強制振動。共振。強制振動強制振動ができる

システムが非減衰振動を行うためには、外部からの摩擦による振動エネルギーの損失を補償する必要があります。システムの振動エネルギーが減少しないようにするために、通常、システムに周期的に作用する力が導入されます (このような力を強制と呼び、振動は強制されます)。

意味: 強制的これらは、周期的に変化する外部力の影響下で振動系で発生する振動です。

この力は通常、次の 2 つの役割を果たします。

まず、システムを揺動させ、一定量のエネルギーを供給します。

第二に、抵抗と摩擦の力に打ち勝つために、エネルギー損失 (エネルギー消費) を定期的に補充します。

原動力が法則に従って時間の経過とともに変化するとします。

このような力の影響下で振動するシステムの運動方程式を作成してみましょう。システムは準弾性力と媒体の抵抗力にも影響を受けると仮定します (これは小さな振動の仮定の下では当てはまります)。

この場合、システムの運動方程式は次のようになります。

または .

システムの振動の固有周波数、、 - を代入すると、2 次の不均一線形微分方程式が得られます。

微分方程式の理論から、不均一方程式の一般解は、均一方程式の一般解と不均一方程式の特定の解の和に等しいことが知られています。

同次方程式の一般解は既知です。

どこ ; ある 0とある- 任意の定数。

ベクトル図を使用すると、この仮定が正しいことを確認でき、「」の値も決定できます。ある" そして " j”.

振動の振幅は次の式で求められます。

意味 " j”、これは強制発振の位相遅れの大きさです。それを決定した駆動力から、ベクトル図からも決定され、次のようになります。

最後に、不均一方程式に対する特定の解は次の形式になります。

(8.18)

この機能を組み合わせると、

(8.19)

は、強制振動下でのシステムの動作を記述する不均一微分方程式の一般的な解を与えます。項 (8.19) は、プロセスの初期段階、いわゆる振動の確立中に重要な役割を果たします (図 8.10)。

時間の経過とともに、指数関数により、第 2 項 (8.19) の役割はますます減少し、十分な時間が経過すると、項 (8.18) のみを解に保持して無視できます。

したがって、関数 (8.18) は定常状態の強制振動を記述します。これらは、駆動力の周波数と等しい周波数の調和振動を表します。強制振動の振幅は駆動力の振幅に比例します。特定の振動システム (w 0 および b によって定義される) の場合、振幅は駆動力の周波数に依存します。強制振動は駆動力に対して位相が遅れており、その遅れの大きさ「j」は駆動力の周波数にも依存します。

強制振動の振幅が駆動力の周波数に依存することにより、特定のシステムに対して決定された特定の周波数で振動の振幅が最大値に達するという事実が得られます。振動システムは、この周波数での駆動力の作用に特に応答することがわかります。この現象は共鳴と呼ばれ、対応する周波数は共鳴周波数.

意味：強制振動の振幅が急激に増加する現象をこう呼ぶ共振.

共振周波数は、強制振動の振幅の最大条件から決定されます。

. (8.20)

次に、この値を振幅の式に代入すると、次のようになります。

. (8.21)

中程度の抵抗が存在しない場合、共振時の振動の振幅は無限大になります。同じ条件 (b = 0) での共振周波数は、振動の固有振動数と一致します。

強制振動の振幅の駆動力の周波数（または同じことですが、振動周波数）への依存性はグラフで表すことができます（図8.11）。個々の曲線は、「b」の異なる値に対応します。「b」が小さいほど、この曲線の最大値はより高く、右にあります (w res. の式を参照)。減衰が非常に大きい場合、共振は観察されません。周波数が増加するにつれて、強制振動の振幅は単調減少します (図 8.11 の下の曲線)。

b のさまざまな値に対応する提示されたグラフのセットはと呼ばれます共鳴曲線.

ノート 共鳴曲線について:

w®0 の傾向として、すべての曲線はに等しい同じ非ゼロ値になります。この値は、システムが一定の力の影響下で受ける平衡位置からの変位を表します。 F 0 .

w®¥ の場合、すべての曲線は漸近的にゼロになる傾向があります。高周波数では、力の方向が非常に急速に変化するため、システムは平衡位置から著しく移動する時間がありません。

b が小さいほど、共振付近の振幅が周波数とともに変化し、最大値が「鋭くなり」ます。

例:

共鳴現象は、特に音響工学や無線工学において役立つことがよくあります。

摩擦力の存在による振動システムにおける機械的エネルギーの損失は避けられないため、外部からエネルギーを「汲み上げる」ことがなければ、振動は減衰します。連続振動の振動システムを作成するには、根本的に異なる方法がいくつかあります。もっと詳しく見てみましょう 外部の周期的な力の作用下での減衰しない振動。このような振動は強制振動と呼ばれます。調和振り子の動きの研究を続けましょう (図 6.9)。

前述した弾性力と粘性摩擦力に加えて、ボールは外部からの力を受けます。 説得力のある調和の法則に従って変化する周期的な力

周波数、振り子の振動の固有振動数とは異なる場合があります。 ω ああ。この場合、この力の性質は私たちにとって重要ではありません。このような力は、ボールに電荷を与え、外部の交流電場に置くなど、さまざまな方法で作り出すことができます。検討中の場合のボールの運動方程式は次の形式になります。

これをボールの質量で割って、システムパラメーターに前述の表記を使用しましょう。その結果、得られるのは 強制振動方程式:

どこ f ああ = F ああ /分− ボールの質量に対する外部駆動力の振幅値の比。方程式 (3) の一般的な解は非常に複雑で、もちろん初期条件に依存します。方程式 (3) で表されるボールの動きの性質は明らかです。駆動力の影響下で振動が発生し、その振幅が増加します。この移行体制は非常に複雑で、初期条件に依存します。一定時間が経過すると、振動モードが確立され、その振幅は変化しなくなります。その通り 発振の定常状態、多くの場合、主な関心事です。システムの定常状態への移行については考慮しませんが、このモードの特性の説明と研究に焦点を当てます。この問題の定式化では、関心のある定常状態は初期条件に依存せず、その特性は方程式自体によって完全に決定されるため、初期条件を指定する必要はありません。一定の外力と粘性摩擦力の作用下での物体の動きを研究したときに、同様の状況に遭遇しました。

