كيفية مقارنة الكسور المختلطة بمقامات مختلفة. مقارنة الكسور المختلطة. مقارنة بين عدد كسري وكسر

هذه المقالة سوف تركز على مقارنة الأعداد المختلطة... أولاً ، سنكتشف الأعداد المختلطة التي تسمى متساوية وأيها غير متساوية. بعد ذلك ، سنقدم قاعدة لمقارنة الأعداد المختلطة غير المتساوية ، والتي تسمح لك بمعرفة الرقم الأكبر والأقل ، والنظر في الأمثلة. أخيرًا ، سنركز على مقارنة الأعداد الكسرية مع الأعداد الطبيعية والكسور.

التنقل في الصفحة.

أعداد مختلطة متساوية وغير متساوية

تحتاج أولاً إلى معرفة الأرقام المختلطة التي تسمى متساوية وأيها غير متساوية. دعونا نعطي التعاريف المقابلة.

تعريف.

أعداد كسرية متساوية - هذه أعداد كسرية تتكون من أجزاء متساوية وكاملة وأجزاء كسرية.

بعبارة أخرى ، يُقال أن رقمين مختلطين متساويين إذا تطابق سجلهما تمامًا. إذا كانت سجلات الأرقام المختلطة مختلفة ، فإن هذه الأرقام المختلطة تسمى غير متكافئة.

تعريف.

الأعداد المختلطة غير المتكافئة هي أعداد مختلطة برموز مختلفة.

تسمح لك التعريفات الصوتية بتحديد ما إذا كانت الأرقام المختلطة المعطاة متساوية أم لا. على سبيل المثال ، الأرقام المختلطة والمتساوية ، لأن مداخلها تتطابق تمامًا. هذه الأعداد لها أجزاء صحيحة متساوية وأجزاء كسرية متساوية. الأعداد المختلطة وغير متساوية ، لأنها تحتوي على أجزاء كاملة غير متساوية. أمثلة أخرى للأعداد المختلطة غير المتكافئة هي و كذلك و.

في بعض الأحيان يصبح من الضروري معرفة أي من العددين المختلط غير المتكافئ أكبر من الآخر وأيهما أقل. سننظر في كيفية القيام بذلك في الفقرة التالية.

مقارنة الأعداد الكسرية

يمكن اختزال المقارنة بين الأعداد الكسرية لمقارنة الكسور العادية. للقيام بذلك ، يكفي تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور غير صحيحة.

على سبيل المثال ، دعنا نقارن عددًا كسريًا ورقمًا كسريًا عن طريق تمثيلهما ككسرين غير فعليين. لدينا و. لذا فإن المقارنة بين الأعداد الكسرية الأصلية تختزل إلى مقارنة الكسور ذات القواسم المختلفة و. منذ ذلك الحين.

المقارنة بين الأعداد المختلطة من خلال مقارنة الكسور المتساوية ليست الحل الأفضل. إنه أكثر ملاءمة لاستخدام ما يلي قاعدة مقارنة الأرقام المختلطة: أكبر هو الرقم الكسري ، والجزء الصحيح منه أكبر ، إذا كانت الأجزاء الكاملة متساوية ، فكلما كان العدد المختلط أكبر ، والجزء الكسري أكبر.

لنفكر في كيفية مقارنة الأعداد الكسرية وفقًا لقاعدة الصوت. للقيام بذلك ، سنقوم بتحليل حلول الأمثلة.

مثال.

أي من الأعداد الكسرية أو أكثر؟

القرار.

الأجزاء الصحيحة للأرقام المختلطة المقارنة متساوية ، لذلك يتم تقليل المقارنة لمقارنة الأجزاء الكسرية و. منذ ذلك الحين ... وبالتالي ، فإن العدد الكسري أكبر من العدد الكسري.

إجابة:

مقارنة بين عدد كسري وعدد طبيعي

لنتعرف على كيفية المقارنة بين عدد كسري وعدد طبيعي.

انه بعيد قاعدة لمقارنة عدد كسري بعدد طبيعي: إذا كان الجزء الصحيح من العدد الكسري أقل من هذا الرقم الطبيعي ، فإن الرقم المختلط يكون أقل من هذا العدد الطبيعي ، وإذا كان الجزء الكامل من العدد المختلط أكبر من أو يساوي هذا الرقم الكسري أكبر من هذا الرقم الطبيعي.

لنلقِ نظرة على أمثلة مقارنة بين عدد كسري وعدد طبيعي.

مثال.

قارن بين الرقمين 6 و.

القرار.

الجزء الصحيح من العدد الكسري هو 9. نظرًا لأنه أكبر من الرقم الطبيعي 6 ، إذن.

إجابة:

مثال.

إذا كان عددًا كسريًا وعددًا طبيعيًا 34 ، فأي الأعداد أقل؟

القرار.

الجزء الصحيح من العدد الكسري أقل من 34 (11<34 ), поэтому .

إجابة:

العدد الكسري أقل من 34.

مثال.

قارن بين العدد 5 والعدد الكسري.

القرار.

الجزء الصحيح من هذا العدد الكسري يساوي العدد الطبيعي 5 ، لذلك هذا العدد المختلط أكبر من 5.

إجابة:

في ختام هذه الفقرة ، نلاحظ أن أي عدد كسري أكبر من واحد. تأتي هذه العبارة من قاعدة المقارنة بين عدد كسري وعدد طبيعي ، وأيضًا من حقيقة أن الجزء الصحيح لأي عدد مختلط إما أكبر من 1 أو يساوي 1.

مقارنة بين عدد كسري وكسر

دعنا نقول أولا عن مقارنة بين عدد كسري وكسر منتظم... أي كسر عادي أقل من واحد (انظر الكسور الصحيحة والخطأ) ، لذلك فإن أي كسر عادي أقل من أي عدد كسري (لأن أي عدد كسري أكبر من 1).

تبحث هذه المقالة في مقارنة الكسور. هنا سنكتشف أي الكسور أكبر أو أقل ، ونطبق القاعدة ، ونحلل أمثلة على الحلول. دعنا نقارن الكسور ذات المقامات المتشابهة والمختلفة. دعنا نقارن كسرًا عاديًا بعدد طبيعي.

المقارنة بين الكسور التي لها نفس المقام

عندما تتم مقارنة الكسور ذات المقامات نفسها ، فإننا نعمل فقط مع البسط ، مما يعني أننا نقارن كسور العدد. إذا كان هناك كسر 3 7 ، فهو يتكون من 3 أجزاء 1 7 ، ثم الكسر 8 7 به 8 أجزاء من هذا القبيل. بمعنى آخر ، إذا كان المقام واحدًا ، تتم مقارنة البسطين ، أي 3 7 و 8 7 ، تتم مقارنة الرقمين 3 و 8.

ومن ثم فإن قاعدة مقارنة الكسور بنفس القواسم التالية: بالنسبة للكسور المتاحة التي لها نفس المؤشرات ، يعتبر الكسر ذو البسط الأكبر أكبر والعكس صحيح.

يشير هذا إلى أنه يجب الانتباه إلى البسط. للقيام بذلك ، فكر في مثال.

مثال 1

قارن الكسور الآتية 65126 و 87126.

القرار

بما أن مقامات الكسور متساوية ، انتقل إلى البسط. من العددين 87 و 65 ، يتضح أن 65 أقل. استنادًا إلى قاعدة مقارنة الكسور ذات المقامات نفسها ، لدينا أن 87126 أكبر من 65126.

إجابة: 87 126 > 65 126 .

مقارنة الكسور ذات القواسم المختلفة

يمكن مقارنة هذه الكسور بمقارنة الكسور بنفس المؤشرات ، ولكن هناك فرق. الآن من الضروري تحويل الكسور إلى قاسم مشترك.

إذا كانت هناك كسور ذات قواسم مختلفة ، فأنت بحاجة إلى:

إيجاد القاسم المشترك
قارن الكسور.

دعونا ننظر في هذه الإجراءات على سبيل المثال.

مثال 2

قارن الكسور 5 12 و 9 16.

القرار

بادئ ذي بدء ، من الضروري تحويل الكسور إلى قاسم مشترك. يتم ذلك بهذه الطريقة: تم العثور على المضاعف المشترك الأصغر ، أي أقل قاسم مشترك ، 12 و 16. هذا الرقم هو 48. من الضروري إدراج عوامل إضافية في الكسر الأول 5 12 ، تم العثور على هذا الرقم من حاصل القسمة 48: 12 \u003d 4 ، للكسر الثاني 9 16-48: 16 \u003d 3. دعونا نكتب النتيجة على هذا النحو: 5 12 \u003d 5 4 12 4 \u003d 20 48 و 9 16 \u003d 9 3 16 3 \u003d 27 48.

بعد مقارنة الكسور ، نجد ذلك 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

إجابة: 5 12 < 9 16 .

توجد طريقة أخرى لمقارنة الكسور بمقامات مختلفة. يتم تشغيله دون التحويل إلى قاسم مشترك. لنلقي نظرة على مثال. لمقارنة الكسور a b و c d ، نأتي إلى المقام المشترك ، ثم b d ، أي حاصل ضرب هذين المقامين. ثم العوامل الإضافية للكسور ستكون مقامات الكسر المجاور. ستكتب في صورة أ د ب د وج ب د ب. باستخدام القاعدة ذات المقامات نفسها ، وجدنا أن مقارنة الكسور قد اختزلت إلى مقارنات حاصل الضرب a d و c b. من هذا نحصل على قاعدة مقارنة الكسور ذات المقامات المختلفة: إذا كانت a d\u003e b c ، فإن a b\u003e c d ، ولكن إذا a d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

مثال 3

قارن الكسور 5 18 و 23 86.

القرار

هذا المثال له أ \u003d 5 ، ب \u003d 18 ، ج \u003d 23 ، د \u003d 86. ثم من الضروري حساب a · d و b · c. هذا يعني أن أ د \u003d 5 86 \u003d 430 ، ب ج \u003d 18 23 \u003d 414. لكن 430\u003e 414 ، فإن الكسر المعطى 5 18 أكبر من 23 86.

إجابة: 5 18 > 23 86 .

مقارنة الكسور التي لها نفس البسط

إذا كانت الكسور لها نفس البسط والمقامرات المختلفة ، فيمكنك إجراء المقارنة وفقًا للفقرة السابقة. نتيجة المقارنة ممكنة بمقارنة قواسمها.

توجد قاعدة لمقارنة الكسور التي لها نفس البسط : لكسرين لهما نفس البسط ، فكلما كبر الكسر ذو المقام السفلي والعكس صحيح.

لنلقي نظرة على مثال.

مثال 4

قارن الكسور 54 19 و 54 31.

القرار

لدينا أن البسطين متماثلان ، ما يعني أن الكسر الذي مقامه 19 أكبر من الكسر الذي مقامه 31. هذا مفهوم على أساس القاعدة.

إجابة: 54 19 > 54 31 .

خلاف ذلك ، يمكنك النظر في مثال. هناك صحنان عليهما 1 2 كعكات ، والآخر 1 16. إذا كنت تأكل 1 2 كعكة ، فسوف تملأ أسرع من 1 16. ومن هنا استنتاج أن المقام الأكبر الذي له نفس البسط هو الأصغر عند مقارنة الكسور.

مقارنة الكسر مع العدد الطبيعي

مقارنة كسر عادي برقم طبيعي هي نفسها مقارنة كسرين مع المقامات المكتوبة في الصورة 1. أدناه مثال لدراسة مفصلة.

مثال 4

مطلوب مقارنة 63 8 و 9.

القرار

من الضروري تمثيل الرقم 9 في صورة كسر 9 1. ثم علينا مقارنة الكسور 63 8 و 9 1. يتبع ذلك اختزال إلى قاسم مشترك بإيجاد عوامل إضافية. بعد ذلك ، نرى أننا بحاجة إلى مقارنة كسرين لهما نفس المقام 63 8 و 72 8. بناء على قاعدة المقارنة 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

إجابة: 63 8 < 9 .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl + Enter

لمقارنة الكسور المختلطة ، يوجد تسلسل من خطوتين من الإجراءات:

الخطوة 1. قارن أجزاء كاملة من خليط
أعداد (كسور).
من كسرين بأجزاء صحيحة مختلفة ، أكثر
الذي يكون الجزء كله أكبر.
الخطوة الثانية. قارن الجزء الكسري من خليط
أعداد (كسور).
لكسرين لهما نفس الجزء الصحيح
الأكبر هو الذي يكون الجزء الكسري أكبر.

تعليق:

أي كسر مختلط (مختلط
number) أكبر من الجزء الصحيح وأقل
العدد الطبيعي الذي يليه.
فمثلا،
2 < 2½ < 3;
1 < 1¼ < 2;
5 < 5¾ < 6.

أمثلة.

مزيد في شكل الصور ستعطى
أمثلة من الأعداد المختلطة (الكسور).
حاول مقارنتها منطقيًا أولاً ،
ثم - باستخدام القاعدة.

ما هي الأزرار الأكثر: الأزرق أم البرتقالي؟

1) 3¾
3½

ما هي الأزرار الأكثر: الأزرق أم البرتقالي؟

3¾\u003e
3½

ما هي الأزرار الأكثر: الأزرق أم البرتقالي؟

3¾\u003e
3½
لماذا توصلنا إلى هذا الاستنتاج؟
كمية البرتقالي والأزرق
يمكن التعبير عن الأزرار ككسور كما هو موضح أعلاه. من الواضح أن هؤلاء
الكسور المختلطة (أرقام) لها نفس الأجزاء الكاملة ، لكن الكسور المختلفة
كقاعدة عامة ، في مثل هذه الحالات ، يجب مقارنة الأجزاء الكسرية. اعتبرهم
بشكل منفصل.

ما هي الأزرار الأكثر: الأزرق أم البرتقالي؟

¾
>
½
حتى بمجرد النظر إلى هذه الصور ، يمكننا قول ذلك
قطعة الزر البرتقالي أكبر من الزرقاء.
وإذا قارنا الكسور نفسها ، فسنحصل على\u003e ½.

10. أي الأزرار هي أكثر: زرقاء أم برتقالية؟

3¾\u003e
3½
الجواب: المزيد من الأزرار البرتقالية

لا يمكن مقارنة الأعداد الأولية فقط ، بل الكسور أيضًا. بعد كل شيء ، الكسر هو نفس عدد الأعداد الطبيعية على سبيل المثال. ما عليك سوى معرفة القواعد التي تتم بها مقارنة الكسور.

مقارنة الكسور بنفس المقام.

إذا كان هناك كسرين لهما نفس المقام ، فمن السهل مقارنة هذه الكسور.

لمقارنة الكسور بنفس المقام ، عليك مقارنة البسط. الكسر الأكبر الذي يحتوي على البسط الأكبر.

لنفكر في مثال:

قارن الكسور \\ (\\ frac (7) (26) \\) و \\ (\\ frac (13) (26) \\).

مقامات كلا الكسرين تساوي 26 ، لذا نقارن البسطين. الرقم 13 أكبر من 7. نحصل على:

\\ (فارك (7) (26)< \frac{13}{26}\)

مقارنة الكسور ذات البسط المتساوي.

إذا كان الكسر له نفس البسط ، فإن الكسر ذي المقام السفلي يكون أكبر.

يمكنك أن تفهم هذه القاعدة إذا أعطيت مثالاً من الحياة. لدينا كعكة. يمكننا زيارة 5 أو 11 ضيفًا. إذا حضر 5 ضيوف ، فسنقطع الكعكة إلى 5 قطع متساوية ، وإذا حضر 11 ضيفًا ، فسنقسم إلى 11 قطعة متساوية. فكر الآن في أي حالة لضيف واحد سيكون هناك قطعة أكبر من الكعكة؟ بالطبع ، عندما يأتي 5 ضيوف ، ستكون قطعة الكعكة أكبر.

أو مثال آخر. لدينا 20 قطعة شوكولاتة. يمكننا توزيع الحلويات بالتساوي على 4 أصدقاء أو مشاركة الحلويات بالتساوي بين 10 أصدقاء. متى سيحصل كل صديق على المزيد من الحلويات؟ بالطبع ، عندما نقسم على 4 أصدقاء فقط ، سيكون لدى كل صديق المزيد من الحلوى. دعونا نتحقق من هذه المشكلة رياضيا.

\\ (\\ frac (20) (4)\u003e \\ frac (20) (10) \\)

إذا حللنا هذه الكسور قبل أن نحصل على الأرقام \\ (\\ frac (20) (4) \u003d 5 \\) و \\ (\\ frac (20) (10) \u003d 2 \\). نحصل على 5\u003e 2

هذه هي قاعدة مقارنة الكسور التي لها نفس البسط.

لنفكر في مثال آخر.

قارن الكسور التي لها نفس البسط \\ (\\ frac (1) (17) \\) و \\ (\\ frac (1) (15) \\).

بما أن البسطين متماثلان ، فالأكبر هو الكسر الذي يكون المقام فيه أصغر.

\\ (\\ فارك (1) (17)< \frac{1}{15}\)

مقارنة الكسور ذات المقامات والبسط المختلفة.

لمقارنة الكسور ذات المقامات المختلفة ، تحتاج إلى اختزال الكسور إلى ثم مقارنة البسط.

قارن الكسور \\ (\\ frac (2) (3) \\) و \\ (\\ frac (5) (7) \\).

أولًا ، أوجد المقام المشترك للكسرين. سيكون مساويا للرقم 21.

\\ (\\ start (align) & \\ frac (2) (3) \u003d \\ frac (2 \\ times 7) (3 \\ times 7) \u003d \\ frac (14) (21) \\\\\\\\ & \\ frac (5) (7) \u003d \\ فارك (5 \\ مرات 3) (7 \\ مرات 3) \u003d \\ فارك (15) (21) \\ \\ نهاية (محاذاة) \\)

ثم ننتقل إلى مقارنة البسط. قاعدة مقارنة الكسور بنفس المقام.

\\ (\\ ابدأ (محاذاة) & \\ فارك (14) (21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

مقارنة.

الكسر غير الصحيح هو الأصح دائمًا.لأن الكسر غير الفعلي أكبر من 1 والكسر المناسب أقل من 1.

مثال:
قارن الكسور \\ (\\ frac (11) (13) \\) و \\ (\\ frac (8) (7) \\).

الكسر \\ (\\ frac (8) (7) \\) غير صحيح وأكبر من 1.

\(1 < \frac{8}{7}\)

الكسر \\ (\\ frac (11) (13) \\) صحيح وهو أقل من 1. قارن:

\\ (1\u003e \\ فارك (11) (13) \\)

نحصل ، \\ (\\ frac (11) (13)< \frac{8}{7}\)

أسئلة حول الموضوع:
كيف تقارن الكسور بمقامات مختلفة؟
الجواب: من الضروري تقريب الكسور إلى قاسم مشترك ثم مقارنة البسط.

كيف تقارن الكسور؟
الإجابة: تحتاج أولاً إلى تحديد الفئة التي تنتمي إليها الكسور: لها مقام مشترك ، أو بسط مشترك ، أو ليس لها مقام وبسط مشترك ، أو لديك كسر صحيح وآخر خطأ. بعد تصنيف الكسور ، قم بتطبيق قاعدة المقارنة المناسبة.

ما هي المقارنة بين الكسور التي لها نفس البسط؟
الجواب: إذا كان للكسرين نفس البسط ، فإن الكسر الأكبر له المقام السفلي.

مثال 1:
قارن الكسور \\ (\\ frac (11) (12) \\) و \\ (\\ frac (13) (16) \\).

القرار:
نظرًا لعدم وجود بسط أو قواسم متطابقة ، فإننا نطبق قاعدة المقارنة مع قواسم مختلفة. علينا إيجاد مقام مشترك. سيكون المقام المشترك 96. دعونا نحضر الكسور إلى قاسم مشترك. يتم ضرب الكسر الأول \\ (\\ frac (11) (12) \\) في عامل إضافي 8 ، والكسر الثاني \\ (\\ frac (13) (16) \\) في 6.

\\ (\\ start (align) & \\ frac (11) (12) \u003d \\ frac (11 \\ times 8) (12 \\ times 8) \u003d \\ frac (88) (96) \\\\\\\\ & \\ frac (13) (16) \u003d \\ فارك (13 \\ مرات 6) (16 \\ مرات 6) \u003d \\ فارك (78) (96) \\ \\ نهاية (محاذاة) \\)

قارن الكسور بالبسط ، الكسر الأكبر الذي يحتوي على بسط أكبر.

\\ (\\ start (align) & \\ frac (88) (96)\u003e \\ frac (78) (96) \\\\\\\\ & \\ frac (11) (12)\u003e \\ frac (13) (16) \\\\\\ \\ نهاية (محاذاة) \\)

المثال الثاني:
قارن الكسر الصحيح مع واحد؟

القرار:
دائمًا ما يكون أي كسر عادي أقل من 1.

المهمة رقم 1:
لعب الابن والأب كرة القدم. سجل الابن الهدف 5 مرات من أصل 10 اقتراب. وضرب أبي المرمى 3 مرات من 5 طرق. من هي النتيجة الأفضل؟

القرار:
ضرب الابن 5 مرات من أصل 10 طرق ممكنة. دعونا نكتبه في صورة كسر \\ (\\ frac (5) (10) \\).
ضرب أبي من 5 طرق ممكنة 3 مرات. دعونا نكتبه في صورة كسر \\ (\\ frac (3) (5) \\).

دعونا نقارن الكسور. لدينا بسط ومقام مختلفان ، فلنضعهما في نفس المقام. سيكون المقام المشترك 10.

\\ (\\ start (align) & \\ frac (3) (5) \u003d \\ frac (3 \\ times 2) (5 \\ times 2) \u003d \\ frac (6) (10) \\\\\\\\ & \\ frac (5) (عشرة)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

الجواب: أبي لديه نتيجة أفضل.

الغرض من الدرس:تطوير المهارات لمقارنة الأرقام المختلطة.

أهداف الدرس:

تعلم المقارنة بين الأعداد المختلطة.
تطوير التفكير والانتباه.
صقل الدقة عند رسم المستطيلات.

معدات:جدول "الكسور المشتركة" ، مجموعة من الدوائر "الكسور والكسور"

خلال الفصول

I. لحظة تنظيمية.

كتابة التاريخ في دفتر.

ما هو تاريخ اليوم؟ ما الشهر؟ ما العام؟ ما هو الشهر؟ ما هو الدرس؟

II. العمل الشفوي

1. العمل على اللوحة:

347

999

200

127

اقرأ الأرقام.
اسم أكبر وأصغر رقم.
قم بتسمية الأرقام بترتيب تنازلي تصاعدي.
اسم جيران كل رقم.
مقارنة رقم 1 ورقم 2.
قارن بين الرقمين 2 و 3.
كم 3 هو الرقم الأصغر من 4.
حلل الرقم الأخير إلى مجموع مصطلحات الرقم ، الاسم: كم عدد الوحدات الموجودة في هذا الرقم ، كم عدد عشرات ، كم عدد المئات.

2. ما هي الأرقام التي ندرسها الآن؟ (كسري.)