Leonhard Euler (1707.-1783.) - poznati švicarski i ruski matematičar, član Sanktpeterburške akademije znanosti, veći dio života živio je u Rusiji. Najpoznatiji u matematičkoj analizi, statistici, informatici i logici je Eulerov krug (Euler-Vennov dijagram), koji se koristi za označavanje opsega pojmova i skupova elemenata.

John Venn (1834-1923) - engleski filozof i logičar, koautor Euler-Vennovog dijagrama.

Spojivi i nespojivi pojmovi

Pojam u logici znači oblik mišljenja koji odražava bitne značajke klase homogenih objekata. Označavaju se jednom ili grupom riječi: "karta svijeta", "dominantni peti akord", "ponedjeljak" itd.

U slučaju kada elementi opsega jednog pojma u potpunosti ili djelomično pripadaju opsegu drugoga, govorimo o kompatibilnim pojmovima. Ako niti jedan element iz opsega jednog pojma ne pripada opsegu drugog, imamo situaciju s nekompatibilnim pojmovima.

S druge strane, svaka vrsta koncepta ima svoj skup mogućih odnosa. Za kompatibilne koncepte to su sljedeći:

• istovjetnost (ekvivalencija) volumena;
• presjek (djelomična podudarnost) volumena;
• subordinacija (podređenost).

Za nekompatibilne:

• podređenost (koordinacija);
• suprotno (suprotno);
• kontradikcija (kontradikcija).

Shematski se odnosi između pojmova u logici obično označavaju pomoću Euler-Vennovih krugova.

Odnosi ekvivalencije

U ovom slučaju pojmovi podrazumijevaju isti predmet. Sukladno tome, opseg ovih pojmova potpuno se podudara. Na primjer:

A - Sigmund Freud;

B je utemeljitelj psihoanalize.

Kvadrat;

B - jednakostranični pravokutnik;

C je jednakokutni romb.

Za označavanje se koriste potpuno koincidirajuće Eulerove kružnice.

Raskrižje (djelomično podudaranje)

Učitelj;

B je ljubitelj glazbe.

Kao što je vidljivo iz ovog primjera, opseg pojmova se djelomično podudara: određena skupina učitelja može se pokazati ljubiteljima glazbe, i obrnuto - među ljubiteljima glazbe mogu biti i predstavnici učiteljske profesije. Sličan odnos bit će iu slučaju kada je pojam A npr. “stanovnik grada”, a pojam B “vozač”.

Podređenost (podređenost)

Shematski označeni kao Eulerovi krugovi različitih razmjera. Odnos među pojmovima u ovom slučaju karakterizira činjenica da je podređeni pojam (manjeg opsega) potpuno uključen u podređeni (veći opsegom). Pritom podređeni koncept ne iscrpljuje u potpunosti podređeni.

Na primjer:

Stablo;

B - bor.

Koncept B bit će podređen konceptu A. Budući da bor pripada drveću, koncept A postaje podređen u ovom primjeru, “upijajući” opseg koncepta B.

Podređenost (koordinacija)

Odnos karakterizira dva ili više pojmova koji se međusobno isključuju, ali istodobno pripadaju određenom općem generičkom krugu. Na primjer:

A - klarinet;

B - gitara;

C - violina;

D - glazbeni instrument.

Koncepti A, B, C se međusobno ne preklapaju, ali svi pripadaju kategoriji glazbenih instrumenata (koncept D).

Suprotno (suprotno)

Suprotni odnosi među pojmovima impliciraju da ti pojmovi pripadaju istom rodu. Štoviše, jedan od pojmova ima određena svojstva (znakove), dok ih drugi negira, zamjenjujući ih suprotnim u prirodi. Dakle, imamo posla s antonimima. Na primjer:

A - patuljak;

B je div.

Uz suprotne odnose među pojmovima, Eulerov krug je podijeljen na tri segmenta, od kojih prvi odgovara konceptu A, drugi konceptu B, a treći svim ostalim mogućim pojmovima.

kontradikcija (kontradikcija)

U ovom slučaju oba koncepta predstavljaju vrste istog roda. Kao iu prethodnom primjeru, jedan od pojmova ukazuje na određene kvalitete (znakove), dok ih drugi negira. Međutim, za razliku od odnosa suprotnosti, drugi, suprotni koncept ne zamjenjuje niječena svojstva drugim, alternativnim. Na primjer:

A - težak zadatak;

B je lak zadatak (ne-A).

