セットとそのプロパティの操作。セット。セットの操作セットの操作

集合論の基本概念

セットの概念は、現代数学の基本的な概念です。それをオリジナルと考え、集合論を直感的に構築します。この最初の概念について説明しましょう。

沢山の単一の全体として考えられるオブジェクト（オブジェクトまたは概念）のコレクションです。このコレクションに含まれるオブジェクトは、要素セット。

数学科の1年生がたくさんいることや、海にいる魚がたくさんいることなどを話すことができます。数学は通常、有理数のセット、長方形のセットなど、さまざまな数学的対象に関心があります。

セットはラテンアルファベットの大文字で示され、その要素は小さいもので示されます。

がセットの要素である場合 NS、そして彼らは言う NS"そして書く：。一部のオブジェクトがセットの要素ではない場合、「所属していない」と表示されます。 NS「そして書く（時々）。

セットを定義するには、主に2つの方法があります。列挙その要素と適応症 特徴的な特性その要素。これらの方法の最初のものは、主に有限集合に使用されます。検討中のセットの要素をリストする場合、その要素は中括弧で囲まれています。例えば、はセットを示し、その要素は2、4、7の数字であり、それらだけです。たとえば、すべての実数のセットをこのように設定することはできないため、この方法が常に適用できるとは限りません。

特性セットの要素 NSこのプロパティを所有する要素が属するようなプロパティですか NS、およびこのプロパティを持たない要素はに属していません NS..。プロパティを持つ要素のセットは、次のように表されます。

また .

最も一般的なセットには、独自の特別な指定があります。将来的には、次の表記法を順守します。

NS=すべての自然数のセットです。

Z=-すべての整数のセット。

-すべての有理数のセット。

NS-すべての実数（実数）のセット、つまり有理数（無限小数循環小数）および無理数（無限小数非周期分数）;

-すべての複素数のセット。

特性プロパティを指定してセットを指定する、より特別な例を示しましょう。

例 1. 48のすべての自然除数のセットは次のように書くことができます。（表記は整数にのみ使用され、で割り切れるという意味です）。

例 2. 7未満のすべての正の有理数のセットは、次のように記述されます。

例 3. -末尾が1と5の実数の間隔。 -末尾が2と7の実数のセグメント。

「多く」という言葉は、それが多くの要素を含んでいることを示唆しています。しかし、常にそうであるとは限りません。数学では、1つの要素のみを含む集合を考慮することができます。たとえば、方程式の整数根のセット ..。さらに、単一の要素を含まないセットについて話すと便利です。そのようなセットはと呼ばれます空のØで表されます。たとえば、方程式の実根のセットは空です。

定義1。セットと呼ばれる同等（によって示される A = B）これらのセットが同じ要素で構成されている場合。

定義2。セットの各要素がセットに属している場合、次のように呼び出します。 サブセットセット。

凡例:(「含まれる」）; （「含む」）。

Øとセット自体がセットのサブセットであることは明らかです。セットの他のサブセットは、 右の部分..。もしそうなら、彼らはこう言います。 NS – 適切なサブセット"またはその" そしてそれは厳密に含まれています"そして書く。

次のステートメントは明白です：多数と との場合にのみ等しい。

この声明はに基づいています 2つのセットの同等性を証明するための普遍的な方法: セットが と 等しい場合は、それを示すだけで十分です ,NS セットのサブセットです .

これが最も一般的な方法ですが、唯一の方法ではありません。後で、セットとそのプロパティの操作に精通したので、2つのセットの同等性を証明する別の方法を示します- 変換を使用する.

結論として、1つまたは別の数学的理論では、同じセットのサブセットを扱うことがよくあります。 Uと呼ばれる ユニバーサルこの理論では。たとえば、学校の代数や数学的分析では、セットは普遍的です NS幾何学における実数-空間内の点のセット。

操作とそのプロパティを設定する

セットでは、足し算、掛け算、引き算に似たアクション（操作）を実行できます。

定義1。 統合セットと呼ばれ、で示されます。各要素は、セットまたはの少なくとも1つに属します。

そのようなセットが得られる操作自体は、ユニオンと呼ばれます。

定義の簡単な記録1：

定義2。 交差点セットとはセットと呼ばれ、で示され、すべての要素とそれらの要素のみを含み、それぞれがと、およびに属します。

セットになる操作自体は、共通部分と呼ばれます。

要するに定義2：

たとえば、 , 、それから , .

