Lobachevsky geometrisinin temel kavramları. Biraz. Paralel doğrular hangi geometride kesişir? Lobachevsky çizgileri kesişiyor

Lobachevsky uçağı

Lobachevsky geometrisi (hiperbolik geometri) Öklid olmayan geometrilerden biridir, Lobachevsky'nin paralel aksiyomu ile değiştirilen paralel aksiyom dışında, sıradan Öklid geometrisi ile aynı temel öncüllere dayanan bir geometrik teoridir.

Öklid Paralel Aksiyomu diyor ki:

belirli bir düz çizgi üzerinde olmayan bir noktadan geçen, bir düzlemde belirli bir düz çizgi ile uzanan ve onu kesmeyen yalnızca bir düz çizgi vardır.

Lobachevsky'nin geometrisinde, bunun yerine aşağıdaki aksiyom kabul edilir:

verilen doğru üzerinde olmayan bir noktadan geçen, verilen doğru ile aynı düzlemde uzanan ve onu kesmeyen en az iki doğru vardır.

Lobachevsky'nin geometrisi hem matematikte hem de fizikte kapsamlı uygulamalara sahiptir. Tarihsel önemi, Lobachevsky'nin onu inşa ederek, genel olarak geometri ve matematiğin gelişiminde yeni bir döneme işaret eden Öklid'den başka bir geometri olasılığını göstermesi gerçeğinde yatmaktadır.

Tarih

Beşinci önermeyi kanıtlama girişimleri

Lobachevsky'nin geometrisinin başlangıç ​​noktası, Öklid'in V postulatıydı - paralel aksiyoma eşdeğer bir aksiyom. Öklid'in Elementlerindeki postülalar listesine dahil edildi). Formülasyonunun göreceli karmaşıklığı ve sezgisizliği, ikincil doğası hissine neden oldu ve onu Öklid'in geri kalan varsayımlarından çıkarma girişimlerine yol açtı.

Kanıtlamaya çalışanlar arasında şu bilim adamları da vardı:

  • antik Yunan matematikçileri Ptolemy (II yüzyıl), Proclus (V yüzyıl) (iki paralel olan arasındaki mesafenin sonlu olduğu varsayımına dayanarak),
  • Irak'tan İbnü'l-Heysem (geç - erken yüzyıllar) (düz bir çizgiye dik bir hareketin sonunun düz bir çizgiyi tanımladığı varsayımına dayanarak),
  • İranlı matematikçiler Omar Khayyam (2. yarı - 12. yüzyılın başları) ve Nasir ad-Din at-Tusi (13. yüzyıl) (birbirine yaklaşan iki düz çizginin, devam ettiklerinde kesişmeden farklılaşamayacağı varsayımına dayanarak),
  • Alman matematikçi Clavius ​​​​(),
  • İtalyan matematikçiler
    • Cataldi (ilk kez 1603'te tamamen paralellik sorununa ayrılmış bir çalışma yayınladı),
  • İngiliz matematikçi Wallis (, yayınlandı) (her rakam için benzer, ancak eşit olmayan bir rakam olduğu varsayımına dayanarak),
  • Fransız matematikçi Legendre () (dar bir açı içindeki her noktadan, açının her iki tarafını kesen düz bir çizgi çizilebileceği varsayımına dayanarak; bunu kanıtlamak için başka girişimleri de vardı).

Beşinci önermeyi kanıtlamaya yönelik bu girişimlerde, matematikçiler kendilerine daha açık görünen yeni bir ifade sundular.

Çelişki yoluyla kanıt kullanmak için girişimlerde bulunulmuştur:

  • İtalyan matematikçi Saccheri () (postulatla çelişen bir ifade formüle ederek, bir takım sonuçlar çıkardı ve yanlışlıkla bazılarını çelişkili olarak kabul ederek, postülatın kanıtlanmış olduğunu düşündü),
  • Alman matematikçi Lambert (hakkında, yayınlandı) (araştırma yaptıktan sonra kurduğu sistemde çelişkiler bulamadığını itiraf etti).

Sonunda, karşıt postülaya dayalı bir teori inşa etmenin mümkün olduğuna dair bir anlayış ortaya çıkmaya başladı:

  • Alman matematikçiler F. Schweickart () ve Taurinus () (ancak böyle bir teorinin mantıksal olarak eşit derecede tutarlı olacağının farkında değillerdi).

Öklidyen olmayan geometri oluşturma

Lobachevsky, Öklidyen olmayan geometri üzerine ilk yayınlanmış çalışması olan "Geometrinin İlkeleri Üzerine" () adlı çalışmasında, V postülatının Öklid geometrisinin diğer öncülleri temelinde kanıtlanamayacağını ve bir varsayımın varsayımının olduğunu açıkça belirtti. Öklid'inkinin tam tersi, bir kişinin geometriyi Öklid gibi anlamlı ve çelişkilerden arınmış bir şekilde inşa etmesine izin verir.

Aynı zamanda ve bağımsız olarak, Janos Bolyai benzer sonuçlara vardı ve Karl Friedrich Gauss bu tür sonuçlara daha önce geldi. Bununla birlikte, Boyai'nin yazıları dikkat çekmedi ve kısa süre sonra konuyu terk etti ve Gauss genellikle yayınlamaktan kaçındı ve görüşleri yalnızca birkaç mektup ve günlük girişi ile değerlendirilebilir. Örneğin, 1846'dan astronom G. H. Schumacher'e yazdığı bir mektupta Gauss, Lobachevsky'nin çalışmasından şöyle bahseder:

Bu çalışma, Öklid geometrisi doğru olmasaydı, olması gereken ve dahası, kesinlikle tutarlı bir bütün oluşturacak olan geometrinin temellerini içerir... Lobachevsky buna "hayali geometri" der; Biliyorsunuz ki 54 yıldır (1792'den beri) aynı görüşleri paylaşıyorum ve burada bahsetmek istemediğim bir gelişme var; Bu nedenle, Lobachevsky'nin çalışmasında kendim için pratik olarak yeni bir şey bulamadım. Ancak konunun gelişiminde yazar benim izlediğim yolu izlememiş; Lobachevsky tarafından gerçekten geometrik bir ruhla ustaca yürütülür. Muhtemelen size kesinlikle istisnai bir zevk verecek olan bu kompozisyona dikkatinizi çekmek zorunda olduğumu düşünüyorum.

Sonuç olarak, Lobachevsky bu teorinin ilk en parlak ve en tutarlı propagandacısı olarak hareket etti.

Lobachevsky'nin geometrisi spekülatif bir teori olarak gelişmesine ve Lobachevsky'nin kendisi buna "hayali geometri" adını vermesine rağmen, yine de onu bir akıl oyunu olarak değil, olası bir uzamsal ilişkiler teorisi olarak gören Lobachevsky'ydi. Ancak tutarlılığının kanıtı daha sonra verildi, yorumlarına işaret edildiğinde ve böylece gerçek anlamı sorunu, mantıksal tutarlılık tamamen çözüldü.

Lobachevsky'nin geometrisinin iddiası

açı daha da zor.

poincare modeli

Lobachevsky geometrisinin içeriği

Lobachevsky'nin geometrisinde paralel çizgiler demeti

Lobachevsky geometrisini temel geometrik kavramlardan ve aksiyomundan yola çıkarak kurmuş ve teoremleri Öklid geometrisinde olduğu gibi geometrik bir yöntemle ispatlamıştır. Paralel çizgiler teorisi temel olarak hizmet etti, çünkü burada Lobachevsky geometrisi ile Öklid geometrisi arasındaki fark başlıyor. Paralel aksiyoma bağlı olmayan tüm teoremler her iki geometride de ortaktır ve örneğin üçgenlerin eşitliğine ilişkin teoremleri içeren sözde mutlak geometriyi oluşturur. Paraleller teorisini takiben, trigonometri ve analitik ve diferansiyel geometrinin başlangıcı dahil olmak üzere başka bölümler inşa edildi.

Lobachevsky'nin geometrisini Öklid'in geometrisinden ayıran ve Lobachevsky'nin kendisi tarafından kurulan birkaç gerçeğini (modern gösterimde) aktaralım.

nokta üzerinden P verilen hatta yatmamak r(şekle bakın), kesişmeyen sonsuz sayıda düz çizgi var r ve onunla aynı düzlemdedir; aralarında iki aşırı var x, y paralel çizgi adı verilen r Lobachevsky anlamında. Klein (Poincare) modellerinde, bir kirişe (yay) sahip kirişler (dairesel yaylar) ile gösterilirler. r ortak bir son (modelin tanımı gereği hariç tutulur, böylece bu çizgilerin ortak noktaları olmaz).

dik arasındaki açı PB itibaren Püzerinde r ve paralellerin her biri (denilen paralellik açısı) nokta kaldırıldığında P düz bir çizgiden 90 ° 'den 0 ° 'ye düşer (Poincare modelinde, olağan anlamdaki açılar, Lobachevsky anlamındaki açılarla çakışır ve bu nedenle bu gerçek doğrudan üzerinde görülebilir). Paralel x bir yandan (bir y tersi ile) asimptotik yaklaşımlar a ve öte yandan, ondan sonsuzca uzaklaşır (modellerde mesafeleri belirlemek zordur ve bu nedenle bu gerçek doğrudan görünmez).

Belirli bir düz çizgiden belirli bir mesafede bulunan bir nokta için PB = bir(şekle bakınız), Lobachevsky paralellik açısı için bir formül verdi P (a) :


Buraya Q- Lobachevsky uzayının eğriliği ile ilgili bazı sabitler. Küresel geometride olduğu gibi, bir kürenin yarıçapının özel bir konumu işgal etmesi gibi, mutlak bir uzunluk birimi olarak hizmet edebilir.

Doğruların ortak bir dikeyi varsa, o zaman ondan her iki yönde de sonsuzca uzaklaşırlar. Bunlardan herhangi birine, başka bir düz çizgiye ulaşmayan dikeyleri geri yükleyebilirsiniz.

