Operacije nad množicami in njihove lastnosti. Kompleti. Operacije na nizih Operacije na nizih

Osnovni pojmi teorije množic

Koncept množice je temeljni pojem v sodobni matematiki. Upoštevali jo bomo izvirno in intuitivno konstruirali teorijo množic. Naj opišemo ta začetni koncept.

Veliko Je zbirka predmetov (predmetov ali konceptov), ki je mišljena kot ena celota. Predmeti, vključeni v to zbirko, se imenujejo elementov kompleti.

Govorite lahko o veliko študentih prvega letnika matematičnega oddelka, o veliko ribah v oceanu itd. Matematiko običajno zanimajo različni matematični predmeti: niz racionalnih števil, niz pravokotnikov itd.

Sklopi bodo označeni z velikimi črkami latinske abecede, njeni elementi pa z majhnimi.

Če je element množice M, potem rečejo "pripada M"In napiši:. Če nek predmet ni element množice, potem pravijo: »ne spada M"In pišite (včasih).

Obstajata dva glavna načina za definiranje nizov: naštevanje njenih elementov in navedb značilna lastnost njenih elementov. Prva od teh metod se uporablja predvsem za končne množice. Pri navajanju elementov obravnavanega niza so njegovi elementi obdani z zavitimi oklepaji. na primer označuje množico, katere elementi so števila 2, 4, 7 in samo oni. Ta metoda ni vedno uporabna, saj na primer množice vseh realnih števil ni mogoče nastaviti na ta način.

Značilna lastnost elementov sklopa M Je taka lastnost, ki ji pripada kateri koli element, ki ima to lastnost M, in kateri koli element, ki nima te lastnosti, ne pripada M... Nabor elementov z lastnostjo je označen na naslednji način:

oz .

Najpogostejši sklopi imajo svoje posebne oznake. V prihodnosti se bomo držali naslednjega zapisa:

N= je množica vseh naravnih števil;

Z= - množica vseh celih števil;

- množica vseh racionalnih števil;

R- množica vseh realnih (realnih) števil, t.j. racionalna števila (neskončno decimalne periodične ulomke) in iracionalna števila (neskončno decimalne neperiodične ulomke);

- množica vseh kompleksnih števil.

Navedimo več posebnih primerov določanja množic z navedbo karakteristične lastnosti.

Primer 1. Množico vseh naravnih deliteljev 48 lahko zapišemo na naslednji način: (zapis se uporablja samo za cela števila in pomeni, da je deljiv s).

Primer 2. Množica vseh pozitivnih racionalnih števil, manjših od 7, je zapisana takole:.

Primer 3. - interval realnih števil s koncema 1 in 5; - segment realnih števil s koncema 2 in 7.

Beseda "mnogo" nakazuje, da vsebuje veliko elementov. Vendar ni vedno tako. V matematiki lahko upoštevamo množice, ki vsebujejo samo en element. Na primer, niz celih korenov enačbe ... Poleg tega je priročno govoriti o nizu, ki ne vsebuje niti enega elementa. Takšen sklop se imenuje prazno in je označena z Ø. Na primer, niz realnih korenin enačbe je prazen.

Opredelitev 1. Nastavi in se imenuje enako(označeno z A = B), če so te množice sestavljene iz istih elementov.

Opredelitev 2.Če vsak element množice pripada množici, potem pokličemo podmnožica kompleti.

Legenda: ("vključeno"); ("Vključuje").

Jasno je, da sta Ø in sama množica podmnožice množice. Vsaka druga podmnožica množice se imenuje njen desni del... Če in, potem pravijo, da " A – ustrezna podmnožica"ali to" In je strogo vključen v"In piši.

Naslednja izjava je očitna: množice in sta enaka, če in samo če in.

Ta izjava temelji na univerzalna metoda za dokazovanje enakosti dveh množic: dokazati, da množice in so enaki, zadostuje, da to pokažemo ,a je podmnožica množice .

