Quasi le formule base della teoria della probabilità. Storia dello sviluppo della teoria della probabilità. Cos'è la teoria della probabilità

Sezione 12. Teoria della probabilità.

1. Introduzione

2. I concetti più semplici della teoria della probabilità

3. Algebra degli eventi

4. Probabilità di un evento casuale

5. Probabilità geometriche

6. Probabilità classiche. Formule combinatorie.

7. Probabilità condizionata. Indipendenza dagli eventi.

8. Formula della probabilità totale e formula di Bayes

9. Schema di test ripetuto. Formula di Bernoulli e suoi asintotici

10. Variabili casuali (RV)

11. Serie di distribuzione DSV

12. Funzione di distribuzione cumulativa

13. Funzione di distribuzione del NSV

14. Densità di probabilità del NSV

15. Caratteristiche numeriche delle variabili casuali

16. Esempi di importanti distribuzioni SV

16.1. Distribuzione binomiale del DSV.

16.2. Distribuzione di Poisson

16.3. Distribuzione uniforme del NSV.

16.4. Distribuzione normale.

17. Teoremi limite della teoria della probabilità.

introduzione

La teoria della probabilità, come molte altre discipline matematiche, si è sviluppata dalle esigenze della pratica. Allo stesso tempo, studiando un processo reale, era necessario creare un modello matematico astratto del processo reale. Solitamente si prendono in considerazione le principali e più significative forze motrici di un processo reale, scartando quelle secondarie, che vengono dette casuali. Naturalmente, ciò che è considerato principale e ciò che è secondario è un compito separato. La soluzione a questa domanda determina il livello di astrazione, la semplicità o complessità del modello matematico e il livello di adeguatezza del modello al processo reale. In sostanza, qualsiasi modello astratto è il risultato di due aspirazioni opposte: semplicità e adeguatezza alla realtà.

Ad esempio, nella teoria del tiro, sono state sviluppate formule abbastanza semplici e convenienti per determinare la traiettoria di volo di un proiettile da una pistola situata in un punto (Fig. 1).

In determinate condizioni, la teoria citata è sufficiente, ad esempio, durante la preparazione di massa dell'artiglieria.

Tuttavia, è chiaro che se vengono sparati più colpi da una stessa arma nelle stesse condizioni, le traiettorie saranno, sebbene ravvicinate, comunque diverse. E se la dimensione del target è piccola rispetto all’area di dispersione, allora sorgono domande specifiche legate specificamente all’influenza di fattori non presi in considerazione nel modello proposto. Allo stesso tempo, prendere in considerazione fattori aggiuntivi porterà a un modello eccessivamente complesso che è quasi impossibile da utilizzare. Inoltre, ci sono molti di questi fattori casuali, la cui natura è spesso sconosciuta.

Nell'esempio sopra, domande specifiche che vanno oltre il modello deterministico sono, ad esempio, le seguenti: quanti colpi devono essere sparati per garantire di colpire il bersaglio con una certa certezza (ad esempio, su )? Come dovrebbe essere effettuato l'azzeramento per utilizzare il minor numero di proiettili per colpire il bersaglio? e così via.

Come vedremo più avanti, le parole “casuale” e “probabilità” diventeranno termini matematici rigorosi. Allo stesso tempo, sono molto comuni nel normale discorso colloquiale. Si ritiene che l'aggettivo “casuale” sia l'opposto di “naturale”. Tuttavia non è così, perché la natura è progettata in modo tale che i processi casuali rivelino schemi, ma a determinate condizioni.

La condizione principale è chiamata carattere di massa.

Ad esempio, se lanci una moneta, non puoi prevedere cosa uscirà, uno stemma o un numero, puoi solo indovinare. Tuttavia, se questa moneta viene lanciata un gran numero di volte, la proporzione dello stemma che cade non si discosta molto da un certo numero vicino a 0,5 (in seguito chiameremo questo numero probabilità). Inoltre, con l'aumento del numero di lanci, la deviazione da questo numero diminuirà. Questa proprietà si chiama stabilità indicatori medi (in questo caso - la quota di stemmi). C'è da dire che nei primi passi della teoria della probabilità, quando era necessario verificare nella pratica la presenza della proprietà di stabilità, anche i grandi scienziati non ritenevano difficile effettuare la propria verifica. Così, il famoso esperimento di Buffon, che lanciò una moneta 4040 volte, e lo stemma uscì 2048 volte, quindi la proporzione (o frequenza relativa) dello stemma che viene perso è 0,508, che è vicino al valore intuitivamente numero previsto di 0,5.

Pertanto, di solito viene fornita la definizione l'oggetto della teoria della probabilità come branca della matematica che studia i modelli dei processi casuali di massa.

Va detto che, nonostante le maggiori conquiste della teoria della probabilità risalgano all'inizio del secolo scorso, soprattutto grazie alla costruzione assiomatica della teoria nelle opere di A.N. Kolmogorov (1903-1987), l'interesse per lo studio degli incidenti è apparso molto tempo fa.

Gli interessi iniziali riguardavano il tentativo di applicare un approccio numerico al gioco d'azzardo. I primi risultati piuttosto interessanti della teoria della probabilità sono solitamente associati ai lavori di L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) e N. Tartaglia (1556).

Successivamente, B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695) gettarono le basi della teoria classica della probabilità. All'inizio del XVIII secolo J. Bernoulli (1654-1705) concepì il concetto di probabilità di un evento casuale come rapporto tra il numero di possibilità favorevoli e il numero di tutte quelle possibili. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) costruirono le loro teorie sull'uso del concetto di misura di un insieme.

Il punto di vista della teoria degli insiemi fu presentato nella sua forma più completa nel 1933. UN. Kolmogorov nella sua monografia “Concetti fondamentali della teoria della probabilità”. È da questo momento che la teoria della probabilità diventa una scienza matematica rigorosa.

I matematici russi P.L. hanno dato un grande contributo allo sviluppo della teoria della probabilità. Chebyshev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) e altri.

La teoria della probabilità si sta sviluppando rapidamente al momento attuale.

I concetti più semplici della teoria della probabilità

Come ogni disciplina matematica, la teoria della probabilità inizia con l'introduzione dei concetti più semplici che non vengono definiti, ma solo spiegati.

Uno dei principali concetti primari è esperienza. L'esperienza è intesa come un certo insieme di condizioni che possono essere riprodotte un numero illimitato di volte. Chiameremo ogni implementazione di questo complesso un'esperienza o un test. I risultati dell'esperimento possono essere diversi, ed è qui che appare l'elemento del caso. Vengono chiamati i vari risultati o esiti di un'esperienza eventi(più precisamente, eventi casuali). Pertanto, durante l'attuazione dell'esperimento, potrebbe verificarsi l'uno o l'altro evento. In altre parole, un evento casuale è il risultato di un esperimento che può verificarsi (apparire) o non verificarsi durante l'implementazione dell'esperimento.

L'esperienza sarà indicata con la lettera e gli eventi casuali sono solitamente indicati con lettere maiuscole

Spesso in un esperimento è possibile identificare in anticipo i suoi risultati, che possono essere definiti i più semplici, che non possono essere scomposti in quelli più semplici. Tali eventi sono chiamati eventi elementari(O casi).