セットは幾何学的形状として表すことができ、セットの操作を視覚的に示すことができます。この方法は、論理的推論の分析のためにLeonard Euler（1707–1783）によって提案され、広く使用され、英国の数学者John Venn（1834–1923）の作品でさらに開発されました。したがって、そのような図面はと呼ばれます オイラー-ベン図.

和集合と集合の共通部分の操作は、次のようにオイラー-ベン図で説明できます。

-影付きの部分。 -影付きの部分。

セットの任意のコレクションの和集合と共通部分を定義できます。ここで、はインデックスのセットです。

意味。 統合セットのセットは、それらすべてとそれらの要素のみで構成されるセットであり、各要素は少なくとも1つのセットに属します。

意味。 交差点セットのセットは、それらすべてとそれらの要素のみで構成されるセットであり、各要素はいずれかのセットに属します。

たとえば、インデックスのセットが有限である場合、、この場合、集合の集合の和集合と共通部分を示すために、通常は次の表記を使用します。

と .

たとえば、 , , 、それから、。

集合の和集合と共通部分の概念は、学校の数学のコースで繰り返し遭遇します。

例1。沢山の NS不等式のシステムに対する解決策

このシステムの各不等式に対する解のセットの共通部分です。

例2。沢山の NSシステムソリューション

は、このシステムの各不等式の解集合の共通部分です。最初の方程式の解のセットは、直線の点のセットです。 ..。沢山の。セットは、1つの要素（線の交点）で構成されます。

例3。方程式の解のセット

どこは、各方程式の解のセットの和集合です。

定義3。 違いセットとセットと呼ばれ、で示され、すべての要素と、属しているが属していない要素のみで構成されています。 .–影付きの部分。 ..。和集合、共通部分、補集合の演算を使用します。結果の数学的構造はと呼ばれます 集合の代数また セットのブール代数（アイルランドの数学者および論理学者のGeorge Boole（1816-1864）を含む）。任意のセットのすべてのサブセットのセットを示し、それを呼び出しましょう ブール値セット。

以下にリストされている等式は、すべてのサブセットに有効です。 A、B、Cユニバーサルセット U。したがって、それらは呼ばれます 集合の代数の法則。

数学的分析は、微小関数のアイデアに基づいて関数の研究を扱う数学の一分野です。

数学的分析の基本的な概念は次のとおりです。 値、集合、関数、微小関数、極限、導関数、積分。

マグニチュード数値で測定および表現できるものはすべてと呼ばれます。

多くのいくつかの共通の機能によって統合されたいくつかの要素のセットと呼ばれます。セットの要素は、数字、図、オブジェクト、概念などです。

セットは大文字で示され、要素は小文字の倍数で示されます。セット要素は中括弧で囲まれています。

要素の場合 NSセットに属する NS次に書く NS∈NS (∈ -所属）。
セットAがセットBの一部である場合は、次のように記述します。 A⊂B (⊂ -含む）。

セットは、列挙と定義プロパティの使用の2つの方法のいずれかで指定できます。

たとえば、次のセットは列挙によって指定されます。

A =（1,2,3,5,7）-一連の数値
X =（x 1、x 2、...、x n）-いくつかの要素のセットx 1、x 2、...、x n
N =（1,2、...、n）-自然数のセット
Z =（0、±1、±2、...、±n）-整数のセット

セット（-∞; +∞）は呼び出されます 数直線、および任意の数がこの線のポイントです。 aを数直線上の任意の点とし、δを正の数とします。区間（a-δ; a +δ）は次のように呼ばれます δ-点aの近傍.

集合Xは、任意のx∈Xに対して不等式x≤с（x≥c）が成り立つような数cがある場合、上（下）に有界です。この場合の数cはと呼ばれます 上（下）エッジセットX。上と下の両方に囲まれたセットはと呼ばれます限定..。セットの上限（下限）の最小（最大）はと呼ばれます 正確な上端（下端）このセット。

基本番号セット

NS	（1,2,3、...、n）すべてのセット
Z	（0、±1、±2、±3、...）セット整数。整数のセットには、多くの自然数が含まれています。
NS	沢山の有理数. 整数に加えて、分数もあります。分数は、次の形式の式です。 NS-整数、 NS- ナチュラル。小数は次のように書くこともできます。例：0.25 = 25/100 = 1/4。整数はとして書くこともできます。たとえば、分母が「1」の分数として：2 = 2/1。したがって、任意の有理数は、もちろん小数または無限周期として書くことができます。
NS	すべての多く実数. 無理数は無限の非周期的な分数です。これらには以下が含まれます：一緒に、2つのセット（有理数と無理数）-実数（または実数）のセットを形成します。

セットに要素が含まれていない場合は、呼び出されます 空集合記録されます Ø .

