Esempi di funzioni pari e dispari. Funzioni pari e dispari. Proprietà fondamentali delle funzioni

Indietro avanti

Attenzione! Le anteprime delle diapositive sono solo a scopo informativo e potrebbero non rappresentare tutte le funzionalità della presentazione. Se sei interessato a quest'opera, scarica la versione completa.

Obiettivi:

• formulare il concetto di funzioni pari e dispari, insegnare la capacità di determinare e utilizzare queste proprietà durante lo studio delle funzioni e la costruzione di grafici;
• sviluppare l'attività creativa, il pensiero logico, la capacità di confrontare e generalizzare degli studenti;
• coltivare il duro lavoro e la cultura matematica; sviluppare abilità comunicative .

Attrezzatura: installazione multimediale, lavagna interattiva, dispense.

Forme di lavoro: frontale e di gruppo con elementi di ricerca e attività di ricerca.

Fonti di informazione:

1. Algebra 9a classe A.G. Mordkovich. Manuale.
2. Algebra 9a elementare A.G. Mordkovich. Libro dei problemi.
3. Algebra 9a elementare. Compiti per l'apprendimento e lo sviluppo degli studenti. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DURANTE LE LEZIONI

1. Momento organizzativo

Stabilire scopi e obiettivi per la lezione.

2. Controllo dei compiti

N. 10.17 (libro dei problemi della nona elementare. A.G. Mordkovich).

UN) A = F(X), F(X) =

B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1. D( F) = [– 2; + ∞)
2. E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 a X ~ 0,4
4. F(X) >0 a X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. La funzione aumenta con X € [– 2; + ∞)
6. La funzione è limitata dal basso.
7. A naim = – 3, A naib non esiste
8. La funzione è continua.

(Hai utilizzato un algoritmo di esplorazione delle funzioni?) Diapositiva.

2. Controlliamo la tabella che ti è stata chiesta dalla diapositiva.

Riempi la tabella
	Dominio	Zeri di funzione	Intervalli di costanza del segno		Coordinate dei punti di intersezione del grafico con Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Aggiornamento della conoscenza

– Vengono fornite le funzioni.
– Specificare l'ambito di definizione di ciascuna funzione.
– Confronta il valore di ciascuna funzione per ciascuna coppia di valori di argomento: 1 e – 1; 2 e – 2.
– Per quale di queste funzioni nel dominio della definizione valgono le uguaglianze F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (inserire i dati ottenuti nella tabella) Diapositiva

		F(1) e F(– 1)	F(2) e F(– 2)	grafica	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = | X |
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		e non definito

4. Nuovo materiale

– Mentre facevamo questo lavoro, ragazzi, abbiamo identificato un'altra proprietà della funzione, a voi sconosciuta, ma non meno importante delle altre: questa è l'uniformità e la stranezza della funzione. Annota l'argomento della lezione: "Funzioni pari e dispari", il nostro compito è imparare a determinare l'uguaglianza e la disparità di una funzione, per scoprire il significato di questa proprietà nello studio delle funzioni e nella trama dei grafici.
Quindi, troviamo le definizioni nel libro di testo e leggiamo (p. 110) . Diapositiva

sicuramente 1 Funzione A = F (X), definito sull'insieme X viene chiamato Anche, se per qualsiasi valore XÄ X viene eseguito uguaglianza f(–x)= f(x). Dare esempi.

sicuramente 2 Funzione y = f(x), definito sull'insieme X si chiama strano, se per qualsiasi valore XЄX vale l’uguaglianza f(–х)= –f(х). Dare esempi.

Dove abbiamo incontrato i termini “pari” e “dispari”?
Quale di queste funzioni sarà pari, secondo te? Perché? Quali sono strani? Perché?
Per qualsiasi funzione del modulo A= x n, Dove N– un numero intero, si può sostenere che la funzione è dispari quando N– dispari e la funzione è pari quando N- Anche.
– Visualizza le funzioni A= e A = 2X– 3 non sono né pari né dispari, perché le uguaglianze non sono soddisfatte F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

Lo studio per stabilire se una funzione è pari o dispari è chiamato studio della parità di una funzione. Diapositiva

Nelle definizioni 1 e 2 parlavamo dei valori della funzione in x e – x, quindi si presuppone che la funzione sia definita anche nel valore X, e a – X.

