Formule. Geometrijski likovi. Pravokutnik. Formule Dijagonalni kalkulator

Sadržaj:

Dijagonala je dužina koja spaja dva nasuprotna vrha pravokutnika. Pravokutnik ima dvije jednake dijagonale. Ako su stranice pravokutnika poznate, dijagonala se može pronaći pomoću Pitagorinog poučka jer dijagonala dijeli pravokutnik na dva pravokutna trokuta. Ako stranice nisu dane, ali su poznate druge veličine, kao što su površina i opseg ili omjer stranica, možete pronaći stranice pravokutnika i zatim upotrijebiti Pitagorin poučak za izračun dijagonale.

Koraci

1 Sa strane

1. 1 Zapiši Pitagorin poučak. Formula: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Zamijenite vrijednosti strana u formulu. Zadani su u zadatku ili ih je potrebno izmjeriti. Bočne vrijednosti zamjenjuju se za 3
   • U našem primjeru:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 Po površini i opsegu

     1. 1 Formula: S = l w (Na slici umjesto S koristi se oznaka A.)
     2. 2 Ova vrijednost je zamijenjena za S 3 Prepišite formulu da izolirate w 4 Zapišite formulu za izračunavanje opsega pravokutnika. Formula: P = 2 (w + l)
     3. 5 Zamijenite opseg pravokutnika u formulu. Ova vrijednost je zamijenjena za P 6 Podijelite obje strane jednadžbe s 2. Dobit ćete zbroj stranica pravokutnika, odnosno w + l 7 Zamijenite izraz za izračunavanje w 8 u formulu Riješite se razlomka. Da biste to učinili, pomnožite obje strane jednadžbe s l 9 Postavite jednadžbu na 0. Da biste to učinili, oduzmite član varijable prvog reda od obje strane jednadžbe.
        • U našem primjeru:
          12 l = 35 + l 2 10 Poredaj članove jednadžbe. Prvi član će biti varijabilni član drugog reda, zatim varijabilni član prvog reda, a zatim slobodni član. Pritom ne zaboravite na znakove ("plus" i "minus") koji se pojavljuju ispred članova. Imajte na umu da će jednadžba biti napisana kao kvadratna jednadžba.
          • U našem primjeru 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • U našem primjeru, jednadžba je 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Pronađite l 13 Zapiši Pitagorin poučak. Formula: a 2 + b 2 = c 2
              • Upotrijebite Pitagorin poučak jer svaka dijagonala pravokutnika dijeli ga na dva jednaka pravokutna trokuta. Štoviše, stranice pravokutnika su noge trokuta, a dijagonala pravokutnika je hipotenuza trokuta.
            • 14 Ove vrijednosti su zamijenjene za 15 Kvadrirajte duljinu i širinu, a zatim zbrojite rezultate. Zapamtite da kada kvadrirate broj, on se množi sam sa sobom.
              • U našem primjeru:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Izvadite kvadratni korijen obje strane jednadžbe. Koristite kalkulator da brzo pronađete kvadratni korijen. Također možete koristiti online kalkulator. Naći ćete c

                3 Prema površini i omjeru stranica

                1. 1 Napiši jednadžbu koja karakterizira omjer stranica. Izoliraj l 2 Zapišite formulu za izračunavanje površine pravokutnika. Formula: S = l w (Na slici umjesto S koristi se oznaka A.)
                   • Ova je metoda također primjenjiva kada je opseg pravokutnika poznat, ali tada morate koristiti formulu za izračunavanje opsega, a ne površine. Formula za izračunavanje opsega pravokutnika: P = 2 (w + l)
                2. 3 Zamijenite površinu pravokutnika u formulu. Ova vrijednost je zamijenjena za S 4 U formuli zamijenite izraz koji karakterizira odnos stranaka. U slučaju pravokutnika, možete zamijeniti izraz za izračunavanje l 5 Napiši kvadratnu jednadžbu. Da biste to učinili, otvorite zagrade i postavite jednadžbu na nulu.
                   • U našem primjeru:
                     35 = w(w+2)6 Faktorirajte kvadratnu jednadžbu. Za detaljne upute čitajte dalje.
                     • U našem primjeru, jednadžba je 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Pronađite w 8 Zamijenite pronađenu širinu (ili duljinu) u jednadžbu koja karakterizira omjer širine i visine. Na taj način možete pronaći drugu stranu pravokutnika.
                       • Na primjer, ako izračunate da je širina pravokutnika 5 cm, a omjer širine i visine je dan jednadžbom l = w + 2 9 Zapiši Pitagorin poučak. Formula: a 2 + b 2 = c 2
                         • Upotrijebite Pitagorin poučak jer svaka dijagonala pravokutnika dijeli ga na dva jednaka pravokutna trokuta. Štoviše, stranice pravokutnika su noge trokuta, a dijagonala pravokutnika je hipotenuza trokuta.
                       • 10 Zamijenite vrijednosti duljine i širine u formulu. Ove vrijednosti su zamijenjene za 11 Kvadrirajte duljinu i širinu, a zatim zbrojite rezultate. Zapamtite da kada kvadrirate broj, on se množi sam sa sobom.
                         • U našem primjeru:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Izvadite kvadratni korijen obje strane jednadžbe. Koristite kalkulator da brzo pronađete kvadratni korijen. Također možete koristiti online kalkulator. Naći ćete c (displaystyle c), odnosno hipotenuzu trokuta, a time i dijagonalu pravokutnika.
                           • U našem primjeru:
                             74 = c 2 (stil prikaza 74=c^(2))
                             74 = c 2 (stil prikaza (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8 , 6024 = c (stil prikaza 8,6024=c)
                             Dakle, dijagonala pravokutnika čija je duljina 2 cm veća od širine i čija je površina 35 cm 2 iznosi približno 8,6 cm.