To je najpogostejša metoda, čeprav ni edina. Kasneje, ko smo se seznanili z operacijami nad množicami in njihovimi lastnostmi, bomo nakazali še en način dokazovanja enakosti dveh množic - z uporabo transformacij.

Za zaključek ugotavljamo, da se v eni ali drugi matematični teoriji pogosto ukvarjamo s podmnožicami iste množice U ki se imenuje univerzalna v tej teoriji. Na primer, v šolski algebri in matematični analizi je množica univerzalna R realna števila, v geometriji - niz točk v prostoru.

Nastavite operacije in njihove lastnosti

Na nizih lahko izvajate dejanja (operacije), ki so podobna seštevanju, množenju in odštevanju.

Opredelitev 1. Konsolidacija množice in se imenuje množica, označena z, katere vsak element pripada vsaj eni od množic oz.

Sama operacija, zaradi katere dobimo tak niz, se imenuje unija.

Kratek zapis definicije 1:

Opredelitev 2. Prečkanje množice in se imenuje množica, označena z, ki vsebuje vse tiste in samo tiste elemente, od katerih vsak pripada in, in.

Sama operacija, ki povzroči množico, se imenuje presečišče.

Definicija 2 na kratko:

Na primer, če , , potem , .

Komplete lahko upodobimo kot geometrijske oblike, kar vam omogoča vizualno ponazoritev operacij na nizih. To metodo je predlagal Leonard Euler (1707–1783) za analizo logičnega sklepanja, je bila široko uporabljena in je bila nadalje razvita v delih angleškega matematika Johna Venna (1834–1923). Zato se takšne risbe imenujejo Euler-Vennovi diagrami.

Operacije združevanja in preseka množic lahko ponazorimo z Euler – Vennovimi diagrami, kot sledi:

- senčen del; - senčen del.

Določite lahko unijo in presečišče katere koli zbirke množic, kjer je neka množica indeksov.

Opredelitev . Konsolidacija množica množic je množica, sestavljena iz vseh tistih in samo tistih elementov, od katerih vsak pripada vsaj eni od množic.

Opredelitev . Prečkanje množica množic je množica, sestavljena iz vseh tistih in samo tistih elementov, od katerih vsak pripada kateri koli od množic.

V primeru, ko je nabor indeksov končen, npr. , nato pa za označevanje unije in preseka zbirke množic v tem primeru običajno uporabljajo zapis:

in .

Na primer, če , , , potem , .

Koncepta zveze in preseka množic se v šolskem tečaju matematike večkrat srečamo.

Primer 1. Veliko M rešitve sistema neenakosti

je presečišče množic rešitev vsake od neenakosti tega sistema:.

Primer 2. Veliko M sistemske rešitve

je presečišče množic rešitev za vsako od neenakosti tega sistema. Množica rešitev prve enačbe je množica točk premice, t.j. ... Veliko . Niz je sestavljen iz enega elementa - presečišča črt.

Primer 3. Nabor rešitev enačbe

kje , je unija množic rešitev vsake od enačb, t.j.

Opredelitev 3. Razlika kompleti in imenovana množica, označena z in sestavljena iz vseh tistih in samo tistih elementov, ki pripadajo, vendar ne pripadajo .– osenčen del; ... z operacijami združevanja, preseka in dopolnjevanja. Nastala matematična struktura se imenuje algebra množic oz Boolova algebra množic(vključno z irskim matematikom in logikom Georgeom Boolom (1816-1864)). Označimo množico vseh podmnožic poljubne množice in jo pokličemo boolean kompleti.

Spodaj navedene enakosti veljajo za vse podmnožice A, B, C univerzalni komplet U. Zato se imenujejo zakone algebre množic.

Matematična analiza je veja matematike, ki se ukvarja s preučevanjem funkcij na podlagi ideje o neskončno majhni funkciji.

Osnovni koncepti matematične analize so vrednost, niz, funkcija, neskončno mala funkcija, meja, izpeljanka, integral.

