数学、
正しく見れば、
真実だけでなく、
だけでなく、比類のない美しさ。
バートランドラッセル.

あなたは確かにフラクタルについて聞いたことがあります。 あなたは確かに、現実そのものよりもリアルなBryce3dからのこれらの息を呑むような画像を見てきました。 山、雲、木の樹皮-これらはすべて、通常のユークリッド幾何学を超えています。 石や島の境界を線、円、三角形で表現することはできません。 そしてここでフラクタルが助けになります。 これらのおなじみの見知らぬ人は何ですか？ それらはいつ現れましたか？

登場の歴史。

フラクタル幾何学の最初のアイデアは19世紀に登場しました。 Cantorは、単純な再帰的（反復的）手順を使用して、線を接続されていないポイントのセット（いわゆるCantor's Dust）に変えました。 彼はラインを取り、中央を3番目に削除してから、残りのセグメントで同じことを繰り返しました。 ピアノは特別な種類の線を引きました（写真＃1）。 それを描くために、Peanoは次のアルゴリズムを使用しました。

最初のステップで、彼は直線を取り、元の線の長さの3分の1の短い9つのセグメントに置き換えました（図1のパート1と2）。 次に、結果の行の各セグメントで同じことを行いました。 など、無限に。 そのユニークさは、それが平面全体を満たすことです。 平面上の各点について、Peano線に属する点を見つけることができることが証明されています。 ペアノ曲線とカンターダストは、通常の幾何学的オブジェクトを超えました。 彼らは明確な次元を持っていませんでした。 Cantorのダストは、1次元の直線に基づいて作成されましたが、ポイント（次元0）で構成されていました。 そして、ペアノ曲線は一次元の線に基づいて作成され、その結果は平面になりました。 科学の他の多くの分野では、問題が発生し、その解決策は、上記のような奇妙な結果（ブラウン運動、株価）につながりました。

フラクタルの父

20世紀まで、そのような奇妙なオブジェクトに関するデータは、それらを体系化する試みなしに蓄積されていました。 それは、現代のフラクタル幾何学とフラクタルという言葉の父であるブノワ・マンデルブロがそれらを引き継ぐまででした。 IBMで数学アナリストとして働いている間、彼は統計では説明できない電子回路のノイズを研究しました。 事実を徐々に比較して、彼は数学の新しい方向性、つまりフラクタル幾何学を発見するようになりました。

フラクタルとは何ですか。 マンデルブロ自身は、ラテン語のフラクタルからフラクタルという単語を導き出しました。これは、壊れている（部分に分割されている）ことを意味します。 また、フラクタルの定義の1つは、パーツで構成され、パーツに分割できる幾何学的図形です。各パーツは、全体の縮小コピーを表します（少なくともおおよそ）。

フラクタルをより詳しく想像するために、B。マンデルブロの本「フラクタル幾何学」で与えられた例を考えてみましょう。これは古典になりました-「英国の海岸はどれくらいですか？」。 この質問への答えは、見た目ほど単純ではありません。 それはすべて、使用するツールの長さによって異なります。 キロメートルの定規で海岸を測定したので、ある程度の長さが得られます。 ただし、定規よりもはるかに小さい多くの小さな入り江や半島はスキップします。 定規のサイズをたとえば1メートルに縮小することで、これらの風景の詳細を考慮に入れ、それに応じて海岸の長さが長くなります。 先に進み、ミリメートル定規を使用して海岸の長さを測定しましょう。ここでは、ミリメートルを超える詳細を考慮に入れます。長さはさらに長くなります。 結果として、そのような一見単​​純な質問への答えは誰をも困惑させる可能性があります-英国の海岸の長さは無限です。

寸法について少し。

私たちの日常生活の中で、私たちは常に次元に遭遇します。 道路の長さ（250 m）を推定し、アパートの面積（78 m2）を調べ、ステッカーのビール瓶（0.33 dm3）の量を探します。 この概念は非常に直感的に明確であり、明確にする必要はないように思われます。 線の寸法は1です。これは、参照点を選択すると、正または負の1つの数値を使用してこの線上の任意の点を定義できることを意味します。 そして、これはすべての線に適用されます-円、正方形、放物線など。

次元2は、2つの数値で任意の点を一意に定義できることを意味します。 二次元がフラットを意味するとは思わないでください。 球の表面も2次元です（幅や経度などの2つの値を使用して定義できます）。

数学的な観点から、寸法は次のように決定されます。1次元オブジェクトの場合、線形サイズを2倍にすると、サイズ（この場合は長さ）が2倍（2 ^ 1）増加します。

2Dオブジェクトの場合、直線寸法を2倍にすると、サイズが4倍になります（たとえば、長方形の面積）（2 ^ 2）。

3Dオブジェクトの場合、直線寸法が2倍になると、ボリュームが8倍（2 ^ 3）増加します。

したがって、次元Dは、オブジェクトSの「サイズ」の増加の線形次元Lの増加への依存性に基づいて計算できます。D= log（S）/ log（L）。 行Dの場合= log（2）/ log（2）= 1。 平面の場合D = log（4）/ log（2）= 2。 ボリュームDの場合= log（8）/ log（2）= 3。 少し紛らわしいかもしれませんが、一般的には難しく理解できません。

なぜ私はこれをすべて言っているのですか？ そして、例えばソーセージからフラクタルを分離する方法を理解するために。 ペアノ曲線の寸法を計算してみましょう。 したがって、長さXの3つのセグメントで構成される元の線は、3分の1の短い9つのセグメントに置き換えられます。 したがって、最小セグメントが3倍になると、線全体の長さが9倍になり、D = log（9）/ log（3）= 2-2次元オブジェクト!!!

したがって、いくつかの最も単純なオブジェクト（セグメント）から取得された図形の寸法がこれらのオブジェクトの寸法よりも大きい場合、フラクタルを処理します。

フラクタルはグループに分けられます。 最大のグループは次のとおりです。

幾何学的フラクタル。

フラクタルの歴史が始まったのは彼らと一緒でした。 このタイプのフラクタルは、単純な幾何学的構造によって得られます。 通常、これらのフラクタルを作成するときは、次のことを行います。「シード」が取得されます-公理-セグメントのセット。これに基づいてフラクタルが作成されます。 次に、一連のルールがこの「シード」に適用され、それが何らかの幾何学的図形に変換されます。 次に、同じルールのセットがこの図の各部分に適用されます。 各ステップで、図はますます複雑になり、（少なくとも私たちの心の中で）無限の数の変換を実行すると、幾何学的フラクタルが得られます。

上記のペアノ曲線は幾何学的フラクタルです。 下の図は、幾何学的フラクタルの他の例を示しています（左から右へコッホスノーフレーク、リスト、シェルピンスキーの三角形）。

コッホスノーフレーク

シート

シェルピンスキーの三角形

これらの幾何学的フラクタルのうち、最初のコッホスノーフレークは非常に興味深く、かなり有名です。 正三角形に基づいて作成されます。 ___が元の_ / \ _の1/3の長さの4行に置き換えられた各行。 したがって、反復ごとに、曲線の長さは3分の1ずつ増加します。 そして、無限の反復を行うと、フラクタル、つまり無限の長さのコッホスノーフレークが得られます。 私たちの無限の曲線は限られた領域をカバーしていることがわかります。 ユークリッド幾何学の方法と形状を使用して同じことを試してください。

コッホスノーフレークの寸法（スノーフレークが3倍に成長すると、その長さは4倍に増加します）D = log（4）/ log（3）= 1.2619 .. ..

いわゆるL-Systemは、幾何学的フラクタルの構築に適しています。 これらのシステムの本質は、特定のシステムシンボルのセットがあり、それぞれが特定のアクションと文字変換のルールのセットを示していることです。 たとえば、FractintプログラムでL-Systemsを使用してコッホスノーフレークを記述する

; マンデルブロによるフラクタル幾何学のエイドリアン・マリアーノ Koch1（ ;回転角を360/6 = 60度に設定します角度6 ; 建設のための最初の図面公理F-F-F ; 文字変換規則 F = F + F-F + F）

この説明では、記号の幾何学的な意味は次のとおりです。

Fはドローラインを表します+時計回りに回します-反時計回りに回します

フラクタルの2番目の特性は、自己相似性です。 シェルピンスキーの三角形を例にとってみましょう。 正三角形の中心から作成するには、三角形を「切り取り」ます。 形成された3つの三角形（中央の三角形を除く）などに対して同じ手順を無限に繰り返します。 形成された三角形のいずれかを取り、それを拡大すると、全体の正確なコピーが得られます。 この場合、私たちは完全な自己相似性を扱っています。

この記事のフラクタル図のほとんどは、フラクタルプログラムを使用して取得されたものであることをすぐに予約します。 フラクタルに興味があるなら、これはプログラムです 持つ必要がありますあなたのために。 その助けを借りて、何百もの異なるフラクタルを構築し、それらに関する包括的な情報を取得し、フラクタルがどのように聞こえるかを聞くことさえできます;）。

