ロバチェフスキー幾何学の基本概念。いくつか。平行線はどのジオメトリで交差しますか？ロバチェフスキー線が交差する

ロバチェフスキー飛行機

ロバチェフスキー幾何学 (双曲幾何学）は非ユークリッド幾何学の1つであり、ロバチェフスキーの平行線公準に置き換えられた平行線公準を除いて、通常のユークリッド幾何学と同じ基本的な前提に基づく幾何学理論です。

ユークリッド平行線公準は次のように述べています。

特定の直線上にない点を通過すると、1つの平面内で特定の直線上にあり、それと交差しない直線は1つだけです。

ロバチェフスキーの幾何学では、代わりに次の公理が受け入れられます。

指定された直線上にない点を通る、同じ平面内の指定された直線と一致し、それと交差しない少なくとも2本の直線があります。

ロバチェフスキーの幾何学は、数学と物理学の両方で幅広い用途があります。その歴史的意義は、ロバチェフスキーがそれを構築することによって、一般的な幾何学と数学の発展の新時代をマークしたユークリッドとは異なる幾何学の可能性を示したという事実にあります。

歴史

5番目の仮定を証明する試み

ロバチェフスキーの幾何学の出発点は、ユークリッドのV公準、つまり平行線公準と同等の公理でした。彼はユークリッド原論の仮説のリストに含まれていました）。その定式化の相対的な複雑さと直感的でないことは、その二次的な性質の感覚を引き起こし、ユークリッドの残りの仮定からそれを推論する試みを引き起こしました。

証明しようとしている人々の中には、次の科学者がいました。

古代ギリシャの数学者プトレマイオス（II世紀）、プロクロス（V世紀）（2つの平行なものの間の距離が有限であるという仮定に基づく）、
イラク出身のイブン・アル・ハイサム（後期-初期世紀）（直線に垂直な移動の終わりが直線を表すという仮定に基づく）、
イランの数学者OmarKhayyam（後半-12世紀初頭）とNasir ad-Din at-Tusi（13世紀）（2つの収束線が交差しないと発散しないという仮定に基づく）、
ドイツの数学者クラビウス（）、
イタリアの数学者
- カタルディ（1603年に初めて彼は完全に平行の問題に専念した作品を出版した）、
英語の数学者ウォリス（、で公開）（すべての図に類似しているが等しくない図があるという仮定に基づく）、
フランスの数学者Legendre（）（鋭角の内側の各点を通して、角度の両側と交差する直線を描くことができるという仮定に基づいています。彼はそれを証明する他の試みもしました）。

5番目の仮定を証明するこれらの試みにおいて、数学者は彼らにとってより明白であるように思われる新しい声明を導入しました。

矛盾による証明を使用する試みがなされてきました：

イタリアの数学者Saccheri（）（仮説と矛盾する声明を作成し、彼は多くの結果を導き出し、それらのいくつかを矛盾していると誤って認識し、仮説が証明されたと考えた）、
ドイツの数学者ランバート（約、に掲載）（研究を行った後、彼は自分が構築したシステムに矛盾を見つけることができなかったことを認めました）。

最後に、反対の仮説に基づいて理論を構築することが可能であるという理解が明らかになり始めました。

ドイツの数学者F.シュウェイカート（）とタウリナス（）（しかし、彼らはそのような理論が論理的に等しく首尾一貫していることに気づいていませんでした）。

非ユークリッド幾何学の作成

Lobachevskyは、彼の作品「幾何学の原理について」（）で、非ユークリッド幾何学に関する彼の最初の出版された作品で、V仮説はユークリッド幾何学の他の前提に基づいて証明することはできず、仮説の仮定は明確に述べています。ユークリッド幾何学のそれとは反対に、ユークリッド幾何学のように意味のある同じ方法で、矛盾のない幾何学を構築することができます。

同時に、独立して、ヤノス・ボリヤイは同様の結論に達し、カール・フリードリヒ・ガウスはさらに早くそのような結論に達しました。しかし、ボヤイの著作は注目を集めず、彼はすぐにそのトピックを放棄し、ガウスは一般的に出版を控え、彼の見解は数文字と日記のエントリでしか判断できません。たとえば、1846年から天文学者G. H.シューマッハへの手紙の中で、ガウスはロバチェフスキーの作品について次のように語っています。

この作品には、行われるべき幾何学の基礎が含まれており、さらに、ユークリッド幾何学が真実でなければ、厳密に一貫した全体を構成していたでしょう...ロバチェフスキーはそれを「虚数幾何学」と呼んでいます。 54年間（1792年以降）、私はそれらの特定の開発と同じ見解を共有してきましたが、ここでは言及したくありません。したがって、私はロバチェフスキーの仕事に実質的に新しいものを自分自身で見つけませんでした。しかし、主題の開発において、著者は私自身がたどった道をたどりませんでした。それはロバチェフスキーによって真に幾何学的な精神で見事に実行されます。私はこの構図にあなたの注意を引く義務があると思います。それはおそらくあなたに絶対に並外れた喜びを与えるでしょう。

その結果、ロバチェフスキーはこの理論の最初の最も明るく、最も一貫した宣伝者として行動しました。

ロバチェフスキーの幾何学は投機的理論として発展し、ロバチェフスキー自身はそれを「想像上の幾何学」と呼んだが、それにもかかわらず、それを心のゲームとしてではなく、空間関係の可能な理論として考えたのはロバチェフスキーだった。しかし、その一貫性の証明は、その解釈が示され、したがってその真の意味の問題が示されたときに、論理的一貫性が完全に解決されたときに与えられました。

ロバチェフスキーの幾何学の主張

角度はさらに難しいです。

ポアンカレモデル

ロバチェフスキー幾何学の内容

ロバチェフスキーの幾何学における平行線の束

ロバチェフスキーは、基本的な幾何学の概念と公理から始めて幾何学を構築し、ユークリッドの幾何学で行われるのと同様の幾何学的方法で定理を証明しました。ロバチェフスキーの幾何学とユークリッドの幾何学の違いがここから始まるので、平行線の理論が基礎として役立ちました。平行線公準に依存しないすべての定理は、両方の幾何学に共通であり、いわゆる絶対幾何学を形成します。これには、たとえば、三角形の等式に関する定理が含まれます。平行理論に従って、三角法や解析幾何学と微分幾何学の始まりなど、他のセクションが構築されました。

ユークリッド幾何学と区別し、ロバチェフスキー自身によって確立されたロバチェフスキーの幾何学のいくつかの事実を（現代の記譜法で）引用しましょう。

ポイントを介して NS与えられた線に横たわっていない NS（図を参照）、交差しない直線は無限にあります NSそしてそれと同じ平面にあります。それらの中に2つの極端があります NS, y、平行線と呼ばれます NSロバチェフスキーの意味で。クライン（ポアンカレ）モデルでは、弦（円弧）を持つ弦（円弧）で表されます。 NS共通の端（モデルの定義により、これらの線に共通の点がないように除外されます）。

垂線間の角度 PBから NSオン NSと並列のそれぞれ（と呼ばれる 平行角）ポイントが削除されると NS直線から90°から0°に減少します（ポアンカレモデルでは、通常の意味での角度はロバチェフスキーの意味での角度と一致するため、この事実は直接見ることができます）。平行 NS一方では（ y反対に）漸近的にアプローチします NS、そしてその一方で、それは無限にそれから遠ざかります（モデルでは、距離を決定するのは難しいので、この事実は直接目に見えません）。

与えられた直線から離れた場所にある点の場合 PB = a（図を参照）、ロバチェフスキーは平行角の公式を与えました P（a） :

ここ NS-ロバチェフスキー空間の曲率に関連する定数。球面幾何学の場合と同じように、長さの絶対単位として機能し、特別な位置が球の半径によって占められます。

線に共通の垂線がある場合、それらはそれから両方向に無限に発散します。それらのいずれに対しても、別の直線に到達しない垂線を復元できます。

ロバチェフスキーの幾何学には、似ているが等しくない三角形はありません。三角形の角度が等しい場合、三角形は等しくなります。

任意の三角形の角度の合計はπ未満であり、任意にゼロに近づけることができます。これは、ポアンカレモデルで直接見ることができます。差δ=π-（α+β+γ）、ここでα、β、γは三角形の角度であり、その面積に比例します。

式は、三角形の最大面積があり、これは有限数であることを示しています：π NS 2 .