Dif 3. Se un insieme numerico, insieme a ciascuno dei suoi elementi x, contiene anche l'elemento opposto –x, allora l'insieme X chiamato insieme simmetrico.

Esempi:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sono insiemi simmetrici e , [–5;4] sono asimmetrici.

– Anche le funzioni hanno un dominio di definizione che è un insieme simmetrico? Quelli strani?
– Se D( F) è un insieme asimmetrico, qual è la funzione?
– Quindi, se la funzione A = F(X) – pari o dispari, allora il suo dominio di definizione è D( F) è un insieme simmetrico. È vera l'affermazione inversa: se il dominio di definizione di una funzione è un insieme simmetrico, allora è pari o dispari?
– Ciò significa che la presenza di un insieme simmetrico del dominio di definizione è una condizione necessaria, ma non sufficiente.
– Allora come si esamina una funzione per la parità? Proviamo a creare un algoritmo.

Diapositiva

Algoritmo per lo studio di una funzione di parità

1. Determina se il dominio di definizione della funzione è simmetrico. Altrimenti la funzione non è né pari né dispari. Se sì, vai al passaggio 2 dell'algoritmo.

2. Scrivi un'espressione per F(–X).

3. Confronta F(–X).E F(X):

• Se F(–X).= F(X), allora la funzione è pari;
• Se F(–X).= – F(X), allora la funzione è dispari;
• Se F(–X) ≠ F(X) E F(–X) ≠ –F(X), allora la funzione non è né pari né dispari.

Esempi:

Esaminare la funzione a) per la parità A=x5+; B) A= ; V) A= .

Soluzione.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), insieme simmetrico.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funzione h(x)= x 5 + dispari.

b) y =,

A = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), un insieme asimmetrico, il che significa che la funzione non è né pari né dispari.

V) F(X) = , y = f (x),

1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opzione 2

1. L'insieme dato è simmetrico: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

UN); b) y = x (5 – x 2). 2. Esaminare la funzione per la parità:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Nella fig. è stato costruito un grafico A = F(X), per tutti X, soddisfacendo la condizione X? 0.
Rappresentare graficamente la funzione A = F(X), Se A = F(X) è una funzione pari.

3. Nella fig. è stato costruito un grafico A = F(X), per tutti gli x che soddisfano la condizione x? 0.
Rappresentare graficamente la funzione A = F(X), Se A = F(X) è una funzione dispari.

Controllo reciproco attivo diapositiva.

6. Compiti a casa: №11.11, 11.21,11.22;

Dimostrazione del significato geometrico della proprietà di parità.

***(Assegnazione opzione Esame di Stato Unificato).

1. La funzione dispari y = f(x) è definita sull'intera linea numerica. Per ogni valore non negativo della variabile x, il valore di questa funzione coincide con il valore della funzione g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X–7). Trova il valore della funzione h( X) = a X = 3.

7. Riassumendo

Definizione 1. La funzione viene richiamata Anche (strano ), se insieme a ciascun valore della variabile
Senso - X appartiene anche
e vale l'uguaglianza

Pertanto, una funzione può essere pari o dispari solo se il suo dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine delle coordinate sulla linea dei numeri (numero X E - X appartengono allo stesso tempo
). Ad esempio, la funzione
non è né pari né dispari, poiché è il suo dominio di definizione
non simmetrico rispetto all'origine.

Funzione
anche, perché
simmetrico rispetto all'origine e.

Funzione
strano, perché
E
.

Funzione
non è pari e strano, poiché sebbene
ed è simmetrico rispetto all'origine, le uguaglianze (11.1) non sono soddisfatte. Per esempio,.

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse UO, perché se il punto

appartiene anche al programma. Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine, poiché if
appartiene al grafico, quindi il punto
appartiene anche al programma.

Per dimostrare se una funzione è pari o dispari sono utili le seguenti affermazioni.

Teorema 1. a) La somma di due funzioni pari (dispari) è una funzione pari (dispari).

b) Il prodotto di due funzioni pari (dispari) è una funzione pari.

c) Il prodotto di una funzione pari e dispari è una funzione dispari.

d) Se F– anche funzionare sul set X e la funzione G definito sul set
, quindi la funzione
- Anche.

d) Se F– strana funzione sul set X e la funzione G definito sul set
e pari (dispari), quindi la funzione
- pari dispari).

