Jumlah sudut suatu segitiga. Pelajaran lengkap - Pengetahuan Hypermarket. Jumlah sudut suatu segitiga - berapakah besarnya? Jenis berdasarkan ukuran sudut

Pada kelas 8, pada pelajaran geometri di sekolah, siswa pertama kali diperkenalkan dengan konsep poligon cembung. Segera mereka akan mengetahui bahwa angka ini memiliki sifat yang sangat menarik. Betapapun rumitnya, jumlah semua sudut dalam dan luar poligon cembung memiliki nilai yang ditentukan secara ketat. Pada artikel ini, seorang tutor matematika dan fisika akan membahas tentang berapa jumlah sudut poligon cembung.

Jumlah sudut dalam poligon cembung

Bagaimana cara membuktikan rumus tersebut?

Sebelum melanjutkan ke pembuktian pernyataan ini, mari kita ingat poligon mana yang disebut cembung. Poligon cembung adalah poligon yang terletak seluruhnya pada salah satu sisi garis yang memuat salah satu sisinya. Misalnya, yang ditunjukkan pada gambar ini:

Jika poligon tidak memenuhi syarat yang ditentukan, maka disebut non-cembung. Misalnya seperti ini:

Jumlah sudut dalam poligon cembung sama dengan , dimana adalah jumlah sisi poligon.

Pembuktian fakta ini didasarkan pada teorema jumlah sudut dalam segitiga yang diketahui semua anak sekolah. Saya yakin teorema ini juga familiar bagi Anda. Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah .

Idenya adalah untuk membagi poligon cembung menjadi beberapa segitiga. Hal ini dapat dilakukan dengan berbagai cara. Tergantung pada metode mana yang kita pilih, buktinya akan sedikit berbeda.

1. Bagilah poligon cembung menjadi segitiga-segitiga menggunakan semua kemungkinan diagonal yang ditarik dari suatu titik sudut. Sangat mudah untuk memahami bahwa n-gon kita akan dibagi menjadi segitiga:

Selain itu, jumlah semua sudut dari semua segitiga yang dihasilkan sama dengan jumlah sudut n-gon kita. Lagi pula, setiap sudut pada segitiga yang dihasilkan adalah sudut parsial pada poligon cembung kita. Artinya, jumlah yang dibutuhkan sama dengan .

2. Anda juga dapat memilih sebuah titik di dalam poligon cembung dan menghubungkannya ke semua simpul. Kemudian n-gon kita akan dibagi menjadi segitiga:

Selain itu, jumlah sudut poligon kita dalam hal ini akan sama dengan jumlah semua sudut semua segitiga tersebut dikurangi sudut pusat, yaitu sama dengan . Artinya, jumlah yang dibutuhkan lagi-lagi sama dengan .

Jumlah sudut luar poligon cembung

Sekarang mari kita ajukan pertanyaan: “Berapa jumlah sudut luar poligon cembung?” Pertanyaan ini dapat dijawab sebagai berikut. Setiap sudut luar berbatasan dengan sudut dalam yang sesuai. Oleh karena itu sama dengan:

Maka jumlah semua sudut luar sama dengan . Artinya, itu setara.

Artinya, hasil yang sangat lucu didapat. Jika kita memplot semua sudut luar suatu n-gon cembung secara berurutan satu demi satu, maka hasilnya akan sama persis dengan seluruh bidang.

Fakta menarik tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut. Mari kita kurangi semua sisi poligon cembung secara proporsional hingga menyatu menjadi satu titik. Setelah ini terjadi, semua sudut luar akan dikesampingkan satu sama lain dan dengan demikian memenuhi seluruh bidang.

Fakta yang menarik bukan? Dan ada banyak fakta seperti itu dalam geometri. Jadi belajarlah geometri, anak-anak sekolah yang terkasih!

Materi tentang jumlah sudut poligon cembung disiapkan oleh Sergey Valerievich

Jumlah sudut segitiga- topik penting namun cukup sederhana yang diajarkan di geometri kelas 7. Topiknya terdiri dari teorema, bukti singkat dan beberapa konsekuensi logis. Pengetahuan tentang topik ini membantu dalam memecahkan masalah geometri dalam studi subjek selanjutnya.

Teorema - berapakah sudut-sudut suatu segitiga sembarang jika dijumlahkan?