直線から等距離の線は直線ではなく、等距離線と呼ばれる特別な曲線、または ハイパーサイクル.

半径が無限に大きくなる円の限界は直線ではなく、と呼ばれる特別な曲線です。 円周を制限する、またはホロサイクル。

半径が無限に増加する球の限界は平面ではなく、特別な表面、つまり限界球またはホロ球です。ユークリッド幾何学がその上で行われることは注目に値します。これは、ロバチェフスキーによる三角法の公式の導出の基礎として役立ちました。

円周は半径に比例しませんが、より速く成長します。特に、ロバチェフスキーの幾何学では、数πは円の円周とその直径の比率として定義することはできません。

空間内またはロバチェフスキー平面上の領域が小さいほど、この領域の幾何学的関係はユークリッド幾何学の関係との違いが少なくなります。ユークリッド幾何学は無限に小さな領域で起こっていると言えます。たとえば、三角形が小さいほど、その角度の合計がπと異なることは少なくなります。円が小さいほど、半径に対する長さの比率は2πなどと異なります。面積の減少は、形式的には長さの単位の増加に相当します。したがって、長さの単位は無制限に増加します。 Lobachevsky幾何学の公式は、ユークリッド幾何学の公式に変わります。ユークリッド幾何学は、この意味でロバチェフスキー幾何学の「限定的な」場合です。

アプリケーション

ロバチェフスキー自身が彼の幾何学を定積分の計算に適用しました。
複素変数の関数の理論では、ロバチェフスキーの幾何学は保型関数の理論を構築するのに役立ちました。ロバチェフスキーの幾何学との関係は、「非ユークリッド幾何学が問題全体を解決するための鍵である」と書いたポアンカレの研究の出発点でした。
ロバチェフスキーの幾何学は、数論でも、その幾何学的方法で、「数の幾何学」という名前で統一されて使用されています。
ロバチェフスキーの幾何学と一般相対性理論の特別な（特定の）運動学との間に密接な関係が確立されました。この関係は、光の伝播の法則を表す平等という事実に基づいています

で割ったとき NS 2、つまり、光速の場合、

-座標を持つ空間内の球の方程式 v NS , v y , v z-軸に沿った速度コンポーネント NS, で, z（「速度の空間」内）。ローレンツ変換はこの球を保存し、線形であるため、速度空間の直線を直線に変換します。したがって、クラインモデルによれば、半径の球の内側の速度の空間でとつまり、光速よりも遅い速度の場合、ロバチェフスキー幾何学が行われます。

ロバチェフスキーの幾何学は、一般相対性理論において注目に値する応用を見出しました。宇宙の物質の質量の分布が均一であると考えると（この近似は宇宙スケールで許容されます）、特定の条件下で空間はロバチェフスキー幾何学を持っていることがわかります。したがって、実空間の可能な理論としての彼の幾何学についてのロバチェフスキーの仮定は正当化されました。
クラインモデルを使用して、非常に単純で短い証明が与えられます

LV1。（ロバチェフスキーの並列性の公理）。どの平面にも、この線に属さない直線a0と点A0があり、0と交差しない少なくとも2本の直線がこの点を通過します。

メンバーシップ、順序、合同、連続性の公理、および並列性のロバチェフスキー公理を満たす点、線、および平面のセットは、3次元ロバチェフスキー空間と呼ばれ、A3で表されます。図形の幾何学的特性のほとんどは、空間Л3の平面上で考慮されます。ロバチェフスキー飛行機で。ユークリッド幾何学の平行性の公理である公理V1の形式的な論理否定が、公理LV1として与えた定式化を正確に持っているという事実に注意を向けましょう。平面上には、ユークリッド幾何学の平行性の公理の記述が成り立たない点と直線が少なくとも1つあります。ロバチェフスキー平行性公理のステートメントがロバチェフスキー平面の任意の点と任意の直線に対して有効であるという定理を証明しましょう。

定理13.1。aを任意の直線とし、Aをこの直線上にない点とします。次に、点Aと線aで定義される平面に、Aを通過し、線aと交差しない線が少なくとも2本あります。

証拠。定理11.1を使用して、矛盾によって証明を実行します（§11を参照）。ロバチェフスキー空間に点Aと直線aがあり、この点と直線によって定義される平面に、点Aを通り、aと交差しない単一の直線があるとします。直線aに垂直な点Aを落とし、点Aで直線ABに垂直なhを上げます（図50）。定理4.2（§4を参照）からわかるように、線hとaは交差しません。仮定により、直線hは、Aを通過し、aと交差しない唯一の直線です。直線a上の任意の点Cを選択しましょう。点Bを含まない境界ABを持つ半平面の光線ACとは別に、角度CAMはACBに等しくなります。次に、同じ定理4.2から次のように、線AMはaと交差しません。それはhと一致するという我々の仮定から続く。したがって、点Mは線hに属します。三角形ABC-長方形、。三角形ABCの角度の合計を計算してみましょう：。定理11.1から、ユークリッド幾何学の平行性の公理の条件が満たされることがわかります。したがって、検討中の平面には、点A0と直線a0が存在せず、0と交差しない少なくとも2本の直線がこの点を通過することはありません。私たちはロバチェフスキーの平行線公準の条件と矛盾するようになりました。定理が証明されます。

以下では、定理13.1の主張を使用し、実際には、ロバチェフスキーの並列性の公理の主張を置き換えることに注意してください。ちなみに、多くの教科書では、ロバチェフスキーの幾何学の平行性の公理として受け入れられているのはこの声明です。

定理13.1から次の結果を簡単に得ることができます。

当然の結果13.2。 ロバチェフスキー平面では、与えられた直線上にない点を通り、与えられた直線と交差しない直線が無限にあります。

実際、aを与えられた直線、Aをそれに属さない点、h1とh2をAを通り、aと交差しない直線とします（図51）。明らかに、点Aを通過し、h1とh2によって形成されるコーナーの1つにあるすべての線（図51を参照）は、線aと交差しません。

第2章では、ユークリッド幾何学の平行線公準に相当するいくつかのステートメントを証明しました。それらの論理否定は、ロバチェフスキー平面上の図の特性を特徴づけます。

まず、ロバチェフスキー平面では、ユークリッドの5番目の仮定の論理否定が有効です。セクション9では、仮説自体を定式化し、ユークリッド幾何学の平行性の公理との同等性に関する定理を証明しました（定理9.1を参照）。その論理否定は次のとおりです。

ステートメント13.3。ロバチェフスキー平面には、交差しない2つの直線があり、それらが3番目の直線と交差すると、内部の片側の角度を形成し、その合計は2つの直角未満になります。