しばらくすると、体は一定の一定の速度で動きます v = F ああ /β 、初期条件には依存せず、運動方程式によって完全に決定されます。初期条件は、定常運動への移行領域を決定します。常識に基づいて、定常振動モードではボールが外部駆動力の周波数で振動すると考えるのが妥当です。したがって、式(3)の解は駆動力の周波数との調和関数で求められる必要があります。まず、抵抗力を無視して式(3)を解いてみます。

調和関数の形でその解を見つけてみましょう

これを行うために、運動の法則の導関数として、物体の速度と加速度の時間依存性を計算します。

そしてそれらの値を式(4)に代入します

今、あなたはそれを減らすことができます費用。したがって、この式は、条件が満たされる限り、いつでも正しい ID に変わります。

したがって、式 (5) の形での式 (4) の解に関する仮定は正当化されました。振動の定常状態は次の関数で記述されます。

係数に注意してくださいあ結果の式 (6) によると、正の値 ( ω < ω ああ)、および負の ( ω > ω ああ）。符号の変化は、振動の位相の変化に対応します。 π (この変化の理由は少し後で明らかになります)、したがって、振動の振幅はこの係数の係数になります。 |A|。ご想像のとおり、定常状態の振動の振幅は駆動力の大きさに比例します。さらに、この振幅は駆動力の周波数に複雑に依存します。この関係を模式的にグラフ化したものを図に示します。 6.10

米。 6.10 共振曲線

式 (6) から分かるように、グラフにはっきりと示されているように、駆動力の周波数がシステムの固有周波数に近づくと、振幅が急激に増加します。この振幅の増加の理由は明らかです。周波数が完全に一致すると、確立されたモードが存在せず、「の間」駆動力がボールを押します。振幅は無限大に増加します。もちろん、実際にはそのような無限の増加を観察することは不可能です。 まず最初にこれは振動系自体の破壊につながる可能性があります。 第二に、振動の振幅が大きい場合、媒体の抵抗力は無視できません。駆動力の周波数がシステムの振動の固有周波数に近づくにつれて、強制振動の振幅が急激に増加することを共振現象と呼びます。ここで、抵抗力を考慮した強制振動の方程式の解の探索に進みましょう。

当然、この場合も駆動力の周波数との調和関数として解を求める必要がある。この場合、(5) の形式で解決策を探しても成功しないことが簡単にわかります。実際、方程式 (4) とは異なり、方程式 (8) には、正弦関数で表される粒子速度が含まれています。したがって、式 (8) の時間部分は減りません。したがって、式 (8) の解は調和関数の一般形式で表される必要があります。

パラメータが 2 つありますあああそして φ は式 (8) を使用して見つける必要があります。パラメータあああは強制振動の振幅、 φ − 変化する座標と可変駆動力の間の位相シフト。和の余弦を表す三角関数の公式を使用すると、関数 (9) は等価な形式で表すことができます。

これには 2 つのパラメータも含まれています B=A ああ cosφそして C = −A ああ sinφ決断される。関数 (10) を使用して、粒子の速度と加速度の時間依存性を表す明示的な式を作成します。

そして式 (8) に代入します。

この式を次の形式に書き換えてみましょう

等式 (13) が常に満たされるためには、コサインとサインの係数がゼロに等しい必要があります。この条件に基づいて、関数 (10) のパラメーターを決定するための 2 つの一次方程式が得られます。

この方程式系の解は次の形式になります。

式(10)に基づいて、強制振動の特性: 振幅を決定します。

位相シフト

低減衰では、駆動力の周波数が近づくにつれて、この依存性は急激に最大になります。 ω システムの固有振動数に合わせて ω ああ。したがって、この場合、共振も発生する可能性があるため、プロットされた依存関係は共振曲線と呼ばれることがよくあります。弱い減衰を考慮すると、振幅が無限大まで増加しないことがわかり、その最大値は減衰係数に依存します。減衰係数が増加すると、最大振幅は急速に減少します。結果として生じる振動振幅の駆動力の周波数への依存性 (16) には、あまりにも多くの独立したパラメーターが含まれています ( f ああ , ω ああ , γ ) 共鳴曲線の完全なファミリーを構築するために。多くの場合と同様、この関係は「無次元」変数に移行することで大幅に簡素化できます。式(16)を次の形に変形してみましょう。

と示します

− 相対周波数（システムの振動の固有振動数に対する駆動力の周波数の比）。

− 相対振幅（偏差値に対する発振振幅の比）あああ = f/ω ああ 2 ゼロ周波数で);

− 減衰量を決定する無次元パラメータ。これらの表記を使用すると、関数 (16) が大幅に簡略化されます。

パラメータが1つだけ含まれているため- δ 。関数 (16 b) で記述される 1 パラメータ群の共鳴曲線は、特にコンピュータを使用して簡単に構築できます。この構築の結果を図に示します。 629.

米。 6.11

「従来の」測定単位への移行は、座標軸のスケールを変更するだけで実行できることに注意してください。強制振動の振幅が最大となる駆動力の周波数も減衰係数に依存し、減衰係数が増加するにつれてわずかに減少することに注意してください。最後に、減衰係数の増加は共振曲線の幅の大幅な増加につながることを強調します。結果として生じる点の振動と駆動力との間の位相シフトは、振動の周波数とその減衰係数にも依存します。強制振動の過程でのエネルギー変換を考えるとき、この位相シフトの役割についてさらに詳しくなるでしょう。

自由非減衰振動の周波数は固有振動数と一致し、減衰振動の周波数は自然振動数よりわずかに低く、強制振動の周波数は固有振動数ではなく駆動力の周波数と一致します。

強制電磁振動

強制これらは、外部の周期的な影響の影響下で振動系で発生する振動です。

図6.12。強制電気振動を伴う回路

電気振動回路で起こるプロセスを考えてみましょう ( 図6.12)、外部ソースに接続されており、その起電力は高調波の法則に従って変化します。

どこ  メートル– 外部起電力の振幅、

 – EMF の周期周波数。

で表しましょう U Cコンデンサ両端の電圧およびコンデンサを通過する電圧私 - 回路内の電流の強さ。この回路では、可変EMFに加えて、  (t) 自己誘起起電力もアクティブです  Lインダクタの中で。