Lobachevsky'nin geometrisinde benzer değil, eşit olmayan üçgenler vardır; açıları eşitse üçgenler de eşittir.

Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı π'den küçüktür ve isteğe bağlı olarak sıfıra yakın olabilir. Bu doğrudan Poincare modelinde görülebilir. α, β, γ üçgenin açıları olduğu δ = π - (α + β + γ) farkı, alanıyla orantılıdır:

Formül, bir üçgenin maksimum alanı olduğunu gösterir ve bu sonlu bir sayıdır: π Q 2 .

Düz bir çizgiden eşit uzaklıkta olan bir çizgi düz bir çizgi değil, eşit mesafeli çizgi olarak adlandırılan özel bir eğridir veya hiper döngü.

Sonsuz artan yarıçaplı dairelerin sınırı düz bir çizgi değil, özel bir eğridir. çevre sınırı veya bir horocycle.

Sonsuz artan yarıçaplı kürelerin sınırı bir düzlem değil, özel bir yüzeydir - bir sınır küresi veya horosfer; üzerinde Öklid geometrisinin yer alması dikkat çekicidir. Bu, Lobachevsky'nin trigonometri formüllerinin türetilmesinin temelini oluşturdu.

Çevre yarıçapla orantılı değildir, ancak daha hızlı büyür. Özellikle Lobachevsky'nin geometrisinde π sayısı bir dairenin çevresinin çapına oranı olarak tanımlanamaz.

Uzayda veya Lobachevsky düzleminde alan ne kadar küçükse, bu alandaki geometrik ilişkiler Öklid geometrisindeki ilişkilerden o kadar az farklılık gösterir. Öklid geometrisinin sonsuz küçük bir bölgede gerçekleştiğini söyleyebiliriz. Örneğin, üçgen ne kadar küçükse, açılarının toplamı π'den o kadar az farklılık gösterir; daire ne kadar küçükse, uzunluğunun yarıçapa oranı o kadar az farklıdır, vb. Alandaki bir azalma, resmi olarak uzunluk birimindeki bir artışa eşittir, bu nedenle, uzunluk biriminde sınırsız bir artışla, Lobachevsky geometri formülleri, Öklid geometrisinin formüllerine dönüşür. Öklid geometrisi bu anlamda Lobachevsky geometrisinin "sınırlayıcı" durumudur.

Uygulamalar

  • Lobachevsky, geometrisini belirli integrallerin hesaplanmasına uyguladı.
  • Karmaşık bir değişkenin fonksiyonları teorisinde, Lobachevsky'nin geometrisi, otomorfik fonksiyonlar teorisinin oluşturulmasına yardımcı oldu. Lobachevsky'nin geometrisi ile bağlantı, burada "Öklidyen olmayan geometri tüm problemi çözmenin anahtarıdır" diye yazan Poincaré'nin araştırmasının başlangıç ​​noktasıydı.
  • Lobachevsky'nin geometrisi, sayılar teorisinde de, geometrik yöntemlerinde "sayıların geometrisi" adı altında birleştirilir.
  • Lobachevsky'nin geometrisi ile özel (belirli) görelilik kuramının kinematiği arasında yakın bir bağlantı kuruldu. Bu bağlantı, ışığın yayılım yasasını ifade eden eşitlik gerçeğine dayanmaktadır.
bölündüğünde T 2, yani ışık hızı için verir - uzayda bir kürenin koordinatlarla denklemi v x , v y , v z- eksenler boyunca hız bileşenleri NS, NS, z("hız uzayında"). Lorentz dönüşümleri bu küreyi korur ve doğrusal oldukları için hız uzayının düz çizgilerini düz çizgilere dönüştürür. Bu nedenle, Klein modeline göre, yarıçap küresi içindeki hızların uzayında ile birlikte yani ışık hızından daha düşük hızlar için Lobachevsky geometrisi gerçekleşir.
  • Lobachevsky'nin geometrisi, genel görelilik kuramında dikkate değer bir uygulama buldu. Evrendeki madde kütlelerinin dağılımının tek tip olduğunu düşünürsek (bu yaklaşıma kozmik ölçekte izin verilir), o zaman belirli koşullar altında uzayın Lobachevsky geometrisine sahip olduğu ortaya çıkar. Böylece, Lobachevsky'nin geometrisi hakkındaki varsayımı, gerçek uzayın olası bir teorisi olarak doğrulandı.
  • Klein modeli kullanılarak çok basit ve kısa bir ispat verilmiştir.

LV 1. (Lobachevsky'nin paralellik aksiyomu). Herhangi bir düzlemde bir 0 doğrusu ve bu doğruya ait olmayan bir A 0 noktası vardır, öyle ki 0 ile kesişmeyen en az iki doğru bu noktadan geçer.

Üyelik, düzen, uygunluk, süreklilik aksiyomlarını ve Lobachevsky paralellik aksiyomunu karşılayan noktalar, çizgiler ve düzlemler kümesine üç boyutlu Lobachevsky uzayı adı verilecek ve A3 ile gösterilecektir. Şekillerin geometrik özelliklerinin çoğu bizim tarafımızdan Л 3 uzay düzleminde, yani. Lobachevsky uçağında. Öklid geometrisinin paralellik aksiyomu olan V 1 aksiyomunun biçimsel mantıksal olumsuzlamasının tam olarak aksiyom LV 1 olarak verdiğimiz formülasyona sahip olduğuna dikkat edelim. Düzlemde, Öklid geometrisinin paralellik aksiyomu ifadesinin tutmadığı en az bir nokta ve bir düz çizgi vardır. Lobachevsky paralellik aksiyomunun ifadesinin Lobachevsky düzleminin herhangi bir noktası ve herhangi bir düz çizgisi için geçerli olduğu sonucu çıkan bir teoremi ispatlayalım.

Teorem 13.1.A keyfi bir düz çizgi ve A bu düz çizgi üzerinde yer almayan bir nokta olsun. O halde A noktası ve a doğrusu tarafından tanımlanan düzlemde, A'dan geçen ve a doğrusu ile kesişmeyen en az iki doğru vardır.

Kanıt. Teorem 11.1'i kullanarak ispatı çelişki ile yapıyoruz (bkz. § 11). Lobachevsky uzayında bir A noktası ve bir düz a çizgisi olduğunu varsayalım, öyle ki bu nokta tarafından tanımlanan düzlemde ve düz bir çizgi, A noktasından geçen ve a ile kesişmeyen tek bir düz çizgi var. AB dik A noktasını a düz çizgisine bırakalım ve A noktasında AB düz çizgisine h dikini yükseltelim (Şekil 50). Teorem 4.2'den (bakınız § 4) aşağıdaki gibi, h ve a doğruları kesişmez. Varsayım gereği, h düz çizgisi A'dan geçen ve a ile kesişmeyen tek düz çizgidir. A düz çizgisi üzerinde keyfi bir C noktası seçelim.B noktası içermeyen AB sınırına sahip yarım düzlemde AC ışınını, ACB'ye eşit CAM açısını bir kenara koyalım. Ardından, aynı Teorem 4.2'den aşağıdaki gibi, AM doğrusu a ile kesişmez. Bizim varsayımımızdan h ile çakıştığı sonucu çıkar. Bu nedenle M noktası h doğrusuna aittir. ABC üçgeni - dikdörtgen,. ABC üçgeninin açılarının toplamını hesaplayalım: Teorem 11.1'den, Öklid geometrisinin paralellik aksiyomunun koşulunun karşılandığı sonucu çıkar. Bu nedenle, incelenen düzlemde A 0 noktası ve a 0 düz çizgisi olamaz, öyle ki a 0 ile kesişmeyen en az iki düz çizgi bu noktadan geçer. Lobachevsky paralel aksiyomunun koşuluyla bir çelişkiye geldik. Teorem ispatlandı.

Aşağıda, Lobachevsky'nin paralellik aksiyomunun iddiasının yerine, Teorem 13.1'in iddiasını kullanacağımıza dikkat edilmelidir. Bu arada, birçok ders kitabında Lobachevsky'nin geometrisinin paralellik aksiyomu olarak kabul edilen bu ifadedir.

Teorem 13.1'den aşağıdaki sonucu elde etmek kolaydır.

Sonuç 13.2. Lobachevsky düzleminde, verili bir doğru üzerinde uzanmayan bir noktadan geçen, verili olanla kesişmeyen sonsuz sayıda doğru vardır.

Gerçekten de a verilen bir doğru olsun ve A ona ait olmayan bir nokta olsun, h 1 ve h 2 A'dan geçen ve a ile kesişmeyen doğrulardır (Şekil 51). Açıktır ki, A noktasından geçen ve h 1 ve h 2 tarafından oluşturulan köşelerden birinde bulunan tüm doğrular (bkz. Şekil 51) a doğrusu ile kesişmez.

Bölüm 2'de, Öklid geometrisinin paralel aksiyomuna eşdeğer bir dizi ifadeyi kanıtladık. Mantıksal olumsuzlamaları, Lobachevsky düzlemindeki rakamların özelliklerini karakterize eder.

İlk olarak, Lobachevsky düzleminde, Öklid'in beşinci postülatının mantıksal olumsuzlaması geçerlidir. Bölüm 9'da, postülanın kendisini formüle ettik ve Öklid geometrisinin paralellik aksiyomuna eşdeğerliği üzerine bir teoremi kanıtladık (bkz. Teorem 9.1). Mantıksal olumsuzlaması şudur:

Açıklama 13.3.Lobachevsky düzleminde, kesişmeyen iki düz çizgi vardır; bunlar, üçüncü düz çizgiyle kesiştiklerinde, toplamı iki dik açıdan daha az olan tek taraflı iç açılar oluşturur.

§ 12'de Posidonius'un önerisini formüle ettik: düzlemde, verilen çizgiden bir yarım düzlemde bulunan ve ondan eşit uzaklıkta bulunan en az üç eşdoğrusal nokta vardır. Teorem 12.6'yı da kanıtladık: Posidonius'un önerisi, Öklid geometrisinin paralellik aksiyomunun iddiasına eşdeğerdir. Böylece, bu ifadenin olumsuzlanması Lobachevsky düzleminde hareket eder.