プログラムが良いと言うことは何も言うことではありません。 それは1つのことを除いて素晴らしいです-最新バージョン20.0はDOSでのみ利用可能です:(。このプログラム（最新バージョン20.0）はhttp://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.htmlで見つけることができます。

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コメント（1）

さて、おやつについては、興味深い例です マイクロソフトエクセルセルA2とB2の値は0から1の間で同じです。値が0.5の場合、効果はありません。

フラクタルの写真でプログレッシブを作ることができた皆さん、こんにちは。 2800 mHの石にdt反復回数100,000の、最大3dの基板でシダのフラクタルのクリアリングを構築するために、どのサイクル方法を使用するのが良いかを誰が教えてくれますか？

ドラゴン曲線を描くためのプログラムを備えたソースコードがあり、これもフラクタルです。

記事は素晴らしいです。 そして、ex-fur-treeはおそらくコプロセッサーエラーです（最後の下位ビットで）

フラクタルがどのように発見されたか

フラクタルとして知られる数学的形式は、著名な科学者ブノワ・マンデルブロの天才に属しています。 彼の人生のほとんどの間、彼はアメリカのイェール大学で数学を教えていました。 1977年から1982年にかけて、マンデルブロは「フラクタル幾何学」または「自然の幾何学」の研究に専念する科学的研究を発表しました。そこでは、一見ランダムな数学的形式を構成要素に分解しました。コピーするための特定のパターン..。 マンデルブロの発見は、物理学、天文学、生物学の発展に重大な影響を及ぼしました。

自然界のフラクタル

自然界では、多くのオブジェクトがフラクタル特性を持っています。たとえば、樹冠、カリフラワー、雲、人間と動物の循環および肺胞系、結晶、雪片、その要素が1つの複雑な構造、海岸に配置されています（フラクタルの概念により科学者は許可されました）ブリティッシュアイルズや他の以前は測定できなかったオブジェクトの海岸線を測定するため）。

カリフラワーの構造を考えてみましょう。 花の1つを切ると、同じカリフラワーが手に残っているのは明らかですが、サイズは小さくなっています。 顕微鏡下でも何度も何度もカットを続けることができますが、私たちが得るのはカリフラワーの小さなコピーだけです。 この最も単純なケースでは、フラクタルのごく一部でも、最終的な構造全体に関する情報が含まれています。

デジタルテクノロジーのフラクタル

フラクタル幾何学は、デジタル音楽の分野における新技術の開発に計り知れない貢献をし、デジタル画像の圧縮を可能にしました。 既存のフラクタル画像圧縮アルゴリズムは、デジタル画像自体ではなく、圧縮画像を保存するという原則に基づいています。 絞り込み画像の場合、メイン画像は固定小数点のままです。 マイクロソフトは、百科事典を公開するときにこのアルゴリズムの変形の1つを使用しましたが、何らかの理由で、このアイデアは広く普及していませんでした。

フラクタルグラフィックスの数学的基礎はフラクタル幾何学であり、元の「親オブジェクト」からの継承の原則は、「画像相続人」を構築するための方法の基礎に置かれます。 フラクタル幾何学とフラクタルグラフィックスの概念そのものは約30年前に登場しましたが、コンピューター設計者と数学者によってすでにしっかりと確立されています。

フラクタルコンピュータグラフィックスの基本的な概念は次のとおりです。

• フラクタル三角形-フラクタル図-フラクタルオブジェクト（降順の階層）
• フラクタルライン
• フラクタル構成
• 「親オブジェクト」と「後続オブジェクト」

ベクトルや3Dグラフィックスと同様に、フラクタル画像の作成は数学的に計算されます。 最初の2種類のグラフィックスとの主な違いは、フラクタル画像が方程式または連立方程式に従って構築されることです。すべての計算を実行するには、コンピュータのメモリに数式を保存するだけで済みます。このようなコンパクトさ数学的装置のおかげで、このアイデアをコンピュータグラフィックスで使用することが可能になりました。 方程式の係数を変更するだけで、完全に異なるフラクタル画像を簡単に取得できます。いくつかの数学的係数を使用して、非常に複雑な形状の表面と線を設定します。これにより、水平および垂直、対称性、非対称性などの合成手法を実装できます。 、対角線方向など。

フラクタルを構築する方法は？

フラクタルクリエーターは、芸術家、写真家、彫刻家、そして科学者-発明家の役割を同時に果たします。 「ゼロから」絵を描く作業の段階は何ですか？

• 数式で絵の形を整える
• プロセスの収束を調査し、そのパラメータを変更します
• 画像の種類を選択してください
• 色のパレットを選択してください

フラクタルグラフィックエディタなどの間 グラフィックプログラム区別することができます：

• 「アートダブラー」
• 「画家」（コンピューターがなければ、鉛筆と筆ペンだけでプログラマーが提示した可能性に到達するアーティストはいないでしょう）
• 「AdobePhotoshop」（ただし、ここでは画像は「ゼロから」作成されるのではなく、原則として処理されるだけです）

任意のフラクタル幾何学図形のデバイスを考えてみましょう。 その中心には、最も単純な要素である「フラクタル」という同じ名前の正三角形があります。 辺の中央のセグメントで、元のフラクタル三角形の辺の3分の1に等しい辺を持つ正三角形を作成します。 さらに小さな三角形（第2世代の相続人は同じ原理に基づいて構築されています）など、無限に続きます。 結果として得られるオブジェクトは「フラクタル図」と呼ばれ、そのシーケンスから「フラクタル構成」が得られます。

出典：http：//www.iknowit.ru/

フラクタルと古代の曼荼羅

これはお金を集めるための曼荼羅です。 赤はお金の磁石のように機能すると言われています。 華やかな模様は何も思い出させませんか？ 彼らは私にはとても馴染みがあるようで、私はフラクタルとして曼荼羅を研究し始めました。

原則として、曼荼羅は複雑な構造の幾何学的なシンボルであり、「宇宙の地図」である宇宙のモデルとして解釈されます。 これはフラクタル性の最初の兆候です！

それらは布に刺繡され、砂に塗られ、着色された粉末で作られ、金属、石、木で作られています。 明るく魅惑的な外観が彼女を作ります 美しい装飾インドの寺院の床、壁、天井。 古代インドの言語では、「曼荼羅」とは、宇宙の精神的エネルギーと物質的エネルギー、つまり生命の花の相互接続の神秘的な輪を意味します。

フラクタル曼荼羅について、最小限の段落で非常に小さく、関係が明確に存在することを示すレビューを書きたかったのです。 しかし、意識を見つけてフラクタルと曼荼羅に関する情報をひとつにまとめようとすると、未知の空間への飛躍的な飛躍を感じました。

私はこのトピックの広大さを引用で示しています。「このようなフラクタル作品や曼荼羅は、絵画、生活施設や職場のデザイン要素、身につけられるお守り、ビデオテープ、コンピュータープログラムの両方の形で使用できます... 「一般的に、フラクタルの研究のトピックは単純に巨大です。

私が確かに言えることの一つは、世界はそれについての私たちの心の貧弱な考えよりもはるかに多様で豊かです。

フラクタル海洋動物

フラクタル海洋動物についての私の推測は根拠がありませんでした。 これが最初の代表者です。 タコは頭足類の海洋底生動物です。

この写真を見ると、彼の体のフラクタル構造と、この動物の8本の触手すべての吸盤がはっきりとわかりました。 成体のタコの触手にある吸盤は最大2,000個に達します。

興味深い事実は、タコには3つの心臓があるということです。1つ（メイン）は体全体に青い血液を送り、他の2つ（鰓）は鰓を通して血液を押し出します。 これらの深海フラクタルのいくつかは有毒です。

タコはその環境に適応して変装することにより、色を変える非常に便利な能力を持っています。

タコはすべての無脊椎動物の中で最も賢いと考えられています。 彼らは人々を知り、彼らを養う人々に慣れます。 訓練が簡単で、記憶力があり、幾何学的な形を区別できるタコを見るのは興味深いでしょう。 しかし、これらのフラクタル動物の年齢は短命です-最大4年。

人はこの生きているフラクタルと他の頭足類のインクを使います。 それらは、その耐久性と美しい茶色の色調で芸術家に求められています。 地中海料理では、タコはビタミンB3、B12、カリウム、リン、セレンの供給源です。 でも、食べるのを楽しむためには、これらのマリンフラクタルを調理できる必要があると思います。

ちなみに、タコは捕食者であることに注意してください。 フラクタル触手で、彼らは軟体動物、甲殻類、魚の形で獲物を保持します。 このような美しい軟体動物がこれらの海のフラクタルの餌になるのは残念です。 私の意見では、海の王国のフラクタルの典型的な代表でもあります。