Izražavajući opseg pojmova ove vrste, Eulerov krug je podijeljen na dva dijela - u ovom slučaju ne postoji treća, posredna karika. Dakle, pojmovi su također antonimi. U ovom slučaju, jedan od njih (A) postaje pozitivan (potvrđujući neki atribut), a drugi (B ili ne-A) postaje negativan (negirajući odgovarajući atribut): "bijeli papir" - "nije bijeli papir", "domaći povijest” - “strana povijest” itd.

Dakle, omjer volumena pojmova u međusobnom odnosu ključna je karakteristika koja definira Eulerove krugove.

Odnosi među skupovima

Također treba razlikovati pojmove elemenata i skupova čiji se volumen odražava u Eulerovim krugovima. Koncept skupa posuđen je iz matematičke znanosti i ima prilično široko značenje. Primjeri iz logike i matematike prikazuju ga kao određenu zbirku objekata. Sami objekti su elementi ovog skupa. “Skup je mnogo stvari zamišljenih kao jedno” (Georg Cantor, utemeljitelj teorije skupova).

Skupovi se označavaju velikim slovima: A, B, C, D... itd., elementi skupova označavaju se malim slovima: a, b, c, d... itd. Primjeri skupa mogu biti učenici u ista učionica, knjige koje stoje na određenoj polici (ili npr. sve knjige u određenoj knjižnici), stranice u dnevniku, bobice na šumskoj čistini itd.

Zauzvrat, ako određeni skup ne sadrži niti jedan element, tada se naziva praznim i označava se znakom Ø. Na primjer, skup točaka sjecišta paralelnih pravaca, skup rješenja jednadžbe x 2 = -5.

Rješavanje problema

Eulerovi krugovi se aktivno koriste za rješavanje velikog broja problema. Primjeri u logici jasno pokazuju vezu između logičkih operacija i teorije skupova. U ovom slučaju koriste se tablice istinitosti koncepta. Na primjer, krug označen imenom A predstavlja područje istine. Dakle, područje izvan kruga će predstavljati laž. Da biste odredili područje dijagrama za logičku operaciju, trebali biste zasjeniti područja koja definiraju Eulerov krug u kojem će njegove vrijednosti za elemente A i B biti istinite.

Korištenje Eulerovih krugova našlo je široku praktičnu primjenu u raznim industrijama. Na primjer, u situaciji s profesionalnim izborom. Ako je subjekt zabrinut oko odabira budućeg zanimanja, može se voditi sljedećim kriterijima:

W - što volim raditi?

D - što ja radim?

P - kako mogu dobro zaraditi?

Prikažimo to u obliku dijagrama: Eulerove kružnice (primjeri u logici - relacija presjeka):

Rezultat će biti ona zanimanja koja će biti na sjecištu sva tri kruga.

Euler-Vennove kružnice zauzimaju posebno mjesto u matematici (teoriji skupova) pri računanju kombinacija i svojstava. Eulerove kružnice skupa elemenata zatvorene su u slici pravokutnika koji označava univerzalni skup (U). Umjesto krugova mogu se koristiti i druge zatvorene figure, ali se suština ne mijenja. Likovi se međusobno sijeku, prema uvjetima problema (u najopćenitijem slučaju). Također, te brojke moraju biti odgovarajuće označene. Elementi skupova koji se razmatraju mogu biti točke smještene unutar različitih segmenata dijagrama. Na temelju njega mogu se osjenčati pojedina područja i tako označiti novoformirane skupove.

S tim skupovima moguće je izvoditi osnovne matematičke operacije: zbrajanje (zbroj skupova elemenata), oduzimanje (razlika), množenje (umnožak). Osim toga, zahvaljujući Euler-Vennovim dijagramima, moguće je uspoređivati ​​skupove po broju elemenata koji su u njima uključeni, bez njihovog brojanja.

Leonhard Euler - najveći matematičar napisao više od 850 znanstvenih radova.U jednom od njih pojavili su se ti krugovi.

Znanstvenik je to napisao"vrlo su prikladni za olakšavanje naših razmišljanja."

Eulerove kružnice je geometrijski dijagram koji pomaže pronaći i/ili razjasniti logičke veze između pojava i pojmova. Također pomaže u prikazivanju odnosa između skupa i njegovog dijela.

Od 90 turista koji idu na izlet, 30 ljudi govori njemački, 28 ljudi govori engleski, 42 ljudi govori francuski.8 osoba govori engleski i njemački istovremeno, 10 osoba govori engleski i francuski, 5 osoba govori njemački i francuski, 3 osobe govore sva tri jezika. Koliko turista ne govori nijedan jezik?

