Operazioni sugli insiemi e loro proprietà. Imposta. Operazioni sugli insiemi Operazioni sugli insiemi

Concetti di base della teoria degli insiemi

Il concetto di insieme è un concetto fondamentale nella matematica moderna. Lo considereremo originale e costruiremo la teoria degli insiemi intuitivamente. Diamo una descrizione di questo concetto iniziale.

MoltiÈ una raccolta di oggetti (oggetti o concetti), pensata come un tutto unico. Gli oggetti inclusi in questa collezione si chiamano elementi imposta.

Puoi parlare di molti studenti del primo anno del dipartimento di matematica, di molti pesci nell'oceano, ecc. La matematica è solitamente interessata a una varietà di oggetti matematici: un insieme di numeri razionali, un insieme di rettangoli, ecc.

Gli insiemi saranno indicati con le lettere maiuscole dell'alfabeto latino e i suoi elementi con quelle minuscole.

Se è un elemento dell'insieme m, poi dicono "appartiene m"E scrivi:. Se qualche oggetto non è un elemento dell'insieme, allora dicono "non appartiene m"E scrivi (a volte).

Esistono due modi principali per definire gli insiemi: enumerazione suoi elementi e indicazioni proprietà caratteristica suoi elementi. Il primo di questi metodi è utilizzato principalmente per gli insiemi finiti. Quando si elencano gli elementi dell'insieme in esame, i suoi elementi sono circondati da parentesi graffe. Per esempio, denota un insieme, i cui elementi sono i numeri 2, 4, 7 e solo loro. Questo metodo non è sempre applicabile, poiché, ad esempio, l'insieme di tutti i numeri reali non può essere impostato in questo modo.

Proprietà caratteristica elementi dell'insieme mÈ una tale proprietà a cui appartiene qualsiasi elemento che possiede questa proprietà? m, e qualsiasi elemento che non ha questa proprietà non appartiene a m... L'insieme di elementi con una proprietà è indicato come segue:

o .

I set più comuni hanno le loro designazioni speciali. In futuro, ci atterremo alla seguente notazione:

n= È l'insieme di tutti i numeri naturali;

Z= - l'insieme di tutti i numeri interi;

- l'insieme di tutti i numeri razionali;

R- l'insieme di tutti i numeri reali (reali), ad es. numeri razionali (frazioni periodiche decimali infinite) e numeri irrazionali (frazioni non periodiche decimali infinite);

- l'insieme di tutti i numeri complessi.

Diamo esempi più speciali di specificazione di insiemi specificando una proprietà caratteristica.

Esempio 1. L'insieme di tutti i divisori naturali di 48 può essere scritto come segue: (la notazione è usata solo per i numeri interi e significa che è divisibile per).

Esempio 2. L'insieme di tutti i numeri razionali positivi minori di 7 è scritto come segue:.

Esempio 3. - un intervallo di numeri reali con estremi 1 e 5; - un segmento di numeri reali con estremità 2 e 7.

La parola "molti" suggerisce che contiene molti elementi. Ma non è sempre così. In matematica si possono considerare insiemi contenenti un solo elemento. Ad esempio, l'insieme delle radici intere dell'equazione ... Inoltre, è conveniente parlare di un insieme che non contiene un solo elemento. Tale insieme è chiamato vuoto ed è indicato con Ø. Ad esempio, l'insieme delle radici reali dell'equazione è vuoto.

Definizione 1. Insiemi e sono chiamati pari(denotato da A = B) se questi insiemi sono costituiti dagli stessi elementi.

Definizione 2. Se ogni elemento dell'insieme appartiene all'insieme, allora chiamiamo sottoinsieme imposta.

Legenda: ("incluso in"); ("Include").

È chiaro che Ø e l'insieme stesso sono sottoinsiemi dell'insieme. Qualsiasi altro sottoinsieme dell'insieme è chiamato suo la parte giusta... Se e, allora dicono che " UN – sottoinsieme proprio"O quello" Ed è strettamente incluso in"E scrivi.

La seguente affermazione è ovvia: moltitudini e sono uguali se e solo se e.

Questa affermazione si basa su un metodo universale per dimostrare l'uguaglianza di due insiemi: per dimostrare che gli insiemi e sono uguali, è sufficiente dimostrare che ,un è un sottoinsieme dell'insieme .

