1736, കൊയിനിഗ്സ്ബർഗ്. പ്രെഗല്യ നദി നഗരത്തിലൂടെ ഒഴുകുന്നു. മുകളിലെ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നഗരത്തിൽ ഏഴ് പാലങ്ങളുണ്ട്. പുരാതന കാലം മുതൽ, കൊനിഗ്സ്ബർഗിലെ നിവാസികൾ ഒരു കടങ്കഥയുമായി മല്ലിടുന്നു: എല്ലാ പാലങ്ങളും മുറിച്ചുകടക്കാൻ കഴിയുമോ, ഓരോന്നിനും ഒരിക്കൽ മാത്രം? ഈ പ്രശ്നം സൈദ്ധാന്തികമായി, കടലാസിലും, പ്രായോഗികമായി, നടത്തത്തിലും - ഈ പാലങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. ഇത് അസാധ്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ആർക്കും കഴിഞ്ഞില്ല, എന്നാൽ പാലങ്ങളിലൂടെ അത്തരമൊരു "നിഗൂഢമായ" നടത്തം നടത്താൻ ആർക്കും കഴിഞ്ഞില്ല.

പ്രശസ്ത ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലിയോൺഹാർഡ് യൂലർ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞു. മാത്രമല്ല, ഈ നിർദ്ദിഷ്ട പ്രശ്നം മാത്രമല്ല, സമാനമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പൊതു രീതിയും അദ്ദേഹം പരിഹരിച്ചു. കോനിഗ്സ്ബർഗ് പാലങ്ങളുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, യൂലർ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മുന്നോട്ട് പോയി: അദ്ദേഹം ഭൂമിയെ പോയിൻ്റുകളായി "കംപ്രസ് ചെയ്തു", പാലങ്ങളെ വരികളായി "നീട്ടി". ഈ പോയിൻ്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളും വരികളും അടങ്ങുന്ന അത്തരമൊരു ചിത്രം വിളിക്കുന്നു COUNT.

ഒരു ഗ്രാഫ് എന്നത് ശൂന്യമല്ലാത്ത ഒരു കൂട്ടം ലംബങ്ങളുടെയും ലംബങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള കണക്ഷനുകളുടെയും ഒരു ശേഖരമാണ്. സർക്കിളുകളെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ എന്നും അമ്പുകളുള്ള വരകളെ കമാനങ്ങൾ എന്നും അമ്പുകളില്ലാത്ത വരകളെ അരികുകൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ഗ്രാഫുകളുടെ തരങ്ങൾ:

1. സംവിധാനം ചെയ്ത ഗ്രാഫ്(ചുരുക്കത്തിൽ ഡിഗ്രാഫ്) - അതിൻ്റെ അറ്റങ്ങൾ ഒരു ദിശ നിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്നു.

2. വഴിതിരിച്ചുവിടാത്ത ഗ്രാഫ്വരികളുടെ ദിശയില്ലാത്ത ഒരു ഗ്രാഫ് ആണ്.

3. വെയ്റ്റഡ് ഗ്രാഫ്- കമാനങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ അരികുകൾക്ക് ഭാരം ഉണ്ട് (അധിക വിവരങ്ങൾ).

ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു:

ടാസ്ക് 1.

പരിഹാരം: നമുക്ക് ശാസ്ത്രജ്ഞരെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങളായി സൂചിപ്പിക്കുകയും ഓരോ ശീർഷത്തിൽ നിന്നും മറ്റ് നാല് ലംബങ്ങളിലേക്കും വരകൾ വരയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം. ഞങ്ങൾക്ക് 10 വരികൾ ലഭിക്കുന്നു, അത് ഹാൻഡ്‌ഷേക്കുകളായി കണക്കാക്കും.

ടാസ്ക് 2.

സ്കൂൾ സൈറ്റിൽ 8 മരങ്ങൾ വളരുന്നു: ആപ്പിൾ മരം, പോപ്ലർ, ബിർച്ച്, റോവൻ, ഓക്ക്, മേപ്പിൾ, ലാർച്ച്, പൈൻ. റോവൻ ലാർച്ചിനേക്കാൾ ഉയർന്നതാണ്, ആപ്പിൾ മരം മേപ്പിളിനേക്കാൾ ഉയർന്നതാണ്, ഓക്ക് ബിർച്ചിനേക്കാൾ കുറവാണ്, എന്നാൽ പൈനേക്കാൾ ഉയർന്നത്, പൈൻ റോവനേക്കാൾ ഉയർന്നതാണ്, ബിർച്ച് പോപ്ലറിനേക്കാൾ താഴ്ന്നതാണ്, ലാർച്ച് ആപ്പിൾ മരത്തേക്കാൾ ഉയർന്നതാണ്. മരങ്ങൾ ഏറ്റവും ഉയരം കുറഞ്ഞത് മുതൽ ഉയരം വരെ ക്രമീകരിക്കുക.

പരിഹാരം:

ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ മരങ്ങളാണ്, ഇത് വൃക്ഷത്തിൻ്റെ പേരിൻ്റെ ആദ്യ അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ ടാസ്ക്കിൽ രണ്ട് ബന്ധങ്ങളുണ്ട്: "താഴ്ന്നിരിക്കുക", "ഉയർന്നത്". "താഴ്ന്നതായിരിക്കുക" എന്ന ബന്ധം പരിഗണിക്കുക, താഴ്ന്ന മരത്തിൽ നിന്ന് ഉയർന്നതിലേക്ക് അമ്പടയാളങ്ങൾ വരയ്ക്കുക. പർവത ചാരത്തിന് ലാർച്ചിനേക്കാൾ ഉയരമുണ്ടെന്ന് പ്രശ്നം പറയുന്നുവെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ലാർച്ചിൽ നിന്ന് പർവത ചാരത്തിലേക്ക് ഒരു അമ്പ് ഇടുന്നു. ആപ്പിൾ, ലാർച്ച്, റോവൻ, പൈൻ, ഓക്ക്, ബിർച്ച്, പോപ്ലർ എന്നിവയ്ക്ക് ശേഷം ഏറ്റവും ചെറിയ വൃക്ഷം മേപ്പിൾ ആണെന്ന് കാണിക്കുന്ന ഒരു ഗ്രാഫ് നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ടാസ്ക് 3.

നതാഷയ്ക്ക് 2 എൻവലപ്പുകൾ ഉണ്ട്: പതിവ്, വായു, കൂടാതെ 3 സ്റ്റാമ്പുകൾ: ദീർഘചതുരം, ചതുരം, ത്രികോണം. ഒരു കത്ത് അയയ്‌ക്കുന്നതിന് നതാഷയ്ക്ക് ഒരു കവറും ഒരു സ്റ്റാമ്പും എത്ര വഴികളിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാനാകും?

പരിഹാരം:

ചുമതലകളുടെ ഒരു തകർച്ചയാണ് താഴെ.

മുനിസിപ്പൽ ഓട്ടോണമസ് വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം സെക്കണ്ടറി സ്കൂൾ നമ്പർ 2

തയ്യാറാക്കിയത്

ലെഗ്കോകോനെറ്റ്സ് വ്ലാഡിസ്ലാവ്, പത്താം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥി

ഗ്രാഫ് തിയറിയുടെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗം

സൂപ്പർവൈസർ

എൽ.ഐ. നോസ്കോവ, ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകൻ

കല Bryukhovetskaya

2011

1.ആമുഖം…………………………………………………………………………………………………………

2. ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആവിർഭാവത്തിൻ്റെ ചരിത്രം ……………………………………………………………….4

3. ഗ്രാഫ് തിയറിയുടെ അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും …………………………………………………… 6

4. ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിച്ച പ്രശ്നങ്ങൾ ………………………………………………………………

4.1 പ്രസിദ്ധമായ പ്രശ്നങ്ങൾ ………………………………………………………………. 8

4.2 രസകരമായ നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ ……………………………………………… 9

5. ജനങ്ങളുടെ ജീവിതത്തിൻ്റെ വിവിധ മേഖലകളിൽ ഗ്രാഫുകളുടെ പ്രയോഗം ……………………………….11

6. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കൽ ………………………………………………………………………………………… 12

7. ഉപസംഹാരം……………………………………………………………………………….13

8. റഫറൻസുകളുടെ ലിസ്റ്റ് ……………………………………………………………………………… 14

9.അനുബന്ധം…………………………………………………………………………

ആമുഖം

പസിലുകൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ നിന്നും വിനോദ ഗെയിമുകളിൽ നിന്നും ജനിച്ച ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം ഇപ്പോൾ വൈവിധ്യമാർന്ന പ്രശ്‌നങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചോദ്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ലളിതവും ആക്‌സസ് ചെയ്യാവുന്നതും ശക്തവുമായ ഉപകരണമായി മാറിയിരിക്കുന്നു. ഗ്രാഫുകൾ അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ സർവ്വവ്യാപിയാണ്. ഗ്രാഫുകളുടെ രൂപത്തിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് റോഡ് മാപ്പുകളും ഇലക്ട്രിക്കൽ സർക്യൂട്ടുകളും, ഭൂമിശാസ്ത്രപരമായ മാപ്പുകളും രാസ സംയുക്തങ്ങളുടെ തന്മാത്രകളും, ആളുകളും ആളുകളുടെ ഗ്രൂപ്പുകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ വ്യാഖ്യാനിക്കാം. കഴിഞ്ഞ നാല് പതിറ്റാണ്ടുകളായി, ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും വേഗത്തിൽ വികസിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ശാഖകളിലൊന്നായി മാറിയിരിക്കുന്നു. അതിവേഗം വികസിക്കുന്ന ആപ്ലിക്കേഷൻ ഫീൽഡിൻ്റെ ആവശ്യങ്ങളാൽ ഇത് നയിക്കപ്പെടുന്നു. ഇൻ്റഗ്രേറ്റഡ് സർക്യൂട്ടുകളുടെയും കൺട്രോൾ സർക്യൂട്ടുകളുടെയും രൂപകൽപ്പനയിലും, ഓട്ടോമാറ്റ, ലോജിക്കൽ സർക്യൂട്ടുകൾ, പ്രോഗ്രാം ബ്ലോക്ക് ഡയഗ്രമുകൾ, സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ, രസതന്ത്രം, ജീവശാസ്ത്രം, ഷെഡ്യൂളിംഗ് സിദ്ധാന്തം എന്നിവയിൽ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ടാണ് പ്രസക്തിവിഷയം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്, ഒരു വശത്ത്, ഗ്രാഫുകളുടെയും അനുബന്ധ ഗവേഷണ രീതികളുടെയും ജനപ്രീതിയും മറുവശത്ത്, അത് നടപ്പിലാക്കുന്നതിനുള്ള അവികസിതവും സമഗ്രവുമായ ഒരു സംവിധാനമാണ്.

ജീവിതത്തിലെ പല പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന് നീണ്ട കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആവശ്യമാണ്, ചിലപ്പോൾ ഈ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പോലും വിജയം കൊണ്ടുവരുന്നില്ല. ഇതാണ് ഗവേഷണ പ്രശ്നം. ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: അവ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ലളിതവും യുക്തിസഹവും ഹ്രസ്വവും ഗംഭീരവുമായ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ? നിങ്ങൾ ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണോ? ഇത് നിശ്ചയിച്ചു എൻ്റെ ഗവേഷണ വിഷയം: "ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗം"

ഉദ്ദേശംപ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ വേഗത്തിൽ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിക്കാനായിരുന്നു ഗവേഷണം.

ഗവേഷണ സിദ്ധാന്തം.ഗ്രാഫ് രീതി വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ടതും ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെയും മനുഷ്യ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെയും വിവിധ മേഖലകളിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു.

ഗവേഷണ ലക്ഷ്യങ്ങൾ:

1. ഈ വിഷയത്തിൽ സാഹിത്യവും ഇൻ്റർനെറ്റ് ഉറവിടങ്ങളും പഠിക്കുക.

2. പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഗ്രാഫ് രീതിയുടെ ഫലപ്രാപ്തി പരിശോധിക്കുക.

3. ഒരു നിഗമനം വരയ്ക്കുക.

പഠനത്തിൻ്റെ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യംഫലങ്ങൾ നിസ്സംശയമായും നിരവധി ആളുകളുടെ താൽപ്പര്യം ഉണർത്തും എന്നതാണ്. നിങ്ങളുടെ കുടുംബവൃക്ഷം കെട്ടിപ്പടുക്കാൻ നിങ്ങളാരും ശ്രമിച്ചിട്ടില്ലേ? ഇത് എങ്ങനെ ശരിയായി ചെയ്യാം? ഒരു ട്രാൻസ്പോർട്ട് എൻ്റർപ്രൈസസിൻ്റെ തലവൻ ഒരു ലക്ഷ്യസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് നിരവധി സെറ്റിൽമെൻ്റുകളിലേക്ക് ചരക്ക് കൊണ്ടുപോകുമ്പോൾ ഗതാഗതത്തിൻ്റെ കൂടുതൽ ലാഭകരമായ ഉപയോഗത്തിൻ്റെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഓരോ സ്കൂൾകുട്ടിയും ലോജിക്കൽ ട്രാൻസ്ഫ്യൂഷൻ പ്രശ്നങ്ങൾ നേരിട്ടിട്ടുണ്ട്. ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അവ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

ജോലിയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: നിരീക്ഷണം, തിരച്ചിൽ, തിരഞ്ഞെടുക്കൽ, വിശകലനം.

ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ചരിത്രം

ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സ്ഥാപകൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലിയോൺഹാർഡ് യൂലർ (1707-1783) ആയി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. മഹാനായ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ്റെ കത്തിടപാടുകളിലൂടെ ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ചരിത്രം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. 1736 മാർച്ച് 13-ന് സെൻ്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗിൽ നിന്ന് അയച്ച ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും എഞ്ചിനീയറുമായ മരിനോണിക്ക് യൂലറുടെ കത്തിൽ നിന്ന് എടുത്ത ലാറ്റിൻ വാചകത്തിൻ്റെ വിവർത്തനം ഇതാ.

“കൊനിഗ്‌സ്‌ബെർഗ് നഗരത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഒരു ദ്വീപിനെ കുറിച്ചും അതിനു കുറുകെ ഏഴു പാലങ്ങളുള്ള ഒരു നദിയാൽ ചുറ്റപ്പെട്ടതിനെ കുറിച്ചും ഒരിക്കൽ എനിക്ക് ഒരു പ്രശ്‌നം വന്നു.

[അനുബന്ധം ചിത്രം.1]ഓരോ പാലത്തിന് മുകളിലൂടെയും ഒരു തവണ മാത്രം കടന്നുപോകുന്ന ഒരാൾക്ക് തുടർച്ചയായി അവരെ ചുറ്റിനടക്കാൻ കഴിയുമോ എന്നതാണ് ചോദ്യം. ആർക്കും ഇതുവരെ ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ലെന്ന് എന്നെ അറിയിച്ചു, പക്ഷേ ഇത് അസാധ്യമാണെന്ന് ആരും തെളിയിച്ചിട്ടില്ല. ഈ ചോദ്യം നിസ്സാരമാണെങ്കിലും, അത് പരിഹരിക്കാൻ ജ്യാമിതിയോ ബീജഗണിതമോ സംയോജിത കലയോ പര്യാപ്തമല്ല എന്നതിനാൽ ശ്രദ്ധ അർഹിക്കുന്നു. വളരെയധികം ആലോചിച്ച ശേഷം, തികച്ചും ബോധ്യപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു തെളിവിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞാൻ ഒരു എളുപ്പ നിയമം കണ്ടെത്തി, അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ ഇത്തരത്തിലുള്ള എല്ലാ പ്രശ്‌നങ്ങളിലും ഇത്തരമൊരു വഴിമാറിയത് ഏത് നമ്പറിലൂടെയും എത്ര പാലങ്ങളിലൂടെയും നടത്താനാകുമോ എന്ന് ഉടനടി നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും. അല്ലെങ്കിൽ അല്ല. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്ന തരത്തിലാണ് കൊയിനിഗ്സ്ബർഗ് പാലങ്ങൾ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് [അനുബന്ധം ചിത്രം.2], ഇതിൽ A ഒരു ദ്വീപിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, B, C, D - ഭൂഖണ്ഡത്തിൻ്റെ ഭാഗങ്ങൾ നദി ശാഖകളാൽ പരസ്പരം വേർതിരിക്കുന്നു

ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ താൻ കണ്ടെത്തിയ രീതിയെക്കുറിച്ച്, യൂലർ എഴുതി:

"ഈ പരിഹാരത്തിന്, അതിൻ്റെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, പ്രത്യക്ഷത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി വലിയ ബന്ധമില്ല, മാത്രമല്ല ഈ പരിഹാരം മറ്റേതെങ്കിലും വ്യക്തിയിൽ നിന്നല്ല, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനിൽ നിന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് എനിക്ക് മനസ്സിലാകുന്നില്ല, കാരണം ഈ തീരുമാനത്തെ ന്യായവാദത്തിലൂടെ മാത്രം പിന്തുണയ്ക്കുന്നു, കൂടാതെ ഒന്നുമില്ല. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അന്തർലീനമായ ഏതെങ്കിലും നിയമങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഈ പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ, ഗണിതവുമായി വളരെ കുറച്ച് ബന്ധമുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ മറ്റുള്ളവരേക്കാൾ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പരിഹരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കൂടുതലാണെന്ന് എനിക്ക് അറിയില്ല."

അപ്പോൾ ഈ പാലങ്ങളിൽ ഓരോന്നിനും ഒരു പ്രാവശ്യം മാത്രം കടന്ന് കോനിഗ്സ്ബർഗ് പാലങ്ങൾ ചുറ്റാൻ കഴിയുമോ? ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ, നമുക്ക് മറിനോണിക്കുള്ള യൂലറുടെ കത്ത് തുടരാം:

"ഈ ഏഴ് പാലങ്ങളെയും മറികടക്കാൻ കഴിയുമോ ഇല്ലയോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക എന്നതാണ് ചോദ്യം. ഓരോന്നിനും ഒരു തവണ മാത്രം കടന്നുപോകാൻ കഴിയുമോ ഇല്ലയോ. എൻ്റെ നിയമം ഈ ചോദ്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന പരിഹാരത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഒന്നാമതായി, നിങ്ങൾ എത്ര പ്രദേശങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് നോക്കേണ്ടതുണ്ട്. ജലത്താൽ വേർതിരിക്കപ്പെടുന്നു - അത്തരം , ഒരു പാലത്തിലൂടെയല്ലാതെ മറ്റൊന്നിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മറ്റൊരു വഴിയും ഇല്ല. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, അത്തരം നാല് വിഭാഗങ്ങളുണ്ട് - A, B, C, D. അടുത്തതായി, നിങ്ങൾ സംഖ്യയാണോ എന്ന് വേർതിരിച്ചറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഈ വ്യക്തിഗത വിഭാഗങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പാലങ്ങളുടെ എണ്ണം ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ ആണ്. അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, അഞ്ച് പാലങ്ങൾ എ വിഭാഗത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, കൂടാതെ മൂന്ന് പാലങ്ങൾ വീതം ബാക്കിയുള്ളവയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, അതായത് വ്യക്തിഗത വിഭാഗങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പാലങ്ങളുടെ എണ്ണം വിചിത്രമാണ്, ഇത് മാത്രം മതി പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, ഇത് നിർണ്ണയിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നു: ഓരോ പ്രത്യേക വിഭാഗത്തിലേക്കും നയിക്കുന്ന പാലങ്ങളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണെങ്കിൽ, സംശയാസ്പദമായ വഴിതിരിച്ചുവിടൽ സാധ്യമാകും, അതേ സമയം ഇത് ആരംഭിക്കാനും കഴിയും. ഏതെങ്കിലും വിഭാഗത്തിൽ നിന്നുള്ള വഴിതിരിച്ചുവിടൽ. എന്നിരുന്നാലും, ഈ സംഖ്യകളിൽ രണ്ടെണ്ണം ഒറ്റയാണെങ്കിൽ, ഒന്ന് മാത്രം ഒറ്റയായിരിക്കാൻ കഴിയില്ല, അപ്പോൾ പോലും പരിവർത്തനം പൂർത്തിയാക്കാൻ കഴിയും, നിർദ്ദേശിച്ചതുപോലെ, പക്ഷേ വഴിമാറിനടക്കലിൻ്റെ ആരംഭം മാത്രമേ തീർച്ചയായും എടുക്കാവൂ. ഒറ്റസംഖ്യ പാലങ്ങൾ നയിക്കുന്ന രണ്ട് വിഭാഗങ്ങളിൽ ഒന്ന്. അവസാനമായി, ഒറ്റസംഖ്യ പാലങ്ങൾ നയിക്കുന്ന രണ്ടിലധികം വിഭാഗങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു പ്രസ്ഥാനം പൊതുവെ അസാധ്യമാണ് ... മറ്റ്, കൂടുതൽ ഗുരുതരമായ പ്രശ്നങ്ങൾ ഇവിടെ കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഈ രീതി ഇതിലും വലിയ പ്രയോജനം നൽകുകയും വേണം. അവഗണിക്കരുത്."

ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും

ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ശ്രമങ്ങളാൽ സൃഷ്ടിക്കപ്പെട്ട ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര അച്ചടക്കമാണ്, അതിനാൽ അതിൻ്റെ അവതരണത്തിൽ ആവശ്യമായ കർശനമായ നിർവചനങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളുടെ സംഘടിത ആമുഖത്തിലേക്ക് പോകാം.

നിർവ്വചനം 1.ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന പരിമിതമായ എണ്ണം പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു ശേഖരമാണ് ഗ്രാഫ്, ഗ്രാഫിൻ്റെ അരികുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ആർക്കുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഈ ലംബങ്ങളിൽ ചിലതിനെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ജോടി വരികൾ.