論理記号の要素

表記∀x：| x |<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Quantor

数量詞は、数式を書くときによく使用されます。

数量詞は、次の要素を定量的に特徴付ける論理記号です。

∀- 一般性数量詞は、「for all」、「forany」という単語の代わりに使用されます。
∃- 存在記号「exists」、「is」という単語の代わりに、が使用されます。 1つしかないので読まれる文字の組み合わせ∃！も使われています。

セット操作

二 セットAとBは等しい（A = B）それらが同じ要素で構成されている場合。
たとえば、A =（1,2,3,4）、B =（3,1,4,2）の場合、A = Bです。

統合（合計）セットAとBはセットA∪Bと呼ばれ、その要素はこれらのセットの少なくとも1つに属します。
たとえば、A =（1,2,4）、B =（3,4,5,6）の場合、A∪B=（1,2,3,4,5,6）

交差点（製品）セットAとセットBはセットA∩Bと呼ばれ、その要素はセットAとセットBの両方に属します。
たとえば、A =（1,2,4）、B =（3,4,5,2）の場合、A∩B=（2,4）

違いセットAとBはセットABと呼ばれ、その要素はセットAに属しますが、セットBには属しません。
たとえば、A =（1,2,3,4）、B =（3,4,5）の場合、AB =（1,2）

対称差セットAとBは、セットAΔBと呼ばれます。これは、セットABとBAの差の和集合です。つまり、AΔB=（AB）∪（BA）です。
たとえば、А=（1,2,3,4）、B =（3,4,5,6）の場合、АΔВ=（1,2）∪（5,6）=（1,2、 5、6）

セットの操作のプロパティ

順列特性

A∪B=B∪A
A∩B=B∩A

組み合わせ特性

（A∪B）∪C=A∪（B∪C）
（A∩B）∩C=A∩（B∩C）

可算集合と非可算集合

任意の2つのセットAとBを比較するために、それらの要素間に対応が確立されます。

この対応が1対1の場合、セットは同等または同等、ABまたはBAと呼ばれます。

例1

脚BCの点のセットと三角形ABCの斜辺ACは等しい力です。

理論

セットの概念には2つの主要なアプローチがあります- ナイーブと公理集合論。

公理的集合論

今日、集合はZFC公理（ツェルメロ-選択公理を持つフレンケル公理）を満たすモデルとして定義されています。このアプローチでは、いくつかの数学的理論には、集合ではないオブジェクトのコレクションがあります。このようなコレクションは、（異なる順序の）クラスと呼ばれます。

セットの要素

セットを構成するオブジェクトは呼び出されます セットの要素またはセットのポイントによって。セットは、ほとんどの場合、ラテンアルファベットの大きな文字で示され、その要素は小さな文字で示されます。 aが集合Aの要素である場合、a∈Aを記述します（aはAに属します）。 aが集合Aの要素でない場合は、a∉Aを記述します（そしてAに属しません）。

ある種のセット

順序集合は、順序関係が指定されている集合です。
セット（具体的には、順序対）。単なるセットとは異なり、括弧内に記述されています:( x 1、x 2、x 3、..。）、および要素を繰り返すことができます。

階層別：

セットのセットサブセットスーパーセット

制限により：

セット操作

文学

ストールR.R.セット。ロジック。公理理論。 -M 。：教育、1968 .-- 232p。

も参照してください

ウィキメディア財団。 2010年。

他の辞書の「SetElement」が何であるかを確認してください。

セットの要素--- [L.G。スメンコ。情報技術の英語ロシア語辞書。 M。：GP TsNIIS、2003。]セットの要素他の同様のオブジェクトと一緒にセットを構成する任意の性質のオブジェクト。多くの場合、用語の代わりに、......の要素

セットの要素-他の同様のオブジェクトと一緒にセットを構成する任意の性質のオブジェクト。多くの場合、この意味での要素という用語の代わりに、「セットのポイント」、「セットのメンバー」などを使用します。......。