自己誘導起電力は回路内の電流の変化率に正比例します。

引き出し用 強制振動の微分方程式このような回路で生じる場合、キルヒホッフの 2 番目の法則を使用します。

アクティブ抵抗両端の電圧 Rオームの法則で求める

電流の強さは、導体の断面を単位時間あたりに流れる電荷に等しい

したがって、

電圧 U Cコンデンサの電荷はコンデンサのプレートの電荷に直接比例します

自己誘導起電力は、時間に対する電荷の二次導関数によって表すことができます。

電圧と起電力をキルヒホッフの第 2 規則に代入する

この式の両辺を次のように割ると、 Lそして、微分の降順の次数に従って項を分配すると、2階微分方程式が得られます。

次の表記法を導入して、

– 減衰係数、

– 回路の固有振動の周期周波数。

. (1)

式(1)は 異質な 2階の線形微分方程式。このタイプの方程式は、外部の周期的な影響 (外部起電力または外部力) の影響下での幅広い種類の振動システム (電気的、機械的) の動作を記述します。

方程式 (1) の一般解は、次の一般解で構成されます。 q 1 同種の微分方程式 (2)

(2)

および民間のソリューション q 2 異質な方程式(1)

一般的なソリューションの種類 同種の式(2)は減衰係数の値に依存します  。弱い減衰の場合に注目します  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

どこ Bそして  0 – 初期条件で指定された定数。

解決策 (3) は、回路内の減衰振動を説明します。 (3)に含まれる値:

– 減衰振動の周期周波数。

– 減衰振動の振幅。

減衰振動の – 位相。

周波数に等しい周波数で発生する調和振動の形で式 (1) の特定の解を探します。  外部の周期的な影響 - EMF、および位相の遅れ  彼から

どこ
– 周波数に応じた強制振動の振幅。

(1)に(4)を代入して恒等式を求めましょう

振動の位相を比較するには、三角関数の換算公式を使用します。

次に、方程式は次のように書き換えられます。

結果として得られる恒等式の左側の振動を次の形式で表してみます。 ベクトル図 (米.6.13)..

静電容量の振動に対応する第 3 項と、位相を持つ (  t –  ) と振幅
、それを右向きの水平ベクトルとして表します。

図6.13。ベクトル図

左側の最初の項は、インダクタンスの振動に対応します。 L、ベクトル図上では、水平方向に左に向かうベクトルとして描画されます (その振幅
).

抵抗の振動に対応する第 2 項 R、それを垂直上向きのベクトル (その振幅) として表します。
)、その位相は第 1 項の位相より /2 遅れているためです。

等号の左側にある 3 つの振動の合計は調和振動を与えるため、
の場合、図上のベクトル和 (長方形の対角線) は振幅のある振動を示します。そして位相  t、オンになっています  第 3 項の発振位相を進めます。

ピタゴラスの定理を使用して、直角三角形から振幅を見つけることができます。あ( )

(5)

そして tg 隣接する辺に対する反対側の辺の比率として。

. (6)

したがって、(5)と(6)を考慮した解(4)は次の形になります。

. (7)

微分方程式の一般解(1) は合計です q 1と q 2

. (8)

式 (8) は、回路が周期的な外部 EMF にさらされると、回路内で 2 つの周波数の発振が発生することを示しています。外部EMFの周波数による非減衰振動  周波数による減衰振動
。減衰振動の振幅
時間の経過とともに、それは無視できるほど小さくなり、回路には強制振動のみが残り、その振幅は時間に依存しません。したがって、定常状態の強制振動は関数 (4) で記述されます。つまり、外部影響の周波数と振幅に等しい強制高調波発振が回路内で発生します。
、この周波数に応じて ( 米。 3あ）法律（5）に従って。この場合、強制発振の位相はだけ遅れます。  強制的な影響から。

式(4)を時間で微分すると、回路内の電流の強さがわかります。

どこ
– 電流振幅。

現在の強さを表すこの式を次の形式で書いてみましょう。

, (9)

どこ
–電流と外部起電力間の位相シフト.

(6)に従い、米。 2

. (10)

この式から、抵抗が一定の場合、電流と外部起電力の間の位相シフトは依存することがわかります。 R、駆動起電力の周波数との関係から  と回路の固有周波数  0 .

もし  <  0、電流と外部EMFの間の位相シフト  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

もし  >  0 の場合  > 0. 電流変動は EMF 変動より位相が角度だけ遅れます。  .

もし  =  0 (共鳴周波数）、それ  = 0、つまり、電流の強さと起電力は同じ位相で振動します。

共振– これは、外部の駆動力の周波数が振動系の固有周波数と一致したときに、振動の振幅が急激に増加する現象です。

共鳴時  =  0と発振周期

減衰係数を考慮すると、

共鳴時の品質係数の式を取得します。 T = T 0

向こう側に

共振時のインダクタンスとキャパシタンスの両端の電圧振幅は、回路の品質係数を通じて表現できます。

, (15)

. (16)

(15) と (16) から、次のことが明らかです。  =  0、コンデンサとインダクタンスの両端の電圧振幅 Q外部起電力の振幅よりも大きくなります。これはシーケンシャルの特性です RLC回路は特定の周波数の無線信号を分離するために使用されます。
無線受信機を再構築するときに、無線周波数スペクトルから測定します。

練習中 RLC回路は、追加の減衰をもたらす他の回路、測定器、または増幅装置に接続されています。 RLC回路。したがって、負荷の品質係数の実際の値は、 RLC回路は、次の式で推定される品質係数の値よりも低いことが判明します。

品質係数の実際の値は次のように推定できます。

図6.14。共振曲線から品質係数を決定する

ここで f– 振幅が最大値の 0.7 である周波数の帯域幅 ( 米。 4).

コンデンサ電圧 U C、アクティブ抵抗について U Rそしてインダクタについて U Lそれぞれ異なる周波数で最大値に達します

,
,
.