これはカタツムリ、腹足類の裸鰓類軟体動物Glaucus、別名Glaucus、別名Glaucus atlanticus、別名Glaucillamarginataの親戚です。 このフラクタルは、表面張力によって保持され、水面下で生活して移動するという点でも珍しいものです。 なぜなら 軟体動物は雌雄同体であり、交配後、両方の「パートナー」が産卵します。 このフラクタルは熱帯のすべての海で見られます。

海の王国のフラクタル

私たち一人一人は、人生で少なくとも一度は手に持って、真の幼稚な興味を持って貝殻を調べました。

通常、貝殻は海への旅を彷彿とさせる美しいお土産です。 この無脊椎動物の軟体動物のらせん状の形成を見ると、そのフラクタル性に疑いの余地はありません。

私たち人間は、これらの柔らかい体の軟体動物をいくらか思い出させ、快適なコンクリートのフラクタルの家に住み、速い車に体を置いて動かします。

フラクタル水中世界のもう一つの典型的な代表はサンゴです。
自然界では3500種以上のサンゴが知られており、そのパレットでは最大350色の色合いが区別されます。

サンゴは、同じく無脊椎動物の家族からのサンゴポリプのコロニーの骨格材料です。 それらの巨大な堆積物はサンゴ礁全体を​​形成し、その形成のフラクタルな方法は明らかです。

サンゴは自信を持って海の王国のフラクタルと呼ぶことができます。

また、宝石や装飾品のお土産や原材料として人間が使用します。 しかし、フラクタル性の美しさと完璧さを繰り返すことは非常に困難です。

どういうわけか、水中の世界でもフラクタル動物がたくさん見つかることは間違いありません。

もう一度、ナイフとまな板を使って台所で儀式を行い、次にナイフを下に下げます 冷水、私は再び涙を流しました。涙のフラクタルは、ほぼ毎日目に見えます。

フラクタル性の原理は、有名なマトリョーシカのそれと同じです-入れ子。 そのため、フラクタル性はすぐには気づかれません。 さらに、明るい均一な色とその自然な原因能力 不快感宇宙の綿密な観察とフラクタル数学法則の特定に貢献しないでください。

しかし、ライラック色のレタスタマネギは、その色と涙のフィトンチッドがないため、この野菜の自然なフラクタル性に反映されました。 もちろん、それは単純なフラクタルであり、直径の異なる通常の円であり、最も原始的なフラクタルとさえ言えます。 しかし、ボールが私たちの宇宙の中で理想的な幾何学的図形と見なされていることを覚えていても問題はありません。

O 便利なプロパティタマネギ、インターネット上には多くの記事が掲載されていますが、どういうわけか、この自然の標本をフラクタル性の観点から研究しようとした人は誰もいませんでした。 キッチンでタマネギの形でフラクタルを使うことの有用性の事実だけを述べることができます。

P.S. そして、フラクタルを粉砕するための野菜カッターをすでに購入しました。 今、あなたは普通の白キャベツのような健康的な野菜がどれほどフラクタルであるかを考えなければなりません。 同じ入れ子の原則。

民芸のフラクタル

世界的に有名なおもちゃ「マトリョーシカ」の歴史に注目が集まりました。 よく見ると、このお土産のおもちゃは典型的なフラクタルだと自信を持って言えます。

木のおもちゃのすべての図が並んでいて、互いに入れ子になっていない場合、フラクタル性の原理は明らかです。

このおもちゃのフラクタルが世界市場に登場した歴史についての私の小さな研究は、この美しさが日本のルーツを持っていることを示しました。 マトリョーシカは常にロシアのお土産と見なされてきました。 しかし、彼女はかつて日本からモスクワに持ち込まれた、古い賢人フクルムの日本の置物の原型であることが判明しました。

しかし、この日本の置物に世界的な名声をもたらしたのはロシアのおもちゃの工芸品でした。 おもちゃのフラクタルネスティングのアイデアがどこから来たのか、私個人としては謎のままでした。 おそらく、このおもちゃの作者は、フィギュアを互いに入れ子にするという原則を使用していました。 そして、取り付ける最も簡単な方法は、異なるサイズの同様のフィギュアであり、これはすでにフラクタルです。

同様に興味深い研究対象は、フラクタルおもちゃの絵です。 これは装飾画です-ホフロマ。 ホフロマの伝統的な要素は、花、ベリー、枝のハーブパターンです。

繰り返しますが、フラクタル性のすべての兆候。 結局のところ、同じ要素を異なるバージョンと比率で数回繰り返すことができます。 結果は、フォークフラクタル絵画です。

そして、コンピューターのマウス、ラップトップのカバー、電話の新しい塗装で誰も驚かないのであれば、フォークスタイルのフラクタルカーチューニングは自動車デザインの新しいものです。 私たちの生活の中でフラクタルの世界が私たちにとってそのような普通のことでそのような珍しい方法で現れることに驚かされるだけです。

キッチンのフラクタル

カリフラワーを沸騰したお湯で湯通しするために小さな花序に入れるたびに、この標本を手に入れるまで、フラクタルの明らかな兆候に一度も注意を向けることはありませんでした。

典型的な植物のフラクタルは私の台所のテーブルにありました。

カリフラワーが大好きで、いつもフラクタルの兆候が見られない均一な表面の標本に出くわしました。また、互いに入れ子になった多数の花序でさえ、この有用な野菜にフラクタルが見られる理由はありませんでした。

しかし、顕著なフラクタル形状を持つこの特定の標本の表面は、このタイプのキャベツのフラクタル起源についてわずかな疑いを残しませんでした。

ハイパーマーケットへの別の旅行は、キャベツのフラクタル状態を確認するだけでした。 膨大な数のエキゾチックな野菜の中には、フラクタルの箱全体がありました。 それはロマネスコ、またはロマネスコブロッコリー、カリフラワーでした。

デザイナーや3Dアーティストは、そのエキゾチックでフラクタルのような形を賞賛していることがわかりました。

キャベツのつぼみは対数螺旋状に成長します。 ロマネスコキャベツの最初の言及は16世紀にイタリアから来ました。

そして、ブロッコリーキャベツは、内容の面ではありますが、私の食事療法ではまったく頻繁なゲストではありません 栄養素そして微量栄養素、それは時々カリフラワーを上回ります。 しかし、その表面と形は非常に均一であるため、野菜のフラクタルを目にすることは私には思いもよらなかった。

クイリングのフラクタル

クイリングの技法を使った透かし彫りの工芸品を見て、何かを思い出させるような感覚を決して残しませんでした。 異なるサイズで同じ要素を繰り返す-もちろん、これはフラクタル性の原則です。

クイリングに関する次のマスタークラスを見た後、クイリングのフラクタル性についても疑いの余地はありませんでした。 結局のところ、作るために さまざまな要素クイリングクラフトには、直径の異なる円を持つ特別な定規が使用されます。 製品のすべての美しさと独自性のために、これは信じられないほど単純な技術です。

クイリングクラフトの基本的な要素のほとんどは紙で作られています。 クイリングペーパーを無料で購入するには、自宅で本棚の監査を行ってください。 確かに、そこには明るい光沢のある雑誌がいくつかあります。

クイリングツールはシンプルで安価です。 あなたはあなたのホームオフィス用品の中にあなたがアマチュアクイリングの仕事に必要なすべてを見つけることができます。

そして、クイリングの歴史はヨーロッパで18世紀に始まります。 ルネッサンス時代、フランスとイタリアの僧院の僧侶たちは、本の表紙を飾るためにクイリングを使用し、彼らが発明した巻紙の技法がフラクタルであるとさえ疑っていませんでした。 高等社会の女の子たちは、特別な学校でクイリングコースを受講しました。 このようにして、この技術は国や大陸に広がり始めました。

豪華な羽毛を作るためのこのマスタークラスのビデオクイリングは、「日曜大工のフラクタル」とも呼ばれます。 紙のフラクタルの助けを借りて、素晴らしい排他的なバレンタインカードと他の多くの異なる興味深いものが得られます。 結局のところ、自然のように、ファンタジーは無尽蔵です。

日本人の生活空間は非常に限られているので、それを有効に活用するために最善を尽くさなければならないことは誰にとっても秘密ではありません。 宮川武は、これを効率的かつ美的に行う方法を示しています。 彼のフラクタルワードローブは、デザインでのフラクタルの使用がファッションへの賛辞であるだけでなく、限られたスペースでの調和のとれたデザインソリューションでもあることを確認しています。

家具のデザインに適用された、実生活でのフラクタルの使用のこの例は、フラクタルが数式やコンピュータープログラムの紙だけでなく本物であることを私に示しました。

そして、自然はどこでもフラクタル性の原理を使用しているようです。 あなたはそれを詳しく見る必要があります、そしてそれはその壮大な豊かさと存在の無限のすべてに現れます。

したがって、フラクタルは、このセットに類似したオブジェクトで構成される数学的なセットです。 言い換えれば、フラクタル図形の小さな断片を拡大して見ると、この図形のより大きな部分、あるいは全体としての図形のように見えます。 さらに、フラクタルの場合、スケールの増加は構造の単純化を意味しません。 したがって、すべてのレベルで、同じように複雑な図が表示されます。

