Osnovni pojmi geometrije Lobačevskega. nekaj. V kateri geometriji se sekajo vzporedne premice? Črte Lobačevskega se križajo

Letalo Lobačevskega

Geometrija Lobačevskega (hiperbolična geometrija) je ena od neevklidskih geometrij, geometrijska teorija, ki temelji na istih osnovnih predpostavkah kot običajna evklidska geometrija, z izjemo vzporednega aksioma, ki ga nadomesti vzporedni aksiom Lobačevskega.

Evklidski vzporedni aksiom pravi:

skozi točko, ki ne leži na dani ravni črti, obstaja samo ena premica, ki leži z dano premo v eni ravnini in je ne seka.

V geometriji Lobačevskega je namesto tega sprejet naslednji aksiom:

skozi točko, ki ne leži na dani ravni črti, sta vsaj dve ravni črti, ki ležita z dano premo v isti ravnini in je ne sekata.

Geometrija Lobačevskega ima široko uporabo tako v matematiki kot fiziki. Njen zgodovinski pomen je v tem, da je Lobačevski z njegovo izgradnjo pokazal možnost geometrije, drugačne od evklidske, ki je zaznamovala novo dobo v razvoju geometrije in matematike nasploh.

Zgodba

Poskusi dokazovanja petega postulata

Izhodišče geometrije Lobačevskega je bil Evklidov V postulat – aksiom, ki je enakovreden vzporednemu aksiomu. Uvrščen je bil na seznam postulatov v Evklidovih elementih). Relativna kompleksnost in neintuitivnost njegove formulacije je povzročila občutek njegove drugotnosti in je povzročila poskuse, da bi jo izpeljali iz preostalih Evklidovih postulatov.

Med tistimi, ki so poskušali dokazati, so bili naslednji znanstveniki:

  • starogrški matematiki Ptolemej (II. stoletje), Prokl (V. stoletje) (na podlagi predpostavke, da je razdalja med dvema vzporednima matematikama končna),
  • Ibn al-Haytham iz Iraka (pozno - zgodnje stoletje) (na podlagi predpostavke, da konec premične pravokotne na ravno črto opisuje ravno črto),
  • Iranska matematika Omar Khayyam (2. polovica - zgodnje 12. stoletje) in Nasir ad-Din at-Tusi (13. stoletje) (na podlagi predpostavke, da dve konvergentni ravni črti ne moreta postati divergentni brez preseka, ko se nadaljujeta),
  • nemški matematik Clavius ​​(),
  • italijanski matematiki
    • Cataldi (prvič je leta 1603 objavil delo, v celoti posvečeno vprašanju vzporednice),
  • Angleški matematik Wallis (, objavljeno v) (na podlagi predpostavke, da za vsako figuro obstaja podobna, vendar ne enaka številka),
  • Francoski matematik Legendre () (na podlagi predpostavke, da je skozi vsako točko znotraj ostrega kota mogoče potegniti premico, ki seka obe strani kota; imel je tudi druge poskuse dokazati).

V teh poskusih dokazovanja petega postulata so matematiki uvedli novo trditev, ki se jim je zdela bolj očitna.

Izvedeni so bili poskusi protislovne uporabe dokaza:

  • Italijanski matematik Saccheri () (ko je oblikoval izjavo, ki je v nasprotju s postulatom, je izpeljal številne posledice in, ker je nekatere od njih napačno prepoznal kot protislovne, je štel, da je postulat dokazan),
  • Nemški matematik Lambert (približno, objavljeno v) (po opravljeni raziskavi je priznal, da v sistemu, ki ga je zgradil, ni našel protislovij).

Končno se je začelo pojavljati razumevanje, da je mogoče zgraditi teorijo, ki temelji na nasprotnem postulatu:

  • Nemška matematika F. Schweickart () in Taurinus () (vendar se nista zavedala, da bi bila takšna teorija logično enako koherentna).

Ustvarjanje neevklidske geometrije

Lobačevski je v svojem delu "O načelih geometrije" (), svojem prvem objavljenem delu o neevklidski geometriji, jasno navedel, da postulata V ni mogoče dokazati na podlagi drugih predpostavk evklidske geometrije in da je predpostavka postulata v nasprotju z evklidsko, omogoča, da zgradimo geometrijo na enak način smiselno, kot je evklidska, in brez protislovij.

Hkrati in neodvisno je do podobnih zaključkov prišel Janos Bolyai, še prej pa je do takšnih zaključkov prišel Karl Friedrich Gauss. Vendar Boyaijevi spisi niso pritegnili pozornosti in je temo kmalu opustil, Gauss pa se je na splošno vzdržal objavljanja, o njegovih pogledih pa je mogoče soditi le po nekaj pismih in dnevniških zapisih. Na primer, v pismu iz leta 1846 astronomu G. H. Schumacherju Gauss govori o delu Lobačevskega takole:

To delo vsebuje temelje geometrije, ki bi se morala zgoditi in bi poleg tega tvorila strogo dosledno celoto, če evklidska geometrija ne bi bila resnična ... Lobačevski jo imenuje "imaginarna geometrija"; Veste, da že 54 let (od leta 1792) delim enake poglede z določenim njihovim razvojem, ki ga tukaj ne želim omenjati; Tako v delu Lobačevskega zase nisem našel nič praktično novega. Toda pri razvoju teme avtor ni šel po poti, ki sem jo šel jaz sam; Lobačevski ga izvaja mojstrsko v resnično geometrijskem duhu. Menim, da sem dolžan, da vas opozorim na to skladbo, ki vam bo verjetno prinesla popolnoma izjemen užitek.

Posledično je Lobačevski deloval kot prvi najsvetlejši in najbolj dosleden propagandist te teorije.

Čeprav se je geometrija Lobačevskega razvila kot spekulativna teorija in jo je sam Lobačevski poimenoval "imaginarna geometrija", je bil Lobačevski tisti, ki je ni obravnaval kot igro uma, temveč kot možno teorijo prostorskih odnosov. Dokaz o njeni doslednosti pa je bil podan pozneje, ko so bile nakazane njene interpretacije in je bilo s tem vprašanje njenega resničnega pomena, logične doslednosti povsem rešeno.

Uveljavitev geometrije Lobačevskega

kot je še težji.

Poincaréjev model

Vsebina geometrije Lobačevskega

Snop vzporednih črt v geometriji Lobačevskega

Lobačevski je zgradil svojo geometrijo, izhajajoč iz osnovnih geometrijskih konceptov in svojega aksioma, ter dokazoval izreke z geometrijsko metodo, podobno kot je to narejeno v Evklidovi geometriji. Teorija vzporednih črt je služila kot osnova, saj se tu začne razlika med geometrijo Lobačevskega in geometrijo Evklida. Vsi izreki, ki niso odvisni od vzporednega aksioma, so skupni obema geometrijama in tvorijo tako imenovano absolutno geometrijo, kamor sodijo na primer izreki o enakosti trikotnikov. Po teoriji vzporednic so bili zgrajeni tudi drugi odseki, vključno s trigonometrijo ter začetki analitične in diferencialne geometrije.

Naj navedemo (v sodobnih zapisih) več dejstev o geometriji Lobačevskega, ki jo razlikujejo od Evklidove geometrije in jih je ugotovil sam Lobačevski.

Skozi točko P ne leži na dani črti R(glej sliko), obstaja neskončno veliko ravnih črt, ki se ne sekajo R in so z njim v isti ravnini; med njimi sta dva skrajna x, y, ki se imenujejo vzporedna črta R v smislu Lobačevskega. V modelih Klein (Poincaré) so upodobljeni s akordi (krožnimi loki), ki imajo tetivo (lok) R skupni konec (ki je po definiciji modela izključen, tako da te premice nimajo skupnih točk).

Kot med pravokotnico PB od P na R in vsak od vzporednih (imenovanih kota vzporednosti), ko je točka odstranjena P od ravne črte se zmanjša z 90 ° na 0 ° (v Poincaréjevem modelu koti v običajnem smislu sovpadajo s koti v smislu Lobačevskega, zato je to dejstvo mogoče videti neposredno na njem). Vzporedno x po eni strani (a y z nasprotnim) se približuje asimptotično a, po drugi strani pa se od njega neskončno odmika (v modelih je razdalje težko določiti, zato tega dejstva ni neposredno vidno).

Za točko, ki se nahaja od dane premice na razdalji PB = a(glej sliko), je Lobačevski dal formulo za kot vzporednosti P (a) :


tukaj q- neka konstanta, povezana z ukrivljenostjo prostora Lobačevskega. Lahko služi kot absolutna dolžinska enota na enak način kot v sferični geometriji poseben položaj zaseda polmer krogle.