Velikost vse, kar je mogoče izmeriti in izraziti s številom, se imenuje.

veliko imenujemo množica nekaterih elementov, ki jih združuje neka skupna lastnost. Elementi niza so lahko številke, figure, predmeti, koncepti itd.

Nabori so označeni z velikimi črkami, elementi pa z večkratniki z malimi črkami. Elementi niza so zaprti v zavitih oklepajih.

Če element x spada v sklop X nato napiši x∈NS (∈ - pripada).
Če je množica A del množice B, napišite A ⊂ B (⊂ - vsebuje).

Nabor je mogoče podati na enega od dveh načinov: s štetjem in z uporabo lastnosti definiranja.

Naslednji nizi so na primer določeni z naštevanjem:

A = (1,2,3,5,7) - niz številk
X = (x 1, x 2, ..., x n) - množica nekaterih elementov x 1, x 2, ..., x n
N = (1,2, ..., n) - množica naravnih števil
Z = (0, ± 1, ± 2, ..., ± n) - niz celih števil

Množica (-∞; + ∞) se imenuje številska črta, in vsako število je točka te premice. Naj bo a poljubna točka na številski premici in δ pozitivno število. Interval (a-δ; a + δ) se imenuje δ-sosedstvo točke a.

Množica X je omejena zgoraj (spodaj), če obstaja število c, tako da za kateri koli x ∈ X velja neenakost x≤с (x≥c). Številka c se v tem primeru imenuje zgornji (spodnji) rob množica X. Imenuje se množica, omejena tako zgoraj kot spodaj omejeno... Imenuje se najmanjša (največja) zgornje (spodnje) meje množice natančen zgornji (spodnji) rob ta komplet.

Osnovni nizi številk

N	(1,2,3, ..., n) Množica vseh
Z	(0, ± 1, ± 2, ± 3, ...) Nabor cela števila. Nabor celih števil vključuje veliko naravnih števil.
Q	Veliko racionalna števila. Poleg celih števil obstajajo tudi ulomki. Ulomek je izraz oblike, kjer str- celo število, q- naravno. Decimalne ulomke lahko zapišemo tudi kot. Na primer: 0,25 = 25/100 = 1/4. Cela števila lahko zapišemo tudi kot. Na primer, kot ulomek z imenovalcem "ena": 2 = 2/1. Tako lahko vsako racionalno število zapišemo kot decimalni ulomek - seveda ali neskončno periodično.
R	Veliko od vseh realne številke. Iracionalna števila so neskončni neperiodični ulomki. Tej vključujejo: Skupaj dve množici (racionalna in iracionalna števila) - tvorita množico realnih (ali realnih) števil.

Če niz ne vsebuje nobenega elementa, se imenuje prazen komplet in je zabeleženo Ø .

Elementi logične simbolike

Oznaka ∀x: | x |<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Quantor

Kvantifikatorji se pogosto uporabljajo pri pisanju matematičnih izrazov.

Kvantifikator je logični simbol, ki kvantitativno označuje naslednje elemente.

∀- kvantifikator splošnosti, se uporablja namesto besed "za vse", "za vse".
∃- eksistencialni kvantifikator, se uporablja namesto besed "obstaja", "je". Uporablja se tudi kombinacija znakov ∃ !, ki se bere, kot da je samo eden.

Nastavite operacije

dva množici A in B sta enaki(A = B), če so sestavljeni iz istih elementov.
Na primer, če je A = (1,2,3,4), B = (3,1,4,2), potem je A = B.

Konsolidacija (vsota) množici A in B imenujemo množica A ∪ B, katere elementi pripadajo vsaj eni od teh množic.
Na primer, če je A = (1,2,4), B = (3,4,5,6), potem je A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

križišče (izdelek) množici A in B imenujemo množica A ∩ B, katere elementi pripadajo tako množici A kot množici B.
Na primer, če je A = (1,2,4), B = (3,4,5,2), potem je A ∩ B = (2,4)

Razlika množici A in B imenujemo množica AB, katere elementi pripadajo množici A, ne pa množici B.
Na primer, če je A = (1,2,3,4), B = (3,4,5), potem je AB = (1,2)

Simetrična razlika množici A in B imenujemo množica A Δ B, ki je unija razlik množic AB in BA, to je A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Na primer, če A = (1,2,3,4), B = (3,4,5,6), potem A Δ В = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5, 6)

Lastnosti operacij nad množicami

Lastnosti permutabilnosti

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Kombinirana lastnost

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Preštevne in neštete množice

Za primerjavo dveh množic A in B se vzpostavi korespondenca med njunima elementoma.