フラクタル特性

上記の定義に基づいて、フラクタルは通常、次の1つ以上のプロパティを満たす幾何学的図形として表されます。

どんな倍率でも複雑な構造をしています。

ほぼ自己相似（部分は全体に似ています）。

よりトポロジー的なフラクタル次元があります。

再帰的な方法を使用して構築できます。

外の世界のフラクタル

「フラクタル」の概念は非常に抽象的なように見えますが、人生では、この現象の実際の例や実際の例にさえ出くわすことができます。 さらに、フラクタルとその特徴をよりよく理解できるようになるため、周囲の世界からも考慮する必要があります。

たとえば、フラクタル法で設計されたさまざまなデバイスのアンテナは、従来の設計のアンテナよりも20％高い効率を示します。 さらに、フラクタルアンテナは、さまざまな周波数で同時に優れた性能で動作できます。 だから現代 携帯電話すでに実際には、従来のデバイスの外部アンテナは設計に含まれていません。後者は、電話のプリント回路基板に直接取り付けられている内部フラクタルアンテナに置き換えられています。

フラクタルは開発で大きな注目を集めました 情報技術..。 現在、フラクタルを使用してさまざまな画像を圧縮するためのアルゴリズムが開発されており、コンピュータグラフィックスオブジェクト（木、山、海面）をフラクタルで構築する方法や、一部のネットワークでIPアドレスを割り当てるためのフラクタルシステムがあります。

経済学では、株式や通貨の相場を分析するときにフラクタルを使用する方法があります。 おそらく、外国為替市場で取引している読者は、取引端末でフラクタル分析が実際に行われているのを見たことがあるか、実際にそれを適用したことさえあります。

また、フラクタル性を持った人間が人工的に作ったものに加えて、自然界にもそのようなものがたくさんあります。 フラクタルの良い例は、サンゴ、貝殻、いくつかの花や植物（ブロッコリー、カリフラワー）、人間や動物の循環器系や気管支、ガラスに形成されたパターン、自然の結晶です。 これらおよび他の多くのオブジェクトは、顕著なフラクタル形状を持っています。

私が読んだもののすべてを理解していないとき、私は特に動揺していません。 トピックが後で私に出くわさない場合、それは特に重要ではありません（少なくとも私にとっては）。 トピックが再び出てきたら、3度目はそれをよりよく理解する新しい機会があります。 フラクタルはそのようなテーマの1つです。 私は最初にナシム・タレブの本からそれらについて学び、次にブノワ・マンデルブロの本からより詳細に学びました。 今日、「フラクタル」のリクエストに応じて、サイトで20のメモを取得できます。

パートI.情報源への旅

見つける手段に名前を付けること。 20世紀初頭、アンリポアンカレは次のように述べています。 バプテスマを受けるまで何も言えない物がここにあります。 彼に奇跡が起こるための名前を付けるのに十分でした」（参照）。 そして、1975年に、ポーランド出身のフランスの数学者ブノワ・マンデルブロがみことばをまとめたときに起こりました。 ラテン語から フランジェレ（休憩）と フラクタス（不連続、離散、分数）フラクタルが形成されました。 マンデルブロは、感情的な魅力と合理的な有用性に重点を置いたブランドとして、フラクタルを巧みに宣伝し、公表しました。 彼は、Fractal Geometry of Nature（1982）を含むいくつかのモノグラフを出版しています。

自然と芸術のフラクタル。マンデルブロは、ユークリッド以外のフラクタル幾何学の輪郭を概説しました。 この違いは、ロバチェフスキーやリーマンの幾何学のように、並列性の公理には当てはまりませんでした。 違いは、Euclidのデフォルトの滑らかさの要件の放棄にありました。 一部のオブジェクトは、粗さ、多孔性、または断片化に固有のものであり、それらの多くは、「任意のスケールで同程度に」指定されたプロパティを持っています。 ヒマワリとブロッコリー、貝殻、シダ、雪片、山のクレバス、海岸線、フィヨルド、石筍と鍾乳石、稲妻など、自然界にはそのような形態が不足していません。

注意深く注意深い人々は、「近くまたは遠く」で見たときにいくつかのフォームが繰り返しパターンを示すことに長い間気づいていました。 そのような物体に近づくと、細部だけが変化することに気づきますが、全体としての形状はほとんど変化していません。 これに基づいて、フラクタルは、任意のスケールで繰り返し要素を含む幾何学的形状として定義するのが最も簡単です。

神話と神話。マンデルブロによって発見された新しい形の層は、デザイナー、建築家、エンジニアにとって金鉱になりました。 数え切れないほどの数のフラクタルが、複数の繰り返しの同じ原理に従って構築されます。 ここから、フラクタルは、任意のスケールで繰り返し要素を含む幾何学的形状として定義するのが最も簡単です。 この幾何学的形態は局所的に不変（不変）であり、スケーリングされた自己相似であり、その境界の積分は真の特異性であり、近づくにつれてその複雑さが明らかになり、距離を置くとそれ自体が自明性になります。

悪魔のはしご。コンピュータ間でデータを送信するために、非常に強力な電気信号が使用されます。 この信号は離散的です。 干渉やノイズは、さまざまな理由で電気ネットワークで誤って発生し、コンピュータ間で情報を転送するときにデータの損失につながります。 前世紀の60年代初頭のデータ伝送に対するノイズの影響を排除するために、マンデルブロが参加したIBMエンジニアのグループが委託されました。

大まかな分析では、単一のエラーが記録されなかった期間の存在が示されました。 1時間のハイライト期間で、エンジニアは、エラーのない信号送信期間も断続的であることに気付きました。ここでは、約20分間続く短い休止があります。 したがって、エラーのないデータ送信は、データパケットによって特徴付けられます 異なる長さノイズで一時停止します。その間、信号はエラーなしで送信されます。 上位のパッケージは、いわば下位のビルトインパッケージです。 このような記述は、上位パケット内の下位パケットの相対位置などの存在を前提としています。 経験によれば、パケットのこれらの相対的な位置の確率分布は、それらのランクとは無関係です。 この不変性は、電気的ノイズの影響下でのデータ歪みプロセスの自己相似性を示しています。 データ送信中に信号のエラーのない一時停止をカットするというまさにその手順は、これが彼らにとって新しいという理由で、電気技師には起こり得なかったでしょう。

しかし、純粋数学を研究したマンデルブロ集合は、1883年に記述され、厳密なアルゴリズムに従って得られた点からの塵を表すカントール集合を​​よく知っていました。 「カンターズダスト」を構築するためのアルゴリズムの本質は次のとおりです。 直線セグメントを取ります。 セグメントの中央3分の1を削除し、2つの端を残します。 次に、エンドセグメントなどで同じ操作を繰り返します。 マンデルブロは、これがまさにパケットの形状であり、コンピューター間の信号の送信を一時停止することを発見しました。 エラーが累積しています。 その蓄積は次のようにモデル化できます。 最初のステップでは、値1/2を間隔からのすべてのポイントに割り当て、2番目のステップでは、間隔から1/4に、値3/4を間隔からのポイントに割り当てます。 これらの値を段階的に合計することで、いわゆる「悪魔のはしご」を構築できます（図1）。 「カンターのほこり」の尺度は、0.618 ...に等しい無理数であり、「黄金比」または「神の比率」として知られています。

パートII。 フラクタルの本質

猫のいない笑顔：フラクタル次元。次元は、数学をはるかに超えた基本的な概念の1つです。 「Beginnings」の最初の本のEuclidは、幾何学の点、線、平面の基本的な概念を定義しました。 これらの定義に基づいて、3次元ユークリッド空間の概念はほぼ2年半の間変更されませんでした。 4、5、またはそれ以上の次元のスペースでいちゃつく多くは本質的に何も追加しませんが、それらは人間の想像力が想像できないものに直面しています。 フラクタル幾何学の発見により、次元の概念に根本的な革命が起こりました。 多種多様な次元が現れており、その中には全体的なものだけでなく、部分的なもの、さらには不合理なものもあります。 そして、これらの寸法は視覚的および感覚的表現に利用できます。 確かに、環境のモデルとして穴のあるチーズを簡単に想像できます。その寸法は2つ以上ですが、チーズの穴のために3つには達しておらず、チーズの塊の寸法が小さくなっています。

分数またはフラクタル次元を理解するために、英国の険しい海岸線の長さは無限であると主張したリチャードソンのパラドックスに目を向けます。 ルイス・フライ・リチャードソンは、英国の海岸線の測定された長さに対するスケールの影響について疑問に思いました。 等高線図の縮尺から「海岸の小石」の縮尺に移るとき、彼は奇妙で予想外の結論に達しました。海岸線の長さは無期限に増加し、この増加には制限がありません。 滑らかな曲線はこのように動作しません。 さらに大きな縮尺の地図で得られたリチャードソンの経験的データは、測定ステップの減少に伴い、海岸線の長さのべき乗則が増加することを示しました。