je paralelogram u kojem su svi kutovi jednaki 90°, a nasuprotne stranice su paralelne i u parovima jednake.

Pravokutnik ima nekoliko nepobitnih svojstava koja se koriste u rješavanju mnogih problema, u formulama za površinu pravokutnika i njegov opseg. Evo ih:

Duljina nepoznate stranice ili dijagonale pravokutnika izračunava se pomoću ili korištenjem Pitagorinog poučka. Površina pravokutnika može se pronaći na dva načina - proizvodom njegovih stranica ili formulom za površinu pravokutnika kroz dijagonalu. Prva i najjednostavnija formula izgleda ovako:

Primjer izračuna površine pravokutnika pomoću ove formule vrlo je jednostavan. Poznavajući dvije strane, na primjer a = 3 cm, b = 5 cm, lako možemo izračunati površinu pravokutnika:
Smatramo da će u takvom pravokutniku površina biti jednaka 15 četvornih metara. cm.

Površina pravokutnika kroz dijagonale

Ponekad morate primijeniti formulu za područje pravokutnika kroz dijagonale. Zahtijeva ne samo pronalaženje duljine dijagonala, već i kut između njih:

Pogledajmo primjer izračuna površine pravokutnika pomoću dijagonala. Neka je zadan pravokutnik dijagonale d = 6 cm i kuta = 30°. Zamjenjujemo podatke u već poznatu formulu:

Dakle, primjer izračuna površine pravokutnika kroz dijagonalu pokazao nam je da je pronalaženje površine na ovaj način, ako je zadan kut, prilično jednostavno.
Pogledajmo još jedan zanimljiv problem koji će nam pomoći da malo protegnemo mozak.

Zadatak: S obzirom na kvadrat. Njegova površina je 36 četvornih metara. cm. Odredi opseg pravokutnika čija je duljina jedne stranice 9 cm, a površina jednaka gore navedenom kvadratu.
Dakle, imamo nekoliko uvjeta. Radi jasnoće, zapišimo ih kako bismo vidjeli sve poznate i nepoznate parametre:
Stranice figure su u parovima paralelne i jednake. Stoga je opseg figure jednak dvostrukom zbroju duljina stranica:
Iz formule za površinu pravokutnika, koja je jednaka umnošku dviju strana figure, nalazimo duljinu stranice b
Odavde:
Zamjenjujemo poznate podatke i nalazimo duljinu stranice b:
Izračunajte opseg figure:
Ovako, znajući nekoliko jednostavnih formula, možete izračunati opseg pravokutnika, znajući njegovu površinu.

Pravokutnik je četverokut u kojem je svaki kut pravi.

Dokaz

Svojstvo je objašnjeno djelovanjem značajke 3 paralelograma (to jest, \kut A = \kut C , \kut B = \kut D )

2. Nasuprotne stranice su jednake.

AB = CD,\enrazmak BC = AD

3. Nasuprotne stranice su paralelne.

AB \paralelno CD,\enrazmak BC \paralelno AD

4. Susjedne stranice su okomite jedna na drugu.

AB \perp BC,\enrazmak BC \perp CD,\enrazmak CD \perp AD,\enrazmak AD \perp AB

5. Dijagonale pravokutnika su jednake.

AC = BD

Dokaz

Prema svojstvo 1 pravokutnik je paralelogram, što znači AB = CD.

