Concetti di base della geometria di Lobachevsky. Alcuni. In quale geometria si intersecano le linee parallele? Le linee di Lobachevsky si intersecano

aereo Lobachevsky

Geometria di Lobachevsky (geometria iperbolica) è una delle geometrie non euclidee, una teoria geometrica basata sulle stesse premesse di base della geometria euclidea ordinaria, con l'eccezione dell'assioma delle parallele, che è sostituito dall'assioma delle parallele di Lobachevsky.

L'assioma del parallelo euclideo dice:

per un punto non giacente su una retta data, esiste una sola retta che giace in un piano con una retta data e non la interseca.

Nella geometria di Lobachevsky viene invece accettato il seguente assioma:

per un punto che non giace sulla retta data, vi sono almeno due rette che giacciono con la retta data nello stesso piano e non la intersecano.

La geometria di Lobachevsky ha vaste applicazioni sia in matematica che in fisica. Il suo significato storico risiede nel fatto che, costruendolo, Lobachevsky mostrò la possibilità di una geometria diversa da quella euclidea, che segnò una nuova era nello sviluppo della geometria e della matematica in generale.

Storia

Tentativi di dimostrare il quinto postulato

Il punto di partenza della geometria di Lobachevsky era il postulato V di Euclide - un assioma equivalente all'assioma parallelo. È stato incluso nell'elenco dei postulati negli Elementi di Euclide). La relativa complessità e non intuitività della sua formulazione ha provocato un sentimento di sua natura secondaria e ha dato origine a tentativi di dedurla dal resto dei postulati di Euclide.

Tra coloro che cercavano di dimostrare c'erano i seguenti scienziati:

antichi matematici greci Tolomeo (II secolo), Proclo (V secolo) (basato sul presupposto che la distanza tra due paralleli sia finita),
Ibn al-Haytham dall'Iraq (fine - primi secoli) (basato sul presupposto che la fine di un movimento perpendicolare a una linea retta descrive una linea retta),
I matematici iraniani Omar Khayyam (2a metà - inizio del 12° secolo) e Nasir ad-Din at-Tusi (13° secolo) (basati sul presupposto che due linee convergenti non possono diventare divergenti senza intersezione quando continuano),
matematico tedesco Clavius (),
matematici italiani
- Cataldi (pubblicò per la prima volta nel 1603 un'opera interamente dedicata alla questione del parallelo),
matematico inglese Wallis (, pubblicato in) (basato sul presupposto che per ogni figura ce ne sia una simile, ma non uguale),
Il matematico francese Legendre () (basato sul presupposto che attraverso ogni punto all'interno di un angolo acuto può essere tracciata una linea retta che interseca entrambi i lati dell'angolo; ebbe anche altri tentativi per dimostrarlo).

In questi tentativi di dimostrare il quinto postulato, i matematici introdussero una nuova affermazione che sembrava loro più ovvia.

Sono stati fatti tentativi per utilizzare la prova per assurdo:

Il matematico italiano Saccheri () (avendo formulato un'affermazione contraddittoria al postulato, ne trasse una serie di conseguenze e, riconoscendone erroneamente alcune contraddittorie, riteneva provato il postulato),
Il matematico tedesco Lambert (circa, pubblicato in) (dopo aver condotto ricerche, ha ammesso di non riuscire a trovare contraddizioni nel sistema che ha costruito).

Alla fine, cominciò a emergere la comprensione che è possibile costruire una teoria basata sul postulato opposto:

I matematici tedeschi F. Schweickart () e Taurino () (tuttavia, non si rendevano conto che una tale teoria sarebbe logicamente ugualmente coerente).

Creare una geometria non euclidea

Lobachevsky nel suo lavoro "On the Principles of Geometry" (), il suo primo lavoro pubblicato sulla geometria non euclidea, affermava chiaramente che il postulato V non può essere dimostrato sulla base di altre premesse della geometria euclidea e che l'assunzione di un postulato opposto a quello euclideo permette di costruire la geometria allo stesso modo significativa, come euclidea, e libera da contraddizioni.

Allo stesso tempo e indipendentemente, Janos Bolyai arrivò a conclusioni simili e Karl Friedrich Gauss arrivò a tali conclusioni anche prima. Tuttavia, gli scritti di Boyai non attirarono l'attenzione, e presto abbandonò l'argomento, e Gauss generalmente si astenne dal pubblicare, e le sue opinioni possono essere giudicate solo da poche lettere e voci di diario. Ad esempio, in una lettera del 1846 all'astronomo G. H. Schumacher, Gauss parla del lavoro di Lobachevsky come segue:

Quest'opera contiene i fondamenti della geometria che avrebbe dovuto aver luogo e, inoltre, avrebbe costituito un insieme strettamente coerente, se la geometria euclidea non fosse stata vera... Lobachevsky la chiama "geometria immaginaria"; Sapete che per 54 anni (dal 1792) ho condiviso le stesse opinioni con un certo loro sviluppo, che qui non voglio menzionare; Pertanto, non ho trovato nulla di praticamente nuovo nell'opera di Lobachevsky. Ma nello sviluppo del soggetto, l'autore non ha seguito il percorso che io stesso ho seguito; è eseguito magistralmente da Lobachevsky in uno spirito veramente geometrico. Mi ritengo obbligato a richiamare la vostra attenzione su questa composizione, che, probabilmente, vi regalerà un piacere assolutamente eccezionale.

Di conseguenza, Lobachevsky agì come il primo propagandista più brillante e coerente di questa teoria.

Sebbene la geometria di Lobachevsky si sia sviluppata come teoria speculativa e lo stesso Lobachevsky la chiamò "geometria immaginaria", tuttavia fu Lobachevsky a considerarla non come un gioco della mente, ma come una possibile teoria delle relazioni spaziali. Tuttavia, la prova della sua consistenza è stata data in seguito, quando sono state indicate le sue interpretazioni e quindi la questione del suo vero significato, la coerenza logica è stata completamente risolta.

Affermazione della geometria di Lobachevsky

l'angolo è ancora più difficile.

Modello Poincaré

Contenuto della geometria di Lobachevsky

Un fascio di rette parallele nella geometria di Lobachevsky

Lobachevsky costruì la sua geometria, partendo dai concetti geometrici di base e dal suo assioma, e dimostrò teoremi con un metodo geometrico, simile a come si fa nella geometria di Euclide. La teoria delle linee parallele è servita come base, poiché è qui che inizia la differenza tra la geometria di Lobachevsky e la geometria di Euclide. Tutti i teoremi che non dipendono dall'assioma parallelo sono comuni ad entrambe le geometrie e formano la cosiddetta geometria assoluta, che comprende, ad esempio, i teoremi sull'uguaglianza dei triangoli. Seguendo la teoria dei paralleli, furono costruite altre sezioni, tra cui la trigonometria e gli inizi della geometria analitica e differenziale.

Citiamo (in notazione moderna) diversi fatti della geometria di Lobachevsky che la distinguono dalla geometria di Euclide e sono stati stabiliti dallo stesso Lobachevsky.

Attraverso il punto P non sdraiato sulla linea data R(vedi figura), ci sono infinite linee rette che non si intersecano R e sono sullo stesso piano con esso; tra questi ce ne sono due estremi X, sì, che sono chiamate rette parallele R nel senso di Lobachevsky. Nei modelli Klein (Poincaré), sono rappresentati da accordi (archi circolari) aventi un accordo (arco) R un fine comune (che, per definizione del modello, è escluso, per cui queste linee non hanno punti comuni).

Angolo tra perpendicolare PB a partire dal P Su R e ciascuno dei paralleli (chiamato angolo di parallelismo) quando il punto viene rimosso P da una retta decresce da 90° a 0° (nel modello di Poincaré, gli angoli nel senso comune coincidono con gli angoli nel senso di Lobachevsky, e quindi questo fatto può essere visto direttamente su di esso). Parallelo X da un lato (a sì con il contrario) si avvicina asintoticamente un, e dall'altro se ne allontana infinitamente (nei modelli le distanze sono difficili da determinare, e quindi questo fatto non è direttamente visibile).

Per un punto situato da una data retta a distanza PB = a(vedi figura), Lobachevsky ha fornito una formula per l'angolo di parallelismo Papà) :

Qui Q- alcune costanti associate alla curvatura dello spazio di Lobachevsky. Può servire come unità di lunghezza assoluta allo stesso modo in cui nella geometria sferica una posizione speciale è occupata dal raggio di una sfera.

Se le linee hanno una perpendicolare comune, divergono infinitamente in entrambe le direzioni da essa. A nessuno di essi, puoi ripristinare le perpendicolari che non raggiungono un'altra linea retta.