Esempio 1. Lascia che la moneta venga lanciata. Gli esiti dell'esperimento sono: la perdita dello stemma (denotiamo questo evento con la lettera); perdita di numeri (indicati con ). Quindi possiamo scrivere: esperienza = (lancio della moneta), risultati: È chiaro che gli eventi elementari in questo esperimento. In altre parole, elencare tutti gli eventi elementari dell'esperienza la descrive completamente. A questo proposito diremo che l'esperienza è lo spazio degli eventi elementari, e nel nostro caso l'esperienza può essere scritta brevemente nella forma: = (lancio della moneta) = (G; C).

Esempio 2. =(la moneta viene lanciata due volte)= Ecco una descrizione verbale dell'esperienza e un elenco di tutti gli eventi elementari: significa che al primo lancio di una moneta è caduto uno stemma, al secondo è caduto anche lo stemma; significa che lo stemma è uscito al primo lancio della moneta, il numero al secondo, ecc.

Esempio 3. Nel sistema di coordinate, i punti vengono gettati in un quadrato. In questo esempio, gli eventi elementari sono punti con coordinate che soddisfano le disuguaglianze date. In breve è scritto così:

I due punti tra parentesi graffe significano che è costituito da punti, ma non da nessuno, ma solo da quelli che soddisfano la condizione (o le condizioni) specificata dopo i due punti (nel nostro esempio, queste sono disuguaglianze).

Esempio 4. La moneta viene lanciata finché non appare il primo stemma. In altre parole, il lancio della moneta continua finché non cade la testa. In questo esempio si possono elencare gli eventi elementari, anche se il loro numero è infinito:

Si noti che negli esempi 3 e 4 lo spazio degli eventi elementari ha un numero infinito di esiti. Nell'esempio 4 possono essere elencati, ad es. ricalcolare. Un tale insieme è detto numerabile. Nell'esempio 3 lo spazio non è numerabile.

Introduciamo altri due eventi che sono presenti in ogni esperienza e che sono di grande significato teorico.

Chiamiamo l'evento impossibile, a meno che, per effetto dell'esperienza, ciò non avvenga necessariamente. Lo denoteremo con il segno dell'insieme vuoto. Al contrario, viene chiamato un evento che sicuramente si verificherà come risultato dell'esperienza affidabile. Un evento affidabile è designato allo stesso modo dello stesso spazio degli eventi elementari: con la lettera .

Ad esempio, quando si lancia un dado, l'evento (meno di 9 punti ottenuti) è affidabile, ma l'evento (esattamente 9 punti ottenuti) è impossibile.

Quindi, lo spazio degli eventi elementari può essere specificato mediante una descrizione verbale, un elenco di tutti i suoi eventi elementari e la fissazione di regole o condizioni secondo le quali tutti i suoi eventi elementari vengono ottenuti.

Algebra degli eventi

Finora abbiamo parlato solo di eventi elementari come risultati diretti dell'esperienza. Tuttavia, nell'ambito dell'esperienza, possiamo parlare di altri eventi casuali, oltre a quelli elementari.

Esempio 5. Nel lancio del dado, oltre agli eventi elementari rispettivamente di uno, due,..., sei, si può parlare di altri eventi: (un numero pari), (un numero dispari), (un multiplo di tre), (un numero inferiore a 4). ) e così via. In questo esempio gli eventi specificati, oltre al compito verbale, possono essere specificati elencando gli eventi elementari:

La formazione di nuovi eventi da elementi elementari, così come da altri eventi, viene effettuata utilizzando operazioni (o azioni) sugli eventi.

Definizione. Il prodotto di due eventi è un evento che consiste nel fatto che come risultato di un esperimento accadrà E evento, E evento, cioè entrambi gli eventi si verificheranno insieme (simultaneamente).

Il segno del prodotto (punto) viene spesso omesso:

Definizione. La somma di due eventi è un evento che consiste nel fatto che accadrà come risultato dell'esperimento O evento, O evento, O entrambi insieme (allo stesso tempo).

In entrambe le definizioni abbiamo deliberatamente enfatizzato le congiunzioni E E O- al fine di attirare l'attenzione del lettore sul tuo discorso durante la risoluzione dei problemi. Se pronunciamo la congiunzione “e”, allora parliamo della produzione di eventi; Se si pronuncia la congiunzione “o” allora gli eventi vanno sommati. Allo stesso tempo, notiamo che la congiunzione “o” nel linguaggio quotidiano è spesso usata nel senso di escludere uno dei due: “solo o solo”. Nella teoria della probabilità, tale eccezione non è presupposta: e , e , e significano il verificarsi di un evento

Se dati enumerando eventi elementari, allora eventi complessi possono essere facilmente ottenuti utilizzando le operazioni specificate. Per ottenerlo bisogna trovare tutti gli eventi elementari che appartengono ad entrambi gli eventi; se non ce ne sono, anche la Somma degli Eventi è facile da comporre: bisogna prendere uno qualsiasi dei due eventi e sommarvi gli eventi elementari da l'altro evento che non è compreso nel primo.

Nell'esempio 5 otteniamo, in particolare

Le operazioni introdotte sono chiamate binarie, perché definito per due eventi. Di grande importanza è la seguente operazione unaria (definita per un singolo evento): l'evento viene chiamato opposto evento se consiste nel fatto che in una data esperienza l'evento non si è verificato. Dalla definizione risulta chiaro che ogni evento ed il suo contrario hanno le seguenti proprietà: Viene chiamata l'operazione introdotta aggiunta eventiA.

Ne consegue che se dato da un elenco di eventi elementari, allora, conoscendo la specificazione dell'evento, è facile ottenere che sia costituito da tutti gli eventi elementari dello spazio che non gli appartengono. In particolare, ad esempio 5 l'evento

Se non ci sono parentesi, viene impostata la seguente priorità nell'esecuzione delle operazioni: addizione, moltiplicazione, addizione.

Quindi, con l'aiuto delle operazioni introdotte, lo spazio degli eventi elementari viene reintegrato con altri eventi casuali che formano i cosiddetti algebra degli eventi.

Esempio 6. Il tiratore ha sparato tre colpi al bersaglio. Consideriamo gli eventi = (il tiratore ha centrato il bersaglio con l'i-esimo colpo), i = 1,2,3.

Componiamo alcuni eventi da questi eventi (non dimentichiamoci di quelli opposti). Non forniamo commenti lunghi; Crediamo che il lettore li condurrà in modo indipendente.

Evento B = (tutti e tre i colpi colpiscono il bersaglio). Maggiori dettagli: B = ( E Primo, E secondo, E il terzo colpo ha colpito il bersaglio). Unione usata E, quindi gli eventi si moltiplicano:

Allo stesso modo:

C = (nessuno dei colpi ha colpito il bersaglio)

E = (un colpo ha raggiunto il bersaglio)

D = (bersaglio colpito al secondo colpo) = ;

F = (bersaglio colpito da due colpi)

N = (almeno un colpo colpirà il bersaglio)

Come è noto, in matematica riveste grande importanza l'interpretazione geometrica di oggetti, concetti e formule analitiche.