Če je ta korespondenca ena proti ena, se množici imenujejo enakovredni ali enakovredni, A B ali B A.

Primer 1

Množica točk kraka BC in hipotenuze AC trikotnika ABC sta enake moči.

Teorije

Obstajata dva glavna pristopa k konceptu niza - naiven in aksiomatično teorija množic.

Aksiomatska teorija množic

Danes je niz opredeljen kot model, ki izpolnjuje aksiome ZFC (Zermelo - Fraenkel aksiomi z aksiomom izbire). S tem pristopom v nekaterih matematičnih teorijah obstajajo zbirke predmetov, ki niso množice. Takšne zbirke se imenujejo razredi (različnih vrst).

Element kompleta

Predmeti, ki sestavljajo množico, se imenujejo elementov sklopa ali po točkah množice. Sklopi so najpogosteje označeni z velikimi črkami latinske abecede, njeni elementi - z majhnimi. Če je a element množice A, potem zapiši a ∈ A (a pripada A). Če a ni element množice A, napišite a∉A (in ne pripada A).

Nekatere vrste kompletov

Urejena množica je množica, na kateri je določena urejena relacija.
Komplet (natančneje, naročen par). Za razliko od samo nabora je napisan v oklepajih: ( x 1, x 2, x 3, ...), elementi pa se lahko ponavljajo.

Po hierarhiji:

Nabor množic Podmnožica Nadmnožica

Z omejitvijo:

Nastavite operacije

Literatura

Stoll R.R. Kompleti. Logika. Aksiomatske teorije. - M .: Izobraževanje, 1968 .-- 232 str.

Poglej tudi

Fundacija Wikimedia. 2010.

Poglejte, kaj je "Set Element" v drugih slovarjih:

element kompleta- - [L.G. Sumenko. Angleško ruski slovar informacijske tehnologije. M .: GP TsNIIS, 2003.] element množice Predmet katere koli narave, ki skupaj z drugimi podobnimi predmeti tvori množico. Pogosto namesto izraza element v ... ...

Element kompleta- predmet katere koli narave, ki skupaj z drugimi podobnimi predmeti sestavlja množico. Pogosto namesto izraza element v tem pomenu uporabljajo "točka množice", "član množice" itd. ... ...

SET, v matematiki, zbirka določenih predmetov. Ti predmeti se imenujejo člani niza. Število elementov je lahko neskončno ali končno ali celo nič (število elementov v praznem nizu je označeno z 0). Vsak … … Znanstveni in tehnični enciklopedični slovar

element- Posplošen izraz, ki ga glede na ustrezne pogoje lahko razumemo kot površino, črto, točko. Opombe 1. Element je lahko površina (del ploskve, simetrična ravnina več površin), črta (profil ... Priročnik za tehnični prevajalec

Del nečesa. Ena od možnih etimologij te besede je ime številnih soglasnikov v latinskih črkah L, M, N (el em en). Element (filozofija) Element je obvezen dodatek zastave, transparenta in standarda. Element množice Elementary ... ... Wikipedia

Element- primarni (za to raziskavo model) sestavni del kompleksne celote. Glejte Set element, sistemski element ... Ekonomsko-matematični slovar

Množica je eden ključnih predmetov matematike, zlasti teorije množic. »Pod množico mislimo na združitev v eno celoto določenih, popolnoma razločljivih predmetov naše intuicije ali naše misli« (G. Kantor). Ni v celoti ... ... Wikipedia

element- 02.01.14 element (znak ali simbol): ena poteza ali presledek v simbolu črtne kode ali ena sama poligonalna ali krožna celica v matričnem simbolu, ki tvori znak simbola v ... ... Slovar-referenca izrazov normativne in tehnične dokumentacije

A; m. [iz lat. elementum element, izvirna snov] 1. del katerega l .; komponento. Razgradite celoto na elemente. Kateri so elementi kulture? Narava e. proizvodnjo. Sestavni elementi, katerih l. // Tipično gibanje, ena ... ... enciklopedijski slovar

Koncept množice se nanaša na aksiomatske koncepte matematike.

