現実の三角形の類似性に基づいてデザインと研究が行われます。比類のない類似性をプロジェクトプレゼンテーションの内容を見る「現実の三角形の類似性」

この研究は、現実の三角形の類似性を利用する可能性の研究に基づいており、高度計を使用して長さを測定する実験が行われました。

「11Sushko-t.doc」

現実の三角形の類似性

スシュコ・ダリア・オレゴヴナ

8年生

ク「オシュ」私 - Ⅲ ステップNo.11、イェナキエヴォ」

イカエワマリーナアレクサンドロヴナ

数学の先生、Ⅱ カテゴリ

ク「オシュ」私 - Ⅲ ステップNo.11、イェナキエヴォ」

[メールで保護されています]

幾何学は古代に生まれました。私たちが今日住んでいる世界も幾何学で溢れています。私たちの周りのすべての物体は幾何学的な形をしています。これらは建物、道路、植物、家庭用品です。私のトピックとの関連性は、何の道具も使わずに、三角形の相似性だけを頼りに、柱、鐘楼、木の高さ、川、湖、渓谷の幅、橋の長さを測定できるという事実にあります。島や池の深さなど。

この研究の目標は、実生活における三角形の類似性の応用分野を見つけることでした。

作業の目的は次のとおりでした。

研究の対象と主題 : 高さ: 柱; ツリー、ピラミッドモデル。

作業中には、文献レビュー、実践作業、比較という方法が使用されました。

この研究の実際的な重要性は、幾何学の授業や日常生活で研究結果を使用できる可能性にあるため、この研究は本質的に実践指向です。

作業の結果、ポール、樹木、作者が作成した模型の高さの測定が行われました。

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コンテンツ：

導入

図形の類似性の概念。類似性の兆候。

4.1 影による高さの決定

4.2. ジュール・ベルヌ法を使用した身長の測定

4.3. 高度計を使って身長を測る

5. 結論

導入。

幾何学は古代に生まれました。住居や寺院を建て、装飾品で飾り、地面に印を付け、距離や面積を測定することで、人々は観察や実験から得た物体の形、大きさ、相対的な位置に関する知識を応用しました。私たちが今日住んでいる世界も幾何学で溢れています。私たちの周りのすべての物体は幾何学的な形をしています。これらは建物、道路、植物、家庭用品です。日常生活では、同じ形で大きさの異なる図形に遭遇することがよくあります。幾何学のこのような図形は相似と呼ばれます。私の研究は三角形の相似に特化しています。数学の授業でこのテーマを勉強しているときに、三角形の相似の概念と相似の記号が実際にどのように使用されるかに興味を持ったからです。私のトピックと関連性があるのは、道具を使わずに、柱、鐘楼、木の高さ、川、湖、渓谷の幅、島の長さ、池の深さなどを測定できるということです。

私の仕事の目標は

このテーマに関する文献を研究してください。

類似性の概念の歴史を研究する。

三角形の類似性がどこで使用されているかを見つけます。

さまざまな方法で三角形の相似性を利用して柱の高さを測定します。

2. ピラミッドの高さを測定したタレスの伝説。

ピラミッドにまつわる不思議な物語や伝説は数多くあります。ある暑い日、タレスはイシス神殿の祭司長とともにクフ王のピラミッドの前を通りました。

「見てください」とタレスは続けた。「この時点では、どんな物体を取ろうとも、それを垂直に置くと、その影は物体と全く同じ高さになります！」影を使用してピラミッドの高さの問題を解決するには、三角形のいくつかの幾何学的特性、つまり次の 2 つをすでに知っている必要がありました (最初の特性はタレス自身が発見しました)。

1. 二等辺三角形の底辺の角度が等しいこと、またその逆、つまり三角形の等しい角度の反対側にある辺が互いに等しいこと。 2. 任意の三角形の角度の合計が 2 つの直角に等しいこと。

この知識を備えたタレスだけが、自分の影が自分の身長と同じであるとき、太陽の光は直線の半分の角度で平地に当たり、したがってピラミッドの頂上はピラミッドの真ん中であると結論付ける権利を持っていました。底辺と影の端は二等辺三角形をマークする必要があります。この単純な方法は、晴れた日に、影が隣の木の影と融合しない孤独な木を測定するのに非常に便利であるように思われます。しかし、私たちの緯度では、これに最適な瞬間を待つのはエジプトほど簡単ではありません。私たちの太陽は地平線の上に低く、影は夏の午後の時間帯にのみ影を落とす物体の高さと同じになります。。したがって、示された形式のタレスの方法が常に適用できるわけではありません。

関係と比率の理論に基づいた図形の類似性の理論は、V ～ IV 世紀の古代ギリシャで創設されました。紀元前 e. これはユークリッド原論の第 6 巻 (紀元前 3 世紀) に記載されており、次の定義で始まります。「類似の直線図形とは、それぞれ等しい角度と比例した辺を持つ図形です。」

3. 相似図形の概念。

私たちは生活の中で、同じ形だけでなく、同じ形で大きさが異なる形にも遭遇します。幾何学ではこのような図形を相似と呼びます。相似三角形とは、それぞれの角度が等しく、一方の辺が他方の三角形の相似な辺に比例する三角形のことです。三角形の類似性フィーチャは、すべての要素を使用せずに 2 つの三角形が類似していることを確立できる幾何学的フィーチャです。

三角形の類似性の兆候。

4. 類似性を利用して作品を評価する。

4.1. 影で高さを決める。

影によって高さを知る実験をしてみることにしました。

このために私が必要としたのは、懐中電灯、ピラミッドの模型、そして置物です。実験用のミニチュアピラミッドを作るのは難しくありません。必要なものは次のとおりです。 1 枚の紙。鉛筆; ルーラー; はさみ。紙用の接着剤。一枚の紙にピラミッドの図を作成しました。その底辺は一辺が 7.6 cm の正方形で、タンクの面は一辺が 9.6 cm の等しい二等辺三角形になります。ピラミッドは 7.9 cm 図形の高さは 8.1 cm 図形の影も使って、このピラミッドの高さを測ってみましょう。晴れた日にピラミッドの影と図形を計測してみました。私はそれを理解しました：15 cm - 人物の影、13 cm - ピラミッドの影。