数学では、特定のオブジェクトのコレクションを設定します。これらのオブジェクトはセットメンバーと呼ばれます。要素の数は、無限または有限、あるいはゼロにすることができます（空のセット内の要素の数は0で示されます）。各… … 科学的および技術的な百科事典の辞書

エレメント-一般化された用語。関連する条件に応じて、表面、線、点として理解できます。注1.要素は、サーフェス（サーフェスの一部、複数のサーフェスの対称面）、線（プロファイル..。テクニカル翻訳ガイド

何かの一部。この単語の考えられる語源の1つは、ラテン文字のL、M、N（el em en）の子音の名前です。要素（哲学）要素は、旗、旗、標準の必須の付属品です。セットの要素エレメンタリー......ウィキペディア

エレメント-複雑な全体の主要な（この研究ではモデル）コンポーネント。 Set Element、System Element ..を参照してください。経済学と数学の辞書

集合論は、数学、特に集合論の重要な対象の1つです。「セットとは、私たちの直感または思考の特定の完全に区別可能なオブジェクトの1つの全体への統合を意味します」（G.Kantor）。完全ではありません......ウィキペディア

エレメント--02.01.14要素（文字記号または記号）：バーコード記号内の単一のストロークまたはスペース、またはマトリックス記号内の単一の多角形または円形セル。記号記号を形成します... .. .. 辞書-規範的および技術的文書の用語の参考書

NS; m。[緯度から。元素元素、元の物質] 1。その一部l。; 成分。全体を要素に分解します。文化の要素は何ですか？ eの性質。製造。その構成要素l。 //典型的な動き、1つ......。百科事典辞典

セットの概念は、数学の公理的概念を指します。

意味..。セットとは、要素のセット、グループ、コレクションであり、それらすべてに共通のプロパティまたは機能があります。

指定：A、B。

意味..。 2つのセットAとBは、それらが同じ要素で構成されている場合にのみ等しくなります。 A = B。

表記a∈A（a∉A）は、aが集合Aの要素である（ではない）ことを意味します。

意味..。要素を含まないセットは空と呼ばれ、∅で示されます。

通常、特定のケースでは、検討中のすべてのセットの要素は、1つの十分に広いセットUから取得されます。これは、 ユニバーサルセット.

セットのカーディナリティ| M |として表されます ..。
コメント ：有限集合の場合、カーディナリティは要素の数です。

意味..。場合| A | = | B | 、その後、セットが呼び出されます同等.

セットの操作を説明するために、以下がよく使用されます オイラー-ベン図..。ダイアグラムの構成は、ユニバーサルセットUを表す大きな長方形の画像と、その内部（セットを表す円）で構成されています。

次の操作がセットで定義されています。

ユニオンА∪В：=（х/х∈А∨х∈В）

交差点А∩В：=（х/х∈А＆х∈В）

違いА\В：=（х/х∈А＆х∈В）

補数AU \ A：=（x / x U＆x∉A）

タスク1.1。 与えられた：a）A、B⊆Z、A =（1; 3; 4; 5; 9）、B =（2; 4; 5; 10）。 b）A、B⊆R、A = [-3; 3）、B =（2; 10]。

解決。

a）A∩B=（4; 5）、A∪B=（1; 2; 3; 4; 5; 9; 10）、A \ B =（1; 3; 9）、B \ A =（2 ; 10）、B = Z \ B;

