كيف تحسب الكسور. كيفية حل الأمثلة مع الكسور. كيفية إيجاد فرق الكسور التي لها نفس المقام
يتعرف التلاميذ على الكسور في الصف الخامس. في السابق ، كان الأشخاص الذين يعرفون كيفية تنفيذ الإجراءات باستخدام الكسور يعتبرون أذكياء جدًا. كان الكسر الأول 1/2 ، أي النصف ، ثم ظهر 1/3 ، إلخ. لعدة قرون ، اعتبرت الأمثلة معقدة للغاية. الآن ، تم تطوير قواعد مفصلة لتحويل الكسور والجمع والضرب والإجراءات الأخرى. يكفي فهم المادة قليلاً ، وسيكون الحل سهلاً.
يُكتب الكسر العادي ، المسمى الكسر البسيط ، على هيئة قسمة رقمين: م ون.
M هو المقسوم ، أي بسط الكسر ، والمقسوم عليه n يسمى المقام.
تخصيص الكسور الصحيحة (م< n) а также неправильные (m > ن).
الكسر العادي أقل من واحد (على سبيل المثال ، 5/6 - وهذا يعني أن 5 أجزاء مأخوذة من جزء ؛ 2/8 - 2 جزء مأخوذ من جزء واحد). الكسر غير المنتظم يساوي أو أكبر من 1 (8/7 - 1 هي 7/7 ويتم أخذ جزء آخر كإضافة).
إذن ، الوحدة هي عندما يتطابق البسط والمقام (3/3 ، 12/12 ، 100/100 وغيرها).
الإجراءات مع الكسور العادية الصف 6
باستخدام الكسور البسيطة ، يمكنك القيام بما يلي:
- قم بتوسيع الكسر. إذا قمت بضرب الجزأين العلوي والسفلي من الكسر بأي من نفس العدد (لكن ليس صفرًا) ، فلن تتغير قيمة الكسر (3/5 \u003d 6/10 (فقط مضروبة في 2).
- اختزال الكسور مشابه للتمدد ، لكن هنا مقسوم على عدد ما.
- قارن. إذا كان للكسرين نفس البسط ، فسيكون الكسر الأكبر هو الكسر ذو المقام الأدنى. إذا كانت المقامات متماثلة ، فسيكون الكسر ذو البسط الأكبر أكبر.
- نفذ عمليات الجمع والطرح. مع نفس القواسم ، من السهل القيام بذلك (نلخص الأجزاء العليا ، والجزء السفلي لا يتغير). للاختلاف ، سيكون عليك إيجاد قاسم مشترك وعوامل إضافية.
- اضرب الكسور واقسمها.
سننظر في أمثلة الإجراءات مع الكسور أدناه.
الكسور المخففة الدرجة 6
الاختصار يعني قسمة الجزأين العلوي والسفلي من الكسر بعدد متساوٍ.
يوضح الشكل أمثلة بسيطة للاختصار. في الخيار الأول ، يمكنك على الفور تخمين أن البسط والمقام يقبل القسمة على 2.
في المذكرة! إذا كان الرقم زوجيًا ، فإنه بأي طريقة يقبل القسمة على 2. الأرقام الزوجية هي 2 ، 4 ، 6 ... 32 8 (ينتهي بـ) ، إلخ.
في الحالة الثانية ، عند قسمة 6 على 18 ، يتضح على الفور أن الأرقام قابلة للقسمة على 2. بالقسمة ، نحصل على 3/9. هذا الكسر قابل للقسمة على 3. إذن الإجابة هي 1/3. إذا ضربت كلا العاملين: 2 في 3 ، فستحصل على 6. اتضح أن الكسر كان مقسومًا على ستة. هذا التقسيم التدريجي يسمى الاختزال المتتالي للكسور حسب العوامل المشتركة.
سيقسم شخص ما على الفور على 6 ، وسيحتاج شخص ما إلى القسمة على الأجزاء. الشيء الرئيسي هو أنه يوجد في النهاية كسر لا يمكن اختزاله بأي شكل من الأشكال.
لاحظ أنه إذا كان الرقم يتكون من أرقام ، مع إضافة ما يصل إلى رقم قابل للقسمة على 3 ، فيمكن أيضًا تقليل الأصل بمقدار 3. مثال: رقم 341. أضف الأرقام: 3 + 4 + 1 \u003d 8 (لا يمكن تقسيم 8 على 3 ، وبالتالي لا يمكن تقليل الرقم 341 بمقدار 3 بدون الباقي). مثال آخر: 264. أضف: 2 + 6 + 4 \u003d 12 (يقبل القسمة على 3). نحصل على: 264: 3 \u003d 88. هذا سوف يبسط تقليل الأعداد الكبيرة.
بالإضافة إلى طريقة الاختزال المتتالي للكسور حسب العوامل المشتركة ، هناك طرق أخرى.
GCD هو القاسم الأكبر لعدد. بعد العثور على GCD للمقام والبسط ، يمكنك على الفور تقليل الكسر بالرقم المطلوب. يتم البحث عن طريق قسمة كل رقم تدريجيًا. بعد ذلك ، ينظرون إلى القواسم التي تتطابق ، إذا كان هناك العديد منهم (كما في الصورة أدناه) ، فأنت بحاجة إلى الضرب.
الكسور المختلطة الصف 6
يمكن تحويل جميع الكسور غير المنتظمة إلى كسور مختلطة عن طريق اختيار الجزء الكامل فيها. العدد الصحيح مكتوب إلى اليسار.
