovskej geometrie, ktorý zovšeobecňuje Pytagorovu vetu.

Kosínusová veta:

Pre rovinný trojuholník, ktorého strany a, b, c a uhol α , ktorý je oproti strane a, platí nasledujúci vzťah:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc cosα.

Druhá mocnina strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných 2 strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán a kosínusu uhla medzi nimi.

Dôsledok kosínusovej vety.

Na určenie sa používa kosínusová veta cos trojuholníkový uhol:

Aby som bol konkrétny:

Kedy b 2 + c 2 - a 2 > 0 , roh α bude pikantná;
Kedy b 2 + c 2 - a 2 = 0 , roh α bude rovný (keď bude uhol α je priama, čo znamená, že kosínusová veta prechádza do Pytagorovej vety);
Kedy b 2 + c 2 - a 2 < 0 , roh α bude hlúpy.

Klasický dôkaz kosínusovej vety.

Nech je trojuholník ABC. Z vrchu C na stranu AB znížil výšku CD. znamená:

AD = b cos α,

DB = c - b cos α

Pytagorovu vetu zapíšeme pre 2 pravouhlé trojuholníky ADC A BDC:

h 2 = b 2 - (b cos α) 2 (1)

h 2 = a 2 - (c - b cos α) 2 (2)

Prirovnáme pravé strany rovníc (1) a (2):

b 2 - (b cos α) 2 = a 2 - (c - b cos α) 2

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α.

Ak je 1 z uhlov na základni tupý (výška prilieha k pokračovaniu základne), je úplne podobný tomu, o ktorom sme hovorili vyššie.

Určiť strany b A c:

b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ.

Nie všetci školáci a najmä dospelí vedia, že kosínusová veta priamo súvisí s Pytagorovou vetou. Presnejšie, to druhé je špeciálny prípad prvého. Tento bod, ako aj dva spôsoby, ako dokázať kosínusovú vetu, vám pomôžu stať sa skúsenejším človekom. Cvičenie vo vyjadrovaní veličín z počiatočných výrazov navyše dobre rozvíja logické myslenie. Dlhý vzorec skúmanej vety vás určite prinúti tvrdo pracovať a zlepšovať sa.

Začatie konverzácie: predstavenie notácie

Táto veta je formulovaná a dokázaná pre ľubovoľný trojuholník. Preto sa dá použiť vždy, v akejkoľvek situácii, ak sú dané dve strany, v niektorých prípadoch tri, a uhol, a nie nevyhnutne medzi nimi. Bez ohľadu na typ trojuholníka bude veta vždy fungovať.

A teraz o označovaní veličín vo všetkých výrazoch. Je lepšie súhlasiť hneď, aby ste nemuseli neskôr niekoľkokrát vysvetľovať. Na tento účel bola zostavená nasledujúca tabuľka.

Formulácia a matematický zápis

Kosínusová veta je teda formulovaná takto:

Druhá mocnina strany akéhokoľvek trojuholníka sa rovná súčtu druhých mocnín jeho dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu týchto rovnakých strán a kosínusu uhla medzi nimi.

Samozrejme, je dlhá, ale ak pochopíte jej podstatu, bude si ju ľahko pamätať. Môžete si dokonca predstaviť nakreslenie trojuholníka. Vizuálne je vždy ľahšie zapamätateľné.

Vzorec tejto vety bude vyzerať takto:

Trochu dlhé, ale všetko je logické. Ak sa pozriete trochu bližšie, môžete vidieť, že písmená sa opakujú, čo znamená, že nie je ťažké si ich zapamätať.

Spoločný dôkaz vety

Keďže to platí pre všetky trojuholníky, na uvažovanie si môžete vybrať ktorýkoľvek z typov. Nech je to postava so všetkými ostrými uhlami. Uvažujme ľubovoľný trojuholník s ostrým uhlom, ktorého uhol C je väčší ako uhol B. Z vrcholu s týmto veľkým uhlom musíte spustiť kolmicu na opačnú stranu. Nakreslená výška rozdelí trojuholník na dva obdĺžnikové. Toto sa bude vyžadovať ako dôkaz.

Strana bude rozdelená na dva segmenty: x, y. Je potrebné ich vyjadriť v známych množstvách. Časť, ktorá bude v trojuholníku s preponou rovnajúcou sa b, bude vyjadrená pomocou zápisu:

x = b * cos A.

Druhý sa bude rovnať tomuto rozdielu:

y = c - v * cos A.

Teraz si musíte zapísať Pytagorovu vetu pre dva výsledné pravouhlé trojuholníky, pričom výšku vezmite ako neznámu hodnotu. Tieto vzorce budú vyzerať takto:

n 2 = v 2 - (v * cos A) 2,

n2 = a2 - (c - b * cos A) 2.

Tieto rovnosti obsahujú rovnaké výrazy vľavo. To znamená, že aj ich pravé strany budú rovnaké. Je ľahké si to zapísať. Teraz musíte otvoriť zátvorky:

v 2 - v 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * v * cos A - v 2 * (cos A) 2.