Če imata premici skupno pravokotnico, se od nje neskončno razhajata v obe smeri. Na katero koli od njih lahko obnovite navpičnice, ki ne dosežejo druge ravne črte.

V geometriji Lobačevskega ni podobnih, ampak neenakih trikotnikov; trikotniki so enaki, če so njihovi koti enaki.

Vsota kotov katerega koli trikotnika je manjša od π in je lahko poljubno blizu nič. To je mogoče videti neposredno v modelu Poincaré. Razlika δ = π - (α + β + γ), kjer so α, β, γ koti trikotnika, je sorazmerna z njegovo površino:

Formula kaže, da obstaja največja površina trikotnika, in to je končno število: π q 2 .

Črta enakih razdalj od premice ni ravna črta, ampak posebna krivulja, imenovana enako oddaljena črta, oz. hipercikel.

Meja krogov neskončno naraščajočega polmera ni ravna črta, ampak posebna krivulja, imenovana omejiti obseg ali horocikel.

Meja krogel neskončno naraščajočega polmera ni ravnina, temveč posebna površina - mejna krogla ali horosfera; izjemno je, da se na njem odvija evklidska geometrija. To je služilo kot osnova za izpeljavo trigonometrijskih formul Lobačevskega.

Obseg ni sorazmeren s polmerom, ampak raste hitreje. Zlasti v geometriji Lobačevskega števila π ni mogoče opredeliti kot razmerje med obodom kroga in njegovim premerom.

Manjša kot je površina v prostoru ali na ravnini Lobačevskega, manj se geometrijski odnosi na tem področju razlikujejo od razmerij v evklidski geometriji. Lahko rečemo, da se evklidska geometrija odvija v neskončno majhnem območju. Na primer, manjši kot je trikotnik, manj se vsota njegovih kotov razlikuje od π; manjši kot je krog, manj se razmerje med njegovo dolžino in polmerom razlikuje od 2π itd. Zmanjšanje površine je formalno enakovredno povečanju dolžinske enote, torej z neomejenim povečanjem enote dolžine, formule geometrije Lobačevskega se spremenijo v formule evklidske geometrije. Evklidska geometrija je v tem smislu "omejevalni" primer geometrije Lobačevskega.

Aplikacije

  • Lobačevski je svojo geometrijo uporabil za izračun določenih integralov.
  • V teoriji funkcij kompleksne spremenljivke je geometrija Lobačevskega pomagala zgraditi teorijo avtomorfnih funkcij. Povezava z geometrijo Lobačevskega je bila tu izhodišče raziskave Poincaréja, ki je zapisal, da je "neevklidska geometrija ključ do rešitve celotnega problema."
  • Geometrija Lobačevskega se uporablja tudi v teoriji števil, v svojih geometrijskih metodah, združenih pod imenom "geometrija števil".
  • Vzpostavljena je bila tesna povezava med geometrijo Lobačevskega in kinematiko posebne (posebne) teorije relativnosti. Ta povezava temelji na dejstvu, da je enakost, ki izraža zakon širjenja svetlobe
ko je deljeno z t 2, torej za svetlobno hitrost, daje - enačba krogle v prostoru s koordinatami v x , v y , v z- komponente hitrosti vzdolž osi X, pri, z(v "prostoru hitrosti"). Lorentzove transformacije ohranjajo to kroglo in, ker so linearne, pretvorijo ravne črte hitrostnega prostora v ravne črte. Zato po Kleinovem modelu v prostoru hitrosti znotraj krogle polmera Z, torej pri hitrostih, manjših od svetlobne, se izvaja geometrija Lobačevskega.
  • Geometrija Lobačevskega je našla izjemno uporabo v splošni teoriji relativnosti. Če menimo, da je porazdelitev mase snovi v vesolju enotna (ta približek je dovoljen na kozmični lestvici), se izkaže, da ima prostor pod določenimi pogoji geometrijo Lobačevskega. Tako je bila domneva Lobačevskega o njegovi geometriji kot možni teoriji realnega prostora upravičena.
  • Z uporabo Kleinovega modela je podan zelo preprost in kratek dokaz

LV 1. (Aksiom paralelizma Lobačevskega). V kateri koli ravnini obstajata premica a 0 in točka A 0, ki ne pripada tej premici, tako da skozi to točko potekata vsaj dve ravni črti, ki ne sekata 0.

Množico točk, premic in ravnin, ki izpolnjujejo aksiome pripadnosti, reda, kongruence, kontinuitete in Lobačevskega aksioma vzporednosti, bomo imenovali tridimenzionalni prostor Lobačevskega in označili z A 3. Večino geometrijskih lastnosti figur bomo obravnavali na ravnini prostora Л 3, t.j. na letalu Lobačevskega. Bodimo pozorni na dejstvo, da ima formalna logična negacija aksioma V 1, aksioma vzporednosti evklidske geometrije, točno takšno formulacijo, kot smo jo dali kot aksiom LV 1. Na ravnini obstajata vsaj ena točka in ena ravna črta, za katere ne velja izjava aksioma vzporednosti evklidske geometrije. Dokažimo izrek, iz katerega izhaja, da trditev aksioma Lobačevskega vzporednosti velja za katero koli točko in katero koli premo ravnino Lobačevskega.

Izrek 13.1.Naj bo a poljubna ravna črta in A točka, ki ne leži na tej ravni črti. Potem sta v ravnini, ki jo definirata točka A in premica a, vsaj dve premici, ki potekata skozi A in ne sekata premice a.

Dokaz. Dokaz izvedemo protislovno z uporabo izreka 11.1 (glej § 11). Recimo, da v prostoru Lobačevskega obstajata točka A in ravna črta a, tako da je v ravnini, ki jo definirata ta točka in premica, skozi točko A ena sama premica, ki ne seka a. Spustimo točko A navpičnico AB na premico a in v točki A dvignemo navpičnico h na premico AB (slika 50). Kot izhaja iz izreka 4.2 (glej § 4), se premici h in a ne sekata. Premica h je po predpostavki edina premica, ki poteka skozi A in ne seka a. Izberimo poljubno točko C na ravni črti a. Od žarka AC v polravnini z mejo AB, ki ne vsebuje točke B, odstavimo kot CAM enak ACB. Potem, kot sledi iz istega izreka 4.2, premica AM ne seka a. Iz naše predpostavke sledi, da sovpada s h. Zato točka M pripada premici h. Trikotnik ABC - pravokoten,. Izračunajmo vsoto kotov trikotnika ABC:. Iz teorema 11.1 sledi, da je pogoj aksioma vzporednosti evklidske geometrije izpolnjen. Zato v obravnavani ravnini ne moreta biti točk A 0 in premice a 0, tako da skozi to točko potekata vsaj dve ravni črti, ki ne sekata 0. Prišli smo do protislovja s pogojem vzporednega aksioma Lobačevskega. Izrek je dokazan.

Opozoriti je treba, da bomo v nadaljevanju uporabili trditev izreka 13.1, ki dejansko nadomesti trditev Lobačevskega aksioma paralelizma. Mimogrede, v mnogih učbenikih je ta izjava sprejeta kot aksiom vzporednosti geometrije Lobačevskega.

Iz izreka 13.1 je enostavno dobiti naslednjo posledico.

Posledica 13.2. V ravnini Lobačevskega je skozi točko, ki ne leži na dani ravni črti, neskončno veliko ravnih črt, ki dane ne sekajo.

Dejansko naj je a dana ravna črta in A je točka, ki ji ne pripada, h 1 in h 2 sta premici, ki potekata skozi A in ne sekata a (slika 51). Očitno vse premice, ki potekajo skozi točko A in ležijo v enem od vogalov, ki ju tvorita h 1 in h 2 (glej sliko 51), ne sekajo premice a.

V 2. poglavju smo dokazali številne trditve, ki so enakovredne vzporednemu aksiomu evklidske geometrije. Njihove logične negacije označujejo lastnosti figur na ravnini Lobačevskega.

Prvič, na ravnini Lobačevskega velja logična negacija petega Evklidovega postulata. V 9. razdelku smo formulirali sam postulat in dokazali izrek o njegovi enakovrednosti z aksiomom vzporednosti evklidske geometrije (glej izrek 9.1). Njegova logična negacija je:

Izjava 13.3.Na ravnini Lobačevskega sta dve nesekajoči se ravni črti, ki, ko sekata s tretjo premo, tvorita notranja enostranska kota, katerih vsota je manjša od dveh pravih kotov.

V § 12 smo oblikovali Posidonijev predlog: na ravnini so vsaj tri kolinearne točke, ki se nahajajo v eni polravnini od dane premice in so od nje enako oddaljene. Dokazali smo tudi izrek 12.6: Posidonijev predlog je enakovreden trditvi aksioma vzporednosti evklidske geometrije. Tako negacija te izjave deluje na ravnini Lobačevskega.