Teorema menyatakan bahwa jika Anda mengambil segitiga apa pun, apa pun jenisnya, jumlah semua sudut akan selalu 180 derajat. Hal ini terbukti sebagai berikut:

misalnya ambil segitiga ABC, tarik garis lurus melalui titik B yang terletak di puncak dan tentukan sebagai "a", garis lurus "a" sejajar dengan sisi AC;
antara garis lurus “a” dan sisi AB dan BC ditentukan sudutnya, ditandai dengan angka 1 dan 2;
sudut 1 dianggap sama dengan sudut A, dan sudut 2 dianggap sama dengan sudut C, karena sudut-sudut tersebut dianggap melintang;
dengan demikian, jumlah antara sudut 1, 2 dan 3 (yang menggantikan sudut B) dianggap sama dengan sudut terbuka dengan titik sudut B - dan sama dengan 180 derajat.

Jika jumlah sudut yang ditunjukkan dengan angka adalah 180 derajat, maka jumlah sudut A, B, dan C diakui sama dengan 180 derajat. Aturan ini berlaku untuk segitiga apa pun.

Berikut ini dari teorema geometri

Merupakan kebiasaan untuk menyoroti beberapa akibat wajar dari teorema di atas.

Jika soal membahas segitiga dengan sudut siku-siku, maka salah satu sudutnya akan sama dengan 90 derajat secara default, dan jumlah sudut lancip juga akan menjadi 90 derajat.
Jika kita berbicara tentang segitiga siku-siku sama kaki, maka sudut lancipnya, yang berjumlah 90 derajat, masing-masing akan sama dengan 45 derajat.
Segitiga sama sisi terdiri dari tiga sudut yang sama besar, masing-masing sudutnya masing-masing sama dengan 60 derajat, dan totalnya 180 derajat.
Sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah antara dua sudut dalam yang tidak berdekatan.

Aturan berikut dapat diturunkan: segitiga apa pun memiliki setidaknya dua sudut lancip. Dalam beberapa kasus, sebuah segitiga terdiri dari tiga sudut lancip, dan jika hanya ada dua, maka sudut ketiga adalah tumpul atau siku-siku.

(ringkasan latar belakang)

Geometri visual kelas 7. Catatan Pendukung No. 4 Jumlah sudut suatu segitiga.

Ilmuwan besar Perancis abad ke-17 Blaise Pascal Sebagai seorang anak, saya suka bermain-main dengan bentuk geometris. Dia akrab dengan busur derajat dan tahu cara mengukur sudut. Peneliti muda tersebut memperhatikan bahwa untuk semua segitiga, jumlah ketiga sudutnya sama - 180°. “Bagaimana kita bisa membuktikannya? - pikir Pascal. “Lagi pula, tidak mungkin memeriksa jumlah sudut semua segitiga - jumlahnya tak terhingga.” Kemudian dia memotong dua sudut segitiga dengan gunting dan menempelkannya pada sudut ketiga. Hasilnya adalah sudut putar, yang diketahui sama dengan 180°. Ini adalah penemuan pertamanya. Nasib anak laki-laki itu di masa depan sudah ditentukan sebelumnya.

Dalam topik ini, Anda akan mempelajari lima sifat kongruensi segitiga siku-siku dan, mungkin, sifat paling populer dari segitiga siku-siku dengan sudut 30°. Bunyinya seperti ini: kaki yang terletak berhadapan dengan sudut 30° sama dengan setengah sisi miring. Dengan membagi segitiga sama sisi dengan tingginya, kita segera memperoleh bukti sifat tersebut.

DALIL. Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°. Untuk membuktikannya, tariklah garis melalui bagian atas sejajar dengan alas. Sudut gelap sama besar dan sudut abu-abu sama besar seolah-olah terletak bersilangan pada garis sejajar. Sudut gelap, sudut abu-abu, dan sudut puncak membentuk sudut memanjang, jumlah keduanya 180°. Dari teorema tersebut dapat disimpulkan bahwa sudut-sudut suatu segitiga sama sisi sama dengan 60° dan jumlah sudut lancip suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan 90°.

Sudut luar suatu segitiga adalah sudut yang berdekatan dengan sudut segitiga tersebut. Oleh karena itu, terkadang sudut-sudut segitiga itu sendiri disebut sudut dalam.