Prova. Dimostriamo, ad esempio, b) ed).

b) Lasciamo
E
– anche funzioni. Allora, quindi. Il caso delle funzioni dispari viene trattato in modo simile
E
.

d) Lasciamo F è una funzione pari. Poi.

Le restanti affermazioni del teorema possono essere dimostrate in modo analogo. Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 2. Qualsiasi funzione
, definito sul set X, simmetrico rispetto all'origine, può essere rappresentato come una somma di funzioni pari e dispari.

Prova. Funzione
può essere scritto nella forma

.

Funzione
– anche, perché
e la funzione
– strano, perché. Così,
, Dove
– anche, e
– funzioni strane. Il teorema è stato dimostrato.

Definizione 2. Funzione
chiamato periodico , se c'è un numero
, tale che per any
numeri
E
appartengono anch'essi al dominio della definizione
e le uguaglianze sono soddisfatte

Un tale numero T chiamato periodo funzioni
.

Dalla Definizione 1 segue che se T– periodo della funzione
, quindi il numero – T Stesso è il periodo della funzione
(da quando si sostituisce T SU - T viene mantenuta l’uguaglianza). Utilizzando il metodo dell'induzione matematica si può dimostrare che se T– periodo della funzione F, Poi
, è anche un periodo. Ne consegue che se una funzione ha un periodo, allora avrà infiniti periodi.

Definizione 3. Il più piccolo dei periodi positivi di una funzione si chiama suo principale periodo.

Teorema 3. Se T– periodo principale della funzione F, allora i periodi rimanenti sono multipli di esso.

Prova. Supponiamo il contrario, cioè che ci sia un periodo funzioni F (>0), non multiplo T. Poi, dividendo SU T con il resto, otteniamo
, Dove
. Ecco perché

questo è – periodo della funzione F, E
, e questo contraddice il fatto che T– periodo principale della funzione F. L’enunciato del teorema segue dalla contraddizione risultante. Il teorema è stato dimostrato.

È noto che le funzioni trigonometriche sono periodiche. Periodo principale
E
equivale
,
E
. Troviamo il periodo della funzione
. Permettere
- il periodo di questa funzione. Poi

(Perché
.

o o
.

Senso T, determinato dalla prima uguaglianza, non può essere un periodo, poiché dipende da X, cioè. è una funzione di X e non un numero costante. Il periodo è determinato dalla seconda uguaglianza:
. Ci sono infiniti periodi, con
il periodo positivo più piccolo si ottiene a
:
. Questo è il periodo principale della funzione
.

Un esempio di funzione periodica più complessa è la funzione di Dirichlet

Tieni presente che se Tè un numero razionale, quindi
E
sono numeri razionali per razionali X e irrazionale quando irrazionale X. Ecco perché

per qualsiasi numero razionale T. Pertanto, qualsiasi numero razionale Tè il periodo della funzione di Dirichlet. È chiaro che questa funzione non ha un periodo principale, poiché esistono numeri razionali positivi arbitrariamente vicini allo zero (ad esempio, un numero razionale può essere creato scegliendo N arbitrariamente vicino allo zero).

Teorema 4. Se la funzione F definito sul set X e ha un punto T e la funzione G definito sul set
, quindi una funzione complessa
ha anche un punto T.

Prova. Abbiamo, quindi

cioè l'enunciato del teorema è dimostrato.

Ad esempio, da allora cos X ha un punto
, quindi le funzioni
avere il ciclo
.

Definizione 4. Vengono chiamate le funzioni che non sono periodiche non periodico .

Anche, se per tutti gli \(x\) del suo dominio di definizione è vero quanto segue: \(f(-x)=f(x)\) .

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse \(y\):

Esempio: la funzione \(f(x)=x^2+\cos x\) è pari, perché \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Viene richiamata la funzione \(f(x)\). strano, se per tutti gli \(x\) del suo dominio di definizione è vero quanto segue: \(f(-x)=-f(x)\) .

Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine:

Esempio: la funzione \(f(x)=x^3+x\) è strana perché \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Le funzioni che non sono né pari né dispari sono chiamate funzioni di forma generale. Tale funzione può sempre essere rappresentata in modo univoco come la somma di una funzione pari e di una funzione dispari.