Prema tome, \trokut ABD = \trokut DCA na dva kraka (AB = CD i AD - zglob).

Ako su obje figure ABC i DCA identične, onda su im hipotenuze BD i AC također identične.

Dakle, AC = BD.

Od svih figura (samo od paralelograma!) samo pravokutnik ima jednake dijagonale.

Dokažimo i ovo.

ABCD je paralelogram \Rightarrow AB = CD, AC = BD prema uvjetu. \Desna strelica \trokut ABD = \trokut DCA već na tri strane.

Ispada da je \kut A = \kut D (poput kutova paralelograma). I \kut A = \kut C , \kut B = \kut D .

Zaključujemo da \kut A = \kut B = \kut C = \kut D. Svi su 90^(\circ) . Ukupno - 360^(\circ) .

dokazano!

6. Kvadrat dijagonale jednak je zbroju kvadrata dviju njezinih susjednih stranica.

Ovo je svojstvo istinito zahvaljujući Pitagorinom teoremu.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Dijagonala dijeli pravokutnik na dva jednaka pravokutna trokuta.

\trokut ABC = \trokut ACD, \enrazmak \trokut ABD = \trokut BCD

8. Točka sjecišta dijagonala ih dijeli na pola.

AO = BO = CO = DO

9. Sjecište dijagonala je središte pravokutnika i opisane kružnice.

10. Zbroj svih kutova je 360 ​​stupnjeva.

\kut ABC + \kut BCD + \kut CDA + \kut DAB = 360^(\circ)

11. Svi kutovi pravokutnika su pravi.

\kut ABC = \kut BCD = \kut CDA = \kut DAB = 90^(\krug)

12. Promjer kružnice opisane oko pravokutnika jednak je dijagonali pravokutnika.

13. Uvijek možete opisati krug oko pravokutnika.

Ovo svojstvo je istinito zbog činjenice da je zbroj nasuprotnih kutova pravokutnika 180^(\circ)

\kut ABC = \kut CDA = 180^(\circ),\enrazmak \kut BCD = \kut DAB = 180^(\circ)

14. Pravokutnik može sadržavati upisanu kružnicu i to samo jednu ako ima jednake duljine stranica (on je kvadrat).

Problem nalaženja dijagonale pravokutnika može se formulirati na tri različita načina. Pogledajmo pobliže svaki od njih. Metode ovise o poznatim podacima, pa kako pronaći dijagonalu pravokutnika?

Ako su poznate dvije strane

U slučaju kada su poznate dvije stranice pravokutnika a i b, za određivanje dijagonale potrebno je koristiti Pitagorin poučak: a 2 + b 2 =c 2, ovdje su a i b kraci pravokutnog trokuta, c je hipotenuza pravokutnog trokuta. Kada se dijagonala povuče u pravokutnik, ona se dijeli na dva pravokutna trokuta. Poznajemo dvije stranice ovog pravokutnog trokuta (a i b). Odnosno, da biste pronašli dijagonalu pravokutnika, potrebna je sljedeća formula: c=√(a 2 +b 2), ovdje je c duljina dijagonale pravokutnika.

Po poznatoj stranici i kutu, između stranice i dijagonale

Neka je poznata stranica pravokutnika a i kut koji ona čini s dijagonalom pravokutnika α. Prvo, sjetimo se formule kosinusa: cos α = a/c, ovdje je c dijagonala pravokutnika. Kako izračunati dijagonalu pravokutnika iz ove formule: c = a/cos α.

Uz poznatu stranicu, kut između susjedne stranice pravokutnika i dijagonale.

Budući da dijagonala pravokutnika dijeli sam pravokutnik na dva pravokutna trokuta, logično je obratiti se na definiciju sinusa. Sinus je omjer katete nasuprot ovom kutu u odnosu na hipotenuzu. sin α = b/c. Odavde izvodimo formulu za pronalaženje dijagonale pravokutnika, koja je ujedno i hipotenuza pravokutnog trokuta: c = b/sin α.

Sada ste pametni u ovom pitanju. Sutra možete obradovati svog učitelja geometrije!

Definicija.

Pravokutnik je četverokut u kojem su dvije nasuprotne stranice jednake i sva četiri kuta jednaka.

Pravokutnici se međusobno razlikuju samo po omjeru duge i kraće stranice, ali su sva četiri kuta prava, odnosno 90 stupnjeva.

Dulja stranica pravokutnika naziva se duljina pravokutnika, a onaj kratki - širina pravokutnika.