TEOREMA tentang sudut luar suatu segitiga. Sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan. Memang, sudut luar dan dua sudut dalam, yang tidak berdekatan, melengkapi sudut bayangan hingga 180°. Berdasarkan teorema tersebut, sudut luar lebih besar dari sudut dalam mana pun yang tidak berdekatan dengannya.

TEOREMA tentang hubungan antara sisi dan sudut suatu segitiga. Dalam suatu segitiga, sudut yang lebih besar berhadapan dengan sisi yang lebih besar, dan sudut yang lebih besar berhadapan dengan sudut yang lebih besar. Berikut ini: 1) Kakinya lebih kecil dari sisi miring. 2) Garis tegak lurus lebih kecil dari garis miring.

Jarak dari titik ke garis . Karena garis tegak lurus lebih kecil dari garis miring mana pun yang ditarik dari suatu titik yang sama, maka panjangnya diambil sebagai jarak dari titik tersebut ke garis lurus.

Ketimpangan segitiga . Panjang salah satu sisi suatu segitiga lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya, yaitu. A< b + с , B< а + с , Dengan< а + B . Konsekuensi. Panjang garis putus-putus lebih besar dari panjang ruas yang menghubungkan ujung-ujungnya.

TANDA KESETARAAN
SEGITIGA SEGITIGA

Di dua sisi. Jika dua kaki suatu segitiga siku-siku sama dengan dua kaki segitiga lainnya, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Sepanjang kaki dan sudut lancip yang berdekatan. Jika kaki dan sudut lancip yang berdekatan pada suatu segitiga siku-siku sama dengan kaki dan sudut lancip yang berdekatan pada segitiga lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Sepanjang kaki dan sudut lancip berlawanan. Jika kaki dan sudut lancip dihadapannya pada suatu segitiga siku-siku masing-masing sama dengan kaki dan sudut lancip dihadapan segitiga lainnya, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Dengan sisi miring dan sudut lancip. Jika sisi miring dan sudut lancip suatu segitiga siku-siku masing-masing sama dengan sisi miring dan sudut lancip segitiga lainnya, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Pembuktian tanda-tanda ini langsung direduksi menjadi salah satu ujian persamaan segitiga.

Dengan kaki dan sisi miring. Jika kaki dan sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan kaki dan sisi miring segitiga siku-siku lainnya, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Bukti. Mari kita lampirkan segitiga dengan kaki yang sama. Kami mendapatkan segitiga sama kaki. Ketinggiannya yang diambil dari titik puncak juga akan menjadi median. Maka segitiga-segitiga tersebut mempunyai kaki kedua yang sama panjang, dan segitiga-segitiga tersebut sama panjang pada ketiga sisinya.

DALIL tentang sifat kaki yang terletak berhadapan dengan sudut 30°. Kaki yang berhadapan dengan sudut 30° sama dengan setengah sisi miring. Dibuktikan dengan melengkapi segitiga tersebut menjadi segitiga sama sisi.

TEOREMA tentang sifat titik-titik garis bagi sudut. Setiap titik pada garis bagi suatu sudut mempunyai jarak yang sama terhadap sisi-sisinya. Jika suatu titik berjarak sama terhadap sisi-sisi suatu sudut, maka titik tersebut terletak pada garis bagi sudut tersebut. Dibuktikan dengan menggambar dua garis tegak lurus pada sisi-sisi sudut dan memperhatikan segitiga siku-siku.

Poin bagus kedua . Garis bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik.

Jarak antar garis sejajar. DALIL. Semua titik pada masing-masing dua garis sejajar berada pada jarak yang sama terhadap garis lainnya. Teorema tersebut menyiratkan definisi jarak antara garis sejajar.

Definisi. Jarak antara dua garis sejajar adalah jarak antara titik mana pun pada salah satu garis sejajar dengan garis lainnya.

Bukti rinci dari teorema

Ini adalah catatan referensi No. 4 tentang geometri di kelas 7. Pilih langkah berikutnya:

Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180 0. Ini adalah salah satu aksioma fundamental geometri Euclid. Ini adalah geometri yang dipelajari anak sekolah. Geometri diartikan sebagai ilmu yang mempelajari bentuk-bentuk spasial dunia nyata.

