関数が偶数か奇数かを理解する方法。機能パリティ。ある区間における関数の最大値と最小値

関数は、いずれかが等価の場合、偶数 (奇数) と呼ばれます。

偶関数のグラフは軸に対して対称です
.

奇関数のグラフは原点に対して対称です。

例6.2。関数が偶数か奇数かを調べる

1)
; 2)
; 3)
.

解決.

1) 関数は次の場合に定義されます。
。見つけます
.

それらの。
。これは、この関数が偶数であることを意味します。

2) 関数は次の場合に定義されます。

それらの。
。したがって、この関数は奇数です。

3) 関数はに対して定義されています。つまり、のために

,
。したがって、関数は偶数でも奇数でもありません。これを一般形式の関数と呼びましょう。

3. 単調性関数の検討。

関数
この区間内で引数のそれぞれのより大きな値が関数のより大きな（より小さな）値に対応する場合、特定の区間で増加（減少）すると呼ばれます。

一定の間隔で増加（減少）する関数を単調関数といいます。

関数の場合
区間で微分可能
正（負）の導関数があります
、次に関数
この間隔で増加（減少）します。

例6.3。関数の単調性の区間を求める

1)
; 3)
.

解決.

1) この関数は数直線全体で定義されます。導関数を求めてみましょう。

次の場合、導関数はゼロに等しくなります。
そして
。定義範囲はドットで区切られた数値軸です。
,
間隔をあけて。各区間の導関数の符号を決定してみましょう。

合間に
導関数が負の場合、関数はこの区間で減少します。

合間に
導関数は正であるため、関数はこの区間にわたって増加します。

2) この関数は次の場合に定義されます。
または

各区間の二次三項式の符号を決定します。

したがって、関数の定義領域は

導関数を求めてみましょう
,
、もし
、つまり
、しかし
。区間内の導関数の符号を決定してみましょう
.

合間に
導関数は負であるため、関数は区間で減少します。
。合間に
導関数が正の場合、関数は区間にわたって増加します
.

4. 極値における関数の研究。

ドット
関数の最大（最小）点と呼ばれます
、ポイントの近くにそのようなものがあればそれは皆のためです
この付近からは不平等が成り立つ

.

関数の最大点と最小点は極値点と呼ばれます。

関数の場合
時点でに極値がある場合、この点での関数の導関数はゼロに等しいか、存在しません (極値が存在するための必要条件)。

導関数がゼロであるか、存在しない点は臨界と呼ばれます。

5. 極値が存在するための十分な条件。

ルール1。臨界点を通過する移行中 (左から右へ) の場合派生関数
符号を「+」から「-」に変更し、その時点で関数
最大値があります。「-」から「+」までの場合は最小値。もし
符号が変わらない場合、極値は存在しません。

ルール2。要点でみましょう
関数の一次導関数
ゼロに等しい
、二次導関数が存在し、ゼロとは異なります。もし
、それ – 最大ポイント (場合)
、それ – 関数の最小点。

例 6.4 。最大関数と最小関数を調べます。

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

解決。

1) 関数が定義されており、その区間で連続的である
.

導関数を求めてみましょう
そして方程式を解きます
、つまり
。ここから
– 重要なポイント。

区間内の導関数の符号を決定してみましょう。
.

ポイント通過時
そして
したがって、ルール 1 に従って、導関数は符号を「–」から「+」に変更します。
– 最低ポイント。

ある地点を通過するとき
導関数は符号を「+」から「-」に変えるので、
– 最高点。

,
.

2) 関数が定義されており、区間内で連続的である
。導関数を求めてみましょう
.

方程式を解いたところ
、見つけます
そして
– 重要なポイント。分母の場合
、つまり
の場合、導関数は存在しません。それで、
– 3番目の重要なポイント。区間の導関数の符号を決定してみましょう。

したがって、この関数には次の点で最小値があります。
、最大ポイント数
そして
.

3) 関数は次の場合に定義され、連続的です。
、つまりで
.

導関数を求めてみましょう

重要なポイントを見つけてみましょう。

点の近傍
は定義領域に属さないため、極値ではありません。それでは、重要なポイントを調べてみましょう
そして
.

4) 関数が定義されており、一定の間隔で連続的である
。ルール 2 を使用してみましょう。導関数を求めます
.

重要なポイントを見つけてみましょう。

二次導関数を求めてみましょう
点での符号を決定します

ポイントで
機能には最低限のものがあります。

ポイントで
関数には最大値があります。

偶数機能。

平符号が変わっても符号が変わらない関数ですバツ.

バツ平等が成り立つ f(–バツ) = f(バツ）。サインバツサインには影響しない y.

偶関数のグラフは座標軸に対して対称になります（図1）。

偶数関数の例:

y=cos バツ

y = バツ 2

y = –バツ 2

y = バツ 4

y = バツ 6

y = バツ 2 + バツ

説明：
関数を取り上げてみましょう y = バツ 2または y = –バツ 2 .
あらゆる値に対してバツ関数は正です。サインバツサインには影響しない y。グラフは座標軸に対して対称です。これは偶数関数です。

奇妙な関数。

奇数符号が変わると符号も変わる関数ですバツ.

つまり、どのような値であっても、バツ平等が成り立つ f(–バツ) = –f(バツ).

奇関数のグラフは原点に対して対称になります（図2）。

奇数関数の例:

y= 罪バツ

y = バツ 3

y = –バツ 3

説明：

関数 y = – を考えてみましょう。バツ 3 .
すべての意味でマイナス記号が付きます。それはサインですバツサインに影響を与える y。独立変数が正の数の場合、関数は正であり、独立変数が負の数の場合、関数は負です。 f(–バツ) = –f(バツ).
関数のグラフは原点に対して対称になります。これは奇数関数です。

偶数関数と奇数関数のプロパティ:

注記：

すべての関数が偶数または奇数であるわけではありません。このような階調に従わない関数もあります。たとえば、root 関数で = √バツ偶数関数にも奇数関数にも適用されません (図 3)。このような関数のプロパティを列挙するときは、偶数でも奇数でもない適切な説明を与える必要があります。

定期的な機能。

ご存知のとおり、周期性とは、特定のプロセスが特定の間隔で繰り返されることです。これらのプロセスを記述する関数は次のように呼ばれます。 周期関数。つまり、これらは、グラフ内に特定の数値間隔で繰り返される要素がある関数です。

これらは、ある程度はあなたにとって馴染み深いものでした。また、機能プロパティの在庫は徐々に補充される予定であることも記載されています。このセクションでは 2 つの新しいプロパティについて説明します。

定義1.

関数 y = f(x), x є X は、集合 X の任意の値 x に対して等式 f (-x) = f (x) が成立する場合でも呼び出されます。

定義2.

関数 y = f(x), x є X は、集合 X の任意の値 x に対して等式 f (-x) = -f (x) が成立する場合、奇数と呼ばれます。

y = x 4 が偶関数であることを証明します。

解決。 f(x) = x 4、f(-x) = (-x) 4 となります。ただし、(-x) 4 = x 4 です。これは、任意の x に対して f(-x) = f(x) という等式が成り立つことを意味します。関数は偶数です。

同様に、関数 y - x 2、y = x 6、y - x 8 が偶数であることが証明できます。

y = x 3 ~ 奇関数であることを証明します。

解決。 f(x) = x 3、f(-x) = (-x) 3 となります。ただし、(-x) 3 = -x 3 です。これは、任意の x に対して f (-x) = -f (x) という等式が成り立つことを意味します。関数が奇数です。

同様に、関数 y = x、y = x 5、y = x 7 が奇数であることが証明できます。

あなたも私も、数学の新しい用語はほとんどの場合「地球的」起源を持つということを何度も確信しています。それらは何らかの方法で説明できます。これは偶数関数と奇数関数の両方に当てはまります。参照: y - x 3、y = x 5、y = x 7 は奇数関数ですが、y = x 2、y = x 4、y = x 6 は偶数関数です。一般に、n が自然数である y = x" という形式の関数 (以下でこれらの関数を具体的に検討します) について、次のように結論付けることができます。 n が奇数の場合、関数 y = x" は次のようになります。奇数; n が偶数の場合、関数 y = xn は偶数になります。

偶数でも奇数でもない関数もあります。たとえば、関数 y = 2x + 3 がこれに該当します。実際、f(1) = 5 および f (-1) = 1 です。ご覧のとおり、ここでは、恒等式 f(-x) = も成立しません。 f ( x)、恒等式 f(-x) = -f(x) もありません。

したがって、関数は偶数、奇数、またはそのどちらでもない可能性があります。

与えられた関数が偶数であるか奇数であるかを調べることは、通常パリティの研究と呼ばれます。

定義 1 と 2 は、点 x と -x における関数の値を指します。これは、関数が点 x と点 -x の両方で定義されていることを前提としています。これは、点 -x が点 x と同時に関数の定義領域に属することを意味します。数値集合 X がその各要素 x とともに反対の要素 -x も含む場合、X は対称集合と呼ばれます。 (-2, 2)、[-5, 5]、(-oo, +oo) は対称セットであるとします。 (∞;∞) は対称セットであり、、 [–5;4] は非対称セットです。

– 偶数関数には対称集合である定義領域がありますか? 奇妙なものですか？
– D(の場合 f) は非対称集合ですが、その関数は何でしょうか?
– したがって、関数がで = f(バツ) – 偶数または奇数の場合、その定義域は D( f) は対称集合です。逆のステートメントは真ですか?: 関数の定義域が対称集合である場合、それは偶数ですか、それとも奇数ですか?
– これは、定義領域の対称セットの存在が必要条件ではあるが、十分条件ではないことを意味します。
– では、関数のパリティを調べるにはどうすればよいでしょうか? アルゴリズムを作成してみましょう。

滑り台

パリティ関数を学習するためのアルゴリズム

1. 関数の定義領域が対称かどうかを判断します。そうでない場合、関数は偶数でも奇数でもありません。「はい」の場合、アルゴリズムのステップ 2 に進みます。

2. 式を書く f(–バツ).

3. 比較する f(–バツ）。そして f(バツ):