Come si fa a sapere se una funzione è pari o dispari? La parità di una funzione. Il valore massimo e minimo della funzione sull'intervallo
Una funzione è chiamata pari (dispari) se per qualsiasi e l'uguaglianza 
.
Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse 
.
Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine.
Esempio 6.2. Esaminare le funzioni pari o dispari
1)
;
2)
;
3)
.
Soluzione.
1) La funzione è definita con 
. Cerchiamo 
.
Quelli. 
. Quindi questa funzione è pari.
2) La funzione è definita per 
Quelli. 
. Pertanto, questa funzione è dispari.
3) la funzione è definita per , cioè Per
,
. Pertanto la funzione non è né pari né dispari. Chiamiamola una funzione generale.
3. Studio di una funzione per la monotonia.
Funzione 
si chiama crescente (decrescente) su un intervallo se in questo intervallo ogni valore maggiore dell'argomento corrisponde a un valore maggiore (minore) della funzione.
Le funzioni che aumentano (diminuiscono) su un certo intervallo sono chiamate monotone.
Se la funzione 
differenziabile sull'intervallo 
e ha una derivata positiva (negativa). 
, quindi la funzione 
aumenta (diminuisce) in questo intervallo.
Esempio 6.3. Trova gli intervalli di monotonia delle funzioni
1)
;
3)
.
Soluzione.
1) Questa funzione è definita sull'intero asse dei numeri. Troviamo la derivata.
La derivata è nulla se 
E 
. Dominio di definizione - asse numerico, diviso per punti 
,
per intervalli. Determiniamo il segno della derivata in ogni intervallo.
Nell'intervallo 
la derivata è negativa, la funzione diminuisce su questo intervallo.
Nell'intervallo 
la derivata è positiva, quindi la funzione è crescente su questo intervallo.
2) Questa funzione è definita se 
O
.
Determiniamo il segno del trinomio quadrato in ogni intervallo.
Pertanto, l'ambito della funzione
Troviamo la derivata 
,
, Se 
, cioè. 
, Ma 
. Determiniamo il segno della derivata negli intervalli 
.
Nell'intervallo 
la derivata è negativa, quindi la funzione decresce sull'intervallo 
. Nell'intervallo 
la derivata è positiva, la funzione cresce sull'intervallo 
.
4. Studio di una funzione per un estremo.
Punto 
è chiamato punto di massimo (minimo) della funzione 
, se esiste un tale intorno del punto 
che per tutti 
questo quartiere soddisfa la disuguaglianza 
.
I punti di massimo e minimo di una funzione sono detti punti di estremo.
Se la funzione 
al punto 
ha un estremo, allora la derivata della funzione a questo punto è uguale a zero o non esiste (condizione necessaria per l'esistenza di un estremo).
I punti in cui la derivata è uguale a zero o non esiste sono detti critici.
5. Condizioni sufficienti per l'esistenza di un estremo.
Regola 1. Se durante la transizione (da sinistra a destra) attraverso il punto critico 
derivato 
cambia segno da "+" a "-", quindi al punto 
funzione 
ha un massimo; se da "-" a "+", allora il minimo; Se 
non cambia segno, allora non c'è estremo.
Regola 2. Lasciamo al punto 
derivata prima della funzione 
zero 
, e la derivata seconda esiste ed è diversa da zero. Se 
, Quello 
è il punto massimo, se 
, Quello 
è il punto di minimo della funzione.
Esempio 6.4 . Esplora le funzioni di massimo e minimo:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Soluzione.
1) La funzione è definita e continua sull'intervallo 
.
Troviamo la derivata 
e risolvi l'equazione 
, cioè. 
.da qui 
sono punti critici.
Determiniamo il segno della derivata negli intervalli , 
.
Quando si passa attraverso i punti 
E 
la derivata cambia segno da “–” a “+”, quindi, secondo la regola 1 
sono i punti minimi.
Quando si passa per un punto 
la derivata cambia segno da "+" a "-", quindi 
è il punto massimo.
,
.
2) La funzione è definita e continua nell'intervallo 
. Troviamo la derivata 
.
Risolvendo l'equazione 
, Trovare 
E 
sono punti critici. Se il denominatore 
, cioè. 
, allora la derivata non esiste. COSÌ, 
è il terzo punto critico. Determiniamo il segno della derivata negli intervalli.
Pertanto, la funzione ha un minimo nel punto 
, massimo in punti 
E 
.
3) Una funzione è definita e continua se 
, cioè. A 
.
Troviamo la derivata 
.
Troviamo i punti critici: 
Vicinanze di punti 
non appartengono al dominio della definizione, quindi non sono extremum t. Quindi esploriamo i punti critici 
E 
.
4) La funzione è definita e continua sull'intervallo 
. Usiamo la regola 2. Trova la derivata 
.
Troviamo i punti critici:
Troviamo la derivata seconda 
e determinarne il segno nei punti 
A punti 
la funzione ha un minimo.
A punti 
la funzione ha un massimo
Funzione pari.
Anche Viene chiamata una funzione il cui segno non cambia al variare del segno X.
X uguaglianza F(–X) = F(X). Cartello X non influisce sul segno si.
Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse delle coordinate (Fig. 1).
Anche esempi di funzioni:
si= cos X
si = X 2
si = –X 2
si = X 4
si = X 6
si = X 2 + X
Spiegazione:
Prendiamo una funzione si = X 2 o si = –X 2 .
Per qualsiasi valore X la funzione è positiva. Cartello X non influisce sul segno si. Il grafico è simmetrico rispetto all'asse delle coordinate. Questa è una funzione pari.
funzione dispari.
stranoè una funzione il cui segno cambia al variare del segno X.
In altre parole, per qualsiasi valore X uguaglianza F(–X) = –F(X).
Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine (Fig. 2).
Esempi di una funzione dispari:
si= peccato X
si = X 3
si = –X 3
Spiegazione:
Prendi la funzione y = - X 3 .
Tutti i valori A avrà un segno meno. Questo è il segno X influisce sul segno si. Se la variabile indipendente è un numero positivo, allora la funzione è positiva; se la variabile indipendente è un numero negativo, allora la funzione è negativa: F(–X) = –F(X).
Il grafico della funzione è simmetrico rispetto all'origine. Questa è una funzione strana.
Proprietà delle funzioni pari e dispari:
NOTA:
Non tutte le caratteristiche sono pari o dispari. Ci sono funzioni che non sono soggette a tale gradazione. Ad esempio, la funzione radice A = √X non si applica né alle funzioni pari né a quelle dispari (Fig. 3). Quando si elencano le proprietà di tali funzioni, dovrebbe essere data una descrizione appropriata: né pari né dispari.
Funzioni periodiche.
Come sai, la periodicità è la ripetizione di determinati processi a un certo intervallo. Vengono chiamate le funzioni che descrivono questi processi funzioni periodiche. Cioè si tratta di funzioni nei cui grafici sono presenti elementi che si ripetono a determinati intervalli numerici.
Che in un modo o nell'altro ti erano familiari. È stato anche notato che lo stock di proprietà funzionali verrà gradualmente reintegrato. In questa sezione verranno discusse due nuove proprietà.
Definizione 1.
La funzione y \u003d f (x), x є X, viene chiamata anche se per qualsiasi valore x dall'insieme X l'uguaglianza f (-x) \u003d f (x) è vera.
Definizione 2.
La funzione y \u003d f (x), x є X, viene chiamata dispari se per qualsiasi valore x dall'insieme X l'uguaglianza f (-x) \u003d -f (x) è vera.
Dimostra che y = x 4 è una funzione pari.
Soluzione. Abbiamo: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Ma (-x) 4 = x 4 . Quindi, per ogni x, l'uguaglianza f (-x) = f (x), cioè la funzione è pari.
Allo stesso modo, si può dimostrare che le funzioni y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 sono pari.
Dimostra che y = x 3 è una funzione dispari.
Soluzione. Abbiamo: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Ma (-x) 3 = -x 3 . Quindi, per ogni x, l'uguaglianza f (-x) \u003d -f (x), ad es. la funzione è dispari.
Allo stesso modo, si può dimostrare che le funzioni y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sono dispari.
Tu ed io ci siamo ripetutamente convinti che i nuovi termini in matematica hanno molto spesso un'origine "terrena", ad es. possono essere spiegati in qualche modo. Questo vale sia per le funzioni pari che per quelle dispari. Vedi: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sono funzioni dispari, mentre y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 sono funzioni pari. E in generale, per qualsiasi funzione della forma y \u003d x "(di seguito studieremo specificamente queste funzioni), dove n è un numero naturale, possiamo concludere: se n è un numero dispari, allora la funzione y \u003d x " è strano; se n è un numero pari, allora la funzione y = xn è pari.
Ci sono anche funzioni che non sono né pari né dispari. Tale, ad esempio, è la funzione y \u003d 2x + 3. In effetti, f (1) \u003d 5 e f (-1) \u003d 1. Come puoi vedere, qui Quindi, né l'identità f (-x ) \u003d f ( x), né l'identità f(-x) = -f(x).
Quindi una funzione può essere pari, dispari o nessuna delle due.
Lo studio della questione se una data funzione sia pari o dispari è solitamente chiamato lo studio della funzione per la parità.
Le definizioni 1 e 2 riguardano i valori della funzione nei punti x e -x. Ciò presuppone che la funzione sia definita sia nel punto x che nel punto -x. Ciò significa che il punto -x appartiene al dominio della funzione contemporaneamente al punto x. Se un insieme numerico X insieme a ciascuno dei suoi elementi x contiene l'elemento opposto -x, allora X è detto insieme simmetrico. Diciamo che (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sono insiemi simmetrici, mentre ; (∞;∞) sono insiemi simmetrici e , [–5;4] sono non simmetrici.
- Anche le funzioni hanno un dominio di definizione - un insieme simmetrico? Quelli strani?
- Se D( F) è un insieme asimmetrico, allora qual è la funzione?
– Quindi, se la funzione A = F(X) è pari o dispari, allora il suo dominio di definizione è D( F) è un insieme simmetrico. Ma è vera l'affermazione inversa, se il dominio di una funzione è un insieme simmetrico, allora è pari o dispari?
- Quindi la presenza di un insieme simmetrico del dominio di definizione è una condizione necessaria, ma non sufficiente.
– Allora come possiamo studiare la funzione per la parità? Proviamo a scrivere un algoritmo.
Diapositiva
Algoritmo per l'esame di una funzione per la parità
1. Determinare se il dominio della funzione è simmetrico. In caso contrario, la funzione non è né pari né dispari. Se sì, vai al passaggio 2 dell'algoritmo.
2. Scrivi un'espressione per F(–X).
3. Confronta F(–X).E F(X):
- Se F(–X).= F(X), allora la funzione è pari;
- Se F(–X).= – F(X), allora la funzione è dispari;
- Se F(–X) ≠ F(X) E F(–X) ≠ –F(X), allora la funzione non è né pari né dispari.
Esempi:
Indagare la funzione per la parità a) A= x 5 +; B) A= ; V) A= .
Soluzione.
a) h (x) \u003d x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), insieme simmetrico.
2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),
3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funzione h(x)= x 5 + dispari.
b) y =,
A = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), insieme asimmetrico, quindi la funzione non è né pari né dispari.
V) F(X) = , y = f(x),
1) RE( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
opzione 2
1. L'insieme dato è simmetrico: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
UN); b) y \u003d x (5 - x 2).
a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d
Traccia la funzione A = F(X), Se A = F(X) è una funzione pari.
Traccia la funzione A = F(X), Se A = F(X) è una funzione dispari.
Verifica reciproca diapositiva.
6. Compiti a casa: №11.11, 11.21,11.22;
Dimostrazione del significato geometrico della proprietà di parità.
*** (Assegnazione dell'opzione USE).
1. La funzione dispari y \u003d f (x) è definita sull'intera linea reale. Per ogni valore non negativo della variabile x, il valore di questa funzione coincide con il valore della funzione g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Trova il valore della funzione h( X) = a X = 3.
7. Riassumendo