Samo o osnovnim formulama teorije vjerojatnosti. Povijest razvoja teorije vjerojatnosti. Što je teorija vjerojatnosti

Odjeljak 12. Teorija vjerojatnosti.

1. Uvod

2. Najjednostavniji pojmovi teorije vjerojatnosti

3. Algebra događaja

4. Vjerojatnost slučajnog događaja

5. Geometrijske vjerojatnosti

6. Klasične vjerojatnosti. Kombinatoričke formule.

7. Uvjetna vjerojatnost. Neovisnost događaja.

8. Formula potpune vjerojatnosti i Bayesova formula

9. Ponovljena shema ispitivanja. Bernoullijeva formula i njena asimptotika

10. Slučajne varijable (RV)

11. DSV serija distribucije

12. Funkcija kumulativne distribucije

13. Funkcija raspodjele NSV

14. Gustoća vjerojatnosti NSV

15. Numeričke karakteristike slučajnih varijabli

16. Primjeri važnijih SV distribucija

16.1. Binomna distribucija DSV.

16.2. Poissonova distribucija

16.3. Jednolika raspodjela NSV.

16.4. Normalna distribucija.

17. Granični teoremi teorije vjerojatnosti.

Uvod

Teorija vjerojatnosti, kao i mnoge druge matematičke discipline, razvila se iz potreba prakse. Istovremeno, pri proučavanju realnog procesa bilo je potrebno stvoriti apstraktni matematički model realnog procesa. Obično se uzimaju u obzir glavne, najznačajnije pokretačke sile stvarnog procesa, odbacujući iz razmatranja sekundarne, koje se nazivaju slučajnim. Naravno, što se smatra glavnim, a što sporednim, poseban je zadatak. Rješenje ovog pitanja određuje razinu apstrakcije, jednostavnost ili složenost matematičkog modela i razinu primjerenosti modela stvarnom procesu. U biti, svaki apstraktni model je rezultat dviju suprotnih težnji: jednostavnosti i primjerenosti stvarnosti.

Na primjer, u teoriji gađanja, razvijene su prilično jednostavne i prikladne formule za određivanje putanje leta projektila iz pištolja koji se nalazi u točki (slika 1).

Pod određenim uvjetima dovoljna je spomenuta teorija, primjerice, tijekom masivne topničke pripreme.

No, jasno je da će putanje, iako blizu, biti različite, ako se iz jednog pištolja pod istim uvjetima ispali više hitaca. A ako je ciljna veličina mala u usporedbi s područjem raspršenja, tada se postavljaju specifična pitanja vezana uz utjecaj faktora koji nisu uzeti u obzir u predloženom modelu. Istodobno, uzimanje u obzir dodatnih čimbenika dovest će do previše složenog modela koji je gotovo nemoguće koristiti. Osim toga, postoji mnogo ovih slučajnih čimbenika, čija je priroda najčešće nepoznata.

U gornjem primjeru, takva specifična pitanja koja nadilaze deterministički model su, na primjer, sljedeća: koliko hitaca mora biti ispaljeno da bi se zajamčio pogodak mete s određenom sigurnošću (na primjer, na )? Kako treba izvesti nuliranje kako bi se iskoristila najmanja količina granata za pogodak u metu? i tako dalje.

Kao što ćemo kasnije vidjeti, riječi "slučajan" i "vjerojatnost" postat će strogi matematički izrazi. Istodobno, vrlo su česti u običnom kolokvijalnom govoru. Vjeruje se da je pridjev "slučajan" suprotan od "prirodan". No, to nije tako, jer je priroda tako dizajnirana da slučajni procesi otkrivaju obrasce, ali pod određenim uvjetima.

Glavni uvjet je tzv masovni karakter.

Na primjer, ako bacite novčić, ne možete predvidjeti što će ispasti, grb ili broj, možete samo nagađati. Međutim, ako se ovaj novčić baci velik broj puta, udio ispadanja grba neće se mnogo razlikovati od određenog broja blizu 0,5 (u nastavku ćemo ovaj broj zvati vjerojatnost). Štoviše, s povećanjem broja bacanja smanjit će se odstupanje od tog broja. Ovo svojstvo se zove stabilnost prosječni pokazatelji (u ovom slučaju - udio grbova). Mora se reći da u prvim koracima teorije vjerojatnosti, kada je bilo potrebno u praksi provjeriti prisutnost svojstva stabilnosti, čak ni velikim znanstvenicima nije bilo teško provesti vlastitu provjeru. Dakle, poznati eksperiment Buffona, koji je bacio novčić 4040 puta, a grb se pojavio 2048 puta, dakle, udio (ili relativna učestalost) gubitka grba je 0,508, što je blizu intuitivno očekivani broj od 0,5.

Stoga se obično daje definicija predmet teorije vjerojatnosti kao grane matematike koja proučava obrasce masovnih slučajnih procesa.

Mora se reći da, unatoč činjenici da najveća dostignuća teorije vjerojatnosti datiraju s početka prošlog stoljeća, posebno zahvaljujući aksiomatskoj konstrukciji teorije u djelima A.N. Kolmogorov (1903-1987), interes za proučavanje nesreća pojavio se davno.

Početni interesi bili su pokušaj primjene numeričkog pristupa kockanju. Prvi vrlo zanimljivi rezultati teorije vjerojatnosti obično se povezuju s radovima L. Paciolija (1494.), D. Cardana (1526.) i N. Tartaglie (1556.).

Kasnije su B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695) postavili temelje klasične teorije vjerojatnosti. Početkom 18. stoljeća J. Bernoulli (1654.-1705.) oblikuje pojam vjerojatnosti slučajnog događaja kao omjera broja povoljnih prilika prema broju svih mogućih. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) izgradili su svoje teorije na korištenju pojma mjere skupa.

Gledište teorije skupova predstavljeno je u svom najpotpunijem obliku 1933. godine. A.N. Kolmogorov u svojoj monografiji “Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti”. Od tog trenutka teorija vjerojatnosti postaje stroga matematička znanost.

Ruski matematičari P.L. dali su veliki doprinos razvoju teorije vjerojatnosti. Čebišev (1821.-1894.), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) i drugi.

Teorija vjerojatnosti se u današnje vrijeme ubrzano razvija.

Najjednostavniji pojmovi teorije vjerojatnosti

Kao i svaka matematička disciplina, teorija vjerojatnosti počinje uvođenjem najjednostavnijih pojmova koji nisu definirani, već samo objašnjeni.

Jedan od glavnih primarnih pojmova je iskustvo. Iskustvo se shvaća kao određeni skup uvjeta koji se mogu reproducirati neograničen broj puta. Svaku implementaciju ovog kompleksa nazvat ćemo iskustvom ili testom. Rezultati eksperimenta mogu biti različiti i tu se pojavljuje element slučajnosti. Različiti rezultati ili ishodi iskustva nazivaju se događanja(točnije slučajni događaji). Dakle, tijekom provedbe eksperimenta može se dogoditi jedan ili drugi događaj. Drugim riječima, slučajni događaj je ishod eksperimenta koji se može dogoditi (pojaviti) ili ne dogoditi tijekom provedbe eksperimenta.