Nella geometria di Lobachevsky non ci sono triangoli simili, ma disuguali; i triangoli sono uguali se i loro angoli sono uguali.

La somma degli angoli di ogni triangolo è minore di e può essere arbitrariamente vicina a zero. Questo può essere visto direttamente nel modello Poincaré. La differenza δ = π - (α + β + γ), dove α, β, γ sono gli angoli del triangolo, è proporzionale alla sua area:

La formula mostra che esiste un'area massima di un triangolo e questo è un numero finito: π Q 2 .

Una linea di distanze uguali da una linea retta non è una linea retta, ma una curva speciale chiamata linea equidistante, o iperciclo.

Il limite dei cerchi di raggio infinitamente crescente non è una linea retta, ma una curva speciale chiamata circonferenza limite, o un orociclo.

Il limite delle sfere di raggio infinitamente crescente non è un piano, ma una superficie speciale - una sfera limite, o orosfera; è notevole che su di esso si svolga la geometria euclidea. Questo servì come base per la derivazione di Lobachevsky delle formule trigonometriche.

La circonferenza non è proporzionale al raggio, ma cresce più velocemente. In particolare, nella geometria di Lobachevsky, il numero non può essere definito come il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro.

Più piccola è l'area nello spazio o sul piano di Lobachevsky, meno le relazioni geometriche in quest'area differiscono dalle relazioni nella geometria euclidea. Possiamo dire che la geometria euclidea si svolge in una regione infinitamente piccola. Ad esempio, più piccolo è il triangolo, meno la somma dei suoi angoli differisce da ; più piccolo è il cerchio, meno il rapporto tra la sua lunghezza e il raggio differisce da 2π, ecc. Una diminuzione dell'area è formalmente equivalente ad un aumento dell'unità di lunghezza, quindi, con un aumento illimitato dell'unità di lunghezza, le formule della geometria di Lobachevsky si trasformano nelle formule della geometria euclidea. La geometria euclidea è in questo senso il caso "limitante" della geometria di Lobachevsky.

Applicazioni

Lo stesso Lobachevsky applicò la sua geometria al calcolo degli integrali definiti.
Nella teoria delle funzioni di una variabile complessa, la geometria di Lobachevsky ha aiutato a costruire la teoria delle funzioni automorfe. Il collegamento con la geometria di Lobachevsky fu qui il punto di partenza della ricerca di Poincaré, il quale scrisse che "la geometria non euclidea è la chiave per risolvere l'intero problema".
La geometria di Lobachevsky è usata anche nella teoria dei numeri, nei suoi metodi geometrici, uniti sotto il nome di "geometria dei numeri".
È stata stabilita una stretta connessione tra la geometria di Lobachevsky e la cinematica della teoria della relatività ristretta (particolare). Questa connessione si basa sul fatto che l'uguaglianza, che esprime la legge di propagazione della luce

quando diviso per T 2, cioè per la velocità della luce, dà

- equazione di una sfera nello spazio con coordinate v X , v sì , v z- componenti di velocità lungo gli assi NS, a, z(nello "spazio delle velocità"). Le trasformazioni di Lorentz preservano questa sfera e, essendo lineari, trasformano le rette dello spazio delle velocità in rette. Quindi, secondo il modello di Klein, nello spazio delle velocità all'interno della sfera di raggio insieme a, cioè per velocità inferiori alla velocità della luce, si verifica la geometria di Lobachevsky.

La geometria di Lobachevsky ha trovato una notevole applicazione nella teoria della relatività generale. Se consideriamo uniforme la distribuzione delle masse di materia nell'Universo (questa approssimazione è ammissibile su scala cosmica), allora si scopre che in determinate condizioni lo spazio ha la geometria di Lobachevsky. Pertanto, l'assunzione di Lobachevsky sulla sua geometria come possibile teoria dello spazio reale era giustificata.
Usando il modello di Klein, viene data una dimostrazione molto semplice e breve

LV 1. (Assioma del parallelismo di Lobachevsky). In ogni piano esiste una retta a 0 e un punto A 0 che non appartiene a questa retta, per cui per questo punto passano almeno due rette che non intersecano uno 0.

L'insieme di punti, rette e piani che soddisfano gli assiomi di appartenenza, ordine, congruenza, continuità e l'assioma di parallelismo di Lobachevsky sarà chiamato spazio tridimensionale di Lobachevsky e denotato con A 3. La maggior parte delle proprietà geometriche delle figure saranno da noi considerate sul piano dello spazio Л 3, ad es. sull'aereo Lobachevsky. Prestiamo attenzione al fatto che la negazione logica formale dell'assioma V 1, l'assioma del parallelismo della geometria euclidea, ha esattamente la formulazione che abbiamo dato come assioma LV 1. Sul piano esiste almeno un punto e una retta per i quali non vale l'enunciato dell'assioma del parallelismo della geometria euclidea. Dimostriamo un teorema dal quale segue che l'enunciato dell'assioma del parallelismo di Lobachevsky è valido per ogni punto e per ogni retta del piano di Lobachevsky.

Teorema 13.1.Sia a una retta arbitraria e A un punto che non giace su questa retta. Allora nel piano definito dal punto A e dalla retta a, ci sono almeno due rette passanti per A e non intersecanti la retta a.

Prova. Eseguiamo la dimostrazione per assurdo, utilizzando il Teorema 11.1 (vedi § 11). Supponiamo che nello spazio di Lobachevsky ci sia un punto A e una retta a tali che nel piano definito da questo punto e una retta, per il punto A vi sia un'unica retta che non interseca a. Lasciamo cadere il punto A perpendicolare AB alla retta a e nel punto A alziamo la perpendicolare h alla retta AB (Fig. 50). Come segue dal Teorema 4.2 (vedi § 4), le rette h e a non si intersecano. La retta h, in virtù del presupposto, è l'unica retta passante per A e non intersecante a. Scegliamo un punto arbitrario C sulla retta A. Spostiamo dal raggio AC nel semipiano di confine AB, che non contiene il punto B, l'angolo CAM uguale ad ACB. Allora, come segue dallo stesso Teorema 4.2, la retta AM non interseca a. Segue dalla nostra ipotesi che coincide con h. Quindi il punto M appartiene alla retta h. Triangolo ABC - rettangolare,. Calcoliamo la somma degli angoli del triangolo ABC:. Dal Teorema 11.1 segue che la condizione dell'assioma del parallelismo della geometria euclidea è soddisfatta. Pertanto, nel piano in esame non possono esistere punti A 0 e una retta a 0 tali che per questo punto passino almeno due rette che non intersecano uno 0. Siamo giunti a una contraddizione con la condizione dell'assioma parallelo di Lobachevsky. Il teorema è dimostrato.

Va notato che nel seguito utilizzeremo l'asserzione del Teorema 13.1, di fatto, sostituendo l'asserzione dell'assioma del parallelismo di Lobachevsky. A proposito, in molti libri di testo è questa affermazione che è accettata come l'assioma del parallelismo della geometria di Lobachevsky.

È facile ottenere il seguente corollario dal Teorema 13.1.

Corollario 13.2. Nel piano di Lobachevsky, per un punto che non giace su una retta data, ci sono infinite rette che non intersecano quella data.

Infatti, sia a una retta data, e A sia un punto che non le appartiene, h 1 e h 2 sono rette passanti per A e non intersecanti per a (fig. 51). Ovviamente tutte le rette che passano per il punto A e giacciono in uno degli angoli formati da h 1 e h 2 (vedi Fig. 51) non intersecano la retta a.

Nel Capitolo 2, abbiamo dimostrato una serie di affermazioni che sono equivalenti all'assioma parallelo della geometria euclidea. Le loro negazioni logiche caratterizzano le proprietà delle figure sul piano di Lobachevsky.

Innanzitutto, sul piano di Lobachevsky, vale la negazione logica del quinto postulato di Euclide. Nella Sezione 9, abbiamo formulato il postulato stesso e dimostrato un teorema sulla sua equivalenza all'assioma del parallelismo della geometria euclidea (vedi Teorema 9.1). La sua negazione logica è:

Dichiarazione 13.3.Sul piano di Lobachevsky, ci sono due rette non intersecanti che, quando si intersecano con la terza retta, formano angoli interni unilaterali, la cui somma è inferiore a due angoli retti.

Nel § 12 abbiamo formulato la proposta di Posidonio: sul piano vi sono almeno tre punti allineati situati in un semipiano dalla retta data ed equidistanti da essa. Abbiamo anche dimostrato il Teorema 12.6: La proposta di Posidonio equivale all'affermazione dell'assioma del parallelismo della geometria euclidea. Pertanto, la negazione di questa affermazione agisce sul piano di Lobachevsky.