この単純なリチャードソンの式では L海岸の測定された長さがあります、 ε は測定ステップの大きさであり、β≈3/ 2は、彼が見つけた測定ステップの減少に伴う海岸の長さの増加の程度です。 周囲とは異なり、英国の海岸線の長さは55の制限を超えて増加しています。 無限大です！ 曲線が壊れていて、滑らかではなく、長さに制限がないという事実に同意する必要があります。

しかし、リチャードソンの研究は、スケールが減少するにつれて長さが増加する程度のいくつかの特徴的な尺度を持っていることを示唆しました。 破線を人の性格の指紋として神秘的に識別するのはこの値であることが判明しました。 マンデルブロは、海岸線をフラクタルオブジェクト（次元が指数βと一致するオブジェクト）として解釈しました。

たとえば、ノルウェーの西海岸の沿岸境界曲線の寸法は1.52です。 英国の場合-1.25; ドイツの場合-1.15; オーストラリアの場合-1.13; 南アフリカの比較的滑らかな海岸の場合-1.02、そして最後に、完全に滑らかな円の場合-1.0。

フラクタルの断片を見ると、その次元が何であるかがわかりません。 その理由は、フラグメントの幾何学的複雑さではなく、フラグメントは非常に単純である可能性がありますが、フラクタル次元はフラグメントの形状だけでなく、構築プロセスにおけるフラグメントの変換形式も反映しているという事実にありますフラクタル。 フラクタル次元は、いわばフォームから削除されます。 このため、フラクタル次元の値は不変のままです。これは、調査のどの規模でも、フラクタルのどのフラグメントでも同じです。 「指でつかむ」ことはできませんが、計算することはできます。

フラクタルリピート。繰り返しは、非線形方程式を使用してモデル化できます。 一次方程式は、変数の1対1の対応によって特徴付けられます。各値 バツ 1つだけの値に一致します でおよびその逆。 たとえば、方程式x + y = 1は線形です。 一次関数の動作は完全に決定論的であり、初期条件によって一意に決定されます。 2つの異なる初期条件が同じ結果につながる可能性があるため、非線形関数の動作はそれほど明確ではありません。 これに基づいて、操作の繰り返しの反復は2つの異なる形式で表示されます。 計算の各ステップで初期状態に戻る場合、線形参照の特性を持つことができます。 これは一種の「パターン反復」です。 コンベアでの連続生産は「パターン反復」です。 線形参照形式での反復は、システムの進化の中間状態に依存しません。 ここでは、新しい反復はそれぞれストーブから始まります。 反復が再帰形式である場合、つまり、前の反復ステップの結果が次のステップの初期条件になる場合は、まったく別の問題です。

再帰は、フィボナッチ数列で表すことができ、ジラール数列の形式で表されます。

u n +2 = u n +1 + u n

結果はフィボナッチ数です：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

この例では、初期値を参照せずに関数がそれ自体に適用されていることは明らかです。 それは、いわばフィボナッチ数列に沿ってスライドし、前の反復の各結果が次の反復の初期値になります。 フラクタル形状を構築するときに実現されるのは、この繰り返しです。

「シェルピンスキーのギャング」を構築するためのアルゴリズムにフラクタル反復がどのように実装されているかを示しましょう（切断法とCIF法を使用）。

切断方法。辺のある正三角形を取ります r..。 最初のステップでは、その中央で、辺の長さを上下逆にした正三角形を切り取ります。 r 1 = r 0/2。 この手順の結果、辺の長さが3つの正三角形になります。 r 1 = r 0/2、元の三角形の頂点にあります（図2）。

2番目のステップでは、形成された3つの三角形のそれぞれで、辺の長さが逆に内接する三角形を切り取ります。 r 2 = r 1 /2 = r 0/4。 結果-辺の長さが9つの三角形 r 2 = r 0/4。 その結果、シェルピンスキーのギャングの形は次第に明確になりつつあります。 固定はすべてのステップで発生します。 以前のすべてのコミットメントは、いわば「消去」されます。

SIF法、またはBarnsley反復関数システム法。与えられたもの：角度A（0,0）、B（1,0）、C（1/2、√3/ 2）の座標を持つ正三角形。 Z 0-この三角形の内側の任意の点（図3）。 サイコロを取ります。その端にはA、B、Cの2文字があります。

ステップ1.骨を転がします。 各文字が抜ける確率は2/6 = 1/3です。

• 文字Aが脱落した場合、セグメントz 0 –Aを作成し、その中央に点z1を配置します。
• 文字Bが抜けた場合は、セグメントz 0 –Bを作成し、その中央に点z1を配置します。
• 文字Cが抜けた場合、セグメントz 0 –Cを作成し、その中央に点z1を配置します。

ステップ2.骨をもう一度転がします。

• 文字Aが脱落した場合、セグメントz 1 –Aを作成し、その中央に点z2を配置します。
• 文字Bが抜けた場合は、セグメントz 1 –Bを作成し、その中央に点z2を配置します。
• 文字Cが抜けた場合、セグメントz 1 -Cを作成し、その中央に点z2を配置します。

この操作を何度も繰り返すと、ポイントz 3、z 4、…、znが得られます。 それぞれの特徴は、ポイントが前のポイントから任意に選択された頂点までのちょうど中間にあることです。 ここで、たとえばz0からz100までの初期点を破棄すると、残りの点は十分な数で、「シェルピンスキーのナプキン」の構造を形成します。 ポイントが多いほど、反復が多くなり、シェルピンスキーのフラクタルがオブザーバーにとってより明確になります。 そして、これはプロセスが進行しているという事実にもかかわらず、ランダムな方法で（サイコロのおかげで）見えるでしょう。 「シェルピンスキーのギャング」は、プロセスの一種のアトラクタです。つまり、十分な反復回数でこのプロセスで構築されたすべての軌道が向かう傾向にあります。 この場合、画像の固定は累積的で累積的なプロセスです。 個々の点は、おそらくシェルピンスキーのフラクタルの点と一致することはありませんが、「偶然」に編成されたこのプロセスの後続の各点は、「シェルピンスキーのナプキン」の点にますます引き付けられます。

フィードバックループ。サイバネティックスの創設者であるノーバートウィーナーは、フィードバックループを説明する例としてボート操舵手を使用しました。 操舵手はコースに留まり、ボートがコース上でどれだけうまく進んでいるかを継続的に評価する必要があります。 操舵手は、ボートが逸脱していることを確認すると、舵をセットコースに戻します。 しばらくすると、彼は舵の助けを借りて何度も何度も進行方向を修正します。 したがって、ナビゲーションは、特定のコースへのボートの動きの反復、繰り返し、および順次アプローチの助けを借りて実行されます。

典型的なフィードバックループを図に示します。 4可変パラメータ（ボートの方向）と制御パラメータС（ボートの方位）を変更することになります。

ベルヌーイシフトマッピングについて考えてみます。 0から1までの区間に属する初期状態としていくつかの数を選択しましょう。この数を2進数システムで書きましょう。

x 0 = 0.01011010001010011001010..。

ここで、時間の進化の1つのステップは、0と1のシーケンスが1桁左にシフトされ、小数点の左側の数字が破棄されることです。

x 1 = 0.1011010001010011001010..。

x 2 = 0.011010001010011001010..。

x 3 = 0.11010001010011001010..。

元の番号の場合は注意してください x 0有理数、そして反復中に値 バツn周期的な軌道に入る。 たとえば、11/24のシードの場合、反復中にいくつかの値を取得します：

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

元の値の場合 x 0不合理なことに、ディスプレイは定期モードにはなりません。 初期値の範囲x0∈には、無限に多くの有理点と無限に多くの無理点が含まれています。 したがって、周期的な軌道の密度は、周期的な領域に入ることのない軌道の密度に等しくなります。 有理数の任意の近傍 x 0元のパラメータに不合理な値があります x'0このような状況では、必然的に初期条件に対する微妙な敏感さが生じます。 これは、システムが動的なカオス状態にあることを示す特徴的な兆候です。

エレメンタリーフィードバックヒンジ。逆は 必要条件そして、驚いたことに自分自身を捕らえる横目での結果。 反転ループのアイコンはメビウスの帯にすることができます。メビウスの帯では、各円の下側が上側になり、内側が外側になり、その逆も同様です。 逆のプロセスで差異が蓄積されると、最初に元の画像から画像が削除され、次に元の画像に戻ります。 論理的には、逆ループはエピメニデスのパラドックス「すべてのクレタ人は嘘つきです」によって示されています。 しかし、エピメニデス自身はクレタ島でした。

不思議の環。不思議の環現象のダイナミックな本質は、多くの変形の過程で、画像が変形し、元の画像とますます異なっていくという事実に要約されますが、正確に繰り返されることはありません。 この現象を説明する際に、ホフスタッターは本の中で「奇妙なループ」という用語を紹介しています。 彼は、エッシャー、バッハ、ゲーデルの両方が、視覚芸術、音楽、数学のそれぞれの作品と創造性に奇妙なループを発見した、またはより正確には使用したと結論付けています。 メタモルフォーゼでは、エッシャーはさまざまな現実の平面の奇妙な一貫性を発見しました。 ある芸術的視点の形は、別の芸術的視点の形に可塑的に変換されます（図5）。

米。 5.マウリッツエッシャー。 手を描く。 1948年

この奇妙なことは、音楽の中で奇妙な形で現れました。 バッハの「音楽の捧げもの」のカノンの1つ（ TonosあたりのCanon-音色のカノン）は、その見かけのフィナーレが予想外にスムーズに最初に移行するように設計されていますが、キーがシフトしています。 これらの連続する変調により、リスナーは最初のキーからどんどん高くなります。 しかし、奇跡的に、6つの変調の後、私たちはほとんど戻ってきました。 すべてのボイスは、最初よりも正確に1オクターブ高く聞こえるようになりました。 唯一の奇妙な点は、特定の階層のレベルを上っていくと、突然、旅を始めたのとほぼ同じ場所にいることに気付くということです。 再生せずに戻る.