Iskustvo će biti označeno slovom , a slučajni događaji obično se označavaju velikim slovima

Često je u eksperimentu moguće unaprijed identificirati njegove ishode, koji se mogu nazvati najjednostavnijima, koji se ne mogu rastaviti na jednostavnije. Takvi se događaji nazivaju elementarni događaji(ili slučajevima).

Primjer 1. Neka se novčić baca. Ishodi eksperimenta su: gubitak grba (taj događaj označavamo slovom); gubitak brojeva (označeno sa ). Tada možemo napisati: iskustvo = (bacanje novčića), ishodi: Jasno je da su elementarni događaji u ovom eksperimentu. Drugim riječima, nabrajanje svih elementarnih događaja iskustva potpuno ga opisuje. S tim u vezi, reći ćemo da je iskustvo prostor elementarnih događaja, au našem slučaju iskustvo možemo ukratko napisati u obliku: = (bacanje novčića) = (G; C).

Primjer 2. =(novčić se baca dva puta)= Evo verbalnog opisa doživljaja i nabrajanja svih elementarnih događaja: to znači da je prvo pri prvom bacanju novčića pao grb, pri drugom je pao i grb; znači da se grb pojavio pri prvom bacanju novčića, broj pri drugom itd.

Primjer 3. U koordinatnom sustavu točke su bačene u kvadrat. U ovom primjeru, elementarni događaji su točke s koordinatama koje zadovoljavaju zadane nejednakosti. Ukratko je napisano kako slijedi:

Dvotočka u vitičastim zagradama znači da se sastoji od točaka, ali ne bilo kojih, već samo onih koje zadovoljavaju uvjet (ili uvjete) naveden iza dvotočke (u našem primjeru to su nejednakosti).

Primjer 4. Novčić se baca dok se ne pojavi prvi grb. Drugim riječima, bacanje novčića se nastavlja sve dok se glava ne spusti. U ovom primjeru mogu se navesti elementarni događaji, iako je njihov broj beskonačan:

Uočimo da u primjerima 3 i 4 prostor elementarnih događaja ima beskonačan broj ishoda. U primjeru 4 mogu se navesti, tj. preračunati. Takav skup nazivamo prebrojivim. U primjeru 3 prostor je neprebrojiv.

Navedimo još dva događaja koja su prisutna u svakom iskustvu i koja su od velikog teorijskog značaja.

Nazovimo događaj nemoguće, osim ako se nužno ne dogodi kao rezultat iskustva. Označit ćemo ga znakom praznog skupa. Naprotiv, naziva se događaj koji će se sigurno dogoditi kao rezultat iskustva pouzdan. Pouzdan događaj označava se na isti način kao i sam prostor elementarnih događaja - slovom .

Na primjer, kod bacanja kocke, događaj (manje od 9 bačenih bodova) je pouzdan, ali događaj (točno 9 bačenih bodova) je nemoguć.

Dakle, prostor elementarnih događaja može se specificirati verbalnim opisom, popisom svih njegovih elementarnih događaja, te postavljanjem pravila ili uvjeta prema kojima se dobivaju svi njegovi elementarni događaji.

Algebra događaja

Do sada smo govorili samo o elementarnim događajima kao izravnim rezultatima iskustva. No, u okviru iskustva možemo govoriti io drugim slučajnim događajima, osim elementarnih.

Primjer 5. Kod bacanja kocke, osim elementarnih događaja od jedan, dva,..., šest, možemo govoriti io drugim događajima: (parni broj), (neparni broj), (višekratnik tri), (broj manji od 4). ) i tako dalje. U ovom primjeru navedeni događaji, osim verbalnog zadatka, mogu se specificirati ispisivanjem elementarnih događaja:

Formiranje novih događaja iz elementarnih, kao i iz drugih događaja, provodi se pomoću operacija (ili akcija) nad događajima.

Definicija. Proizvod dva događaja je događaj koji se sastoji u činjenici da će se dogoditi kao rezultat eksperimenta I događaj, I događaj, tj. oba događaja će se dogoditi zajedno (simultano).

Znak proizvoda (točka) često se izostavlja:

Definicija. Zbroj dva događaja je događaj koji se sastoji u činjenici da će se kao rezultat eksperimenta dogoditi ili događaj, ili događaj, ili oboje zajedno (u isto vrijeme).

U obje definicije namjerno smo istaknuli veznike I I ili- kako biste privukli pažnju čitatelja na svoj govor prilikom rješavanja problema. Ako izgovaramo veznik “i”, tada govorimo o proizvodnji događaja; Ako se izgovara veznik “ili”, tada se događaji moraju zbrajati. Pritom napominjemo da se veznik “ili” u svakodnevnom govoru često koristi u smislu isključivanja jednog od dva: “samo ili samo”. U teoriji vjerojatnosti takva se iznimka ne pretpostavlja: i , i , i znače pojavu događaja

Ako su dati nabrajanjem elementarnih događaja, tada se složeni događaji mogu lako dobiti pomoću navedenih operacija. Da biste to dobili, trebate pronaći sve elementarne događaje koji pripadaju oba događaja; ako ih nema, tada je i zbroj događaja lako sastaviti: trebate uzeti bilo koji od dva događaja i dodati mu one elementarne događaje iz drugi događaj koji nije uključen u prvi.

U primjeru 5 dobivamo, posebno

Uvedene operacije nazivamo binarnim, jer definiran za dva događaja. Sljedeća unarna operacija (definirana za jedan događaj) od velike je važnosti: događaj se poziva suprotan događaj ako se sastoji u činjenici da se u danom iskustvu događaj nije dogodio. Iz definicije je jasno da svaki događaj i njegova suprotnost imaju sljedeća svojstva: Uvedena operacija se zove dodatak događaji A.

Slijedi da ako je dano popisom elementarnih događaja, tada je, znajući specifikaciju događaja, lako dobiti da se sastoji od svih elementarnih događaja prostora koji ne pripadaju. Konkretno, na primjer 5 događaj

Ako nema zagrada, tada se postavlja sljedeći prioritet u izvođenju operacija: zbrajanje, množenje, zbrajanje.

Dakle, uz pomoć uvedenih operacija, prostor elementarnih događaja se nadopunjuje drugim slučajnim događajima koji tvore tzv. algebra događaja.

Primjer 6. Strijelac je ispalio tri hica u metu. Promotrimo događaje = (strijelac je pogodio metu i-tim hicem), i = 1,2,3.

Sastavimo neke događaje iz tih događaja (ne zaboravimo na one suprotne). Ne dajemo duge komentare; Vjerujemo da će ih čitatelj samostalno provesti.

Događaj B = (sva tri hica su pogodila metu). Više detalja: B = ( I prvi, I drugi, I treći hitac je pogodio metu). Rabljeni sindikat I, dakle, događaji se množe:

Također:

C = (nijedan hitac nije pogodio metu)

E = (jedan hitac je pogodio cilj)

D = (pogođen cilj pri drugom hicu) = ;

F = (cilja pogođena s dva hica)

N = (najmanje jedan pogodak će pogoditi metu)

Kao što je poznato, u matematici je geometrijska interpretacija analitičkih objekata, pojmova i formula od velike važnosti.

U teoriji vjerojatnosti zgodno je vizualno prikazati (geometrijska interpretacija) iskustvo, slučajne događaje i operacije nad njima u obliku tzv. Euler-Vennovi dijagrami. Suština je da se svako iskustvo poistovjećuje (interpretira) s bacanjem bodova u određeno polje. Točke se bacaju nasumično, tako da sve točkice imaju jednaku šansu da padnu bilo gdje u taj kvadrat. Kvadrat definira okvir dotičnog iskustva. Svaki događaj unutar iskustva poistovjećuje se s određenim područjem trga. Drugim riječima, pojava događaja znači da slučajna točka padne unutar područja označenog slovom. Tada se operacije nad događajima lako interpretiraju geometrijski (slika 2).

A:

A + B: bilo koji

izlijeganje

Na slici 2 a) radi jasnoće, događaj A je istaknut okomitim sjenčanjem, događaj B vodoravnim sjenčanjem. Tada operacija množenja odgovara dvostrukoj šrafuri - događaju odgovara onaj dio kvadrata koji je pokriven dvostrukom šrafurom. Štoviše, ako se tada nazivaju nekompatibilnim događajima. Sukladno tome, operacija zbrajanja odgovara bilo kojoj šrafuri - događaj označava dio kvadrata osjenčan bilo kojom šrafurom - okomitom, vodoravnom i dvostrukom. Na slici 2 b) prikazan je događaj koji odgovara osjenčanom dijelu kvadrata - sve što nije uključeno u područje Uvedene operacije imaju sljedeća osnovna svojstva od kojih neka vrijede za istoimene operacije na brojke, ali ima i specifičnih.

10. komutativnost množenja;

20 . komutativnost zbrajanja;

trideset . asocijativnost množenja;

4 0 . adiciona asocijativnost,

50 . distributivnost množenja u odnosu na zbrajanje,

6 0 . distributivnost zbrajanja u odnosu na množenje;

9 0 . de Morganovi zakoni dualnosti,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Primjer 7. Ivan i Petar su se dogovorili da će se sastati u vremenskom intervalu od npr. T sata, (0, T). Pritom su se dogovorili da svaki od njih, po dolasku na sastanak, čeka drugoga najviše sat vremena.

Dajmo ovom primjeru geometrijsku interpretaciju. Označimo: vrijeme Ivanova dolaska na skup; Peterovo vrijeme dolaska na sastanak. Prema dogovoru: 0 . Tada u koordinatnom sustavu dobivamo: = Lako je uočiti da je u našem primjeru prostor elementarnih događaja kvadrat. 1

0 x odgovara onom dijelu kvadrata koji se nalazi iznad ove crte.Slično, drugoj nejednadžbi y≤x+ i; i ne radi ako ne rade svi elementi, tj. .Dakle, de Morganov drugi zakon dualnosti: provodi se kada su elementi povezani paralelno.

Gornji primjer pokazuje zašto se teorija vjerojatnosti naširoko koristi u fizici, posebice u proračunu pouzdanosti stvarnih tehničkih uređaja.

“Nesreće nisu slučajne”... Zvuči kao nešto što je rekao neki filozof, ali zapravo je proučavanje slučajnosti sudbina velike znanosti matematike. U matematici se slučajnošću bavi teorija vjerojatnosti. U članku će biti prikazane formule i primjeri zadataka, kao i osnovne definicije ove znanosti.

Što je teorija vjerojatnosti?

Teorija vjerojatnosti je jedna od matematičkih disciplina koja proučava slučajne događaje.

Da bi bilo malo jasnije, dajmo mali primjer: ako bacite novčić uvis, on može pasti na glavu ili rep. Dok je novčić u zraku, moguće su obje ove vjerojatnosti. Odnosno, vjerojatnost mogućih posljedica je 1:1. Ako je jedna izvučena iz špila od 36 karata, tada će vjerojatnost biti označena kao 1:36. Čini se da se ovdje nema što istraživati ​​i predviđati, pogotovo uz pomoć matematičkih formula. Međutim, ako određenu radnju ponavljate mnogo puta, možete identificirati određeni obrazac i na temelju njega predvidjeti ishod događaja u drugim uvjetima.

Sumirajući sve navedeno, teorija vjerojatnosti u klasičnom smislu proučava mogućnost pojavljivanja jednog od mogućih događaja u brojčanoj vrijednosti.

Sa stranica povijesti

Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri prvih zadataka pojavili su se u dalekom srednjem vijeku, kada su se prvi put pojavili pokušaji predviđanja ishoda kartaških igara.

U početku teorija vjerojatnosti nije imala nikakve veze s matematikom. Opravdano je empirijskim činjenicama ili svojstvima događaja koji se mogu reproducirati u praksi. Prvi radovi na ovom području kao matematičke discipline javljaju se u 17. stoljeću. Osnivači su bili Blaise Pascal i Pierre Fermat. Dugo su proučavali kockanje i uočili određene obrasce o kojima su odlučili govoriti javnosti.

Istu tehniku ​​izumio je Christiaan Huygens, iako nije bio upoznat s rezultatima istraživanja Pascala i Fermata. On je uveo pojam “teorije vjerojatnosti”, formule i primjere koji se smatraju prvima u povijesti discipline.

Radovi Jacoba Bernoullija, Laplaceov i Poissonov teorem također su od ne male važnosti. Učinili su teoriju vjerojatnosti sličnijom matematičkoj disciplini. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri osnovnih zadataka dobili su današnji oblik zahvaljujući Kolmogorovljevim aksiomima. Kao rezultat svih promjena, teorija vjerojatnosti postala je jedna od matematičkih grana.

Osnovni pojmovi teorije vjerojatnosti. Događaji

Glavni koncept ove discipline je “događaj”. Postoje tri vrste događaja:

• Pouzdan. Oni koji će se ipak dogoditi (novčić će pasti).
• Nemoguće. Događaji koji se neće dogoditi ni pod kojim uvjetima (novčić će ostati visjeti u zraku).
• Slučajno. One koje će se dogoditi ili se neće dogoditi. Na njih mogu utjecati različiti čimbenici koje je vrlo teško predvidjeti. Ako govorimo o novčiću, onda postoje slučajni čimbenici koji mogu utjecati na rezultat: fizičke karakteristike novčića, njegov oblik, izvorni položaj, sila bacanja itd.

Svi događaji u primjerima označeni su velikim latiničnim slovima, osim P, koje ima drugačiju ulogu. Na primjer:

• A = "studenti su došli na predavanje."
• Ā = “studenti nisu došli na predavanje.”

U praktičnim zadacima događaji se obično zapisuju riječima.

Jedna od najvažnijih karakteristika događaja je njihova jednaka mogućnost. Odnosno, ako bacite novčić, moguće su sve varijante početnog pada dok on ne padne. Ali događaji također nisu jednako mogući. To se događa kada netko namjerno utječe na ishod. Na primjer, "označene" karte za igranje ili kocke, u kojima je težište pomaknuto.

Događaji također mogu biti kompatibilni i nekompatibilni. Kompatibilni događaji ne isključuju međusobno pojavljivanje. Na primjer:

• A = "student je došao na predavanje."
• B = “student je došao na predavanje.”

Ti su događaji neovisni jedan o drugome i pojava jednog od njih ne utječe na pojavu drugog. Nespojivi događaji definirani su činjenicom da pojava jednog isključuje pojavu drugog. Ako govorimo o istom novčiću, tada gubitak "repova" onemogućuje pojavu "glava" u istom eksperimentu.

Radnje na događajima

Događaji se mogu množiti i zbrajati, sukladno tome u disciplinu se uvode logički veznici “I” i “ILI”.

Količina je određena činjenicom da se događaj A ili B, ili dva, mogu dogoditi istovremeno. Ako su nekompatibilni, posljednja opcija je nemoguća; bacit će se A ili B.

Umnožavanje događaja sastoji se u pojavljivanju A i B u isto vrijeme.

Sada možemo dati nekoliko primjera kako bismo bolje zapamtili osnove, teoriju vjerojatnosti i formule. Primjeri rješavanja problema u nastavku.

Vježba 1: Tvrtka sudjeluje u natječaju za dobivanje ugovora za tri vrste radova. Mogući događaji koji se mogu dogoditi:

• A = "tvrtka će dobiti prvi ugovor."
• A 1 = "tvrtka neće primiti prvi ugovor."
• B = "tvrtka će dobiti drugi ugovor."
• B 1 = "tvrtka neće dobiti drugi ugovor"
• C = "tvrtka će dobiti treći ugovor."
• C 1 = "tvrtka neće dobiti treći ugovor."

Koristeći akcije na događaje, pokušat ćemo izraziti sljedeće situacije:

• K = "tvrtka će dobiti sve ugovore."

U matematičkom obliku, jednadžba će imati sljedeći oblik: K = ABC.

• M = "tvrtka neće dobiti niti jedan ugovor."

M = A 1 B 1 C 1.

Zakomplicirajmo zadatak: H = "tvrtka će dobiti jedan ugovor." Budući da se ne zna koji će ugovor tvrtka dobiti (prvi, drugi ili treći), potrebno je zabilježiti cijeli niz mogućih događaja:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je niz događaja u kojima tvrtka ne prima prvi i treći ugovor, ali prima drugi. Ostali mogući događaji zabilježeni su odgovarajućom metodom. Simbol υ u disciplini označava veznik “ILI”. Ako gornji primjer prevedemo na ljudski jezik, tvrtka će dobiti ili treći ugovor, ili drugi, ili prvi. Na sličan način možete zapisati i druge uvjete u disciplini “Teorija vjerojatnosti”. Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema pomoći će vam da to učinite sami.

Zapravo, vjerojatnost

Možda je u ovoj matematičkoj disciplini vjerojatnost događaja središnji koncept. Postoje 3 definicije vjerojatnosti:

• klasični;
• statistički;
• geometrijski.

Svaki ima svoje mjesto u proučavanju vjerojatnosti. Teorija vjerojatnosti, formule i primjeri (9. razred) uglavnom koriste klasičnu definiciju, koja zvuči ovako:

• Vjerojatnost situacije A jednaka je omjeru broja ishoda koji pogoduju njenom nastanku prema broju svih mogućih ishoda.

Formula izgleda ovako: P(A)=m/n.

A je zapravo događaj. Ako se pojavi padež suprotan A, može se napisati kao Ā ili A 1 .

m je broj mogućih povoljnih slučajeva.

n - svi događaji koji se mogu dogoditi.

Na primjer, A = "izvucite kartu boje srca." Postoji 36 karata u standardnom špilu, od kojih su 9 srca. Prema tome, formula za rješavanje problema izgledat će ovako:

P(A)=9/36=0,25.

Kao rezultat toga, vjerojatnost da će karta boje srca biti izvučena iz špila bit će 0,25.

Prema višoj matematici

Sada je postalo malo poznato što je teorija vjerojatnosti, formule i primjeri rješavanja problema koji se nalaze u školskom kurikulumu. Međutim, teorija vjerojatnosti također se nalazi u višoj matematici, koja se predaje na sveučilištima. Najčešće operiraju geometrijskim i statističkim definicijama teorije i složenim formulama.

Teorija vjerojatnosti vrlo je zanimljiva. Bolje je početi proučavati formule i primjere (viša matematika) malo - sa statističkom (ili frekvencijskom) definicijom vjerojatnosti.

Statistički pristup nije u suprotnosti s klasičnim, već ga malo proširuje. Ako je u prvom slučaju bilo potrebno odrediti s kojom vjerojatnošću će se događaj dogoditi, onda je u ovoj metodi potrebno naznačiti koliko često će se dogoditi. Ovdje se uvodi novi koncept "relativne frekvencije", koji se može označiti s W n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

Ako se klasična formula izračunava za predviđanje, onda se statistička izračunava prema rezultatima eksperimenta. Uzmimo za primjer mali zadatak.

Odjel tehnološke kontrole provjerava kvalitetu proizvoda. Od 100 proizvoda, 3 su nekvalitetna. Kako pronaći vjerojatnost učestalosti kvalitetnog proizvoda?

A = “izgled kvalitetnog proizvoda.”

Wn(A)=97/100=0,97

Dakle, frekvencija kvalitetnog proizvoda je 0,97. Odakle ti 97? Od 100 pregledanih proizvoda, 3 su nekvalitetna. Od 100 oduzmemo 3 i dobijemo 97, to je količina kvalitetne robe.

Malo o kombinatorici

Druga metoda teorije vjerojatnosti naziva se kombinatorika. Njegovo osnovno načelo je da ako se određeni izbor A može napraviti na m različitih načina, a izbor B može se napraviti na n različitih načina, tada se izbor A i B može napraviti množenjem.

Na primjer, postoji 5 cesta koje vode od grada A do grada B. Od grada B do grada C vode 4 staze. Na koliko načina možete doći iz grada A u grad C?

Jednostavno je: 5x4=20, odnosno na dvadeset različitih načina možete doći od točke A do točke C.

Zakomplicirajmo zadatak. Na koliko načina postoji raspored karata u pasijansu? U špilu je 36 karata - ovo je početna točka. Da biste saznali broj načina, morate "oduzimati" jednu po jednu kartu od početne točke i množiti.

Odnosno, 36x35x34x33x32...x2x1= rezultat ne stane na zaslon kalkulatora, tako da se jednostavno može označiti s 36!. Znak "!" pored broja označava da je cijeli niz brojeva pomnožen zajedno.

U kombinatorici postoje pojmovi kao što su permutacija, postavljanje i kombinacija. Svaki od njih ima svoju formulu.

Uređen skup elemenata skupa naziva se raspored. Postavljanje se može ponavljati, odnosno jedan element se može koristiti više puta. I bez ponavljanja, kada se elementi ne ponavljaju. n su svi elementi, m su elementi koji sudjeluju u postavljanju. Formula za postavljanje bez ponavljanja izgledat će ovako:

A n m =n!/(n-m)!

Veze od n elemenata koji se razlikuju samo po redoslijedu postavljanja nazivaju se permutacijama. U matematici to izgleda ovako: P n = n!

Kombinacije n elemenata od m su oni spojevi u kojima je važno koji su elementi bili i koliki im je ukupan broj. Formula će izgledati ovako:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoullijeva formula

U teoriji vjerojatnosti, kao iu svakoj disciplini, postoje radovi izvrsnih istraživača u svom području koji su ga podigli na novu razinu. Jedno od tih djela je Bernoullijeva formula, koja vam omogućuje određivanje vjerojatnosti da će se određeni događaj dogoditi u neovisnim uvjetima. Ovo sugerira da pojavljivanje A u eksperimentu ne ovisi o pojavljivanju ili nepojavljivanju istog događaja u ranijim ili sljedećim ispitivanjima.

Bernoullijeva jednadžba:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Vjerojatnost (p) pojave događaja (A) je konstantna za svaki pokušaj. Vjerojatnost da će se situacija dogoditi točno m puta u n broj eksperimenata izračunat će se gore prikazanom formulom. Sukladno tome, postavlja se pitanje kako saznati broj q.

Ako se događaj A dogodi p broj puta, prema tome, možda se neće dogoditi. Jedinica je broj koji se koristi za označavanje svih ishoda situacije u disciplini. Stoga je q broj koji označava mogućnost da se događaj ne dogodi.

Sada znate Bernoullijevu formulu (teorija vjerojatnosti). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema (prva razina).

Zadatak 2: Posjetitelj trgovine će kupiti s vjerojatnošću 0,2. U trgovinu je samostalno ušlo 6 posjetitelja. Koja je vjerojatnost da će posjetitelj obaviti kupnju?

Rješenje: Budući da je nepoznato koliko posjetitelja treba obaviti kupnju, jedan ili svih šest, potrebno je izračunati sve moguće vjerojatnosti pomoću Bernoullijeve formule.

A = "posjetitelj će obaviti kupnju."

U ovom slučaju: p = 0,2 (kako je navedeno u zadatku). Prema tome, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (budući da u trgovini ima 6 kupaca). Broj m će varirati od 0 (niti jedan kupac neće kupiti) do 6 (svi posjetitelji trgovine će nešto kupiti). Kao rezultat, dobivamo rješenje:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Niti jedan kupac neće obaviti kupnju s vjerojatnošću 0,2621.

Kako se inače koristi Bernoullijeva formula (teorija vjerojatnosti)? Primjeri rješavanja problema (druga razina) u nastavku.

Nakon gornjeg primjera postavljaju se pitanja gdje su nestali C i r. U odnosu na p, broj na potenciju 0 bit će jednak jedan. Što se tiče C, može se pronaći po formuli:

C n m = n! /m!(n-m)!

Budući da je u prvom primjeru m = 0, odnosno C = 1, što u načelu ne utječe na rezultat. Koristeći novu formulu, pokušajmo saznati koja je vjerojatnost da dva posjetitelja kupe robu.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teorija vjerojatnosti nije tako komplicirana. Bernoullijeva formula, čiji su primjeri gore navedeni, izravan je dokaz za to.

Poissonova formula

Poissonova jednadžba koristi se za izračun slučajnih situacija male vjerojatnosti.

Osnovna formula:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

U ovom slučaju λ = n x p. Ovdje je jednostavna Poissonova formula (teorija vjerojatnosti). U nastavku ćemo razmotriti primjere rješavanja problema.

Zadatak 3: Tvornica je proizvela 100.000 dijelova. Pojava neispravnog dijela = 0,0001. Kolika je vjerojatnost da će u seriji biti 5 neispravnih dijelova?

Kao što vidite, brak je malo vjerojatan događaj, pa se za izračun koristi Poissonova formula (teorija vjerojatnosti). Primjeri rješavanja zadataka ove vrste ne razlikuju se od ostalih zadataka u disciplini, potrebne podatke zamjenjujemo u zadanu formulu:

A = "nasumično odabrani dio bit će neispravan."

p = 0,0001 (prema uvjetima zadatka).

n = 100000 (broj dijelova).

m = 5 (neispravni dijelovi). Zamjenjujemo podatke u formulu i dobivamo:

100 000 R (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Baš kao i Bernoullijeva formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješenja koja koriste gore napisani, Poissonova jednadžba ima nepoznatu e. Zapravo, može se pronaći formulom:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Međutim, postoje posebne tablice koje sadrže gotovo sve vrijednosti e.

De Moivre-Laplaceov teorem

Ako je u Bernoullijevoj shemi broj pokušaja dovoljno velik, a vjerojatnost pojavljivanja događaja A u svim shemama ista, tada se vjerojatnost pojavljivanja događaja A određeni broj puta u nizu testova može pronaći pomoću Laplaceova formula:

R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Da biste bolje zapamtili Laplaceovu formulu (teorija vjerojatnosti), u nastavku su navedeni primjeri problema koji će vam pomoći.

Prvo, pronađimo X m, zamijenimo podatke (svi su gore navedeni) u formulu i dobijemo 0,025. Pomoću tablica nalazimo broj ϕ(0,025) čija je vrijednost 0,3988. Sada možete zamijeniti sve podatke u formulu:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Dakle, vjerojatnost da će letak raditi točno 267 puta je 0,03.

Bayesova formula

Bayesova formula (teorija vjerojatnosti), primjeri rješavanja problema uz pomoć kojih će biti navedeni u nastavku, jednadžba je koja opisuje vjerojatnost događaja na temelju okolnosti koje bi mogle biti povezane s njim. Osnovna formula je sljedeća:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B su određeni događaji.

P(A|B) je uvjetna vjerojatnost, odnosno događaj A se može dogoditi pod uvjetom da je događaj B istinit.

P (B|A) - uvjetna vjerojatnost događaja B.

Dakle, završni dio kratkog tečaja "Teorija vjerojatnosti" je Bayesova formula, primjeri rješenja problema s kojima su u nastavku.

Zadatak 5: U skladište su dopremljeni telefoni tri firme. Istovremeno, udio telefona koji se proizvode u prvoj tvornici je 25%, u drugoj - 60%, u trećoj - 15%. Također je poznato da je prosječni postotak neispravnih proizvoda u prvoj tvornici 2%, u drugoj 4%, au trećoj 1%. Morate pronaći vjerojatnost da će nasumično odabrani telefon biti neispravan.

A = "nasumično odabran telefon."

B 1 - telefon koji je proizvela prva tvornica. Sukladno tome pojavit će se uvodni B 2 i B 3 (za drugu i treću tvornicu).

Kao rezultat dobivamo:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - tako smo pronašli vjerojatnost svake opcije.

Sada trebate pronaći uvjetne vjerojatnosti željenog događaja, odnosno vjerojatnost neispravnih proizvoda u tvrtkama:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Sada zamijenimo podatke Bayesovom formulom i dobijemo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Članak predstavlja teoriju vjerojatnosti, formule i primjere rješavanja problema, no to je samo vrh ledenog brijega goleme discipline. I nakon svega napisanog, logično će biti postaviti pitanje je li teorija vjerojatnosti potrebna u životu. Običnoj osobi je teško odgovoriti, bolje je pitati nekoga tko je više puta osvojio jackpot.

Teorija vjerojatnosti je grana matematike koja proučava obrasce slučajnih pojava: slučajne događaje, slučajne varijable, njihova svojstva i operacije na njima.

Dugo vremena teorija vjerojatnosti nije imala jasnu definiciju. Formuliran je tek 1929. Pojava teorije vjerojatnosti kao znanosti datira još iz srednjeg vijeka i prvih pokušaja matematičke analize igara na sreću (pahuljica, kocka, rulet). Francuski matematičari iz 17. stoljeća Blaise Pascal i Pierre Fermat, proučavajući predviđanje dobitaka u kockanju, otkrili su prve probabilističke obrasce koji nastaju prilikom bacanja kocke.

Teorija vjerojatnosti nastala je kao znanost iz uvjerenja da se masovni slučajni događaji temelje na određenim obrascima. Teorija vjerojatnosti proučava te obrasce.

Teorija vjerojatnosti bavi se proučavanjem događaja čije se događanje ne zna sa sigurnošću. Omogućuje vam procjenu stupnja vjerojatnosti pojave nekih događaja u usporedbi s drugima.

Na primjer: nemoguće je jednoznačno odrediti rezultat “glave” ili “repića” kao rezultat bacanja novčića, ali kod ponovljenog bacanja pojavljuje se približno isti broj “glava” i “repića”, što znači da vjerojatnost da će pasti “glave” ili “repovi” jednaka je 50%.

Test u ovom slučaju se naziva provedba određenog skupa uvjeta, odnosno u ovom slučaju bacanje novčića. Izazov se može igrati neograničen broj puta. U ovom slučaju skup uvjeta uključuje slučajne faktore.

Rezultat testa je događaj. Događaj se događa:

1. Pouzdan (uvijek se javlja kao rezultat testiranja).
2. Nemoguće (nikada se ne događa).
3. Nasumično (može se ili ne mora pojaviti kao rezultat testa).

Na primjer, prilikom bacanja novčića, nemogući događaj - novčić će pasti na rub, slučajni događaj - pojava "glave" ili "repa". Konkretni rezultat ispitivanja se zove elementarni događaj. Kao rezultat testa javljaju se samo elementarni događaji. Poziva se skup svih mogućih, različitih, specifičnih ishoda ispitivanja prostor elementarnih događaja.

Osnovni pojmovi teorije

Vjerojatnost- stupanj mogućnosti nastanka događaja. Kada razlozi da se neki mogući događaj stvarno dogodi nadjačaju suprotne razloge, tada se taj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerojatnim ili nevjerojatnim.

Slučajna vrijednost- to je veličina koja kao rezultat ispitivanja može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, a unaprijed se ne zna koju. Na primjer: broj po vatrogasnoj stanici dnevno, broj pogodaka s 10 hitaca itd.

Slučajne varijable mogu se podijeliti u dvije kategorije.

1. Diskretna slučajna varijabla je veličina koja, kao rezultat testiranja, može poprimiti određene vrijednosti s određenom vjerojatnošću, tvoreći prebrojiv skup (skup čiji se elementi mogu numerirati). Ovaj skup može biti konačan ili beskonačan. Na primjer, broj hitaca prije prvog pogotka u metu je diskretna slučajna varijabla, jer ta količina može poprimiti beskonačan, iako prebrojiv, broj vrijednosti.
2. Kontinuirana slučajna varijabla je veličina koja može poprimiti bilo koju vrijednost iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala. Očito je da je broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable beskonačan.

Prostor vjerojatnosti- koncept koji je uveo A.N. Kolmogorov 30-ih godina 20. stoljeća kako bi formalizirao pojam vjerojatnosti, što je dovelo do brzog razvoja teorije vjerojatnosti kao stroge matematičke discipline.

Prostor vjerojatnosti je trojka (ponekad u uglastim zagradama: , gdje

Ovo je proizvoljan skup čiji se elementi nazivaju elementarni događaji, ishodi ili točke;
- sigma algebra podskupova zvanih (slučajnih) događaja;
- mjera vjerojatnosti ili vjerojatnost, t.j. sigma-aditivna konačna mjera takva da .

De Moivre-Laplaceov teorem- jedan od graničnih teorema teorije vjerojatnosti, koji je postavio Laplace 1812. godine. Navodi se da je broj uspjeha pri ponavljanju istog slučajnog eksperimenta iznova i iznova s ​​dva moguća ishoda približno normalno raspoređen. Omogućuje vam pronalaženje približne vrijednosti vjerojatnosti.

Ako je za svaki od neovisnih pokušaja vjerojatnost pojave nekog slučajnog događaja jednaka () i broj je pokušaja u kojima se on stvarno dogodi, tada je vjerojatnost da je nejednakost istinita blizu (za velike vrijednosti) vrijednost Laplaceovog integrala.

Funkcija distribucije u teoriji vjerojatnosti- funkcija koja karakterizira distribuciju slučajne varijable ili slučajnog vektora; vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju ili jednaku x, gdje je x proizvoljan realni broj. Ako su ispunjeni poznati uvjeti, u potpunosti određuje slučajnu varijablu.

Očekivana vrijednost- prosječna vrijednost slučajne varijable (ovo je distribucija vjerojatnosti slučajne varijable, razmatrana u teoriji vjerojatnosti). U literaturi na engleskom jeziku označava se s , u ruskom - . U statistici se često koristi oznaka.

Neka je dan prostor vjerojatnosti i na njemu definirana slučajna varijabla. To je, po definiciji, mjerljiva funkcija. Zatim, ako postoji Lebesgueov integral nad prostorom, tada se on naziva matematičko očekivanje ili srednja vrijednost i označava se .

Varijanca slučajne varijable- mjera širenja zadane slučajne varijable, odnosno njezino odstupanje od matematičkog očekivanja. Označava se u ruskoj i stranoj literaturi. U statistici se često koristi oznaka ili. Kvadratni korijen varijance naziva se standardna devijacija, standardna devijacija ili standardna širina.

Neka je slučajna varijabla definirana na nekom prostoru vjerojatnosti. Zatim

gdje simbol označava matematičko očekivanje.

U teoriji vjerojatnosti nazivaju se dva slučajna događaja nezavisna, ako pojava jedne od njih ne mijenja vjerojatnost pojave druge. Slično se pozivaju dvije slučajne varijable ovisan, ako vrijednost jednog od njih utječe na vjerojatnost vrijednosti drugog.

Najjednostavniji oblik zakona velikih brojeva je Bernoullijev teorem, koji kaže da ako je vjerojatnost događaja ista u svim pokusima, tada kako se broj pokusa povećava, učestalost događaja teži vjerojatnosti događaja i prestaje biti slučajan.

Zakon velikih brojeva u teoriji vjerojatnosti kaže da je aritmetička sredina konačnog uzorka iz fiksne distribucije blizu teorijske sredine te distribucije. Ovisno o vrsti konvergencije, razlikuje se slabi zakon velikih brojeva, kada se konvergencija događa po vjerojatnosti, i jaki zakon velikih brojeva, kada je konvergencija gotovo sigurna.

Općenito značenje zakona velikih brojeva je da zajedničko djelovanje velikog broja istovjetnih i neovisnih slučajnih faktora dovodi do rezultata koji, u granicama, ne ovisi o slučaju.

Na ovom se svojstvu temelje metode za procjenu vjerojatnosti na temelju analize konačnog uzorka. Jasan primjer je prognoza izbornih rezultata na temelju ankete na uzorku birača.

Centralni granični teoremi- klasa teorema u teoriji vjerojatnosti koja tvrdi da zbroj dovoljno velikog broja slabo ovisnih slučajnih varijabli koje imaju približno iste skale (nijedan od članova ne dominira niti daje odlučujući doprinos zbroju) ima distribuciju blisku normalnoj.

Budući da se mnoge slučajne varijable u aplikacijama formiraju pod utjecajem nekoliko slabo ovisnih slučajnih faktora, njihova se distribucija smatra normalnom. U tom slučaju mora biti ispunjen uvjet da nijedan faktor nije dominantan. Centralni granični teoremi u ovim slučajevima opravdavaju upotrebu normalne distribucije.

Neki programeri, nakon rada na području razvoja uobičajenih komercijalnih aplikacija, razmišljaju o svladavanju strojnog učenja i postanu analitičari podataka. Često ne razumiju zašto određene metode funkcioniraju, a većina metoda strojnog učenja čini se poput magije. Zapravo, strojno učenje temelji se na matematičkoj statistici, koja se pak temelji na teoriji vjerojatnosti. Stoga ćemo u ovom članku obratiti pozornost na osnovne pojmove teorije vjerojatnosti: dotaknut ćemo se definicija vjerojatnosti, distribucije i analizirati nekoliko jednostavnih primjera.

Možda znate da je teorija vjerojatnosti konvencionalno podijeljena u 2 dijela. Diskretna teorija vjerojatnosti proučava fenomene koji se mogu opisati distribucijom s konačnim (ili prebrojivim) brojem mogućih opcija ponašanja (bacanje kockica, novčića). Kontinuirana teorija vjerojatnosti proučava fenomene raspoređene u nekom gustom skupu, na primjer, na segmentu ili u krugu.

Teoriju vjerojatnosti možemo razmotriti koristeći jednostavan primjer. Zamislite sebe kao programera pucačina. Sastavni dio razvoja igara u ovom žanru je mehanika pucanja. Jasno je da pucačina u kojoj sva oružja pucaju apsolutno točno neće biti od interesa za igrače. Stoga je nužno dodati širenje svom oružju. Ali jednostavno nasumično odabiranje točaka udara oružja neće omogućiti fino podešavanje, pa će podešavanje ravnoteže u igri biti teško. U isto vrijeme, korištenjem slučajnih varijabli i njihovih distribucija može se analizirati kako će se oružje ponašati s danim širenjem i pomoći u potrebnim prilagodbama.

Prostor elementarnih ishoda

Recimo da iz nekog nasumičnog eksperimenta koji možemo ponoviti mnogo puta (na primjer, bacanje novčića), možemo izvući neke formalizirane informacije (ispale su glave ili repovi). Ta se informacija naziva elementarni ishod, a korisno je razmotriti skup svih elementarnih ishoda, često označenih slovom Ω (Omega).

Struktura ovog prostora u potpunosti ovisi o prirodi eksperimenta. Na primjer, ako uzmemo u obzir gađanje dovoljno velike kružne mete, prostor elementarnih ishoda bit će krug, radi praktičnosti, smješten sa središtem na nuli, a ishod će biti točka u tom krugu.

Dodatno se razmatraju i skupovi elementarnih ishoda – događaja (npr. pogodak prve desetke je koncentrični krug malog polumjera s metom). U diskretnom slučaju sve je vrlo jednostavno: možemo dobiti bilo koji događaj, uključujući ili isključujući elementarne ishode u konačnom vremenu. U kontinuiranom slučaju, sve je mnogo kompliciranije: potrebna nam je neka prilično dobra obitelj skupova za razmatranje, nazvana algebra po analogiji s jednostavnim realnim brojevima koji se mogu zbrajati, oduzimati, dijeliti i množiti. Skupovi u algebri mogu se presjecati i kombinirati, a rezultat operacije bit će u algebri. Ovo je vrlo važno svojstvo za matematiku koja leži iza svih ovih koncepata. Minimalna obitelj sastoji se od samo dva skupa - praznog skupa i prostora elementarnih ishoda.

Mjera i vjerojatnost

Vjerojatnost je način donošenja zaključaka o ponašanju vrlo složenih objekata bez razumijevanja njihovog funkcioniranja. Stoga se vjerojatnost definira kao funkcija događaja (iz te vrlo dobre obitelji skupova) koja vraća broj - neku karakteristiku koliko se često takav događaj može dogoditi u stvarnosti. Sasvim sigurno, matematičari su se složili da bi taj broj trebao biti između nule i jedan. Osim toga, ova funkcija ima zahtjeve: vjerojatnost nemogućeg događaja je nula, vjerojatnost cijelog skupa ishoda je jedinica, a vjerojatnost kombinacije dvaju neovisnih događaja (disjunktnih skupova) jednaka je zbroju vjerojatnosti. Drugi naziv za vjerojatnost je mjera vjerojatnosti. Najčešće se koristi Lebesgueova mjera koja generalizira pojmove duljine, površine, volumena na bilo koje dimenzije (n-dimenzionalni volumen), te je stoga primjenjiva na široku klasu skupova.

Zajedno, kolekcija skupa elementarnih ishoda, obitelji skupova i mjere vjerojatnosti naziva se prostor vjerojatnosti. Razmotrimo kako možemo konstruirati prostor vjerojatnosti za primjer gađanja mete.

Razmislite o pucanju na veliku okruglu metu radijusa R, koju je nemoguće promašiti. Skupom elementarnih događaja postavljamo kružnicu sa središtem u ishodištu koordinata radijusa R. Budući da ćemo koristiti površinu (Lebesgueovu mjeru za dvodimenzionalne skupove) da opišemo vjerojatnost događaja, koristit ćemo obitelj mjerljivih (za koje ova mjera postoji) skupova.

Napomena Zapravo, ovo je tehnička točka iu jednostavnim problemima proces određivanja mjere i obitelji skupova ne igra posebnu ulogu. Ali potrebno je razumjeti da ova dva objekta postoje, jer u mnogim knjigama o teoriji vjerojatnosti teoremi počinju riječima: “ Neka je (Ω,Σ,P) prostor vjerojatnosti...».

Kao što je gore spomenuto, vjerojatnost cijelog prostora elementarnih ishoda mora biti jednaka jedinici. Površina (dvodimenzionalna Lebesgueova mjera, koju označavamo λ 2 (A), gdje je A događaj) kruga, prema poznatoj formuli iz škole, jednaka je π *R 2. Tada možemo uvesti vjerojatnost P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2), a ta će vrijednost već biti između 0 i 1 za bilo koji događaj A.

Ako pretpostavimo da je pogađanje bilo koje točke na meti jednako vjerojatno, potraga za vjerojatnošću da strijelac pogodi neko područje mete svodi se na pronalaženje područja ovog skupa (odatle možemo zaključiti da je vjerojatnost da strijelac pogodi neko područje mete). pogađanja određene točke je nula, jer je površina točke nula).

Na primjer, želimo saznati koja je vjerojatnost da strijelac pogodi prvih deset (događaj A - strijelac pogodi željeni set). U našem modelu, desetka je predstavljena krugom sa središtem u nuli i radijusom r. Tada je vjerojatnost ulaska u taj krug P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2.

Ovo je jedan od najjednostavnijih tipova problema "geometrijske vjerojatnosti" - većina tih problema zahtijeva pronalaženje područja.