Riješenje:

Prikažimo stanje zadatka grafički – pomoću tri kružića

Odgovor: 10 ljudi.

Problem 2

Mnoga djeca u našem razredu vole nogomet, košarku i odbojku. A neki čak imaju dva ili tri ovakva sporta. Poznato je da 6 ljudi iz razreda igra samo odbojku, 2 - samo nogomet, 5 - samo košarku. Samo 3 osobe mogu igrati odbojku i nogomet, 4 mogu igrati nogomet i košarku, 2 mogu igrati odbojku i košarku. Jedna osoba iz razreda može igrati sve igre, 7 ne može igrati nijednu igru. Treba pronaći:

Koliko je ljudi u razredu?

Koliko ljudi može igrati nogomet?

Koliko ljudi može igrati odbojku?

Problem 3

U dječjem kampu bilo je 70 djece. Od toga 20 je uključeno u dramski klub, 32 pjeva u zboru, 22 se bavi sportom. U dramskoj sekciji ima 10 djece zbora, u zboru 6 sportaša, u dramskoj sekciji 8 sportaša, a 3 sportaša pohađaju i dramsku sekciju i zbor. Koliko djece ne pjeva u zboru, ne zanima ih sport i ne ide u dramski klub? Koliko se momaka bavi samo sportom?

Problem 4

Od zaposlenika tvrtke, njih 16 posjetilo je Francusku, 10 – Italiju, 6 – Englesku. U Engleskoj i Italiji - pet, u Engleskoj i Francuskoj - 6, u sve tri zemlje - 5 zaposlenih. Koliko je ljudi posjetilo i Italiju i Francusku, ako tvrtka zapošljava ukupno 19 ljudi, a svaki od njih je posjetio barem jednu od tih zemalja?

Problem 5

Učenici šestih razreda ispunjavali su upitnik o omiljenim crtićima. Ispostavilo se da su se najviše svidjeli “Snjeguljica i sedam patuljaka”, “Spužva Bob Skockani” i “Vuk i tele”. U razredu ima 38 učenika. 21 učenik voli Snjeguljicu i sedam patuljaka. Štoviše, njih troje voli i “Vuka i tele”, šestero voli “Spužva Boba Skockanog”, a jedno dijete podjednako voli sva tri crtića. “Vuk i tele” ima 13 obožavatelja, od kojih je pet u upitniku navelo dva crtića. Moramo utvrditi koliko učenika šestog razreda voli Spužvu Boba Skockanog.

Problemi koje učenici trebaju riješiti

1. U razredu ima 35 učenika. Svi su oni čitatelji školskih i područnih knjižnica. Od toga 25 posuđuje knjige iz školske knjižnice, 20 iz područne knjižnice. Koliko njih:

a) nisu čitatelji školske knjižnice;

b) nisu čitatelji područne knjižnice;

c) samo su čitatelji školske knjižnice;

d) samo su čitatelji područne knjižnice;

e) jesu li čitatelji obiju knjižnica?

2. Svaki učenik u razredu uči engleski ili njemački, ili oba. Engleski uči 25, njemački 27, a oba 18. Koliko učenika ima u razredu?

3. Na listu papira nacrtajte krug površine 78 cm2 i kvadrat površine 55 cm2. Površina presjeka kruga i kvadrata je 30 cm2. Dio lista koji ne zauzimaju krug i kvadrat ima površinu 150 cm2. Pronađite površinu lista.

4. U grupi turista je 25 ljudi. Među njima je 20 osoba mlađih od 30 godina, a 15 osoba starijih od 20 godina. Može li ovo biti istina? Ako da, u kojem slučaju?

5. U vrtiću je 52 djece. Svaki od njih voli tortu ili sladoled, ili oboje. Polovica djece voli kolače, a 20 ljudi voli kolače i sladoled. Koliko djece voli sladoled?

6. U razredu je 36 ljudi. Učenici ovog razreda pohađaju matematičku, fizičku i kemijsku sekciju, pri čemu matematičku sekciju pohađa 18, tjelesnu 14, kemijsku 10. Osim toga, poznato je da sva tri sekcije pohađaju po 2 sekcije, matematičku i tjelesnu po 8 polaznika, 5 - i matematički i kemijski, 3 - i fizički i kemijski krugovi. Koliko učenika u razredu ne pohađa niti jedan klub?