この問題の幾何学的モデルを構築しましょう。

, ∠ АСО= ∠ MLK は太陽光線の入射角であり、2 つの角度を意味します。

次に、結果を比較するために、別の方法でピラミッドの高さを求めてみましょう。側面の高さAB=を求めてみましょう。

これから、高さ AO = がわかります。

ほぼ同じ結果が得られました。この結果を受けて、外に出てポールの高さを測ることにしました。

くっきりとした影が落ちている柱を選んで計測してみました。それは21メートルでした。そして私はポールの隣に立って、アシスタントが私の影を測定したところ、それは4.5メートルでした。靴と帽子をかぶっていることを考慮すると、私の身長は1.6でした。

問題の幾何学モデルを作成して柱の高さを求めてみましょう。

KO - 私の影の長さ、BC - 柱の影の長さを考えてみましょう。 AB – 希望するもの。

∠АВС=∠МКО= は太陽光線の入射角です。

4.2. ジュール・ヴェルヌ法を使用してピラミッドの高さを測定します。

『神秘の島』では、高さを測る興味深い方法が次のように説明されています。長さ12フィートの真っ直ぐな棒を手に取り、技師はそれをできるだけ正確に測定し、よく知られている自分の身長と比較しました。ハーバートは技師から渡された鉛管を後ろに運んだ。それはロープの端に結び付けられた石だけだった。垂直にそびえ立つ花崗岩の壁から 500 フィートに達しないところで、技師は砂の中に約 2 フィートの棒を突き刺し、それをしっかりと強化した後、鉛直線の助けを借りて垂直に設置しました。それから彼は棒から離れて、砂の上に横たわり、一直線に横たわって竿の端と尾根の端の両方が見えるほどの距離だった。彼はこの点をペグで注意深く印を付けた。

幾何学の初歩についてはご存知ですか? - 彼は地面から立ち上がりながらハーバートに尋ねた。

相似な三角形の性質を覚えていますか?

それらの類似した側面は比例します。 - 右。そこで、2 つの同様の直角三角形を作成します。小さい方の脚には垂直のポールがあり、もう一方の脚にはペグからポールの根元までの距離があります。斜辺が私の視線です。別の三角形の脚は次のようになります。垂直の壁、決定したい高さ、およびペグからこの壁の底部までの距離。斜辺は、最初の三角形の斜辺の方向と一致する視線です。

「分かった！」と若い男は叫びました。「ポールの高さが壁の高さに比例するように、ペグからポールまでの距離は、ペグから壁の根元までの距離に関係します。」 - はい。したがって、最初の 2 つの距離を測定すると、ポールの高さがわかれば、比率の 4 番目の未知の項、つまり壁の高さを計算できます。したがって、この高さを直接測定することはありません。両方の水平距離が測定され、小さい方が 15 フィート、大きい方が 500 フィートでした。測定の最後に、エンジニアは次のようなエントリを作成しました。

4.3 高度計を使用した高度の測定

高さは特別な装置である高度計で測定できます。この装置を作るには、厚い白いボール紙、定規、ペン、鉛筆、はさみ、糸、重り、針が必要です。

7. その上で、側面から3x5 cmの2つの長方形を曲げ、直径の異なる2つの穴を開けます。1つは目の近くの小さな穴、もう1つは木の上部を指すように大きな穴です。そこで、この物体の高さを測る方法を実験して検証してみることにしました。測定対象としては、学校の近くに生えている木を選びました。

測定対象から 21 歩離れた場所、つまり EO = 6.3 m に移動してデバイスの測定値を測定したところ、0.7 を示しました。私の身長は 1.6 メートルです。木の高さを調べなければなりません。

これを行うために、この問題の幾何学的モデルを構築します。

結果の値に私の身長を追加して、LV=LO+OB=3.71 を取得しましょう。

1.6=5.31 – 木の高さ。

また、デバイスの使用時や製造時に間違いを犯した可能性もあります。

1.上の長方形をベースから曲げないと、高さを誤って決定します。

2.物体の高さを測定するときは、重量を特定のマーキング値に合わせる必要があります。

3.測定対象物との距離が正確である必要があります。

4. 1 cm のマーキングを正確に適用します。

実験により、高さ計を使用して物体の高さを測定する方法がより正確で便利であることがわかりました。

5. 結論。

文学

5. ペレルマン Ya. I. 面白い幾何学 – M.: 国立技術理論出版社、1950
木の高さを測る方法は3つあります。

1.ロシア語総合解説辞典[電子資料]。 – アクセスモード: http://tolkslovar.ru/p22702.html

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「フロントページ」

市立機関「I～IIIレベルの総合学校第11校、エナキエヴォ」

「私たちの周りの数学」

テーマに関するクリエイティブな作品

「現実における三角形の相似性」

完了

8年生

スシュコ・ダリア

スーパーバイザー

数学の先生

イカエワマリーナアレクサンドロヴナ

エナキエヴォ 2017

プレゼンテーションの内容を見る
「現実における三角形の相似性」

機関「І-ІІІレベルの総合学校No.11、エナキエヴォ」

学生の創造的なプロジェクトのコンテスト

「私たちの周りの数学」

テーマに関するクリエイティブな作品

「現実における三角形の相似性」

完了

8年生

スシュコ・ダリア

スーパーバイザー

数学の先生

イカエワマリーナアレクサンドロヴナ

エナキエヴォ 2017

私の研究の目標は、実生活における三角形の相似性の応用分野を見つけることでした。

私の仕事の目標は

このテーマに関する文献を研究してください。
類似性の概念の歴史を研究する。
三角形の類似性がどこで使用されているかを見つけます。
さまざまな方法で三角形の相似性を利用して柱の高さを測定します。