غالبًا ما يتعين عليك عمل عدد كسري من كسر غير فعلي. عملية التحويل في المثال أدناه: 22/4 \u003d 22 نقسم على 4 ، نحصل على 5 أعداد صحيحة (5 * 4 \u003d 20). 22 - 20 \u003d 2. نحصل على 5 أعداد صحيحة و 2/4 (المقام لا يتغير). نظرًا لأنه يمكن إلغاء الكسر ، فإننا نقسم الجزء العلوي والسفلي على 2.
من السهل تحويل عدد كسري إلى كسر غير فعلي (هذا ضروري عند قسمة الكسور وضربها). للقيام بذلك: اضرب العدد الصحيح في الجزء السفلي من الكسر وأضف البسط إليه. فعله. القاسم لا يتغير.
حسابات مع كسور الدرجة 6
يمكن إضافة الأرقام المختلطة. إذا كانت المقامات متماثلة ، فمن السهل القيام بذلك: أضف الأجزاء الكاملة والبسط ، ويظل المقام في مكانه.
عند إضافة أرقام ذات قواسم مختلفة ، تكون العملية أكثر تعقيدًا. أولاً ، نحضر الأرقام إلى أصغر مقام واحد (NOZ).
في المثال أدناه ، بالنسبة للرقمين 9 و 6 ، يكون المقام هو 18. بعد ذلك ، هناك حاجة إلى عوامل إضافية. لإيجادهم ، يجب قسمة 18 على 9 ، لذلك تم إيجاد الرقم الإضافي - 2. نضربه في البسط 4 لنحصل على الكسر 8/18). وينطبق الشيء نفسه على الكسر الثاني. نقوم بالفعل بإضافة الكسور المحولة (الأعداد الصحيحة والبسط منفصلة ، والمقام لم يتغير). في المثال ، يجب تحويل الإجابة إلى كسر عادي (في البداية ، كان البسط أكبر من المقام).
يرجى ملاحظة أن الإجراء هو نفسه بالنسبة للفرق في الكسور.
عند ضرب الكسور ، من المهم وضع كلاهما تحت نفس السطر. إذا كان الرقم مختلطًا ، فإننا نحوله إلى كسر بسيط. بعد ذلك ، نضرب الأعلى والأسفل ونكتب الإجابة. إذا كان بإمكانك رؤية أنه يمكن اختزال الكسور ، فسنختصرها على الفور.
في المثال أعلاه ، لم يكن علينا قطع أي شيء ، لقد كتبنا الإجابة واخترنا الجزء بالكامل.
في هذا المثال ، اضطررت إلى قطع الأرقام تحت سطر واحد. على الرغم من أنه يمكنك تقصير إجابة جاهزة.
بالنسبة للقسمة ، فإن الخوارزمية هي نفسها تقريبًا. أولاً ، نحول الكسر المختلط إلى كسر غير منتظم ، ثم نكتب الأرقام تحت سطر واحد ، ونستبدل القسمة بالضرب. لا تنس تبديل الجزأين العلوي والسفلي من الكسر الثاني (هذه هي قاعدة قسمة الكسور).
إذا لزم الأمر ، نقوم بتقليل الأرقام (في المثال أدناه قمنا بتقليلها بمقدار خمسة واثنين). نقوم بتحويل الكسر غير المنتظم باختيار الجزء بأكمله.
المشاكل الأساسية للكسور الصف 6
يعرض الفيديو بعض المهام الأخرى. من أجل الوضوح ، تم استخدام الصور الرسومية للحلول للمساعدة في تصور الكسور.
أمثلة على ضرب كسر الدرجة 6 مع التفسيرات
تتم كتابة ضرب الكسور تحت سطر واحد. بعد ذلك ، يتم تقليلها عن طريق القسمة على نفس الأرقام (على سبيل المثال ، يمكن قسمة 15 في المقام و 5 في البسط على خمسة).
مقارنة الكسور الصف 6
لمقارنة الكسور ، عليك أن تتذكر قاعدتين بسيطتين.
القاعدة 1. إذا كانت المقامات مختلفة
القاعدة 2. عندما تكون المقامات متماثلة
على سبيل المثال ، دعنا نقارن الكسور 7/12 و 2/3.
- نحن ننظر إلى القواسم ، فهي لا تتطابق. لذلك أنت بحاجة إلى إيجاد واحد مشترك.
- بالنسبة للكسور ، فإن المقام المشترك هو 12.
- نقسم 12 أولاً على الجزء السفلي من الكسر الأول: 12: 12 \u003d 1 (هذا عامل إضافي للكسر الأول).
- الآن نقسم 12 على 3 ، نحصل على 4 - إضافة. عامل الكسر الثاني.
- نضرب الأرقام الناتجة في البسط لتحويل الكسور: 1 × 7 \u003d 7 (الكسر الأول: 7/12) ؛ 4 × 2 \u003d 8 (الكسر الثاني: 8/12).
- يمكننا الآن مقارنة: 7/12 و 8/12. حدث: 7/12< 8/12.
لتمثيل الكسور بشكل أفضل ، يمكنك استخدام الرسومات للتوضيح ، حيث يتم تقسيم الكائن إلى أجزاء (على سبيل المثال ، كعكة). إذا كنت تريد المقارنة بين 4/7 و 2/3 ، ففي الحالة الأولى ، يتم تقسيم الكعكة إلى 7 أجزاء ويتم تحديد 4 منها. في الثانية ، يقسمونها إلى 3 أجزاء وتأخذ 2. سيكون واضحًا للعين المجردة أن 2/3 ستكون أكثر من 4/7.
أمثلة مع كسور الصف 6 للتدريب
كتمرين ، يمكنك القيام بالمهام التالية.
- قارن الكسور
- إجراء الضرب
نصيحة: إذا كان من الصعب إيجاد المقام المشترك الأصغر للكسور (خاصة إذا كانت قيمها صغيرة) ، فيمكنك ضرب مقام الكسور الأولى والثانية. مثال: 2/8 و 5/9. إيجاد المقام بسيط: اضرب 8 في 9 ، نحصل على 72.
حل المعادلات ذات الكسور من الدرجة السادسة
في حل المعادلات ، عليك أن تتذكر إجراءات الكسور: الضرب والقسمة والطرح والجمع. إذا كان أحد العوامل غير معروف ، فسيتم قسمة المنتج (الإجمالي) على عامل معروف ، أي يتم ضرب الكسور (يتم قلب الثاني).
إذا كان المقسوم غير معروف ، فسيتم ضرب المقام بالمقسوم عليه ، ولإيجاد المقسوم عليه ، يجب قسمة المقسوم على حاصل القسمة.
دعنا نقدم أمثلة بسيطة لحل المعادلات:
هنا مطلوب فقط إنتاج فرق الكسور دون التسبب في قاسم مشترك.
جاء الجواب في صورة كسر غير صحيح. يمكن تحويلها إلى 1 عدد صحيح و 3/5.
في الطريقة الثانية ، تم ضرب البسط والمقام في 4 لإلغاء الجزء السفلي بدلاً من قلب المقام.
تعليمات
من المعتاد فصل الكسور العادية والعشرية ، والتي يبدأ التعارف معها في المدرسة الثانوية. لا يوجد حاليا أي مجال خبرة لا ينطبق هذا. حتى أننا نقول القرن السابع عشر الأول ، وكل ذلك مرة واحدة ، مما يعني 1600-1625. غالبًا ما يتعين عليك أيضًا التعامل مع العمليات الأولية على الكسور ، بالإضافة إلى تحويلها من نوع إلى آخر.
ربما يكون تحويل الكسور إلى قاسم مشترك هو الإجراء الأكثر أهمية على الكسور المشتركة. هذا هو الأساس لجميع الحسابات على الإطلاق. فلنفترض أن هناك كسرين أ / ب وج / د. بعد ذلك ، من أجل الوصول بهم إلى المقام المشترك ، تحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (M) للرقمين b و d ، ثم ضرب بسط الكسر الأول في (M / b) ، وبسط الثانية ب (م / د).
مقارنة الكسور مهمة أخرى مهمة. للقيام بذلك ، أحضر الكسور البسيطة المعطاة إلى مقام مشترك ثم قارن البسطين ، حيث يكون بسطهما أكبر ، وهذا الكسر وأكثر.
من أجل إجراء جمع أو طرح الكسور العادية ، تحتاج إلى تقريبها إلى قاسم مشترك ، ثم تنفيذ الإجراء الرياضي المطلوب ببسط هذه الكسور. يبقى المقام دون تغيير. لنفترض أنك بحاجة إلى طرح c / d من a / b. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر M للأرقام b و d ، ثم طرح الآخر من البسط دون تغيير المقام: (a * (M / b) - (c * (M / d) ) / م
يكفي فقط ضرب كسر واحد في آخر ، لذلك عليك فقط ضرب البسط والمقام:
(أ / ب) * (ج / د) \u003d (أ * ج) / (ب * د) لتقسيم كسر على آخر ، تحتاج إلى ضرب كسر المقسوم في الكسر العكسي. (أ / ب) / (ج / د) \u003d (أ * د) / (ب * ج)
تجدر الإشارة إلى أنه للحصول على الكسر المقلوب ، يجب عكس البسط والمقام.
لجمع كسرين مع نفس القواسم، من الضروري إضافة البسط والمقاماتركه دون تغيير.جمع الكسور, أمثلة:
الصيغة العامة لجمع الكسور العادية وطرح الكسور ذات المقام نفسه هي:
ملحوظة! تحقق مما إذا كان يمكنك تقليل الكسر الذي تلقيته عن طريق تدوين الإجابة.
جمع الكسور ذات القواسم المختلفة.
قواعد جمع الكسور ذات القواسم المختلفة:
- اختصر الكسور إلى القاسم المشترك الأصغر (LCN). لهذا نجد الأصغر المضاعف المشترك (LCM) للقواسم ؛
- اجمع بسط الكسور واترك المقام دون تغيير ؛
- نقوم بتقليل الكسر الذي حصلنا عليه ؛
- إذا حصلت على كسر غير صحيح ، فحول الكسر غير الصحيح إلى كسر مختلط.
أمثلة على الاضافات الكسور ذات القواسم المختلفة:
جمع الأعداد الكسرية (كسور مختلطة).
قواعد إضافة الكسور المختلطة:
- نحضر الأجزاء الكسرية من هذه الأرقام إلى القاسم المشترك الأصغر (LCN) ؛
- قم بإضافة الأجزاء الكاملة بشكل منفصل والأجزاء الكسرية بشكل منفصل ، أضف النتائج ؛
- إذا ، عند إضافة الأجزاء الكسرية ، تلقينا كسرًا غير صحيح ، فحدد الجزء بالكامل من هذا الكسر وإضافته إلى الجزء الكامل الناتج ؛
- نقوم بتقليل الكسر الناتج.
مثال الاضافات جزء مختلط:
جمع الكسور العشرية.