Izjava 13.4. Množica točk, ki so enako oddaljene od ravne črte na ravnini Lobačevskega in se nahajajo v eni polravnini glede nanjo, pa ne ležijo na eni ravni črti.

Na ravnini Lobačevskega množica točk, ki so enako oddaljene od ravne črte in pripadajo eni polovični ravnini glede na to premico, tvori ukrivljeno črto, tako imenovano enako oddaljeno črto. Njegove lastnosti bomo obravnavali kasneje.

Razmislite zdaj o Legendrovem predlogu: n Izrek 11.6, ki smo ga dokazali (glej § 11), trdi, da Iz tega sledi, da na ravnini Lobačevskega velja logična negacija te trditve.

Izjava 13.5. Na strani katerega koli ostrega kota je taka točka, da pravokotnica nanjo, dvignjena na tej točki, ne seka druge strani kota.

Opozorimo na lastnosti trikotnikov in štirikotnikov ravnine Lobačevskega, ki izhajajo neposredno iz rezultatov razdelkov 9 in 11. Najprej izrek 11.1. Navaja, da predpostavka obstoja trikotnika, katerega vsota kotov sovpada z vsoto dveh pravih kotov, je enakovredna aksiomu vzporednosti evklidske ravnine. Iz tega in Legendrovega prvega izreka (glej izrek 10.1, § 10) sledi naslednja izjava

Izjava 13.6. Na ravnini Lobačevskega je vsota kotov katerega koli trikotnika manjša od 2d.

To takoj pomeni, da vsota kotov katerega koli konveksnega štirikotnika je manjša od 4d, vsota kotov katerega koli konveksnega n-kotnika pa manjša od 2 (n-1) d.

Ker so na evklidski ravnini koti, ki mejijo na zgornjo osnovo Saccherijevega štirikotnika, enaki pravim kotom, kar je v skladu z izrekom 12.3 (glej § 12) enakovredno aksiomu vzporednosti evklidske geometrije, lahko narišemo naslednji sklep.

Izjava 13.7. Vogali, ki mejijo na zgornjo osnovo Saccherijevega štirikotnika, so ostri.

Ostaja nam, da razmislimo še o dveh lastnostih trikotnikov na ravnini Lobačevskega. Prvi je povezan z Wallisovim predlogom: na ravnini je vsaj en par trikotnikov z ustrezno enakimi koti, vendar ne enakimi stranicami. V 11. razdelku smo dokazali, da je ta trditev enakovredna vzporednemu aksiomu evklidske geometrije (glej izrek 11.5). Logično zanikanje te trditve nas pripelje do naslednjega zaključka: na ravnini Lobačevskega ni trikotnikov z enakimi koti, vendar ne enakimi stranicami. Tako je naslednja trditev resnična.

Izjava 13.8. (četrti kriterij za enakost trikotnikov na ravnini Lobačevskega).Vsaka dva trikotnika na ravnini Lobačevskega, ki imata ustrezno enaka kota, sta med seboj enaka.

Zdaj razmislite o naslednjem vprašanju. Ali je mogoče opisati krog okoli katerega koli trikotnika na ravnini Lobačevskega? Odgovor je podan z izrekom 9.4 (glej § 9). V skladu s tem izrekom, če je okoli katerega koli trikotnika na ravnini mogoče opisati krog, potem je na ravnini izpolnjen pogoj aksioma vzporednosti evklidske geometrije. Zato nas logična negacija trditve tega izreka pripelje do naslednje trditve.

Izjava 13.9. Na ravnini Lobačevskega je trikotnik, okoli katerega ni mogoče opisati kroga.

Primer takšnega trikotnika je enostavno sestaviti. Izberimo neko premico a in točko A, ki ji ne pripada. Spustimo navpičnico h iz točke A na premico a. Na podlagi Lobačevskega aksioma vzporednosti obstaja ravna črta b, ki poteka skozi A in ni pravokotna na h, ki ne seka a (slika 52). Kot veste, če je krog opisan okoli trikotnika, potem njegovo središče leži na presečišču srednjih pravokotnic stranic trikotnika. Zato je dovolj, da navedemo primer takšnega trikotnika, katerega srednji pravokotnici se ne sekata. Izberimo točko M na premici h, kot je prikazano na sliki 52. Simetrično jo prikažemo glede na premici a in b, dobimo točki N in P. Ker premica b ni pravokotna na h, točka P ne pripadajo h. Zato so točke M, N in P oglišča trikotnika. Premici a in b po konstrukciji služita kot pravokotnici. Kot je navedeno zgoraj, se ne križajo. Trikotnik MNP je zahtevan.

Enostavno je sestaviti primer trikotnika v ravnini Lobačevskega, okoli katerega je mogoče opisati krog. Če želite to narediti, je dovolj, da vzamete dve sekajoči se črti, izberete točko, ki jima ne pripada, in jo odražate glede na te črte. Izvedite podrobno gradnjo sami.

Opredelitev 14.1. Naj sta podani dve usmerjeni ravni črti in. Imenujejo se vzporedne, če so izpolnjeni naslednji pogoji:

1. premici a in b se ne sekata;

2. za poljubni točki A in B ravnih črt a in b kateri koli notranji žarek h kota ABB 2 seka premico a (slika 52).

Vzporedne premice bomo označevali na enak način, kot je to običajno pri šolskem predmetu geometrije: a || b. Upoštevajte, da vzporedne premice na evklidski ravnini izpolnjujejo to definicijo.

Izrek 14.3. Naj bo na ravnini Lobačevskega podani usmerjena premica in točka B, ki ji ne pripada. Nato skozi to točko poteka ena sama usmerjena premica, tako da je premica a vzporedna s premo črto b.

Dokaz. Iz točke B spustimo navpičnico BA na premico a in iz točke B povrnemo navpičnico p na premico BA (slika 56 a). Premica p, kot je bilo že večkrat omenjeno, ne seka dane premice a. Na njej izberimo poljubno točko C, razdelimo točke odseka AC v dva razreda in. Prvi razred vključuje takšne točke S tega segmenta, za katere žarek BS seka žarek AA 2, drugi razred pa takšne točke T, za katere žarek BT ​​ne seka žarka AA 2. Pokažimo, da taka delitev na razrede ustvari Dedekindov odsek segmenta AC. V skladu z izrekom 4.3 (glej § 4) moramo preveriti, da:

2. in razrede ter vsebujejo točke, ki niso A in C;

3. katera koli točka razreda, razen A, leži med točko A in katero koli točko razreda.

Prvi pogoj je očiten, vse točke segmenta pripadajo enemu ali drugemu razredu, medtem ko sami razredi glede na njihovo definicijo nimajo skupnih točk.

Drugi pogoj je tudi enostavno preveriti. Očitno in. Razred vsebuje druge točke kot A, za preverjanje te trditve je dovolj, da izberemo neko točko žarka AA 2 in jo povežemo s točko B. Ta žarek bo presekal segment BC v točki prvega razreda. Razred vsebuje tudi druge točke kot C, sicer bomo prišli v protislovje z aksiomom vzporednosti Lobačevskega.

Dokažimo tretji pogoj. Naj obstaja točka S prvega razreda, drugačna od A, in taka točka T drugega razreda, tako da točka T leži med A in S (glej sliko 56 a). Ker potem žarek BS seka žarek AA 2 v neki točki R. Poglejmo žarek BT. Seka AS stran trikotnika ASR v točki T. Po Pašinem aksiomu mora ta žarek sekati bodisi stran AR bodisi stran SR tega trikotnika. Recimo, da žarek BT ​​seka stran SR v neki točki O. Potem gresta dve različni ravni črti BT in BR skozi točki B in O, kar je v nasprotju z aksiomom Hilbertovega aksioma. Tako žarek BT ​​seka stran AR, kar pomeni, da točka T ne spada v razred K 2. Nastalo protislovje vodi do trditve, da točka S leži med A in T. Pogoj iz izreka 4.3 je v celoti preverjen.

V skladu s sklepom izreka 4.3 o Dedekindovem odseku na odseku AC obstaja točka, za katero katera koli točka, ki leži med A in pripada razredu, in katera koli točka, ki leži med in C, pripada razredu. Pokažimo, da je usmerjena premica vzporedna s premico ... Pravzaprav nam ostane še dokazati, da ne seka premice a, saj se zaradi izbire točk razreda K 1 seka kateri koli notranji žarek kota. Recimo, da premica seka premico a v neki točki H (slika 56 b). Izberimo poljubno točko P na žarku HA 2 in upoštevajmo žarek BP. Nato seka odsek М 0 С v neki točki Q (to trditev dokažite sami). Toda notranje točke segmenta М 0 С spadajo v drugi razred, žarek BP ne more imeti skupnih točk z premico a. Tako je naša predpostavka o presečišču premici BM 0 in a napačna.

