ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ ആണെന്ന് എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം. പ്രവർത്തന തുല്യത. ഒരു ഇടവേളയിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യം
ഏതെങ്കിലും ഒരു ഫംഗ്ഷൻ തുല്യതയ്ക്കും തുല്യതയ്ക്കും എങ്കിൽ ഇരട്ട (ഒറ്റ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു 
.
ഒരു ഇരട്ട ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് അച്ചുതണ്ടിന്റെ സമമിതിയാണ് 
.
വിചിത്രമായ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവത്തെ സംബന്ധിച്ച് സമമിതിയാണ്.
ഉദാഹരണം 6.2.ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഇരട്ടയാണോ അതോ വിചിത്രമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക
1)
;
2)
;
3)
.
പരിഹാരം.
1) ഫംഗ്ഷൻ എപ്പോൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു 
. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും 
.
ആ. 
. ഇതിനർത്ഥം ഈ പ്രവർത്തനം തുല്യമാണ് എന്നാണ്.
2) ഫംഗ്ഷൻ എപ്പോൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു 
ആ. 
. അതിനാൽ, ഈ പ്രവർത്തനം വിചിത്രമാണ്.
3) ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്, അതായത്. വേണ്ടി
,
. അതിനാൽ പ്രവർത്തനം ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല. നമുക്ക് ഇതിനെ പൊതുവായ രൂപത്തിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കാം.
3. ഏകതാനതയ്ക്കുള്ള പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം.
ഫംഗ്ഷൻ 
ഈ ഇടവേളയിൽ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഓരോ വലിയ മൂല്യവും ഫംഗ്ഷന്റെ വലിയ (ചെറിയ) മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നത് (കുറയുന്നത്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്ന (കുറയുന്ന) പ്രവർത്തനങ്ങളെ മോണോടോണിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ചടങ്ങാണെങ്കിൽ 
ഇടവേളയിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു 
കൂടാതെ പോസിറ്റീവ് (നെഗറ്റീവ്) ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട് 
, പിന്നെ ഫംഗ്ഷൻ 
ഈ ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു (കുറയുന്നു).
ഉദാഹരണം 6.3. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഏകതാനതയുടെ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക
1)
;
3)
.
പരിഹാരം.
1) ഈ ഫംഗ്ഷൻ മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിലും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം.
ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് 
ഒപ്പം 
. ഡോട്ടുകൾ കൊണ്ട് ഹരിച്ച സംഖ്യാ അക്ഷമാണ് നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ 
,
ഇടവേളകളിൽ. ഓരോ ഇടവേളയിലും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം.
ഇടവേളയിൽ 
ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് ആണ്, ഈ ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്ഷൻ കുറയുന്നു.
ഇടവേളയിൽ 
ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ ഈ ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു.
2) എങ്കിൽ ഈ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു 
അഥവാ
.
ഓരോ ഇടവേളയിലും ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിന്റെ അടയാളം ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.
അങ്ങനെ, ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ
നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം 
,
, എങ്കിൽ 
, അതായത്. 
, പക്ഷേ 
. ഇടവേളകളിൽ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം 
.
ഇടവേളയിൽ 
ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ, ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു 
. ഇടവേളയിൽ 
ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്, ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു 
.
4. എക്സ്ട്രീമിലെ പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം.
ഡോട്ട് 
ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി (മിനിമം) പോയിന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു 
, പോയിന്റിന്റെ അത്തരമൊരു അയൽപക്കം ഉണ്ടെങ്കിൽ 
അത് എല്ലാവർക്കും വേണ്ടിയുള്ളതാണ് 
ഈ അയൽപക്കത്തിൽ നിന്ന് അസമത്വം നിലനിൽക്കുന്നു 
.
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ കൂടിയതും കുറഞ്ഞതുമായ പോയിന്റുകളെ എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ചടങ്ങാണെങ്കിൽ 
പോയിന്റിൽ 
ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ട്, അപ്പോൾ ഈ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല (ഒരു എക്സ്ട്രീമിന്റെ നിലനിൽപ്പിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ).
ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമോ നിലവിലില്ലാത്തതോ ആയ പോയിന്റുകളെ ക്രിട്ടിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
5. ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ.
നിയമം 1. പരിവർത്തന സമയത്ത് (ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട്) നിർണായക പോയിന്റിലൂടെയാണെങ്കിൽ 
ഡെറിവേറ്റീവ് 
ചിഹ്നം "+" ൽ നിന്ന് "-" ലേക്ക് മാറ്റുന്നു, തുടർന്ന് പോയിന്റിൽ 
പ്രവർത്തനം 
പരമാവധി ഉണ്ട്; “–” മുതൽ “+” വരെയാണെങ്കിൽ, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്; എങ്കിൽ 
അടയാളം മാറ്റില്ല, പിന്നെ ഒരു തീവ്രതയുമില്ല.
നിയമം 2. പോയിന്റിൽ അനുവദിക്കുക 
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് 
പൂജ്യത്തിന് തുല്യം 
, രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലുണ്ട്, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. എങ്കിൽ 
, അത് 
- പരമാവധി പോയിന്റ്, എങ്കിൽ 
, അത് 
- പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റ്.
ഉദാഹരണം 6.4 . പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
പരിഹാരം.
1) ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായതുമാണ് 
.
നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം 
ഒപ്പം സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക 
, അതായത്. 
.ഇവിടെ നിന്ന് 
- നിർണായക പോയിന്റുകൾ.
നമുക്ക് ഇടവേളകളിൽ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കാം, 
.
പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ 
ഒപ്പം 
ഡെറിവേറ്റീവ് "-" എന്നതിൽ നിന്ന് "+" എന്നതിലേക്ക് അടയാളം മാറുന്നു, അതിനാൽ, റൂൾ 1 അനുസരിച്ച് 
- ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകൾ.
ഒരു പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ 
ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം "+" ൽ നിന്ന് "-" ആയി മാറുന്നു, അങ്ങനെ 
- പരമാവധി പോയിന്റ്.
,
.
2) ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായതുമാണ് 
. നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം 
.
സമവാക്യം പരിഹരിച്ചു 
, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും 
ഒപ്പം 
- നിർണായക പോയിന്റുകൾ. ഡിനോമിനേറ്റർ ആണെങ്കിൽ 
, അതായത്. 
, അപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ല. അതിനാൽ, 
- മൂന്നാമത്തെ നിർണായക പോയിന്റ്. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളം നമുക്ക് ഇടവേളകളിൽ നിർണ്ണയിക്കാം.
അതിനാൽ, പ്രവർത്തനത്തിന് പോയിന്റിൽ ഒരു മിനിമം ഉണ്ട് 
, പോയിന്റുകളിൽ പരമാവധി 
ഒപ്പം 
.
3) ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും തുടർച്ചയായി ആണെങ്കിൽ 
, അതായത്. ചെയ്തത് 
.
നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം 
.
നമുക്ക് നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം: 
പോയിന്റുകളുടെ അയൽപക്കങ്ങൾ 
നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല, അതിനാൽ അവ തീവ്രമല്ല. അതിനാൽ, നമുക്ക് നിർണായക പോയിന്റുകൾ പരിശോധിക്കാം 
ഒപ്പം 
.
4) ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായതുമാണ് 
. നമുക്ക് റൂൾ 2 ഉപയോഗിക്കാം. ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക 
.
നമുക്ക് നിർണായക പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താം:
നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം 
പോയിന്റുകളിൽ അതിന്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക 
പോയിന്റുകളിൽ 
ഫംഗ്‌ഷന് മിനിമം ഉണ്ട്.
പോയിന്റുകളിൽ 
പ്രവർത്തനത്തിന് പരമാവധി ഉണ്ട്.
പ്രവർത്തനം പോലും.
പോലുംചിഹ്നം മാറുമ്പോൾ അടയാളം മാറാത്ത ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ് x.
xസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു എഫ്(–x) = എഫ്(x). അടയാളം xചിഹ്നത്തെ ബാധിക്കില്ല വൈ.
ഒരു ഇരട്ട ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന്റെ സമമിതിയാണ് (ചിത്രം 1).