Stranice pravokutnika su ujedno i njegove visine.

Osnovna svojstva pravokutnika

Pravokutnik može biti paralelogram, kvadrat ili romb.

1. Nasuprotne stranice pravokutnika imaju jednake duljine, odnosno jednake su:

AB = CD, BC = AD

2. Nasuprotne stranice pravokutnika su paralelne:

3. Susjedne stranice pravokutnika uvijek su okomite:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Sva četiri kuta pravokutnika su ravna:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Zbroj kutova pravokutnika je 360 ​​stupnjeva:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Dijagonale pravokutnika imaju jednake duljine:

7. Zbroj kvadrata dijagonale pravokutnika jednak je zbroju kvadrata stranica:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Svaka dijagonala pravokutnika dijeli pravokutnik na dva jednaka lika, odnosno pravokutna trokuta.

9. Dijagonale pravokutnika sijeku se i dijele na pola u sjecištu:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Točka sjecišta dijagonala naziva se središtem pravokutnika, a također je i središtem opisane kružnice

11. Dijagonala pravokutnika je promjer opisane kružnice

12. Uvijek možete opisati krug oko pravokutnika, jer je zbroj suprotnih kutova 180 stupnjeva:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Krug se ne može upisati u pravokutnik čija duljina nije jednaka njegovoj širini, jer zbrojevi nasuprotnih stranica nisu međusobno jednaki (krug se može upisati samo u poseban slučaj pravokutnika - kvadrat) .

Stranice pravokutnika

Definicija.

Duljina pravokutnika je duljina duljeg para njegovih stranica. Širina pravokutnika je duljina kraćeg para njegovih stranica.

Formule za određivanje duljina stranica pravokutnika

1. Formula za stranicu pravokutnika (duljina i širina pravokutnika) kroz dijagonalu i drugu stranicu:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Formula za stranicu pravokutnika (duljina i širina pravokutnika) kroz površinu i drugu stranicu:

b = dcos	β
	2

Dijagonala pravokutnika

Definicija.

Dijagonalni pravokutnik Svaki segment koji povezuje dva vrha suprotnih kutova pravokutnika naziva se.

Formule za određivanje duljine dijagonale pravokutnika

1. Formula za dijagonalu pravokutnika koristeći dvije stranice pravokutnika (putem Pitagorinog teorema):

d = √ a 2 + b 2

2. Formula za dijagonalu pravokutnika koristeći površinu i bilo koju stranicu:

4. Formula za dijagonalu pravokutnika u smislu polumjera opisane kružnice:

d = 2R

5. Formula za dijagonalu pravokutnika u smislu promjera opisane kružnice:

d = D o

6. Formula za dijagonalu pravokutnika koja koristi sinus kuta uz dijagonalu i duljinu stranice nasuprot ovom kutu:

8. Formula za dijagonalu pravokutnika kroz sinus oštrog kuta između dijagonala i površine pravokutnika

d = √2S: grijeh β

Opseg pravokutnika

Definicija.

Opseg pravokutnika je zbroj duljina svih stranica pravokutnika.

Formule za određivanje duljine opsega pravokutnika

1. Formula za opseg pravokutnika s dvije stranice pravokutnika:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. Formula za opseg pravokutnika koristeći površinu i bilo koju stranicu:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. Formula za opseg pravokutnika pomoću dijagonale i bilo koje stranice:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Formula za opseg pravokutnika pomoću polumjera opisane kružnice i bilo koje stranice:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Formula za opseg pravokutnika koristeći promjer opisane kružnice i bilo koje stranice:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Površina pravokutnika

Definicija.

Površina pravokutnika naziva se prostor ograničen stranicama pravokutnika, odnosno unutar opsega pravokutnika.

Formule za određivanje površine pravokutnika

1. Formula za površinu pravokutnika s dvije strane:

S = a b

2. Formula za površinu pravokutnika pomoću perimetra i bilo koje strane:

5. Formula za površinu pravokutnika pomoću polumjera opisane kružnice i bilo koje strane:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Formula za površinu pravokutnika pomoću promjera opisanog kruga i bilo koje strane:

S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2

Oko pravokutnika opisana kružnica

Definicija.

Kružnica opisana oko pravokutnika je kružnica koja prolazi kroz četiri vrha pravokutnika čije središte leži u sjecištu dijagonala pravokutnika.

Formule za određivanje polumjera kruga opisanog oko pravokutnika

1. Formula za polumjer kružnice opisane oko pravokutnika kroz dvije stranice: