Harmonijska linearizacija. Metoda harmonijske linearizacije: Upute za laboratorijski rad Metoda harmonijske linearizacije samoosciliranja matlab

Svrha metode harmonijske linearizacije.

Ideja o metodi harmonijske linearizacije predložena je 1934. N. M. Krylov i N. N. Bogolyubov. U odnosu na sustave automatskog upravljanja ovu su metodu razvili L. S. Goldfarb i E. P. Popov. Drugi nazivi za ovu metodu i njezine modifikacije su metoda harmonijske ravnoteže, metoda opisa funkcija i metoda ekvivalentne linearizacije.

Metoda harmonijske linearizacije je metoda proučavanja vlastitih oscilacija. Omogućuje određivanje uvjeta postojanja i parametara mogućih samooscilacija u nelinearnim sustavima.

Poznavanje parametara autooscilacija omogućuje nam da predočimo sliku mogućih procesa u sustavu i, posebno, odredimo uvjete stabilnosti. Pretpostavimo, na primjer, da smo kao rezultat proučavanja vlastitih oscilacija u nekom nelinearnom sustavu dobili ovisnost amplitude tih vlastitih oscilacija A od koeficijenta prijenosa k linearni dio sustava prikazan na sl. 12.1, a znamo da su samooscilacije stabilne.

Iz grafikona proizlazi da uz veliku vrijednost koeficijenta prijenosa k, Kada k > k kr, u sustavu postoje samooscilacije. Njihova amplituda se smanjuje na nulu kako se smanjuje koeficijent prijenosa k prije k kr. Na slici 12.1, strelice konvencionalno pokazuju prirodu prijelaznih procesa pri različitim vrijednostima k: na k > k kr prijelazni proces izazvan početnim otklonom svodi se na samooscilacije. Iz slike je jasno da kada k< k cr, sustav se pokazao stabilnim. Tako, k kr je kritična vrijednost koeficijenta prijenosa prema uvjetu stabilnosti. Njegovo prekoračenje dovodi do činjenice da početni način rada sustava postaje nestabilan i u njemu nastaju samooscilacije. Posljedično, poznavanje uvjeta postojanja samooscilacija u sustavu omogućuje nam određivanje uvjeta stabilnosti.

Ideja harmonijske linearizacije.

Razmotrimo nelinearni sustav, čiji je dijagram prikazan na sl. 12.2, i . Sustav se sastoji od linearnog dijela s prijenosnom funkcijom W l ( s) i nelinearna veza NL sa specifičnom karakteristikom . Veza s koeficijentom - 1 pokazuje da je povratna sprega u sustavu negativna. Vjerujemo da u sustavu postoje samooscilacije čiju amplitudu i frekvenciju želimo pronaći. U razmatranom načinu rada ulazna količina x nelinearna veza i izlaz Y su periodične funkcije vremena.

Metoda harmonijske linearizacije temelji se na pretpostavci da su oscilacije na ulazu nelinearne veze sinusne, tj. e. to

, (12.1)

GdjeA– amplituda i je frekvencija tih autooscilacija, a moguća je konstantna komponenta u općem slučaju kada su autooscilacije nesimetrične.

U stvarnosti, samooscilacije u nelinearnim sustavima uvijek su nesinusoidalne zbog iskrivljenja njihovog oblika od strane nelinearnog elementa. Stoga navedena početna pretpostavka znači da je metoda harmonijske linearizacije temeljno blizu a opseg njegove primjene ograničen je na slučajeve kada su vlastite oscilacije na ulazu nelinearne veze sasvim bliske sinusoidalnim. Da bi se to dogodilo, linearni dio sustava ne smije propuštati više harmonike autooscilacija, tj. niskopropusni filter. Potonje je ilustrirano na Sl. 12.2, b . Ako je, na primjer, frekvencija vlastitih oscilacija jednaka, tada linearni dio prikazan na sl. 12.2, b Frekvencijski odziv će igrati ulogu niskopropusnog filtra za ove oscilacije, budući da drugi harmonik, čija je frekvencija jednaka 2, praktički neće proći na ulaz nelinearne veze. Stoga je u ovom slučaju primjenjiva metoda harmonijske linearizacije.

Ako je frekvencija autooscilacija jednaka , linearni dio će slobodno propuštati drugi, treći i ostale harmonike autooscilacija. U ovom slučaju ne može se reći da će oscilacije na ulazu nelinearne veze biti sasvim blizu sinusoidalne, tj. nije ispunjen preduvjet nužan za primjenu metode harmonijske linearizacije.

Da bi se utvrdilo je li linearni dio sustava niskopropusni filtar i time odredila primjenjivost metode harmonijske linearizacije, potrebno je poznavati frekvenciju autooscilacija. Međutim, to se može saznati samo pomoću ove metode. Tako, Primjenjivost metode harmonijske linearizacije mora se utvrditi na kraju studije kao test.

Napomenimo da ako se kao rezultat ovog testa ne potvrdi hipoteza da linearni dio sustava igra ulogu niskopropusnog filtra, to ne znači da su dobiveni rezultati netočni, iako, naravno , baca sumnju na njih i zahtijeva dodatnu provjeru na neki način.druga metoda.

Dakle, pod pretpostavkom da je linearni dio sustava niskopropusni filtar, pretpostavljamo da su samooscilacije na ulazu nelinearne veze sinusne, odnosno da imaju oblik (12.1). Oscilacije na izlazu ove veze više neće biti sinusoidalne zbog njihovog izobličenja nelinearnošću. Kao primjer na Sl. 12.3, krivulja je iscrtana na izlazu nelinearne veze za određenu amplitudu ulaznog čisto sinusoidnog signala prema tamo danoj karakteristici veze.

Slika 12.3. Prolaz harmonijske oscilacije kroz nelinearnu vezu.

Međutim, budući da vjerujemo da linearni dio sustava propušta samo temeljni harmonik samoosciliranja, ima smisla zanimati se samo za taj harmonik na izlazu nelinearne dionice. Stoga ćemo izlazne oscilacije proširiti u Fourierov niz i odbaciti više harmonike. Kao rezultat dobivamo:

;

; (12.3)

;

Prepišimo izraz (12.2) u obliku koji je prikladniji za kasniju upotrebu, zamjenjujući u njega sljedeće izraze za i dobivene iz (12.1):

Zamjenom ovih izraza u (12.2) imat ćemo:

(12.4)

. (12.5)

Ovdje se uvode sljedeće oznake:

. (12.6)

Diferencijalna jednadžba (12.5) vrijedi za sinusoidalni ulazni signal (12.1) i određuje izlazni signal nelinearne veze bez uzimanja u obzir viših harmonika.

Koeficijenti u skladu s izrazima (12.3) za Fourierove koeficijente su funkcije konstantne komponente, amplitude A a frekvencija vlastitih oscilacija na ulazu nelinearne veze. Na fiksnom A, a jednadžba (12.5) je linearna. Stoga, ako odbacimo više harmonike, tada se za fiksni harmonijski signal izvorna nelinearna veza može zamijeniti ekvivalentnom linearnom vezom, opisanom jednadžbom (12.5). Ova zamjena se zove harmonijska linearizacija .

Na sl. Slika 12.4 konvencionalno prikazuje dijagram ove veze, koja se sastoji od dvije paralelne veze.

Riža. 12.4. Ekvivalentni linearni element dobiven kao rezultat harmonijske linearizacije.

Jedna veza () prolazi konstantnu komponentu, a druga - samo sinusoidnu komponentu samooscilacija.

Koeficijenti se nazivaju koeficijenti harmonijske linearizacije ili koeficijenti harmonijskog prijenosa: - koeficijent prijenosa konstantne komponente, i - dva koeficijenta prijenosa sinusoidne komponente vlastitih oscilacija. Ovi koeficijenti su određeni nelinearnošću i vrijednostima i prema formulama (12.3). Postoje gotovi izrazi definirani pomoću ovih formula za brojne tipične nelinearne veze. Za ove i, općenito, sve nelinearne veze bez inercije, količine ne ovise o amplitudi i funkcije su samo nje A i .

Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruske Federacije

Saratovsko državno tehničko sveučilište

Balakovo Institut za inženjerstvo, tehnologiju i menadžment

Metoda harmonijske linearizacije

Smjernice za laboratorijski rad u kolegiju "Teorija automatskog upravljanja" za studente specijalnosti 210100

Odobreno

urednički i izdavački savjet

Tehnološki institut Balakovo,

tehnologija i menadžment

Balakovo 2004

Svrha rada: Proučavanje nelinearnih sustava metodom harmonijske linearizacije (harmonijske ravnoteže), određivanje koeficijenata harmonijske linearizacije za različite nelinearne veze. Stjecanje vještina u pronalaženju parametara simetričnih oscilacija konstantne amplitude i frekvencije (autooscilacija), korištenjem algebarskih, frekvencijskih metoda, te korištenjem Mihajlovljevog kriterija.

OSNOVNE INFORMACIJE

Metoda harmonijske linearizacije odnosi se na približne metode proučavanja nelinearnih sustava. Omogućuje vrlo jednostavnu i s prihvatljivom točnošću procjenu stabilnosti nelinearnih sustava i određivanje frekvencije i amplitude oscilacija uspostavljenih u sustavu.

Pretpostavlja se da se nelinearni ACS koji se proučava može prikazati u sljedećem obliku

a nelinearni dio mora imati jednu nelinearnost

Ova nelinearnost može biti kontinuirana ili relejna, jednostruka ili histerezična.

Bilo koja funkcija ili signal može se proširiti u niz prema sustavu linearno neovisnih, u određenom slučaju, ortonormiranih funkcija. Kao takav ortogonalni red može se koristiti Fourierov red.

Proširimo izlazni signal nelinearnog dijela sustava u Fourierov red

, (2)

ovdje su Fourierovi koeficijenti,

. (3)

Dakle, signal prema (2) može se prikazati kao beskonačna suma harmonika s rastućim frekvencijama itd. Ovaj signal se dovodi na ulaz linearnog dijela nelinearnog sustava.

Označimo prijenosnu funkciju linearnog dijela

, (4)

a stupanj polinoma brojnika mora biti manji od stupnja polinoma nazivnika. U ovom slučaju, frekvencijski odziv linearnog dijela ima oblik

gdje 1 - nema polova, 2 - ima pol ili polove.

Za frekvencijski odziv pošteno je napisati

Dakle, linearni dio nelinearnog sustava je visokopropusni filtar. U tom će slučaju linearni dio prenositi samo niske frekvencije bez prigušenja, dok će visoke frekvencije biti značajno prigušene kako frekvencija raste.

Kod metode harmonijske linearizacije pretpostavlja se da će linearni dio sustava propuštati samo istosmjernu komponentu signala i prvi harmonik. Tada će signal na izlazu linearnog dijela imati oblik

Ovaj signal prolazi kroz cijeli zatvoreni krug sustava sl. 1 i na izlazu nelinearnog elementa bez uzimanja u obzir viših harmonika, prema (2) imamo

. (7)

Pri proučavanju nelinearnih sustava metodom harmonijske linearizacije mogući su slučajevi simetričnih i nesimetričnih oscilacija. Razmotrimo slučaj simetričnih oscilacija. Ovdje i.

Uvedimo sljedeću oznaku

Zamjenjujući ih u (7), dobivamo . (8)

S obzirom na to

. (9)

Prema (3) i (8) kada

. (10)

Izraz (9) je harmonijska linearizacija nelinearnosti, uspostavlja linearni odnos između ulazne varijable i izlazne varijable na . Veličine se nazivaju harmonički linearizacijski koeficijenti.

Treba napomenuti da je jednadžba (9) linearna za određene veličine i (amplitudu i frekvenciju harmonijskih oscilacija u sustavu). Ali općenito, zadržava nelinearna svojstva, budući da su koeficijenti različiti za različite i . Ova nam značajka omogućuje proučavanje svojstava nelinearnih sustava pomoću metode harmonijske linearizacije [Popov E.P.].

U slučaju asimetričnih oscilacija, harmonijska linearizacija nelinearnosti dovodi do linearne jednadžbe

. (12)

Baš kao i jednadžba (9), linearizirana jednadžba (11) zadržava svojstva nelinearnog elementa, budući da koeficijenti harmonijske linearizacije , , kao i konstantna komponenta ovise i o pomaku i o amplitudi harmonijskih oscilacija.

Jednadžbe (9) i (11) omogućuju nam dobivanje prijenosnih funkcija harmonijski lineariziranih nelinearnih elemenata. Dakle, za simetrične vibracije

, (13)

u ovom slučaju prijenosna funkcija frekvencije

ovisi samo o amplitudi i ne ovisi o frekvenciji oscilacija u sustavu.

Treba napomenuti da ako je neparno-simetrična nelinearnost jednoznačna, tada u slučaju simetričnih oscilacija u skladu s (9) i (10) dobivamo da , (15)

(16)

a linearizirana nelinearnost ima oblik

Za dvosmislene nelinearnosti (s histerezom), integral u izrazu (16) nije jednak nuli, zbog razlike u ponašanju krivulje pri rastu i opadanju, stoga vrijedi puni izraz (9).

Nađimo koeficijente harmonijske linearizacije za neke nelinearne karakteristike. Neka nelinearna karakteristika ima oblik relejne karakteristike s histerezom i mrtvom zonom. Razmotrimo kako harmonijske oscilacije prolaze kroz nelinearni element s takvom karakteristikom.



Ako je uvjet zadovoljen, odnosno ako je amplituda ulaznog signala manja od mrtve zone, tada na izlazu nelinearnog elementa nema signala. Ako je amplituda , tada se relej prebacuje u točkama A, B, C i D. Označimo i .

. (18)

Pri izračunavanju koeficijenata harmonijske linearizacije treba imati na umu da se kod simetričnih nelinearnih karakteristika integrali u izrazima (10) nalaze na poluciklusu (0, ) uz naknadno udvostručenje rezultata. Tako

. (19)

Za nelinearni element s relejnom karakteristikom i mrtvom zonom

Za nelinearni element koji ima relejnu karakteristiku s histerezom

Koeficijenti harmonijske linearizacije za druge nelinearne karakteristike mogu se dobiti na sličan način.

Razmotrimo dva načina određivanja simetričnih oscilacija stalne amplitude i frekvencije (autooscilacije) i stabilnosti lineariziranih sustava: algebarski i frekvencijski. Pogledajmo prvo algebarsku metodu. Za zatvoreni sustav sl. 1 prijenosna funkcija linearnog dijela jednaka je

Napišimo harmonijski lineariziranu prijenosnu funkciju nelinearnog dijela

Karakteristična jednadžba zatvorenog sustava ima oblik

. (22)

Ako se u sustavu koji se proučava pojavljuju samooscilacije, to ukazuje na prisutnost dva čisto imaginarna korijena u njegovoj karakterističnoj jednadžbi. Stoga zamijenimo vrijednost korijena u karakterističnu jednadžbu (22).

. (23)

Zamislimo se

Dobivamo dvije jednadžbe koje određuju željenu amplitudu i frekvenciju

. (24)

Ako su u rješenju moguće stvarne pozitivne vrijednosti amplitude i frekvencije, tada se u sustavu mogu pojaviti samooscilacije. Ako amplituda i frekvencija nemaju pozitivne vrijednosti, tada su samooscilacije u sustavu nemoguće.

Razmotrimo primjer 1. Neka nelinearni sustav koji proučavamo ima oblik

U ovom primjeru, nelinearni element je osjetni element s relejnom karakteristikom, za koji su harmonijski koeficijenti linearizacije

Aktuator ima prijenosnu funkciju oblika

Prijenosna funkcija reguliranog objekta jednaka je

. (27)

Prijenosna funkcija linearnog dijela sustava

, (28)

Na temelju (22), (25) i (28) zapisujemo karakterističnu jednadžbu zatvorenog sustava

, (29)

Neka 1/sec, sec, sec, v.

U ovom slučaju parametri periodičkog gibanja su jednaki

7,071 ,

Razmotrimo metodu za određivanje parametara vlastitih oscilacija u lineariziranom sustavu automatskog upravljanja pomoću Mikhailovljevog kriterija. Metoda se temelji na činjenici da kada se pojave samooscilacije, sustav će biti na granici stabilnosti i Mihajlovljev hodograf će u ovom slučaju prolaziti kroz ishodište koordinata.

U primjeru 2 pronaći ćemo parametre samooscilacija pod uvjetom da je nelinearni element u sustavu sl. 4 osjetljivi element koji ima relejnu karakteristiku s histerezom, za koju su harmonijski koeficijenti linearizacije

Linearni dio ostao je nepromijenjen.

Napišimo karakterističnu jednadžbu zatvorenog sustava

Mihajlovljev hodograf se dobiva zamjenom.

Zadatak je odabrati takvu amplitudu oscilacija pri kojoj će hodograf prolaziti kroz ishodište koordinata. Treba napomenuti da je u ovom slučaju trenutna frekvencija , budući da će u tom slučaju krivulja prolaziti kroz ishodište.

Izračuni provedeni u MATHCAD-u 7 pri 1/s, s, s, v i v dali su sljedeće rezultate. Na slici 5. Mihajlovljev hodograf prolazi kroz ishodište koordinata. Da bismo povećali točnost izračuna, povećat ćemo traženi fragment grafikona. Slika 6 prikazuje fragment hodografa, uvećan u blizini ishodišta. Krivulja prolazi kroz ishodište u c.

sl.5. sl.6.

Frekvencija titranja može se pronaći iz uvjeta da je modul jednak nuli. Za frekvencije

vrijednosti modula prikazane su u tabeli

Dakle, frekvencija titranja je 6,38. Treba napomenuti da se točnost izračuna lako može povećati.

Rezultirajuće periodično rješenje, određeno vrijednostima amplitude i frekvencije, mora se ispitati na stabilnost. Ako je otopina stabilna, tada se u sustavu odvija samooscilatorni proces (stabilni granični ciklus). Inače će granični ciklus biti nestabilan.

Najlakši način za proučavanje stabilnosti periodičkog rješenja je korištenje Mikhailovljevog kriterija stabilnosti u grafičkom obliku. Utvrđeno je da na Mikhailovljeva krivulja prolazi kroz ishodište koordinata. Ako date mali inkrement, tada će krivulja zauzeti položaj ili iznad nule ili ispod. Dakle, u zadnjem primjeru dat ćemo inkrement u, to jest, i . Položaj Mikhailovljevih krivulja prikazan je na slici 7.

Kada krivulja prijeđe iznad nule, što ukazuje na stabilnost sustava i prigušeni prijelazni proces. Kada Mikhailovljeva krivulja prođe ispod nule, sustav je nestabilan i prijelazni proces je divergentan. Dakle, periodičko rješenje s amplitudom u i frekvencijom osciliranja od 6,38 je stabilno.

Za proučavanje stabilnosti periodičkog rješenja također se može koristiti analitički kriterij dobiven iz grafičkog Mikhailovljevog kriterija. Doista, da bismo saznali hoće li Mikhailovljeva krivulja ići iznad nule, dovoljno je pogledati gdje će se pomaknuti točka Mikhailovljeve krivulje, koja se nalazi u ishodištu koordinata.

Proširimo li pomak te točke duž koordinatnih osi X i Y, tada za stabilnost periodičkog rješenja vektor određen projekcijama na koordinatne osi

treba se nalaziti desno od tangente MN na Mikhailovljevu krivulju, ako se gleda duž krivulje u smjeru povećanja, čiji je smjer određen projekcijama

Uvjet analitičke stabilnosti zapisujemo u sljedećem obliku

U ovom izrazu parcijalne derivacije se uzimaju u odnosu na trenutni parametar Mikhailovljeve krivulje

Valja napomenuti da analitički izraz kriterija stabilnosti (31) vrijedi samo za sustave ne višeg od četvrtog reda, jer se, na primjer, za sustav petog reda u ishodištu koordinata, uvjet (31) može zadovoljni, a sustav će biti nestabilan

Primijenimo kriterij (31) za proučavanje stabilnosti periodičkog rješenja dobivenog u primjeru 1.

, ,

Uvod

Relejni sustavi postali su široko rasprostranjeni u praksi automatskog upravljanja. Prednost relejnih sustava je njihova jednostavnost dizajna, pouzdanost, jednostavnost održavanja i konfiguracije. Relejni sustavi predstavljaju posebnu klasu nelinearnih sustava automatskog upravljanja.

Za razliku od kontinuiranih u relejnim sustavima, regulatorno djelovanje se naglo mijenja kad god upravljački signal releja (najčešće je to pogreška upravljanja) prođe kroz neke fiksne (pražne) vrijednosti, na primjer, kroz nulu.

Relejni sustavi u pravilu imaju visoke performanse zbog činjenice da se upravljačko djelovanje u njima mijenja gotovo trenutno, a aktuator je izložen konstantnom signalu maksimalne amplitude. Istodobno, u relejnim sustavima često se javljaju samooscilacije, što je u mnogim slučajevima nedostatak. U ovom radu proučavan je relejni sustav s četiri različita zakona upravljanja.

Struktura proučavanog sustava

Proučavani sustav (slika) 1 uključuje usporedni element ES, relejni element RE, aktuator (idealni integrator s pojačanjem = 1), upravljački objekt (aperiodična veza s tri vremenske konstante , , i pojačanje). Vrijednosti parametara sustava dane su u tablici. 1 Dodatak A.

Statičke karakteristike (ulazno-izlazne karakteristike) relejnih elemenata koji se proučavaju prikazane su na sl. 2.

Na sl. 2a prikazuje karakteristike idealnog releja s dva položaja, sl. 2b karakteristika releja s tri položaja s mrtvom zonom. Na sl. 2,c i 2,d prikazuju karakteristike dvopoložajnog releja s pozitivnom odnosno negativnom histerezom.

Istraživani ASR može se modelirati korištenjem dobro poznatih paketa za modeliranje, na primjer, SIAM ili VisSim.

Komentar. U nekim simulacijskim paketima izlazna vrijednost

signal releja može uzeti samo vrijednosti ±1 umjesto ±B, gdje je B proizvoljan broj. U takvim slučajevima potrebno je uzeti dobitak integratora jednak .

Radni nalog

Za dovršetak rada svaki učenik od nastavnika dobiva verziju početnih podataka (vidi odjeljak 2).

Radovi se izvode u dvije faze.

Prva faza je računska i istraživačka (može se izvoditi izvan laboratorija).

Druga faza je eksperimentalna (provodi se u laboratoriju). U ovoj fazi, pomoću jednog od paketa, simuliraju se prijelazni procesi u sustavu koji se proučava za modove izračunate u prvoj fazi, te se provjerava točnost teorijskih metoda.

Potreban teorijski materijal prikazan je u odjeljku 4; Odjeljak 5 sadrži ispitna pitanja.

3.1. Računski i istraživački dio

1. Dobiti izraze za amplitudno-frekvencijske i fazno-frekvencijske, realne i imaginarne karakteristike linearnog dijela sustava.

2. Izračunati i konstruirati amplitudno-faznu karakteristiku linearnog dijela sustava. Za izračune koristiti programe iz TAU paketa. Obavezno ispisati stvarne i imaginarne vrijednosti frekvencijskog odziva(odgovara 10 – 15 bodova treći i drugi kvadranti).

4. Goldfarbovom grafičko-analitičkom metodom odrediti amplitudu i frekvenciju vlastitih oscilacija te njihovu stabilnost za sva četiri releja. Parametri autooscilacija mogu se izračunati i analitički. Kvalitativno prikazati fazni portret sustava za svaki slučaj.

5. Za tropoložajni relej odrediti jednu vrijednost pojačanja linearnog dijela kod koje nema autooscilacija, te graničnu vrijednost pri kojoj autooscilacije nestaju.

eksperimentalni dio

1. Koristeći jedan od dostupnih paketa za modeliranje, sastavite shemu modeliranja za ASR koji se proučava. Uz dopuštenje učitelja, možete koristiti gotov dijagram. Konfigurirajte parametre kruga u skladu sa zadatkom.

2. Istražite prijelazni proces u sustavu s idealnim relejem (ispišite ga), primjenjujući postupno djelovanje x(t)=40*1(t) na ulaz. Izmjerite amplitudu i frekvenciju vlastitih oscilacija, uspoređujući ih s izračunatim vrijednostima. Ponovite eksperiment, postavljajući početne uvjete različite od nule (na primjer, y(0)=10, y(1) (0)=-5).

3. Istražite prijelazni proces u sustavu s tropozicijskim relejem za dvije različite vrijednosti amplitude ulaznog signala x(t)= 40*1(t) i x(t)=15*1(t). Ispiši prijelazne procese, izmjeri amplitudu i frekvenciju autooscilacija (ako postoje), usporedi ih s izračunatim vrijednostima i izvedi zaključke.

4. Istražite prijelazne procese u sustavu s relejem s tri položaja za druge vrijednosti pojačanja linearnog dijela (vidi paragraf 5, odjeljak 3.1).

5. Istražiti prijelazne procese u sustavu s dvopoložajnim relejima s histerezom pri nultim i nenultim početnim uvjetima i x(t)=40*1(t). Ispiši prijelazne procese, izmjeri amplitudu i frekvenciju autooscilacija (ako postoje), usporedi ih s izračunatim vrijednostima i izvedi zaključke.

Teorijski dio

Široko korištena metoda za proračun nelinearnih sustava je metoda harmonijske linearizacije (opisivanje funkcija).

Metoda omogućuje određivanje parametara autooscilacija (amplituda i frekvencija), stabilnosti autooscilacija i stabilnosti ravnotežnog položaja nelinearnog ASR. Na temelju metode harmonijske linearizacije razvijene su metode za konstruiranje prijelaznih procesa, analizu i sintezu nelinearnih ASR.

Metoda harmonijske linearizacije

Kao što je već navedeno, u nelinearnim i posebno relejnim ASR-ovima, stabilne periodične oscilacije konstantne amplitude i frekvencije, tzv samooscilacije. Štoviše, samooscilacije mogu postojati čak i uz značajne promjene parametara sustava. Praksa je pokazala da su u mnogim slučajevima oscilacije regulirane veličine (slika 3) bliske harmoničkim.

Blizina vlastitih oscilacija harmoničkim omogućuje nam korištenje metode harmonijske linearizacije za određivanje njihovih parametara - amplitude A i frekvencije w 0. Metoda se temelji na pretpostavci da je linearni dio sustava niskopropusni filtar (hipoteza filtra). Odredimo uvjete pod kojima samooscilacije u sustavu mogu biti bliske harmoničkim. Ograničimo se na sustave koji, kao na Sl. 3 može se svesti na serijski spoj nelinearnog elementa i linearnog dijela. Pretpostavimo da je referentni signal konstantna vrijednost; radi jednostavnosti, uzet ćemo ga jednak nuli. A signal greške (slika 3) je harmoničan:

(1)

Izlazni signal nelinearnog elementa, kao i svaki periodički signal - na slici 3 su to pravokutne oscilacije - može se prikazati kao zbroj harmonika Fourierovog reda.

Pretpostavimo da je linearni dio sustava niskopropusni filtar (slika 4) i da propušta samo prvi harmonik s frekvencijom w 0. Drugi s frekvencijom od 2w 0 i viši harmonici filtriraju se linearnim dijelom. U ovom slučaju, na linearni izlaz dijelovi će postojati praktički samo prvi harmonik , a utjecaj viših harmonika može se zanemariti

Dakle, ako je linearni dio sustava niskopropusni filtar, a frekvencija samooscilacija w 0 zadovoljava uvjete

, (4)

Pretpostavka da je linearni dio sustava niskopropusni filtar tzv hipoteza filtera . Hipoteza filtra uvijek je zadovoljena ako je razlika u stupnjevima polinoma nazivnika i brojnika prijenosne funkcije linearnog dijela

(5)

barem dva

Uvjet (6) je zadovoljen za mnoge realne sustave. Primjer je aperiodična veza drugog reda i realna integracija

. (7)

Pri proučavanju samooscilacija bliskih harmoničkim, uzima se u obzir samo prvi harmonik periodičnih oscilacija na izlazu nelinearnog elementa, budući da se viši harmonici još uvijek praktički filtriraju linearnim dijelom. U režimu samooscilacije se provodi harmonijska linearizacija nelinearni element. Nelinearni element zamijenjen je ekvivalentnim linearnim s složeni dobitak (opisna funkcija) ovisno o amplitudi ulaznog harmonijskog signala:

gdje su i gdje su stvarni i imaginarni dijelovi,

– argument,

– modul.

U općem slučaju ovisi i o amplitudi i frekvenciji vlastitih oscilacija i o konstantnoj komponenti. Fizički složeno pojačanje nelinearnog elementa, češće se naziva koeficijent harmonijske linearizacije , Tamo je kompleksno pojačanje nelinearnog elementa na prvom harmoniku. Modul harmonijskog koeficijenta linearizacije

(9)

brojčano je jednaka omjeru amplitude prvog harmonika na izlazu nelinearnog elementa i amplitude ulaznog harmoničkog signala.

Argument

(10)

karakterizira fazni pomak između prvog harmonika izlaznih oscilacija i ulaznog harmonijskog signala. Za nedvosmislene nelinearnosti, kao što je, na primjer, na Sl. 2,a i 2,b, realni izraz i

Za dvosmislene nelinearnosti, Sl. 2,c, 2,d, određeno formulom

gdje je S područje petlje histereze. Područje S uzima se s predznakom plus ako se petlja histereze zaobilazi u pozitivnom smjeru (slika 2, c) i s predznakom minus u suprotnom (slika 2, d).

U općem slučaju i izračunavaju se pomoću formula

, (12)

gdje je , nelinearna funkcija (karakteristika nelinearnog elementa).

Uzimajući u obzir gore navedeno, pri proučavanju samooscilacija bliskih harmoničkim, nelinearni ASR (Sl. 3) zamjenjuje se ekvivalentnim s harmoničkim koeficijentom linearizacije umjesto nelinearnog elementa (Sl. 5). Izlazni signal nelinearnog elementa na Sl. 5 je označen kao , ovo je

naglašava da nelinearni element generira samo

prvi harmonik oscilacija. Formule za harmonijske koeficijente linearizacije za tipične nelinearnosti mogu se naći u literaturi, na primjer, u. Tablica B u dodatku prikazuje karakteristike relejnih elemenata koji se proučavaju, formule i njihove hodografe. Formule i hodografi za inverzni harmonijski koeficijent linearizacije definiran izrazom

, (13)

gdje su i stvarni i imaginarni dijelovi. Hodografi i konstruirani su u koordinatama , odnosno .

Zapišimo sada uvjete postojanja autooscilacija. Sustav na Sl. 5 je ekvivalentan linearnom. U linearnom sustavu postoje neprigušene oscilacije ako je on na granici stabilnosti. Iskoristimo uvjet granice stabilnosti prema Nyquistovom kriteriju:

. (14)

jednadžba (14) Tamo je uvjet za postojanje samooscilacija, blizu harmonijskom. Ako postoje stvarno pozitivno rješenja A i w 0 jednadžbe (14), tada u nelinearnom ASR postoje samooscilacije bliske harmoničkim. Inače, samooscilacije su odsutne ili nisu harmonične. Jednadžba (14) se dijeli na dva dijela – s obzirom na realni i imaginarni dio:

;

Podijelivši obje strane jednadžbe (14) i uzimajući u obzir formulu (13), dobivamo uvjet za postojanje samooscilacija u obliku L.S. Goldfarba:

. (17)

Jednadžba (17) također se dijeli na dvije:

(18)

a u nekim je slučajevima prikladnije koristiti ih za određivanje parametara vlastitih oscilacija.

Goldfarb je predložio grafičko-analitičku metodu za rješavanje sustava (17) i određivanje stabilnosti vlastitih oscilacija.

U koordinatama , i , konstruirani su hodografi i (slika 6, a). Ako se hodografi sijeku, tada postoje samooscilacije. U sjecištima se određuju parametri vlastitih oscilacija - A i w 0 - frekvencija w 0 prema hodografu, amplituda prema hodografu. Na sl. 6,a – dvije točke sjecišta, što ukazuje na prisutnost dva granična ciklusa.

Za određivanje stabilnosti samooscilacija, prema Goldfarbu, lijeva strana AFC-a linearnog dijela je osjenčana kada se kreće duž AFC-a u smjeru povećanja frekvencije (slika 6).

Autooscilacije su stabilne ako u točki sjecišta hodograf nelinearnog elementa prelazi iz nezasjenjenog područja u zasjenjeno područje kada se kreće u smjeru povećanja amplitude A.

Ako se dogodi prijelaz iz zasjenjenog područja u nezasjenjeno područje, tada autooscilacije nisu stabilne.

Na sl. Slika 6b kvalitativno prikazuje fazni portret koji odgovara dvama graničnim ciklusima na slici. 6, a. Točka sjecišta s parametrima i na sl. 6a odgovara nestabilnom graničnom ciklusu na sl. 6b, točka s parametrima i i za postizanje poremećaja vlastitih oscilacija, u ovom slučaju hodografa i ne sijeku se. Isti se učinak može postići povećanjem mrtve zone d ili smanjenjem amplitude izlaznog signala releja B. Postoji određena granična vrijednost K l pri kojoj AFC linearnog dijela dodiruje Greška! Greška u komunikaciji. pri čemu , a vrijednost amplitude je . Naravno, to dovodi do kvalitativne promjene u faznom portretu sustava.

Ilustrirajmo izračun harmonijskih koeficijenata linearizacije na nekoliko primjera: prvo za simetrične vibracije, a potom za asimetrične. Prvo primijetimo da ako je neparna simetrična nelinearnost F(x) jednoznačna, tada, prema (4.11) i (4.10), dobivamo

i pri računanju q(4.11) možemo se ograničiti na integraciju tijekom četvrtine razdoblja, učetverostručujući rezultat, naime

Za nelinearnost petlje F(x) (neparna simetrija), puni izraz (4.10) će vrijediti

a možete koristiti formule

tj. udvostručenje rezultata integracije tijekom poluciklusa.

Primjer 1. Proučimo kubičnu nelinearnost (Sl. 4.4, i):

Ovisnost q(a) prikazano na sl. 4.4, b. Od sl. 4.4, A jasno je da sam za zadanu amplitudu ravna q(a)x uprosječuje krivuljnu ovisnost F(x) o zadanom

parcela -a£ x£ . A. Naravno, cool je q(a) nagib ove usrednjujuće ravne linije q(a)x raste s amplitudom A(za kubnu karakteristiku ovo povećanje se događa prema kvadratnom zakonu).

Primjer 2. Proučimo karakteristiku releja petlje (slika 4.5, a). Na sl. 4.5,6 prikazana je funkcija integranda F(a sin y) za formule (4.21). Prebacivanje releja odvija se na ½ x½= b , Dakle, u trenutku prebacivanja vrijednost y1 određena je izrazom sin y1= b /A. Koristeći formule (4.21) dobivamo (za a³b)

Na sl. 4.5, b prikazuje grafove q(a) i q"(a). Prvi od njih prikazuje promjenu nagiba pravca usrednjavanja q( A)x s promijeniti A(vidi sliku 4.5, a). Naravno, q( a)à0 at aa¥ at, jer izlazni signal ostaje konstantan (F( x)=c) za bilo koje neograničeno povećanje ulaznog signala X. Iz fizičkih razmatranja također je jasno zašto q" <0. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сигнала на выходе, в то время как гистерезисная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что q" < 0. Абсолютное значение q" opada s povećanjem amplitude a, jer je jasno da će petlja zauzeti manji dio “radnog dijela” karakteristike F( x), veća je amplituda oscilacija varijable X.

Karakteristika amplitudno-fazne takve nelinearnosti (sl. 4.5, a), prema (4.13). predstavljen u obliku

Štoviše, amplituda i faza prvog harmonika na nelinearnom izlazu imaju oblik, redom

Gdje q I q" definirano gore (Sl. 4.5, b). Posljedično, harmonijska linearizacija transformira nelinearni koordinatni lag (histerezisnu petlju) u ekvivalentni fazni lag, karakterističan za linearne sustave, ali sa značajnom razlikom - ovisnošću faznog pomaka o amplitudi ulaznih oscilacija, koja nije prisutna u linearnim sustavima. .

Primjer 3. Proučavamo nedvosmislene karakteristike releja (Sl. 4.6, a, V). Slično prethodnom, dobivamo, respektivno

što je prikazano na sl. 4.6, b, a.

Primjer 4. Proučimo karakteristiku s mrtvom zonom, linearnim presjekom i zasićenjem (slika 4.7, a). Ovdje q"= 0, a koeficijent q(a) ima dvije varijante vrijednosti u skladu sa sl. 4.7, b, gdje je F (a sin y) konstruiran za njih:

1) za b1 £ a £ b2, prema (4.19), imamo

da uzimajući u obzir omjer a sin y1 = b 1 daje

2) za a ³ b2

što uzimajući u obzir relaciju a sin y2 = b2 daje

Rezultat je grafički prikazan na sl. 4.7, a.

Primjer 5. Kao posebni slučajevi, odgovarajući koeficijenti q(a) za dvije karakteristike (sl. 4.8, a, b) su jednake

što je grafički prikazano na sl. 4.8, b, d.Štoviše, za karakteristiku sa zasićenjem (slika 4.8, a) imamo q= k po 0 £ a£ b.

Pokažimo sada primjere izračunavanja koeficijenata harmonijske linearizacije za asimetrične vibracije s istim nelinearnostima.

Primjer 6. Za slučaj kubične nelinearnosti F( x) =kx 3 prema formuli (4.16) imamo

a prema formulama (4.17)

Primjer 7. Za karakteristiku releja petlje (Sl. 4.5, A) koristeći iste formule koje imamo

Primjer 8. Za karakteristiku s mrtvom zonom (sl. 4.1:1), primjenjivat će se isti izrazi F° I q. Njihovi grafikoni prikazani su na sl. 4.9, a, b. pri čemu q"== 0. Za idealnu karakteristiku releja (sl. 4.10) dobivamo

što je prikazano na sl. 4.10, a i b.

Primjer 9. Za karakteristiku s linearnim presjekom q zasićenje (Sl. 4.11, a) za a ³ b+½ x 0 ½ imamo

Ove ovisnosti prikazane su u obliku grafikona na sl. 4.11, b, V.

Primjer 10. Za asimetričnu karakteristiku

(Sl. 4. 12, a) pomoću formule (4.l6) nalazimo

a prema formulama (4.17)

Rezultati su grafički prikazani na sl. 4.12, b I V.

Izrazi i grafikoni koeficijenata harmonijske linearizacije dobiveni u ovim primjerima koristit će se u nastavku pri rješavanju istraživačkih problema

samooscilacije, prisilne oscilacije i regulacijski procesi.

Na temelju svojstva filtra linearnog dijela sustava (predavanje 12) tražimo periodičko rješenje nelinearnog sustava (sl. 4.21) na ulazu nelinearnog elementa približno u obliku

x = a grijeh w t (4.50)

s nepoznatim ljudima A i W. Određen je oblik nelinearnosti = F( x) i prijenosna funkcija linearnog dijela

Provodi se harmonijska linearizacija nelinearnosti

što dovodi do prijenosne funkcije

Amplitudno-fazni frekvencijski odziv sustava otvorenog kruga ima oblik

Periodično rješenje lineariziranog sustava (4.50) dobiva se ako postoji par čisto imaginarnih korijena u karakterističnoj jednadžbi zatvorenog sustava.

A prema Nyquistovom kriteriju, to odgovara prolazu W(j w) kroz točku -1. Prema tome, periodičko rješenje (4.50) određeno je jednakošću

Jednadžba (4.51) određuje traženu amplitudu A i frekvencija w periodičkog rješenja. Ova se jednadžba može grafički riješiti na sljedeći način. Na kompleksnoj ravnini (U, V), amplitudno-fazni frekvencijski odziv linearnog dijela Wl( j w) (sl. 4.22), kao i inverzna amplitudno-fazna karakteristika nelinearnosti sa suprotnim predznakom -1 / Wn( a). Točka U njihovo sjecište (sl. 4.22) i određuje vrijednosti A i w, i vrijednost A računano duž krivulje -1 / Wn (a) , a vrijednost w je prema krivulji Wl (jw).

Umjesto toga, možemo koristiti dvije skalarne jednadžbe koje slijede iz (4.51) i (4.52):

koji također određuju dvije tražene veličine A i W.

Pogodnije je koristiti posljednje dvije jednadžbe na logaritamskoj skali, koristeći logaritamsku

frekvencijske karakteristike linearnog dijela. Tada ćemo umjesto (4.53) i (4.54) imati sljedeće dvije jednadžbe:

Na sl. 4.23 lijevo su grafovi lijevih strana jednadžbi (4.55) i (4.56), a desno su desne strane ovih jednadžbi. U ovom slučaju, duž osi apscise s lijeve strane, kao i obično, u logaritamskom mjerilu nanesena je frekvencija w, a s desne strane je amplituda A u prirodnom mjerilu. Rješenje ovih jednadžbi bit će sljedeće vrijednosti A i w, tako da se obje jednakosti (4.55) i (4.56) poštuju istovremeno. Ovo rješenje je prikazano na sl. 4.23 s tankim linijama u obliku pravokutnika.

Očito, ovo rješenje neće biti moguće pogoditi odmah. Stoga su napravljeni pokušaji, prikazani isprekidanim linijama. Posljednje točke ovih probnih pravokutnika M1 i M2 ne padaju na faznu karakteristiku nelinearnosti. Ali ako se nalaze s obje strane karakteristike, kao na Sl. 4.23, tada se rješenje nalazi interpolacijom - povlačenjem pravca MM1 .

Pronalaženje periodičkog rješenja pojednostavljuje se u slučaju jednoznačne nelinearnosti F( x). Zatim q"= 0 i jednadžbe (4.55) i (4.56) poprimaju oblik

Rješenje je prikazano na sl. 4.24.

Riža . 4.24.

Nakon određivanja periodične otopine potrebno je ispitati njezinu stabilnost. Kao što je već spomenuto, periodičko rješenje se javlja u slučaju kada je amplitudno-fazna karakteristika otvorenog kruga

prolazi točkom -1. Dajmo amplitudi odstupanje D A. Sustav će se vratiti na periodično rješenje ako je na D A> 0 oscilacije izumiru, a na D A < 0 - расходятся. Следовательно, при DA> 0 karakteristika W(jw, A) moraju se deformirati (slika 4.25) tako da na D A> 0 zadovoljen je Nyquistov kriterij stabilnosti, a za D A < 0 - нарушался.

Dakle, potrebno je da na danoj frekvenciji postoji w

Iz toga slijedi da je na Sl. 4.22 pozitivno očitavanje amplitude A duž krivulje -1/Wn ( A) moraju biti usmjerene iznutra prema van kroz krivulju Wl (jw) , kako je prikazano strelicom. U suprotnom, periodično rješenje je nestabilno.

Pogledajmo primjere.

Neka pojačalo u sustavu praćenja (slika 4.13, a) ima karakteristika releja(Sl. 4.17, A). pa sl. 4.17, b graf harmonijskog koeficijenta linearizacije q( A), i q’( A) =0. Za određivanje periodičkog rješenja korištenjem metode frekvencije, prema Sl. 4.22, moramo ispitati izraz

Iz formule (4.24) dobivamo za ovu nelinearnost

Graf ove funkcije prikazan je na sl. 4.26.

Prijenosna funkcija linearnog dijela ima oblik

Amplitudno-fazna karakteristika za njega prikazana je na sl. 4.27. Funkcija -1 / Wn ( A), budući da je u ovom slučaju realan (Sl. 4.26), u potpunosti se uklapa na negativni dio realne osi (Sl. 4.27). U ovom slučaju, u području promjene amplitude b £ a£ b amplituda se mjeri slijeva izvana u krivulju Wl(jw), au presjeku A>b - obrnuto. Stoga je prva sjecišna točka ( A 1) daje nestabilno periodično rješenje, a drugo ( A 2) - stabilan (autooscilacije). Ovo je u skladu s prethodnim rješenjem (primjer 2 predavanje 15, 16).

Razmotrimo i slučaj karakteristike releja petlje(Sl. 4.28, a) u istom sustavu praćenja (Sl. 4.13, a). Amplitudno-fazni frekvencijski odziv linearnog dijela je isti (slika 4.28, b). Izraz za krivulju –1/Wn( A), prema (4.52) i (4.23), ima oblik

Ovo je ravna linija paralelna s apscisnom osi (sl. 4.28, b), s očitavanjem amplitude A s desna na lijevo. Sjecište će dati stabilno periodično rješenje (autooscilacije). Za dobivanje grafikona amplitude i frekvencije

iz k l , predstavljen na sl. 4.20, potreban na sl. 4.28 konstruirajte niz krivulja Wl(jw) za svaku vrijednost k l i pronađite njihove točke sjecišta s linijom –1/Wn( A) odgovarajuće vrijednosti A i W.

Izlazni signal nelinearnog elementa, kao i svaki periodički signal - na slici 3 su to pravokutne oscilacije - može se prikazati kao zbroj harmonika Fourierovog reda.

Dakle, ako je linearni dio sustava niskopropusni filtar, a frekvencija samooscilacija w 0 zadovoljava uvjete

, (4)

barem dva

Uvjet (6) je zadovoljen za mnoge realne sustave. Primjer je aperiodična veza drugog reda i realna integracija

gdje su i gdje su stvarni i imaginarni dijelovi,

– argument,

– modul.

brojčano je jednaka omjeru amplitude prvog harmonika na izlazu nelinearnog elementa i amplitude ulaznog harmoničkog signala.

Argument

karakterizira fazni pomak između prvog harmonika izlaznih oscilacija i ulaznog harmonijskog signala. Za nedvosmislene nelinearnosti, kao što je, na primjer, na Sl. 2,a i 2,b, realni izraz i

Za dvosmislene nelinearnosti, Sl. 2,c, 2,d, određeno formulom

gdje je S područje petlje histereze. Područje S uzima se s predznakom plus ako se petlja histereze zaobilazi u pozitivnom smjeru (slika 2, c) i s predznakom minus u suprotnom (slika 2, d).

U općem slučaju i izračunavaju se pomoću formula

gdje je , nelinearna funkcija (karakteristika nelinearnog elementa).

Naglašava da nelinearni element samo generira

gdje su i stvarni i imaginarni dijelovi. Hodografi i konstruirani su u koordinatama , odnosno .

Zapišimo sada uvjete postojanja autooscilacija. Sustav na Sl. 5 je ekvivalentan linearnom. U linearnom sustavu postoje neprigušene oscilacije ako je on na granici stabilnosti. Poslužimo se uvjetom granice stabilnosti prema Nyquistovom kriteriju: . Na sl. 6,a – dvije točke sjecišta, što ukazuje na prisutnost dva granična ciklusa.