b）A∩B=（2; 3）、A∪B= [-3; 10]、A \ B = [-3,2]、B \ A =、BZ \ B =（-∞、2]∪ （10、+∞）。

1）与えられた：a）A、B⊆Z、A =（1; 2; 5; 7; 9; 11）、B =（1; 4; 6; 7）。

b）A、B⊆R、A = [-3; 7）、B = [-4; 4]。

検索：A∩B、A∪B、A \ B、B \ A、B。

2）与えられた：a）A、B⊆Z、A =（3; 6; 7; 10）、B =（2; 3; 10; 12）。

b）A、B⊆R、A =。

検索：A∩B、A∪B、A \ B、B \ A、B。

3）与えられた：a）A、B⊆Z、A =（1; 2; 5; 7; 9; 11）、B =（1; 4; 6; 7）。

b）A、B⊆R、A =。

4）与えられた：a）A、B⊆Z、A =（0; 4; 6; 7）、B =（-3; 3; 7）。

b）A、B⊆R、A = [-15; 0）、B = [-2; 1]。

検索：A∩B、A∪B、A \ B、B \ A、A。

5）与えられた：a）A、B⊆Z、A =（0; 9）、B =（-6; 0; 3; 9）。

b）A、B⊆R、A = [-10; 5）、B = [-1; 6]。

検索：A∩B、A∪B、A \ B、B \ A、B。

6）与えられた：a）A、B⊆Z、A =（0; 6; 9）、B =（-6; 0; 3; 7）。

b）A、B⊆R、A = [-8; 3）、B =。

検索：A∩B、A∪B、A \ B、B \ A、B。

7）与えられた：a）A、B⊆Z、A =（-1; 0; 2; 10）、B =（-1; 2; 9; 10）。

b）A、B⊆R、A = [-10; 9）、B = [-5; 15]。

検索：A∩B、A∪B、A \ B、B \ A、B。

8）与えられた：a）A、B⊆Z、A =（1; 2; 9; 37）、B =（-1; 1; 9; 11; 15）。

b）A、B⊆R、A = [-8; 1）、B = [-5; 7]。

検索：A∩B、A∪B、A \ B、B \ A、B。

9）与えられた：a）A、B⊆Z、A =（-1; 0; 9; 17）、B =（-1; 1; 9; 10; 25）。

b）A、B⊆R、A = [-4; 9）、B = [-5; 7]。

検索：A∩B、A∪B、A \ B、B \ A、B。

10）与えられた：a）A、B⊆Z、A =（1; 7; 9; 17）、B =（-2; 1; 9; 10; 25）。

b）A、B⊆R、A =。

検索：A∩B、A∪B、A \ B、B \ A、A。

タスク1.1。オイラー-ベン図を使用して、アイデンティティを証明します。

A \（B \ C）=（A \ B）∪（A∩C）。

解決。

ベン図を作成しましょう。

等式の左側を図a）に、右側を図b）に示します。図から、この関係の左側と右側の同等性は明らかです。

独立したソリューションのタスク

オイラー-ベン図を使用して、アイデンティティを証明します。

1）A \（B∪C）=（A \ B）∩（A \ C）;

2）A∪（B \ C）=（A∩B）\ C;

3）A∪（B \ C）=（A∩B）\（A∩C）;

4）（A \ B）\ C =（A \ B）\（B \ C）;

5）（A \ B）\ C =（A \ B）∪（A∩C）;

6）A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）;

7）（A∩B）\（A∩C）=（A∩B）\ C;

8）A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）;

9）（A∪B）\ C =（A \ C）∪（B \ C）

10）A∪（A∩B）=A∪B

タスク1.3。 文学の授業で、教師はクラスの40人の生徒のうちどれが本A、B、Cを読んだかを調べることにしました。調査の結果は次のとおりです。本Aは25人の生徒によって読まれました。本Bは22人の学生によって読まれました。本Cは22人の学生によって読まれました。本AまたはBは33人の学生によって読まれました。本AまたはCは32人の学生によって読まれました。本BまたはCは31人の学生によって読まれました。すべての本は10人の学生によって読まれました。決定：1）何人の生徒が本Aだけを読んだことがありますか？

2）何人の生徒が本Bだけを読んでいますか？

3）何人の生徒が本Cだけを読んだことがありますか？

4）何人の生徒が1冊の本しか読んでいませんか？

5）少なくとも1冊の本を読んだ生徒は何人いますか？

6）何人の学生が一冊の本を読んでいませんか？

解決。

Uをクラスの生徒のセットとします。それで

| U | = 40、| A | = 25、| B | = 22、| C | = 22、|A∪B| = 33、|A∪C| = 32、|B∪C| = 31、|A∩B∩C| = 10

問題を説明してみましょう。

少なくとも1冊の本を読んだ学生のセットを7つのサブセットk1、k 2、k 3、k 4、k 5、k 6、k 7に分割します。ここで、

k1-本Aのみを読んだ学生のセット。

k3-本Bのみを読んだ学生のセット。

k7-本Cのみを読んだ学生のセット。

k 2-本AとBを読んだことがあり、本Cを読んでいない学生のセット。

k 4-本AとCを読んだことがあり、本Bを読んでいない学生のセット。

k 6-本BとCを読んだことがあり、本Aを読んでいない学生のセット。

k 5は、本A、B、Cを読んだ生徒のセットです。

これらのサブセットのそれぞれのカーディナリティを計算してみましょう。

| k 2 | = |A∩B|-|A∩B∩C|; | k 4 | = |A∩C|-|A∩B∩C|;

| k 6 | = |B∩C| -|A∩B∩C|; | k 5 | = |A∩B∩C|。

次に| k 1 | = | A | -| k 2 | -| k 4 | -| k 5 |、| k 3 | = | B | -| k 2 | -| k 6 | -| k 5 |、| k 7 | = | C | -| k 6 | -| k | -| k 5 |。

