Formule. Figure geometriche. Rettangolo. Formule Calcolatrice diagonale

Contenuto:

Una diagonale è un segmento di linea che collega due vertici opposti di un rettangolo. Un rettangolo ha due diagonali uguali. Se si conoscono i lati di un rettangolo, la diagonale può essere trovata utilizzando il teorema di Pitagora perché la diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli. Se i lati non sono dati, ma si conoscono altre quantità, come l'area e il perimetro o le proporzioni, è possibile trovare i lati del rettangolo e quindi utilizzare il teorema di Pitagora per calcolare la diagonale.

Passi

1 Ai lati

1 Scrivi il teorema di Pitagora. Formula: a2 + b2 = c2
2 Sostituisci i valori dei lati nella formula. Sono dati nel problema o devono essere misurati. I valori laterali vengono sostituiti con un 3
- Nel nostro esempio:
  4 2 + 3 2 = c 2 4
  2 Per area e perimetro
  1. 1 Formula: S = l w (Nella figura, al posto di S, viene utilizzata la designazione A.)
  2. 2 Questo valore sostituisce S 3 Riscrivi la formula per isolare w 4 Scrivi la formula per calcolare il perimetro di un rettangolo. Formula: P = 2 (w + l)
  3. 5 Sostituisci il perimetro del rettangolo nella formula. Questo valore sostituisce P 6 Dividi entrambi i membri dell'equazione per 2. Otterrai la somma dei lati del rettangolo, ovvero w + l 7 Sostituisci l'espressione per calcolare w 8 nella formula Sbarazzarsi della frazione. Per fare ciò, moltiplica entrambi i lati dell'equazione per l 9 Imposta l'equazione uguale a 0. Per fare ciò, sottrai il termine della variabile del primo ordine da entrambi i lati dell'equazione.
    Nel nostro esempio:
    12 l = 35 + l 2 10 Ordina i termini dell'equazione. Il primo termine sarà il termine della variabile del secondo ordine, poi il termine della variabile del primo ordine e infine il termine libero. Allo stesso tempo, non dimenticare i segni (“più” e “meno”) che appaiono davanti ai membri. Si noti che l'equazione verrà scritta come un'equazione quadratica.
    Nel nostro esempio 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
    Nel nostro esempio, l'equazione è 0 = l 2 − 12 l + 35 12 Trova l 13 Scrivi il teorema di Pitagora. Formula: a2 + b2 = c2
    Usa il teorema di Pitagora perché ogni diagonale di un rettangolo lo divide in due triangoli rettangoli uguali. Inoltre, i lati del rettangolo sono i cateti del triangolo, e la diagonale del rettangolo è l'ipotenusa del triangolo.
    
    14 Questi valori vengono sostituiti con 15 Quadrata la lunghezza e la larghezza, quindi somma i risultati. Ricorda che quando elevi al quadrato un numero, questo si moltiplica per se stesso.
    Nel nostro esempio:
    5 2 + 7 2 = c 2 16 Prendi la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione. Usa una calcolatrice per trovare rapidamente la radice quadrata. Puoi anche utilizzare un calcolatore online. Troverai c
    3 Per area e proporzioni
    
    1 Scrivi un'equazione che caratterizza il rapporto tra i lati. Isolare l 2 Scrivi la formula per calcolare l'area di un rettangolo. Formula: S = l w (Nella figura, al posto di S, viene utilizzata la designazione A.)
    Questo metodo è applicabile anche quando è noto il perimetro del rettangolo, ma in questo caso è necessario utilizzare la formula per calcolare il perimetro, non l'area. Formula per calcolare il perimetro di un rettangolo: P = 2 (w + l)
    
    3 Sostituisci l'area del rettangolo nella formula. Questo valore sostituisce S 4 Nella formula, sostituire un'espressione che caratterizza il rapporto tra le parti. Nel caso di un rettangolo, puoi sostituire un'espressione per calcolare l 5 Scrivi un'equazione quadratica. Per fare ciò, apri le parentesi e imposta l'equazione uguale a zero.
    Nel nostro esempio:
    35 = w(w+2)6 Fattorizzare l'equazione quadratica. Per istruzioni dettagliate, continua a leggere.
    Nel nostro esempio, l'equazione è 0 = w 2 − 12 w + 35 7 Trova w 8 Sostituisci la larghezza (o lunghezza) trovata nell'equazione che caratterizza le proporzioni. In questo modo puoi trovare l'altro lato del rettangolo.
    Ad esempio, se calcoli che la larghezza di un rettangolo è 5 cm e le proporzioni sono date dall'equazione l = w + 2 9 Scrivi il teorema di Pitagora. Formula: a2 + b2 = c2
    Usa il teorema di Pitagora perché ogni diagonale di un rettangolo lo divide in due triangoli rettangoli uguali. Inoltre, i lati del rettangolo sono i cateti del triangolo, e la diagonale del rettangolo è l'ipotenusa del triangolo.
    