§12では、ポセイドニオスの提案を策定しました。 平面上には、指定された線から1つの半平面に配置され、そこから等距離にある少なくとも3つの同一線上の点があります。また、定理12.6を証明しました。 ポセイドニオスの提案は、ユークリッド幾何学の並列性公理の主張と同等です。したがって、このステートメントの否定は、ロバチェフスキー平面に作用します。

ステートメント13.4。 ロバチェフスキー平面上の直線から等距離にあり、それに対して1つの半平面にある点のセットは、1つの直線上にありません。

ロバチェフスキー平面では、直線から等距離にあり、この直線に対して1つの半平面に属する点のセットが、曲線、いわゆる等距離線を形成します。その特性については後で検討します。

今レジェンドレの提案を考えてみましょう：n 私たちが証明した定理11.6（§11を参照）は、このことから、ロバチェフスキー平面では、この命題の論理否定が有効であることがわかります。

ステートメント13.5。 鋭角の側には、この点で隆起したそれに垂直な点が角度の2番目の側と交差しないような点があります。

セクション9と11の結果から直接続く、ロバチェフスキー平面の三角形と四角形の特性に注目しましょう。まず、定理11.1です。そのことを述べる 角度の合計が2つの直角の合計と一致する三角形の存在の仮定は、ユークリッド平面の平行性の公理に相当します。これとルジャンドルの最初の定理（定理10.1、§10を参照）から、次のステートメントが続きます

ステートメント13.6。 ロバチェフスキー平面では、三角形の角度の合計は2d未満です。

これはすぐにそれを意味します 凸四角形の角度の合計は4d未満であり、凸n-gonの角度の合計は2（n-1）d未満です。

ユークリッド平面では、サッケリ四角形の上部ベースに隣接する角度は直角に等しいため、定理12.3（§12を参照）に従って、ユークリッド幾何学の平行性の公理に相当します。結論に続いて。

ステートメント13.7。 サッケリの四角形の上部の基部に隣接する角は鋭いです。

ロバチェフスキー平面上の三角形のさらに2つの特性を検討する必要があります。 1つ目は、ウォリスの提案に関連しています。 平面上には、対応する角度が等しいが辺が等しくない三角形のペアが少なくとも1つあります。セクション11で、この命題がユークリッド幾何学の平行線公準と同等であることを証明しました（定理11.5を参照）。このステートメントの論理的な否定は、次の結論につながります。ロバチェフスキー平面には、等しい角度の三角形はありませんが、等しい辺はありません。したがって、次の命題が当てはまります。

ステートメント13.8。（ロバチェフスキー平面上の三角形の同等性の4番目の基準）。ロバチェフスキー平面上の任意の2つの三角形は、対応して等しい角度を持ち、互いに等しくなります。

次の質問を考えてみましょう。ロバチェフスキー平面上の三角形の周りに円を描くことはできますか？答えは定理9.4によって与えられます（§9を参照）。この定理によれば、平面上の任意の三角形の周りに円を描くことができれば、ユークリッド幾何学の平行性の公理の条件が平面上で満たされます。したがって、この定理の主張の論理否定は、次の命題につながります。

ステートメント13.9。 ロバチェフスキー平面には、円を描くことができない三角形があります。

このような三角形の例を作成するのは簡単です。直線aとそれに属さない点Aを選んでみましょう。垂線hを点Aから線aに落としましょう。ロバチェフスキーの平行性の公理により、Aを通り、hに垂直ではなく、aと交差しない直線bがあります（図52）。ご存知のように、円が三角形の周りに外接している場合、その中心は三角形の辺の垂線の中央値の交点にあります。したがって、垂線の中央値が交差しないこのような三角形の例を示すだけで十分です。図52に示すように、線h上の点Mを選択しましょう。線aとbに対して対称的に表示すると、点NとPが得られます。線bはhに垂直ではないため、点Pは垂直ではありません。 hに属します。したがって、点M、N、およびPは三角形の頂点です。線aとbは、構造上垂線として機能します。上記のように、それらは交差しません。三角形のMNPが必要です。

ロバチェフスキー平面に円を描くことができる三角形の例を作成するのは簡単です。これを行うには、2つの交差する線を取り、それらに属さない点を選択し、これらの線に対してそれを反映するだけで十分です。詳細な工事はご自身で行ってください。

定義14.1。 2つの有向直線とが与えられているとします。次の条件が満たされた場合、これらは並列と呼ばれます。

1. 直線aとbは交差しません。

2.直線aとbの任意の点AとBの場合、角度ABB 2の内部光線hは線aと交差します（図52）。

学校の幾何学コースで通常行われているのと同じ方法で平行線を示します。 NS。ユークリッド平面上の平行線がこの定義を満たすことに注意してください。

定理14.3。 ロバチェフスキー平面上に、有向直線とそれに属さない点Bを与えます。次に、直線aが直線bに平行になるように、単一の有向直線がこの点を通過します。

証拠。点Bから垂線BAを直線aに落とし、点Bから垂線pを直線BAに戻します（図56a）。すでに何度も言及されているように、直線pは、与えられた直線aと交差しません。その上で任意の点Cを選択し、セグメントACの点を2つのクラスとに分割しましょう。第１のクラスは、光線ＢＳが光線ＡＡ２と交差するこのセグメントのそのような点Ｓを含み、第２のクラスは、光線ＢＴが光線ＡＡ２と交差しないそのような点Ｔを含む。このようなクラスへの分割により、セグメントACのDedekindセクションが生成されることを示しましょう。定理4.3（§4を参照）に従って、次のことを確認する必要があります。

2. およびクラスであり、AおよびC以外のポイントが含まれています。

3. A以外のクラスの任意のポイントは、ポイントAとクラスの任意のポイントの間にあります。

最初の条件は明らかです。セグメントのすべてのポイントは1つまたは別のクラスに属しますが、クラス自体は、その定義に基づいて、共通のポイントを持っていません。

2番目の条件も簡単に確認できます。明らかに、そして。クラスにはA以外の点が含まれています。このステートメントを確認するには、光線AA 2のある点を選択し、それを点Bに接続するだけで十分です。この光線は最初のクラスの点でセグメントBCと交差します。このクラスにはC以外の点も含まれています。そうしないと、ロバチェフスキーの並列性の公理と矛盾することになります。

3番目の条件を証明しましょう。 Aとは異なる第1クラスの点Sと、点TがAとSの間にあるような第2クラスの点Tが存在するとします（図56aを参照）。それ以来、光線BSはある点Rで光線AA2と交差します。光線BTについて考えてみます。これは、点TでASR三角形のAS側と交差します。パシャの公理によれば、この光線は、この三角形のAR側またはSR側のいずれかと交差する必要があります。光線BTがある点Oで側面SRと交差するとします。次に、2つの異なる直線BTとBRが点BとOを通過します。これは、ヒルベルトの公理の公理と矛盾します。したがって、光線BTは辺ARと交差します。これは、点TがクラスK2に属していないことを意味します。結果として生じる矛盾は、点SがAとTの間にあるというステートメントにつながります。定理4.3の条件は完全に検証されています。

線分ACのDedekindセクションの定理4.3の結論によれば、AとCの間にある点はクラスに属し、Cの間にある点はクラスに属する点が存在します。有向線が線に平行であることを示しましょう ..。実際、クラスK 1の点を選択したため、角度の内側の光線が交差するため、直線aと交差しないことを証明する必要があります。ある点Hで直線が直線aと交差するとします（図56b）。光線HA2上の任意の点Pを選択し、光線BPを考えてみましょう。次に、ある点QでセグメントМ0Сと交差します（このステートメントを自分で証明してください）。しかし、セグメントМ0Сの内部点は2番目のクラスに属し、光線BPは線aと共通の点を持つことができません。したがって、線BM0とaの交点に関する仮定は正しくありません。

線が点Bを通過して平行な唯一の有向線であることを確認するのは簡単です。確かに、別の有向直線が点Bを通過するようにします。点Bも平行です。この場合、M1がセグメントACの点であると仮定します。次に、クラスK 2の定義に基づいて、。したがって、光線BM 0は角度の内側の光線であり、したがって、定義14.1により、直線と交差します。私たちは上で証明された声明と矛盾するようになりました。定理14.3は完全に証明されています。

点Bとそれを含まない有向線について考えてみます。証明された定理14.3に従って、パスに平行な有向直線は点Bを通過します。垂線BHを点Bから線aに落としましょう（図57）。それは簡単にわかります 角度HBB2-鋭角..。実際、この角度が直線であると仮定すると、定義14.1から、点Bを通過する直線は直線aと交差することになり、定理13.1と矛盾します。 Lobachevskyの並列性公理LV1（§13を参照）。 BHに垂直な角度HBB2の内部光線は光線AA2と交差しないため、この角度が鈍角であるという仮定も、定義14.1および定理4.2（§4を参照）と矛盾することは容易に理解できます。。したがって、次のステートメントは真です。

定理14.4。 有向線を有向線と平行にします。直線の点Bから垂線VNを直線まで下げると、角度HBB2は鋭角になります。

次の結果は明らかにこの定理から得られます。

結果。有向線とに垂直な共通がある場合、その線は線に平行ではありません。

無向線の並列処理の概念を紹介しましょう。私たちはそれを仮定します 定義14.1を満たすように方向を選択できる場合、2つの無向直線は平行です。ご存知のように、直線には2つの方向があります。したがって、定理14.3から、直線aに属さない点Bを通ると、この直線に平行な2本の無向直線が存在することになります。明らかに、それらは点Bから線aに垂れ下がった垂線に関して対称です。これらの2つの直線は、点Bを通過してaと交差する直線の束を、Bを通過して線aと交差しない直線の束から分離する境界線です（図57）。

定理15.2。（ロバチェフスキー平面上の平行線の対称性の特性）。有向線を有向線と平行にします。次に、有向線は線に平行です。

ロバチェフスキー平面上の線の平行性の概念の対称性により、有向平行線の順序を示さないことができます。最初の行と2番目の行を指定しないでください。明らかに、直線の平行性の概念の対称性はユークリッド平面にも当てはまります。これは、ユークリッド幾何学における平行線の定義から直接得られます。ユークリッド幾何学では、推移性プロパティは平行線に対しても満たされます。線aが線bに平行で、線bが線cに平行である場合。その場合、直線aとcも互いに平行になります。同様の特性は、ロバチェフスキー平面上の有向直線にも当てはまります。

定理15.3。（ロバチェフスキー平面上の平行線の推移性の特性）。3つの異なる有向直線を与えましょう。もしもと、それから .

有向線に平行な有向線を考えてみましょう。それらを直線で交差させましょう。点Aと点Bは、それぞれ直線と、の交点です（図60）。次の定理が当てはまります。

定理15.4。 角度が角度よりも大きいです。

定理15.5。 縮退した三角形の外側の角は、それに隣接していない内側の角よりも大きくなっています。

証明は定理15.4からすぐに続きます。自分でやれ。

任意のセグメントABを考えてみましょう。点Aを通り、ABに垂直な直線aを描き、点Bを通り、aに平行な直線bを描きます（図63）。定理14.4（§14を参照）からわかるように、線bは線ABに垂直ではありません。

定義16.1。 直線ABとbによって形成される鋭角は、セグメントABの平行角と呼ばれます。

特定の平行角が各線分に対応していることは明らかです。次の定理が当てはまります。

定理16.2。 等しいセグメントは、等しい平行角に対応します。

証拠。 2つの等しいセグメントABとA¢B¢が与えられているとします。点AとA¢に向けられた直線と、それぞれABとA¢B¢、および点BとB¢に向けられた直線と、をそれぞれ通り抜けてみましょう（図64）。その後、それぞれ、セグメントABとA¢B¢の平行角。ふりをしましょう

BAA2半平面のVAビームからの角度a2を取っておきましょう（図64を参照）。不等式（1）により、光線lは角度ABB2の内部光線です。 ½1なので、lはある点Pで光線AA 2と交差します。点Aからの光線A¢A2¢を、APに等しいセグメントA¢Pに置きましょう。三角形ABPとA¢B¢P¢を考えてみましょう。それらは長方形であり、定理の仮説によれば、それらは等しい脚ABとA¢B¢を持ち、構造上、脚APとA¢Pの2番目のペアは互いに等しい。したがって、直角三角形ABPは三角形A¢B¢P¢に等しくなります。それが理由です。一方、光線B¢P¢は光線A¢A 2¢と交差し、有向直線B1¢B2¢は直線A1¢A2¢に平行です。したがって、光線B¢P¢は角度A¢B¢B2¢の内部光線です。 ..。結果として生じる矛盾は私たちの仮定に反論し、不等式（1）は誤りです。同様に、角度は角度より小さくすることはできないことが証明されています。定理が証明されます。

ここで、等しくないセグメントの平行角が互いにどのように関連しているかを考えてみましょう。

定理16.3。 セグメントABをセグメントA¢B¢よりも大きくし、角度、したがってそれらの平行角を大きくします。それで。

証拠。この定理の証明は、縮退した三角形の外角に関する定理15.5（§15を参照）から直接得られます。セグメントABについて考えてみます。 ABに垂直な点Aと、平行な有向直線である点Bを通る有向直線を描きましょう（図65）。光線ABにA¢B¢に等しい線分APを置きましょう。以来、PはセグメントABの内側の点です。同じく平行な有向線C1 C2からPを描きましょう。角度は、セグメントA¢B¢の平行角として機能し、角度は、セグメントABの平行角です。一方、直線の平行性の概念の対称性に関する定理15.2（§15を参照）から、直線С1С2は直線に平行であることがわかります。したがって、三角形RBC 2 A 2は縮退しており、外部にあり、その内部の角があります。定理15.5は、アサーションの真実が証明されていることを意味します。

逆は簡単に証明できます。

定理16.4。線分ABとA¢B¢の平行角を見てみましょう。次に、の場合、AB> A¢B¢。

証拠。反対の、。次に、定理16.2および16.3から次のようになります。、これは定理の仮説と矛盾します。

したがって、各セグメントが独自の平行角に対応し、セグメントが大きいほど平行角が小さいことを証明しました。鋭角に対して、この角度が平行角であるセグメントがあることを証明するステートメントを考えてみましょう。これにより、ロバチェフスキー平面上のセグメントと鋭角の間に1対1の対応が確立されます。

定理16.5。 どの鋭角でも、この角度が平行角である線分があります。

証拠。鋭角ABCを与えます（図66）。光線BAとBCについて以下で検討するすべての点は、点BとA、およびBとCの間にあると想定します。 その原点が角度BAの辺に属し、直線BAに垂直であり、与えられた角度の辺BCと同じ半平面にある場合に許容される光線と呼びましょう。ルジャンドルの提案に目を向けましょう：n 鋭角の辺の任意の点でその辺に引かれた垂線は、角の2番目の辺と交差します。定理11.6（§11を参照）を証明しました。 ルジャンドルの提案は、ユークリッド幾何学の平行線公準に相当します。このことから、ロバチェフスキー平面では、このステートメントの論理否定が有効であると結論付けました。 鋭角の側には、この点で隆起したそれに垂直な点が角度の2番目の側と交差しないような点があります。（§13を参照）。したがって、点Mを原点とするこのような許容光線mがあり、これは所定の角度のBC側と交差しません（図66を参照）。

