Kümeler üzerinde işlemler ve özellikleri. Setler. Set Üzerindeki İşlemler Set Üzerindeki İşlemler

Küme teorisinin temel kavramları

Küme kavramı, modern matematikte temel bir kavramdır. Bunu orijinal kabul edeceğiz ve sezgisel olarak küme teorisi oluşturacağız. Bu ilk kavramın bir tanımını verelim.

Bir çok Tek bir bütün olarak düşünülen nesneler (nesneler veya kavramlar) topluluğudur. Bu koleksiyonda yer alan nesnelere denir. elementler kümeler.

Matematik bölümü birinci sınıf öğrencilerinden, okyanustaki bir sürü balıktan vb. bahsedebilirsiniz. Matematik genellikle çeşitli matematiksel nesnelerle ilgilenir: bir dizi rasyonel sayı, bir dizi dikdörtgen, vb.

Kümeler Latin alfabesinin büyük harfleriyle, öğeleri ise küçük harflerle gösterilecektir.

kümenin bir elemanı ise m, sonra "ait" derler m"Ve yaz:. Bazı nesneler kümenin bir elemanı değilse, o zaman "ait değil" derler. m"Ve yaz (bazen).

Kümeleri tanımlamanın iki ana yolu vardır: numaralandırma elemanları ve göstergesi karakteristik özellik onun unsurları. Bu yöntemlerden ilki esas olarak sonlu kümeler için kullanılır. Ele alınan kümenin elemanları listelenirken, elemanları küme parantezleri ile çevrilidir. Örneğin, elemanları 2, 4, 7 sayıları ve sadece onlar olan bir kümeyi ifade eder. Bu yöntem her zaman uygulanabilir değildir, çünkü örneğin tüm gerçek sayılar kümesi bu şekilde ayarlanamaz.

karakteristik özellik kümenin elemanları m Bu özelliğe sahip herhangi bir öğenin ait olduğu bir özellik midir? m, ve bu özelliğe sahip olmayan herhangi bir öğe ait değildir. m... Özelliği olan elemanlar kümesi aşağıdaki gibi gösterilir:

veya .

En yaygın setlerin kendi özel tanımları vardır. Gelecekte, aşağıdaki gösterime bağlı kalacağız:

n= Tüm doğal sayıların kümesidir;

Z= - tüm tam sayıların kümesi;

- tüm rasyonel sayıların kümesi;

r- tüm gerçek (gerçek) sayılar kümesi, yani. rasyonel sayılar (sonsuz ondalık periyodik kesirler) ve irrasyonel sayılar (sonsuz ondalık periyodik olmayan kesirler);

- tüm karmaşık sayıların kümesi.

Bir karakteristik özellik belirterek kümeleri belirtmeye daha özel örnekler verelim.

Örnek 1. 48'in tüm doğal bölenleri kümesi aşağıdaki gibi yazılabilir: (gösterim yalnızca tamsayılar için kullanılır ve bölünebildiği anlamına gelir).

Örnek 2. 7'den küçük tüm pozitif rasyonel sayılar kümesi aşağıdaki gibi yazılır:

Örnek 3. - 1 ve 5 uçları olan bir gerçek sayılar aralığı; - 2 ve 7 uçları olan bir gerçek sayı segmenti.

"Birçok" kelimesi, birçok öğeyi içerdiğini gösterir. Ama durum her zaman böyle değildir. Matematikte sadece bir eleman içeren kümeler düşünülebilir. Örneğin, denklemin tamsayı kökleri kümesi ... Ayrıca, tek bir eleman içermeyen bir kümeden bahsetmek uygundur. Böyle bir küme denir boş ve Ø ile gösterilir. Örneğin, denklemin gerçek kökleri kümesi boştur.

Tanım 1. Kümeler ve denir eşit(ile gösterilir A = B) bu kümeler aynı elemanlardan oluşuyorsa.

Tanım 2. Kümenin her elemanı kümeye aitse, alt küme kümeler.

Açıklama: ("dahil"); ("İçerir").

Ø ve kümenin kendisinin kümenin alt kümeleri olduğu açıktır. Kümenin diğer herhangi bir alt kümesine onun adı verilir. doğru kısım... Eğer ve, o zaman diyorlar ki “ A – uygun altküme"Yada bu" Ve kesinlikle dahildir"Ve yaz.

Aşağıdaki ifade açıktır: çokluk ve eşittir ancak ve ancak ve.

Bu ifadeye dayanmaktadır iki kümenin eşitliğini kanıtlamak için evrensel bir yöntem: kümelerin olduğunu kanıtlamak için ve eşit olduğunu göstermek yeterlidir. ,a kümesinin bir alt kümesidir .