Preprosto je preveriti, ali je premica edina usmerjena premica, ki poteka skozi točko B in je vzporedna. Dejansko naj poteka še ena usmerjena ravna črta skozi točko B, ki je prav tako vzporedna. V tem primeru bomo predpostavili, da je M 1 točka odseka AC. Potem, na podlagi definicije razreda K 2,. Zato je žarek BM 0 notranji žarek kota, zato na podlagi definicije 14.1 seka ravno črto. Prišli smo do protislovja z zgoraj dokazano izjavo. Izrek 14.3 je popolnoma dokazan.

Razmislite o točki B in usmerjeni premici, ki je ne vsebuje. V skladu z dokazanim izrekom 14.3 skozi točko B poteka usmerjena ravna črta, vzporedna z a. Spustimo pravokotno BH iz točke B na premico a (slika 57). To je enostavno videti kot HBB 2 - akutna... Dejansko, če predpostavimo, da je ta kot ravna črta, potem iz definicije 14.1 sledi, da vsaka premica, ki poteka skozi točko B, seka premo črto a, kar je v nasprotju z izrekom 13.1, tj. Aksiom o paralelizmu Lobačevskega LV 1 (glej § 13). Preprosto je videti, da predpostavka, da je ta kot tup, zdaj vodi tudi v protislovje z definicijo 14.1 in izrekom 4.2 (glej §4), saj notranji žarek kota HBB 2, pravokoten na BH, ne seka žarka AA 2 . Tako je naslednja izjava resnična.

Izrek 14.4. Naj bo usmerjena premica vzporedna z usmerjeno premico. Če iz točke B premice spustimo pravokotno VN na premico, je kot HBB 2 oster.

Iz tega izreka očitno sledi naslednja posledica.

Posledica.Če obstaja skupna pravokotnica na usmerjene premice in, potem premica ni vzporedna z premico.

Uvedemo pojem vzporednosti za neusmerjene premice. To bomo predvidevali dve neusmerjeni ravni črti sta vzporedni, če je na njih mogoče izbrati smeri tako, da ustrezata definiciji 14.1. Kot veste, ima ravna črta dve smeri. Zato iz izreka 14.3 izhaja, da skozi točko B, ki ne pripada premici a, potekata dve neusmerjeni ravni črti, vzporedni s to premico. Očitno so simetrične glede na navpičnico, spuščeno iz točke B na premico a. Ti dve ravni črti sta sami mejni črti, ki ločujeta snop ravnih črt, ki potekajo skozi točko B in sekajo a, od snopa ravnih črt, ki potekajo skozi B in ne sekajo črte a (slika 57).

Izrek 15.2. (Lastnost simetrije vzporednih premic na ravnini Lobačevskega).Naj bo usmerjena premica vzporedna z usmerjeno premico. Potem je usmerjena črta vzporedna s črto.

Lastnost simetrije koncepta vzporednosti premic na ravnini Lobačevskega nam omogoča, da ne navedemo vrstnega reda usmerjenih vzporednih premic, t.j. ne določajte, katera vrstica je prva in katera druga. Očitno lastnost simetrije koncepta vzporednosti ravnih črt velja tudi na evklidski ravnini. Neposredno izhaja iz definicije vzporednih premic v evklidski geometriji. V evklidski geometriji je lastnost tranzitivnosti izpolnjena tudi za vzporedne premice. Če je premica a vzporedna s premico b in je premica b vzporedna s premico c. takrat sta premici a in c tudi vzporedni med seboj. Podobna lastnost velja tudi za usmerjene ravne črte na ravnini Lobačevskega.

Izrek 15.3. (Lastnost prehodnosti vzporednih premic na ravnini Lobačevskega).Naj so podane tri različne usmerjene ravne črte,. Če in , potem .

Razmislite o usmerjeni črti, vzporedni z usmerjeno črto. Prekrižimo jih z ravno črto. Točki A in B sta presečišča ravnih črt in, (slika 60). Naslednji izrek je resničen.

Izrek 15.4. Kot je večji od kota.

Izrek 15.5. Zunanji vogal degeneriranega trikotnika je večji od notranjega kota, ki mu ne meji.

Dokaz sledi takoj iz izreka 15.4. Naredite sami.

Razmislite o poljubnem segmentu AB. Skozi točko A potegnemo premico a, pravokotno na AB, skozi točko B pa premico b, vzporedno z a (slika 63). Kot izhaja iz izreka 14.4 (glej § 14), premica b ni pravokotna na premico AB.

Opredelitev 16.1. Ostri kot, ki ga tvorita ravnica AB in b, se imenuje kot vzporednosti odseka AB.

Jasno je, da vsakemu odseku črte ustreza določen kot vzporednosti. Naslednji izrek je resničen.

Izrek 16.2. Enaki segmenti ustrezajo enakim kotom vzporednosti.

Dokaz. Naj sta podana dva enaka odseka AB in A ¢ B ¢. Narišimo skozi točki A in A ¢ usmerjene premice in, pravokotno na AB in A ¢ B ¢, ter skozi točki B in B ¢ usmerjene premice oziroma vzporedno in (slika 64). Nato in koti vzporednosti segmentov AB in A ¢ B ¢. Pretvarjajmo se

Odstavimo kot a 2 od VA žarka v polravnini BAA 2 (glej sliko 64). Na podlagi neenakosti (1) je žarek l notranji žarek kota ABB 2. Ker je ½1, potem l seka žarek AA 2 v neki točki P. Namestimo žarek A ¢ A 2 ¢ iz točke A odsek A ¢ P, ki je enak AP. Razmislite o trikotniku ABP in A ¢ B ¢ P ¢. So pravokotne, po hipotezi izreka imajo enake krake AB in A ¢ B ¢, po konstrukciji sta si drugi par krakov AP in A ¢ P enaka. Tako je pravokotni trikotnik ABP enak trikotniku A ¢ B ¢ P ¢. Torej . Po drugi strani pa žarek B ¢ P ¢ seka žarek A ¢ A 2 ¢, usmerjena premica B 1 ¢ B 2 ¢ pa je vzporedna s premo črto A 1 ¢ A 2 ¢. Zato je žarek B ¢ P ¢ notranji žarek kota A ¢ B ¢ B 2 ¢, ... Nastalo protislovje ovrže našo domnevo, neenakost (1) je napačna. Podobno je dokazano, da kot ne more biti manjši od kota. Izrek je dokazan.

Poglejmo zdaj, kako so med seboj povezani koti vzporednosti neenakih segmentov.

Izrek 16.3. Naj bo odsek AB večji od segmenta A ¢ B ¢ in koti in s tem njihovi koti vzporednosti. Potem .

Dokaz. Dokaz tega izreka neposredno sledi iz izreka 15.5 (glej § 15) o zunanjem kotu degeneriranega trikotnika. Razmislite o segmentu AB. Skozi točko A narišemo usmerjeno premico, pravokotno na AB, in skozi točko B, usmerjeno premico, vzporedno (slika 65). Na žarek AB damo odsek AP, ki je enak A ¢ B ¢. Ker je potem P notranja točka segmenta AB. Narišimo usmerjeno premico C 1 C 2 skozi P, prav tako vzporedno. Kot služi kot vzporedni kot segmenta A ¢ B ¢, kot pa kot vzporednosti segmenta AB. Po drugi strani pa iz izreka 15.2 o simetriji koncepta vzporednosti premic (glej § 15) sledi, da je premica С 1 С 2 vzporedna z premico. Zato je trikotnik RBC 2 A 2 degeneriran, zunanji in njegovi notranji koti. Izrek 15.5 implicira resničnost dokazane trditve.

Obratno je enostavno dokazati.

Izrek 16.4.Pustimo in kote vzporednosti segmentov AB in A ¢ B ¢. Potem, če, potem AB> A ¢ B ¢.

Dokaz. Recimo nasprotno,. Potem iz izrekov 16.2 in 16.3 sledi, da , kar je v nasprotju s hipotezo izreka.

In tako smo dokazali, da vsak segment ustreza svojemu kotu vzporednosti, večji segment pa manjšemu kotu vzporednosti. Razmislite o izjavi, ki dokazuje, da za kateri koli akutni kot obstaja segment, za katerega je ta kot kot vzporednosti. To bo vzpostavilo korespondenco ena proti ena med segmenti in akutnimi koti na ravnini Lobačevskega.

Izrek 16.5. Za vsak akutni kot obstaja odsek črte, za katerega je ta kot vzporedni kot.