Dichiarazione 13.4. L'insieme dei punti equidistanti da una linea retta sul piano di Lobachevsky e situati in un semipiano rispetto ad esso, a sua volta, non giacciono su una linea retta.

Sul piano di Lobachevsky, un insieme di punti equidistanti da una retta e appartenenti a un semipiano rispetto a questa retta formano una linea curva, la cosiddetta retta equidistante. Considereremo le sue proprietà in seguito.

Considera ora la proposta di Legendre: n Il Teorema 11.6 che abbiamo dimostrato (vedi § 11) afferma che Da ciò segue che sul piano di Lobachevsky vale la negazione logica di questa proposizione.

Dichiarazione 13.5. Sul lato di qualsiasi angolo acuto, c'è un punto tale che la perpendicolare ad esso, sollevata in questo punto, non intersechi il secondo lato dell'angolo.

Notiamo le proprietà dei triangoli e dei quadrangoli del piano di Lobachevsky, che seguono direttamente dai risultati delle Sezioni 9 e 11. Prima di tutto, Teorema 11.1. afferma che l'assunzione dell'esistenza di un triangolo, la cui somma degli angoli coincide con la somma di due angoli retti, è equivalente all'assioma del parallelismo del piano euclideo. Da questo e dal primo teorema di Legendre (vedi Teorema 10.1, § 10) segue la seguente affermazione

Dichiarazione 13.6. Sul piano di Lobachevsky, la somma degli angoli di ogni triangolo è minore di 2d.

Ciò implica immediatamente che la somma degli angoli di qualsiasi quadrilatero convesso è inferiore a 4d e la somma degli angoli di qualsiasi convesso n - gon è inferiore a 2 (n-1) d.

Poiché sul piano euclideo gli angoli adiacenti alla base superiore del quadrilatero di Saccheri sono uguali agli angoli retti, che, secondo il Teorema 12.3 (vedi § 12), equivale all'assioma del parallelismo della geometria euclidea, si può tracciare la seguente conclusione.

Dichiarazione 13.7. Gli angoli adiacenti alla base superiore del quadrilatero dei Saccheri sono acuti.

Resta da considerare altre due proprietà dei triangoli sul piano di Lobachevsky. Il primo è legato alla proposta di Wallis: sul piano c'è almeno una coppia di triangoli con angoli corrispondentemente uguali, ma non i lati uguali. Nella Sezione 11 abbiamo dimostrato che questa proposizione è equivalente all'assioma parallelo della geometria euclidea (vedi Teorema 11.5). La negazione logica di questa affermazione ci porta alla seguente conclusione: sul piano di Lobachevsky non ci sono triangoli con angoli uguali, ma non lati uguali. Quindi, la seguente proposizione è vera.

Dichiarazione 13.8. (il quarto criterio per l'uguaglianza dei triangoli sul piano di Lobachevsky).Qualsiasi due triangoli sul piano di Lobachevsky, aventi angoli corrispondentemente uguali, sono uguali tra loro.

Considera ora la prossima domanda. Si può descrivere un cerchio attorno a qualsiasi triangolo sul piano di Lobachevsky? La risposta è data dal Teorema 9.4 (vedi § 9). In accordo con questo teorema, se un cerchio può essere descritto attorno a un qualsiasi triangolo sul piano, allora la condizione dell'assioma del parallelismo della geometria euclidea è soddisfatta sul piano. Pertanto, la negazione logica dell'asserzione di questo teorema ci porta alla seguente proposizione.

Dichiarazione 13.9. Sul piano di Lobachevsky, c'è un triangolo attorno al quale non è possibile descrivere un cerchio.

È facile costruire un esempio di un tale triangolo. Scegliamo una retta a e un punto A che non gli appartiene. Lasciamo cadere la perpendicolare h dal punto A alla retta a. In virtù dell'assioma del parallelismo di Lobachevsky, esiste una retta b passante per A e non perpendicolare ad h, che non interseca a (Fig. 52). Come sai, se un cerchio è circoscritto a un triangolo, il suo centro si trova nel punto di intersezione delle perpendicolari mediane dei lati del triangolo. Pertanto, è sufficiente per noi dare un esempio di un tale triangolo, le cui perpendicolari mediane non si intersecano. Scegliamo un punto M sulla retta h, come mostrato in Figura 52. Lo mostriamo simmetricamente rispetto alle rette aeb, otteniamo i punti N e P. Poiché la retta b non è perpendicolare ad h, il punto P non appartengono a h. Pertanto, i punti M, N e P sono i vertici del triangolo. Le linee aeb servono come perpendicolari per costruzione. Essi, come accennato in precedenza, non si intersecano. Il triangolo MNP è quello richiesto.

È facile costruire un esempio di triangolo nel piano di Lobachevsky attorno al quale può essere descritto un cerchio. Per fare ciò, è sufficiente prendere due linee che si intersecano, selezionare un punto che non appartiene a loro e rifletterlo rispetto a queste linee. Conduci tu stesso la costruzione dettagliata.

Definizione 14.1. Siano date due rette dirette e. Sono chiamati paralleli se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1. le rette aeb non si intersecano;

2. per i punti arbitrari A e B delle rette aeb, qualsiasi raggio interno h dell'angolo ABB 2 interseca la linea a (Fig. 52).

Indicheremo le linee parallele nello stesso modo in cui è consuetudine nel corso di geometria della scuola: a || B. Nota che le linee parallele sul piano euclideo soddisfano questa definizione.

Teorema 14.3. Sia data una retta orientata e un punto B, che non le appartiene, sul piano di Lobachevsky. Allora per questo punto passa un'unica retta orientata tale che la retta a sia parallela alla retta b.

Prova. Lasciamo cadere dal punto B la perpendicolare BA alla retta a e dal punto B ripristineremo la perpendicolare p alla retta BA (Fig. 56 a). La retta p, come è già stato più volte notato, non interseca la retta data a. Scegliamo un punto C arbitrario su di esso, dividiamo i punti del segmento AC in due classi e. La prima classe includerà quei punti S di questo segmento per cui il raggio BS interseca il raggio AA 2, e la seconda classe includerà quei punti T per i quali il raggio BT non interseca il raggio AA 2. Mostriamo che una tale divisione in classi produce una sezione di Dedekind del segmento AC. In accordo con il Teorema 4.3 (vedi § 4), dovremmo verificare che:

2. e classi e contengono punti diversi da A e C;

3. qualsiasi punto della classe diverso da A si trova tra il punto A e qualsiasi punto della classe.

La prima condizione è ovvia, tutti i punti del segmento appartengono all'una o all'altra classe, mentre le classi stesse, in base alla loro definizione, non hanno punti in comune.

Anche la seconda condizione è facilmente verificabile. Ovviamente, e. La classe contiene punti diversi da A, per verificare questa affermazione è sufficiente scegliere un punto del raggio AA 2 e collegarlo al punto B. Questo raggio intersecherà il segmento BC nel punto della prima classe. La classe contiene anche punti diversi da C, altrimenti arriveremo a una contraddizione con l'assioma del parallelismo di Lobachevsky.

Dimostriamo la terza condizione. Sia esiste un punto S di prima classe, diverso da A, e un punto T di seconda classe tale che il punto T sia compreso tra A e S (vedi Fig. 56 a). Poiché, allora il raggio BS interseca il raggio AA 2 in un punto R. Consideriamo il raggio BT. Interseca il lato AS del triangolo ASR nel punto T. Secondo l'assioma di Pasha, questo raggio deve intersecare il lato AR o il lato SR di questo triangolo. Supponiamo che il raggio BT intersechi il lato SR in un punto O. Allora due diverse rette BT e BR passano per i punti B e O, il che contraddice l'assioma dell'assioma di Hilbert. Quindi, il raggio BT interseca il lato AR, il che implica che il punto T non appartiene alla classe K 2. La contraddizione che ne risulta porta all'affermazione che il punto S è compreso tra A e T. La condizione del Teorema 4.3 è pienamente verificata.

In accordo con la conclusione del Teorema 4.3 sulla sezione di Dedekind sul segmento AC, esiste un punto per il quale ogni punto compreso tra A e appartiene alla classe, e ogni punto compreso tra e C appartiene alla classe. Dimostriamo che la retta orientata è parallela alla retta ... Resta infatti da dimostrare che essa non interseca la retta a, poiché, per la scelta dei punti di classe K 1, si interseca qualsiasi raggio interno all'angolo. Supponiamo che la retta intersechi la retta a in un punto H (Figura 56 b). Scegliamo un punto arbitrario P sul raggio HA 2 e consideriamo il raggio BP. Quindi interseca il segmento М 0 С ad un certo punto Q (dimostra tu stesso questa affermazione). Ma i punti interni del segmento М 0 С appartengono alla seconda classe, il raggio BP non può avere punti in comune con la retta a. Pertanto, la nostra ipotesi sull'intersezione delle linee BM 0 e a non è corretta.