Bu tek yöntem olmasa da en yaygın yöntemdir. Daha sonra kümeler üzerindeki işlemler ve özellikleri hakkında bilgi sahibi olduktan sonra, iki kümenin eşitliğini kanıtlamanın başka bir yolunu göstereceğiz - dönüşümleri kullanma.

Sonuç olarak, genellikle şu veya bu matematiksel teoride aynı kümenin alt kümeleriyle ilgilenildiğini not ediyoruz. sen hangi denir evrensel bu teoride. Örneğin, okul cebirinde ve matematiksel analizde küme evrenseldir. r geometride gerçek sayılar - uzayda bir dizi nokta.

İşlemleri ve özelliklerini ayarlayın

Kümelerde toplama, çarpma ve çıkarmaya benzeyen eylemler (işlemler) gerçekleştirebilirsiniz.

Tanım 1. konsolidasyon kümeler ve küme olarak adlandırılır ve her elemanı veya kümelerinden en az birine ait olan ile gösterilir.

Böyle bir kümenin elde edildiği işlemin kendisine birleşim denir.

Tanım 1'in kısa kaydı:

Tanım 2. Geçit kümeler ve küme olarak adlandırılır, her biri ve ve ve öğelerine ait olan tüm öğeleri ve yalnızca bu öğeleri içeren ile gösterilir.

Bir kümeyle sonuçlanan işlemin kendisine kesişim denir.

Kısaca tanım 2:

örneğin, eğer , , sonra , .

Kümeler, kümelerdeki işlemleri görsel olarak göstermenize olanak tanıyan geometrik şekiller olarak gösterilebilir. Bu yöntem, mantıksal akıl yürütmenin analizi için Leonard Euler (1707-1783) tarafından önerildi, yaygın olarak kullanıldı ve İngiliz matematikçi John Venn'in (1834-1923) eserlerinde daha da geliştirildi. Bu nedenle, bu tür çizimler denir Euler-Venn diyagramları.

Kümelerin birleşimi ve kesişimi işlemleri Euler – Venn diyagramları ile aşağıdaki gibi gösterilebilir:

- gölgeli kısım; - gölgeli kısım.

Herhangi bir küme koleksiyonunun birleşimini ve kesişimini tanımlayabilirsiniz, burada bazı indeksler kümesi bulunur.

Tanım . konsolidasyon kümeler kümesi, her biri kümelerden en az birine ait olan tüm bu ve yalnızca bu öğelerden oluşan bir kümedir.

Tanım . Geçit kümeler kümesi, her biri kümelerden herhangi birine ait olan tüm bu ve yalnızca bu öğelerden oluşan bir kümedir.

Örneğin, endeks kümesinin sonlu olması durumunda, , daha sonra bu durumda bir küme koleksiyonunun birleşimini ve kesişimini belirtmek için genellikle şu notasyonu kullanırlar:

ve .

örneğin, eğer , , , sonra , .

Birleşim ve kümelerin kesişimi kavramlarına okul matematik dersinde tekrar tekrar rastlanır.

Örnek 1. Bir çok m eşitsizlikler sistemine çözümler

bu sistemin eşitsizliklerinin her birinin çözüm kümelerinin kesişimidir:

Örnek 2. Bir çok m sistem çözümleri

bu sistemin eşitsizliklerinin her biri için çözüm kümelerinin kesişimidir. İlk denklemin çözüm kümesi, düz bir çizginin noktaları kümesidir, yani. ... Bir çok . Küme bir elemandan oluşur - çizgilerin kesişme noktaları.

Örnek 3. Denklemin çözüm kümesi

nerede , denklemlerin her birinin çözüm kümelerinin birleşimidir, yani.

Tanım 3. Fark setler ve Küme denir, ile gösterilen ve yalnızca ait olan, ancak ait olmayan tüm öğelerden oluşan .– gölgeli kısım; ... birleşim, kesişim ve tamamlayıcı işlemleri ile. Ortaya çıkan matematiksel yapıya denir. kümelerin cebiri veya Kümelerin Boole cebiri(İrlandalı matematikçi ve mantıkçı George Boole (1816-1864) dahil). Rastgele bir kümenin tüm alt kümelerinin kümesini gösterelim ve onu adlandıralım. boole kümeler.

Aşağıda listelenen eşitlikler herhangi bir alt küme için geçerlidir. A, B, C Evrensel set Ü. Bu nedenle, denir kümelerin cebiri yasaları.