عند إضافة الكسور العشرية ، تتم كتابة العملية في "عمود" (كضرب العمود المعتاد) ،بحيث تكون التصريفات التي تحمل الاسم نفسه تحت بعضها البعض دون إزاحة. الفواصل مطلوبةنلتقي بوضوح تحت بعضنا البعض.
قواعد جمع الكسور العشرية:
1. إذا لزم الأمر ، قم بمساواة عدد المنازل العشرية. للقيام بذلك ، أضف الأصفار إلىالكسر المطلوب.
2. نكتب الكسور بحيث تكون الفواصل أسفل بعضها البعض.
3. أضف الكسور دون الالتفات إلى الفاصلة.
4. نضع فاصلة في المقدار تحت الفواصل ، الكسور التي نضيفها.
ملحوظة! عندما يكون للكسور العشرية عدد مختلف من الأرقام بعد الفاصلة العشرية ،ثم نقوم بتعيين العدد المطلوب من الأصفار للكسر الذي يحتوي على عدد أقل من المنازل العشرية ، للمعادلة فيالكسور هي عدد المنازل العشرية.
دعونا نفهم مثال... أوجد مجموع الكسور العشرية:
0,678 + 13,7 =
نعادل عدد المنازل العشرية في الكسور العشرية. أضف 2 أصفار إلى اليمين إلى العلامة العشريةكسور 13,7 .
0,678 + 13,700 =
نكتب إجابة:
0,678 + 13,7 = 14,378
إذا جمع الكسور العشرية لقد أتقنتها جيدًا بما فيه الكفاية ، ثم يمكن إضافة الأصفار المفقودةفي الدماغ.
تبدأ هذه المقالة في دراسة الإجراءات مع الكسور الجبرية: سننظر بالتفصيل في إجراءات مثل جمع وطرح الكسور الجبرية. دعونا نحلل مخطط الجمع والطرح للكسور الجبرية مع نفس القواسم وأخرى مختلفة. سوف نتعلم كيفية إضافة كسر جبري مع كثير الحدود وكيفية طرحها. دعونا نشرح كل خطوة من خطوات البحث عن حل للمشاكل بأمثلة محددة.
إجراءات الجمع والطرح بنفس المقامات
مخطط إضافة الكسور العادية ينطبق على الكسور الجبرية. نعلم أنه عند جمع أو طرح الكسور العادية التي لها نفس المقام ، فإنك تحتاج إلى جمع أو طرح البسط ، ويظل المقام هو الأصل.
على سبيل المثال: 3 7 + 2 7 \u003d 3 + 2 7 \u003d 5 7 و 5 11-4 11 \u003d 5-4 11 \u003d 11 1.
وفقًا لذلك ، تتم كتابة قاعدة جمع وطرح الكسور الجبرية التي لها نفس المقامات بطريقة مماثلة:
التعريف 1
لجمع أو طرح الكسور الجبرية ذات المقامات نفسها ، تحتاج إلى جمع أو طرح البسط من الكسور الأصلية ، على التوالي ، وكتابة المقام بدون تغيير.
هذه القاعدة تجعل من الممكن استنتاج أن نتيجة جمع أو طرح الكسور الجبرية هو كسر جبري جديد (في حالة معينة: متعدد الحدود أو أحادي أو عدد).
دعونا نعطي مثالاً لتطبيق القاعدة المصاغة.
مثال 1
معطيات الكسور الجبرية: x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 and 3 - x y x 2 y - 2. من الضروري إضافتهم.
القرار
تحتوي الكسور الأصلية على نفس القواسم. وفقًا للقاعدة ، دعونا نجمع بسط الكسور المعطاة ، ونترك المقام دون تغيير.
بإضافة كثيرات الحدود التي هي بسط الكسور الأصلية ، نحصل على: س 2 + 2 س ص - 5 + 3 - س ص \u003d س 2 + (2 س ص - س ص) - 5 + 3 \u003d س 2 + س ص - 2.
ثم سيتم كتابة المبلغ المطلوب على النحو التالي: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.
في الممارسة العملية ، كما هو الحال في كثير من الحالات ، يتم تقديم الحل من خلال سلسلة من المساواة ، توضح بوضوح جميع مراحل الحل:
x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x yx 2 y - 2 \u003d x 2 + x y - 2 x 2 y - 2
إجابة: س 2 + 2 س ص - 5 س 2 ص - 2 + 3 - س ص س 2 ص - 2 \u003d س 2 + س ص - 2 س 2 ص - 2.
يمكن أن تكون نتيجة الجمع أو الطرح كسرًا قابلاً للإلغاء ، وفي هذه الحالة من الأفضل تقليله.
مثال 2
من الضروري أن تطرح من الكسر الجبري x x 2 - 4 · y 2 الكسر 2 · y x 2-4 · y 2.
القرار
مقامات الكسور الأصلية متساوية. دعنا ننفذ إجراءات بالبسط ، وهي: طرح بسط الثاني من بسط الكسر الأول ، ثم نكتب النتيجة ، مع ترك المقام دون تغيير:
س س 2-4 ص 2-2 ص س 2-4 ص 2 \u003d س - 2 ص س 2-4 ص 2
نرى أن الكسر الناتج هو كسر قابل للإلغاء. دعونا نختصرها بتحويل المقام باستخدام صيغة فرق المربعات:
س - 2 ص × 2-4 ص 2 \u003d س - 2 ص (س - 2 ص) (س + 2 ص) \u003d 1 س + 2 ص
إجابة: س س 2-4 ص 2-2 ص س 2-4 ص 2 \u003d 1 س + 2 ص.