Ak tu vykonáte prenos a redukciu podobných členov, dostanete počiatočný vzorec, ktorý je napísaný za formuláciou, teda kosínusovou vetou. Dôkaz je hotový.

Dôkaz vety pomocou vektorov

Je oveľa kratší ako predchádzajúci. A ak poznáte vlastnosti vektorov, potom sa kosínusová veta pre trojuholník dokáže jednoducho.

Ak sú strany a, b, c označené vektormi BC, AC a AB, potom platí rovnosť:

BC = AC - AB.

Teraz musíte urobiť niekoľko krokov. Prvým z nich je kvadratúra oboch strán rovnosti:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.

Potom je potrebné prepísať rovnosť v skalárnej forme, berúc do úvahy, že súčin vektorov sa rovná kosínusu uhla medzi nimi a ich skalárnymi hodnotami:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.

Zostáva len vrátiť sa k starej notácii a opäť dostaneme kosínusovú vetu:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.

Vzorce pre ostatné strany a všetky uhly

Ak chcete nájsť stranu, musíte vziať druhú odmocninu kosínusovej vety. Vzorec pre štvorce jednej z ostatných strán bude vyzerať takto:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.

Napísať výraz pre druhú mocninu strany V, musíte nahradiť v predchádzajúcej rovnosti s na V, a naopak a umiestnite uhol B pod kosínus.

Zo základného vzorca vety môžeme vyjadriť hodnotu kosínusu uhla A:

cos A = (v 2 + c 2 - a 2) / (2 v * c).

Vzorce pre ostatné uhly sú odvodené podobne. Je dobrým zvykom skúsiť si ich napísať sami.

Prirodzene, nie je potrebné sa tieto vzorce učiť naspamäť. Stačí pochopiť vetu a schopnosť odvodiť tieto výrazy z jej hlavného zápisu.

Pôvodný vzorec vety umožňuje nájsť stranu, ak uhol neleží medzi dvoma známymi. Napríklad musíte nájsť V, keď sú uvedené hodnoty: a, c, A. Alebo neznámy s, ale existujú významy a, b, A.

V tejto situácii musíte presunúť všetky výrazy vzorca doľava. Získate nasledujúcu rovnosť:

с 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0.

Poďme to prepísať do trochu inej podoby:

c 2 - (2 * v * cos A) * c + (v 2 - a 2) = 0.

Môžete ľahko vidieť kvadratickú rovnicu. Je v ňom neznáme množstvo - s a všetko ostatné je dané. Preto ho stačí vyriešiť pomocou diskriminantu. Takto sa nájde neznáma strana.

Vzorec pre druhú stranu sa získa podobne:

v 2 - (2 * c * cos A) * v + (c 2 - a 2) = 0.

Z iných výrazov sa takéto vzorce dajú ľahko získať aj samostatne.

Ako môžete zistiť typ uhla bez výpočtu kosínusu?

Ak sa pozriete pozorne na vzorec uhla kosínus odvodený skôr, všimnete si nasledovné:

menovateľ zlomku je vždy kladné číslo, pretože obsahuje súčin strán, ktoré nemôžu byť záporné;
hodnota uhla bude závisieť od znamienka čitateľa.

Uhol A bude:

akútne v situácii, keď je čitateľ väčší ako nula;
hlúpy, ak je tento výraz záporný;
priamy, keď sa rovná nule.

Mimochodom, posledná situácia mení kosínusovú vetu na Pytagorovu vetu. Pretože pre uhol 90º je jeho kosínus nula a posledný člen zmizne.

Prvá úloha

Podmienka

Tupý uhol nejakého ľubovoľného trojuholníka je 120º. O stranách, ktorými je obmedzený, je známe, že jedna z nich je o 8 cm väčšia ako druhá. Dĺžka tretej strany je známa, je potrebné nájsť obvod trojuholníka.

Riešenie

Najprv musíte označiť jednu zo strán písmenom „x“. V tomto prípade sa druhý bude rovnať (x + 8). Keďže existujú výrazy pre všetky tri strany, môžeme použiť vzorec, ktorý poskytuje kosínusová veta:

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * čos 120º.

V tabuľkách pre kosínusy musíte nájsť hodnotu zodpovedajúcu 120 stupňom. Bude to číslo 0,5 so znamienkom mínus. Teraz musíte otvoriť zátvorky podľa všetkých pravidiel a priniesť podobné výrazy:

784 = x 2 + 16 x + 64 + x 2 - 2 x * (-0,5) * (x + 8);

784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0.

Táto kvadratická rovnica je vyriešená nájdením diskriminantu, ktorý sa bude rovnať:

D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

Keďže jej hodnota je väčšia ako nula, rovnica má dve koreňové odpovede.

x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.

Posledný koreň nemôže byť odpoveďou na problém, pretože strana musí byť pozitívna.