Dokaz. Naj je podan ostri kot ABC (slika 66). Predvidevamo, da vse v nadaljevanju obravnavane točke na žarkih BA in BC ležijo med točkama B in A ter B in C. Žarek imenujemo dopusten, če njegov izvor pripada stranici kota BA, je pravokoten na premico BA in se nahaja v isti polravnini glede na premico BA kot stranica BC danega kota. Obrnimo se na Legendrov predlog: n Navpičnica, potegnjena na stran ostrega kota na kateri koli točki te strani, seka drugo stran kota. Dokazali smo izrek 11.6 (glej § 11), ki pravi, da Legendrov predlog je enakovreden vzporednemu aksiomu evklidske geometrije. Iz tega smo zaključili, da na ravnini Lobačevskega velja logična negacija te trditve, in sicer na strani katerega koli ostrega kota je taka točka, da pravokotnica nanjo, dvignjena na tej točki, ne seka druge strani kota(glej § 13). Tako obstaja tak dopustni žarek m z izhodiščem v točki M, ki ne seka BC stranice danega kota (glej sliko 66).

Točke segmenta VM razdelimo na dva razreda. razred bodo pripadale tistim točkam tega segmenta, za katere dopustni žarki z izhodišči v teh točkah sekajo BC stran tega kota, in razred pripadajo tiste točke segmenta BC, za katere dopustni žarki z izhodišči na teh točkah ne prečkajo BC stranice. Pokažimo, da taka particija segmenta BM tvori Dedekindov odsek (glej izrek 4.3, 4. odstavek). Če želite to narediti, preverite to

5. in razrede ter vsebujejo točke, ki niso B in M;

6. katera koli točka razreda, razen B, leži med točko B in katero koli točko razreda.

Prvi pogoj je očitno izpolnjen. Vsaka točka odseka BM pripada bodisi razredu K 1 bodisi razredu K 2. Poleg tega točka na podlagi definicije teh razredov ne more pripadati dvema razredoma hkrati. Očitno lahko domnevamo, da točka M pripada K 2, saj dopustni žarek z izhodiščem v točki M ne seka BC. Razred K 1 vsebuje vsaj eno točko, ki se razlikuje od B. Za njeno konstruiranje zadostuje, da izberemo poljubno točko P na strani BC in iz nje spustimo pravokotno PQ na žarek BA. Če predpostavimo, da točka Q leži med točkama M in A, potem točki P in Q ležita v različnih polravninah glede na premico, ki vsebuje žarek m (glej sliko 66). Zato odsek PQ seka žarek m v neki točki R. Dobimo, da sta dve pravokotnici spuščeni iz točke R na premico BA, kar je v nasprotju z izrekom 4.2 (glej § 4). Tako točka Q pripada segmentu BM, razred K 1 vsebuje druge točke kot B. Lahko je razložiti, zakaj je na žarku BA segment, ki vsebuje vsaj eno točko, ki pripada razredu K 2 in je drugačna od njegove konec. Dejansko, če razred K 2 obravnavanega segmenta BM vsebuje eno samo točko M, potem izberemo poljubno točko M ¢ med M in A. Razmislimo o dopustnem žarku m ¢ z izhodiščem v točki M ¢. Ne seka žarka m, sicer pa spustimo dve pravokotnici iz točke na premico AB, zato m ¢ ne seka žarka BC. Segment VM ¢ je želeni, vsa nadaljnja razmišljanja pa je treba izvesti za segment VM ¢.

Preverimo veljavnost tretjega pogoja izreka 4.3. Recimo, da obstajajo takšne točke in da točka P leži med točko U in M ​​(slika 67). Narišimo dopustna žarka u in p z izhodišči v točkah U in P. Ker žarek p seka stran BC danega kota v neki točki Q. Premica, ki vsebuje žarek u, seka stran BP trikotnika BPQ torej po Hilbertovem aksiomu (Pašin aksiom, glej § 3) seka bodisi stran BQ bodisi stran PQ tega trikotnika. Toda žarek u zato ne seka stranice BQ, zato se žarka p in u sekata v neki točki R. Spet pridemo do protislovja, saj smo zgradili točko, iz katere na premico AB spustimo dve pravokotnici. . Pogoj iz izreka 4.3 je v celoti izpolnjen.

M. Iz tega sledi. Dobili smo protislovje, saj smo konstruirali točko razreda K 1, ki se nahaja med točkama in M. Ostaja nam, da pokažemo, da kateri koli notranji žarek kota seka žarek BC. Razmislite o poljubnem notranjem žarku h tega kota. Na njej izberimo poljubno točko K, ki pripada kotu, in z nje spustimo navpičnico na premico BA (slika 69). Osnova S te pravokotnice očitno pripada odseku BM 0, tj. razred K 1 (to dejstvo dokažite sami). Iz tega sledi, da pravokotnica KS seka stran BC danega kota v neki točki T (glej sliko 69). Žar h je prečkal stran ST trikotnika BST v točki K, po aksiomu (Pašin aksiom) mora sekati bodisi stran BS bodisi stran BT tega trikotnika. Jasno je, da h ne seka odseka BS, sicer dve premici, h in BA, potekata skozi dve točki in to presečišče. Tako h prečka stran BT, t.j. žarek VA. Izrek je popolnoma dokazan.

In tako smo ugotovili, da lahko vsak segment v geometriji Lobačevskega povežemo z akutnim kotom - njegovim kotom vzporednosti. Predvidevamo, da smo uvedli mero kotov in odsekov; upoštevajte, da bomo mero odsekov uvedli kasneje, v §. Predstavljamo naslednjo definicijo.

Opredelitev 16.6. Če je x dolžina segmenta, j pa vrednost kota, potem odvisnost j = P (x), ki povezuje dolžino segmenta z vrednostjo njegovega kota vzporednosti, imenujemo funkcija Lobačevskega.

Jasno je, da . Z uporabo lastnosti kota vzporednosti segmenta, dokazanega zgoraj (glej izreka 16.3 in 16.4), lahko sklepamo: funkcija Lobačevskega monotono pada. Nikolaj Ivanovič Lobačevski je dobil naslednjo izjemno formulo:

,

kjer je k neko pozitivno število. Pomemben je v geometriji prostora Lobačevskega in se imenuje njegov polmer ukrivljenosti. Dva prostora Lobačevskega z enakim polmerom ukrivljenosti sta izometrična. Iz zgornje formule, kot je lahko videti, tudi sledi, da je j = P (x) monotono padajoča zvezna funkcija, katere vrednosti pripadajo intervalu.

Na evklidski ravnini pritrdimo krog w s središčem v neki točki O in polmerom enakim ena, ki ga bomo imenovali absolutno... Množico vseh točk kroga, omejenega s krogom w, bomo označili z W ¢, množico vseh notranjih točk tega kroga pa z W. Tako,. Točke množice W bodo poklicane L-pike Množica W vseh L-točk je L-ravnina, na katerem bomo konstruirali Cayley-Kleinov model ravnine Lobačevskega. Poklicali bomo L - naravnost poljubne tetive kroga w. Predpostavili bomo, da L-točka X pripada L-premici x, če in samo če točka X kot točka evklidske ravnine pripada tetivi x absoluta.

L-ravnina, aksiom vzporednosti Lobačevskega velja: skozi L-točko B, ki ne leži na L-premici, prepeljite vsaj dve L-premici b in c, ki nimata skupnih točk z L-premico a. Slika 94 ponazarja to izjavo. Prav tako je enostavno razumeti, kaj so vzporedne usmerjene premice L-ravnine. Oglejte si sliko 95. L-premica b poteka skozi presečišče L-premice a z absolutom. Zato je smerna L-premica A 1 A 2 vzporedna s smerno črto L B 1 A 2. Dejansko se te premice ne sekajo in če izberemo poljubni L-točki A in B, ki pripadata tem premicam, potem kateri koli notranji žarek h kota A 2 BA seka premico a. Tako sta dve L-premici vzporedni, če imata skupno točko presečišča z absolutno. Jasno je, da sta simetrija in tranzitivnost koncepta vzporednosti L-premic izpolnjeni. V 15. odstavku smo dokazali lastnost simetrije, lastnost prehodnosti pa prikazuje slika 95. Premica A 1 A 2 je vzporedna s premico B 1 A 2, sekata absolut v točki A 2. Premici B 1 A 2 in C 1 A 2 sta prav tako vzporedni, prav tako sekata absolut v isti točki A 2. Zato sta premici A 1 A 2 in C 1 A 2 med seboj vzporedni.

Tako zgoraj definirani osnovni pojmi izpolnjujejo zahteve aksiomov I 1 -I 3, II, III, IV skupin Hilbertovih aksiomov in aksioma vzporednosti Lobačevskega, zato so model ravnine Lobačevskega. Dokazali smo bistveno doslednost planimetrije Lobačevskega. Formulirajmo to trditev kot naslednji izrek.

Izrek 1. Geometrija Lobačevskega je vsebinsko skladna.

Zgradili smo model letala Lobačevskega, vendar se lahko s konstrukcijo prostorskega modela, podobnega tistemu, ki ga obravnavamo na ravnini, seznanite v priročniku.

Najpomembnejši zaključek izhaja iz izreka 1. Aksiom vzporednosti ni posledica aksiomov I - IV Hilbertovih aksiomov. Ker je peti Evklidov postulat enakovreden aksiomu vzporednosti evklidske geometrije, tudi ta postulat ni odvisen od ostalih Hilbertovih aksiomov.

”Matematičarka Valentina Kirichenko, posvečena razmerju med rusko in britansko znanostjo, pripoveduje PostNauki o revolucionarni naravi idej Lobačevskega za geometrijo 19. stoletja.

Vzporedne črte se ne sekajo niti v geometriji Lobačevskega. Nekje v filmih lahko pogosto najdete stavek: "In vzporednice našega Lobačevskega se sekajo." Sliši se lepo, a ni res. Nikolaj Ivanovič Lobačevski je res prišel do izjemno geometrije, v kateri se vzporedne črte obnašajo precej drugače, kot smo vajeni. Vendar se še vedno ne prekrivajo.

Navajeni smo misliti, da se dve vzporedni premici ne zbližujeta in se ne odmikata. Se pravi, ne glede na to, katero točko vzamemo na prvi vrstici, je razdalja od nje do druge vrstice enaka, ni odvisna od točke. Toda ali je res tako? In zakaj je temu tako? In kako je to sploh mogoče preveriti?

Če govorimo o fizičnih ravnih črtah, potem nam je za opazovanje na voljo le majhen del vsake premice. In glede na napake merjenja ne bomo mogli narediti nobenih dokončnih zaključkov o tem, kako se ravne črte obnašajo zelo, zelo daleč od nas. Stari Grki so imeli podobna vprašanja. V III stoletju pred našim štetjem je starogrški geometer Evklid zelo natančno orisal glavno lastnost vzporednih črt, ki je ni mogel niti dokazati niti ovreči. Zato ga je poimenoval postulat - izjava, ki jo je treba jemati po veri. To je znameniti peti Evklidov postulat: če se dve ravni črti na ravnini sekata s sekantom, tako da je vsota notranjih enostranskih kotov manjša od dveh ravnih črt, torej manj kot 180 stopinj, potem z zadostnim nadaljevanje se bosta ti dve ravni črti sekali in je na strani sekansa, vzdolž katere je vsota manjša od dveh pravih kotov.

Ključne besede v tem postulatu so »z dovolj nadaljevanja«. Prav zaradi teh besed postulata ni mogoče empirično preveriti. Morda se bodo črte sekale v vidnem polju. Morda po 10 kilometrih ali izven orbite Plutona ali morda celo v drugi galaksiji.

Evklid je svoje postulate in rezultate, ki logično izhajajo iz njih, orisal v znameniti knjigi "Začetki". Iz starogrškega imena te knjige izhaja ruska beseda "elementi", iz latinskega imena pa beseda "elementi". Evklidovi začetki so najbolj priljubljen učbenik vseh časov. Po številu izdaj je na drugem mestu za Biblijo.

Posebej bi rad izpostavil čudovito britansko izdajo iz leta 1847 z zelo jasno in lepo infografiko. Namesto dolgočasnih označb na risbah uporabljajo barvne risbe – ne kot v sodobnih šolskih učbenikih geometrije.

Do prejšnjega stoletja so bili Evklidovi "Začetki" potrebni za študij v vseh izobraževalnih programih, kar je pomenilo intelektualno ustvarjalnost, torej ne samo učenje obrti, ampak nekaj bolj intelektualnega. Neočitnost petega Evklidovega postulata je sprožila naravno vprašanje: ali ga je mogoče dokazati, torej logično izpeljati iz preostalih Evklidovih predpostavk? To so poskušali storiti številni matematiki, od Evklidovih sodobnikov do Lobačevskega. Peti postulat so praviloma zreducirali na kakšno bolj vizualno izjavo, v katero je lažje verjeti.

Na primer, v 17. stoletju je angleški matematik John Wallis peti postulat zmanjšal na to trditev: obstajata dva podobna, a neenaka trikotnika, torej dva trikotnika, katerih kota sta enaka, vendar sta velikosti različni. Zdi se, kaj bi lahko bilo bolj preprosto? Spremenimo le lestvico. Toda izkazalo se je, da je zmožnost spreminjanja merila ob ohranjanju vseh kotov in razmerij izključna lastnost evklidske geometrije, torej geometrije, v kateri so izpolnjeni vsi evklidski postulati, vključno s petim.

V 18. stoletju je škotski učenjak John Playfair peti postulat preoblikoval v obliki, v kateri se običajno pojavlja v sodobnih šolskih učbenikih: dve ravni črti, ki sekata druga drugo, ne moreta biti hkrati vzporedni s tretjo vrstico. V tej obliki se peti postulat pojavlja v sodobnih šolskih učbenikih.

V začetku 19. stoletja so mnogi imeli vtis, da je dokazovanje petega postulata podobno izumu večnega motorja - popolnoma neuporabna vaja. A tudi domnevati, da Evklidova geometrija ni edina možna, nihče ni imel poguma: Evklidova avtoriteta je bila prevelika. V takšni situaciji so bila odkritja Lobačevskega po eni strani naravna, po drugi pa popolnoma revolucionarna.

Lobačevski je peti postulat zamenjal s ravno nasprotno trditvijo. Aksiom Lobačevskega je zvenel takole: če se iz točke, ki ne leži na ravni črti, sprostijo vsi žarki, ki sekajo to ravno črto, potem bodo na levi in ​​desni ti žarki omejeni z dvema omejevalnima žarkoma, ki se ne bosta več sekali ravna črta, vendar se ji bo vse bolj približevala. Poleg tega bo kot med temi omejevalnimi žarki strogo manjši od 180 stopinj.

Iz aksioma Lobačevskega takoj sledi, da je skozi točko, ki ne leži na dani ravni črti, mogoče narisati ne eno premo črto, vzporedno z dano, kot pri Evklidu, ampak toliko, kolikor želite. Toda te ravne črte se bodo obnašale drugače kot Evklidove. Na primer, če imamo dve vzporedni ravni črti, se lahko najprej približata in nato odmakneta. To pomeni, da bo razdalja od točke na prvi vrstici do druge vrstice odvisna od točke. Za različne točke bo drugače.

Geometrija Lobačevskega je deloma v nasprotju z našo intuicijo, ker se na majhnih razdaljah, s katerimi se običajno ukvarjamo, zelo malo razlikuje od Evklidske. Podobno zaznavamo ukrivljenost zemeljskega površja. Ko hodimo od hiše do trgovine, se nam zdi, da hodimo po ravni črti, Zemlja pa je ravna. Če pa letimo recimo iz Moskve v Montreal, potem že opazimo, da letalo leti v krožnem loku, saj je to najkrajša pot med dvema točkama na Zemljinem površju. To pomeni, da opazimo, da je Zemlja videti bolj kot nogometna žoga kot palačinka.

Geometrijo Lobačevskega lahko ponazorimo tudi s pomočjo nogometne žoge, ne navadne, ampak hiperbolične. Hiperbolična nogometna žoga je zlepljena kot navadna. Samo v navadni krogli so beli šesterokotniki prilepljeni na črne peterokotnike, v hiperbolični krogli pa morate namesto peterokotnikov narediti sedemkotnike in jih tudi zlepiti s šesterokotniki. V tem primeru se seveda ne bo izkazalo, da bo žoga, temveč sedlo. In na tem sedlu se uresničuje geometrija Lobačevskega.

Lobačevski je poskušal govoriti o svojih odkritjih leta 1826 na univerzi v Kazanu. Toda besedilo poročila se ni ohranilo. Leta 1829 je v univerzitetni reviji objavil članek o svoji geometriji. Rezultati Lobačevskega so se marsikomu zdeli nesmiselni – ne le zato, ker so uničili običajno sliko sveta, ampak ker niso bili predstavljeni na najbolj razumljiv način.

Vendar je Lobačevski imel objave tudi v revijah z visoko oceno, kot jim danes pravimo. Na primer, leta 1836 je v znameniti reviji Crell objavil članek z naslovom "Imaginarna geometrija" v francoščini v isti številki s članki najbolj znanih matematikov tistega časa - Dirichleta, Steinerja in Jacobija. In leta 1840 je Lobačevski izdal majhno in zelo razumljivo napisano knjigo z naslovom "Geometrijske raziskave v teoriji vzporednih črt". Knjiga je bila v nemščini in izdana v Nemčiji. Takoj se je pojavila uničujoča ocena. Recenzent se je še posebej posmehoval frazi Lobačevskega: "Dlje kot nadaljujemo ravne črte v smeri njihove vzporednosti, bolj se približujejo drug drugemu." "Samo ta izjava," je zapisal recenzent, "že dovolj označuje delo gospoda Lobačevskega in recenzenta osvobaja potrebe po nadaljnji oceni."

Ima pa knjiga tudi enega nepristranskega bralca. To je bil Karl Friedrich Gauss, znan tudi pod vzdevkom Kralj matematikov, eden največjih matematikov v zgodovini. V enem od pisem je pohvalil knjigo Lobačevskega. Toda njegova recenzija je bila objavljena šele po njegovi smrti, skupaj z ostalo korespondenco. In potem se je začel pravi razcvet geometrije Lobačevskega.

Leta 1866 je bila njegova knjiga prevedena v francoščino, nato v angleščino. Poleg tega je bila angleška izdaja zaradi izjemne priljubljenosti ponatisnjena še trikrat. Žal Lobačevski tega časa ni dočakal. Umrl je leta 1856. In leta 1868 se je pojavila ruska izdaja knjige Lobačevskega. Objavljena ni bila kot knjiga, ampak kot članek v najstarejši ruski reviji "Matematična zbirka". Toda takrat je bila ta revija zelo mlada, ni bila stara še dve leti. Toda bolj znan je ruski prevod iz leta 1945, ki ga je naredil izjemen ruski in sovjetski geometer Veniamin Fedorovič Kagan.

Do konca 19. stoletja so bili matematiki razdeljeni v dva tabora. Nekateri so takoj sprejeli rezultate Lobačevskega in začeli nadalje razvijati njegove ideje. Drugi se niso mogli odreči prepričanju, da geometrija Lobačevskega opisuje nekaj, kar ne obstaja, se pravi, da je Evklidova geometrija edina prava in nič drugega ne more biti. Na žalost je bil med slednjimi tudi matematik, bolj znan kot avtor "Alice v čudežni deželi" - Lewis Carroll. Njegovo pravo ime je Charles Dodgson. Leta 1890 je objavil članek z naslovom "Nova teorija vzporednic", kjer je zagovarjal zelo vizualno različico petega postulata. Aksiom Lewisa Carrolla zveni takole: če v krog vpišete pravilen štirikotnik, bo površina tega štirikotnika strogo večja od površine katerega koli segmenta kroga, ki leži zunaj štirikotnika. V geometriji Lobačevskega ta aksiom ne drži. Če vzamemo dovolj velik krog, potem ne glede na to, kateri štirikotnik vanj vpišemo, ne glede na to, kako dolge so stranice tega štirikotnika, bo površina štirikotnika omejena z univerzalno fizično konstanto. Na splošno je prisotnost fizičnih konstant in univerzalnih mer dolžine ugodna razlika med geometrijo Lobačevskega in Evklidovo geometrijo.

Toda Arthur Cayley, drugi slavni angleški matematik, je leta 1859, torej le tri leta po smrti Lobačevskega, objavil članek, ki je kasneje pomagal legalizirati postulat Lobačevskega. Zanimivo je, da je Cayley takrat pripravljal kot odvetnik v Londonu in šele nato prejel mesto profesorja na Cambridgeu. Pravzaprav je Cayley konstruiral prvi model geometrije Lobačevskega, čeprav je na prvi pogled reševal povsem drugačen problem.

In še en čudovit angleški matematik, ki mu je bilo ime William Kingdon Clifford, je bil globoko prežet z idejami Lobačevskega. Še posebej je bil prvi, ki je že dolgo pred nastankom splošne teorije relativnosti predstavil idejo, da je gravitacija posledica ukrivljenosti prostora. Clifford je prispevek Lobačevskega k znanosti ocenil v enem od svojih predavanj o filozofiji znanosti: "Lobačevski je za Evklida postal to, kar je Kopernik postal za Ptolomeja." Če je človeštvo pred Kopernikom verjelo, da vemo vse o vesolju, nam je zdaj jasno, da opazujemo le majhen del vesolja. Prav tako je človeštvo pred Lobačevskim verjelo, da obstaja samo ena geometrija - evklidska, vse o njej je že dolgo znano. Zdaj vemo, da obstaja veliko geometrij, vendar o njih ne vemo vsega.

Evklidov peti postulat: "Če ravna črta, ki pade na dve ravni črti, tvori notranja enostranska kota, skupaj manj kot dve ravni črti, potem se bosta ti dve premici srečali na strani, kjer sta kota v vsoti manjši. kot dve ravni črti« se je mnogim matematikom že v antiki zdelo nekako nejasno, deloma zaradi kompleksnosti njegove formulacije.

Zdelo se je, da bi morali biti postulati le osnovni stavki, preproste oblike. V zvezi s tem je 5. postulat postal predmet posebne pozornosti matematikov, raziskave na to temo pa lahko razdelimo v dve smeri, pravzaprav sta med seboj tesno povezani. Prvi je želel ta postulat zamenjati s preprostejšim in bolj intuitivno jasnim, kot je na primer izjava, ki jo je oblikoval Prokl: »Skozi točko, ki ne leži na dani ravni črti, je mogoče potegniti samo eno ravno črto, ki ne sekajo z danim«: v tej obliki se v sodobnih učbenikih pojavlja 5. postulat ali bolje rečeno, njemu enakovredni vzporedni aksiom.

Predstavniki druge smeri so poskušali dokazati peti postulat na podlagi drugih, torej ga spremeniti v izrek. Tovrstne poskuse so začeli številni arabski matematiki srednjega veka: al-Abbas al-Jauhari (zgodnje 9. stoletje), Sabit ibn Korrah, Ibn al-Khaisam, Omar Khayyam, Nasireddin at-Tusi. Kasneje so se tem študijam pridružili še Evropejci: Levi Ben Gershon (14. stoletje) in Alfonso (15. stoletje), ki je pisal v hebrejščini, nato pa nemški jezuit H. Clavius ​​(1596), Anglež J. Wallis (1663) in drugi, zanimanje za ta problem se je pojavilo v 18. stoletju: od leta 1759 do 1800 je bilo objavljenih 55 del, ki analizirajo ta problem, med njimi zelo pomembna dela italijanskega jezuita G. Saccherija in Nemca I. G. Lamberta.

Dokazovanje so običajno izvajali po metodi »s protislovjem«: iz predpostavke, da 5. postulat ni izpolnjen, so skušali izpeljati posledice, ki bi bile v nasprotju z drugimi postulati in aksiomi. V resnici pa na koncu niso dobili protislovja z drugimi postulati, ampak z neko eksplicitno ali implicitno »očitno« trditev, ki pa je ni bilo mogoče vzpostaviti na podlagi drugih postulatov in aksiomov evklidske geometrije: torej , dokazi niso dosegli svojega cilja , - izkazalo se je, da je bila namesto 5. postulata spet postavljena kakšna druga enakovredna izjava. Kot taka izjava so bile na primer vzete naslednje določbe:

riž. 2. Obstajajo ravne črte, ki so enako oddaljene ena od druge

riž. 4. Dve konvergentni premici se sekata

Geometrija, v kateri te trditve ne držijo, seveda ni enaka, kot smo je vajeni, vendar iz tega ne sledi, da je nemogoče ali da te trditve izhajajo iz drugih Evklidovih postulatov in aksiomov, tako da vsi dokazi so imeli nekaj vrzeli ali raztezanja. Clavius ​​je predpostavko, da obstajajo ravne črte, enako oddaljene ena od druge, utemeljil z evklidsko "definicijo" ravne črte kot premice, enako razporejene glede na točke na njej. Wallis je bil prvi, ki je svoj dokaz 5. postulata utemeljil na "naravnem" položaju, po katerem za vsako figuro obstaja podobna poljubno velika figura, in to trditev utemeljil s 3. Evklidovim postulatom, ki izhaja iz katerega koli središče in katera koli rešitev lahko opišeta krog (v resnici je izjava o obstoju na primer neenakih podobnih trikotnikov ali celo krogov enakovredna 5. postulatu). AM Legendre je v zaporednih izdajah učbenika "Načela geometrije" (1794, 1800, 1823) podal nove dokaze 5. postulata, vendar je natančna analiza pokazala vrzeli v teh dokazih. Ker je Legendra podvrgel pravični kritiki, je naš rojak S. Ye. Guriev v svoji knjigi "Izkušnje o izboljšanju elementov geometrije" (1798) sam naredil napako pri dokazovanju 5. postulata.

Precej hitro se je uresničila povezava med vsoto kotov trikotnika in štirikotnika ter 5. postulatom: 5. postulat izhaja iz trditve, da je vsota kotov trikotnika enaka dvema ravnima, ki ju je mogoče izhaja iz obstoja pravokotnikov. V zvezi s tem se je razširil pristop (sledili so mu Khayyam, at-Tusi, Wallis, Sakkeri), v katerem se upošteva štirikotnik, ki se dobi kot rezultat odlaganja enakih segmentov na dveh pravokotnicah na eno ravno črto. . Raziskujejo se tri hipoteze: dva zgornja vogala sta ostra, topa ali ravna; poskuša se pokazati, da hipoteze o tupih in ostrih kotih vodijo v protislovje.

Drugi pristop (uporabljal ga je Ibn al-Haytham, Lambert) je analiziral tri podobne hipoteze za štirikotnik s tremi pravimi koti.

Saccheri in Lambert sta pokazala, da hipoteze o ostrih kotih vodijo do protislovja, vendar jima pri obravnavi hipotez o akutnih kotih ni uspelo najti protislovij: Saccheri je o takšnem protislovju sklepal le kot posledica napake, Lambert pa je zaključil, da očitna odsotnost protislovja v hipotezi o akutnem kotu je bila posledica nekega temeljnega razloga. Lambert je ugotovil, da je ob sprejemu hipoteze o akutnem kotu vsota kotov vsakega trikotnika manjša od 180 ° za količino, ki je sorazmerna z njegovo površino, in primerjal s tem, kar je bilo odkrito na začetku. XVII stoletje položaj, po katerem je površina sferičnega trikotnika, nasprotno, več kot 180 ° za količino, ki je sorazmerna z njegovo površino.

Leta 1763 je GS Klugel objavil "Pregled najpomembnejših poskusov dokazovanja teorije vzporednih premic", kjer je preučil približno 30 dokazov 5. postulata in v njih odkril napake. Klugel je zaključil, da je Evklid svojo izjavo povsem razumno uvrstil med postulate.

Kljub temu so imeli poskusi dokazovanja 5. postulata zelo pomembno vlogo: poskušali so nasprotne trditve spraviti v protislovje, so ti raziskovalci dejansko odkrili številne pomembne izreke neevklidske geometrije - zlasti geometrijo, kjer je 5. postulat nadomeščen z trditev o možnosti, da skozi dano točko potegnemo vsaj dve ravni črti, ki dane ne sekata. Ta izjava, enakovredna hipotezi o akutnem kotu, je bila osnova za odkritelje neevklidske geometrije.

Več znanstvenikov je neodvisno prišlo do ideje, da predpostavka o alternativi 5. postulatu vodi do konstrukcije geometrije, ki je drugačna od evklidske, a enako dosledna: K.F. Gauss, N.I. Lobačevsky in J. Boyai (pa tudi F K. Schweickart in FA Taurinus, katerih prispevek k novi geometriji pa je bil skromnejši in nista objavila svojih raziskav). Gauss je, sodeč po zapisih, ki so ohranjeni v njegovem arhivu (in objavljeni šele v 60. letih 19. stoletja), spoznal možnost nove geometrije v 1810-ih, a svojih odkritij na to temo tudi nikoli ni objavil: »Bojim se krika Beotijcev (tj. norci: prebivalci regije Beotije so veljali za najbolj neumne v stari Grčiji), če v celoti izrazim svoja stališča, «je zapisal leta 1829 svojemu prijatelju matematiku FV Besselu. Nesporazum je pripadel Lobačevskemu, ki je leta 1826 izdelal prvo poročilo o novi geometriji in objavil rezultate, pridobljene leta 1829. Leta 1842 je Gauss dosegel izvolitev Lobačevskega za dopisnega člana Göttingenskega znanstvenega društva: to je bilo edino priznanje zaslug Lobačevskega v času njegovega življenja ... Oče J. Boyai - matematik Farkash Boyai, ki je tudi poskušal dokazati 5. postulat - je svojega sina posvaril pred raziskovanjem v tej smeri: "...lahko te prikrajša za prosti čas, zdravje, mir, vse radosti življenja. To črno brezno je morda sposobno absorbirati tisoč takšnih titanov, kot je Newton, na Zemlji tega ne bo nikoli razčiščeno ... ". Kljub temu je J. Boyai svoje rezultate objavil leta 1832 v prilogi k učbeniku geometrije, ki ga je napisal njegov oče. Boyai tudi ni dosegel priznanja, poleg tega pa je bil razburjen, ker je bil Lobačevski pred njim: ni se več ukvarjal z neevklidsko geometrijo. Tako je le Lobačevski do konca svojega življenja, prvič, nadaljeval raziskave na novem področju, in drugič, promoviral je svoje ideje, objavil številne knjige in članke o novi geometriji.

Torej, v ravnini Lobačevskega vsaj dve ravni črti, ki ne sekata AB, potekata skozi točko C zunaj dane premice AB. Vse premice, ki potekajo skozi C, so razdeljene v dva razreda - sekajoče in nesekajoče se AB. Ti slednji ležijo v določenem kotu, ki ga tvorita dve skrajni ravni črti, ki ne sekata AB. Te premice Lobačevski imenuje vzporedne z premico AB, kot med njimi in pravokotnico pa je kot vzporednosti. Ta kot je odvisen od razdalje od točke C do premice AB: večja kot je ta razdalja, manjši je kot vzporednosti. Črte, ki ležijo znotraj vogala, se imenujejo divergentne glede na AB.

Vsaki dve razhajajoči se premici p in q imata eno skupno pravokotno t, ki je najkrajši odsek premice od enega do drugega. Če se točka M premika vzdolž p v smeri od t, se bo razdalja od M do q povečala v neskončnost, osnove navpičnic, spuščene iz M na q, pa bodo zapolnile le končni odsek.

Če se premici p in q sekata, potem projekcije točk ene od njiju na drugo zapolnita tudi omejen odsek.

Če sta premici p in q vzporedni, se v eni smeri razdalje med njunima točkama neomejeno zmanjšujejo, v drugi pa neomejeno povečujejo; ena ravna črta se projicira na drug žarek.

Slike prikazujejo različne medsebojne lege ravnih p in q, ki so možne v geometriji Lobačevskega; r in s sta pravokotnici, vzporedni s q. (Prisiljeni smo narisati ukrivljeno črto q, čeprav govorimo o ravni črti. Tudi če bi naš svet kot celota spoštoval zakone geometrije Lobačevskega, še vedno ne bi mogli v majhnem merilu brez popačenj upodobiti, kako vse izgleda na veliko: v geometriji Lobačevskega ni podobnih figur, ki niso enake).

V notranjosti vogala je ravna črta, vzporedna z obema stranema vogala. Vse točke znotraj vogala razdeli na dve vrsti: skozi točke prve vrste lahko narišete ravne črte, ki sekajo obe strani vogala; skozi točke druge vrste ni mogoče potegniti takšne premice. Enako velja za prostor med vzporednimi črtami. Med dvema razhajajočima se premici sta dve premici, vzporedni z obema; razdelijo prostor med razhajajočimi se črtami na tri področja: skozi točke na enem območju lahko narišete črte, ki sekajo obe strani vogala; takšnih črt ni mogoče potegniti skozi točke v drugih dveh regijah.

Ostri kot, ne pravi kot, vedno temelji na premeru kroga. Stran pravilnega šesterokotnika, vpisana v krog, je vedno večja od njegovega polmera. Za katero koli n> 6 je mogoče sestaviti krog tako, da je stranica pravilnega n -kotnika, vpisana vanj, enaka njegovemu polmeru.

Lobačevskega je zanimalo vprašanje geometrije fizičnega prostora, zlasti z uporabo podatkov astronomskih opazovanj je izračunal vsoto kotov velikih medzvezdnih trikotnikov: vendar je razlika med to vsoto kotov od 180 ° v celoti ležala znotraj napake opazovanja. Nesporazum, ki je pripadel Lobačevskemu, ki je svojo geometrijo imenoval "imaginarna", je v veliki meri posledica dejstva, da so se v njegovem času takšne ideje zdele čiste abstrakcije in igra domišljije. Je nova geometrija res konsistentna? (Konec koncev, tudi če Lobačevskemu ni uspelo izpolniti protislovja, to ne zagotavlja, da ga pozneje ne bodo odkrili). Kako se nanaša na resnični svet, pa tudi na druga področja matematike? To je postalo jasno še zdaleč ne takoj, uspeh, ki je na koncu padel na veliko novih idej, pa je bil povezan z odkrivanjem modelov nove geometrije.



Priporočeno v branje