وفقًا لنفس المبدأ ، تتم إضافة أو طرح ثلاثة أو أكثر من الكسور الجبرية بنفس القواسم. فمثلا:
1 × 5 + 2 × 3 - 1 + 3 × - × 4 × 5 + 2 × 3 - 1 - × 2 × 5 + 2 × 3 - 1 - 2 × 3 × 5 + 2 × 3 - 1 \u003d 1 + 3 س - س 4 - س 2 - 2 × 3 × 5 + 2 × 3-1
إجراءات الجمع والطرح للقواسم المختلفة
دعنا ننتقل مرة أخرى إلى مخطط الإجراءات مع الكسور العادية: من أجل إضافة أو طرح الكسور العادية ذات القواسم المختلفة ، من الضروري إحضارها إلى قاسم مشترك ، ثم إضافة الكسور الناتجة بنفس القواسم.
على سبيل المثال ، 2 5 + 1 3 \u003d 6 15 + 5 15 \u003d 11 15 أو 1 2 - 3 7 \u003d 7 14-6 14 \u003d 1 14.
وبالمثل ، سنقوم بصياغة قاعدة جمع وطرح الكسور الجبرية ذات القواسم المختلفة:
التعريف 2
لإجراء جمع أو طرح الكسور الجبرية ذات القواسم المختلفة ، يجب عليك:
- اختزل الكسور الأصلية إلى قاسم مشترك ؛
- إجراء الجمع أو الطرح للكسور الناتجة بنفس القواسم.
من الواضح أن المفتاح هنا سيكون مهارة تحويل الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك. دعونا نلقي نظرة فاحصة.
المقام المشترك للكسور الجبرية
لإحضار الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك ، من الضروري إجراء تحويل مماثل للكسور المعطاة ، ونتيجة لذلك تصبح مقامات الكسور الأصلية كما هي. من الأفضل هنا العمل وفقًا للخوارزمية التالية لجلب الكسور الجبرية إلى قاسم مشترك:
- أولاً نحدد المقام المشترك للكسور الجبرية ؛
- ثم نجد عوامل إضافية لكل كسر من خلال قسمة المقام المشترك على مقامات الكسور الأصلية ؛
- من خلال الإجراء الأخير ، يتم ضرب البسط والمقام في الكسور الجبرية المحددة في العوامل الإضافية المقابلة.
الكسور الجبرية معطاة: أ + 2 2 أ 3 - 4 أ 2 ، أ + 3 3 أ 2 - 6 أ و أ + 1 4 أ 5 - 16 أ 3. من الضروري إحضارهم إلى قاسم مشترك.
القرار
نحن نتصرف وفقًا للخوارزمية المذكورة أعلاه. لنحدد المقام المشترك للكسور الأصلية. لهذا الغرض ، نقوم بإخراج مقامات الكسور المعطاة: 2 أ 3 - 4 أ 2 \u003d 2 أ 2 (أ - 2) ، 3 أ 2 - 6 أ \u003d 3 أ (أ - 2) و 4 أ 5-16 أ 3 \u003d 4 أ 3 (أ - 2) (أ + 2)... من هنا يمكننا كتابة القاسم المشترك: 12 أ 3 (أ - 2) (أ + 2).
الآن علينا إيجاد عوامل إضافية. دعونا نقسم ، وفقًا للخوارزمية ، المقام المشترك الموجود إلى قواسم الكسور الأصلية:
- للكسر الأول: 12 أ 3 (أ - 2) (أ + 2): (2 أ 2 (أ - 2)) \u003d 6 أ (أ + 2) ؛
- للكسر الثاني: 12 أ 3 (أ - 2) (أ + 2): (3 أ (أ - 2)) \u003d 4 أ 2 (أ + 2) ؛
- للكسر الثالث: 12 أ 3 (أ - 2) (أ + 2): (4 أ 3 (أ - 2) (أ + 2)) \u003d 3 .
الخطوة التالية هي ضرب البسط والمقام للكسور المعطاة في العوامل الإضافية الموجودة:
أ + 2 2 أ 3 - 4 أ 2 \u003d (أ + 2) 6 أ (أ + 2) (2 أ 3 - 4 أ 2) 6 أ (أ + 2) \u003d 6 أ (أ + 2) 2 12 أ 3 (أ - 2) (أ + 2) أ + 3 3 أ 2-6 أ \u003d (أ + 3) 4 أ 2 (أ + 2) 3 أ 2-6 أ 4 أ 2 (أ + 2) \u003d 4 أ 2 (أ + 3) (أ + 2) 12 أ 3 (أ - 2) (أ + 2) أ + 1 4 أ 5-16 أ 3 \u003d (أ + 1) 3 (4 أ 5-16 أ 3 ) 3 \u003d 3 (أ + 1) 12 أ 3 (أ - 2) (أ + 2)
إجابة: أ + 2 2 أ 3 - 4 أ 2 \u003d 6 أ (أ + 2) 2 12 أ 3 (أ - 2) (أ + 2) ؛ أ + 3 3 أ 2 - 6 أ \u003d 4 أ 2 (أ + 3) (أ + 2) 12 أ 3 (أ - 2) (أ + 2) ؛ أ + 1 4 أ 5 - 16 أ 3 \u003d 3 (أ + 1) 12 أ 3 (أ - 2) (أ + 2).
لذا ، أوصلنا الكسور الأصلية إلى مقام مشترك. إذا لزم الأمر ، يمكنك تحويل النتيجة إلى شكل كسور جبرية بضرب كثيرات الحدود وحيدة الحدود في البسط والمقام.