    10 Sostituisci i valori di lunghezza e larghezza nella formula. Questi valori vengono sostituiti con un 11 Quadrata la lunghezza e la larghezza, quindi somma i risultati. Ricorda che quando elevi al quadrato un numero, questo si moltiplica per se stesso.
    Nel nostro esempio:
    5 2 + 7 2 = c 2 12 Prendi la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione. Usa una calcolatrice per trovare rapidamente la radice quadrata. Puoi anche utilizzare un calcolatore online. Troverai c (displaystyle c), cioè l'ipotenusa del triangolo, e quindi la diagonale del rettangolo.
    Nel nostro esempio:
    74 = c 2 (stile display 74=c^(2))
    74 = c 2 (stile display (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
    8 , 6024 = c (stile display 8,6024=c)
    Pertanto, la diagonale di un rettangolo la cui lunghezza è 2 cm maggiore della larghezza e la cui area è 35 cm 2 è circa 8,6 cm.

è un parallelogramma in cui tutti gli angoli sono uguali a 90° e i lati opposti sono paralleli e uguali a coppie.

Un rettangolo ha diverse proprietà inconfutabili che vengono utilizzate per risolvere molti problemi, nelle formule per l'area del rettangolo e il suo perimetro. Eccoli:

La lunghezza di un lato o diagonale sconosciuta di un rettangolo viene calcolata utilizzando o utilizzando il teorema di Pitagora. L'area di un rettangolo può essere trovata in due modi: con il prodotto dei suoi lati o con la formula per calcolare l'area del rettangolo attraverso la diagonale. La prima e più semplice formula è questa:

Un esempio di calcolo dell'area di un rettangolo utilizzando questa formula è molto semplice. Conoscendo due lati, ad esempio a = 3 cm, b = 5 cm, possiamo facilmente calcolare l'area del rettangolo:
Troviamo che in un tale rettangolo l'area sarà pari a 15 metri quadrati. cm.

Area di un rettangolo attraverso le diagonali

A volte è necessario applicare la formula per calcolare l'area del rettangolo attraverso le diagonali. Richiede non solo di scoprire la lunghezza delle diagonali, ma anche l'angolo tra loro:

Diamo un'occhiata ad un esempio di calcolo dell'area di un rettangolo utilizzando le diagonali. Sia dato un rettangolo con diagonale d = 6 cm e angolo = 30°. Sostituiamo i dati nella formula già nota:

Quindi, l'esempio del calcolo dell'area di un rettangolo attraverso la diagonale ci ha mostrato che trovare l'area in questo modo, se viene dato un angolo, è abbastanza semplice.
Diamo un'occhiata a un altro problema interessante che ci aiuterà ad allenare un po' il nostro cervello.

Compito: Dato un quadrato. La sua superficie è di 36 metri quadrati. cm. Trova il perimetro di un rettangolo la cui lunghezza di un lato è 9 cm e la cui area è uguale al quadrato sopra indicato.
Quindi abbiamo diverse condizioni. Per chiarezza scriviamoli per vedere tutti i parametri noti e sconosciuti:
I lati della figura sono paralleli e uguali a coppie. Pertanto il perimetro della figura è pari al doppio della somma delle lunghezze dei lati:
Dalla formula per l'area di un rettangolo, che è uguale al prodotto dei due lati della figura, troviamo la lunghezza del lato b
Da qui:
Sostituiamo i dati noti e troviamo la lunghezza del lato b:
Calcola il perimetro della figura:
Ecco come, conoscendo alcune semplici formule, puoi calcolare il perimetro di un rettangolo, conoscendone l'area.

Rettangoloè un quadrilatero in cui ogni angolo è retto.

Prova

La proprietà è spiegata dall'azione della caratteristica 3 del parallelogramma (cioè \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. I lati opposti sono uguali.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. I lati opposti sono paralleli.

AB \parallelo CD,\enspace BC \parallelo AD

4. I lati adiacenti sono perpendicolari tra loro.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB

5. Le diagonali del rettangolo sono uguali.

AC = BD

Prova

Secondo proprietà 1 il rettangolo è un parallelogramma, che significa AB = CD.

Pertanto, \triangle ABD = \triangle DCA su due gambe (AB = CD e AD - articolazione).

Se entrambe le figure ABC e DCA sono identiche, anche le loro ipotenuse BD e AC sono identiche.

Quindi AC = BD.