Questo è il metodo più comune, anche se non l'unico. Più tardi, avendo acquisito familiarità con le operazioni sugli insiemi e le loro proprietà, indicheremo un altro modo per dimostrare l'uguaglianza di due insiemi: usando le trasformazioni.

In conclusione, notiamo che spesso nell'una o nell'altra teoria matematica si tratta di sottoinsiemi dello stesso insieme tu che è chiamato universale in questa teoria. Ad esempio, nell'algebra scolastica e nell'analisi matematica, l'insieme è universale R numeri reali, in geometria - un insieme di punti nello spazio.

Operazioni sugli insiemi e loro proprietà

Sugli insiemi, puoi eseguire azioni (operazioni) che assomigliano ad addizione, moltiplicazione e sottrazione.

Definizione 1. Consolidamento insiemi ed è chiamato insieme, denotato da, ogni cui elemento appartiene ad almeno uno degli insiemi o.

L'operazione stessa, a seguito della quale si ottiene un tale insieme, è chiamata unione.

Breve resoconto della definizione 1:

Definizione 2. attraversamento insiemi ed è chiamato insieme, denotato da, contenente tutti quegli e solo quegli elementi, ciascuno dei quali appartiene a e, e.

L'operazione stessa, che risulta in un insieme, è chiamata intersezione.

Definizione 2 in breve:

Ad esempio, se , , poi , .

Gli insiemi possono essere rappresentati come forme geometriche, che consentono di illustrare visivamente le operazioni sugli insiemi. Questo metodo è stato proposto da Leonard Euler (1707-1783) per l'analisi del ragionamento logico, è stato ampiamente utilizzato ed è stato ulteriormente sviluppato nelle opere del matematico inglese John Venn (1834-1923). Pertanto, tali disegni sono chiamati diagrammi di Eulero-Venn.

Le operazioni di unione e intersezione di insiemi possono essere illustrate dai diagrammi di Eulero – Venn come segue:

- parte ombreggiata; - parte ombreggiata.

È possibile definire l'unione e l'intersezione di qualsiasi raccolta di insiemi, dove è un insieme di indici.

Definizione. Consolidamento un insieme di insiemi è un insieme costituito da tutti quegli e solo quegli elementi, ciascuno dei quali appartiene ad almeno uno degli insiemi.

Definizione. attraversamento un insieme di insiemi è un insieme costituito da tutti quegli e solo quegli elementi, ognuno dei quali appartiene a uno qualsiasi degli insiemi.

Nel caso in cui l'insieme degli indici sia finito, ad esempio, , quindi per indicare l'unione e l'intersezione di una raccolta di insiemi in questo caso, di solito usano la notazione:

e .

Ad esempio, se , , , poi , .

I concetti di unione e intersezione di insiemi si incontrano ripetutamente nel corso di matematica della scuola.

Esempio 1. Molti m soluzioni al sistema delle disuguaglianze

è l'intersezione degli insiemi di soluzioni a ciascuna delle disuguaglianze di questo sistema:.

Esempio 2. Molti m soluzioni di sistema

è l'intersezione degli insiemi di soluzioni per ciascuna delle disuguaglianze di questo sistema. L'insieme delle soluzioni della prima equazione è l'insieme dei punti su una retta, ad es. ... Molti . Il set è composto da un elemento: i punti di intersezione delle linee.

Esempio 3. L'insieme delle soluzioni dell'equazione

dove , è l'unione degli insiemi di soluzioni di ciascuna delle equazioni, cioè

Definizione 3. Differenza set e detto insieme, denotato da, e costituito da tutti quegli e solo quegli elementi che appartengono, ma non appartengono .– parte ombreggiata; ... con operazioni di unione, intersezione e complemento. La struttura matematica risultante è chiamata algebra degli insiemi o Algebra booleana degli insiemi(incluso il matematico e logico irlandese George Boole (1816-1864)). Indichiamo l'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme arbitrario e lo chiamiamo booleano imposta.

Le uguaglianze elencate di seguito sono valide per qualsiasi sottoinsieme A, B, C set universale tu Pertanto, sono chiamati le leggi dell'algebra degli insiemi.

L'analisi matematica è una branca della matematica che si occupa dello studio delle funzioni basato sull'idea di una funzione infinitesimale.

I concetti di base dell'analisi matematica sono: valore, insieme, funzione, funzione infinitesimale, limite, derivata, integrale.

La grandezza si chiama tutto ciò che può essere misurato ed espresso da un numero.

Molti si chiama insieme di alcuni elementi uniti da qualche caratteristica comune. Gli elementi di un insieme possono essere numeri, figure, oggetti, concetti, ecc.

Gli insiemi sono indicati da lettere maiuscole e gli elementi sono indicati da multipli in lettere minuscole. Gli elementi dell'insieme sono racchiusi tra parentesi graffe.

Se elemento X appartiene al set X allora scrivi X∈NS (∈ - appartiene).
Se l'insieme A fa parte dell'insieme B, allora scrivi A ⊂ B (⊂ - contiene).

Un insieme può essere specificato in due modi: tramite enumerazione e utilizzando una proprietà di definizione.

Ad esempio, i seguenti set sono specificati dall'enumerazione:

A = (1,2,3,5,7) - un insieme di numeri
X = (x 1, x 2, ..., x n) - l'insieme di alcuni elementi x 1, x 2, ..., x n
N = (1,2, ..., n) - insieme di numeri naturali
Z = (0, ± 1, ± 2, ..., ± n) - l'insieme degli interi

L'insieme (-∞; + ∞) si chiama linea dei numeri, e qualsiasi numero è un punto di questa linea. Sia a un punto arbitrario sulla retta dei numeri e δ un numero positivo. L'intervallo (a-δ; a + δ) è chiamato δ-quartiere del punto a.

Un insieme X è limitato sopra (sotto) se esiste un numero c tale che per ogni x ∈ X vale la disuguaglianza x≤с (x≥c). Il numero c in questo caso si chiama bordo superiore (inferiore) insieme X. Viene chiamato un insieme limitato sia sopra che sotto limitato... Il più piccolo (più grande) dei limiti superiori (inferiori) di un insieme è chiamato bordo superiore (inferiore) esatto questo insieme.

Set di numeri di base

n	(1,2,3, ..., n) L'insieme di tutti
Z	(0, ± 1, ± 2, ± 3, ...) Il set numeri interi. L'insieme degli interi include molti numeri naturali.
Q	Molti numeri razionali. Oltre agli interi, ci sono anche le frazioni. Una frazione è un'espressione della forma, dove P- un numero intero, Q- naturale. Le frazioni decimali possono anche essere scritte come. Ad esempio: 0,25 = 25/100 = 1/4. Gli interi possono anche essere scritti come. Ad esempio, come frazione con denominatore "uno": 2 = 2/1. Pertanto, qualsiasi numero razionale può essere scritto come frazione decimale, ovviamente o come periodico infinito.
R	Molti di tutti numeri reali. I numeri irrazionali sono infinite frazioni non periodiche. Questi includono: Insieme, due insiemi (numeri razionali e irrazionali) - formano un insieme di numeri reali (o reali).

Se l'insieme non contiene alcun elemento, viene chiamato set vuoto ed è registrato Ø .

Elementi di simbologia logica

Notazione ∀x: | x |<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

quantori

I quantificatori sono spesso usati quando si scrivono espressioni matematiche.

Quantificatoreè un simbolo logico che caratterizza in termini quantitativi i seguenti elementi.

∀- quantificatore di generalità, viene utilizzato al posto delle parole "per tutti", "per qualsiasi".
∃- quantificatore esistenziale, viene utilizzato al posto delle parole "esiste", "è". Viene utilizzata anche la combinazione di caratteri ∃ !, che viene letta perché ce n'è uno solo.

Imposta operazioni

Due gli insiemi A e B sono uguali(A = B) se sono costituiti dagli stessi elementi.
Ad esempio, se A = (1,2,3,4), B = (3,1,4,2) allora A = B.