دعنا نوضح أيضًا النقطة التالية: من الأفضل ترك المقام المشترك الموجود في شكل منتج في حال كان من الضروري إلغاء الكسر المحدود.
لقد درسنا بالتفصيل مخطط اختزال الكسور الجبرية الأصلية إلى قاسم مشترك ، والآن يمكننا البدء في تحليل أمثلة لجمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة.
مثال 4
الكسور الجبرية معطاة: 1 - 2 x x 2 + x و 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. من الضروري القيام بعمل إضافتهم.
القرار
تحتوي الكسور الأصلية على مقامات مختلفة ، لذا فإن الخطوة الأولى هي تقريبها إلى مقام مشترك. حلل المقامات إلى عوامل: x 2 + x \u003d x (x + 1) و س 2 + 3 س + 2 \u003d (س + 1) (س + 2) ،منذ جذور ثلاثية الحدود × 2 + 3 × + 2 هذه أرقام: - 1 و - 2. حدد القاسم المشترك: x (x + 1) (x + 2)، فإن العوامل الإضافية ستكون: x + 2و - سللكسرين الأول والثاني على التوالي.
هكذا: 1-2 xx 2 + x \u003d 1 - 2 xx (x + 1) \u003d (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) \u003d x + 2-2 x 2 - 4 xx (x + 1) x + 2 \u003d 2 - 2 x 2 - 3 xx (x + 1) (x + 2) و 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x + 5 (x + 1) (س + 2) \u003d 2 س + 5 س (س + 1) (س + 2) س \u003d 2 س 2 + 5 س س (س + 1) (س + 2)
لنجمع الآن الكسور التي جلبناها إلى المقام المشترك:
2 - 2 × 2 - 3 س س (س + 1) (س + 2) + 2 × 2 + 5 س س (س + 1) (س + 2) \u003d \u003d 2 - 2 × 2 - 3 × + 2 × 2 + 5 س س (س + 1) (س + 2) \u003d 2 2 س س (س + 1) (س + 2)
يمكن اختزال الكسر الناتج بعامل مشترك x + 1:
2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x (x + 2)
وأخيرًا ، نكتب النتيجة التي تم الحصول عليها على شكل كسر جبري ، مع استبدال حاصل الضرب في المقام بكثير الحدود:
2 س (س + 2) \u003d 2 س 2 + 2 س
دعونا نكتب مسار الحل بإيجاز كسلسلة من المساواة:
1 - 2 xx 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 1 - 2 xx (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 1 - 2 x (س + 2) س س + 1 س + 2 + 2 س + 5 س (س + 1) (س + 2) س \u003d 2 - 2 س 2 - 3 س س (س + 1) (س + 2) + 2 س 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d \u003d 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 xx (x + 1) (x + 2) \u003d 2 x + 1 x (x + 1) (س + 2) \u003d 2 س (س + 2) \u003d 2 س 2 + 2 س
إجابة: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 \u003d 2 x 2 + 2 x
انتبه إلى هذه التفاصيل: قبل إضافة الكسور الجبرية أو طرحها ، إذا أمكن ، من المستحسن تحويلها من أجل التبسيط.
مثال 5
من الضروري طرح الكسور: 2 1 1 3 · x - 2 21 و 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.
القرار
نقوم بتحويل الكسور الجبرية الأصلية لتبسيط الحل الإضافي. لنخرج المعاملات العددية للمتغيرات الموجودة في المقام خارج الأقواس:
2 1 1 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 2 21 \u003d 2 4 3 x - 1 14 و 3 x - 1 1 7-2 x \u003d 3 x - 1 - 2 x - 1 14
لقد منحنا هذا التحول فائدة بالتأكيد: نحن نرى بوضوح وجود عامل مشترك.
دعونا نتخلص من المعاملات العددية في المقامات تمامًا. للقيام بذلك ، نستخدم الخاصية الرئيسية للكسور الجبرية: نضرب البسط والمقام في الكسر الأول في 3 4 ، والثاني في - 1 2 ، ثم نحصل على:
2 4 3 x - 1 14 \u003d 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 \u003d 3 2 x - 1 14 و 3 x - 1 - 2 x - 1 14 \u003d - 1 2 3 x - 1 - 1 2 - 2 س - 1 14 \u003d - 3 2 س + 1 2 س - 1 14.
دعنا نتخذ إجراءً يسمح لنا بالتخلص من المعاملات الكسرية: اضرب الكسور الناتجة في 14:
3 2 x - 1 14 \u003d 14 3 2 14 x - 1 14 \u003d 21 14 x - 1 و - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d 14-3 2 x + 1 2 x - 1 14 \u003d - 21 x + 7 14 س - 1.
أخيرًا ، نقوم بالإجراء المطلوب في بيان المشكلة - الطرح:
2 1 1 3 x - 2 21-3 x - 1 1 7-2 x \u003d 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 \u003d 21 - - 21 x + 7 14 X - 1 \u003d 21 x + 14 14 × - 1
إجابة: 2 1 1 3 x - 2 21-3 x - 1 1 7-2 x \u003d 21 x + 14 14 x - 1.
الجمع والطرح لكسر جبري وكثير الحدود
يتم أيضًا تقليل هذا الإجراء إلى إضافة أو طرح الكسور الجبرية: من الضروري تمثيل كثير الحدود الأصلي ككسر مقامه 1.
مثال 6
من الضروري إضافة كثير الحدود × 2-3 مع كسر جبري 3 x x + 2.