Di tutte le figure (solo dei parallelogrammi!), solo il rettangolo ha le diagonali uguali.

Dimostriamo anche questo.

ABCD è un parallelogramma \Rightarrow AB = CD, AC = BD per condizione. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA già su tre lati.

Risulta che \angolo A = \angolo D (come gli angoli di un parallelogramma). E \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Lo concludiamo \angolo A = \angolo B = \angolo C = \angolo D. Sono tutti 90^(\circ) . In totale - 360^(\circ) .

Comprovato!

6. Il quadrato di una diagonale è uguale alla somma dei quadrati dei suoi due lati adiacenti.

Questa proprietà è vera grazie al teorema di Pitagora.

AC^2=AD^2+CD^2

7. La diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli identici.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Il punto di intersezione delle diagonali le divide a metà.

AO = BO = CO = DO

9. Il punto di intersezione delle diagonali è il centro del rettangolo e della circonferenza circoscritta.

10. La somma di tutti gli angoli è 360 gradi.

\angolo ABC + \angolo BCD + \angolo CDA + \angolo DAB = 360^(\circ)

11. Tutti gli angoli di un rettangolo sono retti.

\angolo ABC = \angolo BCD = \angolo CDA = \angolo DAB = 90^(\circ)

12. Il diametro di un cerchio circoscritto ad un rettangolo è uguale alla diagonale del rettangolo.

13. Puoi sempre descrivere un cerchio attorno a un rettangolo.

Questa proprietà è vera perché la somma degli angoli opposti di un rettangolo è 180^(\circ)

\angolo ABC = \angolo CDA = 180^(\circ),\enspace \angolo BCD = \angolo DAB = 180^(\circ)

14. Un rettangolo può contenere un cerchio inscritto e uno solo se ha i lati uguali (è un quadrato).

Il problema di trovare la diagonale di un rettangolo può essere formulato in tre modi diversi. Diamo uno sguardo più da vicino a ciascuno di essi. I metodi dipendono da dati noti, quindi come trovi la diagonale di un rettangolo?

Se si conoscono due lati

Nel caso in cui si conoscano due lati del rettangolo a e b, per trovare la diagonale è necessario utilizzare il teorema di Pitagora: a 2 + b 2 =c 2, qui a e b sono i cateti del triangolo rettangolo, c è l'ipotenusa del triangolo rettangolo. Quando si traccia una diagonale in un rettangolo, questa viene divisa in due triangoli rettangoli. Conosciamo due lati di questo triangolo rettangolo (a e b). Cioè, per trovare la diagonale di un rettangolo, è necessaria la seguente formula: c=√(a 2 +b 2), qui c è la lunghezza della diagonale del rettangolo.

Per lato e angolo noti, tra lato e diagonale

Conosciamo il lato del rettangolo a e l'angolo che forma con la diagonale del rettangolo α. Per prima cosa ricordiamo la formula del coseno: cos α = a/c, qui c è la diagonale del rettangolo. Come calcolare la diagonale di un rettangolo da questa formula: c = a/cos α.

Lungo un lato noto, l'angolo formato dal lato adiacente del rettangolo e dalla diagonale.

Poiché la diagonale di un rettangolo divide il rettangolo stesso in due triangoli rettangoli, è logico ricorrere alla definizione di seno. Il seno è il rapporto tra il cateto opposto a questo angolo e l'ipotenusa sin α = b/c. Da qui ricaviamo la formula per trovare la diagonale di un rettangolo, che è anche ipotenusa di un triangolo rettangolo: c = b/sen α.

Ora sei esperto in questa materia. Domani potrai accontentare il tuo insegnante di geometria!

Definizione.

Rettangoloè un quadrilatero in cui i due lati opposti sono uguali e tutti e quattro gli angoli sono uguali.

I rettangoli differiscono l'uno dall'altro solo nel rapporto tra il lato lungo e il lato corto, ma tutti e quattro gli angoli sono retti, cioè 90 gradi.

Si chiama il lato lungo di un rettangolo lunghezza del rettangolo, e quello corto - larghezza del rettangolo.

I lati di un rettangolo sono anche le sue altezze.

Proprietà fondamentali di un rettangolo

Un rettangolo può essere un parallelogramma, un quadrato o un rombo.

1. I lati opposti del rettangolo hanno la stessa lunghezza, cioè sono uguali:

AB = CD, BC = d.C

2. I lati opposti del rettangolo sono paralleli:

3. I lati adiacenti di un rettangolo sono sempre perpendicolari:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Tutti e quattro gli angoli del rettangolo sono diritti:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. La somma degli angoli di un rettangolo è 360 gradi:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Le diagonali di un rettangolo hanno la stessa lunghezza:

7. La somma dei quadrati della diagonale di un rettangolo è uguale alla somma dei quadrati dei lati:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Ciascuna diagonale di un rettangolo divide il rettangolo in due figure identiche, cioè triangoli rettangoli.