Nella teoria della probabilità è conveniente rappresentare visivamente (interpretazione geometrica) l'esperienza, gli eventi casuali e le operazioni su di essi sotto forma dei cosiddetti Diagrammi di Eulero-Venn. L'essenza è che ogni esperienza viene identificata (interpretata) lanciando punti in un determinato quadrato. I punti vengono lanciati in modo casuale, in modo che tutti i punti abbiano la stessa possibilità di atterrare in qualsiasi punto del quadrato. Il quadrato definisce il quadro dell'esperienza in questione. Ogni evento all'interno dell'esperienza si identifica con una determinata zona della piazza. In altre parole, il verificarsi di un evento fa sì che un punto casuale cada all'interno dell'area indicata dalla lettera, quindi le operazioni sugli eventi sono facilmente interpretabili geometricamente (Fig. 2).

UN:

A + B: qualsiasi

schiusa

Nella Fig. 2 a) per chiarezza l'evento A è evidenziato con ombreggiatura verticale, l'evento B con ombreggiatura orizzontale. Quindi l'operazione di moltiplicazione corrisponde a un doppio tratteggio: l'evento corrisponde a quella parte del quadrato coperta da un doppio tratteggio. Inoltre se poi si chiamano eventi incompatibili. Pertanto, all'operazione di addizione corrisponde un qualsiasi tratteggio - per evento si intende una parte del quadrato ombreggiata da un qualsiasi tratteggio - verticale, orizzontale e doppio. In Fig. 2 b) è mostrato l'evento che corrisponde alla parte ombreggiata del quadrato, tutto ciò che non è compreso nell'area. Le operazioni introdotte hanno le seguenti proprietà fondamentali, alcune delle quali valide per operazioni omonime sui numeri, ma ce ne sono anche di specifici.

10 . commutatività della moltiplicazione;

20 . commutatività dell'addizione;

trenta. associatività della moltiplicazione;

4 0 . associatività additiva,

50 . distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione,

6 0 . distributività dell'addizione rispetto alla moltiplicazione;

9 0 . leggi della dualità di de Morgan,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Esempio 7. Ivan e Peter hanno deciso di incontrarsi ad un intervallo di tempo di T ora, ad esempio (0, T). Allo stesso tempo, hanno concordato che ciascuno di loro, venendo all'incontro, avrebbe aspettato l'altro non più di un'ora.

Diamo a questo esempio un'interpretazione geometrica. Indichiamo: l'ora dell'arrivo di Ivan all'incontro; L'orario di arrivo di Peter per la riunione. Come concordato: 0 . Allora nel sistema di coordinate otteniamo: = È facile notare che nel nostro esempio lo spazio degli eventi elementari è un quadrato. 1

0 x corrisponde alla parte del quadrato che si trova sopra questa linea, analogamente alla seconda disuguaglianza y≤x+ e; e non funziona se tutti gli elementi non funzionano, ad es. . Pertanto, la seconda legge della dualità di de Morgan: è implementata quando gli elementi sono collegati in parallelo.

L'esempio sopra mostra perché la teoria della probabilità è ampiamente utilizzata in fisica, in particolare nel calcolo dell'affidabilità di dispositivi tecnici reali.

“Gli incidenti non sono casuali”… Sembra una frase di un filosofo, ma in realtà lo studio della casualità è il destino della grande scienza della matematica. In matematica il caso è trattato dalla teoria della probabilità. Formule ed esempi di compiti, nonché le definizioni di base di questa scienza saranno presentati nell'articolo.

Cos'è la teoria della probabilità?

La teoria della probabilità è una delle discipline matematiche che studia gli eventi casuali.

Per renderlo un po' più chiaro, facciamo un piccolo esempio: se lanci una moneta, questa può cadere su testa o croce. Mentre la moneta è in aria, entrambe queste probabilità sono possibili. Cioè, la probabilità di possibili conseguenze è 1:1. Se ne viene estratta una da un mazzo di 36 carte, la probabilità sarà indicata come 1:36. Sembrerebbe che qui non ci sia nulla da esplorare e prevedere, soprattutto con l'aiuto di formule matematiche. Tuttavia, se ripeti una determinata azione molte volte, puoi identificare un determinato schema e, in base ad esso, prevedere l'esito degli eventi in altre condizioni.

Per riassumere tutto quanto sopra, la teoria della probabilità in senso classico studia la possibilità che si verifichi uno dei possibili eventi in un valore numerico.

Dalle pagine della storia

La teoria della probabilità, le formule e gli esempi dei primi compiti apparvero nel lontano Medioevo, quando sorsero i primi tentativi di prevedere l'esito dei giochi di carte.

Inizialmente, la teoria della probabilità non aveva nulla a che fare con la matematica. Era giustificato da fatti empirici o proprietà di un evento che poteva essere riprodotto nella pratica. I primi lavori in quest'area come disciplina matematica apparvero nel XVII secolo. I fondatori furono Blaise Pascal e Pierre Fermat. Hanno studiato a lungo il gioco d'azzardo e hanno visto alcuni schemi, di cui hanno deciso di parlare al pubblico.

La stessa tecnica fu inventata da Christiaan Huygens, sebbene non avesse familiarità con i risultati delle ricerche di Pascal e Fermat. Da lui furono introdotti il ​​concetto di “teoria della probabilità”, formule ed esempi considerati i primi nella storia della disciplina.

Di non poca importanza sono anche i lavori di Jacob Bernoulli, i teoremi di Laplace e di Poisson. Hanno reso la teoria della probabilità più simile a una disciplina matematica. La teoria della probabilità, le formule e gli esempi dei compiti fondamentali hanno ricevuto la loro forma attuale grazie agli assiomi di Kolmogorov. Come risultato di tutti i cambiamenti, la teoria della probabilità divenne uno dei rami della matematica.

Concetti di base della teoria della probabilità. Eventi

Il concetto principale di questa disciplina è “evento”. Esistono tre tipologie di eventi:

• Affidabile. Quelle che accadranno comunque (la moneta cadrà).
• Impossibile. Eventi che non accadranno in nessun caso (la moneta resterà sospesa in aria).
• Casuale. Quelli che accadranno o non accadranno. Possono essere influenzati da vari fattori che sono molto difficili da prevedere. Se parliamo di una moneta, allora ci sono fattori casuali che possono influenzare il risultato: le caratteristiche fisiche della moneta, la sua forma, la sua posizione originale, la forza del lancio, ecc.

Tutti gli eventi negli esempi sono indicati in lettere latine maiuscole, ad eccezione della P, che ha un ruolo diverso. Per esempio:

• A = “gli studenti sono venuti a lezione”.
• Ā = “gli studenti non sono venuti alla lezione”.

Nei compiti pratici, gli eventi vengono solitamente scritti in parole.

Una delle caratteristiche più importanti degli eventi è la loro pari possibilità. Cioè, se lanci una moneta, tutte le varianti della caduta iniziale sono possibili finché non cade. Ma anche gli eventi non sono ugualmente possibili. Ciò accade quando qualcuno influenza deliberatamente un risultato. Ad esempio, carte da gioco o dadi “segnati”, in cui il baricentro viene spostato.