減衰が小さい場合  0 >>  の場合、これらすべての周波数は実質的に一致し、次のように仮定できます。

1. バネ振り子の振動中にどのようなエネルギー変換が起こるかを調べてみましょう (図 80 を参照)。ばねが伸びると、その位置エネルギーは増加し、最大伸び時には次の値になります。 E n = 。

荷重が平衡位置に向かって移動すると、ばねの位置エネルギーが減少し、荷重の運動エネルギーが増加します。平衡位置では、負荷の運動エネルギーは最大になります E k = であり、ばねの位置エネルギーはゼロです。

ばねが圧縮されると、その位置エネルギーが増加し、負荷の運動エネルギーが減少します。最大圧縮時、ばねの位置エネルギーは最大となり、荷重の運動エネルギーはゼロになります。

摩擦力を無視すると、どの瞬間においても、位置エネルギーと運動エネルギーの合計は変化しません。

E = E n+ E k = 定数。

摩擦力が存在すると、この力に抗して仕事をするためにエネルギーが消費され、振動の振幅が減少し、振動は消滅します。

したがって、エネルギーの初期供給によって発生する振り子の自由振動は、常に 色褪せ.

2. 時間の経過とともに変動が止まらないようにするためには何をする必要があるかという疑問が生じます。明らかに、減衰のない発振を得るには、エネルギー損失を補償する必要があります。これはさまざまな方法で実行できます。そのうちの 1 つを考えてみましょう。

ブランコを常に押す、つまり何らかの力を加えていれば、ブランコの振動は消えないことはよく知られています。この場合、スイングの振動はもはや自由ではなく、外力の影響下で発生します。この外力の働きにより、摩擦によるエネルギー損失が的確に補われます。

外力が何であるかを調べてみましょう。力の大きさと方向が一定であると仮定します。明らかに、この場合、体は平衡位置を通過しても平衡位置に戻らないため、振動は停止します。したがって、外力の大きさと方向は周期的に変化する必要があります。

したがって、

強制振動は、周期的に変化する外部の力の影響下で発生する振動です。

強制振動は、自由振動とは異なり、あらゆる周波数で発生する可能性があります。 強制振動の周波数は、物体に作用する力の変化の周波数に等しく、この場合はこう呼ばれます 強制する。

3. 実験をしてみましょう。ラックに固定されたロープから、長さの異なるいくつかの振り子を吊り下げます（図82）。振り子を変えましょうあ平衡位置から放っておいてください。自由に振動し、ロープに周期的な力が作用します。ロープは残りの振り子に作用します。その結果、すべての振り子が振り子の振動周波数で強制振動を開始します。あ.

すべての振り子が振り子の振動の周波数と同じ周波数で振動し始めることがわかります。あ。ただし、振り子を除いた振動の振幅は C、振り子の振動の振幅よりも小さくなります。あ。振り子 C、その長さは振り子の長さに等しいあ、非常に強く振れます。その結果、振り子は最大の振動振幅を持ち、その振動の固有振動数は駆動力の振動数と一致します。この場合、彼らはそれが観察されていると言います共振.

共振とは、駆動力の周波数が振動系（振り子）の固有振動数と一致したときに、強制振動の振幅が急激に増加する現象です。

スイングが振動すると共振が観察されます。これで、スイング自体の振動に合わせて押すと、より強くスイングすることが説明できます。この場合、外力の周波数はスイングの振動周波数に等しい。スイングの動きを妨げると、振幅が減少します。

4 * . 共鳴中にどのようなエネルギー変換が起こるかを調べてみましょう。

駆動力の周波数が物体の固有振動数と異なる場合、駆動力は物体の動きの方向または反対方向に向けられます。したがって、この力の働きはマイナスかプラスになります。一般に、この場合の駆動力の仕事はシステムのエネルギーをわずかに変化させます。

ここで、外力の周波数が物体の振動の固有振動数と等しいとします。この場合、駆動力の方向は物体の速度の方向と一致し、抵抗力は外力によって補償される。物体は内部力の影響下でのみ振動します。つまり、抵抗力に対するマイナスの仕事は、外力によるプラスの仕事と等しいということになります。したがって、発振は最大振幅で発生します。

5. 実際には共振現象を考慮する必要があります。特に工作機械や機械は稼働中に若干の振動を生じます。これらの振動の周波数が機械の個々の部品の固有振動数と一致する場合、振動の振幅は非常に大きくなる可能性があります。機械またはそれが立っている支柱が崩壊します。

共振により飛行機が空中で崩壊したり、船のプロペラが壊れたり、鉄道のレールが崩壊したりした例が知られています。

共振は、システムの固有振動数または振動を引き起こす力の周波数を変更することで防止できます。この目的のために、たとえば、橋を渡る兵士たちは足並みをそろえて歩くのではなく、自由なペースで歩きます。そうしないと、歩行者の歩数が橋の固有振動数と一致し、橋が崩壊する可能性があります。これは 1750 年にフランスで、兵士の分遣隊が鎖にぶら下がった長さ 102 メートルの橋を渡ったときに起こりました。同様の事件が 1906 年にサンクトペテルブルクで発生しました。騎兵中隊がフォンタンカ川にかかるエジプト橋を渡ったとき、馬の踏み出す音の周波数が橋の振動周波数と一致しました。

共振を防ぐために、列車は低速または非常に速い速度で橋を渡り、レールの接合部に加わる車輪の衝撃の周波数が橋の固有振動数よりも大幅に低くなるか、大幅に高くなるようにします。

共鳴現象は必ずしも有害であるわけではありません。小さな力でも振動の振幅を大幅に増加させることができるため、場合によっては便利です。

振動の周波数を測定できるデバイスの動作は、共振現象に基づいています。この装置はと呼ばれます 周波数計。彼の研究は次の実験で説明できます。周波数計モデルは遠心機に取り付けられており、異なる長さのプレート (舌) のセットで構成されています (図 83)。プレートの端には、白いペンキでコーティングされたブリキの旗があります。機械のハンドルの回転速度を変更すると、さまざまなプレートが振動し始めることがわかります。固有振動数が回転周波数と等しいプレートは振動し始めます。

セルフテストの質問

1. ばね振り子の自由振動の振幅は何によって決まるのでしょうか?

2. 摩擦力が存在する場合、振り子の振動の振幅は一定に保たれますか?

3. ばねの振り子が振動すると、どのようなエネルギー変換が起こりますか?

4. なぜ自由振動が減衰するのでしょうか?

5. どのような振動を強制といいますか? 強制振動の例を挙げてください。

6. 共鳴とは何ですか?

7. 共鳴の有害な症状の例を挙げてください。共振を防ぐにはどうすればよいでしょうか？

8. 共鳴現象を利用した例を挙げてください。

タスク26

1. 自由振動または強制振動を行う場合、振動系にどのような力が作用するかを書き留めて表 14 に記入します。これらの振動の周波数と振幅はどれくらいですか。減衰しているかどうか。

表14

発振特性	振動の種類
	利用可能	強制
作用力
頻度
振幅
減衰

2e.強制振動を観察するための実験を提案してください。

3e.作成した数学的な振り子を使用して、共鳴現象を実験的に研究します。

4. ミシンの砥石は一定の回転速度で回転すると、砥石を置いている台が大きく揺れることがあります。なぜ？

強制振動は、駆動力と呼ばれる周期的に変化する外部強制力がシステムに作用したときにシステムに発生する振動です。

駆動力の性質（時間依存性）は異なる場合があります。これは、調和の法則に従って変化する力である可能性があります。たとえば、音叉を発生源とする音波は、鼓膜やマイクの膜に当たります。調和して変化する空気圧の力が膜に作用し始めます。

駆動力は、衝撃または短い衝撃の性質を持つ場合があります。たとえば、大人が子供をブランコに乗せ、ブランコが極端な位置に達した瞬間に定期的に子供を押します。

私たちの課題は、周期的に変化する駆動力の影響に対して振動系がどのように反応するかを解明することです。

§1 駆動力は調和則に従って変化する

F 抵抗 = - rv xそして説得力 F out = F 0 sin wt.

ニュートンの第 2 法則は次のように記述されます。

式 (1) の解は、の形式で求められます。ここで、は式 (1) に右辺がなかった場合の解です。右側がないと、方程式はよく知られた減衰振動の方程式になり、その解はすでにわかっていることがわかります。十分に長い時間が経過すると、システムが平衡位置から外されたときにシステム内で発生する自由振動は実質的に消滅し、方程式の解には第 2 項のみが残ります。このソリューションは次の形式で探します。
用語を別の方法でグループ化してみましょう。

この等式は、任意の時間 t において満たされなければなりません。これは、サインとコサインの係数がゼロに等しい場合にのみ可能です。

したがって、駆動力の作用を受ける物体は、調和の法則に従って変化し、駆動力の周波数で振動運動を行います。

強制振動の振幅の問題をさらに詳しく調べてみましょう。

1 定常状態の強制振動の振幅は時間の経過とともに変化しません。 (自由減衰振動の振幅と比較してください)。

2 強制振動の振幅は駆動力の振幅に正比例します。

3 振幅はシステム内の摩擦に依存します (A は d に依存し、減衰係数 d は抗力係数 r に依存します)。システム内の摩擦が大きくなるほど、強制振動の振幅は小さくなります。

4 強制振動の振幅は駆動力 w の周波数に依存します。どうやって？関数 A(w) を見てみましょう。

w = 0 (振動系に一定の力が作用する) では、物体の変位は時間の経過とともに一定になります (これは、自然振動がほぼ消滅した定常状態を指すことに留意する必要があります)。

· w ® ¥ のとき、容易にわかるように、振幅 A はゼロになる傾向があります。

· 駆動力の特定の周波数では、強制振動の振幅が (与えられた d に対して) 最大値をとることは明らかです。 駆動力の周波数の特定の値で強制振動の振幅が急激に増加する現象は、機械的共振と呼ばれます。

この場合の振動システムの品質係数が、一定の力 F 0 の作用下で共振振幅が平衡位置からの物体の変位を何倍超えるかを示すことは興味深いことです。

共振周波数と共振振幅の両方が減衰係数 d に依存していることがわかります。 d がゼロに減少すると、共振周波数は増加し、システムの固有振動周波数 w 0 に近づく傾向があります。この場合、共振振幅は増加し、d = 0 で無限大になります。もちろん、実際の振動システムでは常に抵抗力が作用するため、実際には振動の振幅が無限になることはありません。システムの減衰が低い場合は、共振が固有振動の周波数で発生するとほぼ仮定できます。

ここで、検討中のケースでは、駆動力と平衡位置からの物体の変位の間の位相シフトです。

力と変位の間の位相シフトは、システム内の摩擦と外部駆動力の周波数に依存することが簡単にわかります。この依存関係を図に示します。いつであるかは明らかです< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- ポジティブ。

角度への依存性がわかれば、駆動力の周波数への依存性を得ることができます。

自然力よりも著しく低い外力の周波数では、変位は駆動力より位相がわずかに遅れます。外力の周波数が高くなると、この位相遅れも大きくなります。共振時（小さい場合）、位相シフトはに等しくなります。 >> の場合、変位と力の振動は逆位相で発生します。この依存性は一見奇妙に見えるかもしれません。この事実を理解するために、強制振動の過程におけるエネルギー変換に目を向けてみましょう。

§ 2 エネルギー変換

すでに知られているように、振動の振幅は振動系の総エネルギーによって決まります。強制振動の振幅は時間が経っても変化しないことが以前に示されています。これは、振動システムの総機械エネルギーが時間の経過とともに変化しないことを意味します。なぜ？結局のところ、システムは閉じられていません! 周期的に変化する外部の力と抵抗力という 2 つの力が、システムの総エネルギーを変化させる働きをします。

何が起こっているのかを理解してみましょう。外部駆動力の力は次のように求められます。

振動系にエネルギーを供給する外力の力は振動振幅に比例することがわかります。

抵抗力の働きにより、振動系のエネルギーは減少し、内部エネルギーに変わります。抵抗力パワー:

明らかに、抵抗力の力は振幅の二乗に比例します。両方の依存関係をグラフにプロットしてみましょう。

振動が安定する (振幅が時間の経過とともに変化しない) ためには、その期間中の外力の仕事が、抵抗力の仕事によるシステムのエネルギー損失を補償する必要があります。パワーグラフの交点は、この領域に正確に対応します。何らかの理由で強制振動の振幅が減少したと想像してみましょう。これは、外力の瞬間的な力が損失の力よりも大きくなるという事実につながります。これにより、振動システムのエネルギーが増加し、振動の振幅は以前の値に戻ります。