Consolidamento (somma) gli insiemi A e B sono chiamati insieme A ∪ B, i cui elementi appartengono ad almeno uno di questi insiemi.
Ad esempio, se A = (1,2,4), B = (3,4,5,6), allora A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Intersezione (prodotto) gli insiemi A e B sono chiamati insieme A ∩ B, i cui elementi appartengono sia all'insieme A che all'insieme B.
Ad esempio, se A = (1,2,4), B = (3,4,5,2), allora A ∩ B = (2,4)

Differenza Gli insiemi A e B sono chiamati insieme AB, i cui elementi appartengono all'insieme A, ma non appartengono all'insieme B.
Ad esempio, se A = (1,2,3,4), B = (3,4,5), allora AB = (1,2)

Differenza simmetrica gli insiemi A e B è detto insieme A Δ B, che è l'unione delle differenze degli insiemi AB e BA, cioè A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Ad esempio, se А = (1,2,3,4), B = (3,4,5,6), allora А Δ В = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5, 6)

Proprietà delle operazioni sugli insiemi

Proprietà di permutabilità

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Proprietà di combinazione

(A B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Insiemi numerabili e non numerabili

Per confrontare due insiemi A e B qualsiasi, si stabilisce una corrispondenza tra i loro elementi.

Se questa corrispondenza è biunivoca, allora gli insiemi sono detti equivalenti o equivalenti, A B o B A.

Esempio 1

L'insieme dei punti del cateto BC e dell'ipotenusa AC del triangolo ABC sono di uguale potenza.

teorie

Esistono due approcci principali al concetto di insieme: ingenuo e assiomatico insiemistica.

Teoria degli insiemi assiomatica

Oggi, un insieme è definito come un modello che soddisfa gli assiomi ZFC (assiomi Zermelo - Fraenkel con l'assioma di scelta). Con questo approccio, in alcune teorie matematiche ci sono raccolte di oggetti che non sono insiemi. Tali raccolte sono chiamate classi (di ordini diversi).

Elemento del set

Gli oggetti che compongono l'insieme sono chiamati elementi dell'insieme o per punti dell'insieme. I set sono spesso indicati da grandi lettere dell'alfabeto latino, i suoi elementi - da piccoli. Se a è un elemento dell'insieme A, allora scrivi a ∈ A (a appartiene ad A). Se a non è un elemento dell'insieme A, allora scrivi a∉A (e non appartiene ad A).

Alcuni tipi di set

Un insieme ordinato è un insieme su cui è specificata una relazione di ordinamento.
Un insieme (nello specifico, una coppia ordinata). A differenza di un semplice set, è scritto tra parentesi: ( x1, x2, x3,...), e gli elementi possono essere ripetuti.

Per gerarchia:

Insieme di insiemi Sottoinsieme Superinsieme

Per limitazione:

Imposta operazioni

Letteratura

Stoll R.R. Imposta. Logica. Teorie assiomatiche. - M.: Educazione, 1968 .-- 232 p.

Guarda anche

Fondazione Wikimedia. 2010.

Guarda cos'è "Set Element" in altri dizionari:

elemento dell'insieme- - [L.G. Sumenko. Il dizionario inglese russo di tecnologia dell'informazione. M .: GP TsNIIS, 2003.] elemento di un insieme Un oggetto di qualsiasi natura, che insieme ad altri oggetti simili costituisce un insieme. Spesso, al posto del termine, un elemento in ... ...

Elemento del set- un oggetto di qualsiasi natura, che insieme ad altri oggetti simili costituisce un insieme. Spesso, invece del termine elemento in questo senso, si usa "punto di un insieme", "membro di un insieme", ecc... ...

SET, in matematica, una raccolta di determinati oggetti. Questi oggetti sono chiamati membri dell'insieme. Il numero di elementi può essere infinito o finito, o anche zero (il numero di elementi in un insieme vuoto è indicato con 0). Ogni… … Dizionario enciclopedico scientifico e tecnico

elemento- Un termine generalizzato, che, a seconda delle condizioni rilevanti, può essere inteso come superficie, linea, punto. Note 1. Un elemento può essere una superficie (parte di una superficie, un piano di simmetria di più superfici), una linea (un profilo... Guida tecnica per traduttori

Parte di qualcosa. Una delle possibili etimologie di questa parola è il nome di una serie di consonanti nelle lettere latine L, M, N (el em en). Elemento (filosofia) L'elemento è un accessorio obbligatorio della bandiera, del vessillo e dello stendardo. Elemento dell'insieme Elementare ... ... Wikipedia