検索|A∩B|、|A∩C|、|B∩C|。

|A∩B| = | A | + | B | -|A∩B| = 25 + 22-33 = 14

|A∩C| = | A | + | C | -|A∩C| = 25 + 22-32 = 15

|B∩C| = | B | + | C | -|B∩C| = 22 + 22-31 = 13。

次に、k 1 = 25-4-5-10 = 6; k 3 = 22-4-3-10 = 5; k 7 = 22-5-3-10 = 4;

|A∪B∪C| = |A∪B| + | C | -|（A∪B）∪C| ..。

図から明らかなのは| C | -|（A∪B）∪C| = | k 7 | = 4、次に|A∪B∪C| = 33 + 4 = 37-少なくとも1冊の本を読んだ学生の数。

クラスには40人の生徒がいるため、3人の生徒は1冊の本を読んでいません。

答え：

6人の生徒は本Aしか読んでいません。
5人の生徒は本Bのみを読みます。
4人の生徒が本Cのみを読みます。
15人の生徒が1冊の本しか読んでいません。
37人の生徒がA、B、Cから少なくとも1冊の本を読みました。
3人の生徒が1冊の本を読んでいません。

独立したソリューションのタスク

1）その週、映画A、B、Cが映画館で上映されました。 40人の学生はそれぞれ、3本すべての映画または3本のうちの1本を見ました。映画 NS 13人の学童を見た。映画 NS 16人の学童を見た。映画 NS 19人の学童を見た。何人の学童が1本の映画しか見たことがありませんか？

2）国際会議には120名が参加しました。これらのうち、60人がロシア語、48人が英語、32人がドイツ語、21人がロシア語と英語、19人が英語とドイツ語、15人がロシア語とドイツ語、10人が3つの言語すべてを話します。これらの言語を話さない会議参加者は何人いますか？

3）20人の学校チームがスポーツ大会に参加します。各大会には、陸上競技、水泳、体操の3つのスポーツのうちの1つ以上のスポーツカテゴリがあります。そのうち12は陸上競技、10は体操、5は水泳のカテゴリーがあることが知られています。 2人が陸上競技と水泳、4人が陸上競技と体操、2人が水泳と体操のカテゴリを持っている場合、このチームからすべてのスポーツのカテゴリを持つ学童の数を決定します。

4）100人の学生を対象にした調査では、さまざまな外国語を勉強している学生の数について次の結果が得られました。ドイツ語-30; フランス語-42; スペイン語とドイツ語-8; スペイン語とフランス語-10; ドイツ語とフランス語-5; 3つの言語すべて-3。フランス語を学んでいる場合に限り、ドイツ語を学んでいる学生は何人いますか？ 5）100人の学生を対象にした調査では、さまざまな外国語を勉強している学生の数に関する次のデータが明らかになりました。スペイン語ではなくドイツ語-23; ドイツ語とフランス語-8; ドイツ語-26; フランス語-48; フランス語とスペイン語-8; 言語なし-24。ドイツ語とスペイン語を勉強している学生は何人いますか？

6）100人の学生の調査に関するレポートでは、異なる言語を勉強している学生の数は次のとおりであると報告されました：3つの言語すべて-5; ドイツ語とスペイン語-10; フランス語とスペイン語-8; ドイツ語とフランス語-20; スペイン語-30; ドイツ語-23; フランス語-50。このレポートを提出した検査官は解雇されました。どうして？

7）国際会議には100人が参加した。これらのうち、42人はフランス語、28人は英語、30人はドイツ語、10人はフランス語と英語、8人は英語とドイツ語、5人はフランス語とドイツ語、3人は3つの言語すべてを話します。これらの言語を話さない会議参加者は何人いますか？