セグメントVMのポイントを2つのクラスに分割してみましょう。クラスこれらの点を原点とする許容光線がこの角度のBC側と交差するこのセグメントの点、およびクラスに属します。これらの点を起点とする許容光線がBC側と交差しないBCセグメントの点に属します。セグメントBMのそのような分割がDedekindセクションを形成することを示しましょう（定理4.3、§4を参照）。これを行うには、それを確認してください

5. およびクラスであり、BおよびM以外のポイントが含まれています。

6. B以外のクラスの任意のポイントは、ポイントBとクラスの任意のポイントの間にあります。

最初の条件は明らかに満たされています。セグメントBMの任意の点は、クラスK1またはクラスK2のいずれかに属します。さらに、これらのクラスの定義により、ポイントは同時に2つのクラスに属することはできません。明らかに、点Mを原点とする許容光線はBCと交差しないため、点MはK2に属すると見なすことができます。クラスK1には、Bとは異なる点が少なくとも1つ含まれています。これを作成するには、BC側の任意の点Pを選択し、そこから垂直PQをビームBAにドロップするだけで十分です。点Qが点MとAの間にあると仮定すると、点PとQは、光線mを含む線に対して異なる半平面にあります（図66を参照）。したがって、セグメントPQはある点Rで光線mと交差します。2つの垂線が点Rから線BAにドロップされることがわかります。これは、定理4.2と矛盾します（§4を参照）。したがって、点QはセグメントBMに属し、クラスK 1にはB以外の点が含まれます。光線BAに、クラスK 2に属し、その点とは異なる点を少なくとも1つ含むセグメントがある理由を簡単に説明できます。終わり。実際、検討中のセグメントBMのクラスK 2に単一の点Mが含まれている場合、MとAの間の任意の点M¢を選択します。点M¢を原点とする許容光線m¢を考えます。光線mと交差しません。そうでない場合、2つの垂線が点から直線ABにドロップされるため、m¢は光線BCと交差しません。セグメントVM¢は望ましいものであり、それ以降のすべての推論はセグメントVM¢に対して実行する必要があります。

定理4.3の3番目の条件の妥当性を確認しましょう。そのような点があり、その点Pが点Uと点Mの間にあると仮定します（図67）。許容光線uとpを、点UとPを原点として描画します。光線pは、ある点Qで特定の角度の辺BCと交差するため、光線uを含む直線は三角形の辺BPと交差します。したがって、BPQは、ヒルベルトの公理（Pashaの公理、§3を参照）によれば、この三角形の辺BQまたは辺PQのいずれかと交差します。しかし、したがって、光線uは辺BQと交差しないため、光線pとuはある点Rで交差します。2つの垂線が線AB上にドロップされる点を構築したため、再び矛盾します。。定理4.3の条件は完全に満たされています。

M.それはそれに続く。点とMの間にクラスK1の点を作成したため、矛盾が生じました。角度の内側の光線が光線BCと交差することを示す必要があります。この角度の任意の内光線hを考えてみましょう。その上でコーナーに属する任意の点Kを選択し、そこから垂線を線BAにドロップします（図69）。この垂線の底Sは明らかにセグメントBM0に属します。クラスK1（この事実を自分で証明してください）。したがって、垂直KSは、ある点Tで所定の角度のBC側と交差します（図69を参照）。光線hは、点Kで三角形BSTの辺STを横切りました。公理（パシャの公理）によれば、この三角形の辺BSまたは辺BTのいずれかと交差する必要があります。 hがセグメントBSと交差しないことは明らかです。そうでない場合、2本の線hとBAが2つの点、およびこの交差点を通過します。したがって、hはBT側と交差します。ビームVA。定理は完全に証明されています。

したがって、ロバチェフスキーの幾何学の各セグメントは鋭角、つまり平行角に関連付けることができることを確立しました。角度とセグメントの測度を導入したと仮定します。セグメントの測度は、後で§で導入されることに注意してください。以下の定義を紹介します。

定義16.6。 xがセグメントの長さであり、jが角度の値である場合、セグメントの長さをその平行角の値に関連付ける依存関係j = P（x）は、ロバチェフスキー関数と呼ばれます。

それは明らかです。上で証明されたセグメントの平行角の特性を使用して（定理16.3および16.4を参照）、次の結論を導き出すことができます。 Lobachevsky関数は単調に減少しています。ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキーは、次の驚くべき公式を得ました。

ここで、kは正の数です。これはロバチェフスキー空間の幾何学において重要であり、その曲率半径と呼ばれます。同じ曲率半径を持つ2つのロバチェフスキー空間は等角です。上記の式から、簡単にわかるように、j = P（x）は単調に減少する連続関数であり、その値は区間に属します。

ユークリッド平面上で、ある点Oを中心とし、半径が1に等しい円wを固定します。これを次のように呼びます。絶対..。円wで囲まれた円のすべての点の集合はW¢で表され、この円のすべての内部点の集合はWで表されます。セットWの点が呼び出されます LドットすべてのL点の集合Wは L面、ロバチェフスキー平面のケイリークラインモデルを構築します。電話します L ‑ストレート円の任意の弦w。 ユークリッド平面の点としての点Xが絶対の弦xに属している場合に限り、L点XがL線xに属していると仮定します。

L平面、並列性のロバチェフスキー公理は次のように成り立ちます。 L-ラインa上にないL-ポイントBを通過し、L-ラインaとの共通点を持たない少なくとも2つのL-ラインbとcを通過します。図94は、このステートメントを示しています。また、L平面の平行な有向線が何であるかを理解するのも簡単です。図95を検討してください。L線bは、L線aと絶対線の交点を通過します。したがって、指向性Ｌ線Ａ１Ａ２は、指向性Ｌ線Ｂ１Ａ２に平行である。実際、これらの線は交差しません。これらの線にそれぞれ属する任意のL点AとBを選択すると、角度A 2BAの任意の内線hが線aと交差します。したがって、2つのL線が共通の交点を持っている場合、それらは平行です。絶対に。 L線の平行性の概念の対称性と推移性の特性が満たされていることは明らかです。段落15で、対称性の特性を証明しましたが、推移性の特性を図95に示します。線A 1 A2は線B1 A 2に平行であり、点A2で絶対値と交差します。線B1 A2とC1 A 2も平行であり、同じ点A2で絶対線と交差します。したがって、直線A 1 A2とC1 A2は互いに平行です。

したがって、上記で定義された基本概念は、ヒルベルトの公理のグループの公理I 1 -I 3、II、III、IVおよびロバチェフスキーの平行性の公理の要件を満たしているため、ロバチェフスキー平面のモデルです。 Lobachevsky平面測定の実質的な一貫性を証明しました。このステートメントを次の定理として定式化しましょう。

定理1。 ロバチェフスキーの幾何学は内容に関して一貫しています。

ロバチェフスキー平面のモデルを作成しましたが、平面で考慮されているものと同様の空間モデルを作成することで、マニュアルを理解することができます。

最も重要な結論は定理1から得られます。並列性の公理は、ヒルベルトの公理の公理I-IVの結果ではありません。ユークリッドの5番目の仮説はユークリッド幾何学の平行線公準と同等であるため、この仮説もヒルベルトの公理の残りの部分に依存しません。