同様に、振動の振幅がランダムに増加すると、電力損失が外力の力を超え、システムのエネルギーが減少し、その結果、振幅の減少。

共振時の変位と駆動力の間の位相シフトの問題に戻りましょう。変位が遅れているため、力が変位を先行していることはすでに示しました。一方、調和振動の過程における速度投影は常に座標よりだけ進みます。これは、共振中、外部駆動力と速度が同位相で振動することを意味します。つまり、いつでも共同監督されることになります。この場合の外力の仕事は常に正です。全て振動系にエネルギーを補充しに行きます。

§ 3 非正弦波の周期的影響

オシレーターの強制発振は、正弦波だけでなく、周期的な外部影響下でも発生する可能性があります。この場合、確立された振動は一般的に正弦波ではありませんが、外部影響の周期と等しい周期を持つ周期的な動きを表します。

外部からの影響とは、たとえば、連続的な衝撃です（大人がブランコに座っている子供を「揺さぶる」様子を思い出してください）。外部衝撃の周期が自然振動の周期と一致すると、システム内で共振が発生する可能性があります。振動はほぼ正弦波になります。押すたびにシステムに与えられるエネルギーは、摩擦によって失われたシステムの総エネルギーを補充します。この場合、選択肢が可能であることは明らかです。押す間に与えられるエネルギーが周期あたりの摩擦損失と等しいかそれを超えている場合、振動は安定するか、またはその範囲が拡大します。これは相図ではっきりとわかります。

衝撃の繰り返しの周期が自然振動の周期の倍数である場合にも共振が発生する可能性があることは明らかです。これは、外部影響の正弦波の性質により不可能です。

一方で、衝撃周波数が固有振動数と一致していても共振が観測されない場合もあります。この期間中の摩擦損失だけが、押している間にシステムが受け取るエネルギーを超える場合、システムの総エネルギーは減少し、振動は減衰します。

§ 4 パラメトリック共鳴

振動システムに対する外部の影響は、振動システム自体のパラメーターの周期的な変化に帰着できます。このようにして励起される振動をパラメトリックと呼び、その機構自体をパラメトリックと呼びます。 パラメトリックレゾナンス .

まず最初に、ある方法でパラメータの一部を定期的に変更することによって、システム内にすでに存在する小さな振動を揺さぶることは可能かという質問に答えようとします。

例として、ブランコに乗っている人を考えてみましょう。「適切な」瞬間に足を曲げたり伸ばしたりすることで、振り子の長さを実際に変えます。極端な位置では、人はしゃがむことで振動システムの重心がわずかに下がります。中間の位置では、人はまっすぐになり、システムの重心が上がります。

なぜ人が同時にスイングするのかを理解するために、ブランコに乗っている人の非常に単純化されたモデル、つまり通常の小さな振り子、つまり軽くて長い糸に小さな重りが付いているものを考えてみましょう。重心の上下をシミュレートするには、糸の上端を小さな穴に通し、振り子が平衡位置を通過する瞬間に糸を引っ張り、振り子が平衡位置を通過するときに同じ量だけ糸を下げます。振り子が極端な位置を通過します。

1 周期あたりの糸張力の仕事 (負荷は 1 周期あたり 2 回昇降することと D 私 << 私):

括弧内には振動系のエネルギーが 3 倍を超えるものはないことに注意してください。ちなみに、この量は正であるため、張力の仕事（私たちの仕事）は正であり、システムの総エネルギーの増加、つまり振り子のスイングにつながります。

興味深いことに、一定期間にわたるエネルギーの相対的な変化は、振り子の揺れが弱いか強いかには依存しません。これは非常に重要であり、その理由は次のとおりです。振り子がエネルギーで「汲み上げ」られていない場合、摩擦力により各周期でエネルギーの一定部分が失われ、振動は消滅します。そして、振動の範囲が広がるためには、摩擦に打ち勝つために得られるエネルギーが、損失されるエネルギーを上回る必要があります。そして、この条件は、小さな振幅でも大きな振幅でも同じであることがわかりました。

たとえば、ある周期で自由振動のエネルギーが 6% 減少した場合、長さ 1 m の振り子の振動が減衰しないようにするには、その長さを中間位置で 1 cm 短くし、増加させるだけで十分です。極端な位置でも同じ量になります。

スイングに戻りましょう。スイングを始めたら、どんどん深くしゃがむ必要はありません。いつも同じようにしゃがんでいれば、どんどん高く飛べるようになります。

*** またしてもクオリティ！

すでに述べたように、振動をパラメトリックに蓄積するには、周期あたりの摩擦の条件 DE > A が満たされなければなりません。

摩擦力が期間中に行う仕事を求めてみましょう

振り子を揺動させるための振り子の相対的な持ち上げ量は、システムの品質係数によって決定されることがわかります。

§ 5 共鳴の意味

強制振動と共振は、特に音響学、電気工学、無線工学などの技術で広く使用されています。共鳴は主に、異なる周波数の大きな振動セットから特定の周波数の振動を分離したい場合に使用されます。共鳴は、非常に弱い周期的に繰り返される量の研究にも使用されます。

ただし、場合によっては、共振は構造の大きな変形や破壊につながる可能性があるため、望ましくない現象となります。

§ 6 問題解決の例

問題 1 外部正弦波力の作用下でのばね振り子の強制振動。

質量 m = 10 g の荷重を剛性 k = 10 N/m のバネから吊り下げ、システムを抵抗係数 r = 0.1 kg/s の粘性媒体中に置きました。システムの固有周波数と共振周波数を比較します。振幅 F 0 = 20 mN の正弦波力の作用下での共振時の振り子の振動の振幅を決定します。

解決：

1 振動系の固有振動数は、摩擦がない場合の自由振動の周波数です。固有周期周波数は発振周波数に等しい。

2 共振周波数とは、強制振動の振幅が急激に増加する外部駆動力の周波数です。共振周期周波数はに等しく、は減衰係数でに等しい。

したがって、共振周波数はです。共振周波数が固有周波数よりも低いことが簡単にわかります。また、システム内の摩擦 (r) が低いほど、共振周波数が固有振動数に近づくことも明らかです。