Elemento- la componente primaria (per questa ricerca, modello) di un insieme complesso. Vedere Set Element, System Element... Dizionario di economia e matematica

L'insieme è uno degli oggetti chiave della matematica, in particolare della teoria degli insiemi. “Per insieme intendiamo l'unificazione in un insieme di oggetti certi, completamente distinguibili della nostra intuizione o del nostro pensiero” (G. Kantor). Non è per intero ... ... Wikipedia

elemento- 02.01.14 elemento (segno di carattere o simbolo): Un singolo tratto o spazio in un simbolo di codice a barre o una singola cella poligonale o circolare in un simbolo di matrice, che forma un segno di simbolo in ... ... Dizionario-libretto di riferimento dei termini della documentazione normativa e tecnica

UN; m. [dal lat. elemento elementum, sostanza originaria] 1. Parte di cui l .; componente. Scomponi il tutto in elementi. Quali sono gli elementi della cultura? La natura dell'e. produzione. Gli elementi costitutivi di cui l. // Movimento tipico, uno... ... dizionario enciclopedico

Il concetto di insieme si riferisce ai concetti assiomatici della matematica.

Definizione... Un insieme è un insieme, un gruppo, una raccolta di elementi che hanno una proprietà o una caratteristica comune a tutti loro.

Designazione: A, B.

Definizione... Due insiemi A e B sono uguali se e solo se sono costituiti dagli stessi elementi. A = B

La notazione a ∈ A (a ∉ A) significa che a è (non è) un elemento dell'insieme A.

Definizione... Un insieme che non contiene elementi si dice vuoto e si indica con ∅.

Solitamente, in casi specifici, gli elementi di tutti gli insiemi in esame sono presi da un unico insieme U sufficientemente ampio, che si chiama set universale.

Cardinalità del setè indicato come | M | ...
Commento : per gli insiemi finiti, la cardinalità è il numero di elementi.

Definizione... Se | A | = |B | , allora gli insiemi sono chiamati pari.

Per illustrare le operazioni sugli insiemi, vengono spesso utilizzati i seguenti: Eulero - diagrammi di Venn... La costruzione del diagramma consiste nell'immagine di un grande rettangolo che rappresenta l'insieme universale U, e al suo interno - cerchi che rappresentano gli insiemi.

Sugli insiemi sono definite le seguenti operazioni:

Unione А∪В: = (х / х∈А∨х∈В)

Intersezione А∩В: = (х / х∈А & х∈В)

Differenza А \ В: = (х / х∈А & х∈В)

Complemento A U \ A: = (x / x U & x ∉ A)

Compito 1.1. Dato: a) A, B⊆Z, A = (1; 3; 4; 5; 9), B = (2; 4; 5; 10). b) A, B⊆R, A = [-3; 3), B = (2; 10].

Soluzione.

a) A∩B = (4; 5), A∪B = (1; 2; 3; 4; 5; 9; 10), A \ B = (1; 3; 9), B \ A = (2 ;10), B = Z \ B;

b) A∩B = (2; 3), A∪B = [-3; 10], A \ B = [-3,2], B \ A =, BZ \ B = (-∞, 2] ∪ (10, + ).

1) Dato: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 5; 7; 9; 11), B = (1; 4; 6; 7).

b) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), B = [-4; 4].

Trova: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

2) Dato: a) A, B ⊆ Z, A = (3; 6; 7; 10), B = (2; 3; 10; 12).

b) A, B ⊆ R, A =.

Trova: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

3) Dato: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 5; 7; 9; 11), B = (1; 4; 6; 7).

b) A, B ⊆ R, A =.

4) Dato: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 4; 6; 7), B = (-3; 3; 7).

b) A, B ⊆ R, A = [-15; 0), B = [-2; 1].

Trova: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, A.

5) Dato: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 9), B = (-6; 0; 3; 9).

b) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].

Trova: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.

6) Dato: a) A, B ⊆ Z, A = (0; 6; 9), B = (-6; 0; 3; 7).

b) A, B ⊆ R, A = [-8; 3), B =.

Trova: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.

7) Dato: a) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 2; 10), B = (-1; 2; 9; 10).

b) A, B ⊆ R, A = [-10; 9), B = [-5; 15].