ピラミッドの高さを測ったタレスの伝説

ある暑い日、タレスはイシス神殿の祭司長とともにクフ王のピラミッドの前を通りました。

その高さがどれくらいか知っている人はいますか?と彼は尋ねました。

「いいえ、息子よ」と司祭は答えた、「古代のパピルスはこれを私たちのために保存していませんでした。」「しかし、あなたは今すぐにピラミッドの高さを正確に決定することができます！」とタレスは叫びました。

「見てください」とタレスは続けた。「この時点では、どんな物体を取ろうとも、それを垂直に置くと、その影は物体と全く同じ高さになります！」

コンセプト 類似点 数字

相似三角形とは、それぞれの角度が等しく、一方の辺が他方の三角形の相似な辺に比例する三角形のことです。

2 つの図形が相似変換によって相互に変換される場合、2 つの図形は類似していると呼ばれます。

三角形の類似性フィーチャは、すべての要素を使用せずに 2 つの三角形が類似していることを確立できる幾何学的フィーチャです。

ある三角形の 2 つの角度がそれぞれ別の三角形の 2 つの角度に等しい場合、その三角形は相似です。

ある三角形の 2 辺が別の三角形の 2 辺に比例し、これらの辺の間の角度が等しい場合、三角形は相似です。

ある三角形の 3 辺が別の三角形の 3 辺に比例する場合、それらの三角形は相似です。

影による高さ測定

問題の初期データ: ピラミッドの影の長さ BC = 11 cm、置物の影の長さ KL = 15 cm、置物の高さ KM = 8 cm、ピラミッドの底面は正方形一辺が 7.6 cm のピラミッド AO の高さが必要です。

直角三角形 AOS と MKL を考えてみましょう。

, ∠ АСО= ∠ МЛК は太陽光線の入射角で、これは 2 つの角度を意味します。

柱の影で柱の高さを測る

KOは私の影の長さ、BCは柱の影の長さであると考えてみましょう。 AB – 希望するもの。

∠ ABC = ∠ MKO = 太陽光線の入射角として。

これにより、柱の高さの概算値 7.46 m が得られました。

ジュール・ベルヌ法を使用した身長の測定

この方法では、ポールを地面に打ち込み、ポールの上端と測定対象の上部が見えるように地面に置きます。ポールから物体までの距離、ポールの高さ、人の頭のてっぺんからポールの根元までの距離を計測します。

ジュール・ヴェルヌの小説『神秘の島』では、両方の水平距離が測定され、小さい方が 15 フィート、大きい方が 500 フィートでした。測定の最後に、エンジニアは次のようなエントリを作成しました。

15: 500 = 10:x、500 X 10 = 5000、5000: 15 = 333.3。

高度計を使って身長を測る

1. 厚紙から15x15cmの正方形を描いて切り取ります。

2. 正方形を 5x15 cm、10x15 cm の 2 つの長方形に分割します。

3. 10x15 cm の長方形を 5 cm と 10 cm の 2 つの部分に分割します。

4. 長さ 10 cm の大きい部分には、センチメートル単位を適用し、小数点、つまり 0.1;0.2 などで表示します。

5.Eのところで針で穴を開け、重りで糸を引き、後ろで糸をとめます。

6. 見やすくするために、上の長方形を根元から折り曲げます。

7. その上で、側面から3x5 cmの2つの長方形を曲げ、直径の異なる2つの穴を開けます。1つは目の近くの小さな穴、もう1つは木の上部を指すように大きな穴です。

高度計を使って身長を測る

LV の高さを調べるには、LO に身長を加算する必要があります。

LV=LO+OV=3.71+1.6=5.31 – 木の高さ。

結論:

仕事を終えた後、物体の高さを決定するにはさまざまな方法があることを知りました。私は物体の影からその高さを知る実験を行いました。自宅ではピラミッドや置物などの模型を使ってテストを行ったほか、路上で柱の高さを測定する際にもテストを行いました。また、ジュール・ヴェルヌの身長の決定方法も調べました。私は高度計の概念を研究し、高度計装置を作成し、実際に選択した物体の高さを測定するために使用しました。私にとって身長を測る最も便利な方法は高度計を使うことでした。こうして、私の仕事の目標は達成されました。三角形の相似性は、実生活において地上での作業を測定するときに使用されていると言っても過言ではありません。

文学：

1. グレイザーG.I. 学校での数学の歴史。 – M.: 出版社「Prosveshcheniye」、1964 年。

2. ペレルマン Ya. I. 面白い幾何学 – M.: 国立技術理論出版社、1950 年。

3.J.バーン。不思議な島 - M: 児童文学出版社、1980 年。

4. 幾何学、7 ～ 9: 教科書。一般教育用機関 / L.S. アタナシアン、V.F. ブトゥーゾフ、S.B. カドムツェフら – 第 18 版 – M.: 教育、2010 年資料とインターネットリソースを使用しました。

5. Perelman Ya. I. Entertaining geometry. – M.: State Publishing House of Technical and Theoretical Literature、1950 木の高さは 3 つの方法で測定できます。

1.ロシア語総合解説辞典[電子資料]。 – アクセスモード: http://tolkslovar.ru/p22702.html

2. 図 2 [電子リソース]。 – アクセスモード: http://www.dopinfo.ru

ありがとう

セクション: 数学

クラス： 8

創造的な性質の教育活動を児童に紹介する機会は、好奇心、責任感、情報を扱う能力、グループで共同作業する能力などを育むように設計された数学的課題やプロジェクト手法によって提供されます。。

このプロジェクトは 8 年生が完了するように提案されています。このプロジェクトは「類似の図形」というテーマの枠組みの中で開発され、19時間の授業時間が割り当てられました。このテーマに関する教育プロジェクトは学生に大きな関心を持って受け止められ、学生が一方では新しい知識と行動方法を自主的に習得できる一方で、他方では以前に取得した知識や行動を適用できる条件を作り出すことが可能になります。実践中のスキル。この場合、主に個人の創造的な発達に重点が置かれます。

学生はグループに分かれて作業し、最終的なディスカッションでは各グループの結果が他のグループの所有物となります。

このプロジェクトは、8 年生によって授業時間外に準備されました。

このプロジェクトには情報と研究の部分が含まれています。

情報源の研究に基づいて、生徒たちは次のことを行います。

生活の中で三角形の類似性の兆候を使用する可能性を学びます。
そうした数値に関する知識を体系化します。
知識の視野を広げます。
幾何学の授業でこのトピックの意味を勉強してください。

学生の自主的な研究、および獲得した実践的な知識、スキル、能力は、この理論的資料を実際に適用する際の重要性を理解することを学生に教えます。

教訓的なタスクは、教材の習熟度を監視するのに役立ちます。

体系的なプレゼンテーション

導入。
教育プロジェクトの方法論的パスポート。
プロジェクトの実施段階
プロジェクトの実施。
結論。
教育プロジェクトの一環としての学生の作品。

1. はじめに

「プロジェクトとは、一連の特定のアクション、文書、さまざまな種類の理論上の成果物の作成です。これは常に創造的な活動です。このプロジェクトの方法は、生徒の認知的創造的スキルの開発に基づいています。自分の知識を独自に構築する能力、情報空間をナビゲートする能力、批判的思考の発達です。」（E.S.ポラット）。

この状況における教師は、教育プロセスに積極的に参加しているだけではありません。教えるだけでなく、子供がどのように学ぶかを理解し、感じています。

教師は生徒が情報源を見つけるのを手伝います。彼自身が情報源である。プロセス全体を調整します。子どもたちとの継続的なコミュニケーションを維持します。仕事の成果をさまざまな形で発表します。

教育プロジェクトを分析するとき、教師は子供たちの反応を頭の中で想像し、問題を検討するための提案の形式を検討し、プロジェクトの問題の解決策を見つけて、プロットの状況に突入します。

プロジェクトは、1 つまたは複数の学生グループの調整された共同作業の結果です。

2. プロジェクトパスポート

プロジェクト名 ：比類のない類似性

プロジェクトのトピック: 類似の数字。

プロジェクトの種類: 教育。

プロジェクトの類型: 実践指向、個人グループ。

主題分野: 数学。

仮説: 三角形の相似の兆候を知っている人は、それを人生に応用する必要があるでしょうか?

問題のある問題:

1. 三角形の相似性は測定にどこで使用できますか?

2. 特定の物体や現象を図示したり説明したりするためにモデルを作成するのはなぜですか?

3. なぜ小さなネガで大きな高品質の写真ができるのでしょうか?

4. 達成不可能と思われることを達成するにはどうすればよいですか?

5. 世界にはなぜ類似点が存在するのでしょうか?

7. 三角形の相似の兆候を研究することは人生において重要ですか?

プロジェクトの目標は、「類似図形」というトピックについての知識を深め、広げることです。

プロジェクトの方法論的な目的:

三角形の相似特性を研究します。
「類似性」というトピックの重要性を評価する
実際の問題を解決する際に理論的な内容を適用する能力を開発します。
獲得した理論的知識を実践で定着させる。
このトピックを生活の中で応用した例を探すことで、科学とテクノロジーへの関心を育みます。
数学的視野を広げ、問題を解決するための新しいアプローチを探求します。
研究スキルを身につける。

プロジェクト参加者：8年生。プロジェクトに費やした期間: 2014 年 2 月から 3 月まで。

材料、技術、教育および方法論的な機器：教育および教育に関する文献、追加の文献、インターネットにアクセスできるコンピュータ。

3. プロジェクトの実施段階

ステージ 1 – プロジェクトへの没入 (知識の更新、トピックの策定、グループの形成) (週)。

ステージ 2 – 活動の組織化 (情報収集、グループでのディスカッション) (週)。

ステージ 3 – 活動の実施（調査、結論（月）、結論（月））

ステージ 4 – プロジェクト成果物のプレゼンテーション (2 週間)。

4. プロジェクトの実施

ステージ 1: プロジェクトに没頭する (準備段階)

研究テーマを選択した後、学生はグループに分かれ、タスクを定義し、活動を計画しました。

5人からなる5つのプロジェクトグループが結成されました。

将来のプロジェクトのために次のトピックが選択されました。

1. 類似の歴史から。

2. GIA 問題の類似性 (実際の数学)。

私たちの生活における類似点:

3. オブジェクトの高さを決定します。

4. 性質の類似性。

5. 三角形の類似性はさまざまな職業の人々に役立ちますか?

教師の役割は動機に基づいて指導することです。

ステージ 2: 検索と調査:

学生は追加の文献を研究し、そのテーマに関する情報を収集し、各グループでの責任を分散しました（選択した個々の研究テーマに応じて）。研究に必要な機器を作り、研究を実施し、研究の視覚的なプレゼンテーションを準備しました。

教師の役割は、生徒を観察し、相談することです。

ステージ 3: 結果と結論:

生徒たちは見つけた情報を分析し、結論を導き出しました。結果をまとめ、プロジェクトを擁護するための資料を作成し、プレゼンテーションを作成しました。

ステージ 4: プロジェクトのプレゼンテーションと弁論:

カンファレンス中、学生はプロジェクト活動の結果をマルチメディアプレゼンテーションの形式で公に発表します。

教師の役割は協力することです。

5. 一般的な結論。結論

この教育プロジェクトの実施により、学生は数学の追加情報源だけでなく、コンピュータを使用して作業するスキルを開発し、インターネット上で作業するスキルや学生のコミュニケーション能力を開発することができました。

このプロジェクトに参加することで、私たちはさまざまな分野での数学の応用についての知識を深め、このテーマに関する知識を定着させることができました。プロジェクトの実施中に得られる知識は特定の目的のために抽出されたものであり、学生の興味の対象であることに注意してください。これにより、深い吸収が促進されます。

一般的に、このプロジェクトの取り組みは成功し、8年生のほぼ全員が参加しました。誰もがこの問題について精神的な活動に参加し、自主的な作業を通じて新しい知識を獲得しました。グループの各メンバーは自分たちのプロジェクトを擁護してスピーチしました。最終段階では実践的な仕事のやり方が試され、プレゼンテーション形式で自己分析が行われました。

学生のプロジェクト活動は真の学習に貢献します。なぜなら... 彼女：

個人指向。
完成するにつれて仕事への関心と関与が高まるのが特徴です。
あらゆる段階で教育目標を実現できます。
自分自身の経験や特定のケースの実装から学ぶことができます。
自分の努力の成果を見た生徒に満足感をもたらします。

プロジェクトへの参加によってもたらされるこうした貴重な瞬間は、学童の知的および創造的能力を開発する実践において、より広く活用されなければなりません。したがって、教育活動における教育プロジェクトの方法の使用は、人間の知性と情報が社会の発展の決定要因となる21世紀の人格、新しい時代の人格を形成する必要性によって決定されます。

プロジェクト名

プロジェクトの簡単な概要

このプロジェクトは設計テクノロジーを使用して準備されました。「三角形の相似の兆候」というテーマに関する 8 年生の幾何学プログラムの一部として実施されました。このプロジェクトには情報と研究の部分が含まれています。情報の分析作業は、そのような数値に関する知識を体系化します。学生の自主的な研究、および獲得した実践的な知識、スキル、能力は、この理論的資料を実際に適用する際の重要性を理解することを学生に教えます。教訓的なタスクは、教材の習熟度を監視するのに役立ちます。

ガイドとなる質問

根本的な疑問は、「自然は類似性の言語を話すのか?」ということです。

「私たちの周りに類似の例を見つけることはできますか?」、「家の高さはどうやって測定できますか?」、「なぜそのような三角形が必要ですか?」

プロジェクト計画

1.ブレインストーミング（学生の研究課題の形成）

2. 研究を実施し、仮説を立て、問題を解決する方法を議論するためのグループを形成します。

3.プロジェクトのクリエイティブ名を選択します。

4. グループ内の学生による理論的および実践的な作業の計画について話し合います。

5. 考えられる情報源について生徒と話し合います。

6.グループの自主的な活動。

7. 学生は進捗報告に関するプレゼンテーションとレポートを準備します。

8. 研究成果の発表。

XXV記念都市教育研究大会
生徒たちの作品

クングール市教育局

学生学会

セクション

ジオメトリ

クストヴァ・エカテリーナ MAOU中等教育学校第13

8「a」グレード

監督者:

グラドキフ・タチアナ・グリゴリエヴナ

魔王中等教育学校第13

数学の先生

最高のカテゴリー

クングール、2017

はじめに………………………………………………………………………………3

第1章比類のない類似性

1.1. 類似の歴史から………………………………………………………….5

1.2. 類似性の概念………………………………………………………………..6

1.3.類似性を利用した物体の測定方法

1.3.1. 物体の高さを測る最初の方法………………………….8

1.3.2. 物体の高さを測定する 2 番目の方法………………………….9

1.3.3. 物体の高さを測定する 3 番目の方法…………………………..11

2.1. 物体の高さの測定…………………………………………………………..12

2.1.1. 影の長さに沿って……………………………………..…………………………12

2.1. 2. ポールの使用………………………………………………………………13

2.1.3. 鏡の使い方………………………………………………………………13

2.1.4. 軍曹がしたこと……………………………………………………………………14

2.1.5. 木から離れる……………………………………………….16

2.2. 池の掃除。 ……………………………………………………………………………………17

2.2.1. 水域の浄化方法………………………………………………..17

2.2.2. 池の幅を測る…………………………………………………………18

結論…………………………………………………………………………………………………………22

参考文献……………………………………………………………………23



美しさのようなもの

時々私たちは気づかないことがある

私たちは「神のように」と言います。

理想を暗示します。



導入

私たちが住む世界は、家や街路、山や野原、自然や人間の創造物などの幾何学模様で満たされています。幾何学は古代に生まれました。住居や寺院を建て、装飾品で飾り、地面に印を付け、距離や面積を測定することで、人々は観察や実験から得た物体の形、大きさ、相対的な位置に関する知識を応用しました。古代と中世の偉大な科学者のほとんどは、優れた幾何学者でした。古代の学校のモットーは、「幾何学を知らない者は入学しない！」でした。

今日、幾何学的な知識は建設、建築、芸術だけでなく、多くの産業でも広く使用され続けています。幾何学の授業で「三角形の相似性」というテーマを勉強しましたが、このテーマが実際にどのように応用できるかという疑問に興味がありました。

L. キャロルの作品「不思議の国のアリス」を思い出してください。主人公に起こった変化は、時には数フィートに成長することもあれば、数インチに縮小することもありましたが、常に自分自身のままでした。幾何学の観点からはどのような変換について話しているのでしょうか? もちろん、類似性の変換について。

仕事の目的:

人間の生活における三角形の類似性の応用分野を見つける。

タスク:

1. このトピックに関する科学文献を調べます。

2. 測定作業の例を使用して、三角形の相似の使用法を示します。

仮説。 三角形の類似度を使用して、実際のオブジェクトを測定できます。

研究方法: 検索、分析、数学的モデリング。

第1章比類のない類似性

1.1.類似の歴史から

図形の類似性は、関係と比例の原則に基づいています。比率と割合の概念は古代に生まれました。これは、古代エジプトの寺院、メネスの墓の詳細、ギザの有名なピラミッド (紀元前 3 千年紀)、バビロニアのジッグラト (階段状のカルトの塔)、ペルシャの宮殿、その他の古代遺跡によって証明されています。建築上の特徴、利便性、美観、技術、建物や構造物の建設における効率性などの多くの状況により、セグメント、面積、その他の数量の比率と比例性の概念が出現し、発展しました。「モスクワ」パピルスでは、直角三角形に関する問題の 1 つで、大きい方の足と小さい方の足の比を考えるときに、「比」の概念に特別な記号が使用されています。ユークリッドの原論では、関係性の教義が 2 回述べられています。第 VII 巻には算術理論が含まれています。これは、対応する量と整数にのみ適用されます。この理論は、分数を扱う実践に基づいて作成されました。 Euclid は、整数の性質を調べるためにこれを使用します。第 V 巻では、エウドクソスによって開発された関係と比率の一般理論が説明されています。これは、原始書第 6 巻に記載されている図形の類似性に関する教義の基礎となっており、「類似した直線図形とは、それぞれ等しい角度と比例した辺をもつ図形です。」という定義があります。

同じ形だがサイズが異なる人物が、バビロニアとエジプトの記念碑で見つかります。ファラオラムセス 2 世の父の現存する埋葬室には、正方形のネットワークで覆われた壁があり、その助けを借りて、小さなサイズの拡大図が壁に転写されています。

いくつかの平行な直線が交差する直線上に形成されるセグメントの比例関係は、バビロニアの科学者には知られていました。この発見はミレトスのタレスによるものだと考える人もいますが。古代ギリシャの賢者タレスは紀元前 6 世紀にエジプトのピラミッドの高さを決定しました。彼は彼女の影を利用した。ピラミッドのふもとに集まった司祭とファラオは、影から巨大な建造物の高さを推測した北の新参者を見て困惑した表情を浮かべた。伝説によれば、タレスは自分の影の長さが自分の身長と同じになる日と時間を選んだという。この時点で、ピラミッドの高さは、ピラミッドが落とす影の長さと同じでなければなりません。

楔形文字板は今日まで残っており、直角三角形の脚の 1 つに平行線を引いて比例セグメントを構築する方法について説明しています。

1.2.類似性の概念。

私たちは生活の中で、同じ形だけでなく、同じ形で大きさが異なる形にも遭遇します。幾何学ではこのような図形を相似と呼びます。

類似した図形はすべて同じ形状ですが、サイズが異なります。

意味： 2 つの三角形は、それらの角度がそれぞれ等しく、一方の三角形の辺が他方の三角形の類似する辺に比例する場合、相似であると呼ばれます。

三角形ABCが三角形Aに似ている場合 1B1C1 、角度 A、B、C はそれぞれ角度 A に等しい 1、B1、C1 ,
。数値 k は、相似な三角形の相似な辺の比率に等しく、相似係数と呼ばれます。

注 1: 等しい三角形は 1 倍相似です。

注 2: 相似な三角形を指定する場合は、それらの角度がペアごとに等しくなるように頂点を順序付ける必要があります。

注 3: 相似三角形の定義にリストされている要件は重複しています。

相似な三角形の性質

相似な三角形の対応する線形要素の比率は、それらの相似性の係数に等しくなります。このような相似三角形の要素には、長さの単位で測定される要素が含まれます。これらは、たとえば、三角形の辺、周囲、中央値です。角度や面積はそのような要素には適用されません。

相似な三角形の面積の比率は、相似係数の 2 乗に等しくなります。

三角形の類似性の兆候 .

ある三角形の 2 つの角度がそれぞれ別の三角形の 2 つの角度に等しい場合、その三角形は相似です。

ある三角形の 2 辺が別の三角形の 2 辺に比例し、これらの辺の間の角度が等しい場合、三角形は相似です。

ある三角形の 3 辺が別の三角形の 3 辺に比例する場合、それらの三角形は相似です。

1.3.類似特徴量を利用した物体の計測方法

1.3.1. 最初の方法 物体の高さを測る

晴れた日には、木の影などの物体の高さを測定することは難しくありません。既知の長さの物体 (棒など) を取り出し、それを表面に対して垂直に置くだけで済みます。するとオブジェクトから影が落ちます。棒の高さ、棒からの影の長さ、高さを測定している物体からの影の長さがわかれば、物体の高さを決定できます。これを行うには、2 つの三角形の相似性を考慮するのは面倒です。覚えておいてください。太陽光線は互いに平行に当たります。

たとえ話

「疲れた見知らぬ人がグレート・ハピの国にやって来ました。彼がファラオの壮大な宮殿に近づいたとき、すでに太陽は沈んでいました。彼は使用人たちに何かを言いました。すぐにドアが開かれ、彼は披露宴会場に案内されました。そしてここで彼は埃っぽい旅用マントを着て立っており、彼の前には金色の玉座にファラオが座っています。近くには自然の偉大な秘密の守護者である傲慢な司祭たちが立っています。

にそれからあなた？ – 大祭司は尋ねました。

私の名前はタレスです。私はミレトス出身です。

司祭は傲慢にもこう続けた。

ピラミッドに登らずに高さを測ることができると豪語したのはあなたですか？ – 司祭たちは笑いながら身をかがめました。「百キュビト以内の間違いであれば、それでいいでしょう」と司祭は嘲笑的に続けた。

ピラミッドの高さを測っても、誤差は 0.5 キュビト以内です。明日やります。

司祭たちの顔は暗くなった。何という厚かましいことでしょう！この見知らぬ人は、偉大なエジプトの祭司である彼らが理解できないことを自分には理解できると主張しています。

「分かった」ファラオは言いました。 – 宮殿の近くにピラミッドがあり、その高さはわかっています。明日、あなたのアートをチェックします。」

翌日、タレスは長い棒を見つけて、ピラミッドから少し離れた地面に突き刺しました。私はある瞬間を待ちました。彼はいくつかの測定を行い、ピラミッドの高さを決定する方法を説明し、その高さに名前を付けました。タレスは何と言ったでしょうか？

タレスの言葉 : 棒の影が棒自体と同じ長さになったとき、ピラミッドの底辺の中心から頂点までの影の長さはピラミッド自体と同じ長さになります。

1.3.2.2番目の方法 物体の高さを測るジュール・ヴェルヌの小説「神秘の島」で実質的に描写されました。この方法は、太陽がなく、物体の影が見えない場合に使用できます。測定するには、身長と同じ長さのポールを用意する必要があります。このポールは、横になったときにポールの先端と物体の上部が一直線に見えるような距離に物体から設置する必要があります。次に、頭から物体の底面まで引いた線の長さを知ることで、物体の高さを知ることができます。

小説からの抜粋。

「今日はファーロックの敷地の高さを測定する必要があります」と技術者は言いました。

これにはツールが必要ですか? – ハーバートに尋ねた。

いいえ、その必要はありません。私たちは少し異なる方法で行動し、同様に単純で正確な方法に目を向けます。若い男は、おそらくもっと学ぼうとして、花崗岩の壁から海岸の端まで降りてきた技師を追った。

長さ12フィートの真っ直ぐな棒を手に取り、技師はそれをできるだけ正確に測定し、よく知られている自分の身長と比較しました。ハーバートは技師から渡された鉛管を後ろに運んだ。それはロープの端に結び付けられた石だけだった。垂直にそびえ立つ花崗岩の壁から 500 フィートに達しないところで、技術者は砂の中に約 2 フィートの棒を突き刺し、しっかりと強化してから鉛直線の助けを借りて垂直に設置しました。それから彼は、砂の上に横たわりながら、ポールの端と尾根の端の両方が直線で見えるほどの距離までポールから離れました。彼はこの点をペグで注意深くマークしました。両方の距離が測定されました。ペグから棒までの距離は 15 フィート、棒から岩までは 500 フィートでした。

「幾何学の初歩についてはご存知ですか? ――彼は地面から立ち上がりながらハーバートに尋ねた。 相似な三角形の性質を覚えていますか?

-はい。

-彼らの似た側面は比例しています。

-右。そこで、2 つの同様の直角三角形を作成します。小さい方の片側には垂直のポールがあり、もう一方の側にはペグからポールの根元までの距離があります。斜辺が私の視線です。別の三角形の脚は次のようになります。垂直の壁、決定したい高さ、およびペグからこの壁の底部までの距離。斜辺は私の視線であり、最初の三角形の斜辺の方向と一致します。 ...ペグからポールの根元までの距離とペグから壁の根元までの距離の 2 つの距離を測定すると、ポールの高さがわかれば、4 番目の未知の項を計算できます。比率、つまり壁の高さ。両方の水平距離が測定され、短い方は 15 フィート、長い方は 500 フィートでした。測定の最後に、エンジニアは次のようなエントリを作成しました。

15:500 = 10:x; 500 x 10 = 5000; 5000: 15 = 333.3。

これは、花崗岩の壁の高さが 333 フィートであったことを意味します。

1.3.3.3番目の方法

鏡を使って物体の高さを測定します。

鏡は水平に置かれ、そこから観察者が鏡の中に木のてっぺんを見る位置まで戻されます。点 D で鏡から反射された光線 FD が人間の目に入る。測定対象の物体 (たとえば、木) は、その物体から鏡までの距離が鏡からあなたまでの距離よりも長いほど、あなたよりも何倍も高くなります。入射角は反射角に等しいことに注意してください (反射の法則)。

 AB D 似ている  EFD (2つの角で) :

 バージニア州 D =  FRB =90°;

あ D B =  EDF 、なぜなら入射角は反射角に等しい。

相似な三角形では、相似な辺は比例します。

第 2 章三角形の相似性を実際に使用する

2. 1. 物体の高さを測定する

測定対象として樹木を考えてみましょう。

2.1.1. 影の長さによる

この方法は、修正されたタレス方法に基づいており、任意の長さの影を使用できます。木の高さを測るには、木から少し離れた地面に棒を刺す必要があります。

AB– 木の高さ

紀元前– 木の影の長さ

あ 1 B 1 – ポールの高さ

B 1 C 1 – 極の影の長さ

B = < B 1 木とポールが地面に対して垂直に立っているからです。

< あ = < あ 1 なぜなら、地球に降り注ぐ太陽の光線は平行であると考えることができます。なぜなら、それらの間の角度は非常に小さく、ほとんど知覚できないからです =>

三角形ABCは三角形Aに似ています 1 B 1 C 1 。

必要な測定を行った後、木の高さがわかります。

AB= 太陽。

A1B1B1C1

AB = あ 1 で 1 ∙ 日曜日。

B1C1

2.1.2 ポールの使用

人の身長と同じくらいの棒が地面に垂直に刺さります。ポールの設置場所は、地面に横たわっている人がポールの頂点と一直線に木の頂上を見ることができるように選択する必要があります。

アデなぜなら< B = < D(それぞれ)、< あ– 一般 =>

広告 = ED ,ED=AD・BC .

AB紀元前AB

について

あ

あ 1

C 1

影で高さを決める。

あ 1 B 1 =1.6メートル

あ 1 と 1 =2.8m

AC=17m

2.1.3. 鏡を使う。

木から少し離れた平らな地面に鏡が置かれ、観察者が立っていると木のてっぺんが見える地点まで鏡から戻ります。

AB – 木の高さ

AC – 木から鏡までの距離

CD– 人から鏡までの距離

ED- 人間の身長。

三角形ABCは三角形に似ています12月なぜなら

< あ = < D（垂直）

< BC = < ECD(光の反射の法則によれば、入射角は反射角と等しいため)。

A.C. = AB ,

直流ED

AB =AC・ED。

について
鏡を使って物体の高さを測定します。

AB=1.5 メートル

DE=12.5 メートル

西暦= 2.7 メートル

2.1.4. 軍曹は何をしましたか？

身長を測定するために今説明した方法の中には、地面に横たわる必要があるため不便なものもあります。もちろん、この不都合を回避することもできます。

これはかつて大祖国戦争の前線の一つであった様子です。イワニュク中尉の部隊は山の川に橋を建設するよう命じられた。ナチスは対岸に定住した。橋の建設現場を偵察するために、中尉は上級軍曹が率いる偵察グループを割り当てた。近くの森林地帯で、構造物に使用できる最も典型的な木の直径と高さを測定しました。