Opredelitev... Nabor je niz, skupina, zbirka elementov, ki imajo za vse skupno lastnost ali lastnost.

Oznaka: A, B.

Opredelitev... Dve množici A in B sta enaki, če in samo če sta sestavljeni iz istih elementov. A = B.

Zapis a ∈ A (a ∉ A) pomeni, da a ni (ni) element množice A.

Opredelitev... Množico, ki ne vsebuje elementov, imenujemo prazen in označen z ∅.

Običajno so v posebnih primerih elementi vseh obravnavanih množic vzeti iz ene, dovolj široke množice U, ki se imenuje univerzalni komplet.

Kardinalnost sklopa je označen kot | M | ...
Komentar : za končne množice je kardinalnost število elementov.

Opredelitev... Če | A | = | B | , potem se množice pokličejo enako.

Za ponazoritev operacij na nizih se pogosto uporabljajo naslednje Euler - Vennovi diagrami... Konstrukcija diagrama je sestavljena iz slike velikega pravokotnika, ki predstavlja univerzalno množico U, in znotraj nje - krogov, ki predstavljajo množice.

Na nizih so definirane naslednje operacije:

Zveza А∪В: = (х / х∈А∨х∈В)

Presečišče А∩В: = (х / х∈А & х∈В)

Razlika А \ В: = (х / х∈А & х∈В)

Komplement A U \ A: = (x / x U & x ∉ A)

Naloga 1.1. Dano: a) A, B⊆Z, A = (1; 3; 4; 5; 9), B = (2; 4; 5; 10). b) A, B⊆R, A = [-3; 3), B = (2; 10].

Rešitev.

a) A∩B = (4; 5), A∪B = (1; 2; 3; 4; 5; 9; 10), A \ B = (1; 3; 9), B \ A = (2 ; 10), B = Z \ B;

b) A∩B = (2; 3), A∪B = [-3; 10], A \ B = [-3,2], B \ A =, BZ \ B = (-∞, 2] ∪ (10, + ∞).

1) Dano: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 5; 7; 9; 11), B = (1; 4; 6; 7).

b) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), B = [-4; 4].

Poiščite: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

2) Dano: a) A, B ⊆ Z, A = (3; 6; 7; 10), B = (2; 3; 10; 12).

b) A, B ⊆ R, A =.

Poiščite: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

3) Dano: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 5; 7; 9; 11), B = (1; 4; 6; 7).

b) A, B ⊆ R, A =.

4) Dano: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 4; 6; 7), B = (-3; 3; 7).

b) A, B ⊆ R, A = [-15; 0), B = [-2; 1].

Poiščite: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, A.

5) Glede na: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 9), B = (-6; 0; 3; 9).

b) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].

Poiščite: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.

6) Glede na: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 6; 9), B = (-6; 0; 3; 7).

b) A, B ⊆ R, A = [-8; 3), B =.

Poiščite: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.

7) Glede na: a) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 2; 10), B = (-1; 2; 9; 10).

b) A, B ⊆ R, A = [-10; 9), B = [-5; 15].

Poiščite: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

8) Glede na: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 9; 37), B = (-1; 1; 9; 11; 15).

b) A, B ⊆ R, A = [-8; 1), B = [-5; 7].

Poiščite: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.

9) Glede na: a) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 9; 17), B = (-1; 1; 9; 10; 25).

b) A, B ⊆ R, A = [-4; 9), B = [-5; 7].

Poiščite: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

10) Glede na: a) A, B⊆Z, A = (1; 7; 9; 17), B = (-2; 1; 9; 10; 25).

b) A, B⊆R, A =.

Poiščite: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, A.

Naloga 1.1. Z Euler-Vennovimi diagrami dokažite identiteto:

A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).

Rešitev.

Sestavimo Vennove diagrame.

Leva stran enakosti je prikazana na sliki a), desna - na sliki b). Iz diagramov je razvidna enakost leve in desne strani te relacije.

Naloge za samostojno reševanje

Z Euler-Vennovimi diagrami dokažite identitete:

1) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C);

2) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ C;

3) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);

4) (A \ B) \ C = (A \ B) \ (B \ C);

5) (A \ B) \ C = (A \ B) ∪ (A∩C);

6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

7) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) \ C;

8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

9) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)

10) A∪ (A ∩ B) = A ∪ B

Naloga 1.3. Pri pouku književnosti se je učitelj odločil ugotoviti, kdo od 40 učencev v razredu je prebral knjige A, B, C. Rezultati ankete so bili naslednji: knjigo A je prebralo 25 učencev; Knjigo B je prebralo 22 učencev; Knjigo C je prebralo 22 učencev; knjigi A ali B je prebralo 33 dijakov; knjigi A ali C je prebralo 32 dijakov; knjigi B ali C je prebralo 31 učencev; vse knjige je prebralo 10 učencev. Ugotovite: 1) Koliko učencev je prebralo samo knjigo A?

2) Koliko študentov bere samo knjigo B?

3) Koliko študentov je prebralo samo knjigo C?

4) Koliko učencev je prebralo samo eno knjigo?

5) Koliko učencev je prebralo vsaj eno knjigo?

6) Koliko učencev ni prebralo niti ene knjige?

Rešitev.

Naj je U množica učencev v razredu. Potem

| U | = 40, | A | = 25, | B | = 22, | C | = 22, | A ∪ B | = 33, | A ∪ C | = 32, | B ∪ C | = 31, | A ∩ B ∩ C | = 10

Poskusimo ponazoriti problem.

Množico učencev, ki so prebrali vsaj eno knjigo, razdelimo na sedem podmnožic k 1, k 2, k 3, k 4, k 5, k 6, k 7, kjer

k 1 - množica študentov, ki so prebrali samo knjigo A;

k 3 - množica učencev, ki so prebrali samo knjigo B;

k 7 - nabor učencev, ki so prebrali samo knjigo C;

k 2 - množica učencev, ki so prebrali knjigi A in B in niso prebrali knjige C;

k 4 - množica učencev, ki so prebrali knjigi A in C in niso prebrali knjige B;

k 6 - množica učencev, ki so prebrali knjigi B in C in niso prebrali knjige A;

k 5 je množica učencev, ki so prebrali knjige A, B in C.

Izračunajmo kardinalnost vsake od teh podmnožic.

| k 2 | = | A ∩ B | - | A ∩ B ∩ C |; | k 4 | = | A ∩ C | - | A ∩ B ∩ C |;

| k 6 | = | B ∩ C | - | A ∩ B ∩ C |; | k 5 | = | A ∩ B ∩ C |.

Potem | k 1 | = | A | - | k 2 | - | k 4 | - | k 5 |, | k 3 | = | B | - | k 2 | - | k 6 | - | k 5 |, | k 7 | = | C | - | k 6 | - | k | - | k 5 |.

Najdi | A ∩ B |, | A ∩ C |, | B ∩ C |.

| A ∩ B | = | A | + | B | - | A ∩ B | = 25 + 22 - 33 = 14,

| A ∩ C | = | A | + | C | - | A ∩ C | = 25 + 22 - 32 = 15,

| B ∩ C | = | B | + | C | - | B ∩ C | = 22 + 22 - 31 = 13.

Potem je k 1 = 25-4-5-10 = 6; k 3 = 22-4-3-10 = 5; k 7 = 22-5-3-10 = 4;

| A ∪ B ∪ C | = | A ∪ B | + | C | - | (A ∪ B) ∪ C | ...

Iz slike je razvidno, da | C | - | (A ∪ B) ∪ C | = | k 7 | = 4, potem | A ∪ B ∪ C | = 33 + 4 = 37 - število učencev, ki so prebrali vsaj eno knjigo.

Ker je v razredu 40 učencev, 3 učenci niso prebrali niti ene knjige.

odgovor:

6 študentov je prebralo samo knjigo A.
5 študentov bere samo knjigo B.
4 učenci so prebrali samo knjigo C.
15 učencev je prebralo samo eno knjigo.
37 študentov je prebralo vsaj eno knjigo iz A, B, C.
3 učenci niso prebrali niti ene knjige.

Naloge za samostojno reševanje

1) Med tednom so bili v kinu predvajani filmi A, B, C. Vsak od 40 študentov si je ogledal vse 3 filme ali enega od treh. film A videl 13 šolarjev. film B videl 16 šolarjev. film C videl 19 šolarjev. Koliko šolarjev si je ogledalo samo en film?

2) Mednarodne konference se je udeležilo 120 ljudi. Od tega jih 60 govori rusko, 48 - angleško, 32 - nemško, 21 - rusko in angleško, 19 - angleško in nemško, 15 - rusko in nemško, 10 ljudi pa govori vse tri jezike. Koliko udeležencev konference ne govori nobenega od teh jezikov?

3) Na športnih tekmovanjih sodeluje šolska ekipa 20 ljudi, od katerih ima vsaka športno kategorijo v enem ali več od treh športov: atletika, plavanje in gimnastika. Znano je, da jih ima 12 kategorij v atletiki, 10 v gimnastiki in 5 v plavanju. Določite število šolarjev iz te ekipe, ki imajo kategorije v vseh športih, če imata 2 osebi kategorije v atletiki in plavanju, 4 osebe v atletiki in gimnastiki ter 2 osebi v plavanju in gimnastiki.

4) Anketa med 100 študenti je dala naslednje rezultate o številu študentov, ki študirajo različne tuje jezike: španščina - 28; nemški - 30; Francoski - 42; španščina in nemščina - 8; španščina in francoščina - 10; nemški in francoski - 5; vsi trije jeziki - 3. Koliko učencev se uči nemško, če in samo če se učijo francoščine? 5) Anketa med 100 študenti je pokazala naslednje podatke o številu študentov, ki študirajo različne tuje jezike: samo nemščino - 18; nemški, ne pa španski - 23; nemški in francoski - 8; nemški - 26; francoski - 48; francoščina in španščina - 8; brez jezika - 24. Koliko študentov študira nemščino in španščino?

6) V poročilu o anketi 100 študentov je bilo navedeno, da je število študentov, ki študirajo različne jezike, naslednje: vsi trije jeziki - 5; nemški in španski - 10; francoščina in španščina - 8; nemški in francoski - 20; Španščina - 30; nemški - 23; Francozi - 50. Inšpektor, ki je predložil to poročilo, je bil razrešen. Zakaj?

7) Mednarodne konference se je udeležilo 100 ljudi. Od tega jih 42 govori francosko, 28 - angleško, 30 - nemško, 10 - francosko in angleško, 8 - angleško in nemško, 5 - francosko in nemško, 3 osebe pa govorijo vse tri jezike. Koliko udeležencev konference ne govori nobenega od teh jezikov?

