Formüller. Geometrik şekiller. Dikdörtgen. Formüller Çapraz hesaplayıcı

İçerik:

Köşegen, bir dikdörtgenin karşılıklı iki köşesini birleştiren bir çizgi parçasıdır. Bir dikdörtgenin iki eşit köşegeni vardır. Bir dikdörtgenin kenarları biliniyorsa, köşegen Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilir, çünkü köşegen dikdörtgeni iki dik üçgene böler. Kenarlar belirtilmemişse ancak alan, çevre veya en boy oranı gibi diğer büyüklükler biliniyorsa, dikdörtgenin kenarlarını bulabilir ve ardından köşegeni hesaplamak için Pisagor teoremini kullanabilirsiniz.

Adımlar

1 Yanlarda

1 Pisagor teoremini yazınız. Formül: a 2 + b 2 = c 2
2 Tarafların değerlerini formülde değiştirin. Problemde verilmiştir veya ölçülmesi gerekir. Yan değerler 3 ile değiştirilir
- Örneğimizde:
  4 2 + 3 2 = c2 4
  2 Alana ve çevreye göre
  1. 1 Formül: S = l w (Şekilde S yerine A ismi kullanılmıştır.)
  2. 2 Bu değer S 3'ün yerine geçer w4'ü yalnız bırakmak için formülü yeniden yazın Dikdörtgenin çevresini hesaplamak için formülü yazın. Formül: P = 2 (w + l)
  3. 5 Dikdörtgenin çevresini formülde yerine koyun. Bu değer P 6 ile değiştirilir Denklemin her iki tarafını da 2'ye bölün. Dikdörtgenin kenarlarının toplamını elde edeceksiniz, yani w + l 7 W 8'i hesaplamak için ifadeyi formülde değiştirin Fraksiyondan kurtulun. Bunu yapmak için denklemin her iki tarafını l 9 ile çarpın Denklemi 0'a eşitleyin. Bunu yapmak için birinci dereceden değişken terimini denklemin her iki tarafından çıkarın.
    Örneğimizde:
    12 l = 35 + l 2 10 Denklemin terimlerini sıralayın.İlk terim ikinci dereceden değişken terim, ardından birinci dereceden değişken terim ve ardından serbest terim olacaktır. Aynı zamanda üyelerin önünde beliren (“artı” ve “eksi”) işaretlerini de unutmayın. Denklemin ikinci dereceden bir denklem olarak yazılacağını unutmayın.
    Örneğimizde 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
    Örneğimizde denklem 0 = l 2 − 12 l + 35 12'dir. l 13'ü bul Pisagor teoremini yazınız. Formül: a 2 + b 2 = c 2
    Pisagor teoremini kullanın çünkü bir dikdörtgenin her köşegeni onu iki eşit dik üçgene böler. Ayrıca dikdörtgenin kenarları üçgenin bacaklarıdır ve dikdörtgenin köşegeni üçgenin hipotenüsüdür.
    
    14 Bu değerler 15 ile değiştirilir Uzunluk ve genişliğin karesini alın ve ardından sonuçları ekleyin. Bir sayının karesini aldığınızda o sayının kendisi ile çarpıldığını unutmayın.
    Örneğimizde:
    5 2 + 7 2 = c2 16 Denklemin her iki tarafının karekökünü alın. Karekökü hızlı bir şekilde bulmak için bir hesap makinesi kullanın. Ayrıca çevrimiçi bir hesap makinesi de kullanabilirsiniz. C'yi bulacaksın
    3 Alana ve en boy oranına göre
    
    1 Kenarların oranını karakterize eden bir denklem yazın. l 2'yi izole et Dikdörtgenin alanını hesaplamak için formülü yazın. Formül: S = l w (Şekilde S yerine A ismi kullanılmıştır.)
    Bu yöntem dikdörtgenin çevresi bilindiğinde de uygulanabilir, ancak bu durumda alanı değil çevreyi hesaplamak için formülü kullanmanız gerekir. Bir dikdörtgenin çevresini hesaplamak için formül: P = 2 (w + l)
    