7. Razrednica je nakon praznika pitala tko je od djece išao u kazalište, kino ili cirkus. Ispostavilo se da od 36 učenika dvoje nikad nije bilo u kinu, kazalištu ili cirkusu. U kinu je bilo 25 osoba; u kazalištu - 11; u cirkusu - 17; iu kinu iu kazalištu - 6; iu kinu iu cirkusu - 10; i u kazalištu i u cirkusu - 4. Koliko je ljudi u isto vrijeme posjetilo kazalište, kino i cirkus?

Rješavanje zadataka Jedinstvenog državnog ispita pomoću Eulerovih krugova

Problem 1

U jeziku upita tražilice, simbol "|" se koristi za označavanje logičke operacije "ILI", a simbol "&" se koristi za logičku operaciju "I".

Krstarica i bojni brod? Pretpostavlja se da se sva pitanja izvršavaju gotovo istovremeno, tako da se skup stranica koje sadrže sve tražene riječi ne mijenja tijekom izvršavanja upita.

Riješenje:

Pomoću Eulerovih kružnica prikazujemo uvjete problema. U ovom slučaju koristimo brojeve 1, 2 i 3 za označavanje dobivenih područja.

Na temelju uvjeta problema kreiramo jednadžbe:

1. Krstarica | Bojni brod: 1 + 2 + 3 = 7000
2. Krstarica: 1 + 2 = 4800
3. Bojni brod: 2 + 3 = 4500

Pronaći Krstarica i bojni brod(označeno na crtežu kao područje 2), zamijenite jednadžbu (2) u jednadžbu (1) i saznajte da:

4800 + 3 = 7000, odakle dobivamo 3 = 2200.

Sada možemo zamijeniti ovaj rezultat u jednadžbu (3) i saznati da:

2 + 2200 = 4500, od čega je 2 = 2300.

Odgovor: 2300 - broj stranica pronađenih po zahtjevuKrstarica i bojni brod.

U jeziku upita tražilice za označavanje

Riješenje

Da bismo riješili problem, prikažimo skupove kolača i kolača u obliku Eulerovih krugova.

A B C ).

Iz opisa problema slijedi:

Kolači │Pite = A + B + C = 12000

Kolači i torte = B = 6500

Pita = B + C = 7700

Da biste pronašli broj kolača (Kolači = A + B ), moramo pronaći sektor A Kolači│Pite ) oduzmite skup pita.

Kolači│Pite – Pite = A + B + C -(B + C) = A = 1200 – 7700 = 4300

Sektor A jednako 4300, dakle

Kolači = A + B = 4300+6500 = 10800

Problem 3

|", a za logičku operaciju "I" - simbol "&".

Koliko će stranica (u tisućama) biti pronađeno za upit? Pekara?

Vjeruje se da su svi upiti izvršeni gotovo istovremeno, tako da se skup stranica koje sadrže sve tražene riječi nije mijenjao tijekom izvršavanja upita.

Riješenje

Da bismo riješili problem, prikazujemo skupove Kolači i Pečenje u obliku Eulerovih krugova.

Označimo svaki sektor posebnim slovom ( A B C ).

Iz opisa problema slijedi:

Torte i kolači = B = 5100

Torta = A + B = 9700

Torta │ Kolači = A + B + C = 14200

Da biste pronašli količinu pečenja (Pečenje = B + C ), moramo pronaći sektor U , za ovo iz općeg skupa ( Torta │ Pečenje) oduzmite set Torta.

Sektor B je jednako 4500, dakle Pečenje = B + C = 4500+5100 = 9600

Problem 4
silazni
UkazatiLogička operacija "ILI" koristi simbol "|", a za logičku operaciju "I" - simbol "&".
Riješenje

Zamislimo skupove pastirskih pasa, terijera i španijela u obliku Eulerovih krugova, označavajući sektore slovima ( A B C D ).

S panijeli │(terijeri i pastiri) = G + B

S paniel│pastirski psi= G + B + C

španijeli│terijeri│pastiri= A + B + C + D

terijeri & pastiri = B

Poredajmo brojeve zahtjeva silaznim redoslijedom prema broju stranica:3 2 1 4

Problem 5

Tablica prikazuje upite poslužitelju pretraživanja. Postavite redom brojeve zahtjeva povećavajući se broj stranica koje će tražilica pronaći za svaki zahtjev.
UkazatiLogička operacija "ILI" koristi simbol "|", a za logičku operaciju "I" - simbol "&".

1	barok | klasicizam | stilu carstva
2	barok | (klasicizam i ampir)
3	klasicizam i carstvo
4	barok | klasicizam

Riješenje

Zamislimo skupove klasicizam, ampire i klasicizam u obliku Eulerovih krugova, označavajući sektore slovima ( A B C D ).

Transformirajmo uvjet problema u obliku zbroja sektora:

barok│ klasicizam│empire = A + B + C + D
Barok │(klasicizam & empire) = G + B

Iz zbrojeva sektora vidimo koji je zahtjev proizveo više stranica.

Poredajmo brojeve zahtjeva uzlaznim redoslijedom prema broju stranica:3 2 4 1

Riješenje

Da bismo riješili problem, zamislimo upite u obliku Eulerovih krugova.

K - kanarinci,

Š – češljugari,

R – uzgoj.

kanarinci | terijeri | sadržaj	kanarinci & sadržaj	kanarinci & češljugari & sadržaj	uzgoj & držanje & kanarinci & češljugari

Prvi zahtjev ima najveću površinu zasjenjenih sektora, zatim drugi, pa treći, a četvrti zahtjev ima najmanju.

Uzlaznim redoslijedom prema broju stranica, zahtjevi će biti prikazani sljedećim redoslijedom: 4 3 2 1

Imajte na umu da u prvom zahtjevu popunjeni sektori Eulerovih krugova sadrže popunjene sektore drugog zahtjeva, popunjeni sektori drugog zahtjeva sadrže popunjene sektore trećeg zahtjeva, a popunjeni sektori trećeg zahtjeva sadrže popunjeni sektor četvrtog zahtjeva.

Samo u takvim uvjetima možemo biti sigurni da smo ispravno riješili problem.

Problem 7 (Jedinstveni državni ispit 2013.)

U jeziku upita tražilice, simbol "|" se koristi za označavanje logičke operacije "ILI", a simbol "&" se koristi za logičku operaciju "I".

Tablica prikazuje upite i broj pronađenih stranica za određeni segment interneta.

Zahtjev	Stranice pronađene (u tisućama)
Fregata | Razarač	3400
Fregata i razarač	900
Fregata	2100

Koliko će stranica (u tisućama) biti pronađeno za upit? Razarač?
Vjeruje se da su svi upiti izvršeni gotovo istovremeno, tako da se skup stranica koje sadrže sve tražene riječi nije mijenjao tijekom izvršavanja upita.

Logike. Udžbenik Gusev Dmitry Alekseevich

1.6. Eulerovi kružni dijagrami

1.6. Eulerovi kružni dijagrami

Kao što već znamo, u logici postoji šest opcija za odnose između pojmova. Bilo koja dva usporediva pojma nužno su u jednom od ovih odnosa. Na primjer, koncepti pisac I ruski su u odnosu na raskrižje, pisac I ljudski- podnošenje, Moskva I glavni grad Rusije– jednakost, Moskva I Petersburgu– podređenost, mokra cesta I suha cesta– suprotnosti, Antarktik I kopno- podnošenje, Antarktik I Afrika– podređenost, itd., itd.

Moramo obratiti pozornost na činjenicu da ako dva pojma označavaju dio i cjelinu npr mjesec I godina, tada su u odnosu subordinacije, iako se može činiti da između njih postoji odnos subordinacije, budući da je mjesec uključen u godinu. Međutim, ako pojmovi mjesec I godina bili podređeni, tada bi bilo potrebno ustvrditi da je mjesec nužno godina, a godina nije nužno mjesec (sjetite se odnosa podređenosti na primjeru pojmova karas I riba: karas je nužno riba, ali riba nije nužno karas). Mjesec nije godina, a godina nije mjesec, ali oboje su vremensko razdoblje, dakle, pojmovi mjeseca i godine, kao i pojmovi knjiga I stranica knjige, auto I automobilski kotač, molekula I atom itd., nalaze se u odnosu podređenosti, budući da dio i cjelina nisu isto što i vrsta i rod.