القرار
نكتب كثير الحدود في صورة كسر جبري مقامه 1: x 2 - 3 1
الآن يمكننا إجراء عملية الجمع وفقًا لقاعدة إضافة الكسور ذات القواسم المختلفة:
س 2 - 3 + 3 س س + 2 \u003d س 2 - 3 1 + 3 س س + 2 \u003d س 2 - 3 (س + 2) 1 س + 2 + 3 س س + 2 \u003d \u003d س 3 + 2 س 2 - 3 س - 6 x + 2 + 3 xx + 2 \u003d x 3 + 2 x 2 - 3 x - 6 + 3 xx + 2 \u003d \u003d x 3 + 2 x 2-6 x + 2
إجابة: س 2 - 3 + 3 س س + 2 \u003d س 3 + 2 س 2-6 س + 2.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl + Enter
الخطوة التالية التي يمكنك القيام بها مع الكسور هي الطرح. في إطار هذه المادة ، سننظر في كيفية حساب فرق الكسور ذات المقامات نفسها والمختلفة بشكل صحيح ، وكيفية طرح كسر من عدد طبيعي والعكس صحيح. سيتم توضيح جميع الأمثلة مع المهام. دعونا نوضح مسبقًا أننا سنحلل فقط الحالات التي ينتج فيها اختلاف الكسور عن رقم موجب.
كيفية إيجاد فرق الكسور التي لها نفس المقام
لنبدأ على الفور بمثال توضيحي: لنفترض أن لدينا تفاحة مقسمة إلى ثمانية أجزاء. دعنا نترك خمس قطع على الطبق ونأخذ قطعتين. يمكن كتابة هذا الإجراء على النحو التالي:
نتيجة لذلك ، يتبقى لدينا 3 أثمان ، بما أن 5-2 \u003d 3. اتضح أن 5 8-2 8 \u003d 3 8.
بفضل هذا المثال البسيط ، رأينا بالضبط كيف تعمل قاعدة الطرح مع الكسور التي لها نفس المقامات. دعونا نصيغها.
التعريف 1
لإيجاد الفرق بين كسرين لهما نفس المقام ، عليك طرح بسط الآخر من بسط أحدهما ، وترك المقام كما هو. يمكن كتابة هذه القاعدة في صورة أ ب - ج ب \u003d أ - ج ب.
سوف نستخدم هذه الصيغة في المستقبل.
لنأخذ أمثلة محددة.
مثال 1
اطرح الكسر 17 15 من 24 15.
القرار
نرى أن هذه الكسور لها نفس القواسم. كل ما علينا فعله هو طرح 17 من 24. نحصل على 7 ونضيف إليه المقام ، نحصل على 7 15.
يمكن كتابة حساباتنا على النحو التالي: 24 15-17 15 \u003d 24-17 15 \u003d 7 15
إذا لزم الأمر ، يمكنك تقليل الكسر المعقد أو تحديد الجزء الكامل من الجزء الخطأ لتسهيل العد.
مثال 2
أوجد الفرق 37 12-15 12.
القرار
لنستخدم الصيغة الموضحة أعلاه ونحسب: 37 12-15 12 \u003d 37-15 12 \u003d 22 12
من السهل أن نرى أنه يمكن تقسيم البسط والمقام على 2 (تحدثنا عن هذا سابقًا عندما درسنا معايير القابلية للقسمة). بتقليل الإجابة ، نحصل على 11 6. هذا كسر غير فعلي نختار منه الجزء الكامل: 11 6 \u003d 1 5 6.
كيفية إيجاد فرق الكسور ذات القواسم المختلفة
يمكن اختزال مثل هذا الإجراء الرياضي إلى ما وصفناه بالفعل أعلاه. للقيام بذلك ، نجلب الكسور المطلوبة إلى مقام واحد. دعنا نصيغ التعريف:
التعريف 2
لإيجاد الفرق بين الكسور ذات المقامات المختلفة ، عليك تقريبهم إلى نفس المقام وإيجاد الفرق في البسط.
لنلقِ نظرة على مثال عن كيفية عمل ذلك.
مثال 3
اطرح 1 15 من 2 9.
القرار
المقامات مختلفة ، وتحتاج إلى الوصول إلى أدنى قيمة مشتركة. في هذه الحالة ، المضاعف المشترك الأصغر هو 45. للكسر الأول مطلوب عامل إضافي 5 ، وللثاني - 3.
لنحسب: 2 9 \u003d 2 5 9 5 \u003d 10 45 1 15 \u003d 1 3 15 3 \u003d 3 45
حصلنا على كسرين لهما نفس المقام ، والآن يمكننا بسهولة إيجاد الاختلاف بينهما وفقًا للخوارزمية الموصوفة سابقًا: 10 45-3 45 \u003d 10-3 45 \u003d 7 45
يبدو السجل المختصر للحل كما يلي: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10-3 45 \u003d 7 45.
لا ينبغي أن تهمل اختزال النتيجة أو استخراج جزء كامل منها إذا لزم الأمر. في هذا المثال ، لسنا بحاجة إلى القيام بذلك.
مثال 4
أوجد الفرق 19 9 - 7 36.
القرار
لنجلب الكسور المشار إليها في الشرط إلى القاسم المشترك الأصغر 36 ونحصل على التوالي 76 9 و 7 36.
نحسب الإجابة: 76 36-7 36 \u003d 76-7 36 \u003d 69 36
يمكن تقليل النتيجة بمقدار 3 والحصول على 23 12. البسط أكبر من المقام ، مما يعني أنه يمكننا تحديد الجزء بالكامل. الحل المهائي هو 1 11 12.