È facile verificare che la retta è l'unica retta diretta passante per il punto B e parallela. Invero, per il punto B, il quale è pure parallelo, passi un'altra retta orientata. In questo caso, assumeremo che M 1 sia il punto del segmento AC. Quindi, in base alla definizione della classe K 2,. Quindi il raggio BM 0 è il raggio interno dell'angolo, quindi, in virtù della Definizione 14.1, interseca la retta. Siamo giunti a una contraddizione con l'affermazione sopra dimostrata. Il teorema 14.3 è completamente dimostrato.

Consideriamo il punto B e una retta orientata che non lo contenga. In accordo con il Teorema 14.3 dimostrato, una retta orientata parallela ad a passa per il punto B. Lasciamo cadere la perpendicolare BH dal punto B alla linea a (Fig. 57). È facile vederlo angolo HBB 2 - acuto... Infatti, se assumiamo che questo angolo sia una retta, allora dalla Definizione 14.1 segue che qualsiasi retta passante per il punto B interseca la retta a, il che contraddice il Teorema 13.1, i.e. L'assioma del parallelismo di Lobachevsky LV 1 (vedi § 13). È facile vedere che l'assunzione che questo angolo sia ottuso porta ora anche ad una contraddizione con la Definizione 14.1 e il Teorema 4.2 (vedi §4), poiché il raggio interno dell'angolo HBB 2, perpendicolare a BH, non interseca il raggio AA 2 . Pertanto, la seguente affermazione è vera.

Teorema 14.4. Lascia che la linea diretta sia parallela alla linea diretta. Se dal punto B della retta abbassiamo la perpendicolare VN alla retta, allora l'angolo HBB 2 è acuto.

Da questo teorema segue ovviamente il seguente corollario.

Conseguenza.Se c'è una perpendicolare comune alle linee dirette e, allora la linea non è parallela alla linea.

Introduciamo il concetto di parallelismo per rette non orientate. Supponiamo che due rette non orientate sono parallele se si possono scegliere delle direzioni su di esse in modo che soddisfino la Definizione 14.1. Come sai, la linea retta ha due direzioni. Quindi, dal Teorema 14.3 segue che per un punto B, che non appartiene alla retta a, passano due rette non orientate parallele a questa retta. Ovviamente sono simmetriche rispetto alla perpendicolare caduta dal punto B alla retta a. Queste due rette sono le stesse linee di confine che separano il fascio di rette passante per il punto B e intersecante a, dal fascio di rette passante per B e non intersecante la linea a (fig. 57).

Teorema 15.2. (La proprietà della simmetria delle rette parallele sul piano di Lobachevsky).Lascia che la linea diretta sia parallela alla linea diretta. Quindi la linea diretta è parallela alla linea.

La proprietà di simmetria del concetto di parallelismo delle linee sul piano di Lobachevsky ci consente di non indicare l'ordine delle linee parallele dirette, ad es. non specificare quale riga è la prima e quale la seconda. Ovviamente, la proprietà di simmetria del concetto di parallelismo di rette vale anche sul piano euclideo. Segue direttamente dalla definizione di rette parallele nella geometria euclidea. Nella geometria euclidea, la proprietà di transitività è soddisfatta anche per le rette parallele. Se la retta a è parallela alla retta b e la retta b è parallela alla retta c. allora anche le rette a e c sono parallele tra loro. Una proprietà simile è vera anche per le linee rette dirette sul piano di Lobachevsky.

Teorema 15.3. (Proprietà di transitività delle rette parallele sul piano di Lobachevsky).Siano date tre diverse rette direzionate. Se e , poi .

Consideriamo una retta parallela ad una retta orientata. Incrociamoli con una linea retta. I punti A e B, rispettivamente, sono i punti di intersezione delle rette, e, (Fig. 60). Vale il seguente teorema.

Teorema 15.4. L'angolo è maggiore dell'angolo.

Teorema 15.5. L'angolo esterno di un triangolo degenere è maggiore di un angolo interno che non è adiacente ad esso.

La dimostrazione segue immediatamente dal Teorema 15.4. Fallo da solo.

Consideriamo un segmento arbitrario AB. Per il punto A tracciamo una retta a, perpendicolare ad AB, e per il punto B, una retta b parallela ad a (Fig. 63). Come segue dal Teorema 14.4 (vedi § 14), la retta b non è perpendicolare alla retta AB.

Definizione 16.1. Un angolo acuto formato dalle rette AB e b si chiama angolo di parallelismo del segmento AB.

È chiaro che ad ogni segmento di linea corrisponde un certo angolo di parallelismo. Vale il seguente teorema.

Teorema 16.2. Segmenti uguali corrispondono ad angoli uguali di parallelismo.

Prova. Siano dati due segmenti uguali AB e A ¢ B ¢. Tracciamo per i punti A e A rette dirette e, rispettivamente, AB e A ¢ B ¢, e per i punti B e B ¢ rette dirette e, rispettivamente, e (Fig. 64). Allora e rispettivamente, gli angoli di parallelismo dei segmenti AB e A ¢ B ¢. Facciamo finta che

Mettiamo da parte l'angolo a 2 della trave VA nel semipiano BAA 2 (vedi Fig. 64). In virtù della disuguaglianza (1), raggio l è il raggio interno dell'angolo ABB 2. Poiché ½1, allora l interseca il raggio AA 2 in un punto P. Mettiamo sul raggio A ¢ A 2 ¢ dal punto A il segmento A P uguale ad AP. Considera i triangoli ABP e A ¢ B ¢ P ¢. Sono rettangolari, secondo l'ipotesi del teorema, hanno le gambe uguali AB e A ¢ B ¢, per costruzione, la seconda coppia di gambe AP e A ¢ P sono uguali tra loro. Quindi, il triangolo rettangolo ABP è uguale al triangolo A ¢ B ¢ P ¢. Ecco perchè . D'altra parte, il raggio B ¢ P ¢, interseca il raggio A ¢ A 2 ¢, e la retta orientata B 1 ¢ B 2 ¢ è parallela alla retta A 1 ¢ A 2 ¢. Pertanto, il raggio B ¢ P ¢ è il raggio interno dell'angolo A ¢ B ¢ B 2 ¢, ... La contraddizione risultante confuta la nostra ipotesi, la disuguaglianza (1) è falsa. Allo stesso modo, è dimostrato che l'angolo non può essere inferiore all'angolo. Il teorema è dimostrato.

Consideriamo ora come gli angoli di parallelismo di segmenti disuguali sono correlati tra loro.

Teorema 16.3. Sia il segmento AB maggiore del segmento A ¢ B ¢, e gli angoli e, di conseguenza, i loro angoli di parallelismo. Quindi .

Prova. La dimostrazione di questo teorema segue direttamente dal Teorema 15.5 (vedi § 15) sull'angolo esterno di un triangolo degenere. Considera il segmento AB. Tracciamo una retta orientata per il punto A, perpendicolare ad AB, e per il punto B, una retta orientata, parallela (Fig. 65). Poniamo sul raggio AB il segmento AP uguale ad A ¢ B ¢. Poiché, allora P è il punto interno del segmento AB. Tracciamo una retta diretta C 1 C 2 passante per P, anch'essa parallela. L'angolo funge da angolo di parallelismo del segmento A ¢ B ¢ e l'angolo è l'angolo di parallelismo del segmento AB. D'altra parte, dal Teorema 15.2 sulla simmetria del concetto di parallelismo delle rette (vedi § 15) segue che la retta С 1 С 2 è parallela alla retta. Pertanto, il triangolo RBC 2 A 2 è degenere, è esterno e i suoi vertici interni. Il teorema 15.5 implica la veridicità dell'asserto dimostrato.

Il contrario è facile da dimostrare.

Teorema 16.4.Sia e gli angoli di parallelismo dei segmenti AB e A ¢ B ¢. Allora, se, allora AB> A ¢ B ¢.

Prova. Supponiamo il contrario,. Allora dai Teoremi 16.2 e 16.3 segue che , che contraddice l'ipotesi del teorema.

E così abbiamo dimostrato che ogni segmento corrisponde al proprio angolo di parallelismo, e il segmento più grande corrisponde a un angolo di parallelismo più piccolo. Considera un'affermazione che dimostri che per ogni angolo acuto esiste un segmento per il quale questo angolo è l'angolo di parallelismo. Questo stabilirà una corrispondenza biunivoca tra i segmenti e gli angoli acuti sul piano di Lobachevsky.

Teorema 16.5. Per ogni angolo acuto, esiste un segmento di linea per il quale questo angolo è l'angolo parallelo.

Prova. Sia dato un angolo acuto ABC (Fig. 66). Assumeremo che tutti i punti considerati nel seguito sui raggi BA e BC siano compresi tra i punti B e A e B e C. Chiamiamo ammissibile un raggio se la sua origine appartiene al lato dell'angolo BA, è perpendicolare alla retta BA e si trova nello stesso semipiano rispetto alla retta BA del lato BC dell'angolo dato. Passiamo alla proposta di Legendre: n Una perpendicolare disegnata a un lato di un angolo acuto in qualsiasi punto su quel lato interseca il secondo lato dell'angolo. Abbiamo dimostrato il Teorema 11.6 (vedi § 11), che afferma che La proposta di Legendre è equivalente all'assioma parallelo della geometria euclidea. Da ciò abbiamo concluso che sul piano di Lobachevsky è valida la negazione logica di questa affermazione, vale a dire, dal lato di qualsiasi angolo acuto c'è un punto tale che la perpendicolare ad esso, sollevata in questo punto, non intersechi il secondo lato dell'angolo(vedi § 13). Pertanto, esiste un tale raggio ammissibile m con l'origine nel punto M, che non interseca il lato BC dell'angolo dato (vedi Fig. 66).

Dividiamo i punti del segmento VM in due classi. Classe apparterrà a quei punti di questo segmento per cui i raggi ammissibili con origini in questi punti intersecano il lato BC di questo angolo, e la classe appartengono quei punti del segmento BC per i quali i raggi ammissibili con origine in questi punti non attraversano il lato BC. Mostriamo che una tale partizione del segmento BM forma una sezione di Dedekind (vedi Teorema 4.3, § 4). Per farlo, controlla che

5. e classi e contengono punti diversi da B e M;

6. qualsiasi punto della classe diverso da B si trova tra il punto B e qualsiasi punto della classe.

La prima condizione è ovviamente soddisfatta. Qualsiasi punto del segmento BM appartiene alla classe K 1 o alla classe K 2. Inoltre, un punto, in virtù della definizione di tali classi, non può appartenere a due classi contemporaneamente. Ovviamente possiamo supporre che il punto M appartenga a K 2, poiché il raggio ammissibile con origine nel punto M non interseca BC. La classe K 1 contiene almeno un punto diverso da B. Per costruirla è sufficiente selezionare un punto arbitrario P sul lato BC e far cadere da esso la perpendicolare PQ sulla trave BA. Se assumiamo che il punto Q sia compreso tra i punti M e A, allora i punti P e Q giacciono in semipiani differenti rispetto alla retta contenente il raggio m (vedi Fig. 66). Pertanto, il segmento PQ interseca il raggio m in un punto R. Otteniamo che due perpendicolari vengono lasciate cadere dal punto R sulla retta BA, il che contraddice il Teorema 4.2 (vedi § 4). Quindi, il punto Q appartiene al segmento BM, la classe K 1 contiene punti diversi da B. Si spiega facilmente perché sul raggio BA esiste un segmento contenente almeno un punto appartenente alla classe K 2 e diverso dal suo fine. Infatti, se la classe K 2 del segmento BM in esame contiene un solo punto M, allora scegliamo un punto M ¢ arbitrario tra M e A. Consideriamo un raggio ammissibile m ¢ con origine nel punto M ¢. Non interseca il raggio m, altrimenti due perpendicolari vengono lasciate cadere dal punto alla retta AB, quindi m ¢ non interseca il raggio BC. Il segmento VM ¢ è quello desiderato, e ogni ulteriore ragionamento dovrebbe essere svolto per il segmento VM ¢.

Verifichiamo la validità della terza condizione del Teorema 4.3. Supponiamo che ci siano tali punti e che il punto P si trovi tra il punto U e M (Fig. 67). Tracciamo i raggi ammissibili u e p con origine nei punti U e P. Poiché il raggio p interseca il lato BC di un dato angolo in un punto Q. La retta contenente il raggio u interseca il lato BP del triangolo BPQ, quindi, secondo l'assioma di Hilbert (assioma di Pasha, vedi § 3) interseca o il lato BQ o il lato PQ di questo triangolo. Ma, quindi, il raggio u non interseca il lato BQ, quindi i raggi pe u si intersecano in un punto R. Veniamo di nuovo a una contraddizione, poiché abbiamo costruito un punto dal quale due perpendicolari sono cadute sulla linea AB . La condizione del Teorema 4.3 è pienamente soddisfatta.

M. Ne consegue che. Abbiamo ottenuto una contraddizione, poiché abbiamo costruito un punto di classe K 1, situato tra i punti e M. Ci resta da mostrare che qualsiasi raggio interno dell'angolo interseca il raggio BC. Considera un raggio interno arbitrario h di questo angolo. Scegliamo su di esso un punto K arbitrario, appartenente all'angolo, e lasciamo cadere la perpendicolare da esso sulla linea BA (Fig. 69). La base S di questa perpendicolare appartiene ovviamente al segmento BM 0, cioè classe K 1 (dimostralo tu stesso). Ne segue che la perpendicolare KS interseca il lato BC dell'angolo dato in un punto T (vedi Fig. 69). Il raggio h ha attraversato il lato ST del triangolo BST nel punto K, secondo l'assioma (assioma di Pasha), deve intersecare il lato BS o il lato BT di questo triangolo. È chiaro che h non interseca il segmento BS, altrimenti due rette, h e BA, passano per due punti, e questo punto di intersezione. Quindi, h attraversa il lato BT, cioè raggio VA. Il teorema è completamente dimostrato.

E così, abbiamo stabilito che ogni segmento nella geometria di Lobachevsky può essere associato ad un angolo acuto - il suo angolo di parallelismo. Supponiamo di aver introdotto la misura degli angoli e dei segmenti; notate che la misura dei segmenti sarà da noi introdotta più avanti, al §. Introduciamo la seguente definizione.

Definizione 16.6. Se x è la lunghezza del segmento e j è il valore dell'angolo, allora la dipendenza j = P (x), che associa la lunghezza del segmento al valore del suo angolo di parallelismo, è chiamata funzione di Lobachevsky.

È chiaro che. Usando le proprietà dell'angolo di parallelismo di un segmento dimostrate sopra (vedi Teoremi 16.3 e 16.4), possiamo trarre la seguente conclusione: la funzione di Lobachevsky è monotona decrescente. Nikolai Ivanovich Lobachevsky ha ottenuto la seguente formula notevole:

dove k è un numero positivo. È importante nella geometria dello spazio di Lobachevsky ed è chiamato il suo raggio di curvatura. Due spazi di Lobachevsky con lo stesso raggio di curvatura sono isometrici. Dalla formula sopra, come è facile vedere, segue anche che j = P (x) è una funzione continua monotonicamente decrescente i cui valori appartengono all'intervallo.

Sul piano euclideo fissiamo un cerchio w centrato in un punto O e con raggio uguale a uno, che chiameremo assoluto... L'insieme di tutti i punti del cerchio delimitato dal cerchio w sarà indicato con W , e l'insieme di tutti i punti interni di questo cerchio con W. Così,. I punti dell'insieme W saranno chiamati L-punti L'insieme W di tutti i punti L è L-aereo, su cui costruiremo il modello di Cayley-Klein del piano di Lobachevsky. chiameremo L ‑ diritto accordi arbitrari del cerchio w. Assumeremo che il punto L X appartenga alla L-retta x se e solo se il punto X come punto del piano euclideo appartiene alla corda x dell'assoluto.

L-plane, vale l'assioma di Lobachevsky del parallelismo: attraverso un L - punto B che non giace sulla L - linea a passano almeno due L - linee b e c che non hanno punti in comune con la L - linea a. La Figura 94 illustra questa affermazione. È anche facile capire quali sono le linee dirette parallele del piano L. Consideriamo la Figura 95. La L-line b passa per l'intersezione della L-line a con l'assoluto. Pertanto, la linea L direzionale A 1 A 2 è parallela alla linea L direzionale B 1 A 2. Infatti, queste linee non si intersecano, e se scegliamo arbitrariamente L-punti A e B appartenenti a queste linee, rispettivamente, allora qualsiasi raggio interno h dell'angolo A 2 BA interseca la linea a. Quindi, due linee L sono parallele se hanno un punto di intersezione comune con un assoluto. È chiaro che la proprietà di simmetria e transitività del concetto di parallelismo di L-linee è soddisfatta. Nel paragrafo 15 abbiamo dimostrato la proprietà della simmetria, mentre la proprietà della transitività è illustrata in Figura 95. La retta A 1 A 2 è parallela alla retta B 1 A 2, intersecano l'assoluto nel punto A 2. Anche le rette B 1 A 2 e C 1 A 2 sono parallele, anch'esse intersecano l'assoluto nello stesso punto A 2. Pertanto, le rette A 1 A 2 e C 1 A 2 sono parallele tra loro.