Açıklama 13.4. Lobachevsky düzlemindeki düz bir çizgiden eşit uzaklıkta olan ve ona göre bir yarım düzlemde bulunan noktalar kümesi, tek bir düz çizgi üzerinde uzanmaz.

Lobachevsky düzleminde, düz bir çizgiden eşit uzaklıkta olan ve bu düz çizgiye göre bir yarım düzleme ait olan bir dizi nokta, eşit mesafeli çizgi olarak adlandırılan eğri bir çizgi oluşturur. Özelliklerini daha sonra ele alacağız.

Şimdi Legendre'nin önerisini düşünün: n Teorem 11.6 kanıtladık (bkz. § 11) Bundan Lobachevsky düzleminde bu önermenin mantıksal olumsuzlamasının geçerli olduğu sonucu çıkar.

Açıklama 13.5. Herhangi bir dar açının yanında, bu noktada yükselen dik açının açının ikinci tarafını kesmediği bir nokta vardır.

Doğrudan Bölüm 9 ve 11'in sonuçlarından çıkan Lobachevsky düzleminin üçgenlerinin ve dörtgenlerinin özelliklerini not edelim. Her şeyden önce, Teorem 11.1. Devletler açılarının toplamı iki dik açının toplamına denk gelen bir üçgenin varlığı varsayımı, Öklid düzleminin paralellik aksiyomuna eşdeğerdir. Bundan ve Legendre'nin ilk teoreminden (bkz. Teorem 10.1, § 10) aşağıdaki ifade aşağıdaki gibidir:

Açıklama 13.6. Lobachevsky düzleminde, herhangi bir üçgenin açılarının toplamı 2d'den küçüktür.

Bu hemen şunu ima eder: herhangi bir dışbükey dörtgenin açılarının toplamı 4d'den küçüktür ve herhangi bir dışbükey n -genin açılarının toplamı 2'den küçüktür (n-1) d.

Öklid düzleminde, Saccheri dörtgeninin üst tabanına bitişik açılar, Teorem 12.3'e göre (bkz. § 12), Öklid geometrisinin paralellik aksiyomuna eşdeğer olan dik açılara eşit olduğundan, aşağıdaki sonuca varmak.

Açıklama 13.7. Saccheri dörtgeninin üst tabanına bitişik köşeler sivridir.

Bize Lobachevsky düzleminde üçgenlerin iki özelliğini daha düşünmek kalıyor. Birincisi Wallis'in önerisiyle ilgili: düzlemde, karşılık gelen açıları eşit olan, ancak eşit olmayan kenarları olan en az bir çift üçgen vardır. Bölüm 11'de bu önermenin Öklid geometrisinin paralel aksiyomuna eşdeğer olduğunu kanıtladık (bkz. Teorem 11.5). Bu ifadenin mantıksal olarak reddedilmesi bizi şu sonuca götürür: Lobachevsky düzleminde eşit açılara sahip üçgenler yoktur, ancak eşit taraflar yoktur. Dolayısıyla aşağıdaki önerme doğrudur.

Açıklama 13.8. (Lobachevsky düzleminde üçgenlerin eşitliği için dördüncü kriter).Lobachevsky düzleminde, karşılık gelen eşit açılara sahip herhangi iki üçgen birbirine eşittir.

Şimdi bir sonraki soruyu düşünün. Lobachevsky düzleminde herhangi bir üçgenin etrafında bir daire tanımlanabilir mi? Cevap Teorem 9.4 ile verilmiştir (bkz. § 9). Bu teoreme göre, düzlemdeki herhangi bir üçgenin etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa, o zaman düzlemde Öklid geometrisinin paralellik aksiyomunun koşulu sağlanır. Bu nedenle, bu teoremin iddiasının mantıksal olarak olumsuzlanması bizi aşağıdaki önermeye götürür.

Açıklama 13.9. Lobachevsky düzleminde, çevresinde bir dairenin tanımlanamayacağı bir üçgen vardır.

Böyle bir üçgenin bir örneğini oluşturmak kolaydır. Bir düz çizgi a ve ona ait olmayan bir A noktası seçelim. A noktasından a doğrusuna h dikmesini bırakalım. Lobachevsky'nin paralellik aksiyomu sayesinde, A'dan geçen ve h'ye dik olmayan ve a ile kesişmeyen bir b düz çizgisi vardır (Şekil 52). Bildiğiniz gibi, bir daire bir üçgenin etrafını çevreliyorsa, merkezi üçgenin kenarlarının ortanca diklerinin kesişme noktasında bulunur. Bu nedenle, ortanca diklikleri kesişmeyen böyle bir üçgene örnek vermemiz yeterlidir. Şekil 52'de gösterildiği gibi h doğrusu üzerinde bir M noktası seçelim. Bunu a ve b doğrularına göre simetrik olarak gösteriyoruz, N ve P noktalarını alıyoruz. b doğrusu h'ye dik olmadığı için P noktası olmaz. h'ye aittir. Bu nedenle, M, N ve P noktaları üçgenin köşeleridir. A ve b çizgileri yapım gereği dikey olarak hizmet eder. Yukarıda belirtildiği gibi kesişmezler. MNP üçgeni gerekli olandır.

Lobachevsky düzleminde, çevresinde bir dairenin tanımlanabileceği bir üçgen örneği oluşturmak kolaydır. Bunu yapmak için, kesişen iki çizgiyi almak, onlara ait olmayan bir nokta seçmek ve onu bu çizgilere göre yansıtmak yeterlidir. Detaylı inşaatı kendiniz yapın.

Tanım 14.1. İki yönlendirilmiş düz çizgi verilsin. Aşağıdaki koşullar karşılanırsa paralel olarak adlandırılırlar:

1. a ve b düz çizgileri kesişmez;

2. a ve b düz çizgilerinin keyfi A ve B noktaları için, ABB 2 açısının herhangi bir dahili h ışını a çizgisiyle kesişir (Şekil 52).

Okul geometri dersinde alışıldığı gibi paralel çizgileri göstereceğiz: a || B. Öklid düzlemindeki paralel çizgilerin bu tanımı karşıladığını unutmayın.

Teorem 14.3. Lobachevsky düzleminde yönlendirilmiş bir doğru ve ona ait olmayan bir B noktası verilsin. Daha sonra tek yönlü bir düz çizgi bu noktadan geçer, öyle ki a düz çizgisi b düz çizgisine paralel olur.

Kanıt. B noktasından a düz çizgisine BA dikeyini bırakalım ve B noktasından p dikini BA düzlüğüne geri getireceğiz (Şek. 56 a). Daha önce birçok kez belirtildiği gibi, p düz çizgisi, verilen a düz çizgisiyle kesişmez. Üzerinde keyfi bir C noktası seçelim, AC segmentinin noktalarını iki sınıfa ayıralım ve. Birinci sınıf, BS ışınının AA 2 ışınıyla kesiştiği bu segmentin S noktalarını içerecek ve ikinci sınıf, BT ışınının AA 2 ışınını kesmediği T noktalarını içerecektir. Sınıflara böyle bir bölünmenin AC doğru parçasının bir Dedekind kesitini ürettiğini gösterelim. Teorem 4.3'e göre (bakınız § 4), şunları kontrol etmeliyiz:

2. ve sınıflar ve A ve C dışındaki noktaları içerir;

3. Sınıfın A dışındaki herhangi bir noktası, A noktası ile sınıfın herhangi bir noktası arasındadır.

İlk koşul açıktır, segmentin tüm noktaları bir veya başka bir sınıfa aittir, sınıfların kendi tanımlarına göre ortak noktaları yoktur.

İkinci koşulun da kontrol edilmesi kolaydır. Açıkçası ve. Sınıf A'dan başka noktalar içeriyor, bu ifadeyi doğrulamak için AA 2 ışınının bir noktasını seçip B noktasına bağlamak yeterlidir. Bu ışın BC doğru parçasını birinci sınıfın noktasında kesecektir. Sınıf ayrıca C'den başka noktalar da içeriyor, aksi takdirde Lobachevsky'nin paralellik aksiyomu ile çelişkiye düşeriz.

Üçüncü koşulu ispatlayalım. Birinci sınıfın A'dan farklı bir S noktası ve ikinci sınıfın öyle bir T noktası olsun ki, T noktası A ile S arasında olsun (bkz. Şekil 56 a). O halde, BS ışını AA 2 ışınını R bir noktasında kesiyor. BT ışınını düşünün. ASR üçgeninin AS tarafını T noktasında kesiyor. Pasha aksiyomuna göre, bu ışın bu üçgenin AR tarafı veya SR tarafı ile kesişmelidir. BT ışınının SR tarafını bir O noktasında kestiğini varsayalım. Daha sonra iki farklı BT ve BR düz çizgisi B ve O noktalarından geçer, bu da Hilbert aksiyomunun aksiyomuyla çelişir. Böylece, BT ışını AR tarafıyla kesişir, bu da T noktasının K2 sınıfına ait olmadığı anlamına gelir. Ortaya çıkan çelişki, S noktasının A ve T arasında olduğu ifadesine yol açar. Teorem 4.3'ün koşulu tamamen doğrulanmıştır.

Teorem 4.3'ün AC doğru parçası üzerindeki Dedekind bölümündeki sonucuna göre, A ile C arasında kalan herhangi bir noktanın sınıfa ait olduğu ve A ile C arasında kalan herhangi bir noktanın sınıfa ait olduğu bir nokta vardır. Yönlendirilen doğrunun doğruya paralel olduğunu gösterelim. ... Aslında, K 1 sınıfının noktalarının seçimi nedeniyle açının herhangi bir iç ışını kesiştiğinden, düz çizgi a ile kesişmediğini kanıtlamak bize kalır. Düz çizginin a düz çizgisiyle H bir noktasında kesiştiğini varsayalım (Şekil 56b). HA 2 ışını üzerinde rastgele bir P noktası seçelim ve BP ışınını düşünelim. Sonra М 0 С segmentini Q noktasında keser (bu ifadeyi kendiniz kanıtlayın). Ancak М 0 С segmentinin iç noktaları ikinci sınıfa aittir, BP ışını a hattı ile ortak noktalara sahip olamaz. Bu nedenle, BM 0 ve a doğrularının kesişimi hakkındaki varsayımımız yanlıştır.