ロシアとイギリスの科学の関係に専念する数学者バレンティーナ・キリチェンコは、19世紀の幾何学に関するロバチェフスキーのアイデアの革命的な性質についてPostNaukaに語ります。

ロバチェフスキーの幾何学でも平行線は交差しません。映画のどこかに、「そして私たちのロバチェフスキーの平行線が交差している」というフレーズがよく見られます。美しく聞こえますが、真実ではありません。ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキーは、平行線の振る舞いが以前とはまったく異なる、並外れた幾何学を実際に思いついた。しかし、それでもそれらは重複していません。

私たちは、2本の平行線が収束せず、離れないという考えに慣れています。つまり、最初の線でどの点をとっても、それから2番目の線までの距離は同じであり、点に依存しません。しかし、それは本当にそうですか？そして、なぜこれがそうなのですか？そして、これをどのように検証できますか？

物理的な直線について話している場合、各直線のごく一部しか観察できません。また、測定誤差を考えると、直線が私たちから非常に遠く離れてどのように動作するかについて明確な結論を出すことはできません。古代ギリシャ人も同様の質問をしました。紀元前3世紀、古代ギリシャの幾何学者ユークリッドは、平行線の主な特性を非常に正確に概説しましたが、それを証明したり反証したりすることはできませんでした。したがって、彼はそれを仮説と呼びました-信仰に基づいて取られるべき声明です。これは、ユークリッドの有名な5番目の仮定です。平面上の2つの直線が割線と交差し、内側の片側の角度の合計が2つの直線未満、つまり180度未満の場合、十分な量になります。継続すると、これらの2つの直線は交差し、合計が2つの直角よりも小さい割線の側にあります。

この仮説のキーワードは「十分に継続している」です。これらの言葉のために、仮説を経験的に検証することはできません。たぶん、線は視線で交差します。冥王星の軌道を10km超えた後、あるいは別の銀河でさえも。

ユークリッドは、有名な本「Beginnings」で、論理的にそれらに続く彼の仮定と結果を概説しました。この本の古代ギリシャ語の名前からロシア語の「要素」が、ラテン語の名前から「要素」という単語が出てきます。 Euclid's Beginningsは、これまでで最も人気のある教科書です。版数では聖書に次ぐものです。

特に、非常に明確で美しいインフォグラフィックを備えた1847年の素晴らしい英国版に注目したいと思います。現代の学校の幾何学の教科書とは異なり、図面の鈍い指定の代わりに、色付きの図面を使用しています。

前世紀まで、ユークリッドの「始まり」はすべての教育プログラムでの研究に必要でした。これは、知的創造性、つまり工芸を学ぶだけでなく、より知的な何かを意味していました。ユークリッドの第5の仮定の非自明性は、自然な疑問を提起しました。それを証明すること、つまり、ユークリッドの残りの仮定から論理的に推論することは可能ですか？ユークリッドの同時代人からロバチェフスキーの同時代人まで、多くの数学者がこれを試みました。原則として、彼らは5番目の仮定をより視覚的なステートメントに減らしました。これは信じやすいです。

たとえば、17世紀に、英国の数学者ジョンウォリスは、このステートメントの5番目の仮定を減らしました。2つの類似しているが等しくない三角形、つまり、角度は等しいがサイズが異なる2つの三角形があります。どうやら、もっと簡単なことは何でしょうか？スケールを変えてみましょう。しかし、すべての角度と比率を維持しながらスケールを変更する機能は、ユークリッド幾何学、つまり5番目を含むすべてのユークリッド幾何学が満たされる幾何学の排他的なプロパティであることがわかります。

18世紀、スコットランドの学者ジョンプレイフェアは、現代の学校の教科書に通常見られる形で5番目の仮定を再定式化しました。互いに交差する2本の直線を3番目の線に同時に平行にすることはできません。 5番目の仮定が現代の学校の教科書に現れるのはこの形です。

19世紀初頭までに、多くの人が、第5の公準を証明することは、永久機関を発明するようなものであるという印象を受けていました。これはまったく役に立たない運動です。しかし、ユークリッドの幾何学だけが可能なものではないと仮定しても、誰も勇気を持っていませんでした。ユークリッドの権威は大きすぎました。そのような状況では、ロバチェフスキーの発見は、一方では自然であり、他方では絶対に革命的でした。

ロバチェフスキーは、5番目の仮定を正反対のステートメントに置き換えました。ロバチェフスキーの公理は次のように聞こえました。直線上にない点から、この直線と交差するすべての光線が解放されると、左右でこれらの光線は2つの制限光線によって制限され、交差しなくなります。直線ですが、どんどん近づいていきます。さらに、これらの制限光線間の角度は厳密に180度未満になります。

ロバチェフスキーの公理からすぐに、与えられた直線上にない点を通して、ユークリッドのように与えられた直線に平行な直線を1つではなく、好きなだけ描くことができます。ただし、これらの直線はユークリッド原論とは異なる動作をします。たとえば、2本の平行な直線がある場合、それらは最初に近づき、次に離れることができます。つまり、最初の線上の点から2番目の線までの距離はその点に依存します。ポイントによって異なります。

ロバチェフスキーの幾何学は、私たちが通常扱う短い距離では、ユークリッド幾何学とほとんど変わらないため、私たちの直感と部分的に矛盾しています。同様に、私たちは地球の表面の湾曲を知覚します。家から店へと歩いていると、まっすぐ歩いているように見え、地球は平らです。しかし、たとえばモスクワからモントリオールに飛ぶ場合、これは地球の表面上の2点間の最短経路であるため、飛行機が円弧を描いて飛んでいることにすでに気づきます。つまり、地球はパンケーキというよりサッカーボールのように見えることがわかります。

ロバチェフスキーの幾何学は、通常ではなく双曲幾何学のサッカーボールの助けを借りて説明することもできます。双曲線のサッカーボールは、通常のサッカーボールのように接着されています。通常のボールでのみ、白い六角形が黒い五角形に接着されます。双曲線ボールでは、五角形の代わりに、七角形を作成し、六角形で接着する必要があります。この場合、もちろん、それはボールではなく、サドルであることがわかります。そして、このサドルでロバチェフスキーの幾何学が実現されます。

ロバチェフスキーは1826年にカザン大学で彼の発見について話そうとしました。しかし、報告書のテキストは生き残っていません。 1829年に彼は大学のジャーナルに彼の幾何学に関する記事を発表しました。ロバチェフスキーの結果は、多くの人にとって無意味に見えました。それは、世界の通常の状況を破壊しただけでなく、最も理解しやすい方法で提示されなかったためです。

しかし、ロバチェフスキーは、今日私たちが呼んでいるように、高評価のジャーナルにも出版物を持っていました。たとえば、1836年に、彼は有名なジャーナルCrellにフランス語で「ImaginaryGeometry」というタイトルの記事を掲載しました。同じ号で、当時最も有名な数学者であるDirichlet、Steiner、Jacobiの記事と同じです。そして1840年にロバチェフスキーは「平行線の理論における幾何学的調査」と題された小さくて非常に理解しやすい本を出版しました。この本はドイツ語で、ドイツで出版されました。壊滅的なレビューがすぐに現れました。レビューアは特にロバチェフスキーの言葉を嘲笑しました。「平行性の方向に直線を続けるほど、互いに近づくようになります。」「この声明だけでも、ロバチェフスキー氏の仕事を十分に特徴づけており、さらなる評価の必要性からレビューアを解放している」とレビューアは書いている。