ഒരു ഇരട്ട പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:
വൈ=കോസ് x
വൈ = x 2
വൈ = –x 2
വൈ = x 4
വൈ = x 6
വൈ = x 2 + x
വിശദീകരണം:
നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ എടുക്കാം വൈ = x 2 അല്ലെങ്കിൽ വൈ = –x 2 .
ഏത് മൂല്യത്തിനും xപ്രവർത്തനം പോസിറ്റീവ് ആണ്. അടയാളം xചിഹ്നത്തെ ബാധിക്കില്ല വൈ. കോർഡിനേറ്റ് അച്ചുതണ്ടിനെ സംബന്ധിച്ച ഗ്രാഫ് സമമിതിയാണ്. ഇത് ഒരു ഇരട്ട പ്രവർത്തനമാണ്.
വിചിത്രമായ പ്രവർത്തനം.
വിചിത്രമായചിഹ്നം മാറുമ്പോൾ അടയാളം മാറുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ് x.
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഏത് മൂല്യത്തിനും xസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു എഫ്(–x) = –എഫ്(x).
ഒരു വിചിത്ര ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയാണ് (ചിത്രം 2).
വിചിത്രമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:
വൈ= പാപം x
വൈ = x 3
വൈ = –x 3
വിശദീകരണം:
y =- എന്ന ഫംഗ്ഷൻ എടുക്കാം. x 3 .
എല്ലാ അർത്ഥങ്ങളും ചെയ്തത്അതിന് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉണ്ടായിരിക്കും. അതൊരു അടയാളമാണ് xചിഹ്നത്തെ സ്വാധീനിക്കുന്നു വൈ. സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ പോസിറ്റീവ് ആണ്, സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ നെഗറ്റീവ് ആണ്: എഫ്(–x) = –എഫ്(x).
ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവത്തെക്കുറിച്ച് സമമിതിയാണ്. ഇതൊരു വിചിത്രമായ പ്രവർത്തനമാണ്.
ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗുണങ്ങൾ:
കുറിപ്പ്:
എല്ലാ ഫംഗ്‌ഷനുകളും ഇരട്ടയോ ഒറ്റയോ അല്ല. അത്തരം ഗ്രേഡേഷൻ അനുസരിക്കാത്ത ഫംഗ്ഷനുകളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, റൂട്ട് ഫംഗ്ഷൻ ചെയ്തത് = √എക്സ്ഇരട്ട അല്ലെങ്കിൽ ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് ബാധകമല്ല (ചിത്രം 3). അത്തരം ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ സവിശേഷതകൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഉചിതമായ ഒരു വിവരണം നൽകണം: ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല.
ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ.
നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ ചില പ്രക്രിയകളുടെ ആവർത്തനമാണ് ആനുകാലികത. ഈ പ്രക്രിയകളെ വിവരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു ആനുകാലിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ. അതായത്, ചില സംഖ്യാ ഇടവേളകളിൽ ആവർത്തിക്കുന്ന ഘടകങ്ങളുള്ള ഗ്രാഫുകളിൽ ഇവ ഫംഗ്ഷനുകളാണ്.
നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പരിധിവരെ പരിചിതമായിരുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ പ്രോപ്പർട്ടികളുടെ സ്റ്റോക്ക് ക്രമേണ നികത്തുമെന്നും അവിടെ ശ്രദ്ധിക്കപ്പെട്ടു. ഈ വിഭാഗത്തിൽ രണ്ട് പുതിയ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ചർച്ച ചെയ്യും.
നിർവ്വചനം 1.
y = f(x), x є X എന്ന ഫംഗ്‌ഷനെ, X സെറ്റിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിന് x എന്ന് വിളിക്കുന്നു, തുല്യത f (-x) = f (x) നിലനിർത്തുന്നു.
നിർവ്വചനം 2.
y = f(x), x є X എന്ന ഫംഗ്‌ഷനെ, ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിന് x എന്ന് വിളിക്കുന്നു, X എന്ന ഗണത്തിൽ നിന്ന് f (-x) = -f (x) തുല്യത നിലനിർത്തുന്നു.
y = x 4 ഒരു ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷനാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം. നമുക്കുള്ളത്: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. എന്നാൽ(-x) 4 = x 4. ഇതിനർത്ഥം ഏത് x നും തുല്യത f(-x) = f(x) ഹോൾഡ് ആണ്, അതായത്. പ്രവർത്തനം തുല്യമാണ്.