木の高さは、図のように棒を使って測定します。

この方法は以下の通りである。

自分の身長よりも高いポールを用意し、測定する木から少し離れた地面に垂直に差し込みます。ポールから後退して続行しますDDあの場所へあ、そこから木の頂上を見ると、それと同じ線上に一番上の点が見えます。bポール次に、頭の位置を変えずに、水平直線aCの方向を見て、視線がポールと胴体に接する点cとCに注目します。アシスタントにこれらの場所をメモしてもらい、観察は終了です。

< C = < c木と柱が直角なので

< B = < b人が木とポールを見る角度は同じであるため => 三角形ABC三角形に似たABC

=> 紀元前 = aC 、BC = BC ∙aC .

紀元前交流交流

距離紀元前, aCAC は直接測定するのが簡単です。結果の値 BC に距離を加算する必要があります。CD（これも直接測定されます）目的の木の高さを見つけます。

2.1.5 . 木には近づかないでください。

何らかの理由で、測定中の木の根元に近づくのが不便な場合があります。この場合、高さを測ることは可能でしょうか？

十分に可能です。この目的のために、簡単に自分で作ることができる独創的な装置が発明されました。 2つのストリップ広告そして d直角に固定されているので、腹筋等しい紀元前、A BD半分だった広告。それがデバイス全体です。身長を測るには、バーの反対側で手で持ちます。CD垂直方向（鉛直線、つまり重り付きのコード）があり、2 か所で連続します。最初はデバイスが端を上にして置かれる点 A、次にさらに離れた点 A` で、デバイスは端を上にして保持されますd。点 A は、a から端 c を見ると、木の頂上と同じ直線上に見えるように選択されます。終点

そして A` は次のように見つかります。その点で a` から見るとd`、V と一致しているのを見てください。

三角形BCは三角形に相似ですBCAなぜなら

< C = < b（垂直）

< B = < c(観察者は同じ角度を見ます)

三角形BCa`は三角形に似ていますb` d` ある` なぜなら

< C = < b` (垂直)

< B = < d` (観察者はある角度を見つめます)

必要な部分 BC は距離 AA` に等しいため、測定全体は 2 つの点 A および A` を見つけることにあります。三角形より、aC = BC という事実から等価性が得られます。ABC二等辺三角形（構造上）。したがって三角形はABC二等辺。ああC = 2 紀元前相似な三角形の関係から導き出されます。手段、ある` C – aC = 紀元前.

について
直角二等辺三角形を使用して高さを決定します。

CD = AB + BD

AB = 8.9メートル

BD =1.2m

と D =8.9+1.2≒10m

2.2. 池の掃除。

キーロバ村には非常に汚染された池があります。私たちはそれを掃除する方法を調べることにしました。

2.2.1.水域の浄化方法。

貯水池の洗浄は、機械化、油圧機械化、爆発的および手動の方法で行われます。すべての方法の中で最も一般的なのは機械的な方法です。この方法には、浚渫船による洗浄が含まれます。

浚渫船 NSS – 400/20 – GR生産性 (土壌再生): シフトあたり 800 m/立方体。寸法：長さ10m、幅2.7m、高さ3.0m。重量：17トン。スラリーパイプライン: 100 m (浮遊50 m、陸上50 mを含む)。浚渫船にはブームが装備されています。ブームの長さ - 10 m、油圧洗浄機能付き (圧力 40 m で 1 時間あたり 60 m3/m3 の水を供給、ポンプ出力 7 kW)。エンジン: D-260-4。 01 (210 l/s、燃料消費量 - 14 l/h、回転速度 - 1800 rpm)。ポンプ：GRAU 400/20。ポンプの技術的特性：土壌出力1時間あたり10〜30％、水柱圧力-20m、最大出力-75kW、回転速度-950rpm。この改造型の浚渫船は、深さ 1 ～ 9.5 m の貯水池から土壌を持ち上げ、スラリーパイプラインを通して最大 200 m まで押し込みます。パイプ径：160mm。エネルギー供給: 自律的。ウインチを使用した移動 - それぞれ 1.5 kW のモーター 4 個.

私たちの特別なケースでは、浚渫船のブームの長さ (10 m) に興味があります。

2.2.2.池の幅を測定する。

このような三角形の特性を使用して、さまざまなフィールド測定を実行できます。アクセスできない点までの距離を決定するという 1 つのタスクを見てみましょう。例として、三角形の相似特徴を使用して池の幅を測定してみます。

そこで、いくつかの機器と計算の助けを借りて、作業に取り掛かります。より正確な結果を得るために、池の 2 か所で測定しました。

私たちが立っている海岸の点 A からその点までの距離を見つける必要があるとします。B川の対岸に位置します。これを行うために、「私たちの」海岸の点 C を選択し、同時に結果として得られるセグメント AC を測定します。次に、アストロラーベを使用して、角度 A と角度 C を測定します。紙の上に三角形を作成します。 A1B1C1 、三角形の類似性の 1 つの基準が (2 つの角度で) 観察されるようにします。コーナー A1 は角度 A に等しく、角度C 1 角度に等しいC。側面の測定 A1B1 そして A1C1 三角形 A1B1C1 .三角形以来ABCそして A1B1C1 似ているなら、AB/ A1B1 = A.C./ A1C1 、どこに行きますかAB = A.C.* A1B1 / A1C1 この式により、既知の距離に基づいて次のことが可能になります。A.C., A1C1 そして A1B1 距離を見つけるAB.