Doğrunun B noktasından geçen ve paralel olan tek yönlü doğru olduğunu kontrol etmek kolaydır. Gerçekten de, paralel olan B noktasından başka bir yönlendirilmiş düz çizgi geçsin. Bu durumda M 1'in AC doğru parçasının noktası olduğunu varsayacağız. Ardından, K 2 sınıfının tanımına göre. Bu nedenle, BM 0 ışını açının iç ışınıdır, bu nedenle Tanım 14.1'den dolayı düz çizgiyi keser. Yukarıda ispatı yapılan ifade ile çelişkiye düştük. Teorem 14.3 tamamen kanıtlanmıştır.

B noktasını ve onu içermeyen yönlendirilmiş bir çizgiyi düşünün. Kanıtlanmış Teorem 14.3'e göre, a'ya paralel yönlendirilmiş bir düz çizgi B noktasından geçer. B noktasından BH dikeyini a doğrusuna bırakalım (Şek. 57). bunu görmek kolay açı HBB 2 - akut... Aslında, bu açının düz bir çizgi olduğunu varsayarsak, o zaman Tanım 14.1'den, B noktasından geçen herhangi bir düz çizginin a düz çizgisiyle kesiştiği sonucu çıkar, bu da Teorem 13.1 ile çelişir, yani. Lobachevsky'nin paralellik aksiyomu LV 1 (bkz. § 13). Bu açının geniş olduğu varsayımının şimdi Tanım 14.1 ve Teorem 4.2 (bakınız §4) ile bir çelişkiye yol açtığını görmek kolaydır, çünkü HBB 2 açısının BH'ye dik olan iç ışını AA 2 ışınını kesmez. . Dolayısıyla aşağıdaki ifade doğrudur.

Teorem 14.4. Yönlendirilen çizgi, yönlendirilen çizgiye paralel olsun. Düz çizginin B noktasından dikey VN'yi düz çizgiye indirirsek, HBB 2 açısı dardır.

Aşağıdaki sonuç açıkça bu teoremden çıkar.

Sonuç.Yönlendirilen doğrulara ortak bir diklik varsa ve o zaman doğru doğruya paralel değildir.

Yönsüz doğrular için paralellik kavramını tanıtalım. olduğunu varsayacağız Tanım 14.1'i sağlayacak şekilde yönler seçilebiliyorsa, iki yönsüz düz çizgi paraleldir. Bildiğiniz gibi, doğrunun iki yönü vardır. Bu nedenle, Teorem 14.3'ten, a doğrusuna ait olmayan bir B noktasından geçen, bu doğruya paralel iki yönsüz doğrunun olduğu sonucu çıkar. Açıktır ki, B noktasından a doğrusuna bırakılan dikme göre simetriktirler. Bu iki düz çizgi, B noktasından geçen ve a'yı kesen düz çizgiler demetini, B'den geçen ve a çizgisini kesmeyen düz çizgiler demetinden ayıran sınır çizgileridir (Şekil 57).

Teorem 15.2. (Lobachevsky düzleminde paralel doğruların simetri özelliği).Yönlendirilen çizgi, yönlendirilen çizgiye paralel olsun. Daha sonra yönlendirilen çizgi çizgiye paraleldir.

Lobachevsky düzlemindeki çizgilerin paralelliği kavramının simetri özelliği, yönlendirilmiş paralel çizgilerin sırasını, yani. hangi satırın birinci, hangisinin ikinci olduğunu belirtmeyin. Açıktır ki, düz çizgilerin paralelliği kavramının simetri özelliği Öklid düzleminde de geçerlidir. Doğrudan Öklid geometrisindeki paralel çizgilerin tanımından gelir. Öklid geometrisinde paralel doğrular için de geçişlilik özelliği sağlanır. a doğrusu b doğrusuna ve b doğrusu c doğrusuna paralel ise. o zaman a ve c doğruları da birbirine paraleldir. Benzer bir özellik, Lobachevsky düzlemindeki yönlendirilmiş düz çizgiler için de geçerlidir.

Teorem 15.3. (Lobachevsky düzleminde paralel çizgilerin geçişlilik özelliği).Üç farklı yönlendirilmiş düz çizgi verilsin. Eğer ve , sonra .

Yönlendirilmiş bir çizgiye paralel yönlendirilmiş bir çizgi düşünün. Onları düz bir çizgi ile geçelim. Sırasıyla A ve B noktaları, düz çizgilerin kesişme noktalarıdır ve, (Şekil 60). Aşağıdaki teorem doğrudur.

Teorem 15.4. Açı açıdan büyüktür.

Teorem 15.5. Dejenere bir üçgenin dış köşesi, ona bitişik olmayan bir iç köşeden daha büyüktür.

Kanıt hemen Teorem 15.4'ten gelir. Kendin Yap.

Rasgele bir AB segmenti düşünün. A noktasından AB'ye dik düz bir a çizgisi çiziyoruz ve B noktasından a'ya paralel bir düz b çizgisi çiziyoruz (Şek. 63). Teorem 14.4'ten aşağıdaki gibi (bakınız § 14), b çizgisi AB çizgisine dik değildir.

Tanım 16.1. AB ve b düz çizgilerinin oluşturduğu dar açıya AB doğru parçasının paralellik açısı denir.

Belli bir paralellik açısının her bir doğru parçasına karşılık geldiği açıktır. Aşağıdaki teorem doğrudur.

Teorem 16.2. Eşit parçalar, eşit paralellik açılarına karşılık gelir.

Kanıt. AB ve A ¢ B ¢ iki eşit parçası verilsin. A ve A ¢ yönlendirilmiş düz çizgiler ve sırasıyla AB ve A ¢ B ¢ noktalarından ve sırasıyla B ve B ¢ noktalarından yönlendirilmiş düz çizgiler ve (Şekil 64) çizelim. sonra ve sırasıyla, AB ve A ¢ B ¢ segmentlerinin paralellik açıları. farz edelim ki

BAA 2 yarı düzleminde VA ışınından a 2 açısını bir kenara koyalım (bkz. Şekil 64). (1) eşitsizliği nedeniyle, l ışın ABB 2 açısının iç ışınıdır. ½1 olduğuna göre l, AA 2 ışınını bir P noktasında keser. A noktasından A ¢ A 2 ¢ ışınını AP'ye eşit A ¢ P doğru parçasına koyalım. ABP ve A ¢ B ¢ P ¢ üçgenlerini düşünün. Dikdörtgendirler, teoremin hipotezine göre, AB ve A ¢ B ¢ eşit bacaklarına sahiptirler, yapım gereği ikinci çift AP ve A ¢ P birbirine eşittir. Böylece, dik açılı ABP üçgeni A ¢ B ¢ P ¢ üçgenine eşittir. Bu yüzden . Öte yandan, B ¢ P ¢ ışını, A ¢ A 2 ¢ ışını ile kesişir ve yönlendirilmiş düz çizgi B 1 ¢ B 2 ¢ A 1 ¢ A 2 ¢ düz çizgisine paraleldir. Bu nedenle, B ¢ P ¢ ışını A ¢ B ¢ B 2 ¢ açısının iç ışınıdır, ... Ortaya çıkan çelişki varsayımımızı çürütür, eşitsizlik (1) yanlıştır. Benzer şekilde, açının açıdan küçük olamayacağı kanıtlanmıştır. Teorem ispatlandı.

Şimdi eşit olmayan doğru parçalarının paralellik açılarının birbirleriyle nasıl ilişkili olduğuna bakalım.

Teorem 16.3. AB parçasının A ¢ B ¢ bölümünden ve açılardan ve buna bağlı olarak paralellik açılarından daha büyük olmasına izin verin. Sonra .

Kanıt. Bu teoremin ispatı, dejenere bir üçgenin dış açısı üzerinde doğrudan Teorem 15.5'ten (bkz. § 15) gelir. AB segmentini düşünün. A noktasından geçen, AB'ye dik ve B noktasından geçen, paralel bir yönlendirilmiş düz çizgi çizelim (Şekil 65). AB ışını üzerine A ¢ B ¢ eşit AP doğru parçası koyalım. O halde P, AB doğru parçasının iç noktasıdır. Yine paralel, P'ye yönlendirilmiş bir C 1 C 2 çizgisi çizelim. Açı, A ¢ B ¢ parçasının paralellik açısı olarak hizmet eder ve açı, AB parçasının paralellik açısıdır. Öte yandan, doğruların paralelliği kavramının simetrisine ilişkin Teorem 15.2'den (bkz. § 15) С 1 С 2 çizgisinin doğruya paralel olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle, RBC 2 A 2 üçgeni dejeneredir, dışsaldır ve iç köşeleridir. Teorem 15.5, kanıtlanan iddianın doğruluğunu ima eder.

Bunun tersini kanıtlamak kolaydır.

Teorem 16.4.AB ve A ¢ B ¢ segmentlerinin paralellik açıları ve izinleri. Ardından, eğer AB> A ¢ B ¢.

Kanıt. Bunun tersini varsayalım. Ardından Teorem 16.2 ve 16.3'ten şu sonuç çıkar: , teoremin hipoteziyle çelişir.

Ve böylece her parçanın kendi paralellik açısına karşılık geldiğini ve daha büyük parçanın daha küçük bir paralellik açısına karşılık geldiğini kanıtladık. Herhangi bir dar açı için bu açının paralellik açısı olduğu bir doğru parçası olduğunu kanıtlayan bir ifade düşünün. Bu, Lobachevsky düzlemindeki segmentler ve dar açılar arasında bire bir yazışma kuracaktır.

Teorem 16.5. Herhangi bir dar açı için, bu açının paralel açı olduğu bir doğru parçası vardır.

Kanıt. Bir dar açı ABC verilsin (Şek. 66). BA ve BC ışınlarının devamında ele alınan tüm noktaların B ve A ve B ve C noktaları arasında olduğunu varsayacağız. Kökeni BA açısının kenarına aitse, BA düz çizgisine dikse ve verilen açının BC kenarı ile BA düz çizgisine göre aynı yarım düzlemde bulunuyorsa bir ışına kabul edilebilir diyelim. Gelelim Legendre'nin önerisine: n Bir dar açının bir kenarına o kenardaki herhangi bir noktada çizilen dik, açının ikinci kenarını keser. Teorem 11.6'yı kanıtladık (bkz. § 11), Legendre'nin önerisi, Öklid geometrisinin paralel aksiyomuna eşdeğerdir. Bundan Lobachevsky düzleminde bu ifadenin mantıksal olarak olumsuzlanmasının geçerli olduğu sonucuna vardık, yani, herhangi bir dar açının yanında öyle bir nokta vardır ki, bu noktada yükseltilmiş olan dik açı, açının ikinci tarafını kesmez.(bkz. § 13). Bu nedenle, verilen açının BC tarafını kesmeyen, M noktasında orijine sahip böyle bir kabul edilebilir m ışını vardır (bkz. Şekil 66).

VM segmentinin noktalarını iki sınıfa ayıralım. Sınıf Bu noktalarda kökenleri olan kabul edilebilir ışınların bu açının BC tarafını kestiği bu segmentin noktalarına ait olacaktır ve sınıf BC segmentinin, bu noktalardan kaynaklanan kabul edilebilir ışınların BC tarafını geçmediği noktalarına aittir. BM segmentinin böyle bir bölümünün bir Dedekind bölümü oluşturduğunu gösterelim (bkz. Teorem 4.3, § 4). Bunu yapmak için şunu kontrol edin

5. ve sınıflar ve B ve M dışındaki noktaları içerir;

6. Sınıfın B dışındaki herhangi bir noktası, B noktası ile sınıfın herhangi bir noktası arasındadır.

İlk koşul açıkça yerine getirilmiştir. BM segmentinin herhangi bir noktası ya K 1 sınıfına ya da K 2 sınıfına aittir. Ayrıca, bu sınıfların tanımı gereği bir nokta aynı anda iki sınıfa ait olamaz. Açıkça, M noktasında orijini olan kabul edilebilir ışın BC ile kesişmediği için M noktasının K 2'ye ait olduğunu varsayabiliriz. K 1 sınıfı, B'den farklı en az bir nokta içerir. Bunu inşa etmek için, BC tarafında keyfi bir P noktası seçmek ve ondan BA kirişine dik PQ'yu bırakmak yeterlidir. Q noktasının M ve A noktaları arasında olduğunu varsayarsak, o zaman P ve Q noktaları m ışınını içeren doğruya göre farklı yarı düzlemlerde bulunur (bkz. Şekil 66). Bu nedenle, PQ parçası m ışınını bir R noktasında keser. R noktasından BA doğrusuna iki dikin düştüğünü elde ederiz, bu Teorem 4.2 ile çelişir (bkz. § 4). Böylece, Q noktası BM segmentine aittir, K1 sınıfı B'den başka noktalar içerir. BA ışınında neden K2 sınıfına ait ve kendisinden farklı en az bir nokta içeren bir segment olduğunu açıklamak kolaydır. son. Gerçekten de, incelenen BM segmentinin K2 sınıfı tek bir M noktası içeriyorsa, M ve A arasında keyfi bir M ¢ noktası seçiyoruz. M ¢ noktasında orijini olan kabul edilebilir bir m ¢ ışını düşünün. m ışınını kesmez, aksi takdirde noktadan AB doğrusuna iki dik açı düşürülür, bu nedenle m ¢ BC ışınını kesmez. VM ¢ segmenti istenendir ve tüm diğer muhakemeler VM ¢ segmenti için yapılmalıdır.

Teorem 4.3'ün üçüncü koşulunun geçerliliğini kontrol edelim. Diyelim ki böyle noktalar var ve P noktası U ve M noktaları arasında yer alıyor (Şek. 67). Başlangıçları U ve P noktalarında olan kabul edilebilir u ve p ışınlarını çizelim. Çünkü, p ışını belirli bir açının BC tarafını Q noktasında kesiyor. u ışınını içeren düz çizgi üçgenin BP kenarını kesiyor. Dolayısıyla BPQ, Hilbert'in aksiyomuna göre (Pasha'nın aksiyomu, bkz. § 3), bu üçgenin BQ tarafını veya PQ tarafını keser. Ancak, bu nedenle, u ışını BQ tarafını kesmez, bu nedenle, p ve u ışınları bir R noktasında kesişir. AB doğrusuna iki dikin düştüğü bir nokta oluşturduğumuz için yine bir çelişkiye geliyoruz. . Teorem 4.3'ün koşulu tamamen karşılanmıştır.

M. Bunu takip eder. Noktalar ile M arasında yer alan K 1 sınıfı bir nokta oluşturduğumuz için bir çelişki elde ettik. Bize, açının herhangi bir iç ışınının BC ışınını kestiğini göstermek kalıyor. Bu açının keyfi bir h iç ışını düşünün. Üzerinde köşeye ait olan keyfi bir K noktası seçelim ve ondan dik olanı BA doğrusuna bırakalım (Şek. 69). Bu dikin tabanı S açıkça BM 0 segmentine aittir, yani. K 1 sınıfı (bu gerçeği kendiniz kanıtlayın). Buradan KS dikinin belirli bir T noktasında verilen açının BC tarafını kestiği sonucu çıkar (bkz. Şekil 69). Işın h, aksiyoma göre (Paşa'nın aksiyomu) BST üçgeninin ST kenarını K noktasında geçti, bu üçgenin BS tarafıyla veya BT tarafıyla kesişmelidir. h'nin BS doğrusunu kesmediği açıktır, aksi takdirde iki doğru, h ve BA, iki noktadan ve bu kesişme noktasından geçer. Böylece h, BT tarafını geçer, yani. ışın VA. Teorem tamamen kanıtlanmıştır.

Ve böylece Lobachevsky'nin geometrisindeki her parçanın bir dar açıyla - onun paralellik açısıyla - ilişkilendirilebileceğini belirledik. Açıların ve bölümlerin ölçüsünü getirdiğimizi varsayacağız; bölümlerin ölçüsünü daha sonra §'de tanıtacağımıza dikkat edin. Aşağıdaki tanımı sunuyoruz.

Tanım 16.6. Eğer x parçanın uzunluğu ve j açının değeri ise, parçanın uzunluğunu paralellik açısının değeri ile ilişkilendiren j = P (x) bağımlılığına Lobachevsky fonksiyonu denir.

Bu açık. Yukarıda ispatlanmış bir doğru parçasının paralellik açısının özelliklerini kullanarak (Teorem 16.3 ve 16.4'e bakınız), aşağıdaki sonucu çıkarabiliriz: Lobachevsky fonksiyonu monoton olarak azalıyor. Nikolai İvanoviç Lobachevsky aşağıdaki dikkate değer formülü elde etti:

,

burada k bir pozitif sayıdır. Lobachevsky uzayının geometrisinde önemlidir ve eğrilik yarıçapı olarak adlandırılır. Aynı eğrilik yarıçapına sahip iki Lobachevsky uzayı izometriktir. Yukarıdaki formülden, görülmesi kolay olduğu gibi, j = P(x)'in, değerleri aralığa ait olan monoton olarak azalan sürekli bir fonksiyon olduğu da takip edilir.

Öklid düzleminde, bir O noktasında merkezli ve yarıçapı bire eşit olan bir w çemberi sabitliyoruz. mutlak... Çemberin w ile sınırlanan tüm noktalarının kümesi W ¢ ile ve bu çemberin tüm iç noktalarının kümesi W ile gösterilecektir. Böylece, W kümesinin noktaları çağrılacak L-noktalar Tüm L noktalarının W kümesi L-düzlem Lobachevsky düzleminin Cayley-Klein modelini kuracağımız . Arayacağız L - düzçemberin keyfi akorları w. L noktasının X'in L çizgisi x'e ait olduğunu varsayacağız, ancak ve ancak Öklid düzleminin bir noktası olarak X noktası mutlağın x kirişine aitse.

L-düzlemi, Lobachevsky paralellik aksiyomu tutar: L - a çizgisi üzerinde yer almayan bir L - B noktasından, L - a çizgisi ile ortak noktaları olmayan en az iki L - b ve c çizgisini geçin. Şekil 94 bu ifadeyi göstermektedir. L-düzleminin paralel yönlendirilmiş çizgilerinin ne olduğunu anlamak da kolaydır. Şekil 95'i düşünün. L-çizgisi b, L-çizgisi a'nın mutlak ile kesişme noktasından geçer. Bu nedenle, yönlü L çizgisi A 1 A 2, yönlü L çizgisi B 1 A 2'ye paraleldir. Aslında, bu doğrular kesişmezler ve sırasıyla bu doğrulara ait rastgele A ve B L noktalarını seçersek, o zaman A 2 BA açısının herhangi bir iç ışını h a doğrusuyla kesişir. Böylece, ortak bir kesişme noktalarına sahiplerse iki L çizgisi paraleldir. mutlak ile. L-doğrularının paralelliği kavramının simetri ve geçişlilik özelliğinin karşılandığı açıktır. Paragraf 15'te simetri özelliğini kanıtladık, geçiş özelliği ise Şekil 95'te gösteriliyor. A 1 A 2 doğrusu B 1 A 2 doğrusuna paraleldir, A 2 noktasında mutlağı keserler. B 1 A 2 ve C 1 A 2 doğruları da paraleldir, aynı zamanda mutlak ile aynı A 2 noktasında kesişirler. Bu nedenle, A 1 A 2 ve C 1 A 2 düz çizgileri birbirine paraleldir.

Böylece, yukarıda tanımlanan temel kavramlar, Hilbert aksiyomlarının gruplarının I 1 - I 3, II, III, IV aksiyomlarının ve Lobachevsky'nin paralellik aksiyomunun gereksinimlerini karşılar, bu nedenle Lobachevsky düzleminin bir modelidir. Lobachevsky planimetrisinin önemli tutarlılığını kanıtladık. Bu ifadeyi aşağıdaki teorem olarak formüle edelim.

Teorem 1. Lobachevsky'nin geometrisi içerik açısından tutarlıdır.

Lobachevsky uçağının bir modelini yaptık, ancak bir uçakta düşünülene benzer bir uzamsal modelin yapımıyla kılavuzda bilgi sahibi olabilirsiniz.

En önemli sonuç Teorem 1'den çıkar. Paralellik aksiyomu, Hilbert aksiyomlarının I - IV aksiyomlarının bir sonucu değildir. Öklid'in beşinci önermesi, Öklid geometrisinin paralellik aksiyomuna eşdeğer olduğundan, bu önerme aynı zamanda Hilbert'in diğer aksiyomlarına da bağlı değildir.

Kendini Rus ve İngiliz bilimi arasındaki ilişkiye adamış matematikçi Valentina Kirichenko, PostNauka'ya Lobachevsky'nin 19. yüzyılın geometrisi için fikirlerinin devrimci doğasını anlatıyor.

Lobachevsky'nin geometrisinde bile paralel çizgiler kesişmez. Filmlerde bir yerde şu ifadeyi sık sık bulabilirsiniz: "Ve Lobachevsky'nin paralel çizgileri kesişiyor." Kulağa güzel geliyor ama doğru değil. Nikolai İvanoviç Lobachevsky, paralel çizgilerin alıştığımızdan oldukça farklı davrandığı olağanüstü bir geometri buldu. Ama yine de örtüşmüyorlar.

İki paralel çizginin bir araya gelmediğini ve uzaklaşmadığını düşünmeye alışığız. Yani ilk çizgide hangi noktayı alırsak alalım, ikinci çizgiye olan uzaklığı aynıdır, noktaya bağlı değildir. Ama gerçekten öyle mi? Ve bu neden böyle? Ve bu nasıl doğrulanabilir?

Fiziksel düz çizgilerden bahsediyorsak, o zaman gözlem için her düz çizginin sadece küçük bir bölümü bizim için kullanılabilir. Ve ölçüm hataları göz önüne alındığında, düz çizgilerin bizden çok, çok uzakta nasıl davrandığına dair kesin sonuçlar çıkaramayacağız. Eski Yunanlıların da benzer soruları vardı. MÖ III. Yüzyılda, antik Yunan geometrisi Öklid, paralel çizgilerin ana özelliğini çok doğru bir şekilde özetledi; bu, ne kanıtlayabildi ne de çürütebildi. Bu nedenle, buna bir postüla adını verdi - inanç üzerine alınması gereken bir ifade. Bu, Öklid'in ünlü beşinci postülatıdır: Düzlemdeki iki düz çizgi kesenle kesişiyorsa, böylece iç tek taraflı açıların toplamı iki düz çizgiden, yani 180 dereceden küçükse, o zaman yeterli devamında bu iki düz çizgi kesişecektir ve toplamın iki dik açıdan daha az olduğu kesen tarafındadır.

Bu postüladaki anahtar kelimeler "yeterli devamlılıkla"dır. Bu sözlerden dolayı postulat ampirik olarak doğrulanamaz. Belki çizgiler görüş hattında kesişir. Belki 10 kilometre sonra ya da Plüton'un yörüngesinin ötesinde, ya da belki başka bir galakside.

Öklid, ünlü "Başlangıçlar" kitabında mantıksal olarak onlardan çıkan varsayımlarını ve sonuçlarını özetledi. Bu kitabın eski Yunanca adından Rusça "elemanlar" ve Latince adından - "elemanlar" kelimesi gelir. Öklid'in Başlangıçları tüm zamanların en popüler ders kitabıdır. Basım sayısı açısından, yalnızca İncil'den sonra ikinci sıradadır.

Özellikle 1847'nin harika İngiliz baskısını çok net ve güzel infografiklerle belirtmek isterim. Çizimlerdeki donuk işaretler yerine renkli çizimler kullanıyorlar - modern okul geometri ders kitaplarında olduğu gibi değil.

Geçen yüzyıla kadar, Öklid'in "Başlangıçları" tüm eğitim programlarında çalışmak için gerekliydi; bu, entelektüel yaratıcılığı, yani sadece bir zanaat öğrenmeyi değil, daha entelektüel bir şeyi ima etti. Öklid'in beşinci postülatının aşikar olmaması doğal bir soruyu gündeme getirdi: Bunu kanıtlamak, yani Öklid'in geri kalan varsayımlarından mantıksal olarak çıkarmak mümkün müdür? Öklid'in çağdaşlarından Lobachevsky'nin çağdaşlarına kadar birçok matematikçi bunu yapmaya çalıştı. Kural olarak, beşinci önermeyi, inanması daha kolay olan daha görsel bir ifadeye indirgediler.

Örneğin, 17. yüzyılda İngiliz matematikçi John Wallis beşinci önermeyi şu ifadeye indirgemiştir: İki benzer, ancak eşit olmayan üçgen vardır, yani açıları eşit, ancak boyutları farklı olan iki üçgen. Görünüşe göre, daha basit ne olabilir? Sadece ölçeği değiştirelim. Ancak, tüm açıları ve oranları korurken ölçeği değiştirme yeteneğinin, Öklid geometrisinin özel bir özelliği olduğu, yani beşinci de dahil olmak üzere tüm Öklid varsayımlarının yerine getirildiği geometri olduğu ortaya çıktı.

18. yüzyılda, İskoç bilgin John Playfair, beşinci postülayı modern okul ders kitaplarında genellikle göründüğü biçimde yeniden formüle etti: birbirini kesen iki düz çizgi aynı anda üçüncü çizgiye paralel olamaz. Beşinci önermenin modern okul ders kitaplarında ortaya çıkması bu biçimdedir.

19. yüzyılın başlarına gelindiğinde, çoğu kişi beşinci önermeyi kanıtlamanın sürekli bir hareket makinesi icat etmek gibi olduğu izlenimine kapıldı - tamamen yararsız bir alıştırma. Ancak Öklid'in geometrisinin mümkün olan tek geometri olmadığını varsaymak bile, kimsenin cesareti yoktu: Öklid'in otoritesi çok büyüktü. Böyle bir durumda, Lobachevsky'nin keşifleri bir yandan doğal, diğer yandan kesinlikle devrimciydi.

Lobachevsky, beşinci önermeyi tam tersi ifadeyle değiştirdi. Lobachevsky'nin aksiyomu şuna benziyordu: düz bir çizgi üzerinde olmayan bir noktadan, bu düz çizgiyi kesen tüm ışınlar serbest bırakılırsa, o zaman solda ve sağda bu ışınlar artık kesişmeyecek olan iki sınırlayıcı ışınla sınırlandırılacaktır. düz çizgi, ama ona daha da yakınlaşacak. Ayrıca, bu sınırlayıcı ışınlar arasındaki açı kesinlikle 180 dereceden az olacaktır.

Lobachevsky'nin aksiyomundan, belirli bir düz çizgi üzerinde olmayan bir noktadan, Öklid'de olduğu gibi belirli bir düz çizgiye paralel bir düz çizgi değil, istediğiniz kadar düz çizgi çizmenin mümkün olduğu hemen çıkar. Ancak bu düz çizgiler Öklid'inkinden farklı davranacaktır. Örneğin, iki paralel düz çizgimiz varsa, önce yaklaşabilir ve sonra uzaklaşabilirler. Yani, birinci satırdaki bir noktadan ikinci satıra kadar olan mesafe, noktaya bağlı olacaktır. Farklı noktalar için farklı olacaktır.

Lobachevsky'nin geometrisi sezgimizle kısmen çelişir, çünkü genellikle uğraştığımız küçük mesafelerde Öklid'den çok az farklıdır. Benzer şekilde, Dünya yüzeyinin eğriliğini algılarız. Evden mağazaya yürüdüğümüzde, bize düz bir çizgide yürüyormuşuz gibi geliyor ve Dünya düz. Ancak, diyelim ki Moskova'dan Montreal'e uçarsak, uçağın bir daire yayı içinde uçtuğunu zaten fark ederiz, çünkü bu, Dünya yüzeyindeki iki nokta arasındaki en kısa yoldur. Yani, Dünya'nın gözlemeden çok bir futbol topuna benzediğini fark ederiz.

Lobachevsky'nin geometrisi, sıradan değil, hiperbolik bir futbol topu yardımıyla da gösterilebilir. Hiperbolik bir futbol topu, normal bir top gibi birbirine yapıştırılır. Sadece sıradan bir topta, beyaz altıgenler siyah beşgenlere yapıştırılır ve beşgenler yerine hiperbolik bir topta yedigenler yapmanız ve ayrıca altıgenlerle yapıştırmanız gerekir. Bu durumda, elbette, bir top değil, bir eyer olacak. Ve bu eyer üzerinde Lobachevsky'nin geometrisi gerçekleştirilir.

Lobachevsky, 1826'da Kazan Üniversitesi'nde keşiflerinden bahsetmeye çalıştı. Ancak raporun metni günümüze ulaşmamıştır. 1829'da bir üniversite dergisinde geometrisi üzerine bir makale yayınladı. Lobachevsky'nin sonuçları birçokları için anlamsız görünüyordu - yalnızca dünyanın olağan resmini yok ettikleri için değil, aynı zamanda en anlaşılır şekilde sunulmadıkları için.