KurtGödelは、数学の最も古くて習得された分野の1つである数論で奇妙なループを発見しました。 ゲーデルの定理は、1931年のPrincipleMathematicaの記事「OnFormallyUnsolvable Judgements」で、定理VIとして最初に日の目を見るようになりました。 定理は次のように述べています。数論のすべての一貫した公理的定式化には決定不可能な命題が含まれています。 数論の判断は、数論の判断については何も言いません。 それらは数論の判断にすぎません。 ここにはループがありますが、奇妙なことはありません。 奇妙なループが証明に隠されています。

ストレンジアトラクター。アトラクター（英語から。 引きつける引き付ける）システムの動作のすべての可能な軌道を引き付ける点または閉じた線。 アトラクタは安定しています。つまり、長期的には、アトラクタの動作の唯一の可能なモデルであり、他のすべては一時的なものです。 アトラクタは、プロセス全体を網羅する時空間オブジェクトであり、その原因でも結果でもありません。 それは、限られた数の自由度を持つシステムによってのみ形成されます。 アトラクタは、ポイント、円、トーラス、およびフラクタルにすることができます。 後者の場合、アトラクタは「ストレンジ」と呼ばれます（図6）。

ポイントアトラクタは、システムの安定した状態を表します。 位相空間では、「ノード」、「フォーカス」、または「サドル」のローカル軌道が形成されるポイントです。 これが振り子の動作です。任意の初速度と任意の初期位置で、十分な時間の後、摩擦の作用により、振り子は停止し、安定した平衡状態になります。 円形（周期的）アトラクタは、理想的な振り子（摩擦なし）のように、円を描いて前後に動く動きです。

奇妙なアトラクター（ 奇妙なアトラクター）外から見ると奇妙に見えますが、「ストレンジアトラクター」という用語は、DavidRuelとオランダ人FlorisTakensによる「TheNatureof Turbulence」という記事が1971年に登場した直後に広まりました（参照）。 RuelleとTakensは、アトラクタに適切な特性のセットがあるかどうか疑問に思いました。安定性、制限された自由度、および非周期性です。 と 幾何学的な点質問を見るのは純粋なパズルのようでした。 無限に長い軌道はどのような形で描かれるべきか 限られたスペース繰り返したり、交差したりすることはありませんか？ 各リズムを再現するには、軌道は限られた領域で無限に長い線である必要があります。つまり、自己嚥下である必要があります（図7）。

1971年までに、科学文献にはそのようなアトラクターのスケッチがすでに1つありました。 エドワード・ローレンツは、決定論的カオスに関する彼の1963年の記事の付録にしました。 このアトラクタは安定していて、非周期的で、自由度が少なく、交差することはありませんでした。 そのようなことが起こって、彼がすでに通過したところに戻った場合、その動きは将来繰り返され、トロイダルアトラクタを形成しますが、これは起こりませんでした。

アトラクタの奇妙さは、Ruelleが信じていたように、3つの同等ではないが、実際には、一緒に存在する機能にあります。

• フラクタル性（入れ子、類似性、一貫性）;
• 決定論（初期条件への依存）;
• 特異点（有限数の定義パラメーター）。

パートIII。 フラクタルフォームの印象的な軽さ

虚数、位相ポートレートおよび確率。フラクタル幾何学は、虚数の理論、動的位相ポートレート、および確率論に基づいています。 虚数理論は、マイナス1の平方根があることを前提としています。 Gerolamo Cardanoは、彼の作品「Great Art」（「Ars Magna」、1545）で、3次方程式z 3 + pz + q = 0の一般的な解を示しました。Cardanoは、有理数を、方程式。 彼は奇妙なことに気づきました。これは、単純な方程式x 3 = 15x + 4で示しています。この方程式には、x = 4という1つの明白な解があります。ただし、一般化式では奇妙な結果が得られます。 負の数の根が含まれています：

Raphael Bombelliは、代数に関する本（ "L'Algebra"、1560）で、= 2±iと指摘しました。これにより、すぐに実数の根x = 4を得ることができました。同様の場合、複素数が共役である場合、次のようになります。実数と複素数は、3次方程式の解を得るプロセスの技術的な助けになります。

ニュートンは、マイナス1の根を含む解は「物理的に意味がない」と見なされ、破棄されるべきであると信じていました。 XVII-XVIII世紀には、想像上の、精神的な、想像上の何かが、現実のものすべてを合わせたものと同じくらい現実的であるという理解が形成されました。 デカルトが新しい考え方「我思う、我あり」のマニフェストを策定した1619年11月10日の正確な日付を示すことさえできます。 この瞬間から、思考は絶対的で疑いの余地のない現実です。「私が考えるなら、それは私が存在することを意味します」！ より正確には、思考は今や現実として認識されています。 デカルトの直交座標系のアイデアは、虚数のおかげで、その完全性を獲得します。 これで、これらの虚数を意味で埋めることができます。

19世紀、オイラー、アルガン、コーシー、ハミルトンの作品は、複素数を処理するための算術装置を開発しました。 複素数は、X + iYの合計として表すことができます。ここで、XとYは、私たちが慣れ親しんでいる実数です。 私虚数単位（実際には√– 1）。 各複素数は、いわゆる複素平面上の座標（X、Y）を持つ点に対応します。

2番目の重要な概念-動的システムの位相ポートレートは、20世紀に形成されました。 アインシュタインがすべてが光に対して同じ速度で動くことを示した後、システムの動的な振る舞いを凍結された幾何学的な線の形式で表現する可能性のアイデア、いわゆる動的システムの位相ポートレートが取得されました明確な物理的意味。

振り子の例でそれを説明しましょう。 ジャン・フーコーは、1851年に地下室で振り子を使って最初の実験を行い、次にパリ天文台で、次にパンテオンのドームの下で実験を行いました。 最後に、1855年に、フーコーの振り子はパリのサンマルタンドシャン教会のドームの下に吊るされました。 フーコーの振り子のロープの長さは67m、重りの重さは28kgです。 遠くから見ると、振り子は点のように見えます。 ポイントは常に動かない。 近づくと、調和振動子（sinϕ≈ϕ）、振り子（前後に振動）、プロペラ（回転）の3つの典型的な軌道を持つシステムを区別します。

ローカルオブザーバーがボールの動きの3つの可能な構成の1つを見る場合、プロセスから削除されたアナリストは、ボールが3つの典型的な動きの1つを実行すると想定できます。 これは1つの計画に描くことができます。 「スレッド上のボール」を、検討中のシステムの自由度と同じ数の座標を持つ抽象的な位相空間に移動することに同意する必要があります。 この場合、2自由度の速度について話します v垂直方向のϕに対するボールとの糸の傾斜角度。 座標ϕとvでは、調和振動子の軌道は同心円のシステムであり、角度ϕが大きくなると、これらの円は楕円形になります。 ϕ = ± π 楕円形の閉鎖は失われます。 これは、振り子がプロペラモードに切り替わったことを意味します。 v = const（図8）。

米。 8.振り子：a）理想的な振り子の位相空間での軌道。 b）減衰しながら揺れる振り子の位相空間の軌道。 c）位相ポートレート

位相空間に長さ、持続時間、または動きがない場合があります。 ここでは、すべてのアクションが事前に与えられていますが、すべてが有効であるとは限りません。 ジオメトリに残っているのは、メジャー、パラメータではなく、ディメンション、ディメンションではなく、トポロジだけです。 ここでは、動的システムには独自のインプリント、位相ポートレートがあります。 そして、それらの中にはかなり奇妙な位相ポートレートがあります。複雑であるため、単一のパラメーターによって決定されます。 釣り合っているので、それらは不均衡です。 連続的であるため、それらは離散的です。 このような奇妙な位相ポートレートは、アトラクタのフラクタル構成を持つシステムの特徴です。 アトラクタの中心（アトラクタ）の離散性は、アクションの量子の効果、ギャップまたはジャンプの効果を作成しますが、軌道は連続性を維持し、奇妙なアトラクタの単一の接続された形式を生成します。