    3 Dikdörtgenin alanını formülde değiştirin. Bu değer S 4'ün yerine geçer Formülde, tarafların ilişkisini karakterize eden bir ifadeyi değiştirin. Dikdörtgen durumunda l 5'i hesaplamak için bir ifade kullanabilirsiniz. İkinci dereceden bir denklem yazın. Bunu yapmak için parantezleri açın ve denklemi sıfıra eşitleyin.
    Örneğimizde:
    35 = w(w+2)6 İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırın. Ayrıntılı talimatlar için okumaya devam edin.
    Örneğimizde denklem 0 = w 2 − 12 w + 35 7'dir. w 8'i bulun Bulunan genişliği (veya uzunluğu) en boy oranını karakterize eden denklemde değiştirin. Bu şekilde dikdörtgenin diğer tarafını bulabilirsiniz.
    Örneğin bir dikdörtgenin genişliğinin 5 cm olduğunu hesaplarsanız ve en boy oranı l = w + 2 9 denklemiyle verilirse Pisagor teoremini yazınız. Formül: a 2 + b 2 = c 2
    Pisagor teoremini kullanın çünkü bir dikdörtgenin her köşegeni onu iki eşit dik üçgene böler. Ayrıca dikdörtgenin kenarları üçgenin bacaklarıdır ve dikdörtgenin köşegeni üçgenin hipotenüsüdür.
    
    10 Uzunluk ve genişlik değerlerini formülde değiştirin. Bu değerler 11 ile değiştirilir Uzunluk ve genişliğin karesini alın ve ardından sonuçları ekleyin. Bir sayının karesini aldığınızda o sayının kendisi ile çarpıldığını unutmayın.
    Örneğimizde:
    5 2 + 7 2 = c2 12 Denklemin her iki tarafının karekökünü alın. Karekökü hızlı bir şekilde bulmak için bir hesap makinesi kullanın. Ayrıca çevrimiçi bir hesap makinesi de kullanabilirsiniz. c'yi (görüntü stili c), yani üçgenin hipotenüsünü ve dolayısıyla dikdörtgenin köşegenini bulacaksınız.
    Örneğimizde:
    74 = c 2 (görüntü stili 74=c^(2))
    74 = c 2 (görüntüleme stili (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
    8 , 6024 = c (görüntü stili 8,6024=c)
    Böylece uzunluğu genişliğinden 2 cm büyük ve alanı 35 cm2 olan bir dikdörtgenin köşegeni yaklaşık 8,6 cm olur.

tüm açıların 90°'ye eşit olduğu ve karşılıklı kenarların paralel ve çiftler halinde eşit olduğu bir paralelkenardır.

Bir dikdörtgenin, dikdörtgenin alanı ve çevresi formüllerinde birçok problemin çözümünde kullanılan inkar edilemez birçok özelliği vardır. İşte buradalar:

Bir dikdörtgenin bilinmeyen bir tarafının veya köşegeninin uzunluğu, Pisagor teoremi kullanılarak veya kullanılarak hesaplanır. Bir dikdörtgenin alanı iki şekilde bulunabilir: kenarlarının çarpımı veya köşegen boyunca dikdörtgenin alanı formülü ile. İlk ve en basit formül şuna benzer:

Bu formülü kullanarak bir dikdörtgenin alanını hesaplamanın bir örneği çok basittir. İki kenarı bilerek, örneğin a = 3 cm, b = 5 cm, dikdörtgenin alanını kolaylıkla hesaplayabiliriz:
Böyle bir dikdörtgende alanın 15 metrekareye eşit olacağını görüyoruz. santimetre.

Köşegenlerden geçen bir dikdörtgenin alanı

Bazen dikdörtgenin alanı formülünü köşegenlerden uygulamanız gerekir. Sadece köşegenlerin uzunluğunu değil aynı zamanda aralarındaki açıyı da bulmayı gerektirir:

Köşegenleri kullanarak bir dikdörtgenin alanını hesaplama örneğine bakalım. Köşegeni d = 6 cm, açısı = 30° olan bir dikdörtgen verilsin. Verileri zaten bilinen formülle değiştiriyoruz:

Yani bir dikdörtgenin alanını köşegenden hesaplama örneği bize, eğer açı verilirse alanı bu şekilde bulmanın oldukça basit olduğunu gösterdi.
Beynimizi biraz esnetmemize yardımcı olacak ilginç bir soruna daha bakalım.

Görev: Bir kare verildi. Alanı 36 metrekaredir. cm Bir kenar uzunluğu 9 cm olan ve alanı yukarıda verilen kare ile aynı olan dikdörtgenin çevresini bulun.
Yani birkaç şartımız var. Anlaşılır olması açısından, bilinen ve bilinmeyen tüm parametreleri görmek için bunları yazalım:
Şeklin kenarları çiftler halinde paralel ve eşittir. Bu nedenle şeklin çevresi, kenar uzunluklarının toplamının iki katına eşittir:
Şeklin iki tarafının çarpımına eşit olan dikdörtgenin alan formülünden b tarafının uzunluğunu buluyoruz.
Buradan:
Bilinen verileri yerine koyarız ve b tarafının uzunluğunu buluruz:
Şeklin çevresini hesaplayın:
Birkaç basit formülü bilerek, alanını bilerek bir dikdörtgenin çevresini bu şekilde hesaplayabilirsiniz.

Dikdörtgen her açısı dik olan bir dörtgendir.

Kanıt

Bu özellik, paralelkenarın 3. özelliğinin hareketi ile açıklanmaktadır (yani, \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Karşılıklı kenarlar eşittir.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Karşılıklı kenarlar paraleldir.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Bitişik kenarlar birbirine diktir.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB

5. Dikdörtgenin köşegenleri eşittir.

AC = BD

Kanıt

Buna göre özellik 1 dikdörtgen bir paralelkenardır, yani AB = CD anlamına gelir.

Dolayısıyla iki ayak üzerinde \triangle ABD = \triangle DCA (AB = CD ve AD - eklem).

ABC ve DCA şekillerinin her ikisi de aynıysa, bu durumda BD ve AC hipotenüsleri de aynıdır.

Yani AC = BD.

Tüm şekillerden (yalnızca paralelkenarlarda!), yalnızca dikdörtgenin köşegenleri eşittir.

Bunu da kanıtlayalım.

ABCD bir paralelkenardır \Rightarrow AB = CD, AC = BD koşula göre. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA zaten üç tarafta.

\angle A = \angle D olduğu ortaya çıktı (paralelkenarın açıları gibi). Ve \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Şu sonuca varıyoruz ki \angle A = \angle B = \angle C = \angle D. Hepsi 90^(\circ) . Toplamda - 360^(\circ) .

Kanıtlanmış!

6. Bir köşegenin karesi, komşu iki kenarının karelerinin toplamına eşittir.

Bu özellik Pisagor teoremi nedeniyle doğrudur.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Köşegen, dikdörtgeni iki özdeş dik üçgene böler.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Köşegenlerin kesişme noktası onları ikiye böler.

AO = BO = CO = DO

9. Köşegenlerin kesişme noktası dikdörtgenin ve çevrel çemberin merkezidir.

10. Bütün açıların toplamı 360 derecedir.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^(\circ)

11. Dikdörtgenin tüm açıları diktir.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^(\circ)

12. Bir dikdörtgenin çevresine çizilen dairenin çapı, dikdörtgenin köşegenine eşittir.

13. Her zaman bir dikdörtgenin etrafındaki daireyi tanımlayabilirsiniz.

Bu özellik, bir dikdörtgenin zıt açılarının toplamının 180^(\circ) olması nedeniyle doğrudur.

\angle ABC = \angle CDA = 180^(\circ),\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^(\circ)

14. Bir dikdörtgen, kenar uzunlukları eşitse (bu bir karedir) yazılı bir daire içerebilir ve yalnızca bir tane olabilir.

Bir dikdörtgenin köşegenini bulma problemi üç farklı şekilde formüle edilebilir. Her birine daha yakından bakalım. Yöntemler bilinen verilere dayanmaktadır; peki bir dikdörtgenin köşegenini nasıl bulursunuz?

İki taraf biliniyorsa

Dikdörtgen a ve b'nin iki kenarının bilinmesi durumunda, köşegeni bulmak için Pisagor teoremini kullanmak gerekir: a 2 + b 2 =c 2, burada a ve b dik üçgenin bacaklarıdır, c dik üçgenin hipotenüsüdür. Bir dikdörtgenin içine bir köşegen çizildiğinde, bu köşegen iki dik üçgene bölünür. Bu dik üçgenin iki kenarını biliyoruz (a ve b). Yani bir dikdörtgenin köşegenini bulmak için aşağıdaki formüle ihtiyaç vardır: c=√(a 2 +b 2), burada c dikdörtgenin köşegeninin uzunluğudur.

Bilinen kenar ve açıya göre, kenar ve köşegen arasında

A dikdörtgeninin bir kenarı ve α dikdörtgeninin köşegeniyle yaptığı açı bilinsin. Öncelikle kosinüs formülünü hatırlayalım: cos α = a/c, burada c dikdörtgenin köşegenidir. Bir dikdörtgenin köşegeni şu formülden nasıl hesaplanır: c = a/cos α.

Bilinen bir kenar boyunca, dikdörtgenin bitişik kenarı ile köşegen arasındaki açı.

Bir dikdörtgenin köşegeni dikdörtgenin kendisini iki dik üçgene böldüğü için sinüs tanımına dönmek mantıklıdır. Sinüs, bu açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranıdır, sin α = b/c. Buradan, aynı zamanda bir dik üçgenin hipotenüsü olan dikdörtgenin köşegenini bulma formülünü türetiyoruz: c = b/sin α.

Artık bu konuda bilgilisiniz. Yarın geometri öğretmeninizi memnun edebilirsiniz!

Tanım.

Dikdörtgen Karşılıklı iki kenarın eşit ve dört açısının da eşit olduğu bir dörtgendir.

Dikdörtgenler birbirinden yalnızca uzun kenarın kısa kenara oranında farklılık gösterir, ancak dört köşenin tümü sağ yani 90 derecedir.

Dikdörtgenin uzun kenarına denir dikdörtgen uzunluğu ve kısa olanı - dikdörtgen genişliği.

Dikdörtgenin kenarları aynı zamanda yükseklikleridir.

Bir dikdörtgenin temel özellikleri

Bir dikdörtgen paralelkenar, kare veya eşkenar dörtgen olabilir.

1. Dikdörtgenin karşıt kenarları aynı uzunluğa sahiptir, yani eşittirler:

AB = CD, BC = AD

2. Dikdörtgenin karşılıklı kenarları paraleldir:

3. Bir dikdörtgenin bitişik kenarları her zaman diktir:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Dikdörtgenin dört köşesi de düzdür:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Dikdörtgenin açılarının toplamı 360 derecedir:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Bir dikdörtgenin köşegenlerinin uzunlukları aynıdır:

7. Bir dikdörtgenin köşegeninin karelerinin toplamı, kenarlarının karelerinin toplamına eşittir:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Bir dikdörtgenin her köşegeni, dikdörtgeni iki özdeş şekle, yani dik üçgenlere böler.

9. Dikdörtgenin köşegenleri kesiştiği noktada kesişir ve ikiye bölünür:

		AO=BO=CO=DO=	D
			2

10. Köşegenlerin kesişme noktasına dikdörtgenin merkezi denir ve aynı zamanda çevrel çemberin de merkezidir

11. Dikdörtgenin köşegeni çevrel çemberin çapıdır

12. Karşıt açıların toplamı 180 derece olduğundan her zaman bir dikdörtgenin etrafındaki daireyi tanımlayabilirsiniz:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Karşıt kenarların toplamları birbirine eşit olmadığından, uzunluğu genişliğine eşit olmayan bir dikdörtgenin içine bir daire yazılamaz (bir daire yalnızca özel bir dikdörtgen durumunda - bir karede yazılabilir) .

Bir dikdörtgenin kenarları

Tanım.

Dikdörtgen uzunluğu kenarlarından daha uzun olanının uzunluğudur. Dikdörtgen genişliği kenarlarının daha kısa olan çiftinin uzunluğudur.

Bir dikdörtgenin kenarlarının uzunluğunu belirlemek için formüller

1. Bir dikdörtgenin köşegeninden ve diğer kenarından geçen kenarının (dikdörtgenin uzunluğu ve genişliği) formülü:

bir = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Bir dikdörtgenin alandan ve diğer kenardan geçen kenarının (dikdörtgenin uzunluğu ve genişliği) formülü:

b = dco'lar	β
	2

Bir dikdörtgenin köşegeni

Tanım.

Çapraz dikdörtgen Bir dikdörtgenin karşılıklı köşelerinin iki köşesini birleştiren herhangi bir doğru parçasına denir.

Bir dikdörtgenin köşegen uzunluğunu belirlemek için formüller

1. Dikdörtgenin iki kenarını kullanan bir dikdörtgenin köşegeninin formülü (Pisagor teoremi yoluyla):

d = √ a 2 + b 2

2. Alanı ve herhangi bir kenarı kullanan bir dikdörtgenin köşegeninin formülü:

4. Çevreleyen dairenin yarıçapına göre bir dikdörtgenin köşegeninin formülü:

d = 2R

5. Çevrel dairenin çapına göre bir dikdörtgenin köşegeninin formülü:

d = Do

6. Köşegene bitişik açının sinüsünü ve bu açının karşısındaki kenarın uzunluğunu kullanan bir dikdörtgenin köşegeninin formülü:

8. Köşegenler ile dikdörtgenin alanı arasındaki dar açının sinüsü boyunca bir dikdörtgenin köşegeninin formülü

d = √2S: günah β

Bir dikdörtgenin çevresi

Tanım.

Bir dikdörtgenin çevresi bir dikdörtgenin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamıdır.

Bir dikdörtgenin çevresinin uzunluğunu belirlemek için formüller

1. Dikdörtgenin iki kenarını kullanan dikdörtgenin çevresi formülü:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. Alanı ve herhangi bir kenarı kullanan dikdörtgenin çevresi için formül:

p=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	A		B

3. Köşegeni ve herhangi bir kenarı kullanan bir dikdörtgenin çevresinin formülü:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Çevrel dairenin yarıçapını ve herhangi bir kenarını kullanan bir dikdörtgenin çevresi için formül:

P = 2(a + √4R 2 - bir 2) = 2(b + √4R 2 - b2)

5. Çevreleyen dairenin çapını ve herhangi bir kenarını kullanan bir dikdörtgenin çevresi için formül:

P = 2(a + √D o 2 - bir 2) = 2(b + √D veya 2 - b2)

Dikdörtgenin alanı

Tanım.

Dikdörtgenin alanı dikdörtgenin kenarlarıyla sınırlı olan, yani dikdörtgenin çevresi içindeki alana denir.

Bir dikdörtgenin alanını belirlemek için formüller

1. İki kenarı kullanan bir dikdörtgenin alanı için formül:

S = a b

2. Çevreyi ve herhangi bir tarafı kullanan bir dikdörtgenin alanı için formül:

5. Çevreleyen dairenin yarıçapını ve herhangi bir tarafı kullanan bir dikdörtgenin alanı için formül:

S = a √4R 2 - bir 2= b √4R 2 - b2

6. Çevrel dairenin çapını ve herhangi bir kenarı kullanan dikdörtgenin alanı için formül:

S = a √D o 2 - bir 2= b √D o 2 - b2

Bir dikdörtgenin etrafını saran daire

Tanım.

Bir dikdörtgenin etrafını saran bir daire merkezi dikdörtgenin köşegenlerinin kesişiminde bulunan bir dikdörtgenin dört köşesinden geçen bir dairedir.