Gli eventi possono anche essere compatibili e incompatibili. Gli eventi compatibili non si escludono a vicenda. Per esempio:

• A = “lo studente è venuto alla lezione”.
• B = “lo studente è venuto a lezione”.

Questi eventi sono indipendenti l'uno dall'altro e il verificarsi di uno di essi non influisce sul verificarsi dell'altro. Gli eventi incompatibili sono definiti dal fatto che il verificarsi di uno esclude il verificarsi di un altro. Se parliamo della stessa moneta, la perdita di "croce" rende impossibile la comparsa di "teste" nello stesso esperimento.

Azioni sugli eventi

Gli eventi possono essere moltiplicati e sommati; di conseguenza nella disciplina vengono introdotti i connettivi logici “AND” e “OR”.

L'importo è determinato dal fatto che l'evento A o B, o due, possono verificarsi contemporaneamente. Se sono incompatibili, l’ultima opzione è impossibile; verrà lanciato A o B.

La moltiplicazione degli eventi consiste nella comparsa contemporanea di A e B.

Ora possiamo fare diversi esempi per ricordare meglio le nozioni di base, la teoria della probabilità e le formule. Esempi di risoluzione dei problemi di seguito.

Esercizio 1: L'impresa partecipa ad un concorso per aggiudicarsi appalti per tre tipologie di lavori. Possibili eventi che potrebbero verificarsi:

• A = “l’impresa riceverà il primo contratto”.
• A 1 = “l’impresa non riceverà il primo contratto”.
• B = “l’impresa riceverà un secondo contratto”.
• B 1 = “l’impresa non riceverà un secondo contratto”
• C = “l’impresa riceverà un terzo contratto”.
• C 1 = “l’impresa non riceverà un terzo contratto”.

Utilizzando le azioni sugli eventi, proveremo a esprimere le seguenti situazioni:

• K = “l’azienda riceverà tutti i contratti”.

In forma matematica, l'equazione avrà la seguente forma: K = ABC.

• M = “l’azienda non riceverà un solo contratto”.

M = UN1B1C1.

Complichiamo il compito: H = “l’azienda riceverà un contratto”. Poiché non è noto quale contratto riceverà l’impresa (primo, secondo o terzo), è necessario registrare tutta la serie di eventi possibili:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

E 1 BC 1 è una serie di eventi in cui l'impresa non riceve il primo e il terzo contratto, ma riceve il secondo. Altri possibili eventi sono stati registrati utilizzando la metodologia appropriata. Il simbolo υ nella disciplina denota il connettivo “OR”. Se traduciamo l'esempio sopra in linguaggio umano, l'azienda riceverà il terzo contratto, oppure il secondo, oppure il primo. In modo simile potete annotare altre condizioni nella disciplina “Teoria della probabilità”. Le formule e gli esempi di risoluzione dei problemi presentati sopra ti aiuteranno a farlo da solo.

Anzi, la probabilità

Forse, in questa disciplina matematica, la probabilità di un evento è il concetto centrale. Esistono 3 definizioni di probabilità:

• classico;
• statistico;
• geometrico.

Ciascuno ha il suo posto nello studio della probabilità. Teoria della probabilità, formule ed esempi (9° grado) utilizzano principalmente la definizione classica, che suona così:

• La probabilità della situazione A è uguale al rapporto tra il numero di risultati che favoriscono il suo verificarsi e il numero di tutti i possibili risultati.

La formula è questa: P(A)=m/n.

A è in realtà un evento. Se appare un caso opposto ad A, può essere scritto come  o A 1 .

m è il numero di possibili casi favorevoli.

n - tutti gli eventi che possono accadere.

Ad esempio, A = “pesca una carta del seme di cuore”. Ci sono 36 carte in un mazzo standard, 9 delle quali sono di cuori. Di conseguenza, la formula per risolvere il problema sarà simile a:

P(A)=9/36=0,25.

Di conseguenza, la probabilità che una carta del seme di cuore venga estratta dal mazzo sarà 0,25.

Verso la matematica superiore

Ora è diventato poco noto quale sia la teoria della probabilità, formule ed esempi di risoluzione dei problemi che si incontrano nel curriculum scolastico. Tuttavia, la teoria della probabilità si trova anche nella matematica superiore, che viene insegnata nelle università. Molto spesso operano con definizioni geometriche e statistiche della teoria e formule complesse.

La teoria della probabilità è molto interessante. È meglio iniziare a studiare formule ed esempi (matematica superiore) in piccolo - con la definizione statistica (o frequenza) di probabilità.

L’approccio statistico non contraddice quello classico, ma lo amplia leggermente. Se nel primo caso era necessario determinare con quale probabilità si verificherà un evento, in questo metodo è necessario indicare quanto spesso si verificherà. Qui viene introdotto un nuovo concetto di “frequenza relativa”, che può essere denotato con W n (A). La formula non è diversa da quella classica:

Se per la previsione viene calcolata la formula classica, quella statistica viene calcolata in base ai risultati dell'esperimento. Prendiamo ad esempio un piccolo compito.

Il reparto di controllo tecnologico controlla la qualità dei prodotti. Su 100 prodotti, 3 sono risultati di scarsa qualità. Come trovare la probabilità di frequenza di un prodotto di qualità?

A = “l’aspetto di un prodotto di qualità”.

Wn(A)=97/100=0,97

Pertanto, la frequenza di un prodotto di qualità è 0,97. Da dove hai preso 97? Su 100 prodotti controllati, 3 sono risultati di scarsa qualità. Sottraiamo 3 da 100 e otteniamo 97, questa è la quantità di beni di qualità.

Un po' di combinatoria

Un altro metodo della teoria della probabilità è chiamato combinatoria. Il suo principio di base è che se una certa scelta A può essere fatta in m modi diversi, e una scelta B può essere fatta in n modi diversi, allora la scelta di A e B può essere fatta mediante moltiplicazione.

Ad esempio, ci sono 5 strade che portano dalla città A alla città B. Ci sono 4 percorsi dalla città B alla città C. In quanti modi è possibile andare dalla città A alla città C?

È semplice: 5x4=20, cioè in venti modi diversi puoi andare dal punto A al punto C.

Complichiamo il compito. Quanti modi ci sono per disporre le carte in solitario? Ci sono 36 carte nel mazzo: questo è il punto di partenza. Per scoprire il numero di percorsi è necessario “sottrarre” una carta alla volta dal punto di partenza e moltiplicare.

Cioè, 36x35x34x33x32...x2x1= il risultato non entra nello schermo della calcolatrice, quindi può essere semplicemente designato 36!. Cartello "!" accanto al numero indica che l'intera serie di numeri viene moltiplicata insieme.

In combinatoria ci sono concetti come permutazione, posizionamento e combinazione. Ognuno di loro ha la sua formula.

Un insieme ordinato di elementi di un insieme è detto disposizione. I posizionamenti possono essere ripetuti, ovvero un elemento può essere utilizzato più volte. E senza ripetizione, quando gli elementi non si ripetono. n sono tutti gli elementi, m sono gli elementi che partecipano al posizionamento. La formula per il posizionamento senza ripetizione sarà simile a:

Anm =n!/(nm)!