3 共振振幅は

タスク 2 振動系の共振振幅と品質係数

質量 m = 100 g の荷重を剛性 k = 10 N/m のバネから吊り下げ、システムを抵抗係数のある粘性媒体中に置きました。

r = 0.02 kg/秒。振動システムの品質係数と、振幅 F 0 = 10 mN の正弦波力の作用下での共振時の振り子の振動の振幅を決定します。一定の力 F 0 = 20 mN の影響下での静的変位に対する共振振幅の比を求め、この比を品質係数と比較します。

解決：

1 振動システムの品質係数はに等しくなります。ここで、は対数減衰減分です。

対数減衰減分はに等しい。

振動システムの品質係数を見つける。

2 共振振幅は

3 一定の力の作用下での静的変位 F 0 = 10 mN はに等しい。

4 一定の力の作用下での共振振幅と静的変位の比 F 0 は次のようになります。

この比率が振動システムの品質係数と一致していることが簡単にわかります。

問題3 梁の共振振動

電気モーターの重量の影響で、電気モーターが取り付けられているカンチレバータンクが曲がってしまいました。モーターのアーマチュアの速度がどのくらいになると共振の危険性がありますか?

解決：

1 モーターのハウジングとそれが取り付けられているビームは、モーターの回転電機子から周期的な衝撃を受けるため、衝撃の周波数で強制振動します。

衝撃の周波数がモーターによるビームの振動の固有周波数と一致すると、共振が観察されます。ビームモーターシステムの振動の固有周波数を見つける必要があります。

2 ビームモーター振動システムの類似物は、モーターの質量と等しい質量を持つ垂直バネ振り子です。ばね振り子の固有振動数はに等しい。しかし、バネの剛性とモーターの質量は不明です。どうすればいいですか？

3 ばね振り子の平衡位置では、荷重の重力はばねの弾性力によって釣り合います。

4 モーターのアーマチュアの回転を求めます。衝撃周波数

問題 4 周期的な衝撃の影響によるバネ振り子の強制振動。

質量 m = 0.5 kg の重りが、剛性 k = 20 N/m のゼンマイバネから吊り下げられています。振動システムの対数減衰減分はに等しい。彼らは、時間 τ = 0.01 秒間、力 F = 100 mN で重りに作用して、短押しで重りを振りたいと考えています。重量の振幅を最大にするためには、ストロークの頻度はどれくらいであるべきですか? どの位置で、どの方向にケトルベルを押す必要がありますか? この方法で重りをどの程度の振幅まで振ることが可能でしょうか?

解決：

1 強制振動は、周期的な影響下で発生する可能性があります。この場合、定常状態の発振は外部影響の周波数で発生します。外部衝撃の周期が自然振動の周波数と一致すると、システム内で共振が発生し、振動の振幅が最大になります。この場合、共振が発生するには、衝撃の周期がバネ振り子の振動周期と一致する必要があります。

対数減衰の減少は小さいため、システム内の摩擦はほとんどなく、粘性媒体中での振り子の振動周期は、真空中での振り子の振動周期と実質的に一致します。

2 明らかに、押す方向は重りの速度と一致しなければなりません。この場合、システムにエネルギーを補充する外力の仕事は正になります。そして振動が揺れます。衝撃プロセス中にシステムが受け取るエネルギー

この位置では振り子の速度が最大になるため、荷重が平衡位置を通過すると最大になります。

したがって、システムは、荷重が平衡位置を通過するときの衝撃の作用下で、荷重の移動方向に最も速くスイングします。

3 衝撃プロセス中にシステムに与えられるエネルギーが、その期間中の摩擦によるエネルギー損失と等しくなるとき、振動の振幅は成長を停止します。

振動システムの品質係数を通じて、一定期間にわたるエネルギー損失を求めます。

ここで、E は振動システムの総エネルギーであり、次のように計算できます。

損失エネルギーの代わりに、衝撃時にシステムが受け取ったエネルギーを代入します。

発振プロセス中の最大速度はです。これを考慮すると、が得られます。

§7 独立した解決策のためのタスク

「強制振動」テスト

1 どのような振動を強制振動と呼びますか?

A) 周期的に変化する外部力の影響下で発生する振動。

B) 外部衝撃後にシステム内で発生する振動。

2 強制的に発振するのは次のうちどれですか?

A) 平衡位置から 1 回ずれた後の、ばねから吊り下げられた荷重の振動。

B) 受信機の動作中のスピーカーコーンの振動。

B) 平衡位置にある荷重に 1 回衝撃を与えた後の、ばねで吊り下げられた荷重の振動。

D) 動作中の電気モーターハウジングの振動。

D) 音楽を聴いている人の鼓膜の振動。

3 独自の周波数を持つ振動系は、法則に従って変化する外部駆動力によって作用されます。振動系の減衰係数はに等しい。体の座標は時間の経過とともにどのような法則に従って変化するのでしょうか?

C) 強制振動の振幅は変化しません。これは、摩擦によるシステムのエネルギー損失が、外部駆動力の仕事によるエネルギーの増加によって補償されるためです。

5 システムは、正弦波力の作用下で強制振動を実行します。特定全てこれらの振動の振幅が依存する要因。

A) 外部駆動力の振幅から。

B) 外力が作用し始める瞬間の振動系内のエネルギーの存在。

C) 振動システム自体のパラメータ。

D) 振動系の摩擦。

D) 外力が作用し始める瞬間におけるシステム内の自然振動の存在。

E) 振動が確立された時間。

G) 外部駆動力の周波数。

6 質量 m のブロックは、水平面に沿って周期 T および振幅 A で強制調和振動を実行します。摩擦係数 μ。周期 T に等しい時間内に外部駆動力によって行われる仕事は何ですか?

A) 4μmgA; B) 2μmgA; B) μmgA; D) 0;

D) 外部からの駆動力の大きさが分からないため、お答えすることができません。

7 正しい発言をする

共振というのは現象なんですが…

A) 外力の周波数と振動系の固有周波数の一致。

B) 強制振動の振幅の急激な増加。

この条件下で共振が観察される

A) 振動系の摩擦を減らす。

B) 外部駆動力の振幅を増加させる。

C) 外力の周波数と振動系の固有周波数の一致。

D) 外力の周波数が共振周波数と一致する場合。

8 共鳴現象は次のようなもので観察できます。

A) あらゆる振動系において。

B) 自由振動を実行するシステム内。

B) 自励発振システムの場合。

D) 強制振動を受けているシステム内。

9 図は、駆動力の周波数に対する強制振動の振幅の依存性のグラフを示しています。ある周波数で共振が起こります...