フラクタルの分類。フラクタルには3つの位位があります。形式的、操作的、象徴的であり、これらは互いに直交しています。 これは、異なるアルゴリズムを使用して同じフラクタル形状を取得でき、形状が完全に異なるフラクタルに対して同じフラクタル次元番号が表示される可能性があることを意味します。 これらの発言を考慮に入れて、フラクタルを象徴的、形式的、および運用上の特徴に従って分類します。

• 象徴的に、フラクタルの次元特性は全体または分数である可能性があります。
• 正式には、フラクタルは葉や雲のようにコヒーレントであり、ほこりのようにインコヒーレントである可能性があります。
• 運用ベースでは、フラクタルは通常と確率に分けることができます。

通常のフラクタルは、厳密に定義されたアルゴリズムに従って作成されます。 この場合、構築プロセスは可逆的です。 すべての操作を逆の順序で繰り返し、決定論的アルゴリズムのプロセスで作成された画像を1つずつ消去できます。 決定論的アルゴリズムは、線形または非線形にすることができます。

確率的フラクタルは、確率的意味で同様に、それらの構築のアルゴリズムで、反復の過程で、任意のパラメーターがランダムに変化するときに発生します。 「確率論」という用語はギリシャ語に由来します stochasis-推測、推測。 確率過程は、変化の性質を正確に予測できない過程です。 フラクタルは自然の気まぐれで生成され（岩、雲、乱流、泡、ゲル、煤粒子の輪郭、株価や川の水位の変化など）、幾何学的な類似性はありませんが、各フラグメントは、平均して全体の統計的特性を断片化します。 このコンピューターを使用すると、疑似乱数のシーケンスを生成し、確率的アルゴリズムと形状を即座にシミュレートできます。

線形フラクタル。線形フラクタルは、すべて特定の線形アルゴリズムに従って構築されているため、このように名付けられています。 これらのフラクタルは自己相似であり、スケールが変化しても歪むことはなく、どの時点でも微分可能ではありません。 このようなフラクタルを作成するには、ベースとフラグメントを設定するだけで十分です。 これらの要素は、スケールを無限に減らしながら何度も繰り返されます。

カンターのほこり。 19世紀、ドイツの数学者ゲオルクフェルディナンドルートヴィヒフィリップカントール（1845-1918）は、数学界に0から1の範囲の奇妙な数の集合を提案しました。この集合には、示された間隔に無限の数の要素が含まれていました。さらに、ゼロ次元を持っていました。 ランダムに発射された矢は、この群衆の1つの要素にさえ当たることはほとんどありませんでした。

まず、単位長のセグメントを選択し（最初のステップ：n = 0）、次にそれを3つの部分に分割し、中央の3分の1（n = 1）を削除する必要があります。 次に、形成された各セグメントで同じことを行います。 操作を無数に繰り返すことで、必要なセット「カントールのほこり」が得られます。 現在、不連続と無限に分割可能な「Cantor'sdust」の間に反対はありません（図1を参照）。 「Cantor'sDust」はフラクタルです。 そのフラクタル次元は0.6304です...

1次元カントール集合の2次元類似体の1つは、ポーランドの数学者VaclavSierpinskiによって記述されました。 それは「カンターカーペット」またはより頻繁に「シェルピンスキーカーペット」と呼ばれます。 彼は厳密に自己相似です。 そのフラクタル次元は、ln8 /lnЗ= 1.89 ...として計算できます（図9）。

平面を埋める線。平面を埋めることができる曲線である通常のフラクタルのファミリー全体を考えてみましょう。 ライプニッツでさえ、次のように論じています。<… >すべての点を通過する、特定の規則に従う一定の積分幾何学的線​​を特定することが可能であると私は言います。」 ライプニッツによるこの声明は、空間内の点の位置が一意に決定されるパラメーターの最小数としての次元のユークリッドの理解と矛盾していました。 厳密な証明がない場合、ライプニッツのこれらのアイデアは数学的思考の周辺にとどまりました。

ペアノ曲線。しかし、1890年、イタリアの数学者ジュゼッペペアノは、すべての点を通り、平らな面を完全に覆う線を作成しました。 「ペアノ曲線」の構成を図1に示します。 10.10。

ペアノ曲線の位相幾何学的次元は1に等しいが、そのフラクタル次元はd = ln（1/9）/ ln（1/3）= 2です。フラクタル幾何学の枠組み内で、パラドックスは最も自然に解決されました。仕方。 蜘蛛の巣のような線は、飛行機を覆うことができます。 この場合、1対1の対応が確立されます。線の各点は、平面上の点に対応します。 ただし、平面上の各ポイントはライン上の1つ以上のポイントに対応するため、この対応は1対1ではありません。

ヒルベルト曲線。 1年後の1891年に、ドイツの数学者David Hilbert（1862–1943）が、交差点や接線のない平面をカバーする曲線を提示した記事を発表しました。 「ヒルベルト曲線」の構成を図1に示します。 十一。

ヒルベルト曲線は、FASS曲線の最初の例でした（spaceFilling、selfAvoiding、Simple and selfSimilar of space-filling self-avoiding、simple and self-similar lines）。 ペアノ曲線のように、ギルバート線のフラクタル次元は2です。

ミンコウスキーのテープ。学生時代からヒルベルトの親友であるヘルマン・ミンコフスキーは、平面全体を覆うのではなく、リボンのようなものを形成する曲線を作成しました。 各ステップで「ミンコフスキーストリップ」を作成する場合、各セグメントは8つのセグメントで構成される破線に置き換えられます。 次の段階では、新しいセグメントごとに、操作が1：4のスケールで繰り返されます。 ミンコフスキーストリップのフラクタル次元は、d = ln（l / 8）/ ln（1/4）= 1.5です。

非線形フラクタル。複素平面のそれ自体への最も単純な非線形マッピングは、最初の部分で検討したJuliaマッピングzgz 2 + Cです。これは、前のサイクルの結果に定数を追加してそれ自体を乗算する、閉サイクルでの計算です。つまり、2次フィードバックループです（図13）。

定数Cの固定値での反復の過程で、任意の初期点Z 0に応じて、点Z n n->∞は有限または無限のいずれかになります。 それはすべて、原点z = 0に対するZ0の位置に依存します。計算された値が有限である場合、それはジュリア集合に含まれます。 無限大になると、ジュリア集合から切り離されます。

ジュリアマップを特定のサーフェスのポイントに適用した後に得られる形状は、パラメータCによって一意に決定されます。小さいCの場合、これらは単純な接続ループであり、大きいCの場合、これらは切断されているが厳密に順序付けられたポイントのクラスターです。 概して、すべてのJuliaフォームは、接続されたマップと切断されたマップの2つの大きなファミリに分割できます。 前者はコッホのスノーフレークを彷彿とさせ、後者はカントールのほこりです。

ジュリアのさまざまな形は、コンピューターのモニターでこれらの形を最初に観察することができたとき、数学者を落胆させました。 この多様体をランク付けする試みは非常に条件付きであり、マンデルブロ集合がジュリア写像の分類の基礎として採用されたという事実に要約されます。その境界は、結局のところ、ジュリア写像と漸近的に類似しています。

C = 0の場合、ジュリアマップを繰り返すと、一連の数値z 0、z 0 2、z 0 4、z 0 8、z 0 16 ...が得られます。その結果、次の3つのオプションが可能になります。

• for | z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• for | z 0 | 反復の過程で> 1の場合、数値z nは絶対値で増加し、無限大になる傾向があります。 この場合、アトラクタは無限遠点であり、そのような値をジュリア集合から除外します。
• for | z 0 | = 1シーケンスのすべてのポイントは、この単位円上に残り続けます。 この場合、アトラクタは円です。

したがって、C = 0では、引力と反発の初期点の間の境界は円になります。 この場合、マッピングには2つの不動点があります。z= 0とz = 1です。最初の不動点はゼロでの2次関数の導関数が0であるため魅力的であり、2番目の不動点は2次関数の導関数であるため反発的です。パラメータの値での関数は2に等しくなります。

定数Cが実数である場合の状況を考えてみましょう。 マンデルブロ集合の軸に沿って動いているようです（図14）。 С= –0.75で、ジュリア集合の境界が自己交差し、2番目のアトラクタが表示されます。 この時点でのフラクタルには、有名なベネチア大聖堂に敬意を表してマンデルブロによって彼に与えられたサンマルコフラクタルの名前が付けられています。 図面を見ると、マンデルブロがこの構造に正確にちなんでフラクタルに名前を付けるというアイデアを持っていた理由を理解するのは難しくありません。類似性は驚くべきものです。

米。 14.実際の値Cが0から-1に減少すると、ジュリア集合の形状が変化します。

さらにСを–1.25に下げると、4つの固定点を持つ新しい典型的な形状が得られます。< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

米。 15.実際の値Cの減少を伴うジュリア集合の新しい形式の出現< –1

したがって、マンデルブロフラクタル（定数Cは実数）の軸上にとどまっている場合でも、注目の分野で「キャプチャ」し、何らかの方法で、円から塵までかなり多様なジュリアの形をランク付けしました。 ここで、マンデルブロフラクタルの符号領域とそれに対応するジュリアフラクタルの形式について考えてみましょう。 まず、マンデルブロフラクタルを「カーディオイド」、「腎臓」、「タマネギ」の観点から説明しましょう（図16）。

主なカーディオイドと隣接する円は、マンデルブロフラクタルの主な形状を形成します。 それらは、通常腎臓と呼ばれる、そのコピーの無限の数によって隣接されています。 これらのつぼみのそれぞれは、互いに類似した、無数の小さなつぼみに包まれています。 主なカーディオイドの上下にある2つの最大の芽は、タマネギと呼ばれます。

このセットの典型的なフラクタル（С= –0.12 + 0.74i）を研究したフランス人のエイドリアン・ダウディとアメリカ人のビル・ハバードは、それを「ウサギのフラクタル」と呼びました（図17）。

マンデルブロフラクタルの境界を越えると、ジュリアのフラクタルは常に接続を失い、ダストに変わります。これは、ピエールファトゥに敬意を表して一般に「ファトゥダスト」と呼ばれ、Cの特定の値に対して、無限に離れた点がほこりのような非常に薄い集合を除いて、複雑な平面全体（図18）。

確率的フラクタル。厳密に自己相似のフォンコッホ曲線と、たとえばノルウェーの海岸との間には大きな違いがあります。 後者は、厳密には自己相似ではありませんが、統計的な意味で類似性を示します。 この場合、両方の曲線が非常に壊れているため、それらの点のいずれにも接線を描くことができません。つまり、それを区別することはできません。 このような曲線は、通常のユークリッド線の中で一種の「モンスター」です。 どの点にも接線がない連続関数を最初に作成したのは、カール・セオドア・ウィルヘルム・ワイエルシュトラスでした。 彼の作品は1872年7月18日にロイヤルプロイセンアカデミーに提出され、1875年に出版されました。 ワイエルシュトラスによって記述された関数はノイズのように見えます（図19）。

証券取引所のチャート、気温や気圧の変動の要約を見ると、ある種の規則的な不規則性が見つかります。 また、規模が大きくなると、不規則性が残ります。 そして、それは私たちをフラクタル幾何学に言及しています。

ブラウン運動は、確率過程の最も有名な例の1つです。 1926年、ジャン・ペランはブラウン運動の性質に関する研究でノーベル賞を受賞しました。 ブラウン運動の自己相似性と非分化性に注目したのは彼でした。

最近、フラクタルのような数学の世界の興味深いオブジェクトについて学びました。 しかし、それらは数学だけに存在するのではありません。 彼らはどこでも私たちを取り囲んでいます。 フラクタルは自然です。 この記事では、フラクタルとは何か、フラクタルの種類、これらのオブジェクトの例、およびそれらのアプリケーションについて説明します。 まず、フラクタルとは何かを簡単に説明します。

フラクタル（ラテンフラクタル-押しつぶされた、壊れた、壊れた）は、自己相似性の特性を持つ複雑な幾何学的図形です。つまり、それぞれが全体として全体の図形に類似しているいくつかの部分で構成されています。 広い意味では、フラクタルは、ユークリッド空間内で、分数のメトリック次元（ミンコフスキーまたはハウスドルフの意味で）またはトポロジカル以外のメトリック次元を持つ点のセットとして理解されます。 例として、4つの異なるフラクタルの写真を挿入します。

フラクタルの歴史について少しお話します。 70年代後半に登場したフラクタルとフラクタル幾何学の概念は、80年代半ば以降、数学者やプログラマーの日常生活の一部になりました。 「フラクタル」という言葉は、1975年にブノワ・マンデルブロが手がけた不規則で自己相似の構造を指すために造られました。 フラクタル幾何学の誕生は、通常、1977年にマンデルブロの著書「フラクタル幾何学」の出版に関連しています。 彼の作品は、1875-1925年に同じ分野で働いた他の科学者（ポアンカレ、ファトウ、ジュリア、カントール、ハウスドルフ）の科学的結果を使用していました。 しかし、私たちの時代にのみ、彼らの仕事を単一のシステムに統合することが可能でした。

フラクタルの例はたくさんあります。なぜなら、私が言ったように、フラクタルは私たちをどこにでも取り囲んでいるからです。 私の意見では、私たちの宇宙全体でさえ、1つの大きなフラクタルです。 結局のところ、原子の構造から宇宙自体の構造まで、その中のすべてが正確に繰り返されます。 しかし、もちろん、さまざまな分野のフラクタルのより具体的な例があります。 たとえば、フラクタルは複素力学に存在します。 彼らはそこにいます 非線形の研究に自然に現れる 動的システム..。 最も研究されているケースは、動的システムが多項式または正則の反復によって指定されている場合です。 変数の複合体の関数表面に。 この種の最も有名なフラクタルのいくつかは、ジュリア集合、マンデルブロ集合、およびニュートンの盆地です。 以下に、順番に、写真は上記の各フラクタルを示しています。

フラクタルのもう1つの例は、フラクタル曲線です。 フラクタル曲線の例を使用して、フラクタルを作成する方法を説明するのが最善です。 これらの曲線の1つは、いわゆるコッホスノーフレークです。 シンプルなものがあります平面上のフラクタル曲線を取得するための手順。 ジェネレータと呼ばれる、有限数のリンクを持つ任意のポリラインを定義しましょう。 次に、その中の各セグメントをジェネレーター（より正確には、ジェネレーターに似た破線）に置き換えます。 結果の破線で、各セグメントをジェネレーターに再度置き換えます。 無限大に進むと、限界でフラクタル曲線が得られます。 コッホスノーフレーク（または曲線）を以下に示します。

フラクタル曲線も多種多様です。 それらの中で最も有名なのは、すでに述べたコッホスノーフレーク、リーバイス曲線、ミンコウスキー曲線、ドラゴンの壊れた曲線、ピアノ曲線、ピタゴラスの木です。 これらのフラクタルの画像とその歴史は、必要に応じて、ウィキペディアで簡単に見つけることができると思います。

3番目の例またはタイプのフラクタルは確率的フラクタルです。 これらのフラクタルには、ブラウン運動の軌道が含まれます 飛行機と宇宙では、シュラム・レヴンの進化、 異なる種類ランダム化されたフラクタル、つまり、再帰的手順を使用して取得されたフラクタルで、各ステップでランダムなパラメーターが入力されます。

純粋に数学的なフラクタルもあります。 これらは、たとえば、カントール集合、メンガースポンジ、シェルピンスキーの三角形などです。

しかし、おそらく、最も興味深いフラクタルは自然なものです。 自然のフラクタルは、フラクタル特性を持つ自然界のオブジェクトです。 そして、ここでリストはすでに長いです。 おそらくすべてをリストすることはできないので、すべてをリストするわけではありませんが、いくつかについて説明します。 たとえば、自然界では、そのようなフラクタルには循環器系や肺が含まれます。 そしてまた木の冠と葉。 ヒトデも含まれます ウニ、サンゴ、貝殻、キャベツやブロッコリーなどのいくつかの植物。 野生生物からのそのような自然のフラクタルのいくつかを以下に明確に示します。

無生物の自然を考えると、生きている自然よりもはるかに興味深い例があります。 稲妻、雪片、雲、すべての人によく知られている、凍るような日の窓のパターン、結晶、山脈-これらはすべて、無生物の自然からの自然なフラクタルの例です。

フラクタルの例と種類を検討しました。 フラクタルの使用に関しては、さまざまな知識分野で使用されています。 物理学では、乱流流体の流れ、複雑な拡散吸着プロセス、炎、雲などの非線形プロセスをモデル化するときにフラクタルが自然に発生します。フラクタルは、石油化学などの多孔質材料のモデル化に使用されます。 生物学では、それらは人口をモデル化し、システムを説明するために使用されます 内臓（血管系）。 コッホ曲線の作成後、海岸線の長さを計算するときにそれを使用することが提案されました。 フラクタルは、電波工学、コンピュータサイエンス、および コンピューターテクノロジー、電気通信、さらには経済。 そしてもちろん、フラクタルビジョンは現代美術や建築で積極的に使用されています。 フラクタルアートの一例を次に示します。

それで、これで私はフラクタルのような珍しい数学的現象についての私の話を完成させると思います。 今日、私たちはフラクタルとは何か、それがどのように見えるか、フラクタルの種類と例について学びました。 また、それらのアプリケーションについて話し、フラクタルのいくつかを視覚的に示しました。 驚くべき魅惑的なフラクタルオブジェクトの世界へのこの短い遠足を楽しんでいただけたと思います。