Ad esempio, la funzione \(f(x)=x^2-x\) è la somma della funzione pari \(f_1=x^2\) e della funzione dispari \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Alcune proprietà:

1) Il prodotto e il quoziente di due funzioni della stessa parità è una funzione pari.

2) Il prodotto e il quoziente di due funzioni di parità diverse è una funzione dispari.

3) Somma e differenza di funzioni pari - funzione pari.

4) Somma e differenza di funzioni dispari - funzione dispari.

5) Se \(f(x)\) è una funzione pari, allora l'equazione \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ha radice unica se e solo quando \( x =0\) .

6) Se \(f(x)\) è una funzione pari o dispari, e l'equazione \(f(x)=0\) ha radice \(x=b\), allora questa equazione avrà necessariamente una seconda radice \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) La funzione \(f(x)\) si dice periodica su \(X\) se per qualche numero \(T\ne 0\) vale: \(f(x)=f( x+T) \) , dove \(x, x+T\in X\) . Il più piccolo \(T\) per il quale questa uguaglianza è soddisfatta è chiamato periodo principale (principale) della funzione.

Una funzione periodica ha un numero qualsiasi nella forma \(nT\) , dove anche \(n\in \mathbb(Z)\) sarà un punto.

Esempio: qualsiasi funzione trigonometrica è periodica;
per le funzioni \(f(x)=\sin x\) e \(f(x)=\cos x\) il periodo principale è uguale a \(2\pi\), per le funzioni \(f(x )=\mathrm( tg)\,x\) e \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) il periodo principale è uguale a \(\pi\) .

Per costruire un grafico di una funzione periodica, puoi tracciare il suo grafico su qualsiasi segmento di lunghezza \(T\) (periodo principale); quindi il grafico dell'intera funzione si completa spostando la parte costruita di un numero intero di periodi a destra e a sinistra:

\(\blacktriangleright\) Il dominio \(D(f)\) della funzione \(f(x)\) è un insieme costituito da tutti i valori dell'argomento \(x\) per i quali la funzione ha senso (è definito).

Esempio: la funzione \(f(x)=\sqrt x+1\) ha un dominio di definizione: \(x\in

Compito 1 #6364

Livello di attività: uguale all'Esame di Stato Unificato

A quali valori del parametro \(a\) si forma l'equazione

ha un'unica soluzione?

Nota che poiché \(x^2\) e \(\cos x\) sono funzioni pari, se l'equazione ha una radice \(x_0\) , avrà anche una radice \(-x_0\) .
Sia infatti \(x_0\) una radice, cioè l'uguaglianza \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) Giusto. Sostituiamo \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Pertanto, se \(x_0\ne 0\) , l'equazione avrà già almeno due radici. Pertanto, \(x_0=0\) . Poi:

Abbiamo ricevuto due valori per il parametro \(a\) . Nota che abbiamo utilizzato il fatto che \(x=0\) è esattamente la radice dell'equazione originale. Ma non abbiamo mai sfruttato il fatto che sia l'unico. Pertanto, è necessario sostituire i valori risultanti del parametro \(a\) nell'equazione originale e verificare per quale specifico \(a\) la radice \(x=0\) sarà davvero unica.

1) Se \(a=0\) , l'equazione assumerà la forma \(2x^2=0\) . Ovviamente, questa equazione ha una sola radice \(x=0\) . Pertanto, il valore \(a=0\) è adatto a noi.

2) Se \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , l'equazione assumerà la forma \ Riscriviamo l'equazione nella forma \ Perché \(-1\leqinclinazione \cos x\leqinclinazione 1\), Quello \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Di conseguenza, i valori della parte destra dell'equazione (*) appartengono al segmento \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Poiché \(x^2\geqslant 0\) , il lato sinistro dell'equazione (*) è maggiore o uguale a \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Pertanto, l'uguaglianza (*) può essere vera solo quando entrambi i lati dell'equazione sono uguali a \(\mathrm(tg)^2\,1\) . E questo significa questo \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Pertanto, il valore \(a=-\mathrm(tg)\,1\) è adatto a noi.