8）大学でコンピュータサイエンスを勉強している1年生は、追加の分野に参加できます。今年は、そのうち25人が会計を学び、27人がビジネスを選び、12人が観光を選びました。さらに、会計とビジネスのコースを受講している学生は20人、会計と観光を勉強している学生は5人、観光とビジネスを勉強している学生は3人でした。一度に3つの追加コースに参加する学生は誰もいなかったことが知られています。少なくとも1つの追加コースに参加した学生は何人ですか？
9）40人の学生が応募者のための数学オリンピックに参加しました。彼らは、代数、幾何学、三角法の1つの問題を解決するように求められました。代数の問題は、幾何学で20人、三角法で18人、18人で解決されました。代数と幾何学の問題は7人、代数と三角法の問題は8人、幾何学と三角法の問題は9人で解決しました。 3人で問題なく解決しました。 2つの問題だけを解決した生徒は何人いますか？

10）クラスには40人の生徒がいます。これらのうち、19人がロシア語でトリプレットを持ち、17人が数学で、22人が物理学です。 4人の生徒は1つのロシア語のみでトリプレットを持っており、4人は数学のみ、11人は物理学のみです。 5人の学生がロシア語、数学、物理学のトリプルを持っています。 7人は数学と物理学のトリプルを持っています。 3つの科目のうち2つにCを持っている学生は何人いますか？

沢山のは、1つの全体と見なされるオブジェクトのコレクションです。セットの概念は基本的なものと見なされます。つまり、他の概念に還元することはできません。特定のセットを構成するオブジェクトは、その要素と呼ばれます。要素間の基本的な関係 NSセットを含む NS（として示される NSセットの要素です NS; また NS所属 NS、また NS含まれています NS）。もしも NSセットのメンバーではありません NS、そして彼らは書く（ NSに含まれていません NS, NS含まれていません NS）。セットは、そのすべての要素を指定することで指定できます。この場合、中括弧が使用されます。そう（ NS, NS, NS）は、3つの要素のセットを示します。無限集合の場合にも同様の表記法が使用され、書き込まれていない要素は省略記号に置き換えられます。したがって、自然数のセットは（1、2、3、...）で表され、偶数のセットは（2、4、6、...）で表され、最初の場合の省略記号はすべて自然数を意味します数字、そして2番目に-偶数のみ。

2セット NSと NSと呼ばれる同等それらが同じ要素で構成されている場合、つまり NS所属 NSそして、逆に、各要素 NS所属 NS..。それから彼らは書く NS = NS..。したがって、セットはその要素によって一意に決定され、これらの要素の書き込み順序に依存しません。たとえば、3つの要素のセット NS, NS, NS 6種類の録音が可能です。

{NS, NS, NS} = {NS, NS, NS} = {NS, NS, NS} = {NS, NS, NS} = {NS, NS, NS} = {NS, NS, NS}.

正式な便宜上、いわゆる「空集合」、つまり単一の要素を含まない集合も導入されています。記号0で示されることもあります（記号の意味は毎回明確であるため、数字のゼロの指定と一致しても混乱は生じません）。

セットの各要素の場合 NS多くに含まれています NS、それから NSサブセットと呼ばれる NS、 NS NSスーパーセットと呼ばれる NS..。彼らは書きます（ NSに含まれています NSまた NSに含まれた NS, NS含まれています NS）。明らかに、もしそして、そして、 NS = NS..。空のセットは、定義上、任意のセットのサブセットと見なされます。

セットの各要素の場合 NSに含まれています NSでもたくさん NSに含まれていない要素が少なくとも1つ含まれている NS、つまり、if and、then NSと呼ばれる 独自のサブセット NS、 NS NS - 独自のスーパーセット NS..。この場合、書き込みます。たとえば、表記とは同じことを意味します。つまり、セット NS空ではありません。

要素を区別する必要があることにも注意してください NSとセット（ NS）含む NS唯一のアイテムとして。この違いは、要素とセットが異なる役割を果たしているという事実（関係は対称的ではない）だけでなく、矛盾を回避する必要性によっても決定されます。だからしましょう NS = {NS, NS）には2つの要素が含まれています。セットを検討してください（ NS）その唯一の要素としてセットを含む NS..。それで NS 2つの要素が含まれていますが、（ NS）は1つの要素にすぎないため、これら2つのセットを識別することはできません。したがって、録音を使用するのではなく、録音を使用することをお勧めします。