Apa yang memotivasi orang Yunani kuno untuk mengembangkan geometri? Kebutuhan untuk mengukur ladang, padang rumput – luas permukaan bumi. Pada saat yang sama, orang Yunani kuno menerima bahwa permukaan bumi itu horizontal dan datar. Dengan mempertimbangkan asumsi ini, aksioma Euclid dibuat, termasuk jumlah sudut dalam segitiga sebesar 180 0.

Aksioma adalah proposisi yang tidak memerlukan pembuktian. Bagaimana hal ini harus dipahami? Sebuah keinginan diungkapkan yang sesuai dengan orang tersebut, dan kemudian dikonfirmasi oleh ilustrasi. Namun segala sesuatu yang belum terbukti adalah fiksi, sesuatu yang tidak ada dalam kenyataan.

Dengan mengambil permukaan bumi secara horizontal, orang Yunani kuno secara otomatis menerima bentuk bumi sebagai datar, tetapi berbeda - bulat. Tidak ada bidang horizontal atau garis lurus sama sekali di alam, karena gravitasi membengkokkan ruang. Garis lurus dan bidang horizontal hanya terdapat pada otak manusia.

Oleh karena itu, geometri Euclid yang menjelaskan bentuk spasial dunia fiksi adalah sebuah simulacrum – salinan yang tidak memiliki aslinya.

Salah satu aksioma Euclid menyatakan bahwa jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180 0. Faktanya, di ruang lengkung nyata, atau di permukaan bumi yang bulat, jumlah sudut dalam suatu segitiga selalu lebih besar dari 180 0.

Mari kita berpikir seperti ini. Setiap meridian di dunia berpotongan dengan ekuator pada sudut 90 0. Untuk mendapatkan segitiga, Anda perlu memindahkan meridian lain menjauhi meridian. Jumlah sudut segitiga antara meridian dan sisi ekuator adalah 180 0. Namun tetap akan ada sudut di tiang. Hasilnya, jumlah semua sudut akan lebih dari 180 0.

Jika sisi-sisinya berpotongan membentuk sudut 90 0 di kutub, maka jumlah sudut dalam segitiga tersebut adalah 270 0. Dua buah meridian yang berpotongan tegak lurus dengan garis khatulistiwa pada segitiga ini akan sejajar satu sama lain, dan pada kutub yang berpotongan sudut 90 0 akan menjadi tegak lurus. Ternyata dua garis sejajar pada bidang yang sama tidak hanya berpotongan, tetapi juga bisa tegak lurus pada kutubnya.

Tentu saja, sisi-sisi segitiga seperti itu tidak akan berupa garis lurus, melainkan cembung, mengulangi bentuk bola bumi. Tapi inilah dunia luar angkasa yang sebenarnya.

Geometri ruang nyata, dengan mempertimbangkan kelengkungannya pada pertengahan abad ke-19. dikembangkan oleh matematikawan Jerman B. Riemann (1820-1866). Namun anak-anak sekolah tidak diberitahu tentang hal ini.

Jadi, geometri Euclidean yang berupa bumi datar dengan permukaan mendatar, padahal sebenarnya tidak, adalah simulakrum. Nootic adalah geometri Riemann yang memperhitungkan kelengkungan ruang. Jumlah sudut dalam segitiga di dalamnya lebih besar dari 180 0.

>>Geometri: Jumlah sudut suatu segitiga. Pelajaran lengkap

TOPIK PELAJARAN: Jumlah sudut suatu segitiga.

Tujuan pelajaran:

Memantapkan dan menguji pengetahuan siswa pada topik: “Jumlah sudut segitiga”;
Bukti sifat-sifat sudut suatu segitiga;
Penerapan properti ini dalam memecahkan masalah sederhana;
Penggunaan materi sejarah untuk mengembangkan aktivitas kognitif siswa;
Menanamkan keterampilan ketelitian dalam membuat gambar.

Tujuan pelajaran:

Uji keterampilan pemecahan masalah siswa.

Rencana belajar:

Segi tiga;
Teorema jumlah sudut suatu segitiga;
Contoh tugas.

Segi tiga.