Na početku je rečeno da pojmovi mogu biti usporedivi i neusporedivi. Vjeruje se da je šest razmatranih opcija odnosa primjenjivo samo na usporedive koncepte. Međutim, moguće je ustvrditi da su svi neusporedivi pojmovi međusobno povezani u odnosu podređenosti. Na primjer, takvi neusporedivi koncepti kao pingvin I nebesko tijelo može se smatrati podređenim, jer pingvin nije nebesko tijelo i obrnuto, ali u isto vrijeme opseg pojmova pingvin I nebesko tijelo uključeni su u širi opseg trećeg koncepta, generičkog u odnosu na njih: to može biti koncept objekt okolnog svijeta ili oblik materije(uostalom, i pingvin i nebesko tijelo su različiti objekti okolnog svijeta ili različiti oblici materije). Ako jedan pojam označava nešto materijalno, a drugi – nematerijalno (npr. drvo I misao), onda je generički koncept za ove (kako se može tvrditi) podređene koncepte oblik bića, jer su stablo, misao i bilo što drugo različiti oblici postojanja.

Kao što već znamo, odnosi između pojmova prikazani su Eulerovim kružnim dijagramima. Štoviše, do sada smo shematski prikazivali odnos dvaju pojmova, a to je moguće učiniti s velikim brojem pojmova. Na primjer, odnosi između pojmova bokserica, crna I ljudski

Relativni položaj kružića pokazuje da pojmovi bokser I Crna osoba su u odnosu na raskrižje (boksač može biti crnac, ali ne mora biti, a crnac može biti boksač, a ne mora biti), i koncepte bokser I ljudski, baš kao i pojmovi Crna osoba I ljudski su u odnosu podređenosti (uostalom, svaki boksač i svaki crnac je nužno osoba, ali osoba ne može biti ni boksač ni crnac).

Razmotrimo odnose između pojmova djed, otac, čovjek, osoba pomoću kružnog dijagrama:

Kao što vidimo, ova četiri koncepta su u odnosu sekvencijalne podređenosti: djed je nužno otac, a otac nije nužno djed; svaki otac je nužno muškarac, ali nije svaki muškarac otac; i, konačno, čovjek je nužno osoba, ali ne može samo čovjek biti osoba. Odnosi među pojmovima predator, riba, morski pas, pirana, štuka, živo biće prikazani su sljedećim dijagramom:

Pokušajte sami komentirati ovaj dijagram, utvrđujući sve vrste odnosa između pojmova prisutnih na njemu.

Ukratko, napominjemo da su odnosi između pojmova odnosi između njihovih volumena. To znači da, da bi se mogli uspostaviti odnosi između pojmova, njihov volumen mora biti jasan, a sadržaj, prema tome, jasan, odnosno ti pojmovi moraju biti određeni. Što se tiče gore razmotrenih neodređenih pojmova, prilično je teško, zapravo nemoguće, utvrditi točne odnose među njima, jer zbog nejasnoće njihova sadržaja i zamagljenog volumena, bilo koja dva neodređena pojma mogu se okarakterizirati kao ekvivalentna ili križna, ili kao podređeni itd. Npr.. Je li moguće uspostaviti odnose između nejasnih pojmova aljkavost I nemara? Hoće li to biti jednakost ili podređenost, nemoguće je sa sigurnošću reći. Dakle, neodređeni su i odnosi između neodređenih pojmova. Jasno je, dakle, da je u onim situacijama intelektualne i govorne prakse u kojima se traži točnost i jednoznačnost u određivanju odnosa među pojmovima nepoželjna uporaba nejasnih pojmova.

Iz knjige Bogojavljenje Autor Efimov Viktor Aleksejevič

Iz knjige Filozofija znanosti i tehnologije Autor Stepin Vjačeslav Semenovič

Teorijske sheme i apstraktni objekti tehničke teorije Teorijske sheme su skup apstraktnih objekata orijentiranih, s jedne strane, na korištenje odgovarajućeg matematičkog aparata, as druge, na misaoni eksperiment,

Iz knjige Dijalektika mita Autor Losev Aleksej Fedorovič

2. Dijalektika sheme, alegorije i simbola Koji su tipovi ovog odnosa općenito mogući? Ima ih jako puno. No, slijedeći Schellinga, mogu se identificirati tri glavna tipa. Istodobno ćemo imati na umu da su naši pojmovi "unutarnji" i "vanjski" vrlo opći pojmovi i mogu se

Iz knjige Tijek Doba Vodenjaka. Apokalipsa ili ponovno rođenje Autor Efimov Viktor Aleksejevič

Iz knjige Izabrana djela Autor Ščedrovitski Georgij Petrovič

Iz knjige Čovjek među učenjima Autor Krotov Viktor Gavrilovič

Komentari i dijagrami Učenje, koje se temelji na unutarnjem radu pojedinca, ne bi moglo preživjeti samu tu osobnost bez plime novog unutarnjeg rada novih osobnosti. Oni koji su u ovom učenju za sebe vidjeli posebno značenje. Uvjeti postojanja se mijenjaju, dolazi