Pertanto, i concetti di base sopra definiti soddisfano i requisiti degli assiomi I 1 -I 3, II, III, IV dei gruppi degli assiomi di Hilbert e l'assioma del parallelismo di Lobachevsky, quindi sono un modello del piano di Lobachevsky. Abbiamo dimostrato la sostanziale consistenza della planimetria di Lobachevsky. Formuliamo questa affermazione come il seguente teorema.

Teorema 1. La geometria di Lobachevsky è coerente in termini di contenuto.

Abbiamo costruito un modello dell'aereo Lobachevsky, ma con la costruzione di un modello spaziale simile a quello considerato su un aereo, puoi familiarizzare nel manuale.

La conclusione più importante segue dal Teorema 1. L'assioma del parallelismo non è una conseguenza degli assiomi I - IV degli assiomi di Hilbert. Poiché il quinto postulato di Euclide è equivalente all'assioma del parallelismo della geometria euclidea, anche questo postulato non dipende dal resto degli assiomi di Hilbert.

”Dedicata al rapporto tra scienza russa e britannica, la matematica Valentina Kirichenko racconta a PostNauka la natura rivoluzionaria delle idee di Lobachevsky per la geometria del XIX secolo.

Le linee parallele non si intersecano nemmeno nella geometria di Lobachevsky. Da qualche parte nei film puoi spesso trovare la frase: "E le linee parallele del nostro Lobachevsky si intersecano". Sembra bello, ma non è vero. Nikolai Ivanovich Lobachevsky ha davvero inventato una geometria straordinaria, in cui le linee parallele si comportano in modo molto diverso da come siamo abituati. Ma ancora non si sovrappongono.

Siamo abituati a pensare che due rette parallele non convergano e non si allontanino. Cioè, non importa quale punto prendiamo sulla prima linea, la distanza da essa alla seconda linea è la stessa, non dipende dal punto. Ma è davvero così? E perché è così? E come si può verificare questo?

Se stiamo parlando di linee rette fisiche, allora abbiamo a disposizione per l'osservazione solo una piccola sezione di ciascuna linea retta. E visti gli errori di misurazione, non saremo in grado di trarre conclusioni definitive su come si comportano le rette molto, molto lontano da noi. Gli antichi greci avevano domande simili. Nel III secolo aC, l'antico geometra greco Euclide delineò in modo molto accurato la proprietà principale delle linee parallele, che non riuscì né a dimostrare né a confutare. Pertanto, lo chiamò un postulato - una dichiarazione che dovrebbe essere presa sulla fede. Questo è il famoso quinto postulato di Euclide: se due rette nel piano si intersecano con la secante, in modo che la somma degli angoli interni unilaterali sia minore di due rette, cioè minore di 180 gradi, allora con sufficiente continuazione queste due rette si intersecano, ed è dalla parte della secante lungo la quale la somma è minore di due angoli retti.

Le parole chiave di questo postulato sono "con sufficiente continuazione". È a causa di queste parole che il postulato non può essere verificato empiricamente. Forse le linee si intersecheranno nella linea di vista. Forse dopo 10 chilometri o oltre l'orbita di Plutone, o forse anche in un'altra galassia.

Euclide ha delineato i suoi postulati e risultati, che ne conseguono logicamente, nel famoso libro "Inizi". Dall'antico nome greco di questo libro deriva la parola russa "elementi" e dal nome latino - la parola "elementi". Gli inizi di Euclide è il libro di testo più popolare di tutti i tempi. Per numero di edizioni è seconda solo alla Bibbia.

Vorrei in particolare segnalare la meravigliosa edizione britannica del 1847 con infografiche molto chiare e belle. Invece di designazioni noiose nei disegni, usano disegni colorati, non come nei moderni libri di testo di geometria della scuola.

Fino al secolo scorso, gli "Inizi" di Euclide erano necessari per lo studio in tutti i programmi educativi, che implicavano la creatività intellettuale, cioè non solo l'apprendimento di un mestiere, ma qualcosa di più intellettuale. La non ovvietà del quinto postulato di Euclide ha sollevato una domanda naturale: è possibile dimostrarlo, cioè dedurlo logicamente dal resto delle assunzioni euclidee? Molti matematici, dai contemporanei di Euclide a quelli di Lobachevsky, tentarono di farlo. Di regola, hanno ridotto il quinto postulato a un'affermazione più visiva, che è più facile da credere.

Ad esempio, nel 17 ° secolo, il matematico inglese John Wallis ha ridotto il quinto postulato a questa affermazione: ci sono due triangoli simili, ma disuguali, cioè due triangoli i cui angoli sono uguali, ma le dimensioni sono diverse. Sembrerebbe, cosa potrebbe essere più semplice? Cambiamo solo la scala. Ma si scopre che la capacità di cambiare la scala mantenendo tutti gli angoli e le proporzioni è una proprietà esclusiva della geometria euclidea, cioè la geometria in cui sono soddisfatti tutti i postulati euclidei, incluso il quinto.

Nel XVIII secolo, lo studioso scozzese John Playfair riformulò il quinto postulato nella forma in cui di solito appare nei libri di testo scolastici moderni: due linee rette che si intersecano non possono essere parallele alla terza linea contemporaneamente. È in questa forma che il quinto postulato compare nei testi scolastici moderni.

All'inizio del XIX secolo, molti avevano l'impressione che dimostrare il quinto postulato fosse come inventare una macchina del moto perpetuo, un esercizio completamente inutile. Ma anche supporre che la geometria di Euclide non sia l'unica possibile, nessuno ha avuto il coraggio: l'autorità di Euclide era troppo grande. In una tale situazione, le scoperte di Lobachevsky erano, da un lato, naturali e, dall'altro, assolutamente rivoluzionarie.

Lobachevsky ha sostituito il quinto postulato con l'affermazione esattamente opposta. L'assioma di Lobachevsky suonava così: se da un punto che non giace su una linea retta, rilascia tutti i raggi che intersecano questa linea retta, allora a sinistra e a destra questi raggi saranno limitati da due raggi limite, che non intersecheranno più il linea retta, ma vi si avvicinerà sempre di più. Inoltre, l'angolo tra questi raggi limitanti sarà rigorosamente inferiore a 180 gradi.

Segue immediatamente dall'assioma di Lobachevsky che attraverso un punto che non giace su una retta data, è possibile tracciare non una retta parallela a una data, come in Euclide, ma quante ne vuoi. Ma queste rette si comporteranno diversamente da quelle di Euclide. Ad esempio, se abbiamo due rette parallele, allora possono prima avvicinarsi e poi allontanarsi. Cioè, la distanza da un punto sulla prima linea alla seconda linea dipenderà dal punto. Sarà diverso per i diversi punti.

La geometria di Lobachevsky contraddice la nostra intuizione in parte perché alle piccole distanze con cui di solito ci occupiamo, differisce molto poco da quella euclidea. Allo stesso modo, percepiamo la curvatura della superficie terrestre. Quando camminiamo di casa in negozio, ci sembra di camminare in linea retta e la Terra è piatta. Ma se voliamo, diciamo, da Mosca a Montreal, allora notiamo già che l'aereo sta volando in un arco di cerchio, perché questo è il percorso più breve tra due punti sulla superficie terrestre. Cioè, notiamo che la Terra sembra più un pallone da calcio che una frittella.

La geometria di Lobachevsky può anche essere illustrata con l'aiuto di un pallone da calcio, non ordinario, ma iperbolico. Un pallone da calcio iperbolico è incollato insieme come uno normale. Solo in una normale palla, gli esagoni bianchi sono incollati ai pentagoni neri e in una palla iperbolica, invece dei pentagoni, è necessario creare ettagoni e incollarli anche con esagoni. In questo caso, ovviamente, non si rivelerà una palla, ma piuttosto una sella. E su questa sella si realizza la geometria di Lobachevsky.

Lobachevsky cercò di parlare delle sue scoperte nel 1826 all'Università di Kazan. Ma il testo del rapporto non è sopravvissuto. Nel 1829 pubblicò un articolo sulla sua geometria in una rivista universitaria. I risultati di Lobachevsky sembravano privi di significato a molti, non solo perché distruggevano la solita immagine del mondo, ma perché non erano presentati nel modo più comprensibile.

Tuttavia, Lobachevsky aveva anche pubblicazioni su riviste di alto livello, come le chiamiamo oggi. Ad esempio, nel 1836 pubblicò un articolo intitolato "Imaginary Geometry" in francese sulla famosa rivista Crell, nello stesso numero con articoli dei più famosi matematici dell'epoca - Dirichlet, Steiner e Jacobi. E nel 1840 Lobachevsky pubblicò un piccolo libro scritto in modo molto comprensibile intitolato "Indagini geometriche nella teoria delle linee parallele". Il libro era in tedesco e pubblicato in Germania. Apparve subito una recensione devastante. Il recensore ha particolarmente deriso la frase di Lobachevsky: "Più continuiamo in linea retta nella direzione del loro parallelismo, più si avvicinano l'uno all'altro". "Questa affermazione da sola", ha scritto il revisore, "caratterizza già abbastanza il lavoro del signor Lobachevsky e libera il revisore dalla necessità di un'ulteriore valutazione".

Ma il libro ha anche un lettore imparziale. Questo era Karl Friedrich Gauss, noto anche con il soprannome di Re dei matematici, uno dei più grandi matematici della storia. Ha elogiato il libro di Lobachevsky in una delle sue lettere. Ma la sua recensione fu pubblicata solo dopo la sua morte, insieme al resto della corrispondenza. E poi iniziò il vero boom della geometria di Lobachevsky.

Nel 1866 il suo libro fu tradotto in francese, poi in inglese. Inoltre, l'edizione inglese è stata ristampata altre tre volte per via della sua straordinaria popolarità. Sfortunatamente, Lobachevsky non è stato all'altezza di questo momento. Morì nel 1856. E nel 1868 apparve un'edizione russa del libro di Lobachevsky. Non è stato pubblicato come libro, ma come articolo nella più antica rivista russa "Mathematical Collection". Ma allora questa rivista era molto giovane, non aveva ancora due anni. Ma la più famosa è la traduzione russa del 1945, realizzata dal notevole geometra russo e sovietico Veniamin Fedorovich Kagan.

Alla fine del XIX secolo, i matematici erano divisi in due fazioni. Alcuni accettarono immediatamente i risultati di Lobachevsky e iniziarono a sviluppare ulteriormente le sue idee. Altri non potevano rinunciare alla convinzione che la geometria di Lobachevsky descriva qualcosa che non esiste, cioè la geometria di Euclide è l'unica vera e nient'altro può essere. Sfortunatamente, quest'ultimo includeva il matematico, meglio conosciuto come l'autore di "Alice nel paese delle meraviglie" - Lewis Carroll. Il suo vero nome è Charles Dodgson. Nel 1890 pubblicò un articolo intitolato "Una nuova teoria dei paralleli", in cui difendeva una versione altamente visiva del quinto postulato. L'assioma di Lewis Carroll suona così: se inscrivi un quadrilatero regolare in un cerchio, l'area di questo quadrilatero sarà strettamente più grande dell'area di uno qualsiasi dei segmenti del cerchio che si trovano all'esterno del quadrilatero. Nella geometria di Lobachevsky, questo assioma non è vero. Se prendiamo un cerchio sufficientemente grande, non importa quale quadrilatero vi inscriviamo, non importa quanto siano lunghi i lati di questo quadrilatero, l'area del quadrilatero sarà limitata da una costante fisica universale. In generale, la presenza di costanti fisiche e misure universali di lunghezza è una vantaggiosa differenza tra la geometria di Lobachevsky e la geometria di Euclide.

Ma Arthur Cayley, un altro famoso matematico inglese, nel 1859, cioè appena tre anni dopo la morte di Lobachevsky, pubblicò un articolo che in seguito contribuì a legalizzare il postulato di Lobachevsky. È interessante notare che Cayley a quel tempo lavorava come avvocato a Londra e solo allora ricevette una cattedra a Cambridge. In effetti, Cayley costruì il primo modello della geometria di Lobachevsky, sebbene a prima vista stesse risolvendo un problema completamente diverso.

E un altro meraviglioso matematico inglese, il cui nome era William Kingdon Clifford, era profondamente imbevuto delle idee di Lobachevsky. E in particolare, è stato il primo a proporre l'idea molto prima della creazione della relatività generale che la gravità è causata dalla curvatura dello spazio. Clifford ha valutato il contributo di Lobachevsky alla scienza in una delle sue lezioni sulla filosofia della scienza: "Lobachevsky divenne per Euclide ciò che Copernico divenne per Tolomeo". Se prima di Copernico l'umanità credeva di sapere tutto dell'Universo, ora ci è chiaro che osserviamo solo una piccola parte dell'Universo. Allo stesso modo, prima di Lobachevsky, l'umanità credeva che esistesse solo una geometria: euclidea, tutto al riguardo è noto da tempo. Ora sappiamo che ci sono molte geometrie, ma non sappiamo tutto di esse.

Quinto postulato di Euclide "Se una retta cadendo su due rette forma angoli interni unilaterali, in totale meno di due rette, allora, continuate all'infinito, queste due rette si incontreranno dalla parte dove gli angoli nella somma sono minori di due rette" a molti matematici anche nell'antichità sembrava in qualche modo poco chiaro, anche a causa della complessità della sua formulazione.

Sembrava che solo le frasi elementari, semplici nella forma, dovessero essere postulati. A tal proposito, il 5° postulato è diventato oggetto di particolare attenzione da parte dei matematici, e la ricerca su questo tema può essere suddivisa in due direzioni, infatti, sono strettamente collegate tra loro. Il primo ha cercato di sostituire questo postulato con uno più semplice e intuitivamente più chiaro, come, ad esempio, l'affermazione formulata da Proclo “Attraverso un punto che non giace su una data retta, si può tracciare una sola retta che non si intersecano con quello dato”: è in questa forma che il 5° postulato, o meglio, l'assioma parallelo, ad esso equivalente, compare nei manuali moderni.

I rappresentanti della seconda direzione hanno cercato di dimostrare il quinto postulato sulla base di altri, cioè trasformarlo in un teorema. Tentativi di questo tipo furono avviati da un certo numero di matematici arabi del Medioevo: al-Abbas al-Jauhari (inizio del IX secolo), Sabit ibn Korrah, Ibn al-Khaisam, Omar Khayyam, Nasireddin at-Tusi. Successivamente, gli europei si unirono a questi studi: Levi Ben Gershon (XIV secolo) e Alfonso (XV secolo) che scrissero in ebraico, e poi il gesuita tedesco H. Clavius (1596), l'inglese J. Wallis (1663), e altri L'interesse per questo problema sorse nel XVIII secolo: dal 1759 al 1800 furono pubblicati 55 lavori che analizzavano questo problema, tra cui opere molto importanti del gesuita italiano G. Saccheri e del tedesco I. G. Lambert.

Le dimostrazioni venivano solitamente eseguite con il metodo "per contraddizione": dal presupposto che il quinto postulato non fosse soddisfatto, si cercava di dedurre conseguenze che sarebbero in contraddizione con altri postulati e assiomi. In realtà, però, alla fine non ottennero una contraddizione con altri postulati, ma con qualche proposizione "ovvia" esplicita o implicita, che però non poteva essere stabilita sulla base di altri postulati e assiomi della geometria euclidea: così , le prove non hanno raggiunto il loro obiettivo , - si è scoperto che al posto del quinto postulato, ancora una volta, è stata messa qualche altra affermazione equivalente. Ad esempio, le seguenti disposizioni sono state prese come tale dichiarazione:

Riso. 2. Ci sono linee rette equidistanti tra loro

Riso. 4. Due linee convergenti si intersecano

La geometria in cui queste affermazioni non reggono è, ovviamente, non la stessa a cui siamo abituati, ma non ne consegue che sia impossibile o che queste affermazioni derivino da altri postulati e assiomi di Euclide, così che tutti le prove avevano alcune lacune. o stiramenti. Clavio sostanziava l'assunto che ci siano linee rette, equidistanti tra loro, dalla "definizione" euclidea di una linea retta come linea, equamente distanziata rispetto ai punti su di essa. Wallis fu il primo a basare la sua dimostrazione del 5° postulato sulla posizione "naturale", secondo la quale per ogni figura ce n'è una simile di grandezza arbitrariamente grande, e sostanziava questa affermazione con il 3° postulato di Euclide, che asserisce da ogni centro e qualsiasi soluzione può descrivere un cerchio (infatti, l'affermazione sull'esistenza, ad esempio, di triangoli simili disuguali o addirittura di cerchi è equivalente al quinto postulato). AM Legendre nelle successive edizioni del libro di testo "Principles of Geometry" (1794, 1800, 1823) ha fornito nuove dimostrazioni del quinto postulato, ma un'attenta analisi ha mostrato lacune in queste dimostrazioni. Avendo sottoposto Legendre a giusta critica, il nostro connazionale S. Ye. Guriev nel suo libro "Esperienza sul miglioramento degli elementi di geometria" (1798), tuttavia, ha commesso un errore nel dimostrare il quinto postulato.

Abbastanza rapidamente si realizzò il collegamento tra la somma degli angoli di un triangolo e di un quadrilatero e il 5° postulato: il 5° postulato segue dall'affermazione che la somma degli angoli di un triangolo è uguale a due rette, che possono essere dedotto dall'esistenza di rettangoli. A questo proposito, si è diffuso un approccio (è stato seguito da Khayyam, at-Tusi, Wallis, Sakkeri), in cui si considera un quadrilatero, che si ottiene come risultato di disporre segmenti uguali su due perpendicolari a una retta . Si indagano tre ipotesi: i due angoli superiori sono acuti, ottusi o diritti; si cerca di mostrare che le ipotesi degli angoli ottusi e acuti portano alla contraddizione.

Un altro approccio (è stato utilizzato da Ibn al-Haytham, Lambert) ha analizzato tre ipotesi simili per un quadrilatero con tre angoli retti.

Saccheri e Lambert hanno mostrato che le ipotesi degli angoli ottusi portano effettivamente a una contraddizione, ma non sono riusciti a trovare contraddizioni quando si considerano le ipotesi degli angoli acuti: Saccheri ha tratto la conclusione su tale contraddizione solo come risultato di un errore, e Lambert ha concluso che l'apparente assenza di contraddizione nell'ipotesi dell'angolo acuto era dovuta a qualche ragione fondamentale. Lambert scoprì che, accettando l'ipotesi di un angolo acuto, la somma degli angoli di ciascun triangolo è inferiore a 180° di una quantità proporzionale alla sua area, e confrontò con ciò quanto scoperto all'inizio. XVII secolo la posizione secondo la quale l'area di un triangolo sferico, al contrario, è maggiore di 180 ° di una quantità proporzionale alla sua area.

Nel 1763, GS Klugel pubblicò "A Review of the Most Important Tents to Prove the Theory of Parallel Lines", dove esaminò circa 30 prove del quinto postulato e rivelò errori in esse. Klugel concluse che Euclide collocava abbastanza ragionevolmente la sua affermazione tra i postulati.

Tuttavia, i tentativi di dimostrare il 5° postulato giocarono un ruolo molto importante: cercando di portare ad una contraddizione le affermazioni opposte, questi ricercatori scoprirono infatti molti importanti teoremi della geometria non euclidea - in particolare, una geometria in cui il 5° postulato è sostituito da l'enunciato circa la possibilità di tracciare per un dato punto almeno due rette che non intersecano quella data. Questa affermazione, equivalente all'ipotesi dell'angolo acuto, fu la base per gli scopritori della geometria non euclidea.

Diversi scienziati sono giunti indipendentemente all'idea che l'assunzione di un'alternativa al 5° postulato porti alla costruzione di una geometria diversa da quella euclidea, ma ugualmente coerente: K.F. Gauss, N.I. Lobachevsky e J. Boyai (oltre a F K. Schweickart e FA Taurino, il cui contributo alla nuova geometria fu però più modesto e che non pubblicò le proprie ricerche). Gauss, a giudicare dalle registrazioni conservate nel suo archivio (e pubblicate solo nel 1860), intuì la possibilità di una nuova geometria negli anni 1810, ma non pubblicò mai le sue scoperte su questo argomento: "Ho paura del grido dei Beoti (cioè, sciocchi: gli abitanti della regione della Beozia erano considerati i più stupidi nell'antica Grecia), se esprimo interamente le mie opinioni ", scrisse nel 1829 al suo amico matematico FV Bessel. L'equivoco toccò a Lobachevsky, che fece il primo rapporto sulla nuova geometria nel 1826 e pubblicò i risultati ottenuti nel 1829. Nel 1842 Gauss ottenne l'elezione di Lobachevsky come membro corrispondente della Società Scientifica di Göttingen: questo fu l'unico riconoscimento dei meriti di Lobachevsky durante la sua vita ... Padre J. Boyai - il matematico Farkash Boyai, che ha anche cercato di dimostrare il quinto postulato - ha messo in guardia suo figlio contro la ricerca in questa direzione: “... può privarti del tuo tempo libero, della salute, della pace, di tutte le gioie della vita. Questo nero abisso è in grado, forse, di assorbire un migliaio di titani come Newton, sulla Terra questo non sarà mai ripulito…”. Tuttavia, J. Boyai pubblicò i suoi risultati nel 1832 in un'appendice a un libro di testo di geometria scritto da suo padre. Anche Boyai non ottenne il riconoscimento, inoltre, era sconvolto dal fatto che Lobachevsky fosse davanti a lui: non era più impegnato nella geometria non euclidea. Quindi solo Lobachevsky, per il resto della sua vita, in primo luogo, continuò la ricerca in un nuovo campo e, in secondo luogo, promosse le sue idee, pubblicò numerosi libri e articoli sulla nuova geometria.

Quindi, nel piano di Lobachevsky, almeno due rette che non si intersecano AB passano per il punto C esterno alla retta data AB. Tutte le linee che passano per C sono divise in due classi: AB intersecante e non intersecante. Queste ultime giacciono in un certo angolo formato da due rette estreme che non intersecano AB. Sono queste linee che Lobachevsky chiama parallele alla retta AB, e l'angolo tra loro e la perpendicolare è l'angolo di parallelismo. Questo angolo dipende dalla distanza dal punto C alla retta AB: maggiore è questa distanza, minore è l'angolo di parallelismo. Le rette che si trovano all'interno dell'angolo si dicono divergenti rispetto ad AB.

Qualsiasi due rette divergenti peq hanno un'unica perpendicolare comune t, che è il segmento di retta più corto dall'una all'altra. Se il punto M si sposta lungo p nella direzione da t, allora la distanza da M a q aumenterà all'infinito e le basi delle perpendicolari cadute da M a q riempiranno solo un segmento finito.

Se le linee p e q si intersecano, anche le proiezioni dei punti di una di esse sull'altra riempiono il segmento limitato.

Se le rette peq sono parallele, allora in una direzione le distanze tra i loro punti diminuiscono indefinitamente, mentre nell'altra aumentano indefinitamente; una linea retta viene proiettata su un altro raggio.

Le figure mostrano varie posizioni reciproche delle rette peq, che sono possibili nella geometria di Lobachevsky; r e s sono perpendicolari parallele a q. (Siamo costretti a tracciare una linea curva q, sebbene stiamo parlando di una linea retta. Anche se il nostro mondo nel suo insieme obbedisse alle leggi della geometria di Lobachevsky, non saremmo ancora in grado di rappresentare su piccola scala senza distorsioni come tutto guarda in grande: nella geometria di Lobachevsky non ci sono figure simili che non siano uguali).

All'interno dell'angolo, c'è una linea retta parallela a entrambi i lati dell'angolo. Divide tutti i punti all'interno dell'angolo in due tipi: attraverso i punti del primo tipo, puoi disegnare linee rette che intersecano entrambi i lati dell'angolo; nessuna retta del genere può essere tracciata attraverso punti del secondo tipo. Lo stesso vale per lo spazio tra le linee parallele. Tra due rette divergenti ci sono due rette parallele ad entrambe; dividono lo spazio tra le linee divergenti in tre aree: attraverso i punti in un'area, puoi disegnare linee che intersecano entrambi i lati dell'angolo; tali linee non possono essere tracciate attraverso i punti nelle altre due regioni.

Un angolo acuto, non un angolo retto, poggia sempre sul diametro di un cerchio. Il lato di un esagono regolare inscritto in una circonferenza è sempre maggiore del suo raggio. Per ogni n> 6 è possibile costruire un cerchio tale che il lato di un n-gon regolare inscritto in esso sia uguale al suo raggio.

Lobachevsky era interessato alla questione della geometria dello spazio fisico, in particolare, utilizzando i dati delle osservazioni astronomiche, ha calcolato la somma degli angoli di grandi triangoli interstellari: tuttavia, la differenza tra questa somma di angoli da 180 ° giaceva interamente all'interno dell'errore di osservazione. L'equivoco che è caduto nella sorte di Lobachevsky, che lui stesso ha definito la sua geometria "immaginaria", è in gran parte dovuto al fatto che ai suoi tempi tali idee sembravano essere pure astrazioni e un gioco dell'immaginazione. La nuova geometria è davvero coerente? (Dopotutto, anche se Lobachevsky non è riuscito a incontrare una contraddizione, ciò non garantisce che non verrà scoperto in seguito). Come si relaziona al mondo reale, così come ad altre aree della matematica? Ciò divenne chiaro tutt'altro che immediatamente, e il successo che alla fine cadde sul lotto di nuove idee fu associato alla scoperta di modelli di nuova geometria.