しかし、この本には偏見のない読者も1人います。これは、歴史上最も偉大な数学者の1人である数学者の王というニックネームでも知られるカールフリードリヒガウスでした。彼は彼の手紙の1つでロバチェフスキーの本を賞賛した。しかし、彼のレビューは、彼の死後、残りの通信とともにのみ公開されました。そして、ロバチェフスキーの幾何学の本当のブームが始まりました。

1866年に、彼の本はフランス語に翻訳され、次に英語に翻訳されました。さらに、英語版はその並外れた人気のためにさらに3回再版されました。残念ながら、ロバチェフスキーはこの時期まで生きていませんでした。彼は1856年に亡くなりました。そして1868年に、ロバチェフスキーの本のロシア語版が登場しました。それは本としてではなく、最も古いロシアのジャーナル「数学コレクション」の記事として出版されました。しかし、この雑誌は非常に若く、まだ2年前のものではありませんでした。しかし、より有名なのは、1945年のロシア語訳で、ロシアとソビエトの著名な幾何学者、ベニアミン・フェドロビッチ・カガンによって作成されました。

19世紀の終わりまでに、数学者は2つの陣営に分割されました。一部の人々はすぐにロバチェフスキーの結果を受け入れ、彼のアイデアをさらに発展させ始めました。他の人は、ロバチェフスキーの幾何学が存在しない何かを説明しているという信念をあきらめることができませんでした。つまり、ユークリッドの幾何学が唯一の真の幾何学であり、他には何もあり得ません。残念ながら、後者には「不思議の国のアリス」の著者としてよく知られている数学者、ルイス・キャロルが含まれていました。彼の本名はチャールズ・ドジソンです。 1890年に、彼は「平行線公準の新しい理論」というタイトルの記事を発表し、そこで彼は5番目の公準の非常に視覚的なバージョンを擁護しました。ルイス・キャロルの公理は次のように聞こえます：円に通常の四角形を内接する場合、この四角形の面積は、四角形の外側にある円のセグメントの面積よりも厳密に大きくなります。ロバチェフスキーの幾何学では、この公理は真実ではありません。十分に大きな円をとると、それに内接する四角形に関係なく、この四角形の辺がどれほど長くても、四角形の面積は普遍的な物理定数によって制限されます。一般に、物理定数と長さの普遍的な尺度の存在は、ロバチェフスキーの幾何学とユークリッドの幾何学の間の有利な違いです。

しかし、別の有名な英国の数学者であるアーサー・ケイリーは、1859年、つまりロバチェフスキーの死からわずか3年後に、後にロバチェフスキーの仮説を合法化するのに役立つ記事を発表しました。興味深いことに、ケイリーは当時ロンドンで弁護士として月光を浴びていましたが、その後ケンブリッジで教授職に就きました。実際、ケイリーはロバチェフスキーの幾何学の最初のモデルを構築しましたが、一見するとまったく異なる問題を解決していました。

そして、ウィリアム・キングドン・クリフォードという名前の別の素晴らしい英国の数学者は、ロバチェフスキーの考えに深く染み込んでいました。そして特に、重力は空間の曲率によって引き起こされるという一般相対性理論が生まれるずっと前に、彼は最初にアイデアを提唱しました。クリフォードは、科学哲学に関する彼の講義の1つで、ロバチェフスキーの科学への貢献を評価しました。「ロバチェフスキーは、コペルニクスがプトレマイオスのためになったのと同じように、ユークリッドのためになりました。」コペルニクスの前に、人類が私たちが宇宙についてすべてを知っていると信じていたならば、今では私たちが宇宙のごく一部しか観察していないことは明らかです。同様に、ロバチェフスキー以前は、人類は1つの幾何学、つまりユークリッド幾何学しかないと信じていました。それに関するすべては長い間知られていました。これで、多くのジオメトリがあることがわかりましたが、それらについてすべてを知っているわけではありません。

ユークリッドの第5の仮定「2本の直線に当たる直線が内部の片側角を形成する場合、合計で2本未満の直線が無期限に続くと、これらの2本の直線は合計の角度が小さい側で交わります。古代の多くの数学者にとって、それは、その定式化の複雑さもあって、どういうわけかあまり明確ではないように思われました。

単純な形式の初歩的な文だけが仮定されるべきであるように思われました。この点で、第5の仮定は数学者の特別な注目の対象となっており、このトピックに関する研究は2つの方向に分けることができ、実際には互いに密接に関連しています。最初の仮説は、この仮定をより単純で直感的に明確なものに置き換えることを目的としていました。たとえば、Proclusによって作成されたステートメントは、次のように述べています。与えられたものと交差する」：5番目の仮説、またはむしろそれと同等の平行線公準が現代の教科書に現れるのはこの形式です。

第2方向の代表者は、他の方向に基づいて第5公準を証明しようとしました。つまり、それを定理に変えようとしました。この種の試みは、中世の多くのアラブの数学者によって始められました：アル・アッバス・アル・ジャウハリ（9世紀初頭）、サビット・イブン・コラー、イブン・アル・カイサム、オマール・ハイヤーム、ナシレディン・アット・トゥシ。その後、ヨーロッパ人がこれらの研究に参加しました：ヘブライ語で書いたレヴィベンゲルション（14世紀）とアルフォンソ（15世紀）、そしてドイツのイエズス会H.クラビウス（1596）、イギリス人のJ.ウォリス（1663）、そしてこの問題への関心は18世紀に生じました。1759年から1800年にかけて、イタリアのイエズス会G.サッケリとドイツのI.G.ランバートによる非常に重要な作品を含む55の作品がこの問題を分析して出版されました。

証明は通常、「矛盾による」方法で実行されました。5番目の仮説が満たされないという仮定から、他の仮説や公理と矛盾する結果を推測しようとしました。しかし実際には、最終的には他の仮説と矛盾することはなく、明示的または暗黙的な「明白な」命題がありましたが、他の仮説やユークリッド幾何学の公理に基づいて確立することはできませんでした。、証明は彼らの目標を達成しませんでした、-5番目の仮定の代わりに、再び、他の同等の声明が出されたことが判明しました。たとえば、次の規定がそのようなステートメントとして採用されました。

米。 2.互いに等距離の直線があります

米。 4.2本の収束線が交差します

もちろん、これらのステートメントが当てはまらない幾何学は、私たちが慣れているものと同じではありませんが、これから不可能である、またはこれらのステートメントがユークリッドの他の仮説や公理から続くということにはなりません。プルーフにはいくつかのギャップがありました。クラビウスは、直線をその上の点に対して等間隔に配置された直線としてのユークリッドの「定義」によって、互いに等距離の直線があるという仮定を実証しました。ウォリスは、5番目の仮説の証明を「自然な」位置に基づいた最初の人物であり、それによれば、任意の大きなサイズの同様の人物が存在し、このステートメントをユークリッドの3番目の仮説で実証しました。中心と任意の解は円を記述することができます（実際、たとえば、等しくない類似の三角形または円でさえ存在することについてのステートメントは、5番目の仮定に相当します）。教科書「幾何学の原則」（1794、1800、1823）の連続版のAM Legendreは、5番目の仮説の新しい証明を与えましたが、注意深い分析はこれらの証明のギャップを示しました。レジェンドレをただの批判にさらした後、私たちの同胞であるS.Ye。Gurievは、彼の著書「幾何学の要素の改善に関する経験」（1798）で、しかし、彼自身が5番目の仮説を証明するのに誤りを犯しました。