Le connessioni di n elementi che differiscono solo nell'ordine di posizionamento si chiamano permutazioni. In matematica sembra: P n = n!

Le combinazioni di n elementi di m sono quei composti in cui è importante quali elementi fossero e quale sia il loro numero totale. La formula sarà simile a:

A n m = n!/m!(n-m)!

La formula di Bernoulli

Nella teoria della probabilità, come in ogni disciplina, ci sono lavori di ricercatori eccezionali nel loro campo che l'hanno portata a un nuovo livello. Uno di questi lavori è la formula di Bernoulli, che consente di determinare la probabilità che un determinato evento si verifichi in condizioni indipendenti. Ciò suggerisce che il verificarsi di A in un esperimento non dipende dal verificarsi o meno dello stesso evento in prove precedenti o successive.

Equazione di Bernoulli:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

La probabilità (p) del verificarsi dell'evento (A) è costante per ciascuna prova. La probabilità che la situazione si verifichi esattamente m volte in n numero di esperimenti sarà calcolata con la formula presentata sopra. Di conseguenza, sorge la domanda su come scoprire il numero q.

Se l'evento A si verifica p numero di volte, di conseguenza, potrebbe non verificarsi. L'unità è un numero utilizzato per designare tutti i risultati di una situazione in una disciplina. Pertanto, q è un numero che denota la possibilità che un evento non si verifichi.

Ora conosci la formula di Bernoulli (teoria della probabilità). Considereremo di seguito esempi di risoluzione dei problemi (primo livello).

Compito 2: Un visitatore del negozio effettuerà un acquisto con probabilità 0,2. 6 visitatori sono entrati in modo indipendente nel negozio. Qual è la probabilità che un visitatore effettui un acquisto?

Soluzione: poiché non è noto quanti visitatori dovrebbero effettuare un acquisto, uno o tutti e sei, è necessario calcolare tutte le probabilità possibili utilizzando la formula di Bernoulli.

A = “il visitatore effettuerà un acquisto”.

In questo caso: p = 0,2 (come indicato nel compito). Di conseguenza, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (poiché ci sono 6 clienti nel negozio). Il numero m varierà da 0 (nessun singolo cliente effettuerà un acquisto) a 6 (tutti i visitatori del negozio acquisteranno qualcosa). Di conseguenza, otteniamo la soluzione:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nessuno degli acquirenti effettuerà un acquisto con probabilità 0,2621.

In quale altro modo viene utilizzata la formula di Bernoulli (teoria della probabilità)? Esempi di risoluzione dei problemi (secondo livello) di seguito.

Dopo l'esempio sopra, sorgono domande su dove sono finiti C e r. Rispetto a p, un numero elevato a 0 sarà uguale a uno. Per quanto riguarda C, può essere trovato con la formula:

Cnm = n! /m!(nm)!

Poiché nel primo esempio m = 0, rispettivamente, C = 1, il che in linea di principio non influisce sul risultato. Utilizzando la nuova formula, proviamo a scoprire qual è la probabilità che due visitatori acquistino beni.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

La teoria della probabilità non è così complicata. La formula di Bernoulli, di cui sopra sono presentati esempi, ne è una prova diretta.

La formula di Poisson

L'equazione di Poisson viene utilizzata per calcolare situazioni casuali a bassa probabilità.

Formula di base:

Pn(m)=λm/m! × e (-λ) .

In questo caso λ = n x p. Ecco una semplice formula di Poisson (teoria della probabilità). Considereremo esempi di risoluzione dei problemi di seguito.

Compito 3: La fabbrica ha prodotto 100.000 parti. Presenza di una parte difettosa = 0,0001. Qual è la probabilità che ci siano 5 parti difettose in un lotto?

Come puoi vedere, il matrimonio è un evento improbabile e quindi per il calcolo viene utilizzata la formula di Poisson (teoria della probabilità). Esempi di risoluzione di problemi di questo tipo non sono diversi da altri compiti della disciplina; sostituiamo i dati necessari nella formula data:

A = “una parte selezionata a caso sarà difettosa”.

p = 0,0001 (in base alle condizioni del compito).

n = 100000 (numero di parti).

m = 5 (parti difettose). Sostituiamo i dati nella formula e otteniamo:

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Proprio come la formula di Bernoulli (teoria della probabilità), di cui sopra sono scritti esempi di soluzioni, l'equazione di Poisson ha un'incognita e, infatti può essere trovata con la formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Tuttavia, esistono tabelle speciali che contengono quasi tutti i valori di e.

Teorema di De Moivre-Laplace

Se nello schema Bernoulli il numero di prove è sufficientemente grande, e la probabilità che si verifichi l’evento A in tutti gli schemi è la stessa, allora la probabilità che l’evento A si verifichi un certo numero di volte in una serie di prove può essere trovata da Formula di Laplace:

Ð n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Per ricordare meglio la formula di Laplace (teoria della probabilità), di seguito sono riportati esempi di problemi per aiutare.

Per prima cosa troviamo X m, sostituiamo i dati (sono tutti elencati sopra) nella formula e otteniamo 0,025. Utilizzando le tabelle, troviamo il numero ϕ(0,025), il cui valore è 0,3988. Ora puoi sostituire tutti i dati nella formula:

P800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Pertanto, la probabilità che il volantino funzioni esattamente 267 volte è 0,03.

Formula di Bayes

La formula di Bayes (teoria della probabilità), esempi di risoluzione dei problemi con l'aiuto dei quali verranno forniti di seguito, è un'equazione che descrive la probabilità di un evento in base alle circostanze che potrebbero essere associate ad esso. La formula di base è la seguente:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A e B sono eventi definiti.

P(A|B) è una probabilità condizionata, ovvero l'evento A può verificarsi a condizione che l'evento B sia vero.

P (B|A) - probabilità condizionata dell'evento B.

Quindi, la parte finale del breve corso "Teoria della probabilità" è la formula di Bayes, esempi di soluzioni ai problemi con i quali sono riportati di seguito.

Compito 5: Sono stati portati al magazzino i telefoni di tre società. Allo stesso tempo, la quota di telefoni prodotti nel primo stabilimento è del 25%, nel secondo - 60%, nel terzo - 15%. È anche noto che la percentuale media di prodotti difettosi nel primo stabilimento è del 2%, nel secondo del 4% e nel terzo dell'1%. Devi trovare la probabilità che un telefono selezionato a caso sia difettoso.

A = "telefono scelto a caso".

B 1 - il telefono prodotto dalla prima fabbrica. Di conseguenza, appariranno le introduzioni B 2 e B 3 (per la seconda e la terza fabbrica).

Di conseguenza otteniamo:

P(B1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - quindi abbiamo trovato la probabilità di ciascuna opzione.

Ora devi trovare le probabilità condizionali dell'evento desiderato, ovvero la probabilità di prodotti difettosi nelle aziende:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P(A/B3) = 0,01.

Ora sostituiamo i dati nella formula di Bayes e otteniamo:

P(A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

L'articolo presenta la teoria della probabilità, formule ed esempi di problem solving, ma questa è solo la punta dell'iceberg di una vasta disciplina. E dopo tutto quello che è stato scritto, sarà logico chiedersi se la teoria della probabilità sia necessaria nella vita. È difficile rispondere per una persona comune; è meglio chiedere a qualcuno che lo ha utilizzato per vincere il jackpot più di una volta.