Ancak Lobachevsky'nin bugün dediğimiz gibi yüksek reytingli dergilerde de yayınları vardı. Örneğin, 1836'da ünlü Crell dergisinde Fransızca olarak "Hayali Geometri" başlıklı bir makale yayınladı ve aynı sayıda zamanın en ünlü matematikçileri olan Dirichlet, Steiner ve Jacobi'nin makalelerini yayınladı. Ve 1840'ta Lobachevsky, "Paralel Çizgiler Teorisinde Geometrik Araştırmalar" başlıklı küçük ve çok anlaşılır bir şekilde yazılmış bir kitap yayınladı. Kitap Almancaydı ve Almanya'da yayınlandı. Hemen yıkıcı bir inceleme ortaya çıktı. Eleştirmen özellikle Lobachevsky'nin şu ifadesiyle alay etti: "Düz çizgileri paralellikleri yönünde ne kadar ileri gidersek, birbirlerine o kadar çok yaklaşırlar." "Bu açıklama," diye yazdı eleştirmen, "zaten Bay Lobachevsky'nin çalışmasını yeterince karakterize ediyor ve eleştirmeni daha fazla değerlendirme ihtiyacından kurtarıyor."

Ancak kitabın bir de tarafsız okuyucusu var. Bu, tarihin en büyük matematikçilerinden biri olan Matematikçilerin Kralı takma adıyla da bilinen Karl Friedrich Gauss'du. Mektuplarından birinde Lobachevsky'nin kitabını övdü. Ancak incelemesi ancak ölümünden sonra, yazışmaların geri kalanıyla birlikte yayınlandı. Ve sonra Lobachevsky'nin geometrisinin gerçek patlaması başladı.

1866'da kitabı Fransızca'ya, ardından İngilizce'ye çevrildi. Ayrıca, olağanüstü popülaritesi nedeniyle İngilizce baskısı üç kez daha yeniden basıldı. Ne yazık ki, Lobachevsky bu zamana kadar yaşamadı. 1856'da öldü. Ve 1868'de Lobachevsky'nin kitabının Rusça baskısı çıktı. Kitap olarak değil, en eski Rus dergisi "Mathematical Collection" da bir makale olarak yayınlandı. Ama o zaman bu dergi çok gençti, henüz iki yaşında değildi. Ancak daha ünlüsü, olağanüstü Rus ve Sovyet geometricisi Veniamin Fedorovich Kagan tarafından yapılan 1945 tarihli Rusça çeviridir.

19. yüzyılın sonunda matematikçiler iki kampa ayrıldı. Bazıları Lobachevsky'nin sonuçlarını hemen kabul etti ve fikirlerini daha da geliştirmeye başladı. Diğerleri, Lobachevsky'nin geometrisinin var olmayan bir şeyi tanımladığı, yani Öklid'in geometrisinin tek doğru olduğu ve başka hiçbir şeyin olamayacağı inancından vazgeçemezdi. Ne yazık ki, ikincisi, daha iyi "Alice Harikalar Diyarında" nın yazarı olarak bilinen matematikçiyi içeriyordu - Lewis Carroll. Gerçek adı Charles Dodgson'dır. 1890'da, beşinci önermenin oldukça görsel bir versiyonunu savunduğu "A New Theory of Parallels" başlıklı bir makale yayınladı. Lewis Carroll'un aksiyomu şöyle görünür: Bir daireye düzenli bir dörtgen yazarsanız, bu dörtgenin alanı, dörtgenin dışında kalan dairenin herhangi bir bölümünün alanından kesinlikle daha büyük olacaktır. Lobachevsky'nin geometrisinde bu aksiyom doğru değildir. Yeterince büyük bir daire alırsak, içine hangi dörtgeyi yazarsak yazalım, bu dörtgenin kenarları ne kadar uzun olursa olsun, dörtgenin alanı evrensel bir fiziksel sabitle sınırlanacaktır. Genel olarak, fiziksel sabitlerin ve evrensel uzunluk ölçülerinin varlığı, Lobachevsky'nin geometrisi ile Öklid'in geometrisi arasında avantajlı bir farktır.

Ancak bir başka ünlü İngiliz matematikçi olan Arthur Cayley, 1859'da, yani Lobachevsky'nin ölümünden sadece üç yıl sonra, daha sonra Lobachevsky'nin varsayımını yasallaştırmaya yardımcı olan bir makale yayınladı. İlginç bir şekilde, Cayley o sırada Londra'da bir avukat olarak ek iş yapıyordu ve ancak o zaman Cambridge'de profesörlük aldı. Aslında, Cayley, ilk bakışta tamamen farklı bir problemi çözüyor olsa da, Lobachevsky'nin geometrisinin ilk modelini kurdu.

Ve adı William Kingdon Clifford olan bir başka harika İngiliz matematikçi, Lobachevsky'nin fikirleriyle derinden doluydu. Ve özellikle, yerçekiminin uzayın eğriliğinden kaynaklandığı fikrini genel göreliliğin yaratılmasından çok önce ortaya koyan ilk kişiydi. Clifford, Lobachevsky'nin bilime katkısını bilim felsefesi üzerine verdiği derslerden birinde değerlendirdi: "Ptolemy için Copernicus ne ise, Euclid için Lobachevsky o oldu." Copernicus'tan önce insanlık Evren hakkında her şeyi bildiğimize inanıyorsa, şimdi Evrenin sadece küçük bir bölümünü gözlemlediğimiz açıktır. Aynı şekilde, Lobachevsky'den önce insanlık sadece bir geometri olduğuna inanıyordu - Öklid, onunla ilgili her şey uzun zamandır biliniyordu. Artık birçok geometri olduğunu biliyoruz, ancak onlar hakkında her şeyi bilmiyoruz.

Öklid'in beşinci önermesi "İki düz çizgi üzerine düşen düz bir çizgi, toplamda iki düz çizgiden daha az iç tek taraflı açılar oluşturuyorsa, o zaman süresiz olarak devam ederse, bu iki düz çizgi, toplamdaki açıların daha az olduğu tarafta buluşacaktır. antik çağda birçok matematikçiye iki düz çizgiden daha fazlası", kısmen formülasyonunun karmaşıklığından dolayı bir şekilde çok net görünmüyordu.

Sadece basit formdaki temel cümlelerin postüla olması gerektiği görülüyordu. Bu bağlamda, 5. önerme matematikçilerin özel ilgi konusu haline gelmiştir ve bu konudaki araştırmalar iki yöne ayrılabilir, aslında birbiriyle yakından ilişkilidir. İlki, bu postülayı daha basit ve sezgisel olarak daha açık olanla değiştirmeye çalıştı, örneğin, Proclus tarafından formüle edilen ifade gibi, “Belirli bir düz çizgi üzerinde olmayan bir noktadan, sadece bir düz çizgi çizilebilir. verilenle kesişir”: modern ders kitaplarında 5. postüla veya daha doğrusu, ona eşdeğer paralel aksiyom bu biçimde görünür.

İkinci yönün temsilcileri, beşinci önermeyi diğerleri temelinde kanıtlamaya, yani onu bir teoreme dönüştürmeye çalıştı. Bu tür girişimler, Orta Çağ'ın bir dizi Arap matematikçisi tarafından başlatıldı: al-Abbas al-Jauhari (9. yüzyılın başları), Sabit ibn Korrah, İbn al-Khaisam, Omar Khayyam, Nasireddin at-Tusi. Daha sonra Avrupalılar bu çalışmalara katıldı: İbranice yazan Levi Ben Gershon (14. yüzyıl) ve Alfonso (15. yüzyıl), ardından Alman Cizvit H. Clavius ​​(1596), İngiliz J. Wallis (1663) ve bu soruna ilgi 18. yüzyılda ortaya çıktı: 1759'dan 1800'e kadar İtalyan Cizvit G. Saccheri ve Alman I. G. Lambert'in çok önemli çalışmaları da dahil olmak üzere bu sorunu analiz eden 55 eser yayınlandı.

Kanıtlar genellikle "çelişki" yöntemiyle gerçekleştirildi: 5. önermenin yerine getirilmediği varsayımından, diğer önermeler ve aksiyomlarla çelişecek sonuçlar çıkarmaya çalıştılar. Bununla birlikte, gerçekte, sonunda, diğer postülalarla değil, ancak Öklid geometrisinin diğer postülaları ve aksiyomları temelinde kurulamayan açık veya örtülü bazı "bariz" önermelerle bir çelişki elde ettiler: böylece , ispatlar amaçlarına ulaşmadı, - 5. postulat yerine yine eşdeğer başka bir ifade konulduğu ortaya çıktı. Örneğin, aşağıdaki hükümler böyle bir açıklama olarak alınmıştır:

Pirinç. 2. Birbirinden eşit uzaklıkta düz çizgiler vardır.

Pirinç. 4. İki yakınsak çizgi kesişiyor

Bu ifadelerin tutmadığı geometri, elbette, alıştığımızla aynı değil, ancak bundan imkansız olduğu veya bu ifadelerin Öklid'in diğer postülalarından ve aksiyomlarından geldiği sonucu çıkmaz. Kanıtlarda bazı boşluklar veya esnemeler vardı. Clavius, düz bir çizginin, üzerindeki noktalara göre eşit aralıklarla yerleştirilmiş bir çizgi olarak Öklid “tanımı” ile birbirinden eşit uzaklıkta düz çizgiler olduğu varsayımını doğruladı. Wallis, 5. önermeye ilişkin kanıtını, herhangi bir şekil için keyfi olarak büyük boyutlu benzer bir tane olduğu "doğal" konuma dayandıran ilk kişiydi ve bu ifadeyi, herhangi bir merkez ve herhangi bir çözüm bir daireyi tanımlayabilir (aslında, örneğin, eşit olmayan benzer üçgenlerin veya hatta dairelerin varlığı hakkındaki ifade, 5. önermeye eşdeğerdir). AM Legendre, "Geometri Prensipleri" (1794, 1800, 1823) ders kitabının ardışık baskılarında 5. önermenin yeni kanıtlarını verdi, ancak dikkatli bir analiz bu kanıtlarda boşluklar olduğunu gösterdi. Legendre'yi haklı eleştiriye maruz bırakan yurttaşımız S. Ye. Guriev, "Geometri öğelerinin iyileştirilmesi üzerine deneyim" (1798) adlı kitabında, ancak 5. postülayı kanıtlamada bir hata yaptı.

Oldukça hızlı bir şekilde, bir üçgenin ve bir dörtgenin açılarının toplamı ile 5. postüla arasındaki bağlantı gerçekleşti: 5. postüla, bir üçgenin açılarının toplamının iki düz çizgiye eşit olduğu ifadesinden çıkar. dikdörtgenlerin varlığından çıkarılır. Bu bağlamda, bir düz çizgiye iki dik üzerine eşit bölümlerin döşenmesi sonucu elde edilen bir dörtgenin dikkate alındığı bir yaklaşım yaygınlaştı (bunu Hayyam, at-Tusi, Wallis, Sakkeri izledi). . Üç hipotez araştırılmıştır: iki üst köşe keskin, geniş veya düzdür; geniş ve dar açı hipotezlerinin çelişkiye yol açtığı gösterilmeye çalışılır.

Başka bir yaklaşım (İbn el-Haytham, Lambert tarafından kullanıldı), üç dik açılı bir dörtgen için üç benzer hipotezi analiz etti.

Saccheri ve Lambert, geniş açıların hipotezlerinin bir çelişkiye yol açtığını gösterdiler, ancak dar açıların hipotezlerini göz önünde bulundurduklarında çelişki bulamadılar: Saccheri, böyle bir çelişki hakkında sadece bir hatanın sonucu olarak sonuç çıkardı ve Lambert şu sonuca vardı: dar açı hipotezinde görünürde çelişki yokluğu, bazı temel nedenlerden dolayıydı. Lambert, bir dar açı hipotezini kabul ederken, her üçgenin açılarının toplamının, alanıyla orantılı bir miktarda 180 ° 'den az olduğunu buldu ve bununla başlangıçta keşfedilenle karşılaştırdı. XVII yüzyıl küresel bir üçgenin alanının, aksine, alanıyla orantılı bir miktarda 180 ° 'den fazla olduğu pozisyon.

1763'te GS Klugel, "Paralel Doğrular Teorisini Kanıtlamak İçin En Önemli Girişimlerin Bir İncelemesi"ni yayınladı ve burada 5. postülatın yaklaşık 30 ispatını inceledi ve bunlardaki hataları ortaya çıkardı. Klugel, Öklid'in ifadesini postülalar arasında oldukça makul bir şekilde yerleştirdiği sonucuna vardı.

Bununla birlikte, 5. önermeyi kanıtlama girişimleri çok önemli bir rol oynadı: karşıt ifadeleri bir çelişkiye getirmeye çalışan bu araştırmacılar, aslında Öklidyen olmayan geometrinin birçok önemli teoremini keşfettiler - özellikle, 5. önermenin yerini aldığı bir geometri. olasılık hakkındaki ifade, belirli bir noktadan, verilen ile kesişmeyen en az iki düz çizgi çizer. Dar açı hipotezine eşdeğer olan bu ifade, Öklid dışı geometrinin kaşiflerinin temeliydi.

Birkaç bilim adamı bağımsız olarak, 5. önermeye bir alternatif varsayımının Öklid'den farklı, ancak eşit derecede tutarlı bir geometrinin inşasına yol açtığı fikrine geldi: K.F. Gauss, N.I. Lobachevsky ve J. Boyai (ve F K. Schweickart'ın yanı sıra). ve yeni geometriye katkısı daha mütevazı olan ve araştırmalarını yayınlamayan FA Taurinus). Gauss, arşivinde korunan (ve sadece 1860'larda yayınlanan) kayıtlara bakılırsa, 1810'larda yeni bir geometri olasılığını fark etti, ancak bu konudaki keşiflerini hiçbir zaman yayınlamadı: “Boiotialıların ağlamasından korkuyorum. (yani aptallar: Boeotia bölgesinin sakinleri Antik Yunanistan'da en aptal olarak kabul edildi), eğer görüşlerimi tamamen ifade edersem, ”diye yazdı 1829'da arkadaşı matematikçi FV Bessel'e. Yanlış anlama, 1826'da yeni geometri hakkında ilk raporu hazırlayan ve 1829'da elde edilen sonuçları yayınlayan Lobachevsky'nin payına düştü. 1842'de Gauss, Göttingen Bilim Topluluğunun ilgili bir üyesi olarak Lobachevsky'nin seçilmesini sağladı: bu tek Lobachevsky'nin yaşamı boyunca değerlerinin tanınması ... 5. önermeyi de kanıtlamaya çalışan matematikçi Farkash Boyai olan Peder J. Boyai, oğlunu bu yönde araştırmalara karşı uyardı: “... sizi boş zamanlarınızdan, sağlığınızdan, huzurunuzdan, yaşamın tüm sevinçlerinden mahrum edebilir. Bu kara uçurum, belki de Newton gibi binlerce titansı emebilir, Dünya'da bu asla temizlenemez ... ". Yine de, J. Boyai, sonuçlarını 1832'de babası tarafından yazılmış bir geometri ders kitabının ekinde yayınladı. Boyai ayrıca tanınmadı, ayrıca Lobachevsky'nin önünde olduğu için üzüldü: artık Öklid dışı geometri ile uğraşmadı. Böylece sadece Lobachevsky, hayatının geri kalanında, ilk önce yeni bir alanda araştırma yapmaya devam etti ve ikincisi, fikirlerini tanıttı, yeni geometri üzerine bir dizi kitap ve makale yayınladı.

Böylece, Lobachevsky düzleminde, AB ile kesişmeyen en az iki düz çizgi, verilen AB çizgisinin dışında C noktasından geçer. C'den geçen tüm çizgiler iki sınıfa ayrılır - kesişen ve kesişmeyen AB. Bunlar, AB ile kesişmeyen iki aşırı düz çizginin oluşturduğu belirli bir açıda uzanır. Lobachevsky'nin AB düz çizgisine paralel dediği bu çizgilerdir ve bunlar ile dik arasındaki açı paralellik açısıdır. Bu açı, C noktasından AB doğrusuna olan mesafeye bağlıdır: bu mesafe ne kadar büyükse, paralellik açısı o kadar küçük olur. Köşenin içinde kalan doğrulara AB'ye göre ıraksak denir.

Herhangi iki farklı p ve q doğrusu, birinden diğerine en kısa doğru parçası olan tek bir ortak t dikine sahiptir. M noktası p boyunca t yönünde hareket ederse, M'den q'ya olan mesafe sonsuza kadar artacak ve M'den q'ya düşürülen dikmelerin tabanları yalnızca sonlu bir parçayı dolduracaktır.

Eğer p ve q doğruları kesişiyorsa, bunlardan birinin noktalarının diğerine izdüşümleri de sınırlı parçayı doldurur.

Düz çizgiler p ve q paralel ise, o zaman bir yönde noktaları arasındaki mesafeler süresiz olarak azalır, diğerinde ise süresiz olarak artar; bir düz çizgi başka bir ışın üzerine yansıtılır.

Şekiller, Lobachevsky'nin geometrisinde mümkün olan p ve q düz çizgilerinin çeşitli karşılıklı konumlarını göstermektedir; r ve s, q'ya paralel diklerdir. (Düz bir çizgiden söz etmemize rağmen, eğri bir q çizgisi çizmeye zorlanıyoruz. Dünyamız bir bütün olarak Lobachevsky'nin geometrisinin yasalarına uysa bile, yine de küçük bir ölçekte çarpıtmalar olmadan her şeyin nasıl olduğunu tasvir edemezdik. büyük görünüyor: Lobachevsky'nin geometrisinde eşit olmayan benzer rakamlar yoktur).

Köşenin içinde, köşenin her iki yanına paralel düz bir çizgi vardır. Köşe içindeki tüm noktaları iki türe ayırır: birinci türün noktalarından köşenin her iki tarafını kesen düz çizgiler çizebilirsiniz; ikinci tip noktalar arasından böyle bir düz çizgi çizilemez. Aynı şey paralel çizgiler arasındaki boşluk için de geçerlidir. Birbirinden ayrılan iki doğru arasında her ikisine de paralel olan iki doğru vardır; birbirinden ayrılan çizgiler arasındaki boşluğu üç alana bölerler: bir alandaki noktalardan geçerek, köşenin her iki yanında kesişen çizgiler çizebilirsiniz; bu tür çizgiler diğer iki bölgedeki noktalardan geçemez.

Dar açı, dik açı değil, her zaman bir dairenin çapına dayanır. Bir daire içine yazılan düzgün bir altıgenin kenarı her zaman yarıçapından daha büyüktür. Herhangi bir n>6 için, içine yazılan düzgün bir n-gon'un kenarı yarıçapına eşit olacak şekilde bir daire oluşturmak mümkündür.

Lobachevsky, özellikle astronomik gözlemlerin verilerini kullanarak, fiziksel uzayın geometrisi sorunuyla ilgileniyordu, büyük, yıldızlararası üçgenlerin açılarının toplamını hesapladı: ancak, 180 ° 'den gelen bu açılar toplamı arasındaki fark tamamen yatıyordu. gözlem hatası içinde Kendi geometrisini "hayali" olarak adlandıran Lobachevsky'nin payına düşen yanlış anlama, büyük ölçüde, onun zamanında bu tür fikirlerin saf soyutlamalar ve hayal gücünün bir oyunu gibi görünmesi gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Yeni geometri gerçekten tutarlı mı? (Sonuçta, Lobachevsky bir çelişkiyle karşılaşmayı başaramamış olsa bile, bu daha sonra keşfedilmeyeceğini garanti etmez). Gerçek dünyayla ve matematiğin diğer alanlarıyla nasıl bir ilişkisi var? Bu, hemen çok açık hale geldi ve nihayetinde birçok yeni fikre düşen başarı, yeni geometri modellerinin keşfi ile ilişkilendirildi.



okumanız önerilir