Iz knjige Umijeće ispravnog razmišljanja Autor Ivin Aleksandar Arhipovič

SHEME ISPRAVNOG RAZUMOVANJA Evo dva primjera deduktivnih zaključaka iz priče ruskog humorista s početka stoljeća V. Bilibina. “Da sunca nema na svijetu, morali bismo stalno paliti svijeće i petrolej. Ako bismo stalno morali paliti svijeće i petrolej, onda dužnosnici

Iz knjige Etika ljubavi i metafizika samovolje: Problemi moralne filozofije. Autor Davidov Jurij Nikolajevič

Moralna filozofija Tolstoja i Dostojevskog u okviru ničeanske sheme nihilizma Problem nihilizma je od posljednje četvrtine prošlog stoljeća došao na jedno od prvih mjesta među najvažnijim problemima zapadnoeuropske filozofije. Svojim “statusom” ona je prvenstveno

Iz knjige Norme u prostoru jezika Autor Fedjajeva Natalija Dmitrijevna

2.1.1. Norme i sheme govorne komunikacije: govorni bonton Izbor prvog problematičnog područja - govornog bontona - uvjetovan je sljedećim. U određivanju bitnih obilježja norme, počeli smo se udaljavati od društvenih normi, primjećujući da je njihovo postojanje u potpunosti

Iz knjige Spiralna dinamika [Upravljanje vrijednostima, vodstvom i promjenama u 21. stoljeću] od Becka Dona

2.1.2. Semiotički fiksirane norme-sheme: žanrovi Osnova za suprotnost društveno i semiotički fiksiranih normi, kako je rečeno u I. poglavlju, jest način na koji su one konsolidirane u sociokulturnoj praksi. Prvi – nepisani zakoni – postaju programi, sheme

Iz knjige Logika i argumentacija: udžbenik. priručnik za sveučilišta. Autor Ruzavin Georgij Ivanovič

Iz knjige Arhitektura i ikonografija. “Tijelo simbola” u zrcalu klasične metodologije Autor Vaneyan Stepan S.

9.1. Grafički dijagrami strukture argumentacije Svaka argumentacija počinje utvrđivanjem i raspravom o određenim činjenicama, koje ćemo dalje zvati podacima, a uz pomoć kojih se iznosi i obrazlaže određeni zaključak. Osim toga, za kretanje iz

Iz autorove knjige

Ikonografija kao sustav metoda: sheme i prijetnje Sama praksa ikonografske analize formirala je “provjerenu shemu” sekvencijskih istraživačkih radnji. Shema podrazumijeva: – pojašnjenje povijesnog značaja motiva – sa stajališta vremena (trenutak

Ako mislite da ne znate ništa o konceptu kao što su Eulerovi krugovi, onda ste duboko u zabludi. Već iz osnovne škole poznate su shematske slike ili krugovi koji omogućuju vizualno razumijevanje odnosa između pojmova i elemenata sustava.

Metodu, koju je izumio Leonhard Euler, znanstvenik je koristio za rješavanje složenih matematičkih problema. Skupove je prikazao u krugovima i ovaj dijagram učinio osnovom takvog koncepta kao simboličkog. Metoda je osmišljena tako da što je više moguće pojednostavi razmišljanje usmjereno na rješavanje određenog problema, zbog čega se tehnika aktivno koristi kako u osnovnoj školi tako iu akademskom okruženju. Zanimljivo je da je sličan pristup ranije koristio njemački filozof Leibniz, a kasnije su ga preuzeli i primijenili u raznim modifikacijama poznati umovi iz područja matematike. Na primjer, pravokutni dijagrami Čeha Bolzano, Schroeder, Venn, poznati po stvaranju popularnog dijagrama na temelju ove jednostavne, ali iznenađujuće učinkovite metode.

Krugovi su osnova takozvanih “vizualnih internetskih memova” koji se temelje na sličnosti karakteristika pojedinih skupova. Smiješno je, vizualno i što je najvažnije, razumljivo.

Krugovi misli

Krugovi vam omogućuju da jasno opišete uvjete problema i odmah donesete ispravnu odluku ili odredite smjer kretanja prema točnom odgovoru. Obično se Eulerovi krugovi koriste za rješavanje logičko-matematičkih problema koji uključuju skupove, njihove unije ili djelomične superpozicije. Sjecište krugova uključuje objekte koji imaju svojstva svakog od skupova prikazanih u krugu. Objekti koji nisu uključeni u set nalaze se izvan jednog ili drugog kruga. Ako su pojmovi apsolutno ekvivalentni, označavaju se jednim krugom, koji je unija dvaju skupova jednakih svojstava i volumena.