非常に迅速に、三角形と四角形の角度の合計と5番目の仮定との関係が実現されました。5番目の仮定は、三角形の角度の合計が2つの直線に等しいというステートメントから得られます。長方形の存在から推測されます。この点で、1つの直線に対して2つの垂線上に等しいセグメントを配置した結果として得られる四角形が考慮されるアプローチが普及しました（Khayyam、at-Tusi、Wallis、Sakkeriが続きました）。。 3つの仮説が調査されます。2つの上部コーナーは鋭い、鈍い、またはまっすぐです。鈍角と鋭角の仮説が矛盾につながることを示す試みがなされています。

別のアプローチ（Ibn al-Haytham、Lambertによって使用された）は、3つの直角を持つ四角形の3つの同様の仮説を分析しました。

SaccheriとLambertは、鈍角の仮説が矛盾につながることを示しましたが、鋭角の仮説を検討したときに矛盾を見つけることができませんでした。Saccheriは、エラーの結果としてのみそのような矛盾について結論を出し、Lambertは次のように結論付けました。鋭角仮説に矛盾が見られなかったのは、いくつかの根本的な理由によるものでした。ランバートは、鋭角の仮説を受け入れると、各三角形の角度の合計がその面積に比例した量だけ180°未満であることを発見し、これと比較して最初に発見されたものです。 17世紀逆に、球面三角形の面積がその面積に比例した量だけ180°を超える位置。

1763年、GS Klugelは「平行線の理論を証明するための最も重要な試みのレビュー」を発表しました。そこで彼は5番目の仮説の約30の証明を調べ、それらの誤りを明らかにしました。クルーゲルは、ユークリッドが彼の発言を仮説の中にかなり合理的に置いたと結論付けた。

それにもかかわらず、5番目の仮説を証明する試みは非常に重要な役割を果たしました：反対のステートメントを矛盾させようとして、これらの研究者は実際に非ユークリッド幾何学の多くの重要な定理を発見しました-特に、5番目の仮説が置き換えられる幾何学可能性についてのステートメントは、与えられた点を通り、与えられた点と交差しない少なくとも2本の直線を描きます。鋭角仮説に相当するこのステートメントは、非ユークリッド幾何学の発見者の基礎でした。

K.F. Gauss、N.I。Lobachevsky、J。Boyai（およびF K. Schweickart）は、独立して、5番目の仮説の代替案を仮定するとユークリッド幾何学とは異なるが同じように一貫性のある幾何学の構築につながるという考えに達しました。そして、新しい幾何学への貢献がより控えめで、彼らの研究を発表しなかったFAタウリヌス）。ガウスは、彼のアーカイブに保存されている（そして1860年代にのみ公開された）記録から判断すると、1810年代に新しい幾何学の可能性に気づきましたが、このトピックに関する彼の発見も公開しませんでした。（つまり、愚か者：ヴィオティア地域の住民は、古代ギリシャで最も愚かであると考えられていました）、私が私の見解を完全に表現すると、彼は1829年に友人の数学者FVベッセルに手紙を書きました。誤解は、1826年に新しい幾何学に関する最初の報告を行い、1829年に得られた結果を発表したロバチェフスキーの多くに降りかかりました。1842年に、ガウスはゲッティンゲン科学協会の対応するメンバーとしてロバチェフスキーの選挙を達成しました。ロバチェフスキーの生涯における功績の認識のみ... J.ボヤイ神父（数学者のファルカシュボヤイも5番目の仮定を証明しようとした）は、息子にこの方向の研究に対して警告した。「...それはあなたの余暇、健康、平和、人生のすべての喜びを奪う可能性があります。この黒い深淵は、おそらく、ニュートンのような千の巨人を吸収することができます、地球上でこれは決して片付けられません... "。それにもかかわらず、J。Boyaiは、1832年に、父親が書いた幾何学の教科書の付録に彼の結果を発表しました。ボヤイも認識を達成しませんでした、さらに、彼はロバチェフスキーが彼の前にいることに腹を立てました：彼はもはや非ユークリッド幾何学に従事していませんでした。それで、ロバチェフスキーだけが、彼の残りの人生の間、最初に、新しい分野で研究を続けました、そして、次に、彼は彼の考えを促進し、新しい幾何学に関する多くの本と記事を出版しました。

したがって、ロバチェフスキー平面では、ABと交差しない少なくとも2つの直線が、指定された線ABの外側の点Cを通過します。 Cを通過するすべての線は、交差するABと交差しないABの2つのクラスに分けられます。これらの後者は、ABと交差しない2つの極端な直線によって形成される特定の角度にあります。ロバチェフスキーが直線ABに平行と呼ぶのはこれらの線であり、それらと垂線との間の角度は平行角です。この角度は、点Cから線ABまでの距離に依存します。この距離が大きいほど、平行角は小さくなります。角の内側にある線は、ABに関して発散と呼ばれます。

任意の2つの発散線pとqには、1つの共通の垂線tがあります。これは、一方から他方への最短の線分です。点Mがpに沿ってtからの方向に移動すると、Mからqまでの距離は無限大に増加し、Mからqにドロップされた垂線の底辺は有限セグメントのみを埋めます。

線pとqが互いに交差する場合、一方の点のもう一方への投影も境界セグメントを満たします。

直線pとqが平行である場合、一方の方向ではそれらの点間の距離は無限に減少し、もう一方の方向ではそれらは無限に増加します。 1つの直線が別の光線に投影されます。

これらの図は、ロバチェフスキーの幾何学で可能な直線pとqのさまざまな相互位置を示しています。 rとsはqに平行な垂線です。（直線について話しているのに、曲線qを描くことを余儀なくされています。私たちの世界全体がロバチェフスキーの幾何学の法則に従ったとしても、すべてがどのように歪むことなく、小さなスケールで描くことはできません。大きく見えます：ロバチェフスキーの幾何学では、等しくない同様の図はありません）。

角の内側には、角の両側に平行な直線があります。コーナー内のすべてのポイントを2つのタイプに分割します。最初のタイプのポイントを介して、コーナーの両側と交差する直線を描くことができます。このような直線は、2番目のタイプの点を通ることはできません。平行線の間のスペースについても同じことが言えます。 2つの分岐線の間には、両方に平行な2本の線があります。それらは、発散する線の間のスペースを3つの領域に分割します。1つの領域の点を介して、コーナーの両側と交差する線を描くことができます。このような線は、他の2つの領域の点を通る線を引くことはできません。

直角ではなく鋭角は、常に円の直径に依存します。円に内接する正六角形の辺は、常にその半径よりも大きくなります。 n> 6の場合、内接する正多角形の辺がその半径と等しくなるように円を作成することができます。

ロバチェフスキーは、特に天文観測のデータを使用して、物理空間の幾何学の問題に興味を持っていました。彼は、大きな星間三角形の角度の合計を計算しました。ただし、180°からのこの角度の合計の差は完全にありました。観測誤差の範囲内。彼自身が彼の幾何学を「想像上の」と呼んだロバチェフスキーの多くに降りかかった誤解は、主に彼の時代にそのような考えが純粋な抽象化と想像力の遊びであるように見えたという事実によるものです。新しいジオメトリは本当に一貫していますか？（結局のところ、ロバチェフスキーが矛盾に対処できなかったとしても、これはそれが後で発見されないことを保証するものではありません）。それは現実の世界や他の数学の分野とどのように関係していますか？これはすぐには明らかになりませんでした、そして最終的に多くの新しいアイデアに落ちた成功は、新しい幾何学のモデルの発見に関連していました。