Risposta:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Compito 2 #3923

Livello di attività: uguale all'Esame di Stato Unificato

Trova tutti i valori del parametro \(a\), per ciascuno dei quali il grafico della funzione \

simmetrico rispetto all'origine.

Se il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'origine, allora tale funzione è dispari, cioè \(f(-x)=-f(x)\) vale per qualsiasi \(x\) del dominio di definizione della funzione. Pertanto, è necessario trovare i valori dei parametri per i quali \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(allineato)\]

L'ultima equazione deve essere soddisfatta per tutti gli \(x\) del dominio di \(f(x)\), pertanto, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Risposta:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Compito 3 #3069

Livello di attività: uguale all'Esame di Stato Unificato

Trova tutti i valori del parametro \(a\) , per ognuno dei quali l'equazione \ ha 4 soluzioni, dove \(f\) è una funzione periodica pari con periodo \(T=\dfrac(16)3\) definito sull'intera linea numerica e \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Compito degli abbonati)

Compito 4 #3072

Livello di attività: uguale all'Esame di Stato Unificato

Trova tutti i valori di \(a\) , per ciascuno dei quali l'equazione \

ha almeno una radice.

(Compito degli abbonati)

Riscriviamo l'equazione nella forma \ e consideriamo due funzioni: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) e \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
La funzione \(g(x)\) è pari e ha un punto di minimo \(x=0\) (e \(g(0)=49\) ).
La funzione \(f(x)\) per \(x>0\) è decrescente e per \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Infatti, quando \(x>0\) il secondo modulo si aprirà positivamente (\(|x|=x\) ), quindi, indipendentemente da come si aprirà il primo modulo, \(f(x)\) sarà uguale a \( kx+A\) , dove \(A\) è l'espressione di \(a\) e \(k\) è uguale a \(-9\) o \(-3\) . Quando \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Troviamo il valore di \(f\) nel punto massimo: \

Affinché l'equazione abbia almeno una soluzione è necessario che i grafici delle funzioni \(f\) e \(g\) abbiano almeno un punto di intersezione. Pertanto, è necessario: \ Risolvendo questo insieme di sistemi, otteniamo la risposta: \\]

Risposta:

\(a\in \(-7\)\tazza\)

Compito 5 #3912

Livello di attività: uguale all'Esame di Stato Unificato

Trova tutti i valori del parametro \(a\) , per ciascuno dei quali l'equazione \

ha sei diverse soluzioni.

Eseguiamo la sostituzione \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Quindi l'equazione assumerà la forma \ Scriveremo gradualmente le condizioni in cui l'equazione originale avrà sei soluzioni.
Si noti che l'equazione quadratica \((*)\) può avere un massimo di due soluzioni. Qualsiasi equazione cubica \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) non può avere più di tre soluzioni. Pertanto, se l'equazione \((*)\) ha due soluzioni diverse (positiva!, poiché \(t\) deve essere maggiore di zero) \(t_1\) e \(t_2\) , allora, facendo il contrario sostituzione, otteniamo: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(allineato)\end(raccolto)\right.\] Poiché qualsiasi numero positivo può essere rappresentato in una certa misura come \(\sqrt2\), ad esempio, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), allora la prima equazione dell'insieme verrà riscritta nella forma \ Come abbiamo già detto, qualsiasi equazione cubica non ha più di tre soluzioni, quindi ciascuna equazione dell'insieme non avrà più di tre soluzioni. Ciò significa che l'intero set non avrà più di sei soluzioni.
Ciò significa che affinché l'equazione originale abbia sei soluzioni, l'equazione quadratica \((*)\) deve avere due soluzioni diverse e ciascuna equazione cubica risultante (dall'insieme) deve avere tre soluzioni diverse (e non una singola soluzione di un'equazione dovrebbe coincidere con qualsiasi altra equazione - per decisione della seconda!)
Ovviamente, se l'equazione quadratica \((*)\) ha una soluzione, non otterremo sei soluzioni dell'equazione originale.

Pertanto, il piano di soluzione diventa chiaro. Scriviamo punto per punto le condizioni che devono essere soddisfatte.

1) Affinché l'equazione \((*)\) abbia due soluzioni diverse, il suo discriminante deve essere positivo: \

2) È inoltre necessario che entrambe le radici siano positive (poiché \(t>0\) ). Se il prodotto di due radici è positivo e la loro somma è positiva, allora le radici stesse saranno positive. Pertanto, è necessario: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Quindi ci siamo già forniti di due diverse radici positive \(t_1\) e \(t_2\) .

3) Diamo un'occhiata a questa equazione \ Per cosa \(t\) avrà tre soluzioni diverse?
Considera la funzione \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Può essere fattorizzato: \ Pertanto, i suoi zeri sono: \(x=-1;2\) .
Se troviamo la derivata \(f"(x)=3x^2-6x\) , otteniamo due punti estremi \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Pertanto il grafico si presenta così:


Vediamo che qualsiasi linea orizzontale \(y=k\) , dove \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) avesse tre soluzioni diverse, è necessario che \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Pertanto, è necessario: \[\begin(casi) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Notiamo subito anche che se i numeri \(t_1\) e \(t_2\) sono diversi, allora i numeri \(\log_(\sqrt2)t_1\) e \(\log_(\sqrt2)t_2\) saranno diverso, il che significa le equazioni \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) E \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) avrà radici diverse.
Il sistema \((**)\) può essere riscritto come segue: \[\begin(casi) 1

Pertanto, abbiamo determinato che entrambe le radici dell'equazione \((*)\) devono trovarsi nell'intervallo \((1;4)\) . Come scrivere questa condizione?
Non scriveremo esplicitamente le radici.
Considera la funzione \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Il suo grafico è una parabola con rami ascendenti, che ha due punti di intersezione con l'asse x (abbiamo annotato questa condizione nel paragrafo 1)). Come dovrebbe essere il suo grafico in modo che i punti di intersezione con l'asse x siano nell'intervallo \((1;4)\)? COSÌ:


Innanzitutto i valori \(g(1)\) e \(g(4)\) della funzione nei punti \(1\) e \(4\) devono essere positivi e, in secondo luogo, il vertice della anche la parabola \(t_0\ ) deve essere nell'intervallo \((1;4)\) . Possiamo quindi scrivere il sistema: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4

Dobbiamo quindi intersecare i valori del parametro \(a\) trovato nei punti 1, 2 e 3 e otterremo la risposta: \[\begin(cases) a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\\ a<10\\ 4

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Metodi per specificare una funzione

Sia la funzione data dalla formula: y=2x^(2)-3. Assegnando un valore qualsiasi alla variabile indipendente x, è possibile calcolare, utilizzando questa formula, i valori corrispondenti della variabile dipendente y. Ad esempio, se x=-0,5, utilizzando la formula, troviamo che il valore corrispondente di y è y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

Prendendo qualsiasi valore assunto dall'argomento x nella formula y=2x^(2)-3, puoi calcolare solo un valore della funzione che corrisponde ad esso. La funzione può essere rappresentata come una tabella:

X	−2	−1	0	1	2	3
sì	−4	−3	−2	−1	0	1

Usando questa tabella, puoi vedere che al valore dell'argomento −1 corrisponderà il valore della funzione −3; e il valore x=2 corrisponderà a y=0, ecc. È anche importante sapere che ciascun valore di argomento nella tabella corrisponde a un solo valore di funzione.

È possibile specificare più funzioni utilizzando i grafici. Utilizzando un grafico, viene stabilito quale valore della funzione è correlato a un determinato valore x. Molto spesso, questo sarà un valore approssimativo della funzione.

Funzione pari e dispari

La funzione è funzione pari, quando f(-x)=f(x) per qualsiasi x dal dominio di definizione. Tale funzione sarà simmetrica rispetto all'asse Oy.

La funzione è funzione strana, quando f(-x)=-f(x) per qualsiasi x dal dominio di definizione. Tale funzione sarà simmetrica rispetto all'origine O (0;0) .

La funzione è nemmeno, né strano e viene chiamato funzione generale, quando non ha simmetria rispetto all'asse o all'origine.

Esaminiamo la seguente funzione di parità:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) con dominio di definizione simmetrico rispetto all'origine. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Ciò significa che la funzione f(x)=3x^(3)-7x^(7) è dispari.

Funzione periodica

La funzione y=f(x) , nel cui dominio vale per ogni x l'uguaglianza f(x+T)=f(x-T)=f(x), è detta funzione periodica con periodo T \neq 0 .

Ripetendo il grafico di una funzione su qualsiasi segmento dell'asse x che abbia lunghezza T.

Gli intervalli in cui la funzione è positiva, cioè f(x) > 0, sono segmenti dell'asse delle ascisse che corrispondono ai punti del grafico della funzione che si trovano sopra l'asse delle ascisse.

f(x) > 0 attivo (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervalli in cui la funzione è negativa, cioè f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Funzione limitata

Delimitato dal bassoÈ consuetudine chiamare una funzione y=f(x), x \in X quando esiste un numero A per il quale vale la disuguaglianza f(x) \geq A per ogni x \in X .

Un esempio di funzione limitata dal basso: y=\sqrt(1+x^(2)) poiché y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 per qualsiasi x .

Delimitato dall'alto una funzione y=f(x), x \in X viene chiamata quando esiste un numero B per il quale vale la disuguaglianza f(x) \neq B per ogni x \in X .

Un esempio di funzione delimitata di seguito: y=\quadrato(1-x^(2)), x \in [-1;1] poiché y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 per qualsiasi x \in [-1;1] .

LimitatoÈ consuetudine chiamare una funzione y=f(x), x \in X quando esiste un numero K > 0 per il quale la disuguaglianza \left | f(x)\destra | \neq K per qualsiasi x \in X .

Un esempio di funzione limitata: y=\sin x è limitata sull'intero asse dei numeri, poiché \sinistra | \peccato x \destra | \neq 1.

Funzione crescente e decrescente

Si è soliti parlare di una funzione che aumenta nell'intervallo considerato come funzione crescente quindi, quando un valore maggiore di x corrisponde a un valore maggiore della funzione y=f(x) . Ne consegue che prendendo due valori arbitrari dell'argomento x_(1) e x_(2) dall'intervallo in esame, con x_(1) > x_(2) , il risultato sarà y(x_(1)) > y(x_(2)).

Viene chiamata una funzione che diminuisce sull'intervallo considerato funzione decrescente quando un valore maggiore di x corrisponde a un valore minore della funzione y(x) . Ne consegue che, prendendo dall'intervallo in esame due valori arbitrari dell'argomento x_(1) e x_(2) , e x_(1) > x_(2) , il risultato sarà y(x_(1))< y(x_{2}) .

Radici funzionali Si è soliti chiamare i punti in cui la funzione interseca l'asse delle ascisse F=y(x) (si ottengono risolvendo l'equazione y(x)=0).

a) Se per x > 0 una funzione pari aumenta, allora diminuisce per x< 0

b) Quando una funzione pari diminuisce in x > 0, allora aumenta in x< 0

c) Quando una funzione dispari aumenta in x > 0, allora aumenta anche in x< 0

d) Quando una funzione dispari diminuisce per x > 0, allora diminuirà anche per x< 0

Estremi della funzione

Punto minimo della funzione y=f(x) è solitamente chiamato punto x=x_(0) il cui intorno avrà altri punti (eccetto il punto x=x_(0)), e per essi la disuguaglianza f(x) > f sarà quindi soddisfatto (x_(0)) . y_(min) - designazione della funzione nel punto minimo.

Punto massimo della funzione y=f(x) è solitamente chiamato punto x=x_(0) il cui intorno avrà altri punti (eccetto il punto x=x_(0)), e per essi sarà allora soddisfatta la disuguaglianza f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Prerequisito

Secondo il teorema di Fermat: f"(x)=0 quando la funzione f(x) differenziabile nel punto x_(0) avrà estremo in questo punto.

Condizione sufficiente

1. Quando la derivata cambia segno da più a meno, x_(0) sarà il punto minimo;
2. x_(0) - sarà un punto massimo solo quando la derivata cambia segno da meno a più quando passa per il punto stazionario x_(0) .

Il valore più grande e più piccolo di una funzione su un intervallo

Passaggi di calcolo:

1. Si cerca la derivata f"(x);
2. Si trovano i punti stazionari e critici della funzione e si selezionano quelli appartenenti al segmento;
3. I valori della funzione f(x) si trovano nei punti stazionari e critici e alle estremità del segmento. Minore sarà il risultato ottenuto il valore più piccolo della funzione e altro ancora - il più grande.