La teoria della probabilità è una branca della matematica che studia gli schemi dei fenomeni casuali: eventi casuali, variabili casuali, le loro proprietà e operazioni su di essi.

Per molto tempo la teoria della probabilità non ha avuto una definizione chiara. Fu formulato solo nel 1929. L'emergere della teoria della probabilità come scienza risale al Medioevo e ai primi tentativi di analisi matematica del gioco d'azzardo (fiocco, dado, roulette). I matematici francesi del XVII secolo Blaise Pascal e Pierre Fermat, mentre studiavano la previsione delle vincite nel gioco d'azzardo, scoprirono i primi schemi probabilistici che si presentano quando si lanciano i dadi.

La teoria della probabilità è nata come scienza dalla convinzione che eventi casuali di massa si basino su determinati schemi. La teoria della probabilità studia questi modelli.

La teoria della probabilità si occupa dello studio di eventi il ​​cui verificarsi non è noto con certezza. Permette di giudicare il grado di probabilità del verificarsi di alcuni eventi rispetto ad altri.

Ad esempio: è impossibile determinare inequivocabilmente il risultato di “testa” o “croce” come risultato del lancio di una moneta, ma con lanci ripetuti appare approssimativamente lo stesso numero di “testa” e “croce”, il che significa che il la probabilità che cada “testa” o “croce” è pari al 50%.

Test in questo caso si chiama l'implementazione di un certo insieme di condizioni, ovvero, in questo caso, il lancio di una moneta. La sfida può essere giocata un numero illimitato di volte. In questo caso, l'insieme delle condizioni include fattori casuali.

Il risultato del test è evento. L'evento accade:

1. Affidabile (si verifica sempre a seguito di test).
2. Impossibile (non succede mai).
3. Casuale (può o meno verificarsi come risultato del test).

Ad esempio, quando si lancia una moneta, un evento impossibile - la moneta si fermerà sul bordo, un evento casuale - la comparsa di "testa" o "croce". Viene chiamato il risultato del test specifico evento elementare. Come risultato del test si verificano solo eventi elementari. Viene chiamato l'insieme di tutti i possibili, diversi, specifici risultati del test spazio degli eventi elementari.

Concetti base della teoria

Probabilità- il grado di possibilità del verificarsi di un evento. Quando le ragioni per cui un possibile evento si verifica effettivamente superano le ragioni opposte, allora questo evento è chiamato probabile, altrimenti improbabile o improbabile.

Valore casuale- questa è una quantità che, a seguito del test, può assumere l'uno o l'altro valore, e non si sa in anticipo quale. Ad esempio: numero per stazione dei vigili del fuoco al giorno, numero di colpi con 10 colpi, ecc.

Le variabili casuali possono essere divise in due categorie.

1. Variabile casuale discretaè una quantità che, a seguito di prove, può assumere determinati valori con una certa probabilità, formando un insieme numerabile (un insieme i cui elementi possono essere numerati). Questo insieme può essere finito o infinito. Ad esempio, il numero di colpi prima del primo colpo sul bersaglio è una variabile casuale discreta, perché questa quantità può assumere un numero infinito, anche se numerabile, di valori.
2. Variabile casuale continuaè una quantità che può assumere qualsiasi valore in un intervallo finito o infinito. Ovviamente il numero di possibili valori di una variabile casuale continua è infinito.

Spazio di probabilità- concetto introdotto da A.N. Kolmogorov negli anni '30 del XX secolo per formalizzare il concetto di probabilità, che diede origine al rapido sviluppo della teoria della probabilità come rigorosa disciplina matematica.

Uno spazio di probabilità è una tripla (a volte racchiusa tra parentesi angolari: , dove

Si tratta di un insieme arbitrario, i cui elementi sono chiamati eventi elementari, risultati o punti;
- sigma algebra di sottoinsiemi detti eventi (casuali);
- misura di probabilità o probabilità, cioè misura finita sigma-additiva tale che .

Teorema di De Moivre-Laplace- uno dei teoremi limite della teoria della probabilità, stabilito da Laplace nel 1812. Afferma che il numero di successi quando si ripete più e più volte lo stesso esperimento casuale con due possibili risultati è distribuito approssimativamente normalmente. Ti permette di trovare un valore di probabilità approssimativo.

Se per ciascuna delle prove indipendenti la probabilità che si verifichi un evento casuale è uguale a () ed è il numero di prove in cui effettivamente si verifica, allora la probabilità che la disuguaglianza sia vera è vicina (per valori grandi) a valore dell'integrale di Laplace.

Funzione di distribuzione nella teoria della probabilità- una funzione che caratterizza la distribuzione di una variabile casuale o di un vettore casuale; la probabilità che una variabile casuale X assuma un valore inferiore o uguale a x, dove x è un numero reale arbitrario. Se vengono soddisfatte le condizioni note, determina completamente la variabile casuale.

Valore atteso- il valore medio di una variabile casuale (questa è la distribuzione di probabilità di una variabile casuale, considerata nella teoria della probabilità). Nella letteratura in lingua inglese è indicato con , in russo - . Nelle statistiche viene spesso utilizzata la notazione.

Sia dato uno spazio di probabilità e una variabile casuale definita su di esso. Questa è, per definizione, una funzione misurabile. Quindi, se esiste un integrale di Lebesgue sullo spazio, allora viene chiamato aspettativa matematica, o valore medio, ed è indicato con .

Varianza di una variabile casuale- una misura della diffusione di una determinata variabile casuale, ovvero la sua deviazione dall'aspettativa matematica. È designato nella letteratura russa e straniera. Nelle statistiche viene spesso utilizzata la notazione o . La radice quadrata della varianza è chiamata deviazione standard, deviazione standard o spread standard.

Sia una variabile casuale definita su uno spazio di probabilità. Poi

dove il simbolo indica l'aspettativa matematica.

Nella teoria della probabilità vengono chiamati due eventi casuali indipendente, se il verificarsi di uno di essi non modifica la probabilità del verificarsi dell'altro. Allo stesso modo, vengono chiamate due variabili casuali dipendente, se il valore di uno di essi influenza la probabilità dei valori dell'altro.

La forma più semplice della legge dei grandi numeri è il teorema di Bernoulli, che afferma che se la probabilità di un evento è la stessa in tutte le prove, allora all'aumentare del numero di prove, la frequenza dell'evento tende alla probabilità dell'evento e cessa di essere casuale.

La legge dei grandi numeri nella teoria della probabilità afferma che la media aritmetica di un campione finito di una distribuzione fissa è vicina alla media teorica di quella distribuzione. A seconda del tipo di convergenza si distingue tra legge debole dei grandi numeri, quando la convergenza avviene per probabilità, e legge forte dei grandi numeri, quando la convergenza è quasi certa.

Il significato generale della legge dei grandi numeri è che l'azione congiunta di un gran numero di fattori casuali identici e indipendenti porta a un risultato che, al limite, non dipende dal caso.

I metodi per stimare la probabilità basati sull'analisi di campioni finiti si basano su questa proprietà. Un chiaro esempio è la previsione dei risultati elettorali basata su un sondaggio su un campione di elettori.

Teoremi del limite centrale- una classe di teoremi di teoria della probabilità che afferma che la somma di un numero sufficientemente grande di variabili casuali debolmente dipendenti che hanno approssimativamente le stesse scale (nessuno dei termini domina o fornisce un contributo determinante alla somma) ha una distribuzione vicina alla normale.

Poiché molte variabili casuali nelle applicazioni si formano sotto l'influenza di diversi fattori casuali debolmente dipendenti, la loro distribuzione è considerata normale. In questo caso deve essere soddisfatta la condizione che nessuno dei fattori sia dominante. I teoremi limite centrale in questi casi giustificano l'uso della distribuzione normale.

Alcuni programmatori, dopo aver lavorato nel campo dello sviluppo di normali applicazioni commerciali, pensano di padroneggiare l'apprendimento automatico e diventare analisti di dati. Spesso non capiscono perché certi metodi funzionano e la maggior parte dei metodi di apprendimento automatico sembrano magici. In effetti, l’apprendimento automatico si basa sulla statistica matematica, che a sua volta si basa sulla teoria della probabilità. Pertanto, in questo articolo presteremo attenzione ai concetti di base della teoria della probabilità: toccheremo le definizioni di probabilità, distribuzione e analizzeremo alcuni semplici esempi.

Forse sai che la teoria della probabilità è convenzionalmente divisa in 2 parti. La teoria della probabilità discreta studia i fenomeni che possono essere descritti da una distribuzione con un numero finito (o numerabile) di possibili opzioni di comportamento (lancio di dadi, monete). La teoria della probabilità continua studia i fenomeni distribuiti su un insieme denso, ad esempio su un segmento o in un cerchio.

Possiamo considerare l'argomento della teoria della probabilità utilizzando un semplice esempio. Immagina di essere uno sviluppatore di sparatutto. Parte integrante dello sviluppo di giochi di questo genere sono le meccaniche di tiro. È chiaro che uno sparatutto in cui tutte le armi sparano in modo assolutamente preciso sarà di scarso interesse per i giocatori. Pertanto, è imperativo aggiungere diffusione alla tua arma. Ma la semplice randomizzazione dei punti di impatto delle armi non consentirà una regolazione precisa, quindi regolare il bilanciamento del gioco sarà difficile. Allo stesso tempo, utilizzando variabili casuali e le loro distribuzioni è possibile analizzare come si comporterà un'arma con una determinata diffusione e aiutare ad apportare le modifiche necessarie.

Spazio dei risultati elementari

Diciamo che da qualche esperimento casuale che possiamo ripetere più volte (ad esempio, lanciare una moneta), possiamo estrarre alcune informazioni formalizzate (è uscito testa o croce). Questa informazione è chiamata risultato elementare ed è utile considerare l'insieme di tutti i risultati elementari, spesso indicati con la lettera Ω (Omega).

La struttura di questo spazio dipende interamente dalla natura dell'esperimento. Ad esempio, se consideriamo di sparare ad un bersaglio circolare sufficientemente grande, lo spazio degli esiti elementari sarà un cerchio, per comodità, posto con il centro a zero, e l'esito sarà un punto in questo cerchio.

Inoltre, vengono considerati insiemi di risultati elementari: eventi (ad esempio, raggiungere i primi dieci è un cerchio concentrico di piccolo raggio con un bersaglio). Nel caso discreto tutto è abbastanza semplice: possiamo ottenere qualsiasi evento, inclusi o esclusi risultati elementari in un tempo finito. Nel caso continuo, tutto è molto più complicato: abbiamo bisogno di una famiglia di insiemi abbastanza buona da considerare, chiamata algebra per analogia con i numeri reali semplici che possono essere aggiunti, sottratti, divisi e moltiplicati. Gli insiemi in algebra possono essere intersecati e combinati e il risultato dell'operazione sarà nell'algebra. Questa è una proprietà molto importante per la matematica che sta dietro a tutti questi concetti. Una famiglia minima è composta solo da due insiemi: l’insieme vuoto e lo spazio dei risultati elementari.

Misura e probabilità

La probabilità è un modo per fare inferenze sul comportamento di oggetti molto complessi senza capire come funzionano. Pertanto, la probabilità è definita come una funzione di un evento (da quell'ottima famiglia di insiemi) che restituisce un numero, una caratteristica della frequenza con cui un tale evento può verificarsi nella realtà. A dire il vero, i matematici concordavano sul fatto che questo numero dovesse essere compreso tra zero e uno. Inoltre, questa funzione ha dei requisiti: la probabilità di un evento impossibile è zero, la probabilità dell'intero insieme di risultati è unitaria e la probabilità di combinare due eventi indipendenti (insiemi disgiunti) è uguale alla somma delle probabilità. Un altro nome per probabilità è una misura di probabilità. Molto spesso viene utilizzata la misura di Lebesgue, che generalizza i concetti di lunghezza, area, volume a qualsiasi dimensione (volume n-dimensionale), ed è quindi applicabile a un'ampia classe di insiemi.

Insieme, viene chiamata la raccolta di un insieme di risultati elementari, una famiglia di insiemi e una misura di probabilità spazio di probabilità. Consideriamo come possiamo costruire uno spazio di probabilità per l'esempio del tiro a un bersaglio.

Considera l'idea di sparare a un grande bersaglio rotondo di raggio R, che è impossibile mancare. Con un insieme di eventi elementari definiamo una circonferenza con centro nell'origine delle coordinate di raggio R. Poiché utilizzeremo l'area (la misura di Lebesgue per gli insiemi bidimensionali) per descrivere la probabilità di un evento, utilizzeremo una famiglia di insiemi misurabili (per i quali esiste questa misura).

Nota In realtà questo è un punto tecnico e nei problemi semplici il processo di determinazione di una misura e di una famiglia di insiemi non gioca un ruolo speciale. Ma è necessario capire che questi due oggetti esistono, perché in molti libri sulla teoria della probabilità i teoremi iniziano con le parole: “ Sia (Ω,Σ,P) uno spazio di probabilità...».

Come accennato in precedenza, la probabilità dell'intero spazio dei risultati elementari deve essere uguale a uno. L'area (misura bidimensionale di Lebesgue, che denotiamo λ 2 (A), dove A è un evento) di un cerchio, secondo una formula nota a scuola, è uguale a π *R 2. Quindi possiamo introdurre la probabilità P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2), e questo valore sarà già compreso tra 0 e 1 per qualsiasi evento A.

Se assumiamo che colpire un punto qualsiasi del bersaglio sia ugualmente probabile, la ricerca della probabilità che un tiratore colpisca una zona del bersaglio si riduce a trovare l'area di questo insieme (da qui possiamo concludere che la probabilità di colpire un punto specifico è zero, perché l'area del punto è zero).

Ad esempio, vogliamo scoprire qual è la probabilità che il tiratore raggiunga i primi dieci (evento A - il tiratore centra il set desiderato). Nel nostro modello il “dieci” è rappresentato da un cerchio con centro zero e raggio r. Allora la probabilità di entrare in questo circolo è P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2.

Questo è uno dei tipi più semplici di problemi di "probabilità geometrica": la maggior parte di questi problemi richiede la ricerca di un'area.

Variabili casuali

Una variabile casuale è una funzione che converte i risultati elementari in numeri reali. Ad esempio, nel problema considerato, possiamo introdurre una variabile casuale ρ(ω) - la distanza dal punto di impatto al centro del bersaglio. La semplicità del nostro modello ci permette di definire esplicitamente lo spazio dei risultati elementari: Ω = (ω = (x,y) numeri tali che x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Allora la variabile casuale ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Mezzi di astrazione dallo spazio probabilistico. Funzione di distribuzione e densità

Va bene quando la struttura dello spazio è ben nota, ma in realtà non è sempre così. Anche se la struttura di uno spazio è nota, può essere complessa. Per descrivere variabili casuali la cui espressione non è nota, esiste il concetto di funzione di distribuzione, che si indica con F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

La funzione di distribuzione ha diverse proprietà:

1. Innanzitutto è compreso tra 0 e 1.
2. In secondo luogo, non diminuisce quando aumenta il suo argomento x.
3. In terzo luogo, quando il numero -x è molto grande, la funzione di distribuzione è vicina a 0, e quando x stesso è grande, la funzione di distribuzione è vicina a 1.

Probabilmente, il significato di questa costruzione non è molto chiaro alla prima lettura. Una proprietà utile è che la funzione di distribuzione consente di cercare la probabilità che un valore assuma un valore da un intervallo. Quindi, P (la variabile casuale ξ prende valori dall'intervallo) = F ξ (b)-F ξ (a). Sulla base di questa uguaglianza, possiamo studiare come cambia questo valore se i confini a e b dell'intervallo sono vicini.

Sia d = b-a , quindi b = a+d . E quindi F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Per piccoli valori di d, anche la differenza di cui sopra è piccola (se la distribuzione è continua). Ha senso considerare il rapporto p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d. Se, per valori sufficientemente piccoli di d, questo rapporto differisce poco da una costante p ξ (a), indipendente da d, allora a questo punto la variabile casuale ha una densità pari a p ξ (a).

Nota I lettori che hanno già incontrato il concetto di derivata potranno notare che p ξ (a) è la derivata della funzione F ξ (x) al punto a. In ogni caso, puoi studiare il concetto di derivato in un articolo su questo argomento sul sito Mathprofi.

Ora il significato della funzione di distribuzione può essere definito come segue: la sua derivata (densità p ξ, che abbiamo definito sopra) nel punto a descrive quanto spesso una variabile casuale cadrà in un piccolo intervallo centrato nel punto a (l'intorno del punto a ) rispetto agli intorni di altri punti . In altre parole, più velocemente cresce la funzione di distribuzione, più è probabile che tale valore appaia in un esperimento casuale.

Torniamo all'esempio. Possiamo calcolare la funzione di distribuzione per la variabile casuale, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , che denota la distanza dal centro al punto colpito casuale sul bersaglio. Per definizione, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Possiamo trovare la densità p ρ di questa variabile casuale. Notiamo subito che fuori dall'intervallo è zero, perché la funzione di distribuzione su questo intervallo rimane invariata. Al termine di questo intervallo la densità non è determinata. All'interno dell'intervallo può essere trovato utilizzando una tabella delle derivate (ad esempio, dal sito Mathprofi) e regole elementari di differenziazione. La derivata di t 2 /R 2 è pari a 2t/R 2. Ciò significa che abbiamo trovato la densità sull'intero asse dei numeri reali.

Un'altra proprietà utile della densità è la probabilità che una funzione assuma un valore da un intervallo, che viene calcolata utilizzando l'integrale di densità su questo intervallo (puoi scoprire di cosa si tratta negli articoli sugli integrali propri, impropri e indefiniti sul Mathprofi sito web).

In prima lettura, l’integrale su un intervallo della funzione f(x) può essere pensato come l’area di un trapezio curvo. I suoi lati sono un frammento dell'asse del Bue, uno spazio vuoto (asse delle coordinate orizzontali), segmenti verticali che collegano i punti (a,f(a)), (b,f(b)) sulla curva con i punti (a,0), (b,0 ) sull'asse del Bue. L'ultimo lato è un frammento del grafico della funzione f da (a,f(a)) a (b,f(b)) . Possiamo parlare dell'integrale sull'intervallo (-∞; b], quando per valori negativi sufficientemente grandi, a, il valore dell'integrale sull'intervallo cambierà in modo trascurabile rispetto alla variazione del numero a. L'integrale sugli intervalli è determinato in modo simile. In totale ci saranno 2Ї2Ї2Ї2 = 16 risultati In conformità con il presupposto che i risultati dei singoli tiri sono indipendenti, la formula (3) e una nota ad essa associata dovrebbero essere utilizzate per determinare le probabilità di questi risultati. , la probabilità del risultato (y, n.n, n) dovrebbe essere posta pari a 0,2Ї0,8Ї0,8Ї0, 8 = 0,1024; qui 0,8 = 1-0,2 è la probabilità di un errore con un singolo tiro. il bersaglio viene colpito tre volte" è favorito dai risultati (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y) , la probabilità di ciascuno è la stessa:

0,2Ї0,2Ї0,2Ї0,8 =...... =0,8Ї0,2Ї0,2Ї0,2 = 0,0064;

pertanto, la probabilità richiesta è pari a

4Ї0,0064 = 0,0256.

Generalizzando il ragionamento dell'esempio analizzato, possiamo derivare una delle formule base della teoria della probabilità: se gli eventi A1, A2,..., An sono indipendenti e hanno ciascuno una probabilità p, allora la probabilità che si verifichino esattamente m di essi è uguale a

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

qui Cnm denota il numero di combinazioni di n elementi di m. Per n grandi, i calcoli utilizzando la formula (4) diventano difficili. Sia il numero di colpi nell'esempio precedente 100, e la domanda è quella di trovare la probabilità x che il numero di colpi sia compreso tra 8 e 32. L'applicazione della formula (4) e del teorema di addizione fornisce un risultato accurato, ma praticamente inutilizzabile espressione della probabilità desiderata

Il valore approssimativo della probabilità x può essere trovato utilizzando il teorema di Laplace

e l'errore non supera 0,0009. Il risultato trovato dimostra che l'evento 8 £ m £ 32 è quasi certo. Questo è l'esempio più semplice, ma tipico, dell'uso dei teoremi limite nella teoria della probabilità.

Le formule base della teoria della probabilità elementare includono anche la cosiddetta formula della probabilità totale: se gli eventi A1, A2,..., Ar sono incompatibili a coppie e la loro unione è un evento affidabile, allora per ogni evento B la sua probabilità è uguale a la somma

Il teorema della moltiplicazione delle probabilità è particolarmente utile quando si considerano i test composti. Una prova T si dice composta dalle prove T1, T2,..., Tn-1, Tn se ciascun risultato di una prova T è una combinazione di alcuni risultati Ai, Bj,..., Xk, Yl dei corrispondenti prove T1, T2,... , Tn-1, Tn. Per un motivo o per l'altro, le probabilità sono spesso note