Slučajne varijable

Slučajna varijabla je funkcija koja pretvara elementarne ishode u stvarne brojeve. Na primjer, u razmatranom problemu možemo uvesti slučajnu varijablu ρ(ω) - udaljenost od točke udara do središta mete. Jednostavnost našeg modela omogućuje nam eksplicitno definiranje prostora elementarnih ishoda: Ω = (ω = (x,y) takvi brojevi da je x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Tada je slučajna varijabla ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Sredstva apstrakcije iz vjerojatnosnog prostora. Funkcija raspodjele i gustoća

Dobro je kada se dobro poznaje struktura prostora, ali u stvarnosti to nije uvijek tako. Čak i ako je poznata struktura prostora, ona može biti složena. Za opisivanje slučajnih varijabli ako je njihov izraz nepoznat, postoji koncept funkcije distribucije, koja se označava s F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Funkcija distribucije ima nekoliko svojstava:

1. Prvo, to je između 0 i 1.
2. Drugo, ne smanjuje se kada se njegov argument x povećava.
3. Treće, kada je broj -x vrlo velik, funkcija distribucije je blizu 0, a kada je sam x velik, funkcija distribucije je blizu 1.

Vjerojatno značenje ove konstrukcije nije baš jasno nakon prvog čitanja. Jedno korisno svojstvo jest da vam funkcija distribucije omogućuje traženje vjerojatnosti da vrijednost uzima vrijednost iz intervala. Dakle, P (slučajna varijabla ξ uzima vrijednosti iz intervala) = F ξ (b)-F ξ (a). Na temelju ove jednakosti možemo proučavati kako se ta vrijednost mijenja ako su granice a i b intervala blizu.

Neka je d = b-a , tada je b = a+d . I prema tome, F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Za male vrijednosti d, gornja razlika je također mala (ako je distribucija kontinuirana). Ima smisla razmotriti omjer p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d. Ako se, za dovoljno male vrijednosti d, ovaj omjer malo razlikuje od neke konstante p ξ (a), neovisno o d, tada u ovom trenutku slučajna varijabla ima gustoću jednaku p ξ (a).

Napomena Čitatelji koji su se već susreli s konceptom derivacije mogu primijetiti da je p ξ (a) derivacija funkcije F ξ (x) u točki a. U svakom slučaju, pojam derivata možete proučiti u članku na ovu temu na web stranici Mathprofi.

Sada se značenje funkcije distribucije može definirati na sljedeći način: njezina derivacija (gustoća p ξ, koju smo gore definirali) u točki a opisuje koliko često će slučajna varijabla pasti u mali interval sa središtem u točki a (okolica točke a ) u usporedbi s okolinama drugih točaka . Drugim riječima, što brže funkcija distribucije raste, to je vjerojatnije da će se takva vrijednost pojaviti u slučajnom eksperimentu.

Vratimo se primjeru. Možemo izračunati funkciju distribucije za slučajnu varijablu, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , koja označava udaljenost od središta do slučajne točke pogotka na meti. Prema definiciji, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Možemo pronaći gustoću p ρ ove slučajne varijable. Odmah napomenimo da je izvan intervala nula, jer funkcija distribucije u ovom intervalu je nepromijenjena. Na krajevima ovog intervala gustoća nije određena. Unutar intervala može se pronaći pomoću tablice derivacija (na primjer, s web stranice Mathprofi) i elementarnih pravila diferencijacije. Derivacija t 2 /R 2 jednaka je 2t/R 2. To znači da smo pronašli gustoću na cijeloj osi realnih brojeva.

Još jedno korisno svojstvo gustoće je vjerojatnost da funkcija uzme vrijednost iz intervala, koja se izračunava pomoću integrala gustoće u tom intervalu (možete saznati što je to u člancima o ispravnim, nepravilnim i neodređenim integralima na Mathprofi web stranica).

Na prvo čitanje, integral preko intervala funkcije f(x) može se smatrati površinom zakrivljenog trapeza. Njegove strane su fragment osi Ox, praznina (horizontalna koordinatna os), okomiti segmenti koji povezuju točke (a,f(a)), (b,f(b)) na krivulji s točkama (a,0), (b,0 ) na osi Ox. Zadnja strana je fragment grafa funkcije f od (a,f(a)) do (b,f(b)) . Možemo govoriti o integralu po intervalu (-∞; b], kada će se za dovoljno velike negativne vrijednosti, a, vrijednost integrala po intervalu zanemarivo promijeniti u odnosu na promjenu broja a. Integral po intervalima je određuje se na sličan način Ukupno će biti 2Í2Í2Í2 = 16 ishoda U skladu s pretpostavkom da su rezultati pojedinačnih pogodaka neovisni, formulu (3) i napomenu uz nju treba koristiti za određivanje vjerojatnosti tih ishoda. , vjerojatnost ishoda (y, n.n, n) trebala bi biti jednaka 0,2Ї0,8Ї0,8Ї0, 8 = 0,1024; ovdje je 0,8 = 1-0,2 vjerojatnost promašaja s jednim hicem. Događaj " meta je pogođena tri puta” favoriziraju ishodi (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y). (n, y, y, y) , vjerojatnost svakog je ista:

0,2Ї0,2Ї0,2Ї0,8 =...... =0,8Ї0,2Ї0,2Ї0,2 = 0,0064;

stoga je tražena vjerojatnost jednaka

4Í0,0064 = 0,0256.

Generalizirajući obrazloženje analiziranog primjera, možemo izvesti jednu od osnovnih formula teorije vjerojatnosti: ako su događaji A1, A2,..., An neovisni i svaki ima vjerojatnost p, tada je vjerojatnost da će se dogoditi točno m njih jednaka jednak

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

ovdje Cnm označava broj kombinacija n elemenata od m. Za velike n, izračuni pomoću formule (4) postaju teški. Neka broj pogodaka u prethodnom primjeru bude 100, a postavlja se pitanje da se pronađe vjerojatnost x da broj pogodaka leži u rasponu od 8 do 32. Primjena formule (4) i teorema o zbrajanju daje točan, ali praktički neupotrebljiv izraz željene vjerojatnosti

Približna vrijednost vjerojatnosti x može se pronaći pomoću Laplaceovog teorema

a greška ne prelazi 0,0009. Nađeni rezultat pokazuje da je događaj 8 £ m £ 32 gotovo siguran. Ovo je najjednostavniji, ali tipičan primjer korištenja graničnih teorema u teoriji vjerojatnosti.

Osnovne formule elementarne teorije vjerojatnosti također uključuju takozvanu formulu ukupne vjerojatnosti: ako su događaji A1, A2,..., Ar u paru nekompatibilni i njihova je unija pouzdan događaj, tada je za svaki događaj B njegova vjerojatnost jednaka zbroj

Teorem množenja vjerojatnosti posebno je koristan kada se razmatraju složeni testovi. Kaže se da je pokus T sastavljen od pokusa T1, T2,..., Tn-1, Tn ako je svaki ishod pokusa T kombinacija nekih ishoda Ai, Bj,..., Xk, Yl odgovarajućeg ogledi T1, T2,... , Tn-1, Tn. Iz ovog ili onog razloga, vjerojatnosti su često poznate