File: Segitiga O.gif- poligon paling sederhana yang memiliki 3 simpul (sudut) dan 3 sisi; bagian bidang yang dibatasi oleh tiga titik dan tiga ruas yang menghubungkan titik-titik tersebut secara berpasangan.
Tiga titik dalam ruang yang tidak terletak pada garis lurus yang sama merupakan satu dan hanya satu bidang.
Poligon apa pun dapat dibagi menjadi segitiga - proses ini disebut triangulasi.
Ada bagian matematika yang sepenuhnya dikhususkan untuk mempelajari hukum segitiga - Trigonometri.

Teorema jumlah sudut suatu segitiga.

File:T.gif Teorema jumlah sudut segitiga merupakan teorema klasik geometri Euclidean yang menyatakan bahwa jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°.

Bukti" :

Misalkan Δ ABC diberikan. Mari kita tarik garis sejajar (AC) melalui titik sudut B dan tandai titik D di atasnya sehingga titik A dan D terletak pada sisi berlawanan dari garis BC. Maka sudut (DBC) dan sudut (ACB) sama besar dengan garis lintang dalam yang sejajar dengan garis BD dan AC serta garis potong (BC). Maka jumlah sudut segitiga pada titik sudut B dan C sama dengan sudut (ABD). Tetapi sudut (ABD) dan sudut (BAC) pada titik sudut A segitiga ABC adalah satu sisi dalam dengan garis sejajar BD dan AC serta garis potong (AB), dan jumlah keduanya adalah 180°. Jadi, jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°. Teorema tersebut telah terbukti.

Konsekuensi.

Sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut segitiga yang tidak berdekatan.

Bukti:

Misalkan Δ ABC diberikan. Titik D terletak pada garis AC sehingga A terletak di antara C dan D. Maka BAD berada di luar sudut segitiga di titik sudut A dan A + BAD = 180°. Tetapi A + B + C = 180°, maka B + C = 180° – A. Maka BAD = B + C. Akibat wajarnya terbukti.

Konsekuensi.

Sudut luar suatu segitiga lebih besar dari sudut mana pun dalam segitiga yang tidak berdekatan dengannya.

Tugas.

Sudut luar suatu segitiga adalah sudut yang berdekatan dengan salah satu sudut segitiga tersebut. Buktikan bahwa sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut segitiga yang tidak berdekatan.
(Gbr.1)

Larutan:

Biarkan Δ ABC ∠DAС menjadi eksternal (Gbr. 1). Maka ∠DAC = 180°-∠BAC (berdasarkan sifat sudut-sudut yang berdekatan), dengan teorema jumlah sudut-sudut suatu segitiga ∠B+∠C = 180°-∠BAC. Dari persamaan ini kita peroleh ∠DAС=∠В+∠С

Fakta yang menarik:

Jumlah sudut suatu segitiga" :

Dalam geometri Lobachevsky, jumlah sudut suatu segitiga selalu kurang dari 180. Dalam geometri Euclidian selalu sama dengan 180. Dalam geometri Riemann, jumlah sudut suatu segitiga selalu lebih besar dari 180.

Dari sejarah matematika:

Euclid (abad ke-3 SM) dalam karyanya “Elements” memberikan definisi sebagai berikut: “Garis sejajar adalah garis-garis yang berada pada bidang yang sama dan diperpanjang pada kedua arah tanpa batas waktu, tidak bertemu satu sama lain pada kedua sisinya.” .
Posidonius (abad ke-1 SM) “Dua garis lurus yang terletak pada bidang yang sama, berjarak sama satu sama lain”
Ilmuwan Yunani kuno Pappus (abad III SM) memperkenalkan simbol garis sejajar - tanda =. Selanjutnya, ekonom Inggris Ricardo (1720-1823) menggunakan simbol ini sebagai tanda sama dengan.
Baru pada abad ke-18 mereka mulai menggunakan simbol garis sejajar - tanda ||.
Hubungan hidup antar generasi tidak terputus sesaat pun, setiap hari kita mempelajari pengalaman yang dikumpulkan oleh nenek moyang kita. Orang Yunani kuno, berdasarkan pengamatan dan pengalaman praktis, menarik kesimpulan, menyatakan hipotesis, dan kemudian, pada pertemuan para ilmuwan - simposium (secara harfiah berarti "pesta") - mereka mencoba untuk mendukung dan membuktikan hipotesis ini. Saat itu, muncul pernyataan: “Kebenaran lahir dari perselisihan.”

Pertanyaan: