I. Hiperbolik fonksiyonların tanımı, temel özellikleri ve grafikleri. Hiperbolik fonksiyonlar Th matematik fonksiyonu
11 Karmaşık bir değişkenin temel işlevleri
Karmaşık üs - tanımını hatırlayalım. Sonra
Maclaurin serisi açılımı. Bu serinin yakınsaklık yarıçapı + ∞'dir, bu, karmaşık üssün tüm karmaşık düzlemde analitik olduğu ve
(exp z) "= exp z; exp 0 = 1. (2)
Buradaki ilk eşitlik, örneğin, bir kuvvet serisi için terim terim farklılaşma teoreminden gelir.
11.1 Trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar
sinüs karmaşık değişken fonksiyon denir
Karmaşık bir değişkenin kosinüsü bir fonksiyon var
Karmaşık bir değişkenin hiperbolik sinüsüşöyle tanımlanır:
Karmaşık bir değişkenin hiperbolik kosinüsü bir fonksiyondur
Yeni tanıtılan fonksiyonların bazı özelliklerini not edelim.
A. x∈ ℝ ise, o zaman cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ.
B. Trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar arasında aşağıdaki bağlantı vardır:
cos iz = ch z; sin iz = ish z, chi iz = cos z; sh iz = isin z.
B. Temel trigonometrik ve hiperbolik kimlikler:
cos 2 z + sin 2 z = 1; ch 2 z-sh 2 z = 1.
Ana hiperbolik kimliğin kanıtı.
Ana trigonometrik özdeşlik, trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar arasındaki bağlantı dikkate alındığında ana hiperbolik özdeşlikten gelir (bkz. özellik B)
G Toplama formülleri:
Özellikle,
NS. Trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonların türevlerini hesaplamak için, bir kuvvet serilerinin terim terim türevlerine ilişkin teorem uygulanmalıdır. Alırız:
(cos z) "= - sin z; (sin z)" = cos z; (ch z) "= sh z; (sh z)" = ch z.
E. cos z, ch z işlevleri çifttir ve sin z, sh z işlevleri tektir.
G. (Periyodiklik) e z işlevi, 2π i periyoduyla periyodiktir. cos z, sin z fonksiyonları 2π periyodu ile periyodiktir ve ch z, sh z fonksiyonları 2πi periyodu ile periyodiktir. Dahası,
Toplam formülleri uygulayarak elde ederiz
Z. Gerçek ve hayali parçalara ayrıştırma:
Tek değerli bir analitik fonksiyon f (z), bir D alanını bir G alanı üzerine ikili olarak eşlerse, o zaman D, bir schlichtness alanı olarak adlandırılır.
VE. Etki Alanı D k = (x + iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Kanıt. (5) numaralı bağıntıdan, eşleme exp: D k → ℂ'nin injektif olduğu sonucu çıkar. w sıfırdan farklı herhangi bir karmaşık sayı olsun. Daha sonra, e x = |w | ve e iy = w / |w | gerçek değişkenler x ve y ile (y'yi yarım aralıktan seçin)