8) Študenti 1. letnika, ki študirajo računalništvo na univerzi, lahko obiskujejo dodatne discipline. Letos se jih je 25 odločilo za študij računovodstva, 27 za gospodarstvo, 12 pa za turizem. Poleg tega je 20 študentov obiskovalo smer računovodstvo in poslovanje, 5 jih je študiralo računovodstvo in turizem, 3 pa turizem in gospodarstvo. Znano je, da si nihče od študentov ni upal obiskati 3 dodatnih tečajev hkrati. Koliko študentov je obiskovalo vsaj 1 dodatni tečaj?
9) Matematične olimpijade za prijavitelje se je udeležilo 40 dijakov. Prosili so jih, naj rešijo en problem iz algebre, enega iz geometrije in enega iz trigonometrije. Problem v algebri je reševalo 20 ljudi, v geometriji - 18, v trigonometriji - 18 ljudi. Naloge iz algebre in geometrije je reševalo 7 oseb, iz algebre in trigonometrije - 8 oseb, iz geometrije in trigonometrije - 9 oseb. Nobene težave niso rešile 3 osebe. Koliko učencev je rešilo samo dve nalogi?

10) V razredu je 40 učencev. Od tega ima 19 ljudi trojčke v ruskem jeziku, 17 oseb pri matematiki in 22 oseb v fiziki. 4 učenci imajo trojčke samo v enem ruskem jeziku, 4 - samo pri matematiki in 11 - samo pri fiziki. 5 učencev ima trojke iz ruščine, matematike in fizike. 7 ljudi ima trojke iz matematike in fizike. Koliko študentov ima Cs pri dveh od treh predmetov?

Veliko je zbirka predmetov, ki se obravnavajo kot ena celota. Koncept množice jemljemo kot osnovni, torej ni zvodljiv na druge koncepte. Predmeti, ki sestavljajo dano množico, se imenujejo njeni elementi. Osnovno razmerje med elementoma a in vsebuje komplet A označeno kot ( a je element množice A; oz a pripada A, oz A vsebuje a). Če a ni član nabora A, potem napišejo ( a ni vključeno v A, A ne vsebuje a). Nabor lahko podate tako, da navedete vse njegove elemente, v tem primeru pa se uporabljajo kodraste oklepaje. Torej ( a, b, c) označuje množico treh elementov. Podoben zapis se uporablja v primeru neskončnih množic, nenapisani elementi pa so zamenjani z elipso. Torej, množica naravnih števil je označena z (1, 2, 3, ...), in množica sodih števil (2, 4, 6, ...), elipsa v prvem primeru pa pomeni vse naravne številke, v drugem pa samo sodo.

Dva kompleta A in B se imenujejo enakoče so sestavljeni iz istih elementov, t.j. A pripada B in, nasprotno, vsak element B pripada A... Potem pišejo A = B... Tako je množica enolično določena s svojimi elementi in ni odvisna od vrstnega reda pisanja teh elementov. Na primer niz treh elementov a, b, c omogoča šest vrst snemanja:

{a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.

Zaradi formalne udobnosti se uvaja tudi tako imenovani "prazen niz", in sicer niz, ki ne vsebuje niti enega elementa. Včasih je označen s simbolom 0 (sovpadanje z oznako številke nič ne povzroča zmede, saj je pomen simbola vsakič jasen).

Če vsak element množice A je vključen v mnoge B, potem A imenujemo podmnožica B, a B imenujemo superset A... Oni pišejo ( A je vključen v B oz A vsebovan v B, B vsebuje A). Očitno, če in, potem A = B... Prazna množica se po definiciji šteje za podmnožico katere koli množice.

Če vsak element množice A je vključen v B ampak veliko B vsebuje vsaj en element, ki ni vključen v A, torej če in, potem A poklical lastno podmnožico B, a B - lasten superset A... V tem primeru pišite. Na primer, zapis in pomenita isto stvar, in sicer to množico A ni prazna.

Upoštevajte tudi, da je treba razlikovati med elementoma a in komplet ( a) ki vsebuje a kot edini predmet. To razliko ne narekuje le dejstvo, da imata element in niz različno vlogo (razmerje ni simetrično), temveč tudi potreba po izogibanju protislovju. Torej naj A = {a, b) vsebuje dva elementa. Razmislite o nizu ( A), ki kot edini element vsebuje množico A... Potem A vsebuje dva elementa, medtem ko ( A) je le en element, zato je identifikacija teh dveh nizov nemogoča. Zato je priporočljivo, da uporabite posnetek in ne uporabite posnetka.