Trova: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

8) Dato: a) A, B ⊆ Z, A = (1; 2; 9; 37), B = (-1; 1; 9; 11; 15).

b) A, B ⊆ R, A = [-8; 1), B = [-5; 7].

Trova: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, B.

9) Dati: a) A, B ⊆ Z, A = (-1; 0; 9; 17), B = (-1; 1; 9; 10; 25).

b) A, B ⊆ R, A = [-4; 9), B = [-5; 7].

Trova: A∩B, A∪B, A \ B, B \ A, B.

10) Dato: a) A, B⊆Z, A = (1; 7; 9; 17), B = (-2; 1; 9; 10; 25).

b) A, B⊆R, A =.

Trova: A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A, A.

Compito 1.1. Utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn, dimostrare l'identità:

A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).

Soluzione.

Costruiamo diagrammi di Venn.

Il lato sinistro dell'uguaglianza è mostrato in Figura a), quello destro - in Figura b). Dai diagrammi, l'uguaglianza dei lati sinistro e destro di questa relazione è ovvia.

Compiti per una soluzione indipendente

Utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn, dimostrare le identità:

1) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C);

2) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ C;

3) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);

4) (A \ B) \ C = (A \ B) \ (B \ C);

5) (A \ B) \ C = (A \ B) (A∩C);

6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

7) (A B) \ (A C) = (A B) \ C;

8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

9) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)

10) A∪ (A B) = A ∪ B

Compito 1.3. Nella lezione di letteratura, l'insegnante ha deciso di scoprire quale dei 40 studenti della classe aveva letto i libri A, B, C. I risultati del sondaggio sono stati i seguenti: il libro A è stato letto da 25 studenti; Il libro B è stato letto da 22 studenti; Il libro C è stato letto da 22 studenti; i libri A o B sono stati letti da 33 studenti; i libri A o C sono stati letti da 32 studenti; i libri B o C sono stati letti da 31 studenti; tutti i libri sono stati letti da 10 studenti. Determinare: 1) Quanti studenti hanno letto solo il Libro A?

2) Quanti studenti leggono solo il Libro B?

3) Quanti studenti hanno letto solo il Libro C?

4) Quanti studenti hanno letto un solo libro?

5) Quanti studenti hanno letto almeno un libro?

6) Quanti studenti non hanno letto un solo libro?

Soluzione.

Sia U l'insieme degli studenti della classe. Quindi

| U | = 40, |A | = 25, |B | = 22, |C | = 22, |A ∪ B | = 33, |A ∪ C | = 32, |B ∪ C | = 31, |A ∩ B ∩ C | = 10

Proviamo ad illustrare il problema.

Dividiamo l'insieme degli studenti che hanno letto almeno un libro in sette sottoinsiemi k 1, k 2, k 3, k 4, k 5, k 6, k 7, dove

k 1 - l'insieme degli studenti che hanno letto solo il libro A;

k 3 - l'insieme degli studenti che hanno letto solo il libro B;

k 7 - l'insieme degli studenti che hanno letto solo il libro C;

k 2 - l'insieme degli studenti che hanno letto i libri A e B e non hanno letto il libro C;

k 4 - l'insieme degli studenti che hanno letto i libri A e C e non hanno letto il libro B;

k 6 - l'insieme degli studenti che hanno letto i libri B e C e non hanno letto il libro A;

k 5 è l'insieme degli studenti che hanno letto i libri A, B e C.

Calcoliamo la cardinalità di ciascuno di questi sottoinsiemi.

| k 2 | = | A B | - | A ∩ B ∩ C |; | k 4 | = | A C | - | A ∩ B ∩ C |;

| k 6 | = |B ∩ C | - | A B ∩ C |; | k 5 | = | A B ∩ C |.

Allora | k 1 | = | A | - | k 2 | - | k 4 | - | k 5 |, | k 3 | = |B | - | k 2 | - | k 6 | - | k 5 |, | k 7 | = |C | - | k 6 | - | k | - |k5 |.

Trova | A ∩ B |, | A ∩ C |, | B ∩ C |.

| A ∩ B | = | A | + | B | - | A ∩ B | = 25 + 22 - 33 = 14,

| A ∩ C | = | A | + | C | - | A ∩ C | = 25 + 22 - 32 = 15,

| B ∩ C | = |B | + | C | - | B ∩ C | = 22 + 22 - 31 = 13.

Allora k 1 = 25-4-5-10 = 6; k3 = 22-4-3-10 = 5; k7 = 22-5-3-10 = 4;

| A ∪ B ∪ C | = | A B | + | C | - | (A ∪ B) ∪ C | ...

Dalla figura è chiaro che | C | - | (A ∪ B) ∪ C | = |k 7 | = 4, quindi |A ∪ B ∪ C | = 33 + 4 = 37 - il numero di studenti che hanno letto almeno un libro.

Poiché ci sono 40 studenti in classe, 3 studenti non hanno letto un solo libro.

Risposta:

6 studenti hanno letto solo il libro A.
5 studenti leggono solo il libro B.
4 studenti leggono solo il libro C.
15 studenti hanno letto un solo libro.
37 studenti hanno letto almeno un libro di A, B, C.
3 studenti non hanno letto un solo libro.

Compiti per una soluzione indipendente

1) Durante la settimana sono stati proiettati al cinema i film A, B, C. Ciascuno dei 40 studenti ha visto o tutti e 3 i film o uno dei tre. Film UN visto 13 scolari. Film B visto 16 scolari. Film C visto 19 scolari. Quanti scolari hanno visto un solo film?

2) Alla conferenza internazionale hanno partecipato 120 persone. Di questi, 60 parlano russo, 48 - inglese, 32 - tedesco, 21 - russo e inglese, 19 - inglese e tedesco, 15 - russo e tedesco e 10 persone parlano tutte e tre le lingue. Quanti partecipanti alla conferenza non parlano nessuna di queste lingue?

3) Alle competizioni sportive partecipa una squadra scolastica di 20 persone, ognuna delle quali ha una categoria sportiva in uno o più dei tre sport: atletica, nuoto e ginnastica. È noto che 12 di loro hanno categorie in atletica, 10 in ginnastica e 5 in nuoto. Determinare il numero di scolari di questa squadra che hanno categorie in tutti gli sport, se 2 persone hanno categorie in atletica e nuoto, 4 persone in atletica e ginnastica e 2 persone in nuoto e ginnastica.

4) Un sondaggio su 100 studenti ha dato i seguenti risultati sul numero di studenti che studiano varie lingue straniere: spagnolo - 28; tedesco - 30; francese - 42; spagnolo e tedesco - 8; spagnolo e francese - 10; tedesco e francese - 5; tutte e tre le lingue - 3. Quanti studenti stanno imparando il tedesco se e solo se stanno imparando il francese? 5) Un sondaggio su 100 studenti ha rivelato i seguenti dati sul numero di studenti che studiano varie lingue straniere: solo tedesco - 18; Tedesco, ma non spagnolo - 23; tedesco e francese - 8; tedesco - 26; francese - 48; francese e spagnolo - 8; nessuna lingua - 24. Quanti studenti studiano tedesco e spagnolo?

6) Nel rapporto sul sondaggio di 100 studenti, è stato riportato che il numero di studenti che studiano lingue diverse è il seguente: tutte e tre le lingue - 5; tedesco e spagnolo - 10; francese e spagnolo - 8; tedesco e francese - 20; spagnolo - 30; tedesco - 23; Francese - 50. L'ispettore che ha presentato questo rapporto è stato licenziato. Come mai?

7) Alla conferenza internazionale hanno partecipato 100 persone. Di questi, 42 parlano francese, 28 - inglese, 30 - tedesco, 10 - francese e inglese, 8 - inglese e tedesco, 5 - francese e tedesco e 3 persone parlano tutte e tre le lingue. Quanti partecipanti alla conferenza non parlano nessuna di queste lingue?

8) Gli studenti del 1° anno che studiano informatica all'università possono frequentare ulteriori discipline. Quest'anno, 25 di loro hanno scelto di studiare contabilità, 27 hanno scelto affari e 12 hanno scelto il turismo. Inoltre, c'erano 20 studenti che frequentavano il corso di contabilità e economia, 5 che studiavano contabilità e turismo e 3 che studiavano turismo e affari. È noto che nessuno degli studenti ha osato frequentare 3 corsi aggiuntivi contemporaneamente. Quanti studenti hanno frequentato almeno 1 corso aggiuntivo?
9) 40 studenti hanno preso parte alle Olimpiadi di Matematica per i candidati. È stato chiesto loro di risolvere un problema in algebra, uno in geometria e uno in trigonometria. Il problema in algebra è stato risolto da 20 persone, in geometria - 18, in trigonometria - 18 persone. I problemi in algebra e geometria sono stati risolti da 7 persone, in algebra e trigonometria - da 8 persone, in geometria e trigonometria - da 9 persone. Nessun problema è stato risolto da 3 persone. Quanti studenti hanno risolto solo due problemi?

10) Ci sono 40 studenti in classe. Di questi, 19 persone hanno terzine in lingua russa, 17 persone in matematica e 22 persone in fisica. 4 studenti hanno terzine in una sola lingua russa, 4 - solo in matematica e 11 - solo in fisica. 5 studenti hanno triple in russo, matematica e fisica. 7 persone hanno triple in matematica e fisica. Quanti studenti hanno C in due delle tre materie?

Moltiè un insieme di oggetti considerati come un tutt'uno. Il concetto di insieme è assunto come basilare, cioè non riducibile ad altri concetti. Gli oggetti che compongono un dato insieme sono chiamati i suoi elementi. Relazione di base tra elemento un e contenente l'insieme UN indicato come ( unè un elemento dell'insieme UN; o un appartiene UN, o UN contiene un). Se un non un membro del set UN, quindi scrivono ( un non incluso in UN, UN non contiene un). Un insieme può essere specificato specificando tutti i suoi elementi e, in questo caso, vengono utilizzate le parentesi graffe. Così ( un, B, C) denota un insieme di tre elementi. Una notazione simile viene utilizzata nel caso di insiemi infiniti e gli elementi non scritti vengono sostituiti da puntini di sospensione. Quindi, l'insieme dei numeri naturali è indicato con (1, 2, 3, ...) e l'insieme dei numeri pari (2, 4, 6, ...), e l'ellissi nel primo caso significa tutto naturale numeri, e nel secondo - solo pari.

Due set UN e B sono chiamati pari se sono costituiti dagli stessi elementi, ad es. UN appartiene B e, viceversa, ogni elemento B appartiene UN... Poi scrivono UN = B... Pertanto, l'insieme è determinato in modo univoco dai suoi elementi e non dipende dall'ordine di scrittura di questi elementi. Ad esempio, un insieme di tre elementi un, B, C consente sei tipi di registrazione:

{un, B, C} = {un, C, B} = {B, un, C} = {B, C, un} = {C, un, B} = {C, B, un}.

Per ragioni di convenienza formale viene introdotto anche il cosiddetto "insieme vuoto", cioè un insieme che non contiene un solo elemento. È indicato, a volte, dal simbolo 0 (la coincidenza con la designazione del numero zero non porta a confusione, poiché il significato del simbolo è ogni volta chiaro).

Se ogni elemento dell'insieme UNè incluso in molti B, poi UN chiamato un sottoinsieme B, un B chiamato superset UN... Loro scrivono ( UNè incluso in B o UN contenuto in B, B contiene UN). Ovviamente, se e, allora UN = B... Un insieme vuoto è per definizione considerato un sottoinsieme di qualsiasi insieme.

Se ogni elemento dell'insieme UNè incluso in B ma molto B contiene almeno un elemento non incluso in UN, cioè, se e, allora UN chiamato il proprio sottoinsieme B, un B - proprio superset UN... In questo caso, scrivi. Ad esempio, la notazione e significano la stessa cosa, cioè che l'insieme UN non è vuoto.

Nota anche che è necessario distinguere tra l'elemento un e l'insieme ( un) contenente un come unico oggetto. Questa differenza è dettata non solo dal fatto che l'elemento e l'insieme giocano un ruolo diverso (il rapporto non è simmetrico), ma anche dalla necessità di evitare contraddizioni. quindi lascia UN = {un, B) contiene due elementi. Considera l'insieme ( UN) contenente come unico elemento l'insieme UN... Quindi UN contiene due elementi, mentre ( UN) è solo un elemento, e quindi l'identificazione di questi due insiemi è impossibile. Pertanto, si consiglia di utilizzare la registrazione e di non utilizzare la registrazione.