അതുപോലെ, y - x 2, y = x 6, y - x 8 എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകൾ തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും.
y = x 3 ~ ഒരു വിചിത്രമായ പ്രവർത്തനമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.
പരിഹാരം. നമുക്കുള്ളത്: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. എന്നാൽ (-x) 3 = -x 3. ഇതിനർത്ഥം ഏത് x നും തുല്യത f (-x) = -f (x) കൈവശം വയ്ക്കുന്നു, അതായത്. പ്രവർത്തനം വിചിത്രമാണ്.
അതുപോലെ, y = x, y = x 5, y = x 7 എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകൾ വിചിത്രമാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും.
ഗണിതത്തിലെ പുതിയ പദങ്ങൾക്ക് മിക്കപ്പോഴും "ഭൗമിക" ഉത്ഭവമുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്കും എനിക്കും ഒന്നിലധികം തവണ ബോധ്യപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്, അതായത്. അവ എങ്ങനെയെങ്കിലും വിശദീകരിക്കാം. ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ കാര്യം ഇതാണ്. കാണുക: y - x 3, y = x 5, y = x 7 എന്നത് വിചിത്രമായ ഫംഗ്ഷനുകളാണ്, അതേസമയം y = x 2, y = x 4, y = x 6 ഇരട്ട ഫംഗ്ഷനുകളാണ്. പൊതുവേ, y = x" (താഴെ ഈ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഞങ്ങൾ പ്രത്യേകം പഠിക്കും), n എന്നത് ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം: n ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, y = x" എന്ന ഫംഗ്ഷൻ വിചിത്രമായ; n ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, y = xn എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ഇരട്ടിയാണ്.
ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ലാത്ത പ്രവർത്തനങ്ങളുമുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, y = 2x + 3 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ഇതാണ്. തീർച്ചയായും, f(1) = 5, f (-1) = 1. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഇവിടെ, അതിനാൽ, f(-x) = ഐഡന്റിറ്റിയോ ഇല്ല. f (x), അല്ലെങ്കിൽ ഐഡന്റിറ്റി f(-x) = -f(x).
അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ലാത്തതോ ആകാം.
തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ ഇരട്ടയാണോ അതോ ഒറ്റയാണോ എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തെ സാധാരണയായി പാരിറ്റി പഠനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
1, 2 നിർവചനങ്ങൾ x, -x എന്നീ പോയിന്റുകളിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. പോയിന്റ് x, പോയിന്റ് -x എന്നിവയിൽ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെന്ന് ഇത് അനുമാനിക്കുന്നു. പോയിന്റ് x-നൊപ്പം ഒരേസമയം ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ പോയിന്റ് -x ഉൾപ്പെടുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ഒരു സംഖ്യാ ഗണമായ X, അതിലെ ഓരോ മൂലകങ്ങളും ചേർന്ന്, x എന്ന വിപരീത മൂലകവും ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ, X-നെ ഒരു സമമിതി സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നമുക്ക് പറയാം, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) എന്നിവ സമമിതി സെറ്റുകളാണ്, അതേസമയം ; (∞;∞) സമമിതി സെറ്റുകളും, [–5;4] അസമമിതിയുമാണ്.
- ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് പോലും ഒരു സമമിതി സെറ്റായ നിർവചനത്തിന്റെ ഒരു ഡൊമെയ്ൻ ഉണ്ടോ? വിചിത്രമായവ?
– എങ്കിൽ ഡി( എഫ്) ഒരു അസമമിതി സെറ്റാണ്, അപ്പോൾ എന്താണ് പ്രവർത്തനം?
– അങ്ങനെ, ഫംഗ്ഷൻ എങ്കിൽ ചെയ്തത് = എഫ്(എക്സ്) - ഇരട്ടയോ ഒറ്റയോ ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ D( എഫ്) ഒരു സമമിതി സെറ്റാണ്. സംഭാഷണ പ്രസ്താവന ശരിയാണോ: ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ ഒരു സമമിതി സെറ്റാണെങ്കിൽ, അത് ഇരട്ടയാണോ അതോ വിചിത്രമാണോ?
- ഇതിനർത്ഥം നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിന്റെ ഒരു സമമിതി സെറ്റിന്റെ സാന്നിധ്യം അനിവാര്യമായ ഒരു വ്യവസ്ഥയാണ്, പക്ഷേ പര്യാപ്തമല്ല.
- അപ്പോൾ പാരിറ്റിക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എങ്ങനെ പഠിക്കാം? ഒരു അൽഗോരിതം ഉണ്ടാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.
സ്ലൈഡ്
പാരിറ്റിക്ക് വേണ്ടി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം
1. ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ സമമിതിയാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക. ഇല്ലെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല. അതെ എങ്കിൽ, അൽഗോരിതം ഘട്ടം 2-ലേക്ക് പോകുക.
2. ഇതിനായി ഒരു പദപ്രയോഗം എഴുതുക എഫ്(–എക്സ്).
3. താരതമ്യം ചെയ്യുക എഫ്(–എക്സ്).ഒപ്പം എഫ്(എക്സ്):
- എങ്കിൽ എഫ്(–എക്സ്).= എഫ്(എക്സ്), അപ്പോൾ പ്രവർത്തനം തുല്യമാണ്;
- എങ്കിൽ എഫ്(–എക്സ്).= – എഫ്(എക്സ്), അപ്പോൾ പ്രവർത്തനം വിചിത്രമാണ്;
- എങ്കിൽ എഫ്(–എക്സ്) ≠ എഫ്(എക്സ്) ഒപ്പം എഫ്(–എക്സ്) ≠ –എഫ്(എക്സ്), അപ്പോൾ പ്രവർത്തനം ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല.
ഉദാഹരണങ്ങൾ:
ഫംഗ്ഷൻ പരിശോധിക്കുക a) തുല്യതയ്ക്കായി ചെയ്തത്= x 5 +; b) ചെയ്തത്= ; വി) ചെയ്തത്= .
പരിഹാരം.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), സമമിതി സെറ്റ്.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => ഫംഗ്ഷൻ h(x)= x 5 + ഒറ്റത്തവണ.
b) y =,
ചെയ്തത് = എഫ്(എക്സ്), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), ഒരു അസമമിതി സെറ്റ്, അതായത് ഫംഗ്ഷൻ ഇരട്ടയോ ഒറ്റയോ അല്ല.
വി) എഫ്(എക്സ്) =, y = f (x),
1) ഡി( എഫ്) = (–∞; 3] ≠ ; ബി) (∞; –2), (–4; 4]?
ഓപ്ഷൻ 2
1. നൽകിയിരിക്കുന്ന സെറ്റ് സമമിതിയാണോ: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
എ); b) y = x (5 - x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുക ചെയ്തത് = എഫ്(എക്സ്), എങ്കിൽ ചെയ്തത് = എഫ്(എക്സ്) ഒരു ഇരട്ട പ്രവർത്തനമാണ്.
ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുക ചെയ്തത് = എഫ്(എക്സ്), എങ്കിൽ ചെയ്തത് = എഫ്(എക്സ്) ഒരു വിചിത്രമായ പ്രവർത്തനമാണ്.
പരസ്പര പരിശോധന സ്ലൈഡ്.
6. ഗൃഹപാഠം: №11.11, 11.21,11.22;
പാരിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടിയുടെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തിന്റെ തെളിവ്.
***(ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷാ ഓപ്ഷന്റെ അസൈൻമെന്റ്).
1. ഒാഡ് ഫംഗ്ഷൻ y = f(x) മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിലും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ ഏതെങ്കിലും നോൺ-നെഗറ്റീവ് മൂല്യത്തിന്, ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യവുമായി യോജിക്കുന്നു g( എക്സ്) = എക്സ്(എക്സ് + 1)(എക്സ് + 3)(എക്സ്– 7). ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക h( എക്സ്) = at എക്സ് = 3.
7. സംഗ്രഹിക്കുന്നു