9. Le diagonali del rettangolo si intersecano e sono divise a metà nel punto di intersezione:

		AO=BO=CO=DO=	D
			2

10. Il punto di intersezione delle diagonali si chiama centro del rettangolo ed è anche centro della circonferenza circoscritta

11. La diagonale di un rettangolo è il diametro della circonferenza circoscritta

12. Puoi sempre descrivere un cerchio attorno a un rettangolo, poiché la somma degli angoli opposti è 180 gradi:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Un cerchio non può essere inscritto in un rettangolo la cui lunghezza non è uguale alla sua larghezza, poiché le somme dei lati opposti non sono uguali tra loro (un cerchio può essere inscritto solo in un caso speciale di rettangolo - quadrato) .

Lati di un rettangolo

Definizione.

Lunghezza del rettangoloè la lunghezza della coppia più lunga dei suoi lati. Larghezza del rettangoloè la lunghezza della coppia più corta dei suoi lati.

Formule per determinare le lunghezze dei lati di un rettangolo

1. Formula per il lato di un rettangolo (lunghezza e larghezza del rettangolo) passante per la diagonale e l'altro lato:

un = √ d2 - b2

b = √ d2-a2

2. Formula per il lato di un rettangolo (lunghezza e larghezza del rettangolo) passante per l'area e l'altro lato:

b = dcos	β
	2

Diagonale di un rettangolo

Definizione.

Rettangolo diagonale Viene chiamato qualsiasi segmento che collega due vertici di angoli opposti di un rettangolo.

Formule per determinare la lunghezza della diagonale di un rettangolo

1. Formula per la diagonale di un rettangolo utilizzando due lati del rettangolo (tramite il teorema di Pitagora):

d = √ a2 + b2

2. Formula per la diagonale di un rettangolo utilizzando l'area e qualsiasi lato:

4. Formula per la diagonale di un rettangolo in termini di raggio del cerchio circoscritto:

d = 2R

5. Formula per la diagonale di un rettangolo in termini di diametro del cerchio circoscritto:

d = D o

6. Formula per la diagonale di un rettangolo utilizzando il seno dell'angolo adiacente alla diagonale e la lunghezza del lato opposto a questo angolo:

8. Formula per la diagonale di un rettangolo passante per il seno dell'angolo acuto tra le diagonali e l'area del rettangolo

d = √2S: peccato β

Perimetro di un rettangolo

Definizione.

Perimetro di un rettangoloè la somma delle lunghezze di tutti i lati di un rettangolo.

Formule per determinare la lunghezza del perimetro di un rettangolo

1. Formula per il perimetro di un rettangolo utilizzando due lati del rettangolo:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. Formula per il perimetro di un rettangolo utilizzando l'area e qualsiasi lato:

P=	2S+2a2	=	2S+2b2
	UN		B

3. Formula per il perimetro di un rettangolo utilizzando la diagonale e un lato qualsiasi:

P = 2(a + √ d2-a2) = 2(b + √ d2 - b2)

4. Formula per il perimetro di un rettangolo utilizzando il raggio della circonferenza circoscritta e qualsiasi lato:

P = 2(a + √4R 2 - un 2) = 2(b + √4R 2 - b2)

5. Formula per il perimetro di un rettangolo utilizzando il diametro del cerchio circoscritto e qualsiasi lato:

P = 2(a + √D o 2 - un 2) = 2(b + √D o 2 - b2)

Area di un rettangolo

Definizione.

Area di un rettangolo chiamato lo spazio limitato dai lati del rettangolo, cioè entro il perimetro del rettangolo.

Formule per determinare l'area di un rettangolo

1. Formula per l'area di un rettangolo che utilizza due lati:

S = un b

2. Formula per l'area di un rettangolo utilizzando il perimetro e qualsiasi lato:

5. Formula per l'area di un rettangolo utilizzando il raggio della circonferenza circoscritta e qualsiasi lato:

S = a√4R 2 - un 2= b√4R2 - b2

6. Formula per l'area di un rettangolo utilizzando il diametro della circonferenza circoscritta e qualsiasi lato:

S = a √D o 2 - un 2= b √D o 2 - b2

Cerchio circoscritto ad un rettangolo

Definizione.

Un cerchio circoscritto ad un rettangoloè un cerchio passante per i quattro vertici di un rettangolo, il cui centro si trova all'intersezione delle diagonali del rettangolo.