ഈ നിർവചനം വ്യത്യസ്തമായി രൂപപ്പെടുത്താം: ഒരു ഗ്രാഫ് എന്നത് ഒരു ശൂന്യമല്ലാത്ത പോയിൻ്റുകളും (ലംബങ്ങൾ) സെഗ്‌മെൻ്റുകളും (അരികുകൾ) ആണ്, ഇവയുടെ രണ്ടറ്റവും ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റുകളിൽ പെടുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്നതിൽ, ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങളെ A, B, C, D എന്നീ ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കും. ചിലപ്പോൾ ഗ്രാഫ് മൊത്തത്തിൽ ഒരു വലിയ അക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കും.

നിർവ്വചനം 2.ഒരു അരികിലും ഉൾപ്പെടാത്ത ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങളെ ഒറ്റപ്പെട്ടതായി വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 3.ഒറ്റപ്പെട്ട ലംബങ്ങൾ മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഗ്രാഫിനെ null എന്ന് വിളിക്കുന്നു - എണ്ണുക .

കുറിപ്പ്: O "– അരികുകളില്ലാത്ത ഒരു ഗ്രാഫ്

നിർവ്വചനം 4.ഓരോ ജോഡി ലംബങ്ങളും ഒരു അരികിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഗ്രാഫിനെ പൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പദവി: യു" – ഈ ലംബങ്ങളുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ ജോഡികളെയും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന n വെർട്ടീസുകളും അരികുകളും അടങ്ങുന്ന ഒരു ഗ്രാഫ്. എല്ലാ ഡയഗണലുകളും വരച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു n-gon ആയി അത്തരമൊരു ഗ്രാഫിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം

നിർവ്വചനം 5.ഒരു ശീർഷത്തിൻ്റെ അളവ് ശീർഷം ഉൾപ്പെടുന്ന അരികുകളുടെ എണ്ണമാണ്.

നിർവ്വചനം 6.എല്ലാ k ശീർഷകങ്ങളുടെയും ഡിഗ്രികൾ തുല്യമായ ഒരു ഗ്രാഫിനെ ഒരു ഏകീകൃത ഡിഗ്രി ഗ്രാഫ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു .

നിർവ്വചനം 7.തന്നിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിൻ്റെ പൂരകം എല്ലാ അരികുകളും അവയുടെ അറ്റങ്ങളും അടങ്ങുന്ന ഒരു ഗ്രാഫാണ്, അത് ഒരു പൂർണ്ണ ഗ്രാഫ് ലഭിക്കുന്നതിന് യഥാർത്ഥ ഗ്രാഫിലേക്ക് ചേർക്കേണ്ടതാണ്.

നിർവ്വചനം 8.ഒരു തലത്തിൽ അതിൻ്റെ അരികുകൾ ശീർഷങ്ങളിൽ മാത്രം വിഭജിക്കുന്ന തരത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ഗ്രാഫിനെ പ്ലാനർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 9.ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങളോ അരികുകളോ ഇല്ലാത്ത ഒരു പ്ലാനർ ഗ്രാഫിൻ്റെ ബഹുഭുജത്തെ അതിൻ്റെ മുഖം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

വിവിധ മാപ്പുകളുടെ “ശരിയായ” കളറിംഗിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു പ്ലാനർ ഗ്രാഫിൻ്റെയും ഗ്രാഫ് മുഖത്തിൻ്റെയും ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 10. A മുതൽ X വരെയുള്ള ഒരു പാത A മുതൽ X വരെയുള്ള അരികുകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ്, അതായത് ഓരോ രണ്ട് സമീപമുള്ള അരികുകൾക്കും ഒരു പൊതു ശീർഷം ഉണ്ടായിരിക്കും, കൂടാതെ ഒരു അരികും ഒന്നിലധികം തവണ സംഭവിക്കുന്നില്ല.

നിർവ്വചനം 11.ഒരു ചക്രം എന്നത് ആരംഭിക്കുന്നതും അവസാനിക്കുന്നതുമായ പോയിൻ്റുകൾ ഒത്തുചേരുന്ന ഒരു പാതയാണ്.

നിർവ്വചനം 12.ഗ്രാഫിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ശിഖരങ്ങളിലൂടെ ഒന്നിലധികം തവണ കടന്നുപോകാത്ത ഒരു ചക്രമാണ് ലളിതമായ ചക്രം.

നിർവ്വചനം 13.പാതയുടെ നീളം , ഒരു ലൂപ്പിൽ വെച്ചു , ഈ പാതയുടെ അരികുകളുടെ എണ്ണത്തെ വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 14.ഒരു ഗ്രാഫിലെ A, B എന്നീ രണ്ട് ശീർഷകങ്ങളെ A-യിൽ നിന്ന് B-യിലേക്ക് നയിക്കുന്ന ഒരു പാത നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ (നിലവിലില്ല) ബന്ധിപ്പിച്ചത് (വിച്ഛേദിക്കപ്പെട്ടത്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 15.ഒരു ഗ്രാഫ് അതിൻ്റെ ഓരോ രണ്ട് ശീർഷകങ്ങളും ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ അതിനെ കണക്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു; ഗ്രാഫിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു ജോടി വിച്ഛേദിച്ച ലംബങ്ങളെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഗ്രാഫിനെ വിച്ഛേദിച്ചതായി വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 16.ഒരു വൃക്ഷം എന്നത് സൈക്കിളുകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത ഒരു ബന്ധിപ്പിച്ച ഗ്രാഫാണ്.

ഒരു ട്രീ ഗ്രാഫിൻ്റെ ത്രിമാന മാതൃക, ഉദാഹരണത്തിന്, സങ്കീർണ്ണമായ ശാഖകളുള്ള കിരീടമുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ വൃക്ഷം; നദിയും അതിൻ്റെ പോഷകനദികളും ഒരു വൃക്ഷമായി മാറുന്നു, പക്ഷേ ഇതിനകം പരന്നതാണ് - ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലത്തിൽ.

നിർവ്വചനം 17.പൂർണ്ണമായും മരങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു വിച്ഛേദിക്കപ്പെട്ട ഗ്രാഫിനെ വനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 18.എല്ലാ n ശീർഷകങ്ങളും 1 മുതൽ n വരെ അക്കമിട്ടിരിക്കുന്ന ഒരു വൃക്ഷത്തെ പുനർനമ്പർ ചെയ്ത ലംബങ്ങളുള്ള ഒരു വൃക്ഷം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു, അതില്ലാതെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്, തൽഫലമായി, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു

പ്രശസ്തമായ പ്രശ്നങ്ങൾ

യാത്രാ സെയിൽസ്മാൻ പ്രശ്നം

കോമ്പിനേറ്ററിക്സ് സിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രശസ്തമായ പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്നാണ് ട്രാവലിംഗ് സെയിൽസ്മാൻ പ്രശ്നം. ഇത് 1934 ൽ മുന്നോട്ട് വയ്ക്കപ്പെട്ടു, മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അതിൽ പല്ലുകൾ പൊട്ടിച്ചു.

പ്രശ്ന പ്രസ്താവന ഇപ്രകാരമാണ്.
ഒരു ട്രാവലിംഗ് സെയിൽസ്മാൻ (അലഞ്ഞുതിരിയുന്ന വ്യാപാരി) ആദ്യത്തെ നഗരം വിട്ട് 2,1,3..n നഗരങ്ങൾ ഒരു അജ്ഞാത ക്രമത്തിൽ ഒരിക്കൽ സന്ദർശിച്ച് ആദ്യത്തെ നഗരത്തിലേക്ക് മടങ്ങണം. നഗരങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം അറിയാം. ഒരു ട്രാവലിംഗ് സെയിൽസ്മാൻ്റെ അടച്ച പാത (പര്യടനം) ഏറ്റവും ഹ്രസ്വമായിരിക്കുന്നതിന് ഏത് ക്രമത്തിലാണ് ഒരാൾ നഗരങ്ങൾ ചുറ്റേണ്ടത്?

ട്രാവലിംഗ് സെയിൽസ്മാൻ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതി

അത്യാഗ്രഹ അൽഗോരിതം "അടുത്തുള്ള (നിങ്ങൾ ഇതുവരെ പ്രവേശിച്ചിട്ടില്ലാത്ത) നഗരത്തിലേക്ക് പോകുക."
ഈ അൽഗോരിതം "അത്യാഗ്രഹം" എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം അവസാന ഘട്ടങ്ങളിൽ നിങ്ങൾ അത്യാഗ്രഹത്തിന് കഠിനമായി പണം നൽകണം.
ചിത്രത്തിലെ നെറ്റ്‌വർക്ക് ഉദാഹരണമായി പരിഗണിക്കുക [അനുബന്ധം ചിത്രം.3], ഒരു ഇടുങ്ങിയ റോംബസിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഒരു ട്രാവലിംഗ് സെയിൽസ്മാൻ നഗരം 1 ൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കട്ടെ. "അടുത്ത നഗരത്തിലേക്ക് പോകുക" അൽഗോരിതം അവനെ നഗരം 2, തുടർന്ന് 3, തുടർന്ന് 4 എന്നിവയിലേക്ക് കൊണ്ടുപോകും; അവസാന ഘട്ടത്തിൽ നിങ്ങളുടെ അത്യാഗ്രഹത്തിന് പണം നൽകേണ്ടിവരും, വജ്രത്തിൻ്റെ നീണ്ട ഡയഗണലിലൂടെ മടങ്ങുക. ഫലം ചെറുതല്ല, ദൈർഘ്യമേറിയ ടൂർ ആയിരിക്കും.

കോനിഗ്സ്ബർഗ് പാലങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രശ്നം.

പ്രശ്നം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.
പ്രെഗൽ നദിയുടെയും രണ്ട് ദ്വീപുകളുടെയും തീരത്താണ് കൊയിനിഗ്സ്ബർഗ് നഗരം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. നഗരത്തിൻ്റെ വിവിധ ഭാഗങ്ങൾ ഏഴ് പാലങ്ങളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരുന്നു. ഞായറാഴ്ചകളിൽ നഗരവാസികൾ നഗരം ചുറ്റിനടന്നു. ചോദ്യം: നിങ്ങൾ വീട്ടിൽ നിന്ന് ഇറങ്ങുമ്പോൾ, ഓരോ പാലത്തിനും മുകളിലൂടെ കൃത്യം ഒരു തവണ നടന്ന് തിരികെ മടങ്ങുന്ന രീതിയിൽ നടക്കാൻ കഴിയുമോ?
പ്രെഗൽ നദിക്ക് കുറുകെയുള്ള പാലങ്ങൾ ചിത്രത്തിൽ കാണുന്നത് പോലെയാണ്[അനുബന്ധം ചിത്രം.1].

ബ്രിഡ്ജ് ഡയഗ്രാമുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കുക [അനുബന്ധം ചിത്രം 2].

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, ഗ്രാഫ് Eulerian ആണോ എന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാൻ മതിയാകും. (ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യ പാലങ്ങൾ കുറഞ്ഞത് ഒരു ശീർഷത്തിൽ നിന്നെങ്കിലും നീട്ടണം). നിങ്ങൾക്ക് നഗരം ചുറ്റിനടന്ന് എല്ലാ പാലങ്ങളും ഒരു തവണ കടന്ന് തിരികെ വരാൻ കഴിയില്ല.

രസകരമായ നിരവധി ജോലികൾ

1. "റൂട്ടുകൾ".

പ്രശ്നം 1

നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നതുപോലെ, മരിച്ച ആത്മാക്കളെ വേട്ടയാടുന്ന ചിച്ചിക്കോവ് പ്രശസ്ത ഭൂവുടമകളെ ഒരിക്കൽ സന്ദർശിച്ചു. ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമത്തിൽ അദ്ദേഹം അവരെ സന്ദർശിച്ചു: മനിലോവ്, കൊറോബോച്ച്ക, നോസ്ഡ്രിയോവ്, സോബകേവിച്ച്, പ്ലൂഷ്കിൻ, ടെൻ്ററ്റ്നിക്കോവ്, ജനറൽ ബെട്രിഷ്ചേവ്, പെതുഖ്, കോൺസ്റ്റാൻഷോൾഗോ, കേണൽ കോഷ്കരേവ്. എസ്റ്റേറ്റുകളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനങ്ങളും അവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന രാജ്യ പാതകളും ചിച്ചിക്കോവ് വരച്ച ഒരു ഡയഗ്രം കണ്ടെത്തി. ചിച്ചിക്കോവ് ഒന്നിലധികം തവണ റോഡുകളൊന്നും ഓടിച്ചില്ലെങ്കിൽ, ഏത് എസ്റ്റേറ്റ് ആർക്കുള്ളതാണെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക [അനുബന്ധം ചിത്രം 4].

പരിഹാരം:

ചിച്ചിക്കോവ് എസ്റ്റേറ്റ് E യിൽ നിന്ന് തൻ്റെ യാത്ര ആരംഭിച്ച് എസ്റ്റേറ്റ് O യിൽ അവസാനിച്ചതായി റോഡ് മാപ്പ് കാണിക്കുന്നു. രണ്ട് റോഡുകൾ മാത്രമേ എസ്റ്റേറ്റുകളിലേക്കും ബിയിലേക്കും നയിക്കുന്നുള്ളൂ, അതിനാൽ ചിച്ചിക്കോവിന് ഈ റോഡുകളിലൂടെ സഞ്ചരിക്കേണ്ടിവന്നു. നമുക്ക് അവയെ ഒരു ബോൾഡ് ലൈൻ ഉപയോഗിച്ച് അടയാളപ്പെടുത്താം. എയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന റൂട്ടിൻ്റെ ഭാഗങ്ങൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞു: എസി, എബി. ചിച്ചിക്കോവ് എഇ, എകെ, എഎം എന്നീ റോഡുകളിലൂടെ സഞ്ചരിച്ചില്ല. നമുക്ക് അവരെ മറികടക്കാം. നമുക്ക് ഒരു ബോൾഡ് ലൈൻ ED ഉപയോഗിച്ച് അടയാളപ്പെടുത്താം; നമുക്ക് ഡികെയെ മറികടക്കാം. നമുക്ക് MO, MN എന്നിവയെ മറികടക്കാം; ഒരു ബോൾഡ് ലൈൻ MF ഉപയോഗിച്ച് അടയാളപ്പെടുത്താം; എഫ്ഒയെ മറികടക്കുക; FH, NK, KO എന്നിവ ബോൾഡ് ലൈൻ ഉപയോഗിച്ച് അടയാളപ്പെടുത്താം. ഈ അവസ്ഥയിൽ സാധ്യമായ ഏക വഴി കണ്ടെത്താം. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു: എസ്റ്റേറ്റ് ഇ - മനിലോവിൻ്റെതാണ്, ഡി - കൊറോബോച്ച്ക, സി - നോസ്ഡ്രിയോവ്, എ - സോബാകെവിച്ച്, ബി - പ്ലുഷ്കിൻ, എം - ടെൻ്ററ്റ്നിക്കോവ്, എഫ് - ബെട്രിഷ്ചേവ്, എൻ - പെതുഖ്, കെ - കോൺസ്റ്റാൻഷോൾഗോ, ഒ - കോഷ്കരേവ് [അനുബന്ധം ചിത്രം.5].

പ്രശ്നം 2

ചിത്രം പ്രദേശത്തിൻ്റെ ഒരു ഭൂപടം കാണിക്കുന്നു [അനുബന്ധം ചിത്രം 6].

നിങ്ങൾക്ക് അമ്പടയാളങ്ങളുടെ ദിശയിൽ മാത്രമേ നീങ്ങാൻ കഴിയൂ. നിങ്ങൾക്ക് ഓരോ പോയിൻ്റും ഒന്നിൽ കൂടുതൽ സന്ദർശിക്കാൻ കഴിയില്ല. പോയിൻ്റ് 1 മുതൽ പോയിൻ്റ് 9 വരെ നിങ്ങൾക്ക് എത്ര വഴികളിലൂടെ ലഭിക്കും? ഏത് പാതയാണ് ഏറ്റവും നീളം കുറഞ്ഞതും ഏതാണ്.

പരിഹാരം:

ശീർഷകം 1 ൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി സർക്യൂട്ടിനെ ഒരു മരത്തിലേക്ക് “സ്ട്രാറ്റൈഫൈ” ചെയ്യുന്നു [അനുബന്ധം ചിത്രം.7]. നമുക്ക് ഒരു മരം എടുക്കാം. 1 മുതൽ 9 വരെ സാധ്യമായ വഴികളുടെ എണ്ണം വൃക്ഷത്തിൻ്റെ "തൂങ്ങിക്കിടക്കുന്ന" ശീർഷകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് (അവയിൽ 14 എണ്ണം ഉണ്ട്). വ്യക്തമായും ഏറ്റവും ചെറിയ പാത 1-5-9 ആണ്; ഏറ്റവും ദൈർഘ്യമേറിയത് 1-2-3-6-5-7-8-9 ആണ്.

2 "ഗ്രൂപ്പുകൾ, ഡേറ്റിംഗ്"

പ്രശ്നം 1

സംഗീതോത്സവത്തിൽ പങ്കെടുത്തവർ കണ്ടുമുട്ടി, വിലാസങ്ങളുള്ള കവറുകൾ കൈമാറി. അത് തെളിയിക്കൂ:

a) ഇരട്ട എണ്ണം എൻവലപ്പുകൾ കൈമാറി;

b) ഒറ്റസംഖ്യയിൽ കവറുകൾ കൈമാറിയ പങ്കാളികളുടെ എണ്ണം ഇരട്ടയാണ്.

പരിഹാരം: ഉത്സവത്തിൽ പങ്കെടുക്കുന്നവർ A 1, A 2, A 3 ആയിരിക്കട്ടെ. . . , കൂടാതെ n എന്നത് ഗ്രാഫിൻ്റെ ശീർഷകങ്ങളാണ്, അരികുകൾ എൻവലപ്പുകൾ കൈമാറ്റം ചെയ്യുന്ന ആൺകുട്ടികളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ജോഡി ലംബങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. [അനുബന്ധം ചിത്രം.8]

പരിഹാരം:

a) ഓരോ ശീർഷകത്തിൻ്റെയും ഡിഗ്രി A i, പങ്കെടുക്കുന്നയാൾ A ഞാൻ അവൻ്റെ സുഹൃത്തുക്കൾക്ക് നൽകിയ എൻവലപ്പുകളുടെ എണ്ണം കാണിക്കുന്നു. ട്രാൻസ്മിറ്റ് ചെയ്ത എൻവലപ്പുകളുടെ ആകെ എണ്ണം N = ഡിഗ്രി ഗ്രാഫിൻ്റെ എല്ലാ വെർട്ടീസുകളുടെയും ഡിഗ്രികളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഒരു 1+ ഘട്ടം. എ 2 ++. . . + ഘട്ടം. എ n -1 + ഡിഗ്രി. കൂടാതെ n, N =2p, ഇവിടെ p എന്നത് ഗ്രാഫിൻ്റെ അരികുകളുടെ എണ്ണമാണ്, അതായത്. N - പോലും. തൽഫലമായി, ഇരട്ട എണ്ണം എൻവലപ്പുകൾ കൈമാറി;

b) തുല്യത N = ഡിഗ്രിയിൽ. ഒരു 1+ ഘട്ടം. എ 2 ++. . . + ഘട്ടം. എ n -1 + ഡിഗ്രി. കൂടാതെ n ഒറ്റ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഇരട്ടിയായിരിക്കണം, ഒറ്റ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം ഇരട്ടിയാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ. ഇതിനർത്ഥം, ഒറ്റസംഖ്യയിൽ കവറുകൾ കൈമാറിയ പങ്കാളികളുടെ എണ്ണം ഇരട്ടയാണ് എന്നാണ്.

പ്രശ്നം 2

ഒരു ദിവസം ആൻഡ്രി, ബോറിസ്, വോലോദ്യ, ദശ, ഗല്യ എന്നിവർ വൈകുന്നേരം സിനിമയ്ക്ക് പോകാൻ സമ്മതിച്ചു. സിനിമയുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പും ഫോണിലൂടെ ഷോയും ഏകോപിപ്പിക്കാൻ അവർ തീരുമാനിച്ചു. ആരെയെങ്കിലും ഫോണിൽ ബന്ധപ്പെടാൻ സാധിച്ചില്ലെങ്കിൽ സിനിമയിലേക്കുള്ള യാത്ര റദ്ദാക്കാനും തീരുമാനിച്ചു. വൈകുന്നേരം, എല്ലാവരും സിനിമയിൽ ഒത്തുകൂടിയില്ല, അതിനാൽ സിനിമാ സന്ദർശനം റദ്ദാക്കി. ആരെയാണ് വിളിച്ചതെന്ന് അടുത്ത ദിവസം അവർ കണ്ടുപിടിക്കാൻ തുടങ്ങി. ആൻഡ്രി ബോറിസിനെയും വോലോദ്യയെയും, വോലോദ്യയെ ബോറിസിനെയും ദശയെയും വിളിച്ചു, ബോറിസ് ആൻഡ്രിയെയും ദശയെയും വിളിച്ചു, ദശ ആൻഡ്രിയെയും വോലോഡ്യയെയും വിളിച്ചു, ഗല്യ ആൻഡ്രി, വോലോദ്യ, ബോറിസ് എന്ന് വിളിച്ചു. ആരാണ് ഫോണിൽ ബന്ധപ്പെടാൻ കഴിയാതിരുന്നത്, അതിനാൽ യോഗത്തിന് വരാത്തത്?

പരിഹാരം:

നമുക്ക് അഞ്ച് ഡോട്ടുകൾ വരച്ച് എ, ബി, സി, ഡി, ഡി എന്നീ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ലേബൽ ചെയ്യാം. ഇതാണ് പേരുകളുടെ ആദ്യ അക്ഷരങ്ങൾ. വിളിച്ച ആളുകളുടെ പേരുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഡോട്ടുകൾ നമുക്ക് ബന്ധിപ്പിക്കാം.

[അനുബന്ധം ചിത്രം.9]

ഓരോ ആൺകുട്ടികളും - ആൻഡ്രി, ബോറിസ്, വോലോദ്യ - മറ്റെല്ലാവരെയും ഫോണിൽ വിളിച്ചതായി ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്. അതുകൊണ്ടാണ് ഇവർ സിനിമയിലേക്ക് വന്നത്. എന്നാൽ ഗല്യയ്ക്കും ദശയ്ക്കും പരസ്പരം ഫോണിൽ ബന്ധപ്പെടാൻ കഴിഞ്ഞില്ല (ജി, ഇ പോയിൻ്റുകൾ ഒരു ലൈൻ സെഗ്‌മെൻ്റ് വഴി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടില്ല) അതിനാൽ, കരാർ അനുസരിച്ച് സിനിമയിൽ വന്നില്ല.

ആളുകളുടെ ജീവിതത്തിൻ്റെ വിവിധ മേഖലകളിൽ ഗ്രാഫുകളുടെ പ്രയോഗം

നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് പുറമേ, നിർമ്മാണം, ഇലക്ട്രിക്കൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ്, മാനേജ്മെൻ്റ്, ലോജിസ്റ്റിക്സ്, ഭൂമിശാസ്ത്രം, മെക്കാനിക്കൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ്, സോഷ്യോളജി, പ്രോഗ്രാമിംഗ്, സാങ്കേതിക പ്രക്രിയകളുടെ ഓട്ടോമേഷൻ, ഉത്പാദനം, മനഃശാസ്ത്രം, പരസ്യം ചെയ്യൽ എന്നിവയിൽ ഗ്രാഫുകൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതിനാൽ, മുകളിൽ പറഞ്ഞവയിൽ നിന്ന്, ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രായോഗിക മൂല്യം അനിഷേധ്യമായി പിന്തുടരുന്നു, അതിൻ്റെ തെളിവാണ് ഈ പഠനത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യം.

ശാസ്‌ത്ര-സാങ്കേതിക മേഖലകളിലെ ഏത് മേഖലയിലും നിങ്ങൾ ഗ്രാഫുകൾ കണ്ടുമുട്ടുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് ഗണിത, സാമ്പത്തിക, ലോജിക്കൽ പ്രശ്നങ്ങൾ, വിവിധ പസിലുകൾ എന്നിവ പരിഹരിക്കാനും ഭൗതികശാസ്ത്രം, രസതന്ത്രം, ഇലക്ട്രോണിക്സ്, ഓട്ടോമേഷൻ എന്നിവയിലെ പ്രശ്നങ്ങളുടെ അവസ്ഥ ലളിതമാക്കാനും കഴിയുന്ന അത്ഭുതകരമായ ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കളാണ് ഗ്രാഫുകൾ. ഗ്രാഫുകളുടെ ഭാഷയിൽ പല ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുതകളും സൗകര്യപ്രദമായി രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും. ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം പല ശാസ്ത്രങ്ങളുടെയും ഭാഗമാണ്. ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം ഏറ്റവും മനോഹരവും ദൃശ്യപരവുമായ ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്. അടുത്തിടെ, ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിച്ച പ്രശ്നങ്ങളിൽ കൂടുതൽ കൂടുതൽ ആപ്ലിക്കേഷനുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു. കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ കെമിസ്ട്രി പോലും ഉയർന്നുവന്നിട്ടുണ്ട് - ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രയോഗത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള താരതമ്യേന യുവ രസതന്ത്രം.

തന്മാത്രാ ഗ്രാഫുകൾ, സ്റ്റീരിയോകെമിസ്ട്രിയിലും സ്ട്രക്ചറൽ ടോപ്പോളജിയിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു, ക്ലസ്റ്ററുകളുടെ രസതന്ത്രം, പോളിമറുകൾ മുതലായവ, തന്മാത്രകളുടെ ഘടന പ്രദർശിപ്പിക്കുന്ന അൺഡയറക്ടഡ് ഗ്രാഫുകളാണ്. [അനുബന്ധം ചിത്രം 10]. ഈ ഗ്രാഫുകളുടെ ലംബങ്ങളും അരികുകളും അനുബന്ധ ആറ്റങ്ങളോടും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കെമിക്കൽ ബോണ്ടുകളോടും യോജിക്കുന്നു.

തന്മാത്രാ ഗ്രാഫുകളും മരങ്ങളും: [അനുബന്ധം ചിത്രം 10]യഥാക്രമം a, b - മൾട്ടിഗ്രാഫുകൾ. എഥിലീനും ഫോർമാൽഡിഹൈഡും; അവർ പറയുന്നു പെൻ്റെയ്ൻ ഐസോമറുകൾ (മരങ്ങൾ 4, 5 മരങ്ങൾ 2 മുതൽ ഐസോമോഫിക് ആണ്).

ജീവികളുടെ സ്റ്റീരിയോകെമിസ്ട്രിയിലാണ് ഏറ്റവും കൂടുതൽ. തന്മാത്രാ മരങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട് - തന്മാത്രാ ഗ്രാഫുകളുടെ പ്രധാന മരങ്ങൾ, സി ആറ്റങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട എല്ലാ ശീർഷകങ്ങളും മാത്രം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. മരങ്ങളും അവയുടെ ഐസോമോർഫിസത്തിൻ്റെ സ്ഥാപനവും അവർ പറയുന്നത് നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. ഘടനകൾ, ആൽക്കെയ്നുകൾ, ആൽക്കീനുകൾ, ആൽക്കൈനുകൾ എന്നിവയുടെ മൊത്തം ഐസോമറുകളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക

പ്രോട്ടീൻ നെറ്റ്‌വർക്കുകൾ

പ്രോട്ടീൻ നെറ്റ്‌വർക്കുകൾ ശാരീരികമായി ഇടപഴകുന്ന പ്രോട്ടീനുകളുടെ ഗ്രൂപ്പുകളാണ്, അവ ഒരു കോശത്തിൽ ഒരുമിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുകയും ശരീരത്തിൽ സംഭവിക്കുന്ന പരസ്പരബന്ധിത പ്രക്രിയകളെ നിയന്ത്രിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. [അറ്റാച്ച്മെൻ്റ് ചിത്രം. പതിനൊന്ന്].

ഹൈറാർക്കിക്കൽ സിസ്റ്റം ഗ്രാഫ്ഒരു മരം വിളിച്ചു. ഒരു വൃക്ഷത്തിൻ്റെ സവിശേഷമായ ഒരു സവിശേഷത അതിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ശിഖരങ്ങൾക്കിടയിൽ ഒരു പാത മാത്രമേയുള്ളൂ എന്നതാണ്. മരത്തിൽ സൈക്കിളുകളോ ലൂപ്പുകളോ അടങ്ങിയിട്ടില്ല.

സാധാരണഗതിയിൽ, ഒരു ഹൈറാർക്കിക്കൽ സിസ്റ്റത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു വൃക്ഷത്തിന് ഒരു പ്രധാന ശീർഷകമുണ്ട്, അതിനെ മരത്തിൻ്റെ റൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വൃക്ഷത്തിൻ്റെ ഓരോ ശിഖരത്തിനും (വേര് ഒഴികെ) ഒരു പൂർവ്വികൻ മാത്രമേയുള്ളൂ - അത് നിയുക്തമാക്കിയ ഒബ്ജക്റ്റ് ഒരു ടോപ്പ് ലെവൽ ക്ലാസിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഒരു വൃക്ഷത്തിൻ്റെ ഏത് ശിഖരത്തിനും നിരവധി പിൻഗാമികളെ സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും - താഴത്തെ നിലയിലെ ക്ലാസുകൾക്ക് അനുയോജ്യമായ ലംബങ്ങൾ.

ഓരോ ജോടി ട്രീ ശീർഷങ്ങൾക്കും, അവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു അദ്വിതീയ പാതയുണ്ട്. എല്ലാ പൂർവ്വികരെയും കണ്ടെത്തുമ്പോൾ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, പുരുഷ വരിയിൽ, ഒരു കുടുംബ വൃക്ഷത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഏതൊരു വ്യക്തിയുടെയും വംശാവലി, ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അർത്ഥത്തിൽ ഒരു "മരം" ആണ്.

എൻ്റെ കുടുംബ വൃക്ഷത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം [അനുബന്ധം ചിത്രം 12].

ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി. ചിത്രം ബൈബിൾ കുടുംബ വൃക്ഷം കാണിക്കുന്നു [അനുബന്ധം ചിത്രം 13].

പ്രശ്നപരിഹാരം

1.ഗതാഗത ചുമതല. ക്രാസ്‌നോഡർ നഗരത്തിൽ അസംസ്‌കൃത വസ്തുക്കളുള്ള ഒരു അടിത്തറ ഉണ്ടാകട്ടെ, അവ ക്രിംസ്‌ക്, ടെമ്രിയൂക്ക്, സ്ലാവ്യൻസ്‌ക്-ഓൺ-കുബാൻ, ടിമാഷെവ്‌സ്‌ക് നഗരങ്ങളിലേക്ക് ഒരു യാത്രയിൽ വിതരണം ചെയ്യണം, കഴിയുന്നത്ര കുറച്ച് സമയവും ഇന്ധനവും ചെലവഴിച്ച് ക്രാസ്‌നോഡറിലേക്ക് മടങ്ങുക. .

പരിഹാരം:

ആദ്യം, സാധ്യമായ എല്ലാ യാത്രാ റൂട്ടുകളുടെയും ഒരു ഗ്രാഫ് ഉണ്ടാക്കാം [അനുബന്ധം ചിത്രം.14], ഈ സെറ്റിൽമെൻ്റുകൾക്കിടയിലുള്ള യഥാർത്ഥ റോഡുകളും അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരവും കണക്കിലെടുക്കുന്നു. ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു ഗ്രാഫ് സൃഷ്ടിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഒരു വൃക്ഷം പോലെ [അനുബന്ധം ചിത്രം.15].

പരിഹാരത്തിൻ്റെ സൗകര്യാർത്ഥം, ഞങ്ങൾ നഗരങ്ങളെ അക്കങ്ങളോടെ നിയോഗിക്കുന്നു: ക്രാസ്നോഡർ - 1, ക്രൈംസ്ക് - 2, ടെമ്രിയുക് - 3, സ്ലാവിയാൻസ്ക് - 4, ടിമാഷെവ്സ്ക് - 5.

ഫലം 24 പരിഹാരങ്ങളാണ്, എന്നാൽ നമുക്ക് ഏറ്റവും ചെറിയ പാതകൾ മാത്രമേ ആവശ്യമുള്ളൂ. എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളിലും, രണ്ടെണ്ണം മാത്രം തൃപ്തികരമാണ്, ഇത് 350 കി.മീ.

അതുപോലെ, ഒരു പ്രദേശത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള യഥാർത്ഥ ഗതാഗതം കണക്കാക്കുന്നത് സാധ്യമാണെന്നും ഞാൻ കരുതുന്നു.

രക്തപ്പകർച്ച ഉൾപ്പെടുന്ന ലോജിക്കൽ പ്രശ്നം.ബക്കറ്റിൽ 8 ലിറ്റർ വെള്ളമുണ്ട്, കൂടാതെ 5, 3 ലിറ്റർ ശേഷിയുള്ള രണ്ട് പാനുകൾ ഉണ്ട്. നിങ്ങൾ അഞ്ച് ലിറ്റർ ചട്ടിയിൽ 4 ലിറ്റർ വെള്ളം ഒഴിച്ച് 4 ലിറ്റർ ബക്കറ്റിൽ ഇടുക, അതായത് ബക്കറ്റിലേക്കും ഒരു വലിയ ചട്ടിയിലേക്കും വെള്ളം തുല്യമായി ഒഴിക്കുക.

പരിഹാരം:

ഏത് നിമിഷവും സ്ഥിതി മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ കൊണ്ട് വിവരിക്കാം [അനുബന്ധം ചിത്രം 16].

തൽഫലമായി, നമുക്ക് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിക്കും: ഒന്ന് 7 നീക്കങ്ങളിൽ, മറ്റൊന്ന് 8 നീക്കങ്ങളിൽ.

ഉപസംഹാരം

അതിനാൽ, പ്രശ്‌നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, അവ എന്താണെന്നും അവ എങ്ങനെ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നുവെന്നും അവ ഏത് ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന ഉപകരണങ്ങൾ ഏതൊക്കെയാണെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, ഓരോ ഘട്ടത്തിലും, അവയുടെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും, സർഗ്ഗാത്മകത പ്രയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെന്ന് വ്യക്തമായി.

തുടക്കം മുതൽ, ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥ വിശകലനം ചെയ്യാനും എൻകോഡ് ചെയ്യാനും നിങ്ങൾക്ക് കഴിയണം എന്ന വസ്തുതയിലാണ് ഇത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത്. രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടം ഒരു സ്കീമാറ്റിക് നൊട്ടേഷനാണ്, അതിൽ ഗ്രാഫുകളുടെ ജ്യാമിതീയ പ്രാതിനിധ്യം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, ഈ ഘട്ടത്തിൽ സർഗ്ഗാത്മകതയുടെ ഘടകം വളരെ പ്രധാനമാണ്, കാരണം വ്യവസ്ഥയുടെ ഘടകങ്ങളും അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള കത്തിടപാടുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമല്ല. ഗ്രാഫ്.

ഒരു ഗതാഗത പ്രശ്നം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കുടുംബ വൃക്ഷം വരയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ചുമതല പരിഹരിക്കുന്നതിനിടയിൽ, ഗ്രാഫ് രീതി തീർച്ചയായും രസകരവും മനോഹരവും ദൃശ്യപരവുമാണെന്ന് ഞാൻ നിഗമനത്തിലെത്തി.

സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിലും മാനേജ്മെൻ്റിലും സാങ്കേതികവിദ്യയിലും ഗ്രാഫുകൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് എനിക്ക് ബോധ്യമായി. ഗ്രാഫ് തിയറി പ്രോഗ്രാമിംഗിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇത് ഈ കൃതിയിൽ ചർച്ച ചെയ്തിട്ടില്ല, പക്ഷേ ഇത് സമയത്തിൻ്റെ കാര്യം മാത്രമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു.

ഈ ശാസ്ത്രീയ പ്രവർത്തനം ഗണിതശാസ്ത്ര ഗ്രാഫുകൾ, അവയുടെ പ്രയോഗ മേഖലകൾ എന്നിവ പരിശോധിക്കുകയും ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. പ്രൊഡക്ഷൻ, ബിസിനസ് മാനേജ്‌മെൻ്റ് എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വിവിധ മേഖലകളിൽ ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ് (ഉദാഹരണത്തിന്, നെറ്റ്‌വർക്ക് നിർമ്മാണ ഷെഡ്യൂൾ, മെയിൽ ഡെലിവറി ഷെഡ്യൂളുകൾ). കൂടാതെ, ഒരു സയൻ്റിഫിക് പേപ്പറിൽ ജോലി ചെയ്യുമ്പോൾ, WORD ടെക്സ്റ്റ് എഡിറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കമ്പ്യൂട്ടറിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നതിൽ ഞാൻ വൈദഗ്ദ്ധ്യം നേടി. അങ്ങനെ, ശാസ്ത്രീയ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യങ്ങൾ പൂർത്തിയായി.

അതിനാൽ, മുകളിൽ പറഞ്ഞവയിൽ നിന്ന്, ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രായോഗിക മൂല്യം നിഷേധിക്കാനാവാത്തവിധം പിന്തുടരുന്നു, അതിൻ്റെ തെളിവാണ് ഈ സൃഷ്ടിയുടെ ലക്ഷ്യം.

സാഹിത്യം

ബെർജ് കെ.ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തവും അതിൻ്റെ പ്രയോഗങ്ങളും. -എം.: IIL, 1962.

കെമെനി ജെ., സ്നെൽ ജെ., തോംസൺ ജെ.പരിമിത ഗണിതത്തിൻ്റെ ആമുഖം. -എം.: ഐഐഎൽ, 1963.

ഓർ ഒ.ഗ്രാഫുകളും അവയുടെ ആപ്ലിക്കേഷനും. -എം.: മിർ, 1965.

ഹരാരി എഫ്.ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം. -എം.: മിർ, 1973.

സൈക്കോവ് എ.എ.ഫിനിറ്റ് ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം. -നോവോസിബിർസ്ക്: സയൻസ്, 1969.

ബെറെസിന എൽ.യു.ഗ്രാഫുകളും അവയുടെ ആപ്ലിക്കേഷനും. -എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 1979. -144 പേ.

"സോറോസ് എഡ്യൂക്കേഷണൽ ജേർണൽ" നമ്പർ 11 1996 (ലേഖനം "ഫ്ലാറ്റ് ഗ്രാഫുകൾ");

ഗാർഡ്നർ എം. "ഗണിത വിനോദം", എം. "ലോകം", 1972 (അധ്യായം 35);

Olehnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. "Old entertaining problems", M. "Science", 1988 (part 2, section 8; appendix 4);

അപേക്ഷ

അപേക്ഷ

പി

അരി. 6

അരി. 7

അരി. 8

അപേക്ഷ

അപേക്ഷ

അപേക്ഷ

അപേക്ഷ

പി

അരി. 14

അപേക്ഷ

അപേക്ഷ

ലോജിക്കൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങളിൽ, സമീപ വർഷങ്ങളിലെ ഗവേഷകരുടെ അടുത്ത ശ്രദ്ധ ഈ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നത്തിന് ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ചോദ്യത്താൽ ആകർഷിക്കപ്പെട്ടു.

ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം നിലവിൽ വ്യതിരിക്ത ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ തീവ്രമായി വികസിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഒരു ശാഖയാണ്. നിരവധി വസ്തുക്കളും സാഹചര്യങ്ങളും ഗ്രാഫ് മോഡലുകളുടെ രൂപത്തിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത ഇത് വിശദീകരിക്കുന്നു: ആശയവിനിമയ ശൃംഖലകൾ, ഇലക്ട്രിക്കൽ, ഇലക്ട്രോണിക് ഉപകരണങ്ങളുടെ സർക്യൂട്ടുകൾ, രാസ തന്മാത്രകൾ, ആളുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം എന്നിവയും അതിലേറെയും.

ഗ്രാഫ് ടാസ്‌ക്കുകൾക്ക് ഭാവന വികസിപ്പിക്കുന്നതിനും യുക്തിസഹമായ ചിന്തകൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഉപയോഗിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന നിരവധി ഗുണങ്ങളുണ്ട്. ഗ്രാഫ് പ്രശ്നങ്ങൾ രസകരവും കളിയായതുമായ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കാനാകും.

ഗവേഷണ വിഷയം ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ലോജിക്കൽ പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരമാണ് ഈ സൃഷ്ടിയിൽ.

പഠനത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശം: ലോജിക്കൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഗ്രാഫ് ഉപകരണം പ്രയോഗിക്കുക.

അനുമാനം: ഞങ്ങളുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, നിരവധി ലോജിക്കൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് അധ്വാനം കുറവായിരിക്കും; ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കും.

ഗവേഷണ ലക്ഷ്യങ്ങൾ:

ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കുക;

പ്രശ്നങ്ങൾ ഗ്രാഫ് ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യാൻ പഠിക്കുക;

പരമ്പരാഗത പ്രശ്നപരിഹാര രീതികൾ ഗ്രാഫ് തിയറി രീതികളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക.

1736-ൽ, മഹാനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലിയോൺഹാർഡ് യൂലർ, കോനിഗ്സ്ബർഗ് ബ്രിഡ്ജ് പ്രശ്നം എന്ന പസിലിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തി. കലിനിൻഗ്രാഡിലൂടെ ഒഴുകുന്ന പ്രെഗൽ നദി (മുമ്പ് നഗരത്തെ കോനിഗ്സ്ബർഗ് എന്ന് വിളിച്ചിരുന്നു) രണ്ട് ദ്വീപുകളെ കഴുകുന്നു (ചിത്രം. ചിത്രം 1 ചിത്രം 1). യൂലറുടെ കാലത്ത്, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നദിയുടെ തീരങ്ങളും ദ്വീപുകളും പാലങ്ങളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരുന്നു. പസിലിന് നാല് ഭൂപ്രദേശങ്ങളിലൂടെയും ഒരു തവണ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു റൂട്ട് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, പാതയുടെ അവസാനവും തുടക്കവും പൊരുത്തപ്പെടണം.

ചിത്രം 1

L. Euler പസിലിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന ഒരു റൂട്ടും ഇല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുകയും ഇത്തരത്തിലുള്ള പസിൽ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സിദ്ധാന്തം വികസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. "ഗ്രാഫുകളിലേക്കുള്ള ആമുഖം" എന്ന കോഴ്‌സിൻ്റെ ആമുഖ ഭാഗത്തിലെ മെറ്റീരിയൽ അറിയുന്നത്, L. Euler ൻ്റെ യുക്തിയുടെ ആശയം പുനർനിർമ്മിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം ചിത്രം 2-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഡയഗ്രം ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രം 1 മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അവിടെ ദ്വീപുകളും തീരങ്ങളും ഡോട്ടുകളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 2

ചിത്രം 2 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഡയഗ്രം, കർശനമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ഗ്രാഫ് അല്ല: ഇതിന് ഒന്നിലധികം അരികുകൾ ഉണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ പസിൽ പരിഹരിച്ച വർഷം 1736 ആണ് ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം ജനിച്ച വർഷമായി പൊതുവെ കണക്കാക്കപ്പെടുന്നത്.

നൂറിലധികം വർഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം, 1874-ൽ, ജർമ്മൻ ശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജി. കിർച്ചോഫ് ഒരു ഇലക്ട്രിക്കൽ സർക്യൂട്ടിലെ വൈദ്യുതധാരയുടെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഫലപ്രദമായ രീതി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു, ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ പിന്നീട് പൗരത്വ അവകാശങ്ങൾ ലഭിച്ച രീതികളും ആശയങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച്. മറ്റൊരു 10 വർഷത്തിനുശേഷം, ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ എ. കെലി (അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ അമ്മ റഷ്യൻ ആയിരുന്നു, അദ്ദേഹം റഷ്യൻ സംസാരിക്കുകയും റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്ര സാഹിത്യം പിന്തുടരുകയും ചെയ്തു; N.I. ലോബചെവ്സ്കിയുടെ ആശയങ്ങൾ ആദ്യം മുതൽ മനസ്സിലാക്കുകയും പിന്തുണയ്ക്കുകയും ചെയ്ത ചുരുക്കം ചില ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ ഒരാളായിരുന്നു അദ്ദേഹം). തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുള്ള പൂരിത ഹൈഡ്രോകാർബണുകളുടെ ഐസോമറുകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കാൻ മരങ്ങൾ എൻകാർബൺ ആറ്റങ്ങൾ.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു ഗ്രാഫ് എന്നത് വെർട്ടീസുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ പരിമിതമായ ശേഖരമാണ്; അവയിൽ ഏതാണ് ഗ്രാഫ് അരികുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന വരികൾ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നത്.

ഒരു ഗ്രാഫ് എന്നത് ഒരു വിമാനത്തിൽ (പേപ്പറിൻ്റെ ഷീറ്റ്, ബോർഡ്) ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്, അവയിൽ ചില ജോഡികൾ വരകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. പോയിൻ്റുകളെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ എന്നും വരികളെ അരികുകൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഒരു ശീർഷത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രി എന്നത് ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ഉയർന്നുവരുന്ന അരികുകളുടെ എണ്ണമാണ്.

ഭൂമിശാസ്ത്രപരമായ ഒരു ഭൂപടം നോക്കുമ്പോൾ, റെയിൽവേ ശൃംഖല ഉടൻ നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെടും. ഇതൊരു സാധാരണ ഗ്രാഫാണ്: സർക്കിളുകൾ ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങളായ സ്റ്റേഷനുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന പാതകൾ അരികുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ചിത്രം 3

ചിത്രം 3-ലെ ഗ്രാഫ് M, A, B, C, D എന്നീ ഗ്രാമങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള റോഡുകളുടെ ഒരു ഡയഗ്രം ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ഇവിടെ ഓരോ രണ്ട് ശീർഷകങ്ങളും ഒരു അരികിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു ഗ്രാഫിനെ പൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. ചിത്രത്തിലെ അക്കങ്ങൾ ഈ റോഡുകളിലെ ഗ്രാമങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. എം വില്ലേജിൽ ഒരു പോസ്റ്റ് ഓഫീസ് ഉണ്ടാകട്ടെ, പോസ്റ്റ്മാൻ മറ്റ് നാല് വില്ലേജുകളിലേക്ക് കത്തുകൾ നൽകണം. നിരവധി വ്യത്യസ്ത യാത്രാ റൂട്ടുകളുണ്ട്. ഏറ്റവും ചെറിയ ഒന്ന് എങ്ങനെ തിരഞ്ഞെടുക്കാം? എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളും വിശകലനം ചെയ്യുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള മാർഗം. ഇത് ചെയ്യാൻ ഒരു പുതിയ ഗ്രാഫ് നിങ്ങളെ സഹായിക്കും, സാധ്യമായ റൂട്ടുകൾ കാണുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നു. മുകളിലെ പീക്ക് എം ആണ് റൂട്ടുകളുടെ തുടക്കം. അവിടെ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് നാല് വ്യത്യസ്ത വഴികളിലൂടെ യാത്ര ആരംഭിക്കാം: എ, ബി, സി അല്ലെങ്കിൽ ഡി. ഗ്രാമങ്ങളിലൊന്ന് സന്ദർശിച്ച ശേഷം, റൂട്ട് തുടരുന്നതിന് മൂന്ന് ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്, തുടർന്ന് രണ്ട്, തുടർന്ന് അവസാന ഗ്രാമത്തിലേക്കുള്ള റോഡ്. വീണ്ടും M. Total 43 21  24 വഴികൾ.

സ്റ്റോറുകളിലേക്കും മെറ്റീരിയലുകളിലേക്കും നിർമ്മാണ സൈറ്റുകളിലേക്ക് സാധനങ്ങൾ വിതരണം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള മികച്ച ഓപ്ഷനുകൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ സമാനമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഉണ്ടാകാറുണ്ട്.

ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രശ്‌നങ്ങളിലൊന്ന് പരിഗണിക്കുക: “ചുവപ്പ്, നീല, മഞ്ഞ, പച്ച പെൻസിലുകൾ ഒരു സമയം നാല് പെട്ടികളിലായാണ്. പെൻസിലിൻ്റെ നിറം ബോക്സിൻ്റെ നിറത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. പച്ച പെൻസിൽ നീല ബോക്സിൽ ഉണ്ടെന്ന് അറിയാം, പക്ഷേ ചുവന്ന പെൻസിൽ മഞ്ഞ നിറത്തിലല്ല. ഓരോ പെൻസിലും ഏത് പെട്ടിയിലാണ് വരുന്നത്?”

ഡോട്ടുകളുള്ള പെൻസിലുകളും ബോക്സുകളും സൂചിപ്പിക്കാം. പെൻസിൽ അനുബന്ധ ബോക്സിൽ ഉണ്ടെന്ന് ഒരു സോളിഡ് ലൈൻ സൂചിപ്പിക്കും, ഒരു ഡോട്ട് ലൈൻ അത് ഇല്ലെന്ന് സൂചിപ്പിക്കും. അപ്പോൾ, പ്രശ്നം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്കുണ്ട് ജി 1 (ചിത്രം ചിത്രം 4).

ചിത്രം 4

അടുത്തതായി, ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫ് പൂർത്തിയാക്കുന്നു: കൃത്യമായി ഒരു പെൻസിലിന് ബോക്സിൽ കിടക്കാൻ കഴിയുമെന്നതിനാൽ, ഓരോ പോയിൻ്റിൽ നിന്നും ഒരു സോളിഡ് ലൈനും മൂന്ന് ഡോട്ടുകളുള്ളവയും പുറത്തുവരണം. ഫലം ഒരു ഗ്രാഫ് ആണ് ജി 2 , ഇത് പ്രശ്നത്തിന് ഒരു പരിഹാരം നൽകുന്നു.

ജനപ്രിയ ശാസ്ത്രത്തിലും രീതിശാസ്ത്ര സാഹിത്യത്തിലും സാധാരണയായി ലോജിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു ചട്ടം പോലെ, അവർ സ്കൂൾ അറിവിലും കഴിവുകളിലും കാര്യമായ രീതിയിൽ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. ഇക്കാര്യത്തിൽ, അവ പരമ്പരാഗതമായി ചാതുര്യത്തിൻ്റെ അളവുകോലായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കഴിവുകളുടെ നിലവാരം, ചിന്തയുടെ തീവ്രത, മെമ്മറി ഉപയോഗിക്കാനുള്ള കഴിവ് എന്നിവയുടെ സൂചകമാണ്, കൂടാതെ സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്ര ക്ലബ്ബുകളിൽ പലപ്പോഴും ചർച്ച ചെയ്യപ്പെടുന്നു.

ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിരവധി ലോജിക്കൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ചെറുപ്പക്കാരായ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് തികച്ചും ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്നതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അവർക്ക് ഗ്രാഫുകളെക്കുറിച്ചും അവയുടെ ഏറ്റവും വ്യക്തമായ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചും അവബോധജന്യമായ ധാരണ മാത്രം മതി.

അറിയപ്പെടുന്ന ചില പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഒബ്ജക്റ്റുകളെ പോയിൻ്റുകളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കും, അവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ - സെഗ്മെൻ്റുകൾ വഴി (പോയിൻ്റുകളുടെ സ്ഥാനങ്ങളും സെഗ്മെൻ്റുകളുടെ നീളവും ഏകപക്ഷീയമാണ്).

പ്രയോഗിച്ച പരിഹാര രീതികളുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് ലോജിക്കൽ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഘടനയുടെ വ്യക്തത അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളുടെ ചില വിഭാഗങ്ങളെ ഒറ്റപ്പെടുത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.

ടാസ്ക് 1. മൂന്ന് സുഹൃത്തുക്കൾ സംസാരിക്കുന്നു: ബെലോകുറോവ്, ചെർനോവ്, റൈസോവ്. സുന്ദരി ബെലോക്കുറോവിനോട് പറഞ്ഞു: "ഞങ്ങളിൽ ഒരാൾ സുന്ദരിയാണ്, മറ്റൊരാൾ സുന്ദരിയാണ്, മൂന്നാമത്തേത് ചുവപ്പാണ്, പക്ഷേ ആരുടെയും മുടിയുടെ നിറം അവരുടെ കുടുംബപ്പേരുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല." നിങ്ങളുടെ ഓരോ സുഹൃത്തുക്കളുടെയും മുടിയുടെ നിറമെന്താണ്?

വിശദമായ പരിഹാരം പറയാം. പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ വ്യക്തമാക്കിയ ബന്ധത്തിൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒന്നാമതായി, നമുക്ക് ധാരാളം കുടുംബപ്പേരുകൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാം എംകൂടാതെ പല മുടിയുടെ നിറങ്ങളും TO,ഡോട്ടുകളാൽ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്ന ഘടകങ്ങൾ. പോയിൻ്റുകൾ സജ്ജമാക്കുക എംനമുക്ക് അവയെ B, Ch, R (Belokurov, Chernov, Ryzhov) എന്നീ അക്ഷരങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കാം; രണ്ടാമത്തെ സെറ്റിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ - b, br, p (ബ്ളോണ്ട്, ബ്രൂണറ്റ്, ചുവപ്പ്). ഒരു സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള ഒരു പോയിൻ്റ് മറ്റൊന്നിൽ നിന്നുള്ള ഒരു പോയിൻ്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അവയെ ഒരു സോളിഡ് ലൈനുമായി ബന്ധിപ്പിക്കും, അത് പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അവയെ ഒരു ഡാഷ്ഡ് ലൈൻ ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കും. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥ പൊരുത്തക്കേടുകൾ മാത്രം സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതിനാൽ ആദ്യം ചിത്രം 5 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫ് ദൃശ്യമാകും.

ചിത്രം 5

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന്, സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള ഓരോ പോയിൻ്റിനും അത് പിന്തുടരുന്നു എംപലതിൽ ഒരു ടോങ്ക മാത്രമേയുള്ളൂ TO,ഇത് ആദ്യത്തേതിനും തിരിച്ചും, സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള ഓരോ പോയിൻ്റിനും യോജിക്കുന്നു TOസെറ്റിൽ നിന്ന് ഒരു പോയിൻ്റുമായി മാത്രം യോജിക്കുന്നു എം.സെറ്റുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള സാധ്യമായ കത്തിടപാടുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനാണ് ചുമതല എംഒപ്പം TO,അതായത്, സെറ്റുകളുടെ അനുബന്ധ പോയിൻ്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന മൂന്ന് സോളിഡ് ലൈനുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്.

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വം ലളിതമാണ്. ചില പോയിൻ്റുകൾ മറ്റൊരു സെറ്റിൻ്റെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളുമായി ഡാഷ് ചെയ്ത വരകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത് അതിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ പോയിൻ്റുമായി ഒരു സോളിഡ് ലൈൻ ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കണം. അതിനാൽ, ചിത്രം 5-ലെ ഗ്രാഫ് ബി, പി, പി, ബി (ചിത്രം 6) എന്നിവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന സോളിഡ് ലൈനുകളാൽ സപ്ലിമെൻ്റ് ചെയ്യുന്നു.

ചിത്രം 7

അതിനാൽ, ഈ ചിത്രത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ ഞങ്ങൾ ഉത്തരം യാന്ത്രികമായി വായിക്കുന്നു: ബെലോകുറോവ് ചുവന്ന മുടിയുള്ളവനാണ്, ചെർനോവ് സുന്ദരിയാണ്, റൈസോവ് സുന്ദരിയാണ്. 2 ഉം 3 ഉം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഇതേ സാങ്കേതികത ഉപയോഗിക്കാം.

ടാസ്ക് 2. വന്യ, കോല്യ, മിഷ എന്നിവർക്കായി പീസ് ചുട്ടുപഴുപ്പിച്ചു: ഒന്ന് കാബേജ്, മറ്റൊന്ന് അരി, മൂന്നാമത്തേത് ആപ്പിൾ. മിഷയ്ക്ക് ആപ്പിൾ പൈ ഇഷ്ടമല്ല, കാബേജിനൊപ്പം കഴിക്കില്ല. വന്യയ്ക്ക് കാബേജ് പൈ ഇഷ്ടമല്ല. ആരാണ് എന്ത് പൈ കഴിക്കുന്നത്?

ടാസ്ക് 3. മൂന്ന് സുഹൃത്തുക്കൾ ഒരേ ഫാക്ടറിയിൽ ജോലി ചെയ്യുന്നു: ഒരു മെക്കാനിക്ക്, ഒരു ടർണർ, ഒരു വെൽഡർ. ബോറിസോവ്, ഇവാനോവ്, സെമെനോവ് എന്നിവയാണ് അവരുടെ അവസാന പേരുകൾ. ലോക്ക്സ്മിത്തിന് സഹോദരന്മാരോ സഹോദരിമാരോ ഇല്ല, അവൻ അവൻ്റെ സുഹൃത്തുക്കളിൽ ഏറ്റവും ഇളയവനാണ്. ബോറിസോവിൻ്റെ സഹോദരിയെ വിവാഹം കഴിച്ച സെമെനോവ് ടർണറേക്കാൾ പ്രായമുള്ളയാളാണ്. മെക്കാനിക്ക്, ടർണർ, വെൽഡർ എന്നിവരുടെ പേരുകൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

മുകളിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിജയകരമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഈ രീതി അല്ലെങ്കിൽ അതിൻ്റെ പരിഷ്ക്കരണങ്ങൾ പല പ്രശസ്തമായ ശാസ്ത്ര പുസ്തകങ്ങളിലും അധ്യാപന സഹായികളിലും ശുപാർശ ചെയ്യുകയും ചർച്ച ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, പോയിൻ്റുകളും സെഗ്‌മെൻ്റുകളും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഗ്രാഫുകളുടെ ഉപയോഗം കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദവും ന്യായീകരിക്കപ്പെടുന്നതുമായി മാറുന്ന പ്രശ്നങ്ങളുടെ ക്ലാസുകൾ സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. ടൂർണമെൻ്റ് ടേബിളുകൾ പോലുള്ള ടേബിളുകളുടെ രീതിയോ തീരുമാനങ്ങളിലെ അവയുടെ സാമാന്യവൽക്കരണമോ ഉപയോഗിക്കുന്നത് യുക്തിയുടെ ഒരു പ്രധാന ഭാഗം "വാമൊഴിയായി" നടപ്പിലാക്കാൻ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നു. അതേ സമയം, നിങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥകളിലേക്ക് ആവർത്തിച്ച് മടങ്ങുകയും, ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ഫലങ്ങൾ ലഭിക്കുകയും, ഒരുപാട് ഓർമ്മിക്കുകയും ശരിയായ സമയത്ത് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുകയും വേണം. പരിഗണനയിലിരിക്കുന്ന മൂന്നോ അതിലധികമോ സെറ്റ് ഒബ്‌ജക്റ്റുകളുടെ പ്രശ്‌നങ്ങൾ ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്‌നത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

ടാസ്ക് 4. മൂന്ന് സഖാക്കൾ - ഇവാൻ, ദിമിത്രി, സ്റ്റെപാൻ - മോസ്കോ, ലെനിൻഗ്രാഡ്, കൈവ് എന്നിവിടങ്ങളിലെ സ്കൂളുകളിൽ വിവിധ വിഷയങ്ങൾ (രസതന്ത്രം, ജീവശാസ്ത്രം, ഭൗതികശാസ്ത്രം) പഠിപ്പിക്കുക. അറിയപ്പെടുന്നത്:

1. ഇവാൻ മോസ്കോയിൽ ജോലി ചെയ്യുന്നില്ല, ദിമിത്രി ലെനിൻഗ്രാഡിൽ ജോലി ചെയ്യുന്നില്ല;

2. മോസ്ക്വിച്ച് ഭൗതികശാസ്ത്രം പഠിപ്പിക്കുന്നില്ല;

3. ലെനിൻഗ്രാഡിൽ ജോലി ചെയ്യുന്നയാൾ രസതന്ത്രം പഠിപ്പിക്കുന്നു;

4. ദിമിത്രി ജീവശാസ്ത്രം പഠിപ്പിക്കുന്നില്ല.

ഏത് വിഷയമാണ്, ഏത് നഗരത്തിലാണ് ഓരോ സഖാവും പഠിപ്പിക്കുന്നത്?

പരിഹാരം. നമുക്ക് മൂന്ന് സെറ്റുകളെ വേർതിരിക്കാം: ഒരു കൂട്ടം പേരുകൾ, ഒരു കൂട്ടം വസ്തുക്കൾ, ഒരു കൂട്ടം നഗരങ്ങൾ. ചിത്രം 4-ലെ ഓരോ സെറ്റുകളുടെയും ഒരു ഘടകം അതിൻ്റെ സ്വന്തം പോയിൻ്റാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത് (ഈ ചിത്രത്തിലെ അക്ഷരങ്ങൾ അനുബന്ധ പദങ്ങളുടെ ആദ്യ അക്ഷരങ്ങളാണ്). വ്യത്യസ്ത സെറ്റുകളിൽ നിന്നുള്ള രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ വ്യത്യസ്ത ആളുകളുടെ സ്വഭാവസവിശേഷതകളെ ചിത്രീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അത്തരം പോയിൻ്റുകളെ ഒരു ഡാഷ്ഡ് ലൈനുമായി ബന്ധിപ്പിക്കും. വ്യത്യസ്ത സെറ്റുകളിൽ നിന്നുള്ള രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ഒരു വ്യക്തിയുടെ സ്വഭാവസവിശേഷതകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, അത്തരം പോയിൻ്റുകൾ ജോഡികളായി സോളിഡ് ലൈനുകളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കും. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്കനുസൃതമായി, മറ്റ് ഓരോ സെറ്റുകളിലെയും ഓരോ സെറ്റിൻ്റെയും ഓരോ പോയിൻ്റിനും അതിന് അനുയോജ്യമായ ഒരു പോയിൻ്റ് മാത്രമേയുള്ളൂ എന്നത് പ്രധാനമാണ്.

ചിത്രം 8

അങ്ങനെ, ചിത്രം 8 ലെ ഗ്രാഫിൽ വ്യവസ്ഥയിൽ വ്യക്തമാക്കിയ സെറ്റുകളുടെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും അവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഗ്രാഫുകളുടെ ഭാഷയിലെ പ്രശ്നം വ്യത്യസ്ത സെറ്റുകളിൽ ലംബങ്ങളുള്ള മൂന്ന് "ഖര" ത്രികോണങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു.

നമുക്ക് ചിത്രം 8-ലെ ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കാം. ഡാഷ് ചെയ്ത സെഗ്‌മെൻ്റ് XD സ്വയം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു, തീർച്ചയായും, A X-മായി യോജിക്കുന്നു, അതേ സമയം, A, D-യുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല, അതായത് X-ന് D-യുമായി പൊരുത്തപ്പെടാൻ കഴിയില്ല. അതിനാൽ, ഇതിനുള്ള ഒരു സാധാരണ ഗ്രാഫ് പ്രവർത്തനം ഒരു തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു: മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത സെറ്റുകളിൽ ലംബങ്ങളുള്ള ത്രികോണം, ഒരു വശം സോളിഡ് ആണെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തേത് ഡാഷ് ആണെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തേത് ഡാഷ് ചെയ്യണം. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന്, ഗ്രാഫിലെ മറ്റൊരു പ്രവർത്തനം ഏകീകൃതമാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു: ചില പോയിൻ്റുകൾ രണ്ടാം സെറ്റിലെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലേക്ക് ഡാഷ് ചെയ്ത സെഗ്മെൻ്റുകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത് ഈ സെറ്റിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ പോയിൻ്റുമായി ഒരു സോളിഡ് സെഗ്മെൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കണം. ഇങ്ങനെയാണ് ഡിഎഫിൻ്റെ തുടർച്ചയായ ഒരു വിഭാഗം വരയ്ക്കുന്നത്. അടുത്തതായി, ഡാഷ് ചെയ്ത സെഗ്‌മെൻ്റ് DM വരയ്ക്കുക (ത്രികോണത്തിൽ DFM വശം സോളിഡ് ആണ്, കൂടാതെ FM ഡാഷ് ആണ്), DK സോളിഡ് ആണ് (DM, DL എന്നിവ ഡാഷ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു), ഇപ്പോൾ നമ്മൾ F, K എന്നീ പോയിൻ്റുകളെ ഒരു സോളിഡ് സെഗ്‌മെൻ്റുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. വ്യത്യസ്ത സെറ്റുകളിൽ ലംബങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിൽ രണ്ട് വശങ്ങൾ ഖരാവസ്ഥയിലാണെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തേതും ഖരമായിരിക്കും. ആദ്യത്തെ "ഖര" ത്രികോണം DFK കണ്ടെത്തി. അതിനാൽ, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വാചകത്തിലേക്ക് മടങ്ങാതെ, മുകളിൽ വിവരിച്ച ഗ്രാഫിലെ സ്വാഭാവിക പ്രവർത്തനങ്ങളാൽ മാത്രം നയിക്കപ്പെടുന്നു, ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നു (ചിത്രം 9).

ചിത്രം 9

സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ നടപ്പിലാക്കിയ ക്രമം നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം: HD, DF, DM, DK, FC, MS, IL, CI, BM, BS. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂന്ന് “ഖര” ത്രികോണങ്ങളിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും ലംബങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം നിർണ്ണയിക്കുന്നു: ഇവാൻ ലെനിൻഗ്രാഡിൽ രസതന്ത്രം പഠിപ്പിക്കുന്നു, ദിമിത്രി കൈവിൽ ഭൗതികശാസ്ത്രം പഠിപ്പിക്കുന്നു, സ്റ്റെപാൻ മോസ്കോയിൽ ബയോളജി പഠിപ്പിക്കുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നത്തിൽ, ഗ്രാഫുകളുടെ ഉപയോഗം രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുടെ സാന്നിധ്യം കണ്ടെത്താൻ സഹായിക്കുന്നു.

ടാസ്ക് 5. Masha, Lida, Zhenya, Katya എന്നിവർക്ക് വ്യത്യസ്ത ഉപകരണങ്ങൾ (സെല്ലോ, പിയാനോ, ഗിറ്റാർ, വയലിൻ) വായിക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ ഓരോന്നിനും ഒന്നിൽ മാത്രം. അവർ വ്യത്യസ്ത വിദേശ ഭാഷകളും (ഇംഗ്ലീഷ്, ഫ്രഞ്ച്, ജർമ്മൻ, സ്പാനിഷ്) സംസാരിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഓരോന്നും ഒന്ന് മാത്രം . ഇത് അറിയപ്പെടുന്നതാണ് :

1. ഗിറ്റാർ വായിക്കുന്ന പെൺകുട്ടി സ്പാനിഷ് സംസാരിക്കുന്നു;

2. ലിഡ വയലിൻ അല്ലെങ്കിൽ സെല്ലോ വായിക്കില്ല, ഇംഗ്ലീഷ് അറിയില്ല;

3. മാഷെ വയലിനോ സെല്ലോയോ വായിക്കില്ല, ഇംഗ്ലീഷ് അറിയില്ല;

4. ജർമ്മൻ സംസാരിക്കുന്ന ഒരു പെൺകുട്ടി സെല്ലോ വായിക്കുന്നില്ല;

5. ഷെനിയയ്ക്ക് ഫ്രഞ്ച് അറിയാം, പക്ഷേ വയലിൻ വായിക്കില്ല.

ആരാണ് ഏത് വാദ്യോപകരണം വായിക്കുന്നത്, അദ്ദേഹത്തിന് എന്ത് വിദേശ ഭാഷ അറിയാം?

പ്രശ്നം വ്യവസ്ഥകൾ ചിത്രം 10 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ചിത്രം 10

ഇവിടെയുള്ള നൊട്ടേഷനും പരിഹാരത്തിൻ്റെ തത്വവും പ്രശ്നം 4-ലെ പോലെ തന്നെയാണ്. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സോളിഡ് സെഗ്മെൻ്റുകൾ തുടർച്ചയായി വരയ്ക്കാം: KS, VZH, VF, AK (ചിത്രം 11).

ചിത്രം 11

അങ്ങനെ, രണ്ട് "ഖര" ത്രികോണങ്ങൾ ZHVF, KSA എന്നിവ രൂപപ്പെടുന്നു. വിക്ഷേപണ വാഹനത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു തുടർച്ചയായ സെഗ്‌മെൻ്റ് ഞങ്ങൾ നടത്തുന്നു. RN, GI എന്നിവയുടെ ഓരോ ജോഡികൾക്കും മൂന്നാമത്തെ പോയിൻ്റിൻ്റെ അവ്യക്തമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ ഉറപ്പാക്കുന്നില്ലെന്ന് ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾക്ക് ബോധ്യമുണ്ട്. "ഖര" ത്രികോണങ്ങൾക്കായി ഇനിപ്പറയുന്ന ഓപ്ഷനുകൾ സാധ്യമാണ്: MGI, OSR അല്ലെങ്കിൽ LGI, MRN. അതിനാൽ, പ്രശ്നത്തിന് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

ഒരു അവസ്ഥയുടെ ആവർത്തനം വളരെ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ ഗ്രാഫ് അനുവദിക്കുന്ന ഒരു പ്രശ്നം നമുക്ക് അവതരിപ്പിക്കാം.

ടാസ്ക് 6. വിവിധ പ്രൊഫഷനുകളിൽ നിന്നുള്ള ആറ് പങ്കാളികൾ ചെസ്സ് ടൂർണമെൻ്റിൽ പങ്കെടുത്തു: ഒരു ടർണർ, ഒരു മെക്കാനിക്ക്, ഒരു എഞ്ചിനീയർ, ഒരു അധ്യാപകൻ, ഒരു ഡോക്ടർ, ഒരു ഡ്രൈവർ. അറിയപ്പെടുന്നത്:

1. ആദ്യ റൗണ്ടിൽ, ആൻഡ്രീവ് ഡോക്ടറുമായി കളിച്ചു, അധ്യാപകൻ ബോറിസോവിനൊപ്പം, ഗ്രിഗോറിയേവ് എവ്ഡോകിമോവിനൊപ്പം;

2. രണ്ടാം റൗണ്ടിൽ, ദിമിട്രിവ് ടർണറുമായി കളിച്ചു, ഡോക്ടർ ബോറിസോവിനൊപ്പം;

3. മൂന്നാം റൗണ്ടിൽ, എവ്ഡോകിമോവ് ഒരു എഞ്ചിനീയറുമായി കളിച്ചു;

4. ടൂർണമെൻ്റിൻ്റെ അവസാനം സ്ഥലങ്ങൾ ഇതുപോലെ വിതരണം ചെയ്തു - ബോറിസോവ്ഐസ്ഥലം, ഗ്രിഗോറിയേവും എഞ്ചിനീയറും പങ്കിട്ടുIIഒപ്പംIIIസ്ഥലങ്ങൾ, ദിമിട്രിവ് എടുത്തുIVസ്ഥലം, സോളോട്ടറേവും മെക്കാനിക്കും അഞ്ചാം ആറാം സ്ഥാനങ്ങൾ പങ്കിട്ടു.

ഗ്രിഗോറിയേവ്, ദിമിട്രിവ്, എവ്ഡോകിമോവ് എന്നിവർക്ക് എന്ത് തൊഴിലുകളാണ് ഉണ്ടായിരുന്നത്?

ചിത്രങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഇല്ലാതെ സൃഷ്ടിയുടെ വാചകം പോസ്റ്റ് ചെയ്യുന്നു.
സൃഷ്ടിയുടെ പൂർണ്ണ പതിപ്പ് PDF ഫോർമാറ്റിലുള്ള "വർക്ക് ഫയലുകൾ" ടാബിൽ ലഭ്യമാണ്

ആമുഖം

"ഗണിതത്തിൽ ഓർക്കേണ്ടത് ഫോർമുലകളല്ല, ചിന്താ പ്രക്രിയയാണ്..."

E. I. ഇഗ്നറ്റീവ്

ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം നിലവിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ തീവ്രമായി വികസിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന ഒരു ശാഖയാണ്. പല വസ്തുക്കളും സാഹചര്യങ്ങളും ഗ്രാഫ് മോഡലുകളുടെ രൂപത്തിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത ഇത് വിശദീകരിക്കുന്നു, ഇത് സാമൂഹിക ജീവിതത്തിൻ്റെ സാധാരണ പ്രവർത്തനത്തിന് വളരെ പ്രധാനമാണ്. ഈ ഘടകമാണ് അവരുടെ കൂടുതൽ വിശദമായ പഠനത്തിൻ്റെ പ്രസക്തി നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. അതിനാൽ, ഈ കൃതിയുടെ വിഷയം തികച്ചും പ്രസക്തമാണ്.

ലക്ഷ്യംഗവേഷണ പ്രവർത്തനങ്ങൾ: വിജ്ഞാനത്തിൻ്റെ വിവിധ മേഖലകളിലും ലോജിക്കൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലും ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്.

ലക്ഷ്യം ഇനിപ്പറയുന്നവ തിരിച്ചറിഞ്ഞു ചുമതലകൾ:

ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ചരിത്രവുമായി പരിചയപ്പെടുക;

ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും ഗ്രാഫുകളുടെ പ്രധാന സവിശേഷതകളും പഠിക്കുക;

വിജ്ഞാനത്തിൻ്റെ വിവിധ മേഖലകളിൽ ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗം കാണിക്കുക;

ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കാനുമുള്ള വഴികൾ പരിഗണിക്കുക.

ഒരു വസ്തുഗവേഷണം: ഗ്രാഫ് രീതിയുടെ പ്രയോഗത്തിനായുള്ള മനുഷ്യൻ്റെ പ്രവർത്തന മേഖല.

ഇനംഗവേഷണം: ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗം "ഗ്രാഫ് തിയറി".

അനുമാനം.ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം പഠിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ യുക്തിപരമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ സഹായിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു, അത് അവരുടെ ഭാവി താൽപ്പര്യങ്ങളെ രൂപപ്പെടുത്തും.

രീതികൾഗവേഷണ ജോലി:

ഞങ്ങളുടെ ഗവേഷണ സമയത്ത്, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിച്ചു:

1) വിവിധ വിവര സ്രോതസ്സുകളിൽ പ്രവർത്തിക്കുക.

2) വിവരണം, ശേഖരണം, മെറ്റീരിയലിൻ്റെ വ്യവസ്ഥാപനം.

3) നിരീക്ഷണം, വിശകലനം, താരതമ്യം.

4) ചുമതലകൾ തയ്യാറാക്കൽ.

സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ പ്രാധാന്യംകമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ്, ഗണിതം, ജ്യാമിതി, ഡ്രോയിംഗ്, ക്ലാസ് റൂം ടീച്ചിംഗ് എന്നിവയിലും ഈ വിഷയത്തിൽ താൽപ്പര്യമുള്ള വായനക്കാരുടെ വിശാലമായ ശ്രേണിയിലും ഫലങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന വസ്തുതയാണ് ഈ സൃഷ്ടി നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. ഗവേഷണ പ്രവർത്തനത്തിന് വ്യക്തമായ പ്രായോഗിക ഓറിയൻ്റേഷൻ ഉണ്ട്, കാരണം രചയിതാവ് വിജ്ഞാനത്തിൻ്റെ പല മേഖലകളിലും ഗ്രാഫുകളുടെ ഉപയോഗത്തിൻ്റെ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ ഈ കൃതിയിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും സ്വന്തം ചുമതലകൾ തയ്യാറാക്കുകയും ചെയ്തു. ഈ മെറ്റീരിയൽ ഇലക്‌റ്റീവ് മാത്തമാറ്റിക്‌സ് ക്ലാസുകളിൽ ഉപയോഗിക്കാം.

അധ്യായം I. ഗവേഷണ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള മെറ്റീരിയലിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക അവലോകനം

1. ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം. അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾ

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു "ഗ്രാഫ്" ഒരു ചിത്രമായി ചിത്രീകരിക്കാം, അത് വരികൾ വഴി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുള്ള നിരവധി പോയിൻ്റുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. "കൌണ്ട്" എന്നത് ലാറ്റിൻ പദമായ "ഗ്രാഫിയോ" എന്നതിൽ നിന്നാണ് വന്നത് - ഞാൻ എഴുതുന്നത്, അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു ശ്രേഷ്ഠമായ തലക്കെട്ട് പോലെയാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു ഗ്രാഫിൻ്റെ നിർവചനം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ "ഗ്രാഫ്" എന്ന പദം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:

ഗ്രാഫ് - ഇതൊരു പരിമിതമായ പോയിൻ്റുകളാണ് - കൊടുമുടികൾ, വരികളിലൂടെ ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയുന്നവ - വാരിയെല്ലുകൾ .

ഗ്രാഫുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ഡ്രോയിംഗുകൾ, ഇലക്ട്രിക്കൽ സർക്യൂട്ടുകൾ, എയർലൈനുകളുടെ സ്കീമാറ്റിക് പ്രാതിനിധ്യം, സബ്‌വേകൾ, റോഡുകൾ മുതലായവ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഒരു കുടുംബ വൃക്ഷം ഒരു ഗ്രാഫ് കൂടിയാണ്, അവിടെ ശീർഷകങ്ങൾ വംശത്തിലെ അംഗങ്ങളാണ്, കുടുംബ ബന്ധങ്ങൾ ഗ്രാഫിൻ്റെ അരികുകളായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

അരി. 1ഗ്രാഫ് ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഒരു ശീർഷത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന അരികുകളുടെ എണ്ണത്തെ വിളിക്കുന്നു ഗ്രാഫ് വെർട്ടക്സ് ബിരുദം . ഒരു ശീർഷത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രി ഒറ്റ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, ശീർഷത്തെ വിളിക്കുന്നു - വിചിത്രമായ . ഒരു ശീർഷത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രി ഇരട്ട സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, ശീർഷത്തെ വിളിക്കുന്നു പോലും.

അരി. 2ഗ്രാഫിൻ്റെ ശീർഷകം

ശൂന്യ ഗ്രാഫ് അരികുകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടില്ലാത്ത ഒറ്റപ്പെട്ട ലംബങ്ങൾ മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഗ്രാഫ് ആണ്.

പൂർണ്ണമായ ഗ്രാഫ് ഓരോ ജോഡി ലംബങ്ങളും ഒരു അരികിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഗ്രാഫ് ആണ്. ഒരു N-gon, അതിൽ എല്ലാ ഡയഗണലുകളും വരച്ചിരിക്കുന്നു, ഒരു പൂർണ്ണ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഉദാഹരണമായി വർത്തിക്കാൻ കഴിയും.

ഒരു ഗ്രാഫിൽ ആരംഭിക്കുന്നതും അവസാനിക്കുന്നതുമായ പോയിൻ്റുകൾ ചേരുന്ന ഒരു പാത നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു പാതയെ വിളിക്കുന്നു ഗ്രാഫ് സൈക്കിൾ . ഗ്രാഫിൻ്റെ ഓരോ ശീർഷകവും പരമാവധി ഒരു തവണ കടന്നുപോകുകയാണെങ്കിൽ, പിന്നെ ചക്രംവിളിച്ചു ലളിതമായ .

ഒരു ഗ്രാഫിലെ ഓരോ രണ്ട് ലംബങ്ങളും ഒരു അരികിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഇത് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു ഗ്രാഫ്. ഗ്രാഫ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു ബന്ധമില്ലാത്ത , അതിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു ജോടി അൺകണക്റ്റഡ് വെർട്ടീസുകളെങ്കിലും അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ.

ഒരു ഗ്രാഫ് ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിലും സൈക്കിളുകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു ഗ്രാഫിനെ വിളിക്കുന്നു വൃക്ഷം .

1. ഗ്രാഫുകളുടെ സവിശേഷതകൾ

കണക്കിൻ്റെ പാത ഒരു പൊതു ശീർഷകം പങ്കിടുന്ന തൊട്ടടുത്തുള്ള ഓരോ രണ്ട് അരികുകളും ഒരിക്കൽ മാത്രം സംഭവിക്കുന്ന ഒരു ശ്രേണിയാണ്.

ലംബങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ ശൃംഖലയുടെ നീളം എബി എന്നും വിളിക്കുന്നു ദൂരം കൊടുമുടികൾക്കിടയിൽ എകൂടാതെ ബി.

വെർട്ടക്സ് എവിളിച്ചു കേന്ദ്രം ഗ്രാഫ്, ലംബങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം ആണെങ്കിൽ എമറ്റേതെങ്കിലും ശീർഷകം സാധ്യമായ ഏറ്റവും ചെറുതാണ്. അത്രയും ദൂരമുണ്ട് ആരം ഗ്രാഫ്.

ഒരു ഗ്രാഫിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ലംബങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള പരമാവധി ദൂരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു വ്യാസം ഗ്രാഫ്.

ഗ്രാഫ് കളറിംഗും ആപ്ലിക്കേഷനും.

നിങ്ങൾ ഒരു ഭൂമിശാസ്ത്ര ഭൂപടത്തിൽ സൂക്ഷ്മമായി നോക്കിയാൽ, നിങ്ങൾക്ക് റെയിൽപ്പാതകളോ ഹൈവേകളോ കാണാം, അവ ഗ്രാഫുകളാണ്. കൂടാതെ, മാപ്പിൽ ഒരു ഗ്രാഫ് ഉണ്ട്, അതിൽ രാജ്യങ്ങൾ (ജില്ലകൾ, പ്രദേശങ്ങൾ) തമ്മിലുള്ള അതിർത്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

1852-ൽ ഇംഗ്ലീഷ് വിദ്യാർത്ഥിയായ ഫ്രാൻസിസ് ഗുത്രിയെ ഗ്രേറ്റ് ബ്രിട്ടൻ്റെ ഒരു ഭൂപടം കളർ ചെയ്യാനുള്ള ചുമതല ഏൽപ്പിച്ചു, ഓരോ കൗണ്ടിയും പ്രത്യേകം നിറത്തിൽ എടുത്തുകാണിച്ചു. പെയിൻ്റുകളുടെ ചെറിയ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് കാരണം, ഗുത്രി അവ വീണ്ടും ഉപയോഗിച്ചു. അദ്ദേഹം നിറങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്തതിനാൽ അതിർത്തിയുടെ ഒരു പൊതുവിഭാഗം പങ്കിടുന്ന കൗണ്ടികൾ വ്യത്യസ്ത നിറങ്ങളിൽ വരച്ചിരിക്കണം. വിവിധ ഭൂപടങ്ങൾ നിറയ്ക്കാൻ ആവശ്യമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പെയിൻ്റ് എത്രയാണ് എന്ന ചോദ്യം ഉയർന്നു. നാല് നിറങ്ങൾ മതിയെന്ന് തെളിയിക്കാൻ കഴിഞ്ഞില്ലെങ്കിലും ഫ്രാൻസിസ് ഗുത്രി നിർദ്ദേശിച്ചു. ഈ പ്രശ്നം വിദ്യാർത്ഥി വൃത്തങ്ങളിൽ ചൂടേറിയ ചർച്ചയായിരുന്നു, പക്ഷേ പിന്നീട് അത് മറന്നു.

"നാലു വർണ്ണ പ്രശ്നം" വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന താൽപ്പര്യം ഉണർത്തി, പക്ഷേ ഒരിക്കലും പരിഹരിച്ചില്ല, പ്രമുഖ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പോലും. 1890-ൽ, ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പെർസി ഹീവുഡ്, ഏത് ഭൂപടത്തിനും നിറം നൽകാൻ അഞ്ച് നിറങ്ങൾ മതിയെന്ന് തെളിയിച്ചു. നാൽപ്പതിൽ താഴെ രാജ്യങ്ങളെ ചിത്രീകരിക്കുന്ന ഭൂപടത്തിന് 4 നിറങ്ങൾ മതിയാകും എന്ന് തെളിയിക്കാൻ 1968 ൽ മാത്രമാണ് അവർക്ക് കഴിഞ്ഞത്.

1976-ൽ, രണ്ട് അമേരിക്കൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ കെന്നത്ത് ആപ്പലും വുൾഫ്ഗാങ്റ്റ് ഹാക്കനും ചേർന്ന് കമ്പ്യൂട്ടർ ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു. ഇത് പരിഹരിക്കാൻ, എല്ലാ കാർഡുകളും 2000 തരങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. നാല് നിറങ്ങൾ വർണ്ണിക്കാൻ പര്യാപ്തമല്ലാത്ത കാർഡുകൾ തിരിച്ചറിയുന്നതിനായി എല്ലാ തരങ്ങളും പരിശോധിക്കുന്ന ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാം സൃഷ്ടിച്ചു. കമ്പ്യൂട്ടറിന് മൂന്ന് തരം മാപ്പുകൾ മാത്രം പഠിക്കാൻ കഴിയില്ല, അതിനാൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അവ സ്വന്തമായി പഠിച്ചു. തൽഫലമായി, എല്ലാ 2000 തരം കാർഡുകൾക്കും 4 നിറങ്ങൾ മതിയാകും എന്ന് കണ്ടെത്തി. നാല് നിറങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിന് അവർ ഒരു പരിഹാരം പ്രഖ്യാപിച്ചു. ഈ ദിവസം, ആപ്പലും ഹാക്കനും ജോലി ചെയ്തിരുന്ന യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെ പോസ്റ്റ് ഓഫീസ് എല്ലാ സ്റ്റാമ്പുകളിലും "നാല് നിറങ്ങൾ മതി" എന്ന വാക്കുകൾ കൊണ്ട് ഒരു സ്റ്റാമ്പ് ഇട്ടു.

നാല് നിറങ്ങളുടെ പ്രശ്നം അല്പം വ്യത്യസ്തമായി നിങ്ങൾക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ മാപ്പ് പരിഗണിക്കുക, അത് ഒരു ഗ്രാഫിൻ്റെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നു: സംസ്ഥാനങ്ങളുടെ തലസ്ഥാനങ്ങൾ ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങളാണ്, കൂടാതെ ഗ്രാഫിൻ്റെ അരികുകൾ സംസ്ഥാനങ്ങളെ പൊതുവായ അതിർത്തിയുള്ള ലംബങ്ങളെ (മൂലധനങ്ങളെ) ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു ഗ്രാഫ് ലഭിക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നം രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു: നാല് നിറങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഗ്രാഫിന് നിറം നൽകേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അങ്ങനെ ഒരു പൊതു അരികുള്ള ലംബങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത നിറങ്ങളാൽ നിറമായിരിക്കും.

യൂലർ, ഹാമിൽട്ടോണിയൻ ഗ്രാഫുകൾ

1859-ൽ, ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വില്യം ഹാമിൽട്ടൺ ഒരു പസിൽ പുറത്തിറക്കി - ഒരു തടി ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ (ഡോഡെകാഹെഡ്രോൺ), അതിൻ്റെ ഇരുപത് ലംബങ്ങൾ സ്റ്റഡുകളാൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരുന്നു. ഓരോ കൊടുമുടിക്കും ലോകത്തിലെ ഏറ്റവും വലിയ നഗരങ്ങളിലൊന്നിൻ്റെ പേര് ഉണ്ടായിരുന്നു - കാൻ്റൺ, ഡൽഹി, ബ്രസ്സൽസ് മുതലായവ. ഓരോ ശീർഷകവും ഒരിക്കൽ മാത്രം സന്ദർശിച്ച് പോളിഹെഡ്രോണിൻ്റെ അരികിലൂടെ പോകുന്ന ഒരു അടഞ്ഞ പാത കണ്ടെത്തുക എന്നതായിരുന്നു ചുമതല. പാത അടയാളപ്പെടുത്താൻ, ഒരു ചരട് ഉപയോഗിച്ചു, അത് നഖങ്ങളിൽ കൊളുത്തി.

ഹാമിൽട്ടൺ സൈക്കിൾ ഒരു ഗ്രാഫാണ്, അതിൻ്റെ പാത ഗ്രാഫിൻ്റെ എല്ലാ ലംബങ്ങളിലൂടെയും ഒരിക്കൽ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു ലളിതമായ ചക്രമാണ്.

കലിനിൻഗ്രാഡ് നഗരം (മുമ്പ് കൊയിനിഗ്സ്ബർഗ്) പ്രെഗൽ നദിയിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. നദി രണ്ട് ദ്വീപുകളെ കഴുകി, അവ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചിരുന്നു, പാലങ്ങൾ വഴി. പഴയ പാലങ്ങൾ ഇപ്പോഴില്ല. അവരുടെ ഓർമ്മ നഗരത്തിൻ്റെ ഭൂപടത്തിൽ മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു.

ഒരു ദിവസം, ഒരു നഗരവാസി തൻ്റെ സുഹൃത്തിനോട് എല്ലാ പാലങ്ങളിലൂടെയും നടക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് ചോദിച്ചു, ഓരോന്നും ഒരിക്കൽ മാത്രം സന്ദർശിച്ച് നടത്തം ആരംഭിച്ച സ്ഥലത്തേക്ക് മടങ്ങുക. ഈ പ്രശ്നം പല നഗരവാസികൾക്കും താൽപ്പര്യമുണ്ടായിരുന്നു, പക്ഷേ ആർക്കും അത് പരിഹരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞില്ല. ഈ പ്രശ്നം പല രാജ്യങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ താൽപ്പര്യം ഉണർത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലിയോൺഹാർഡ് യൂലർ ഈ പ്രശ്നത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തി. കൂടാതെ, അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പൊതു സമീപനം അദ്ദേഹം രൂപപ്പെടുത്തി. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അദ്ദേഹം മാപ്പ് ഒരു ഗ്രാഫാക്കി മാറ്റി. ഈ ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ ഭൂമിയായിരുന്നു, അരികുകൾ അതിനെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന പാലങ്ങളായിരുന്നു.

കോനിഗ്സ്ബർഗ് ബ്രിഡ്ജ് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഗ്രാഫുകളുടെ സവിശേഷതകൾ രൂപപ്പെടുത്താൻ യൂലറിന് കഴിഞ്ഞു.

ഗ്രാഫിൻ്റെ എല്ലാ ശീർഷങ്ങളും തുല്യമാണെങ്കിൽ ഒരു ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് ഒരു സ്ട്രോക്കിൽ (ഒരേ വരയിൽ രണ്ട് തവണ വരയ്ക്കാതെയും പേപ്പറിൽ നിന്ന് പെൻസിൽ ഉയർത്താതെയും) ഒരേ ശീർഷത്തിൽ അവസാനിപ്പിച്ച് ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാൻ കഴിയും.

രണ്ട് വിചിത്ര ശീർഷകങ്ങളുള്ള ഒരു ഗ്രാഫ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ലംബങ്ങളും ഒരു സ്ട്രോക്ക് ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒന്നിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് മറ്റൊന്നിൽ ഏതെങ്കിലും വിചിത്ര ശീർഷകം പൂർത്തിയാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

രണ്ടിൽ കൂടുതൽ വിചിത്ര ശീർഷങ്ങളുള്ള ഒരു ഗ്രാഫ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു സ്ട്രോക്ക് കൊണ്ട് ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല.

ബ്രിഡ്ജുകളുടെ പ്രശ്‌നത്തിന് ഈ ഗുണങ്ങൾ പ്രയോഗിച്ചാൽ, പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള ഗ്രാഫിൻ്റെ എല്ലാ ലംബങ്ങളും വിചിത്രമാണെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും, അതായത് ഈ ഗ്രാഫിനെ ഒരു സ്ട്രോക്ക് ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല, അതായത്. ഒരിക്കൽ എല്ലാ പാലങ്ങളും കടന്ന് യാത്ര തുടങ്ങിയ സ്ഥലത്ത് അവസാനിപ്പിക്കുക അസാധ്യമാണ്.

ഒരു ഗ്രാഫിന് ഗ്രാഫിൻ്റെ എല്ലാ അരികുകളും ഒരിക്കൽ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ചക്രം (ലളിതമായിരിക്കണമെന്നില്ല) ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സൈക്കിളിനെ വിളിക്കുന്നു യൂലർ സൈക്കിൾ . ഗ്രാഫിൻ്റെ എല്ലാ അരികുകളും (ആർക്കുകൾ) ഒരിക്കൽ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ശൃംഖലയാണ് (പാത്ത്, സൈക്കിൾ, കോണ്ടൂർ) യൂലർ ചെയിൻ (പാത്ത്, സൈക്കിൾ, കോണ്ടൂർ).

അധ്യായം II. പഠനത്തിൻ്റെ വിവരണവും അതിൻ്റെ ഫലങ്ങളും

2.1 പഠനത്തിൻ്റെ ഘട്ടങ്ങൾ

സിദ്ധാന്തം പരിശോധിക്കുന്നതിന്, പഠനത്തിൽ മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു (പട്ടിക 1):

ഗവേഷണ ഘട്ടങ്ങൾ

പട്ടിക 1.

		ഉപയോഗിച്ച രീതികൾ
പ്രശ്നത്തിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക പഠനം	വിദ്യാഭ്യാസപരവും ശാസ്ത്രീയവുമായ സാഹിത്യങ്ങൾ പഠിക്കുകയും വിശകലനം ചെയ്യുകയും ചെയ്യുക.	- സ്വതന്ത്ര ചിന്ത;  വിവര സ്രോതസ്സുകളുടെ പഠനം; - ആവശ്യമായ സാഹിത്യങ്ങൾക്കായി തിരയുക.
പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രായോഗിക ഗവേഷണം	ഗ്രാഫുകളുടെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗത്തിൻ്റെ മേഖലകൾ പരിഗണിക്കുകയും വിശകലനം ചെയ്യുകയും ചെയ്യുക;	- നിരീക്ഷണം; - വിശകലനം; - താരതമ്യം; - സർവേ.
ഘട്ടം 3. ഫലങ്ങളുടെ പ്രായോഗിക ഉപയോഗം	പഠിച്ച വിവരങ്ങൾ സംഗ്രഹിക്കുക;	- വ്യവസ്ഥാപനം;  റിപ്പോർട്ട് (വാക്കാലുള്ള, എഴുതിയ, മെറ്റീരിയലുകളുടെ പ്രദർശനത്തോടൊപ്പം)	സെപ്റ്റംബർ 2017

2.2 ഗ്രാഫുകളുടെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗത്തിൻ്റെ മേഖലകൾ

ഗ്രാഫുകളും വിവരങ്ങളും

വിവര സിദ്ധാന്തം ബൈനറി ട്രീകളുടെ ഗുണങ്ങളെ വിപുലമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് നിശ്ചിത എണ്ണം സന്ദേശങ്ങൾ പൂജ്യങ്ങളുടെയും വിവിധ ദൈർഘ്യങ്ങളുടേയും രൂപത്തിൽ എൻകോഡ് ചെയ്യണമെങ്കിൽ. മറ്റ് പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ശരാശരി പദ ദൈർഘ്യം ഏറ്റവും ചെറുതാണെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന കോഡ് വേഡുകളുടെ പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് ഒരു കോഡ് മികച്ചതായി കണക്കാക്കുന്നു. ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, തിരയൽ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ കോഡ് ഒരു ട്രീ-ഗ്രാഫായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു അൽഗോരിതം ഹഫ്മാൻ നിർദ്ദേശിച്ചു. ഓരോ ശീർഷത്തിനും, ഒരു ചോദ്യം നിർദ്ദേശിക്കപ്പെടുന്നു, അതിനുള്ള ഉത്തരം "അതെ" അല്ലെങ്കിൽ "ഇല്ല" ആകാം - ഇത് ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് വരുന്ന രണ്ട് അരികുകളുമായി യോജിക്കുന്നു. ആവശ്യമുള്ളത് സ്ഥാപിച്ചതിന് ശേഷമാണ് അത്തരമൊരു മരത്തിൻ്റെ നിർമ്മാണം പൂർത്തീകരിക്കുന്നത്. നിരവധി ആളുകളെ അഭിമുഖം നടത്തുന്നതിന് ഇത് ഉപയോഗിക്കാം, മുമ്പത്തെ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം മുൻകൂട്ടി അറിയാത്തപ്പോൾ, അഭിമുഖം പ്ലാൻ ഒരു ബൈനറി ട്രീ ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ഗ്രാഫുകളും രസതന്ത്രവും

എ. കെയ്‌ലി പൂരിത (അല്ലെങ്കിൽ പൂരിത) ഹൈഡ്രോകാർബണുകളുടെ സാധ്യമായ ഘടനകളുടെ പ്രശ്നവും പരിഗണിച്ചു, അവയുടെ തന്മാത്രകൾ ഫോർമുലയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

CnH 2n+2

എല്ലാ ഹൈഡ്രോകാർബൺ ആറ്റങ്ങളും 4-വാലൻ്റ് ആണ്, എല്ലാ ഹൈഡ്രജൻ ആറ്റങ്ങളും 1-വാലൻ്റ് ആണ്. ഏറ്റവും ലളിതമായ ഹൈഡ്രോകാർബണുകളുടെ ഘടനാപരമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഓരോ പൂരിത ഹൈഡ്രോകാർബൺ തന്മാത്രയെയും ഒരു വൃക്ഷമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. എല്ലാ ഹൈഡ്രജൻ ആറ്റങ്ങളും നീക്കം ചെയ്യുമ്പോൾ, ശേഷിക്കുന്ന ഹൈഡ്രോകാർബൺ ആറ്റങ്ങൾ നാലിൽ കൂടുതൽ ഉയരമില്ലാത്ത ഒരു മരമായി മാറുന്നു. ഇതിനർത്ഥം, സാധ്യമായ ആവശ്യമുള്ള ഘടനകളുടെ എണ്ണം (ഒരു നിശ്ചിത പദാർത്ഥത്തിൻ്റെ ഹോമോലോഗുകൾ) ശീർഷക ഡിഗ്രികൾ 4-ൽ കൂടാത്ത മരങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഈ പ്രശ്നം ഒരു പ്രത്യേക തരം മരങ്ങൾ എണ്ണുന്ന പ്രശ്നത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു. ഡി പോളിയ ഈ പ്രശ്നവും അതിൻ്റെ പൊതുവൽക്കരണവും പരിഗണിച്ചു.

ഗ്രാഫുകളും ജീവശാസ്ത്രവും

ബയോളജിക്കൽ സിദ്ധാന്തത്തിൽ കാണപ്പെടുന്ന ബ്രാഞ്ചിംഗ് പ്രക്രിയകളിൽ ഒന്നാണ് ബാക്ടീരിയൽ പുനരുൽപാദന പ്രക്രിയ. ഓരോ ബാക്ടീരിയയും, ഒരു നിശ്ചിത സമയത്തിനുശേഷം, ഒന്നുകിൽ മരിക്കുകയോ രണ്ടായി വിഭജിക്കുകയോ ചെയ്യട്ടെ. അതിനാൽ, ഒരു ബാക്ടീരിയയ്ക്ക് അതിൻ്റെ സന്തതികളുടെ പുനരുൽപാദനത്തിൻ്റെ ഒരു ബൈനറി ട്രീ നമുക്ക് ലഭിക്കും. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ചോദ്യം ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്: അതിൽ എത്ര കേസുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു? കെഒരു ബാക്ടീരിയയുടെ നാലാം തലമുറയിലെ പിൻഗാമികൾ? ജീവശാസ്ത്രത്തിലെ ഈ ബന്ധത്തെ ഗാൾട്ടൺ-വാട്സൺ പ്രക്രിയ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് ആവശ്യമായ കേസുകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഗ്രാഫുകളും ഫിസിക്സും

ഏതൊരു റേഡിയോ അമേച്വർക്കും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും മടുപ്പിക്കുന്നതുമായ ഒരു ജോലി അച്ചടിച്ച സർക്യൂട്ടുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു (ഒരു പ്ലേറ്റ് ഡൈഇലക്ട്രിക് - ഇൻസുലേറ്റിംഗ് മെറ്റീരിയലും മെറ്റൽ സ്ട്രിപ്പുകളുടെ രൂപത്തിൽ കൊത്തിയ ട്രാക്കുകളും). ചില നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി ചില പോയിൻ്റുകളിൽ (ട്രയോഡുകൾ, റെസിസ്റ്ററുകൾ, ഡയോഡുകൾ മുതലായവയുടെ സ്ഥാനങ്ങൾ) മാത്രമാണ് ട്രാക്കുകളുടെ വിഭജനം സംഭവിക്കുന്നത്. തൽഫലമായി, ലംബങ്ങളുള്ള ഒരു ഫ്ലാറ്റ് ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാനുള്ള ചുമതല ശാസ്ത്രജ്ഞന് നേരിടേണ്ടിവരുന്നു

അതിനാൽ, മുകളിൽ പറഞ്ഞവയെല്ലാം ഗ്രാഫുകളുടെ പ്രായോഗിക മൂല്യം സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു.

ഇൻ്റർനെറ്റ് മാത്തമാറ്റിക്സ്

വിവരങ്ങൾ സംഭരിക്കുന്നതിനും കൈമാറുന്നതിനുമായി പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുള്ള കമ്പ്യൂട്ടർ നെറ്റ്‌വർക്കുകളുടെ ലോകമെമ്പാടുമുള്ള ഒരു സംവിധാനമാണ് ഇൻ്റർനെറ്റ്.

ഇൻ്റർനെറ്റിനെ ഒരു ഗ്രാഫായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അവിടെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ ഇൻ്റർനെറ്റ് സൈറ്റുകളും അരികുകൾ ഒരു സൈറ്റിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് പോകുന്ന ലിങ്കുകളുമാണ് (ഹൈപ്പർലിങ്കുകൾ).

കോടിക്കണക്കിന് ശീർഷകങ്ങളും അരികുകളും ഉള്ള വെബ് ഗ്രാഫ് (ഇൻ്റർനെറ്റ്) നിരന്തരം മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നു - സൈറ്റുകൾ സ്വയമേവ ചേർക്കപ്പെടുകയും അപ്രത്യക്ഷമാവുകയും ചെയ്യുന്നു, ലിങ്കുകൾ അപ്രത്യക്ഷമാവുകയും ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഇൻ്റർനെറ്റിന് ഒരു ഗണിത ഘടനയുണ്ട്, ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം അനുസരിക്കുന്നു, കൂടാതെ നിരവധി "സ്ഥിരമായ" ഗുണങ്ങളുണ്ട്.

വെബ് ഗ്രാഫ് വിരളമാണ്. ലംബങ്ങളേക്കാൾ ഏതാനും മടങ്ങ് കൂടുതൽ അരികുകൾ മാത്രമേ ഇതിൽ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ.

വിരളമായിരുന്നിട്ടും, ഇൻ്റർനെറ്റ് വളരെ തിരക്കേറിയതാണ്. 5 - 6 ക്ലിക്കുകളിൽ ലിങ്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സൈറ്റിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് പോകാം ("ആറ് ഹാൻഡ്‌ഷേക്കുകളുടെ" പ്രസിദ്ധമായ സിദ്ധാന്തം).

നമുക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഒരു ഗ്രാഫിൻ്റെ ഡിഗ്രി എന്നത് ഒരു ശീർഷം ഉൾപ്പെടുന്ന അരികുകളുടെ എണ്ണമാണ്. ഒരു വെബ് ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങളുടെ ഡിഗ്രികൾ ഒരു നിശ്ചിത നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു: ധാരാളം ലിങ്കുകൾ (അരികുകൾ) ഉള്ള സൈറ്റുകളുടെ (വെർട്ടീസുകൾ) അനുപാതം ചെറുതാണ്, കൂടാതെ ചെറിയ എണ്ണം ലിങ്കുകളുള്ള സൈറ്റുകളുടെ പങ്ക് വലുതാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

ഒരു നിശ്ചിത ഡിഗ്രിയുടെ ലംബങ്ങളുടെ അനുപാതം എവിടെയാണ്, ഒരു ശീർഷത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രി, വെബ് ഗ്രാഫിലെ ലംബങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൽ നിന്ന് ഒരു സ്ഥിരമായ സ്വതന്ത്രമാണ്, അതായത്. സൈറ്റുകൾ (വെർട്ടീസുകൾ) ചേർക്കുന്നതിനോ നീക്കം ചെയ്യുന്നതിനോ ഉള്ള പ്രക്രിയയിൽ മാറ്റമില്ല.

സങ്കീർണ്ണമായ നെറ്റ്‌വർക്കുകൾക്ക് ഈ പവർ നിയമം സാർവത്രികമാണ് - ബയോളജിക്കൽ മുതൽ ഇൻ്റർബാങ്ക് വരെ.

സൈറ്റുകളിലെ ക്രമരഹിതമായ ആക്രമണങ്ങളെ ഇൻ്റർനെറ്റ് മൊത്തത്തിൽ പ്രതിരോധിക്കും.

സൈറ്റുകളുടെ നാശവും സൃഷ്ടിയും സ്വതന്ത്രമായും ഒരേ പ്രോബബിലിറ്റിയോടെയും സംഭവിക്കുന്നതിനാൽ, വെബ് ഗ്രാഫ്, 1 ന് അടുത്താണ്, അതിൻ്റെ സമഗ്രത നിലനിർത്തുന്നു, നശിപ്പിക്കപ്പെടുന്നില്ല.

ഇൻ്റർനെറ്റ് പഠിക്കാൻ, ഒരു റാൻഡം ഗ്രാഫ് മോഡൽ നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ മോഡലിന് യഥാർത്ഥ ഇൻറർനെറ്റിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം, അത് വളരെ സങ്കീർണ്ണമായിരിക്കരുത്.

ഈ പ്രശ്നം ഇതുവരെ പൂർണ്ണമായും പരിഹരിച്ചിട്ടില്ല! ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് - ഇൻറർനെറ്റിൻ്റെ ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ള മോഡൽ നിർമ്മിക്കുന്നത് - വിവര തിരയൽ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും സ്പാം തിരിച്ചറിയുന്നതിനും വിവരങ്ങൾ പ്രചരിപ്പിക്കുന്നതിനും പുതിയ ഉപകരണങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും.

ഇൻറർനെറ്റിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതല ഉയർന്നുവന്നതിനേക്കാൾ വളരെ മുമ്പാണ് ജൈവ, സാമ്പത്തിക മാതൃകകളുടെ നിർമ്മാണം ആരംഭിച്ചത്. എന്നിരുന്നാലും, ഇൻ്റർനെറ്റിൻ്റെ വികസനത്തിലും പഠനത്തിലുമുള്ള പുരോഗതി ഈ മോഡലുകളെക്കുറിച്ചുള്ള നിരവധി ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകുന്നത് സാധ്യമാക്കി.

ഇൻ്റർനെറ്റ് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് നിരവധി സ്പെഷ്യലിസ്റ്റുകൾ ആവശ്യക്കാരുണ്ട്: ജീവശാസ്ത്രജ്ഞർ (ബാക്റ്റീരിയൽ ജനസംഖ്യയുടെ വളർച്ച പ്രവചിക്കുന്നു), ധനകാര്യകർത്താക്കൾ (പ്രതിസന്ധികളുടെ അപകടസാധ്യതകൾ) മുതലായവ. അത്തരം സംവിധാനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം അപ്ലൈഡ് മാത്തമാറ്റിക്‌സിൻ്റെയും കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിൻ്റെയും കേന്ദ്ര ശാഖകളിലൊന്നാണ്.

ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് മർമാൻസ്ക്.

ഒരു വ്യക്തി ഒരു പുതിയ നഗരത്തിൽ എത്തുമ്പോൾ, ഒരു ചട്ടം പോലെ, പ്രധാന ആകർഷണങ്ങൾ സന്ദർശിക്കുക എന്നതാണ് ആദ്യത്തെ ആഗ്രഹം. എന്നാൽ അതേ സമയം, സമയം പലപ്പോഴും പരിമിതമാണ്, ഒരു ബിസിനസ്സ് യാത്രയുടെ കാര്യത്തിൽ, വളരെ ചെറുതാണ്. അതിനാൽ, നിങ്ങളുടെ കാഴ്ചകൾ മുൻകൂട്ടി ആസൂത്രണം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നിങ്ങളുടെ റൂട്ട് നിർമ്മിക്കുന്നതിന് ഗ്രാഫുകൾ ഒരു വലിയ സഹായമായിരിക്കും!

ഉദാഹരണമായി, ആദ്യമായി വിമാനത്താവളത്തിൽ നിന്ന് മർമാൻസ്കിൽ എത്തിയ ഒരു സാധാരണ കേസ് പരിഗണിക്കുക. ഇനിപ്പറയുന്ന ആകർഷണങ്ങൾ സന്ദർശിക്കാൻ ഞങ്ങൾ പദ്ധതിയിടുന്നു:

1. വെള്ളത്തിലെ രക്ഷകൻ്റെ മറൈൻ ഓർത്തഡോക്സ് ചർച്ച്;

2. സെൻ്റ് നിക്കോളാസ് കത്തീഡ്രൽ;

3. ഓഷ്യനേറിയം;

4. സെമിയോൺ പൂച്ചയുടെ സ്മാരകം;

5. ആണവ ഐസ് ബ്രേക്കർ ലെനിൻ;

6. മർമൻസ്കിൻ്റെ പാർക്ക് ലൈറ്റുകൾ;

7. പാർക്ക് വാലി ഓഫ് കംഫർട്ട്;

8. കോല പാലം;

9. മർമാൻസ്ക് ഷിപ്പിംഗ് കമ്പനിയുടെ ചരിത്രത്തിൻ്റെ മ്യൂസിയം;

10. അഞ്ച് കോർണർ സ്ക്വയർ;

11. കടൽ വ്യാപാര തുറമുഖം

ആദ്യം, നമുക്ക് ഈ സ്ഥലങ്ങൾ മാപ്പിൽ കണ്ടെത്താം, ഒപ്പം ആകർഷണങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള സ്ഥലത്തിൻ്റെയും ദൂരത്തിൻ്റെയും ദൃശ്യപരമായ പ്രാതിനിധ്യം നേടാം. റോഡ് ശൃംഖല വളരെ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്, കാറിൽ യാത്ര ചെയ്യുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.

മാപ്പിലെ ആകർഷണങ്ങളും (ഇടതുവശത്ത്) തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഗ്രാഫും (വലതുവശത്ത്) അനുബന്ധം നമ്പർ 1 ലെ അനുബന്ധ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, പുതുതായി വരുന്നയാൾ ആദ്യം കോല പാലത്തിന് സമീപം കടന്നുപോകും (വേണമെങ്കിൽ, അങ്ങോട്ടും ഇങ്ങോട്ടും കടക്കാം); പിന്നെ അവൻ മർമൻസ്‌ക് പാർക്കിലെ ലൈറ്റ്‌സിലും കംഫർട്ട് താഴ്‌വരയിലും വിശ്രമിക്കുകയും മുന്നോട്ട് പോകുകയും ചെയ്യും. തൽഫലമായി, ഒപ്റ്റിമൽ റൂട്ട് ഇതായിരിക്കും:

ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച്, അഭിപ്രായ വോട്ടെടുപ്പ് നടത്തുന്നതിനുള്ള സ്കീമും നിങ്ങൾക്ക് ദൃശ്യവൽക്കരിക്കാം. ഉദാഹരണങ്ങൾ അനുബന്ധം നമ്പർ 2 ൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. നൽകിയ ഉത്തരങ്ങളെ ആശ്രയിച്ച്, പ്രതികരിക്കുന്നയാളോട് വ്യത്യസ്ത ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, സോഷ്യോളജിക്കൽ സർവേ നമ്പർ 1-ൽ പ്രതികരിക്കുന്നയാൾ ഗണിതത്തെ ശാസ്ത്രങ്ങളിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടതായി കണക്കാക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഭൗതികശാസ്ത്ര പാഠങ്ങളിൽ അദ്ദേഹത്തിന് ആത്മവിശ്വാസമുണ്ടോ എന്ന് ചോദിക്കും; അദ്ദേഹം മറിച്ചാണ് ചിന്തിക്കുന്നതെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തെ ചോദ്യം മാനവികതയുടെ ആവശ്യകതയെക്കുറിച്ചായിരിക്കും. അത്തരമൊരു ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ ചോദ്യങ്ങളും അരികുകൾ ഉത്തര ഓപ്ഷനുകളുമാണ്.

2.3 പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രയോഗം

ഗണിതം, ജീവശാസ്ത്രം, കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ്: നിരവധി വിഷയ മേഖലകളിൽ നിന്നുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വം ഞങ്ങൾ പഠിക്കുകയും ഗവേഷണ വിഷയത്തിൽ ഞങ്ങളുടെ സ്വന്തം പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുകയും ചെയ്തു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1.

ഹൈസ്‌കൂൾ സംഗമത്തിൽ അഞ്ച് സഹപാഠികൾ കൈകോർത്തു. എത്ര ഹസ്തദാനം നടത്തി?

പരിഹാരം: ഗ്രാഫിൻ്റെ ശിഖരങ്ങളാൽ സഹപാഠികളെ സൂചിപ്പിക്കാം. ഓരോ ശീർഷകത്തെയും മറ്റ് നാല് ലംബങ്ങളിലേക്ക് വരകൾ ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കാം. ഞങ്ങൾക്ക് 10 വരികൾ ലഭിക്കുന്നു, ഇവ ഹാൻഡ്‌ഷേക്കുകളാണ്.

ഉത്തരം: 10 ഹാൻഡ്‌ഷേക്കുകൾ (ഓരോ വരിയും ഒരു ഹാൻഡ്‌ഷേക്ക് എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്).

ടാസ്ക് നമ്പർ 2.

എൻ്റെ മുത്തശ്ശിയുടെ ഗ്രാമത്തിൽ, അവളുടെ വീടിനടുത്ത്, 8 മരങ്ങൾ വളരുന്നു: പോപ്ലർ, ഓക്ക്, മേപ്പിൾ, ആപ്പിൾ, ലാർച്ച്, ബിർച്ച്, റോവൻ, പൈൻ. റോവൻ ലാർച്ചിനേക്കാൾ ഉയർന്നതാണ്, ആപ്പിൾ മരം മേപ്പിളിനേക്കാൾ ഉയർന്നതാണ്, ഓക്ക് ബിർച്ചിനേക്കാൾ കുറവാണ്, എന്നാൽ പൈനേക്കാൾ ഉയർന്നത്, പൈൻ റോവനേക്കാൾ ഉയർന്നതാണ്, ബിർച്ച് പോപ്ലറിനേക്കാൾ താഴ്ന്നതാണ്, ലാർച്ച് ആപ്പിൾ മരത്തേക്കാൾ ഉയർന്നതാണ്. ഏത് ക്രമത്തിലാണ് മരങ്ങൾ ഏറ്റവും ഉയരം മുതൽ ഉയരം കുറഞ്ഞത് വരെ ക്രമീകരിക്കുക?

പരിഹാരം:

ഗ്രാഫിൻ്റെ ശിഖരങ്ങളാണ് മരങ്ങൾ. വൃത്തത്തിലെ ആദ്യ അക്ഷരം കൊണ്ട് അവയെ സൂചിപ്പിക്കാം. ഒരു താഴ്ന്ന മരത്തിൽ നിന്ന് ഉയർന്നതിലേക്ക് അമ്പുകൾ വരയ്ക്കാം. റോവൻ ലാർച്ചിനേക്കാൾ ഉയർന്നതാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ അമ്പ് ലാർച്ചിൽ നിന്ന് റോവനിലേക്ക് ഇടുന്നു, ബിർച്ച് പോപ്ലറിനേക്കാൾ കുറവാണ്, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ അമ്പ് പോപ്ലറിൽ നിന്ന് ബിർച്ചിലേക്ക് ഇടുന്നു, മുതലായവ. ഏറ്റവും ചെറിയ വൃക്ഷം മേപ്പിൾ, ആപ്പിൾ, ലാർച്ച്, റോവൻ, പൈൻ, ഓക്ക്, ബിർച്ച്, പോപ്ലർ എന്നിവയാണെന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ഗ്രാഫ് നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഉത്തരം: മേപ്പിൾ, ആപ്പിൾ, ലാർച്ച്, റോവൻ, പൈൻ, ഓക്ക്, ബിർച്ച്, പോപ്ലർ.

ടാസ്ക് നമ്പർ 3.

അമ്മയ്ക്ക് 2 എൻവലപ്പുകൾ ഉണ്ട്: സാധാരണവും വായുവും, 3 സ്റ്റാമ്പുകളും: ചതുരം, ചതുരാകൃതി, ത്രികോണാകൃതി. അച്ഛന് ഒരു കത്ത് അയയ്ക്കാൻ അമ്മയ്ക്ക് ഒരു കവറും സ്റ്റാമ്പും എത്ര വിധത്തിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാനാകും?

ഉത്തരം: 6 വഴികൾ

ടാസ്ക് നമ്പർ 4.

എ, ബി, സി, ഡി, ഇ സെറ്റിൽമെൻ്റുകൾക്കിടയിലാണ് റോഡുകൾ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. എ, ഇ എന്നീ പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിലുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ പാതയുടെ ദൈർഘ്യം നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ചിത്രത്തിൽ ദൈർഘ്യം സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന റോഡുകളിലൂടെ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് നീങ്ങാൻ കഴിയൂ.

ടാസ്ക് നമ്പർ 5.

മൂന്ന് സഹപാഠികൾ - മാക്സിം, കിറിൽ, വോവ എന്നിവർ സ്പോർട്സിനായി പോകാൻ തീരുമാനിക്കുകയും കായിക വിഭാഗങ്ങളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിൽ വിജയിക്കുകയും ചെയ്തു. 1 ആൺകുട്ടി ബാസ്‌ക്കറ്റ്‌ബോൾ വിഭാഗത്തിലേക്ക് അപേക്ഷിച്ചു, മൂന്ന് പേർ ഹോക്കി കളിക്കാൻ ആഗ്രഹിച്ചു. മാക്‌സിം സെക്ഷൻ 1-ലേയ്‌ക്ക് മാത്രമേ ഓഡിഷൻ ചെയ്‌തുള്ളൂ, മൂന്ന് വിഭാഗങ്ങളിലേക്കും കിറിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ടു, സെക്ഷൻ 2-ലേക്ക് വോവ തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ടു. ഏത് സ്‌പോർട്‌സ് വിഭാഗത്തിലേക്കാണ് ആൺകുട്ടികളിൽ ആരാണ് തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ടത്?

പരിഹാരം: പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിക്കും

ബാസ്കറ്റ്ബോൾ മാക്സിം

ഫുട്ബോൾ കിറിൽ

ഹോക്കി വോവ

മുതൽ ബാസ്കറ്റ്ബോൾഒരു അമ്പടയാളം മാത്രം പോകുന്നു, തുടർന്ന് കിറിൽ വിഭാഗത്തിലേക്ക് തിരഞ്ഞെടുത്തു ബാസ്കറ്റ്ബോൾ. പിന്നെ കിരിൽ കളിക്കില്ല ഹോക്കി, അതിനർത്ഥം ഇൻ ഹോക്കിഈ വിഭാഗത്തിനായി മാത്രം ഓഡിഷൻ നടത്തിയ മാക്സിം ആണ് വിഭാഗം തിരഞ്ഞെടുത്തത്, അപ്പോൾ വോവ ആയിരിക്കും കാൽ പന്ത് കളിക്കാരാൻ.

ടാസ്ക് നമ്പർ 6.

ചില അധ്യാപകരുടെ അസുഖം കാരണം, ഇനിപ്പറയുന്ന സാഹചര്യങ്ങൾ കണക്കിലെടുത്ത് സ്കൂളിലെ പ്രധാന അധ്യാപകൻ കുറഞ്ഞത് ഒരു ദിവസത്തേക്കെങ്കിലും സ്കൂൾ ഷെഡ്യൂളിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം തയ്യാറാക്കേണ്ടതുണ്ട്:

1. ലൈഫ് സേഫ്റ്റി ടീച്ചർ അവസാന പാഠം മാത്രം നൽകാൻ സമ്മതിക്കുന്നു;

2. ഭൂമിശാസ്ത്ര അധ്യാപകന് രണ്ടാമത്തെ അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നാമത്തെ പാഠം നൽകാം;

3. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ആദ്യ പാഠം അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തെ പാഠം മാത്രം നൽകാൻ തയ്യാറാണ്;

4. ഒരു ഫിസിക്‌സ് അദ്ധ്യാപകന് ആദ്യത്തെ, രണ്ടാമത്തെ, അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നാമത്തെ പാഠങ്ങൾ നൽകാൻ കഴിയും, എന്നാൽ ഒരു ക്ലാസ്സിൽ മാത്രം.

എല്ലാ അധ്യാപകരെയും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന തരത്തിൽ ഒരു സ്‌കൂളിലെ പ്രധാന അധ്യാപകന് ഏത് തരത്തിലുള്ള ഷെഡ്യൂൾ ഉണ്ടാക്കാനാകും?

പരിഹാരം: സാധ്യമായ എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളിലൂടെയും ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഒരു ഗ്രാഫ് വരച്ചാൽ ഇത് എളുപ്പമാണ്.

1. 1) ഭൗതികശാസ്ത്രം 2. 1) ഗണിതം 3. 1) ഗണിതം

2) ഗണിതം 2) ഭൗതികശാസ്ത്രം 2) ഭൂമിശാസ്ത്രം

3) ഭൂമിശാസ്ത്രം 3) ഭൂമിശാസ്ത്രം 3) ഭൗതികശാസ്ത്രം

4) OBZH 4) OBZH 4) OBZH

ഉപസംഹാരം

ഈ ഗവേഷണ പ്രവർത്തനത്തിൽ, ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം വിശദമായി പഠിച്ചു, ഗ്രാഫുകളുടെ പഠനം ലോജിക്കൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ സഹായിക്കുമെന്ന് സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു, കൂടാതെ, ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വിവിധ മേഖലകളിലെ ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം പരിഗണിക്കുകയും 7 പ്രശ്നങ്ങൾ സമാഹരിക്കുകയും ചെയ്തു.

പ്രശ്‌നങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് വിദ്യാർത്ഥികളെ പഠിപ്പിക്കുമ്പോൾ ഗ്രാഫുകളുടെ ഉപയോഗം വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് അവരുടെ ഗ്രാഫിക് കഴിവുകൾ മെച്ചപ്പെടുത്താനും ഒരു പ്രത്യേക ഭാഷയിൽ യുക്തിസഹമായി ആശയവിനിമയം നടത്താനും അനുവദിക്കുന്നു, അവയിൽ ചിലത് വരികൾ വഴി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. വിദ്യാർത്ഥികളെ ചിന്തിക്കാൻ പഠിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തിന് ഇതെല്ലാം സംഭാവന ചെയ്യുന്നു.

ചിന്ത വികസിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള വിദ്യാഭ്യാസ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലപ്രാപ്തി ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ സൃഷ്ടിപരമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അളവിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, സ്കൂൾ കുട്ടികളുടെ മാനസിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ സജീവമാക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ജോലികളും വ്യായാമങ്ങളും ആവശ്യമാണ്.

ടാസ്ക്കുകളുടെ പ്രയോഗവും സ്കൂളിലെ തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ട ക്ലാസുകളിൽ ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങളുടെ ഉപയോഗവും വിദ്യാർത്ഥികളുടെ മാനസിക പ്രവർത്തനം സജീവമാക്കുന്നതിനുള്ള ലക്ഷ്യം കൃത്യമായി പിന്തുടരുന്നു. ഞങ്ങളുടെ ഗവേഷണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രായോഗിക സാമഗ്രികൾ ഇലക്‌റ്റീവ് മാത്തമാറ്റിക്‌സ് ക്ലാസുകളിൽ ഉപയോഗപ്രദമാകുമെന്ന് ഞങ്ങൾ വിശ്വസിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, ഗവേഷണ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യം കൈവരിക്കപ്പെട്ടു, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു. ഭാവിയിൽ, ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം പഠിക്കുന്നത് തുടരാനും ഞങ്ങളുടെ സ്വന്തം റൂട്ടുകൾ വികസിപ്പിക്കാനും ഞങ്ങൾ പദ്ധതിയിടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് ZATO അലക്‌സാന്ദ്രോവ്സ്കിലെ ഒരു സ്കൂൾ ബസിനായി മർമൻസ്കിലെ മ്യൂസിയങ്ങളിലേക്കും അവിസ്മരണീയമായ സ്ഥലങ്ങളിലേക്കും ഒരു ഉല്ലാസയാത്ര റൂട്ട് സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

ഉപയോഗിച്ച റഫറൻസുകളുടെ പട്ടിക

ബെറെസിന എൽ.യു. “ഗ്രാഫുകളും അവയുടെ പ്രയോഗവും” - എം.: “ജ്ഞാനോദയം”, 1979

ഗാർഡ്നർ എം. "ഗണിത വിനോദം", എം. "മിർ", 1972

ഗാർഡ്നർ എം. "ഗണിത പസിലുകളും വിനോദവും", എം. "മിർ", 1971

ഗോർബച്ചേവ് എ. “ഒളിമ്പ്യാഡ് പ്രശ്നങ്ങളുടെ ശേഖരം” - M. MTsNMO, 2005

സൈക്കോവ് A. A. ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ. - എം.: "യൂണിവേഴ്സിറ്റി ബുക്ക്", 2004. - പി. 664

കസാറ്റ്കിൻ വി.എൻ. "ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അസാധാരണ പ്രശ്നങ്ങൾ", കൈവ്, "റാഡിയൻസ്ക സ്കൂൾ", 1987

ഗണിത ഘടകം / എഡിറ്റർമാരും കംപൈലർമാരും എൻ.എൻ. ആൻഡ്രീവ്, എസ്.പി. കൊനോവലോവ്, എൻ.എം. പന്യുഷ്കിൻ. - എം.: ഫൗണ്ടേഷൻ "ഗണിതശാസ്ത്ര എറ്റ്യൂഡ്സ്" 2015 - 151 പേ.

മെൽനിക്കോവ് O. I. "ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിലെ വിനോദ പ്രശ്നങ്ങൾ", Mn. "ടെട്രാസിസ്റ്റംസ്", 2001

മെൽനിക്കോവ് ഒ.ഐ. കണക്കുകളുടെ നാട്ടിൽ അറിയില്ല: വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള ഒരു മാനുവൽ. എഡ്. 3, സ്റ്റീരിയോടൈപ്പിക്കൽ. എം.: കോംക്നിഗ, 2007. - 160 പേ.

Olehnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. "പഴയ വിനോദ പ്രശ്നങ്ങൾ", M. "സയൻസ്", 1988

Ore O. "ഗ്രാഫുകളും അവയുടെ ആപ്ലിക്കേഷനുകളും", M. "മിർ", 1965

ഹരാരി എഫ്. ഗ്രാഫ് തിയറി / ഇംഗ്ലീഷിൽ നിന്നുള്ള വിവർത്തനം. ആമുഖവും വി.പി. കോസിരേവ. എഡ്. G. P. ഗാവ്രിലോവ. എഡ്. രണ്ടാമത്തേത്. - എം.: എഡിറ്റോറിയൽ URSS, 2003. - 296 പേ.

അനുബന്ധം നമ്പർ 1

പ്രധാന ആകർഷണങ്ങൾ സന്ദർശിക്കുന്നതിനുള്ള ഒപ്റ്റിമൽ റൂട്ട് വരയ്ക്കുന്നു

ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് മർമാൻസ്ക്.

ഒപ്റ്റിമൽ റൂട്ട് ഇതായിരിക്കും:

8. കോല പാലം6. മർമാൻസ്കിലെ പാർക്ക് ലൈറ്റുകൾ 7. പാർക്ക് വാലി ഓഫ് കംഫർട്ട്2. സെൻ്റ് നിക്കോളാസ് കത്തീഡ്രൽ10. അഞ്ച് കോർണർ സ്ക്വയർ5. ന്യൂക്ലിയർ ഐസ് ബ്രേക്കർ ലെനിൻ9. മർമാൻസ്ക് ഷിപ്പിംഗ് കമ്പനിയുടെ ചരിത്ര മ്യൂസിയം11. കടൽ വ്യാപാര തുറമുഖം1. മറൈൻ ഓർത്തഡോക്സ് ചർച്ച് ഓഫ് ദി സേവിയർ ഓൺ വാട്ടർ4. സെമിയോൺ പൂച്ചയുടെ സ്മാരകം3. ഓഷ്യനേറിയം.

മർമൻസ്‌ക് ആകർഷണങ്ങളിലേക്കുള്ള ഗൈഡ്

അനുബന്ധം നമ്പർ 2

സോഷ്യോളജിക്കൽ സർവേ നമ്പർ 1, 2

വിദ്യാഭ്യാസ പതിപ്പ്

യുയുകിൻ നിക്കോളായ് അലക്സീവിച്ച്

LR നം. മുദ്രയ്ക്കായി ഒപ്പിട്ടു

ഉച്. എഡ്. l.., .

വൊറോനെഷ് സ്റ്റേറ്റ് ടെക്നിക്കൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റി

394026 Voronezh, Moskovsky Ave. 14

മാഗ്നറ്റിക് ഡിസ്കിൻ്റെ ഡയറക്‌ടറി

ഹയർ മാത്തമാറ്റിക്സ്, ഫിസിക്കൽ ആൻഡ് മാത്തമാറ്റിക്കൽ മോഡലിംഗ് വിഭാഗം

ന്. യുയുകിൻ

ഡിസ്ക്രിറ്റ് മാത്തമാറ്റിക്സ് ഭാഗം 1. ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ

ട്യൂട്ടോറിയൽ

ന്. യുയുകിൻ

ഡിസ്ക്രിറ്റ് മാത്തമാറ്റിക്സ് ഭാഗം 1. ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ

ട്യൂട്ടോറിയൽ

വൊറോനെജ് 2004

ആമുഖം

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്പെഷ്യാലിറ്റികളിൽ പഠിക്കുന്ന VSTU വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് "ഡിസ്ക്രീറ്റ് മാത്തമാറ്റിക്സ്" എന്ന കോഴ്സിൽ ഈ മാനുവൽ ഉപയോഗിക്കാം:

090102 - കമ്പ്യൂട്ടർ സുരക്ഷ;

090105 - ഓട്ടോമേറ്റഡ് സിസ്റ്റങ്ങളുടെ വിവര സുരക്ഷയുടെ സമഗ്രമായ വ്യവസ്ഥ;

090106 - ടെലികമ്മ്യൂണിക്കേഷൻ സംവിധാനങ്ങളുടെ വിവര സുരക്ഷ.

"ഡിസ്ക്രീറ്റ് മാത്തമാറ്റിക്സ്" എന്ന അച്ചടക്കം സംസ്ഥാനം, പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരം എന്നിവയ്ക്ക് അനുസൃതമായി അറിവും നൈപുണ്യവും നേടുന്നത് ഉറപ്പാക്കുന്നു, അതേ സമയം അടിസ്ഥാന വിദ്യാഭ്യാസം നേടുന്നതിനും ലോകവീക്ഷണത്തിൻ്റെ രൂപീകരണത്തിനും യുക്തിസഹമായ ചിന്തയുടെ വികാസത്തിനും കാരണമാകുന്നു.

വ്യതിരിക്തമായ വസ്തുക്കളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ആധുനിക എഞ്ചിനീയറിംഗ് പ്രശ്നങ്ങൾ ഔപചാരികമാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഫലപ്രദമായ ഉപകരണമാണ് ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം. ഇൻ്റഗ്രേറ്റഡ് സർക്യൂട്ടുകളുടെയും കൺട്രോൾ സർക്യൂട്ടുകളുടെയും രൂപകൽപ്പന, ഓട്ടോമാറ്റ, ലോജിക് സർക്യൂട്ടുകളുടെ പഠനം, സിസ്റ്റം വിശകലനം, ഓട്ടോമേറ്റഡ് പ്രൊഡക്ഷൻ കൺട്രോൾ, കമ്പ്യൂട്ടർ, ഇൻഫർമേഷൻ നെറ്റ്‌വർക്കുകളുടെ വികസനം, സർക്യൂട്ട് ഡിസൈൻ, ഡിസൈൻ-ടോപ്പോളജിക്കൽ ഡിസൈൻ മുതലായവയിൽ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ, അടിസ്ഥാന രീതികൾ, അൽഗോരിതങ്ങൾ എന്നിവ ട്യൂട്ടോറിയൽ വിവരിക്കുന്നു. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ n-ഗ്രാഫുകളും ഡിഗ്രാഫുകളും അവതരിപ്പിക്കുന്നു; ഐസോമോർഫിസങ്ങൾ; മരങ്ങൾ; യൂലർ ഗ്രാഫുകൾ; പ്ലാനർ ഗ്രാഫുകൾ; കവറുകളും സ്വതന്ത്ര സെറ്റുകളും; ശക്തമായ കണക്റ്റിവിറ്റി

വി ഡിഗ്രാഫുകൾ; മാർക്കോവ് ചെയിൻ ഗ്രാഫ് വിശകലനം; ഗ്രാഫുകളിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ പാതകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതങ്ങൾ; ഹാമിൽട്ടോണിയൻ സൈക്കിൾ തിരയൽ പ്രശ്നം

വി ഗ്രാഫ്; യാത്രാ സെയിൽസ്മാൻ പ്രശ്നം; ഗ്രാഫുകളുടെയും മാപ്പിംഗുകളുടെയും കണക്കെടുപ്പ്; അങ്ങേയറ്റത്തെ ജോലികൾ; ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നങ്ങൾ; സാർവത്രിക ജോലികൾ; ശാഖയും ബന്ധിത രീതിയും; കൂടാതെ മുകളിൽ പറഞ്ഞ ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രായോഗിക കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുക.

വിദ്യാർത്ഥികളുടെ സൈദ്ധാന്തിക പരിജ്ഞാനം, പ്രായോഗിക കഴിവുകൾ, മോഡലിംഗ് പ്രക്രിയകൾ, പ്രകൃതി ശാസ്ത്രം, സാങ്കേതികവിദ്യ എന്നിവയിലെ പ്രതിഭാസങ്ങൾ എന്നിവയിൽ കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കുക എന്നതാണ് കോഴ്സിൻ്റെ ലക്ഷ്യം.

ke, ഉയർന്ന പ്രൊഫഷണൽ തലത്തിൽ വിവര സുരക്ഷാ മേഖലയിൽ ഔദ്യോഗിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ ആവശ്യമായ വസ്തുക്കളുടെ അളവും ഗുണപരവുമായ ബന്ധങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഗണിതശാസ്ത്ര ചിഹ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാനുള്ള കഴിവ്.

ഈ ലക്ഷ്യം കൈവരിക്കുന്നതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ജോലികൾ സഹായിക്കുന്നു:

ഗ്രാഫ് തിയറി ആശയങ്ങളുടെ സാധ്യമായ വിശാലമായ ശ്രേണി പഠിക്കുക;

വിദ്യാഭ്യാസപരവും പ്രായോഗികവുമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കഴിവുകൾ നേടുക;

മാസ്റ്റർ ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ രീതികൾ;

വിവര പ്രശ്‌നങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കുന്നതിലും പരിഹരിക്കുന്നതിലും ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിവരങ്ങൾ മോഡലിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനും വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനുമുള്ള കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കുക.

"ഡിസ്ക്രീറ്റ് മാത്തമാറ്റിക്സ്" എന്ന അച്ചടക്കം പ്രായോഗിക ഗണിതശാഖകളിൽ ഒന്നാണ്. "ആൾജിബ്ര", "ഗണിതശാസ്ത്ര ലോജിക് ആൻഡ് തിയറി ഓഫ് അൽഗോരിതം" എന്നീ വിഷയങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ വിദ്യാർത്ഥികൾ നേടിയ അറിവിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഇത്. "ഡിസ്ക്രീറ്റ് മാത്തമാറ്റിക്സ്" എന്ന വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിൽ നേടിയ അറിവും കഴിവുകളും പഠനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. പൊതു പ്രൊഫഷണൽപ്രത്യേക വിഷയങ്ങളും.

1. ഗ്രാഫ് തിയറിയുടെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ.

1.1 ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രശ്നങ്ങൾ.

ഗ്രാഫ് തിയറി എന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഒരു ശാഖയാണ്, അത് ഒരു ബന്ധം എന്ന ആശയം പോലെ തന്നെ വ്യത്യസ്ത വസ്തുക്കൾ തമ്മിലുള്ള കണക്ഷൻ സിസ്റ്റങ്ങളെ പഠിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു സ്വതന്ത്ര നിർവചനം സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അവതരണത്തെ ലളിതമാക്കുകയും അത് കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കാവുന്നതും ദൃശ്യപരവുമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആദ്യ പ്രശ്നങ്ങൾ വിനോദ പ്രശ്നങ്ങളും പസിലുകളും പരിഹരിക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്.

ആദ്യ ദൗത്യം. 1786-ൽ യൂലർ കോണിഗ്സ്ബർഗ് പാലങ്ങളുടെ പ്രശ്നം ഉന്നയിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്തു. പ്രെഗോളിയ നദിയുടെ തീരത്തും രണ്ട് ദ്വീപുകളിലുമാണ് നഗരം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഏഴ് പാലങ്ങളാൽ ദ്വീപുകൾ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചിരുന്നു.

ചോദ്യം ഉയർന്നു: വീട് വിട്ട് തിരികെ മടങ്ങാൻ കഴിയുമോ, ഓരോ പാലവും കൃത്യമായി ഒരു തവണ കടന്ന്?

രണ്ടാമത്തെ ചുമതല. മൂന്ന് വീടുകളുടെയും മൂന്ന് കിണറുകളുടെയും പ്രശ്നം. മൂന്ന് വീടുകളും മൂന്ന് കിണറുകളുമുണ്ട്.

ഓരോ വീട്ടിൽ നിന്നും ഓരോ കിണറിലേക്കും പാതകൾ മുറിക്കാതിരിക്കാൻ ഒരു പാത വരയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എന്നതായിരുന്നു ചുമതല

പോൺട്രിയാഗിൻ പരിഹരിച്ചതും അദ്ദേഹത്തിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായി കുററ്റോവ്സ്കിയും

മൂന്നാമത്തെ ചുമതല. ഏകദേശം നാല് നിറങ്ങൾ. ഒരു വിമാനത്തിൽ നാല് നിറങ്ങളുള്ള ഏതെങ്കിലും ഭൂപടം വർണ്ണിക്കുക, അതുവഴി അടുത്തുള്ള രണ്ട് പ്രദേശങ്ങൾ ഒരേ നിറത്തിൽ വരയ്ക്കില്ല.

ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള പല ഫലങ്ങളും ശാസ്ത്രത്തിലും സാങ്കേതികവിദ്യയിലും പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, 19-ആം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ മധ്യത്തിൽ, സങ്കീർണ്ണമായ ഇലക്ട്രിക്കൽ സർക്യൂട്ടുകൾ കണക്കാക്കാൻ കിർച്ചോഫ് ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു ഗണിതശാസ്‌ത്രം എന്ന നിലയിൽ, ഗ്രാഫ് സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെട്ടത് ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ 30-കളിൽ മാത്രമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗ്രാഫുകൾ ചില അമൂർത്ത ഗണിത വസ്തുക്കളായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. സർക്യൂട്ടുകളുടെയും സിസ്റ്റങ്ങളുടെയും വിശകലനത്തിലും സമന്വയത്തിലും നെറ്റ്‌വർക്ക് പ്ലാനിംഗ്, മാനേജ്‌മെൻ്റ്, ഓപ്പറേഷൻസ് റിസർച്ച്, പ്രോഗ്രാമിംഗ്, ഒരു ജീവിയുടെ ജീവിതത്തെ മാതൃകയാക്കൽ, മറ്റ് മേഖലകൾ എന്നിവയിൽ അവ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

1.2 അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങൾ.

ഒരു ഗ്രാഫ് G= (V,E) എന്നത് രണ്ട് സെറ്റുകളുടെ ഒരു ശേഖരമാണ് - ശൂന്യമല്ലാത്ത വെർട്ടിസുകളുടെ V ഉം ക്രമമില്ലാത്തതും ക്രമീകരിച്ചതുമായ ജോഡി വെർട്ടിസുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം E. ഇനിപ്പറയുന്നതിൽ ഞങ്ങൾ പരിമിതമായ ഗ്രാഫുകൾ പരിഗണിക്കും, അതായത്. പരിമിതമായ ശീർഷകങ്ങളും ജോഡികളുടെ പരിമിതമായ കുടുംബവുമുള്ള ഗ്രാഫുകൾ. ക്രമപ്പെടുത്താത്ത ജോഡി ലംബങ്ങളെ എഡ്ജ് എന്നും ഓർഡർ ചെയ്ത ജോഡിയെ ആർക്ക് എന്നും വിളിക്കുന്നു.

സാധാരണഗതിയിൽ, ഒരു ഗ്രാഫിനെ ഒരു ഡയഗ്രം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു: ലംബങ്ങൾ ഡോട്ടുകളാണ് (അല്ലെങ്കിൽ സർക്കിളുകൾ), അരികുകൾ അനിയന്ത്രിതമായ കോൺഫിഗറേഷൻ്റെ വരികളാണ്. ഒരു അമ്പടയാളം ആർക്കിലെ അതിൻ്റെ ദിശയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു ഗ്രാഫ് ചിത്രീകരിക്കുമ്പോൾ, കാരിയർ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക

അരികുകളുടെ ജ്യാമിതീയ ഗുണങ്ങളും (നീളം, വക്രത), അതുപോലെ വിമാനത്തിലെ ലംബങ്ങളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനവും അത്യാവശ്യമാണ്.

ഏതെങ്കിലും അരികിൽ (ആർക്ക്) ഉൾപ്പെടാത്ത ലംബങ്ങളെ ഒറ്റപ്പെട്ടതായി വിളിക്കുന്നു. ഒരു എഡ്ജ് അല്ലെങ്കിൽ ആർക്ക് ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ലംബങ്ങളെ അടുത്തുള്ള എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു അരികും (ആർക്ക്) അതിൻ്റെ രണ്ട് ലംബങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലുമൊരു സംഭവം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു എഡ്ജ് (u,v) u, v എന്നീ ശീർഷങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നുവെന്നും ഒരു ആർക്ക് (u,v) u എന്ന ശീർഷത്തിൽ ആരംഭിച്ച് v ശീർഷത്തിൽ അവസാനിക്കുന്നുവെന്നും ഈ ആർക്കിൻ്റെ ആരംഭം എന്നും v അവസാനം എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്നുവെന്നും അവർ പറയുന്നു.

ഒരു ജോടി ലംബങ്ങൾ രണ്ടോ അതിലധികമോ അരികുകളാൽ ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും (ഒരേ ദിശയിലുള്ള ആർക്കുകൾ). അത്തരം അറ്റങ്ങൾ (ആർക്കുകൾ) ഒന്നിലധികം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ആർക്ക് (അല്ലെങ്കിൽ എഡ്ജ്) ഒരേ ശീർഷത്തിൽ ആരംഭിക്കുകയോ അവസാനിക്കുകയോ ചെയ്യാം. അത്തരമൊരു ആർക്ക് (എഡ്ജ്) ഒരു ലൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ലൂപ്പുകൾ അടങ്ങിയ ഗ്രാഫിനെ സ്യൂഡോ ഗ്രാഫ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒന്നിലധികം അരികുകൾ (ആർക്കുകൾ) ഉള്ള ഒരു ഗ്രാഫിനെ മൾട്ടിഗ്രാഫ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ലൂപ്പുകളോ ഒന്നിലധികം അരികുകളോ ഇല്ലാത്ത ഒരു ഗ്രാഫിനെ സിമ്പിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും ജോഡി ലംബങ്ങൾക്ക് അവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു അഗ്രം (ആർക്ക്) ഉണ്ടെങ്കിൽ ഒരു ലളിതമായ ഗ്രാഫിനെ പൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. n ലംബങ്ങളുള്ള ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രാഫ് K n കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇവ ഗ്രാഫുകളാണ്

ഒരു ഒറ്റപ്പെട്ട ശീർഷകം (K 1) അടങ്ങുന്ന ഒരു ഗ്രാഫിനെ ട്രിവിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഗ്രാഫ് G യുടെ പൂരകമാണ് ഗ്രാഫ് G-യുടെ അതേ ലംബങ്ങളുള്ള ഒരു ഗ്രാഫ് G ആണ്, ഒരു പൂർണ്ണമായ ഗ്രാഫ് ലഭിക്കുന്നതിന് ഗ്രാഫ് G-യിലേക്ക് ചേർക്കേണ്ട അരികുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഓരോ നോൺ-ഡിഗ്രാഫർക്കും കാനോനികമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുഒരേ ശീർഷകങ്ങളുള്ള ഒരു ഡയറക്‌റ്റ് ഗ്രാഫ്, അതിൽ ഓരോ അരികും ഒരേ ശിഖരങ്ങളിലേക്കുള്ള രണ്ട് കമാനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി വിപരീത ദിശകളുള്ളതാണ്.

1.3 ഗ്രാഫ് വെർട്ടീസുകളുടെ ഡിഗ്രികൾ.

ഒരു ലളിതമായ ഗ്രാഫ് G യുടെ ഒരു വെർട്ടെക്സ് v യുടെ ഡിഗ്രി (വാലൻസി) (നൊട്ടേഷൻ d (v) അല്ലെങ്കിൽ deg (v)) എന്നത് ഒരു തന്നിരിക്കുന്ന ശീർഷം v യിലേക്കുള്ള അരികുകളുടെയോ ആർക്കുകളുടെയോ എണ്ണമാണ്. ഒരു സ്യൂഡോഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങളുടെ വാലൻസി കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഓരോ ലൂപ്പും രണ്ടുതവണ കണക്കാക്കണം.

ഒരു n-ഗ്രാഫിൻ്റെ എല്ലാ ലംബങ്ങളുടെയും ഡിഗ്രികൾ k ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഗ്രാഫിനെ വിളിക്കുന്നു പതിവ് (യൂണിഫോം)ബിരുദം കെ. ഒരു ശീർഷത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രി 0 ആണെങ്കിൽ, അത് ഒറ്റപ്പെട്ടതാണ്. ഒരു ശീർഷത്തിൻ്റെ അളവ് 1 ആണെങ്കിൽ, ശീർഷത്തെ ടെർമിനൽ വെർട്ടെക്സ് (തൂങ്ങിക്കിടക്കുന്ന, നിർജ്ജീവമായ അവസാനം) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഡിഗ്രാഫിന്, വെർട്ടെക്സ് v യിൽ നിന്ന് പുറപ്പെടുന്ന ചാപങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ വിളിക്കുന്നു

വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു ഫലത്തിൻ്റെ അർദ്ധ-ഡിഗ്രി										(v), ഇൻകമിംഗ് - സെമി-സ്റ്റെപ്പ്-
പുതിയ കോൾ ഡി							(v), ഈ സാഹചര്യത്തിൽ d (v)=
		(v)+			(v).

യൂലറുടെ സിദ്ധാന്തം: ഒരു ഗ്രാഫിൻ്റെ ശീർഷകങ്ങളുടെ ഡിഗ്രികളുടെ ആകെത്തുക

വാരിയെല്ലുകളുടെ എണ്ണം ഇരട്ടിയാക്കുക, അതായത്.

d(vi)

			(v)

ഇവിടെ n എന്നത് ലംബങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്; m - നമ്പർ

വാരിയെല്ലുകൾ (കമാനങ്ങൾ). ശീർഷകങ്ങളുടെ ഡിഗ്രികളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഓരോ അരികും രണ്ട് തവണ കണക്കിലെടുക്കുന്നു - അരികിൻ്റെ ഒരു അറ്റത്തിനും മറ്റേ അറ്റത്തിനും - ഈ പ്രസ്താവന തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

1.4 ഗ്രാഫ് ഐസോമോർഫിസം.

ഒരു ഗ്രാഫിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും തരത്തിൽ പരസ്പരം വ്യത്യാസപ്പെട്ടാൽ അതിനെ ലേബൽ ചെയ്‌ത (അല്ലെങ്കിൽ പുനർനമ്പർ ചെയ്‌തത്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ലേബലുകൾ (നമ്പറുകൾ). കണക്കാണ് പരിഗണിക്കുന്നത് പൂർണ്ണമായും കർശനമായ അർത്ഥത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ലംബങ്ങളുടെയും അരികുകളുടെയും എണ്ണം നിശ്ചയിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗ്രാഫുകൾ G 1 ഉം G 2 ഉം തുല്യം (പദവി G 1 = G 2) എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അവയുടെ ലംബങ്ങളുടെയും അരികുകളുടെയും സെറ്റുകൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ. രണ്ട് ഗ്രാഫുകൾ അല്ലെങ്കിൽ സ്യൂഡോഗ്രാഫുകൾ G 1 = (V 1 ,E 1 ), G 2 = (V 2 ,E 2 ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു

	ഐസോമോർഫിക് (നൊട്ടേഷൻ ജി				അവർ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ
	ഒന്ന്-ടു-വൺ മാപ്പിംഗ്: 1)				: V 1 V 2
: E 1 E 2, അതായത് ഗ്രാഫിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ലംബങ്ങൾക്ക് u, v
	((u, v)) ((u), (v)) എന്ന ബന്ധം സാധുവാണ്.
	രണ്ട് ലളിതമായ ഗ്രാഫുകൾ (ലൂപ്പുകളും ഒന്നിലധികം അരികുകളും ഇല്ലാതെ) G 1					ഒപ്പം ജി 2

പരസ്പരം സമാനതകളുണ്ടെങ്കിൽ ഐസോമോഫിക് ആയി മാറുന്നു

മൂല്യ മാപ്പിംഗ്

: V 1 V 2

അതുകൊണ്ട്?

(u , v ) ((u ), (v )) .

അതിനാൽ, ലംബങ്ങളുടെയും അരികുകളുടെയും എണ്ണത്തിൽ മാത്രം വ്യത്യാസമുള്ള ഗ്രാഫുകൾ ഐസോമോഫിക് ആണ്. ഗ്രാഫ് ഐസോമോർഫിസം ഒരു തുല്യതാ ബന്ധമാണ്, കാരണം അതിന് ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

റിഫ്ലെക്സിവിറ്റി -

G1,

ബിജക്ഷനും

ഒരു സമാന പ്രവർത്തനമാണ്.

സമമിതി.

ബിജക്ഷനോടെ

ബിജക്ഷനോടെ

ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റി.

G 1 G 2

ബിജക്ഷൻ

1,എ

ബിജക്ഷനോടെ

പിന്നെ ജി ജി

ബിജക്ഷനോടെ

2 (1 ) .