Matematiksel analiz, sonsuz küçük bir fonksiyon fikrine dayanan fonksiyonların incelenmesi ile ilgilenen bir matematik dalıdır.

Matematiksel analizin temel kavramları şunlardır: değer, küme, fonksiyon, sonsuz küçük fonksiyon, limit, türev, integral.

Büyüklük bir sayı ile ölçülebilen ve ifade edilebilen her şeye denir.

Birçok bazı ortak özelliklerle birleştirilmiş bazı öğeler kümesi olarak adlandırılır. Bir kümenin elemanları sayılar, şekiller, nesneler, kavramlar vb. olabilir.

Kümeler büyük harflerle, elemanlar ise küçük harflerle katları ile gösterilir. Küme elemanları küme parantezleri içine alınır.

eğer eleman x sete ait x sonra yaz x∈NS (∈ - aittir).
A kümesi B kümesinin parçasıysa, yazın A ⊂ B (⊂ - içerir).

Bir küme iki yoldan biriyle belirtilebilir: numaralandırma ve tanımlayıcı bir özellik kullanma.

Örneğin, aşağıdaki kümeler numaralandırma ile belirtilir:

A = (1,2,3,5,7) - bir dizi sayı
X = (x 1, x 2, ..., x n) - bazı elemanların kümesi x 1, x 2, ..., x n
N = (1,2, ..., n) - doğal sayılar kümesi
Z = (0, ± 1, ± 2, ..., ± n) - tam sayılar kümesi

(-∞; + ∞) kümesine denir. sayı doğrusu, ve herhangi bir sayı bu doğrunun bir noktasıdır. Sayı doğrusunda a rastgele bir nokta ve δ pozitif bir sayı olsun. (a-δ; a + δ) aralığına denir. δ-a noktasının komşuluğu.

Herhangi bir x ∈ X için x≤с (x≥c) eşitsizliğinin geçerli olduğu bir c sayısı varsa, bir X kümesi yukarıda (aşağıda) sınırlandırılır. Bu durumda c sayısı denir üst (alt) kenar X kümesi. Hem yukarıda hem de aşağıda sınırlı bir kümeye denir. sınırlı... Bir kümenin üst (alt) sınırlarının en küçüğüne (en büyüğüne) denir. tam üst (alt) kenar bu set.

Temel sayı kümeleri

n	(1,2,3, ..., n) Hepsinin kümesi
Z	(0, ± 1, ± 2, ± 3, ...) Set bütün sayılar. Tam sayılar kümesi birçok doğal sayı içerir.
Q	Bir çok rasyonel sayılar. Tam sayılara ek olarak, kesirler de vardır. Kesir, formun bir ifadesidir, burada P- Bir tam sayı, Q- doğal. Ondalık kesirler şu şekilde de yazılabilir. Örneğin: 0.25 = 25/100 = 1/4. Tamsayılar olarak da yazılabilir. Örneğin, paydası "bir" olan bir kesir olarak: 2 = 2/1. Böylece, herhangi bir rasyonel sayı ondalık kesir olarak yazılabilir - elbette veya sonsuz bir periyodik.
r	hepsinden çok gerçek sayılar. İrrasyonel sayılar sonsuz periyodik olmayan kesirlerdir. Bunlar şunları içerir: Birlikte, iki küme (rasyonel ve irrasyonel sayılar) - bir dizi gerçek (veya gerçek) sayı oluşturur.

Küme herhangi bir eleman içermiyorsa denir. boş küme ve kaydedilir Ø .

Mantıksal sembolojinin unsurları

Notasyon ∀x: |x |<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

kantor

Niceleyiciler genellikle matematiksel ifadeler yazılırken kullanılır.

niceleyici aşağıdaki unsurları nicel olarak karakterize eden mantıksal bir semboldür.

∀- genellik niceleyici, "herkes için", "herhangi biri için" kelimeleri yerine kullanılır.
∃- varoluşsal niceleyici, "vardır", "dır" kelimeleri yerine kullanılır. Sadece bir tane olduğu için okunan ∃ ! karakterlerinin kombinasyonu da kullanılır.

İşlemleri ayarla

2 A ve B kümeleri eşittir(A = B) eğer aynı elementlerden oluşuyorlarsa.
Örneğin, A = (1,2,3,4), B = (3,1,4,2) ise A = B.

Konsolidasyon (toplam) A ve B kümelerine, elemanları bu kümelerden en az birine ait olan A ∪ B kümesi denir.
Örneğin, A = (1,2,4), B = (3,4,5,6) ise, o zaman A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Kavşak (ürün) A ve B kümelerine, elemanları hem A kümesine hem de B kümesine ait olan A ∩ B kümesi denir.
Örneğin, A = (1,2,4), B = (3,4,5,2) ise, o zaman A ∩ B = (2,4)

Fark A ve B kümelerine, elemanları A kümesine ait olan ancak B kümesine ait olmayan AB kümesi denir.
Örneğin, A = (1,2,3,4), B = (3,4,5) ise AB = (1,2)

simetrik fark A ve B kümelerine, AB ve BA kümelerinin farklarının birleşimi olan A Δ B kümesi, yani A Δ B = (AB) ∪ (BA) denir.
Örneğin, eğer А = (1,2,3,4), B = (3,4,5,6) ise, o zaman А Δ В = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 , 6)

Kümelerdeki işlemlerin özellikleri

Permütasyon özellikleri

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

kombinasyon özelliği

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Sayılabilen ve sayılamayan kümeler

Herhangi iki A ve B kümesini karşılaştırmak için elemanları arasında bir denklik kurulur.

Bu denklik bire bir ise, kümeler eşdeğer veya eşdeğer, A B veya B A olarak adlandırılır.

örnek 1

BC ayağının noktaları kümesi ve ABC üçgeninin AC hipotenüsü eşit güce sahiptir.

teoriler

Küme kavramına iki ana yaklaşım vardır - Toy ve aksiyomatik küme teorisi.

aksiyomatik küme teorisi

Bugün bir küme, ZFC aksiyomlarını (seçilen aksiyom ile Zermelo - Fraenkel aksiyomları) karşılayan bir model olarak tanımlanmaktadır. Bu yaklaşımla, bazı matematik teorilerinde küme olmayan nesne koleksiyonları vardır. Bu tür koleksiyonlara sınıflar (farklı düzenlerden) denir.

Kümenin öğesi

Kümeyi oluşturan nesnelere denir. kümenin elemanları veya setin noktalarına göre. Kümeler çoğunlukla Latin alfabesinin büyük harfleriyle, öğeleriyle - küçük harflerle gösterilir. a, A kümesinin bir elemanıysa, o zaman bir ∈ A yazın (a, A'ya aittir). a, A kümesinin bir elemanı değilse, o zaman a∉A yazın (ve A'ya ait değil).

Bazı tür setler

Sıralı küme, üzerinde bir sıralama ilişkisinin belirtildiği bir kümedir.
Bir küme (özellikle sıralı bir çift). Sadece bir kümeden farklı olarak, parantez içinde yazılır: ( x 1, x 2, x 3, ...) ve öğeler tekrar edilebilir.

Hiyerarşiye göre:

Setler Seti Altküme Süper Set

Sınırlama ile:

İşlemleri ayarla

Edebiyat

Stoll R.R. Setler. mantık. Aksiyomatik teoriler. - M.: Eğitim, 1968 .-- 232 s.

Ayrıca bakınız

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde "Set Element" in ne olduğunu görün:

kümenin elemanı- - [L.G. Sumenko. İngilizce Rusça Bilgi Teknolojileri Sözlüğü. M .: GP TsNIIS, 2003.] bir kümenin öğesi Diğer benzer nesnelerle birlikte bir küme oluşturan herhangi bir nitelikteki bir nesne. Çoğu zaman, terim yerine, bir öğe ... ...

Kümenin öğesi- diğer benzer nesnelerle birlikte bir küme oluşturan herhangi bir nitelikteki bir nesne. Çoğu zaman, bu anlamda eleman terimi yerine "kümenin noktası", "kümenin üyesi" vb. kullanırlar. ... ...

SET, matematikte, belirli nesnelerin bir koleksiyonu. Bu nesnelere küme üyeleri denir. Elemanların sayısı sonsuz veya sonlu, hatta sıfır olabilir (boş bir kümedeki eleman sayısı 0 ile gösterilir). Her biri… … Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük

eleman- İlgili koşullara bağlı olarak yüzey, çizgi, nokta olarak anlaşılabilen genelleştirilmiş bir terim. Notlar 1. Bir eleman bir yüzey (bir yüzeyin parçası, birkaç yüzeyin simetri düzlemi), bir çizgi (bir profil ... Teknik çevirmen kılavuzu

Bir şeyin parçası. Bu kelimenin olası etimolojilerinden biri, L, M, N (el em en) Latin harfleriyle bir dizi ünsüzün adıdır. Eleman (felsefe) Unsur, bayrak, afiş ve standardın zorunlu bir aksesuarıdır. Kümenin Elemanı İlköğretim ... ... Wikipedia

eleman- karmaşık bir bütünün birincil (bu araştırma için model) bileşeni. Bkz. Set Elemanı, Sistem Elemanı ... Ekonomi ve Matematik Sözlüğü