ملخص الحل بالكامل هو 19 9 - 7 36 \u003d 1 11 12.
كيفية طرح عدد طبيعي من كسر عادي
يمكن أيضًا اختزال هذا الإجراء بسهولة إلى طرح بسيط للكسور العادية. يمكن القيام بذلك عن طريق تمثيل عدد طبيعي في صورة كسر. دعنا نظهر بمثال.
مثال 5
أوجد الفرق 83 21-3.
القرار
3 هو نفسه 3 1. ثم يمكن حسابها على النحو التالي: 83 21-3 \u003d 20 21.
إذا كان من الضروري طرح عدد صحيح من كسر غير لائق في حالة ما ، فمن الأنسب استخراج عدد صحيح منه أولاً عن طريق كتابته كرقم مختلط. ثم يمكن حل المثال السابق بشكل مختلف.
من الكسر 83 21 ، عند اختيار الجزء كله ، نحصل على 83 21 \u003d 3 20 21.
الآن دعنا نطرح 3 منه: 3 20 21 - 3 \u003d 20 21.
كيفية طرح كسر من عدد طبيعي
يتم تنفيذ هذا الإجراء بشكل مشابه للإجراء السابق: نعيد كتابة العدد الطبيعي في صورة كسر ، ونحضر كليهما إلى مقام واحد ونجد الفرق. دعونا توضيح ذلك مع مثال.
مثال 6
أوجد الفرق: ٧ - ٥ ٣.
القرار
اجعل 7 مثل 7 1. نقوم بطرح النتيجة النهائية وتحويلها ، واستخراج الجزء الكامل منها: 7-5 3 \u003d 5 1 3.
هناك طريقة أخرى لإجراء الحسابات. لها بعض المزايا التي يمكن استخدامها في الحالات التي تكون فيها البسط والمقام في الكسور في المسألة أعدادًا كبيرة.
التعريف 3
إذا كان الكسر المراد طرحه صحيحًا ، فيجب تمثيل الرقم الطبيعي الذي نطرح منه كمجموع رقمين ، أحدهما يساوي 1. بعد ذلك ، تحتاج إلى طرح الكسر المطلوب من واحد والحصول على الإجابة.
مثال 7
احسب الفرق 1065-13 62.
القرار
الكسر المطلوب طرحه صحيح ؛ لأن بسطه أقل من المقام. لذلك ، علينا طرح واحد من 1065 وطرح الكسر المطلوب منه: 1065-13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62
الآن نحن بحاجة إلى إيجاد الجواب. باستخدام خصائص الطرح ، يمكن كتابة التعبير الناتج على النحو التالي: 1064 + 1-13 62. دعونا نحسب الفرق بين الأقواس. لهذا ، نمثل الوحدة في صورة كسر 1 1.
اتضح أن 1-13 62 \u003d 1 1-13 62 \u003d 62 62-13 62 \u003d 49 62.
الآن دعونا نتذكر حوالي 1064 ونصيغ الإجابة: 1064 49 62.
نحن نستخدم الطريقة القديمة لإثبات أنها أقل ملاءمة. هذه هي الحسابات التي سنحصل عليها:
1065 - 13 62 \u003d 1065 13 - 1 62 \u003d 1065 62 1 62 - 13 62 \u003d 66030 62 - 13 62 \u003d \u003d 66030 - 13 62 \u003d 66017 62 \u003d 1064 4 6
الإجابة هي نفسها ، لكن من الواضح أن الحسابات أكثر تعقيدًا.
لقد درسنا الحالة عندما تحتاج إلى طرح كسر صحيح. إذا لم يكن صحيحًا ، نستبدلها برقم كسري ونطرح باستخدام قواعد مألوفة.
المثال 8
احسب الفرق 644-73 5.
القرار
الكسر الثاني غير صحيح ويجب فصل الجزء كله عنه.
الآن نحسب بشكل مشابه للمثال السابق: 630-3 5 \u003d (629 + 1) - 3 5 \u003d 629 + 1 - 3 5 \u003d 629 + 2 5 \u003d 629 2 5
خصائص الطرح للكسور
تنطبق الخصائص التي يمتلكها طرح الأعداد الطبيعية أيضًا على حالات طرح الكسور العادية. دعونا نرى كيفية استخدامها عند حل الأمثلة.
المثال 9
أوجد الفرق 24 4 - 3 2 - 5 6.
القرار
لقد حللنا بالفعل أمثلة مماثلة عندما حللنا طرح مبلغ من رقم ، لذلك نحن نتصرف وفقًا لخوارزمية معروفة بالفعل. أولاً نحسب الفرق 25 4 - 3 2 ، ثم نطرح الكسر الأخير منه:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
دعنا نحول الإجابة عن طريق استخراج الجزء بالكامل منها. المجموع 3 11 12.
ملخص الحل بأكمله:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
إذا كان التعبير يحتوي على كسور وأرقام طبيعية ، فمن المستحسن تجميعها حسب النوع عند الحساب.
المثال 10
أوجد الفرق 98 + 17 20-5 + 3 5.
القرار
بمعرفة الخصائص الأساسية للطرح والجمع ، يمكننا تجميع الأرقام على النحو التالي: 98 + 17 20-5 + 3 5 \u003d 98 + 17 20-5-3 5 \u003d 98-5 + 17 20-3 5
لنكمل الحسابات: 98-5 + 17 20-3 5 \u003d 93 + 17 20-12 20 \u003d 93 + 5 20 \u003d 93 + 1 4 \u003d 93 1 4
إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl + Enter