Logika odnosa

Pomoću Eulerovih krugova možete riješiti niz svakodnevnih problema, pa čak i odlučiti o izboru budućeg zanimanja, samo trebate analizirati svoje sposobnosti i želje i odabrati njihovo maksimalno sjecište.

Sada postaje jasno da Eulerovi krugovi uopće nisu apstraktni matematički i filozofski koncept iz kategorije teorijskog znanja, oni imaju vrlo primijenjeno i praktično značenje, omogućujući vam da se bavite ne samo najjednostavnijim matematičkim problemima, već i rješavanjem važnih problema. životne dileme na vizualan i svima razumljiv način.

Eulerove kružnice su geometrijski dijagram. Uz njegovu pomoć možete prikazati odnose između podskupova (pojmova) za vizualni prikaz.

Način prikazivanja pojmova u obliku krugova omogućuje vam razvoj mašte i logičnog razmišljanja ne samo za djecu, već i za odrasle. Počevši od 4-5 godina, djeca mogu rješavati jednostavne probleme s Eulerovim krugovima, prvo uz objašnjenja odraslih, a zatim samostalno. Ovladavanje metodom rješavanja problema pomoću Eulerovih krugova razvija sposobnost djeteta da analizira, uspoređuje, generalizira i grupira svoje znanje za širu primjenu.

Primjer

Na slici je prikazano mnoštvo svih mogućih igračaka. Neke od igračaka su konstrukcioni setovi – istaknute su posebnim ovalom. Ovo je dio velikog skupa "igračaka" iu isto vrijeme zaseban set (uostalom, građevinski set može biti "Lego" ili primitivni građevinski setovi napravljeni od blokova za djecu). Neki dio velike raznolikosti "igračaka" mogu biti igračke na navijanje. Oni nisu konstruktori pa im crtamo poseban oval. Žuti ovalni "auto na navijanje" odnosi se i na set "igračka" i dio je manjeg seta "igračka na navijanje". Stoga je prikazan unutar oba ovala odjednom.

Evo nekoliko zadataka logičkog razmišljanja za malu djecu:

• Prepoznajte krugove koji odgovaraju opisu predmeta. U ovom slučaju, preporučljivo je obratiti pozornost na one kvalitete koje predmet posjeduje trajno i koje ima privremeno. Na primjer, staklena čaša sa sokom uvijek ostaje staklo, ali u njoj nema uvijek soka. Ili postoji neka široka definicija koja uključuje različite koncepte; takva se klasifikacija također može prikazati pomoću Eulerovih krugova. Na primjer, violončelo je glazbeni instrument, ali nije svako glazbalo violončelo.

Za stariju djecu možete ponuditi opcije za probleme s izračunima - od prilično jednostavnih do vrlo složenih. Štoviše, samostalno smišljanje ovih zadataka za djecu roditeljima će pružiti vrlo dobru vježbu za um.

• 1. Od 27 učenika petog razreda, svi uče strane jezike - engleski i njemački. 12 ih uči njemački, a 19 engleski. Potrebno je utvrditi koliko učenika petog razreda uči dva strana jezika; koliko ljudi ne uči njemački; koliko ljudi ne uči engleski; Koliko njih uči samo njemački i samo engleski?

Ujedno, prvo pitanje problema nagovještava općenito put rješavanja ovog problema, obavještavajući da neki učenici uče oba jezika, u kojem slučaju korištenje dijagrama također olakšava djeci razumijevanje problema.

Usput, ako se ne možete odlučiti koju profesiju odabrati, pokušajte nacrtati dijagram u obliku Eulerovih krugova. Možda će vam ovakav crtež pomoći da napravite svoj izbor:

Te opcije koje će biti na sjecištu sva tri kruga su profesija koja će vas moći ne samo nahraniti, već će vam i ugoditi.

I još jedan znak...

Preporučamo čitanje

Tablete

Otac Mihail, koji sve stigne - Čega ste se najviše uplašili?

pametni telefoni

Relevantnost grafova. Počnite u znanosti. Povijest teorije grafova

Tablete

Odnosi među pojmovima

Android upute

Slika Rusije u djelima S

pametni telefoni

Grafovi kao struktura podataka

Uredski programi

Postoji li uopće demokracija?