Küme, matematiğin, özellikle küme teorisinin temel nesnelerinden biridir. "Bir küme ile, sezgimizin veya düşüncemizin belirli, tamamen ayırt edilebilir nesnelerinin bir bütün halinde birleşmesini kastediyoruz" (G. Kantor). Tam değil ... ... Wikipedia

eleman- 02.01.14 eleman (karakter işareti veya sembol): Bir barkod sembolünde tek bir vuruş veya boşluk veya bir matris sembolünde tek bir poligonal veya dairesel hücre, bir sembol işareti oluşturan ... ... Normatif ve teknik dokümantasyon terimlerinin sözlük referans kitabı

A; m. [lat. elementum element, orijinal madde] 1. Parçası l.; bileşen. Bütünü öğelere ayırın. Kültürün unsurları nelerdir? E.'nin doğası üretme. oluşturan unsurlar l. // Tipik hareket, bir ... ... ansiklopedik sözlük

Küme kavramı, matematiğin aksiyomatik kavramlarını ifade eder.

Tanım... Küme, tümü için bazı ortak özelliklere veya özelliklere sahip bir küme, grup, öğeler topluluğudur.

Tanım: A, B.

Tanım... İki A ve B kümesi ancak ve ancak aynı elemanlardan oluşuyorsa eşittir. A = B.

a ∈ A (a ∉ A) gösterimi, a'nın A kümesinin bir elemanı olduğu (değil) anlamına gelir.

Tanım... Eleman içermeyen bir kümeye boş denir ve ∅ ile gösterilir.

Genellikle, belirli durumlarda, incelenen tüm kümelerin elemanları, yeterince geniş bir U kümesinden alınır. Evrensel set.

Kümenin kardinalitesi olarak gösterilir |M | ...
Yorum Yap : sonlu kümeler için kardinalite eleman sayısıdır.

Tanım... Eğer |A | = |B | , sonra kümeler denir eşit.

Kümelerdeki işlemleri göstermek için genellikle aşağıdakiler kullanılır: Euler - Venn diyagramları... Diyagramın yapısı, evrensel U kümesini temsil eden büyük bir dikdörtgenin görüntüsünden ve bunun içinde - kümeleri temsil eden dairelerden oluşur.

Kümelerde aşağıdaki işlemler tanımlanmıştır:

Birlik А∪В: = (х / х∈А∨х∈В)

Kavşak А∩В: = (х / х∈А & х∈В)

Fark А \ В: = (х / х∈А & х∈В)

Tamamlayıcı A U \ A: = (x / x U & x ∉ A)

Görev 1.1. Verilenler: a) A, B⊆Z, A = (1; 3; 4; 5; 9), B = (2; 4; 5; 10). b) A, B⊆R, A = [-3; 3), B = (2; 10].

Çözüm.

a) A∩B = (4; 5), A∪B = (1; 2; 3; 4; 5; 9; 10), A \ B = (1; 3; 9), B \ A = (2 ;10), B = Z \ B;

b) A∩B = (2; 3), A∪B = [-3; 10], A \ B = [-3,2], B \ A =, BZ \ B = (-∞, 2] ∪ (10, + ∞).

1) Verilenler: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 5; 7; 9; 11), B = (1; 4; 6; 7).

b) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), B = [-4; 4].

Bul: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

2) Verilenler: a) A, B ⊆ Z, A = (3; 6; 7; 10), B = (2; 3; 10; 12).

b) A, B ⊆ R, A =.

Bul: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

3) Verilenler: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 5; 7; 9; 11), B = (1; 4; 6; 7).

b) A, B ⊆ R, A =.

4) Verilenler: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 4; 6; 7), B = (-3; 3; 7).

b) A, B ⊆ R, A = [-15; 0), B = [-2; 1].

Bul: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, A.

5) Verilenler: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 9), B = (-6; 0; 3; 9).

b) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].

Bul: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.

6) Verilenler: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 6; 9), B = (-6; 0; 3; 7).

b) A, B ⊆ R, A = [-8; 3), B =.

Bul: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.

7) Verilenler: a) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 2; 10), B = (-1; 2; 9; 10).

b) A, B ⊆ R, A = [-10; 9), B = [-5; 15].

Bul: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

8) Verilenler: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 9; 37), B = (-1; 1; 9; 11; 15).

b) A, B ⊆ R, A = [-8; 1), B = [-5; 7].

Bul: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.

9) Verilenler: a) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 9; 17), B = (-1; 1; 9; 10; 25).

b) A, B ⊆ R, A = [-4; 9), B = [-5; 7].

Bul: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

10) Verilenler: a) A, B⊆Z, A = (1; 7; 9; 17), B = (-2; 1; 9; 10; 25).

b) A, B⊆R, A =.

Bul: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, A.

Görev 1.1. Euler-Venn diyagramlarını kullanarak özdeşliği kanıtlayın:

A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).

Çözüm.

Venn diyagramları oluşturalım.

Eşitliğin sol tarafı Şekil a'da gösterilmiştir), sağ taraf - Şekil b'de). Diyagramlardan, bu ilişkinin sol ve sağ taraflarının eşitliği açıktır.

Bağımsız çözüm için görevler

Euler-Venn diyagramlarını kullanarak özdeşlikleri kanıtlayın:

1) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C);

2) Bir ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ C;

3) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);

4) (A \ B) \ C = (A \ B) \ (B \ C);

5) (A \ B) \ C = (A \ B) ∪ (A∩C);

6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

7) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) \ C;

8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

9) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)

10) A∪ (A ∩ B) = A ∪ B

Görev 1.3. Edebiyat dersinde öğretmen, sınıftaki 40 öğrenciden hangisinin A, B, C kitaplarını okuduğunu bulmaya karar verdi. Anketin sonuçları şöyle: A kitabı 25 öğrenci tarafından okundu; B kitabı 22 öğrenci tarafından okundu; C kitabı 22 öğrenci tarafından okundu; A veya B kitapları 33 öğrenci tarafından okundu; A veya C kitapları 32 öğrenci tarafından okundu; B veya C kitapları 31 öğrenci tarafından okundu; tüm kitaplar 10 öğrenci tarafından okunmuştur. Belirleyin: 1) Kaç öğrenci sadece A Kitabını okudu?

2) Kaç öğrenci sadece B Kitabını okuyor?

3) Kaç öğrenci sadece C Kitabını okudu?

4) Kaç öğrenci sadece bir kitap okudu?

5) Kaç öğrenci en az bir kitap okudu?

6) Kaç öğrenci tek bir kitabı okumamıştır?

Çözüm.

Sınıftaki öğrencilerin kümesi U olsun. Sonra

|U | = 40, |A | = 25, |B | = 22, |C | = 22, |A ∪ B | = 33, |A ∪ C | = 32, |B ∪ C | = 31, |A ∩ B ∩ C | = 10

Sorunu açıklamaya çalışalım.

En az bir kitap okumuş olan öğrenci grubunu k 1, k 2, k 3, k 4, k 5, k 6, k 7 olmak üzere yedi alt gruba ayırıyoruz.

k 1 - sadece A kitabını okumuş olan öğrenci grubu;

k 3 - sadece B kitabını okumuş olan öğrenci grubu;

k 7 - sadece C kitabını okumuş öğrenci grubu;

k 2 - A ve B kitaplarını okumuş ve C kitabını okumamış öğrenciler kümesi;

k 4 - A ve C kitaplarını okumuş ve B kitabını okumamış öğrenciler kümesi;

k 6 - B ve C kitaplarını okumuş ve A kitabını okumamış öğrenciler kümesi;

k 5, A, B ve C kitaplarını okuyan öğrenciler kümesidir.

Bu alt kümelerin her birinin kardinalitesini hesaplayalım.

|k2 | = | A ∩ B | - | A ∩ B ∩ C |; |k4 | = | A ∩ C | - | A ∩ B ∩ C |;

|k6 | = |B ∩ C | - | A ∩ B ∩ C |; |k5 | = | A ∩ B ∩ C |.

Sonra |k 1 | = |A | - |k2 | - |k4 | - |k5 |, |k3 | = |B | - |k2 | - |k6 | - | k 5 |, | k 7 | = |C | - |k6 | - |k | - |k5 |.

Bul | A ∩ B |, | A ∩ C |, | B ∩ C |.

|A ∩ B | = | bir | + | B | - |A ∩ B | = 25 + 22 - 33 = 14,

|A ∩ C | = |A | + |C | - |A ∩ C | = 25 + 22 - 32 = 15,

|B ∩ C | = |B | + |C | - |B ∩ C | = 22 + 22 - 31 = 13.

O halde k1 = 25-4-5-10 = 6; k3 = 22-4-3-10 = 5; k7 = 22-5-3-10 = 4;

|A ∪ B ∪ C | = |A ∪ B | + |C | - | (A ∪ B) ∪ C | ...

Şekilden açıkça görülmektedir ki |C | - | (A ∪ B) ∪ C | = |k7 | = 4, öyleyse |A ∪ B ∪ C | = 33 + 4 = 37 - en az bir kitap okuyan öğrenci sayısı.

Sınıfta 40 öğrenci olduğu için 3 öğrenci tek kitap okumamıştır.

Cevap:

6 öğrenci sadece A kitabını okur.
5 öğrenci sadece B Kitabını okur.
4 öğrenci sadece C kitabını okur.
15 öğrenci sadece bir kitap okudu.
37 öğrenci A, B, C'den en az bir kitap okudu.
3 öğrenci tek bir kitap okumamıştır.

Bağımsız çözüm için görevler

1) Hafta boyunca sinemada A, B, C filmleri gösterildi. 40 öğrencinin her biri ya 3 filmin hepsini ya da üçünden birini izledi. Film A 13 okul çocuğu gördüm. Film B 16 okul çocuğu gördüm. Film C 19 okul çocuğu gördüm. Kaç okul çocuğu sadece bir film izledi?

2) Uluslararası konferansa 120 kişi katıldı. Bunlardan 60'ı Rusça, 48'i İngilizce, 32'si Almanca, 21'i Rusça ve İngilizce, 19'u İngilizce ve Almanca, 15'i Rusça ve Almanca, 10'u da her üç dili de konuşmaktadır. Kaç konferans katılımcısı bu dillerden hiçbirini konuşmuyor?

3) 20 kişilik bir okul takımı, her biri üç spor dalından (atletizm, yüzme ve jimnastik) birinde veya daha fazlasında bir spor kategorisine sahip olan spor müsabakalarına katılır. Bunlardan 12'sinin atletizmde, 10'unun jimnastikte ve 5'inin de yüzme dalında olduğu biliniyor. Atletizm ve yüzmede 2 kişi, atletizm ve jimnastikte 4 kişi ve yüzme ve jimnastikte 2 kişi varsa, bu takımdan tüm sporlarda kategorileri olan okul çocuk sayısını belirleyin.

4) 100 öğrenciyle yapılan bir anket, çeşitli yabancı dilleri okuyan öğrenci sayısı hakkında şu sonuçları verdi: İspanyolca - 28; Almanca - 30; Fransızca - 42; İspanyolca ve Almanca - 8; İspanyolca ve Fransızca - 10; Almanca ve Fransızca - 5; her üç dil - 3. Sadece ve sadece Fransızca öğreniyorlarsa kaç öğrenci Almanca öğreniyor? 5) 100 öğrenci üzerinde yapılan bir araştırma, çeşitli yabancı dilleri okuyan öğrenci sayısı hakkında aşağıdaki verileri ortaya çıkarmıştır: sadece Almanca - 18; Almanca, ancak İspanyolca değil - 23; Almanca ve Fransızca - 8; Almanca - 26; Fransızca - 48; Fransızca ve İspanyolca - 8; dil yok - 24. Almanca ve İspanyolca öğrenen kaç öğrenci var?

6) 100 öğrencinin katıldığı ankete ilişkin raporda, farklı dillerde eğitim gören öğrenci sayısının şu şekilde olduğu bildirildi: Her üç dil - 5; Almanca ve İspanyolca - 10; Fransızca ve İspanyolca - 8; Almanca ve Fransızca - 20; İspanyolca - 30; Almanca - 23; Fransızca - 50. Bu raporu sunan müfettiş görevden alındı. Niye ya?

7) Uluslararası konferansa 100 kişi katıldı. Bunlardan 42'si Fransızca, 28'i İngilizce, 30'u Almanca, 10'u Fransızca ve İngilizce, 8'i İngilizce ve Almanca, 5'i Fransızca ve Almanca, 3 kişi ise her üç dili de konuşmaktadır. Kaç konferans katılımcısı bu dillerden hiçbirini konuşmuyor?

8) Üniversitede bilgisayar bilimi okuyan 1. sınıf öğrencileri ek disiplinlere devam edebilirler. Bu yıl 25'i muhasebe okumayı, 27'si işletmeyi ve 12'si turizmi seçti. Ayrıca muhasebe ve işletme dersi alan 20 öğrenci, muhasebe ve turizm alanında okuyan 5 öğrenci ve turizm ve işletme okuyan 3 öğrenci bulunmaktadır. Öğrencilerin hiçbirinin aynı anda 3 ek derse katılmaya cesaret edemediği bilinmektedir. En az 1 ek kursa kaç öğrenci katılmıştır?
9) Adaylar için yapılan Matematik Olimpiyatlarına 40 öğrenci katıldı. Cebirde bir, geometride ve trigonometride bir problem çözmeleri istendi. Cebirdeki problem 20 kişi, geometride - 18, trigonometride - 18 kişi tarafından çözüldü. Cebir ve geometrideki problemler 7 kişi, cebir ve trigonometride 8 kişi, geometri ve trigonometride 9 kişi tarafından çözüldü. Hiçbir sorun 3 kişi tarafından çözülmedi. Kaç öğrenci sadece iki problemi çözmüştür?

10) Sınıfta 40 öğrenci vardır. Bunlardan 19'u Rus dilinde, 17'si matematikte ve 22'si fizikte üçüz sahibidir. 4 öğrencinin sadece bir Rus dilinde, 4 - sadece matematikte ve 11 - sadece fizikte üçüzleri vardır. 5 öğrencinin Rusça, matematik ve fizikte üçlüsü var. 7 kişinin matematik ve fizikte üçlüsü var. Üç dersin ikisinde kaç öğrencinin C'si var?

Bir çok bir bütün olarak kabul edilen nesneler topluluğudur. Bir küme kavramı temel olarak alınır, yani diğer kavramlara indirgenemez. Belirli bir kümeyi oluşturan nesnelere öğeleri denir. eleman arasındaki temel ilişki a ve seti içeren A olarak gösterilir ( a kümenin bir elemanıdır A; veya a ait A, veya A içerir a). Eğer a kümenin üyesi değil A, sonra yazarlar ( a dahil değil A, A içermiyor a). Bir küme, tüm elemanları belirtilerek belirtilebilir ve bu durumda kaşlı ayraçlar kullanılır. Yani ( a, B, C) üç öğeden oluşan bir kümeyi belirtir. Sonsuz kümeler durumunda da benzer bir gösterim kullanılır ve yazılmamış öğelerin yerini üç nokta alır. Böylece, doğal sayılar kümesi (1, 2, 3, ...) ve çift sayılar kümesi (2, 4, 6, ...) ile gösterilir ve ilk durumda üç nokta, tamamen doğal anlamına gelir. sayılar ve ikincisinde - sadece çift.

İki set A ve B arandı eşit aynı unsurlardan oluşuyorlarsa, yani. A ait B ve tersine, her eleman B ait A... sonra yazarlar A = B... Böylece küme, öğeleri tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir ve bu öğelerin yazım sırasına bağlı değildir. Örneğin, üç elemanlı bir küme a, B, C altı tür kayıt sağlar:

{a, B, C} = {a, C, B} = {B, a, C} = {B, C, a} = {C, a, B} = {C, B, a}.

Biçimsel kolaylık nedeniyle, "boş küme" olarak adlandırılan, yani tek bir eleman içermeyen bir küme de tanıtıldı. Bazen 0 sembolü ile gösterilir (sıfır sayısının belirtilmesi ile çakışma, sembolün anlamı her seferinde net olduğu için karışıklığa yol açmaz).

kümenin her elemanı ise A birçoğuna dahildir B, sonra A alt küme denir B, a B süper set denir A... Onlar yazar ( A dahildir B veya A içerdiği B, B içerir A). Açıkçası, eğer ve sonra A = B... Boş bir küme, tanımı gereği herhangi bir kümenin alt kümesi olarak kabul edilir.

kümenin her elemanı ise A dahildir B ama çok B dahil olmayan en az bir öğe içerir A, yani, eğer ve, o zaman A aranan kendi alt kümesi B, a B - kendi süperset A... Bu durumda yazın. Örneğin, gösterim ve aynı anlama gelir, yani küme A boş değil.

Ayrıca öğeyi ayırt etmenin gerekli olduğunu unutmayın. a ve takım ( a) kapsamak a tek öğe olarak. Bu fark, yalnızca öğenin ve kümenin farklı bir rol oynaması (ilişki simetrik değildir) gerçeğiyle değil, aynı zamanda çelişkiden kaçınma ihtiyacıyla da belirlenir. Öyleyse izin ver A = {a, B) iki öğe içerir. kümesini düşünün ( A) kümesini tek eleman olarak içeren A... Sonra A iki öğe içerirken ( A) yalnızca bir elemandır ve bu nedenle bu iki kümenin tanımlanması imkansızdır. Bu nedenle, kaydı kullanmanız ve kaydı kullanmamanız önerilir.