10 異なる粘性媒体中に配置された 3 つの同一の振り子が強制振動を実行します。図はこれらの振り子の共振曲線を示しています。振動中に粘性媒体からの抵抗が最も大きいのはどの振り子ですか?

A) 1; B) 2; AT3;

D) 強制振動の振幅は、外力の周波数に加えて、その振幅にも依存するため、答えることは不可能です。この条件は、外部駆動力の振幅については何も述べていません。

11 振動系の固有振動の周期は T 0 に等しい。振動の振幅が急激に増加する、つまりシステム内で共振が発生するような衝撃の周期はどれくらいでしょうか?

A) T 0; B) T 0、2 T 0、3 T 0、…;

C) スイングは、任意の周波数で押すことで揺動できます。

12 あなたの弟がブランコに座っているので、あなたは彼を短く押します。プロセスが最も効率的に発生するためには、ショックを連続的に続ける期間はどれくらいであるべきですか? スイングの固有振動の周期 T 0。

D) ブランコは、任意の周波数で押すことで揺動できます。

13 あなたの弟がブランコに座っているので、あなたは彼を短く押します。このプロセスが最も効率的に行われるためには、スイングのどの位置でプッシュを行うべきであり、どの方向にプッシュを行うべきでしょうか?

A) スイングの最上部の位置を平衡位置に向かって押し込みます。

B) スイングの最上部の位置を平衡位置からの方向に押し込みます。

B) スイングの動きの方向にバランスの取れた位置で押します。

D) どの位置でもプッシュできますが、常にスイングの動きの方向に押します。

14 橋の上のパチンコを振動に合わせて何発も打てば強く振れるように思えますが、これは成功しそうにありません。なぜ？

A) 橋の質量 (慣性) は、パチンコの「弾丸」の質量に比べて大きいため、そのような衝撃の影響下では橋は動くことができません。

B) スリングショットの「弾丸」の衝撃力は非常に小さいため、そのような衝撃の影響下では橋は動くことができません。

C) 一度の打撃で橋に与えられるエネルギーは、一定期間にわたる摩擦によるエネルギー損失よりもはるかに小さい。

15 あなたは水の入ったバケツを運んでいます。バケツの中の水が揺れて飛び散ります。これを防ぐにはどうすればよいでしょうか?

A) 歩行のリズムに合わせてバケツを持った手を振ります。

B) 歩幅は変えずに、移動速度を変更します。

C) 定期的に停止し、水の振動が落ち着くまで待ちます。

D) 移動中、バケットを持つ手が厳密に垂直に配置されていることを確認してください。

タスク

1 システムは、周波数 1000 Hz の減衰振動を実行します。周波数を定義する v0固有振動、共振周波数の場合

2 D をどのような値で決定するか v共振周波数は固有周波数とは異なります v0= 1000 Hz の振動システム。減衰係数 d = 400s -1 によって特徴付けられます。

3 剛性 10 N/m のバネで吊り下げられた質量 100 g の荷重が、抵抗係数 r = 0.02 kg/s の粘性媒体中で強制振動を実行します。減衰係数、共振周波数、振幅を決定します。駆動力の振幅値は１０ｍＮである。

4 周波数 w 1 = 400 s -1 と w 2 = 600 s -1 における強制調和振動の振幅は等しい。共振周波数を決定します。

5 台のトラックが片側の未舗装の道路に沿って穀物倉庫に入り、同じ速度で荷を下ろし、反対側から倉庫から出ます。倉庫のどちら側にもう一方より道路の穴が多いですか? 道路の状況に基づいて、倉庫のどちら側が入り口でどちら側が出口であるかをどのように判断できますか? 答えを正当化する

強制振動

変動する外力の影響下でシステム内で発生する振動（たとえば、交流磁場の影響下での電話膜の振動、変動負荷の影響下での機械構造の振動など）。軍事システムの性質は、外力の性質とシステム自体の特性の両方によって決まります。周期的な外力の作用の開始時、V. c. の性質は時間とともに変化します (特に、V. c. は周期的ではありません)。外力の周期と等しい周期を持つシステム (定常状態 VC)。振動システム内の電圧の確立が速くなると、このシステム内の振動の減衰が大きくなります。

特に、線形振動系 (振動系を参照) では、外力が加えられると、系内で自由 (または自然) 振動と振動が同時に発生し、初期瞬間におけるこれらの振動の振幅は等しく、位相が逆です( 米。）。自由振動が徐々に減衰した後は、定常状態の振動のみがシステム内に残ります。

VK の振幅は、作用する力の振幅とシステム内の減衰によって決まります。減衰が小さい場合、電圧波の振幅は、作用する力の周波数とシステムの固有振動の周波数との関係に大きく依存します。外力の周波数がシステムの固有振動数に近づくと、VK の振幅が急激に増加し、共振が発生します。非線形システム (非線形システムを参照) では、自由と VK への分割が常に可能であるとは限りません。

点灯:カイキン S.E.、力学の物理的基礎、M.、1963 年。

ソビエト大百科事典。 - M.: ソビエト百科事典. 1969-1978 .

他の辞書で「強制振動」が何であるかを確認してください。

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強制振動- 外部の全般的な力の周期的な影響下で発生する振動。【非破壊検査システム。非破壊検査の種類（方法）と技術。用語と定義 (参考書)。モスクワ 2003] 強制…… 技術翻訳者向けガイド

強制振動は、時間の経過とともに変化する外力の影響下で発生する振動です。自己発振は、強制発振とは異なり、強制発振は周期的な外部影響によって引き起こされ、この周波数で発生します。

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減衰を考慮した場合のシャフトねじりの強制振動、A.P. フィリッポフ著、1934 年版（ソ連科学アカデミーの出版社イズベスティア）を原著者の綴りで転載。で… カテゴリー: 数学発売元: YOYOメディア, メーカー: ヨーヨーメディア,
減衰を考慮したロッドの強制横振動、A.P. フィリッポフ、1935 年版 (出版社「ソ連科学アカデミーイズベスチヤ」) の原著者の綴りで複製... カテゴリ: