Come trovare la superficie laterale di una piramide: formule, problema di esempio. Trova la superficie di una piramide triangolare regolare lato S Piramide
In questa lezione:
- Problema 1. Trova la superficie totale della piramide
- Problema 2. Trova la superficie laterale di una piramide triangolare regolare
.
Nota . Se hai bisogno di risolvere un problema di geometria che non è qui, scrivilo nel forum. Nei problemi, invece del simbolo della "radice quadrata", viene utilizzata la funzione sqrt(), in cui sqrt è il simbolo della radice quadrata e l'espressione radicando è indicata tra parentesi. Per le espressioni radicali semplici si può usare il segno "√"..
Problema 1. Trova la superficie totale di una piramide regolare
L'altezza della base di una piramide triangolare regolare è di 3 cm e l'angolo tra la faccia laterale e la base della piramide è di 45 gradi.Trova la superficie totale della piramide
Soluzione.
Alla base di una piramide triangolare regolare si trova un triangolo equilatero.
Pertanto, per risolvere il problema, utilizzeremo le proprietà di un triangolo regolare: 
Conosciamo l'altezza del triangolo, da dove possiamo trovare la sua area.
h = √3/2 a
a = h/(√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3
Quindi l’area della base sarà pari a:
S = √3/4 un 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3
Per trovare l'area della faccia laterale calcoliamo l'altezza KM. Secondo il problema, l'angolo OKM è di 45 gradi.
Così:
OK/MK = cos 45
Usiamo la tabella dei valori delle funzioni trigonometriche e sostituiamo i valori noti.
OK/MK = √2/2
Teniamo presente che OK è uguale al raggio del cerchio inscritto. Poi
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1
Poi
OK/MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2
L'area della faccia laterale è quindi pari alla metà del prodotto dell'altezza e della base del triangolo.
Slato = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6
Pertanto, la superficie totale della piramide sarà uguale a
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6
Risposta: 3√3 + 18/√6
Problema 2. Trova l'area della superficie laterale di una piramide regolare
In una piramide triangolare regolare l'altezza è 10 cm e il lato di base è 16 cm . Trova l'area della superficie laterale .Soluzione.
Poiché la base di una piramide triangolare regolare è un triangolo equilatero, AO è il raggio del cerchio circoscritto alla base.
(Questo segue da)
Troviamo il raggio di un cerchio circoscritto attorno a un triangolo equilatero dalle sue proprietà
Pertanto la lunghezza degli spigoli di una piramide triangolare regolare sarà pari a:
AM2 = MO2 + AO2
l'altezza della piramide è nota per condizione (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)
Ogni lato della piramide è un triangolo isoscele. Troviamo l'area di un triangolo isoscele dalla prima formula presentata di seguito 
S = 1/2 * 16 quadrati((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 quadrato((556/3) - 64)
S = 8 mq(364/3)
S = 16 quadrati (91/3)
Poiché tutte e tre le facce di una piramide regolare sono uguali, la superficie laterale sarà uguale a
3S = 48 √(91/3)
Risposta: 48 √(91/3)
Problema 3. Trova la superficie totale di una piramide regolare
Il lato di una piramide triangolare regolare è di 3 cm e l'angolo tra la faccia laterale e la base della piramide è di 45 gradi. Trova la superficie totale della piramide.
Soluzione.
Poiché la piramide è regolare, alla sua base c'è un triangolo equilatero. Pertanto l'area della base è 
Quindi = 9 * √3/4
Per trovare l'area della faccia laterale calcoliamo l'altezza KM. Secondo il problema, l'angolo OKM è di 45 gradi.
Così:
OK/MK = cos 45
Approfittiamo
Un cilindro è un corpo geometrico delimitato da due piani paralleli e una superficie cilindrica. Nell'articolo parleremo di come trovare l'area di un cilindro e, utilizzando la formula, risolveremo diversi problemi a titolo di esempio.
Un cilindro ha tre superfici: una superiore, una base e una superficie laterale.
La parte superiore e la base di un cilindro sono cerchi e sono facili da identificare.
È noto che l'area di un cerchio è uguale a πr 2. Pertanto, la formula per l'area di due cerchi (la parte superiore e la base del cilindro) sarà πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
La terza superficie laterale del cilindro è la parete curva del cilindro. Per immaginare meglio questa superficie, proviamo a trasformarla per ottenere una forma riconoscibile. Immagina che il cilindro sia un normale barattolo di latta senza coperchio né fondo. Facciamo un taglio verticale sulla parete laterale dall'alto verso il basso della lattina (Step 1 nella figura) e proviamo ad aprire (raddrizzare) il più possibile la figura risultante (Step 2).
Dopo che il barattolo risultante sarà completamente aperto, vedremo una figura familiare (passaggio 3), questo è un rettangolo. L'area di un rettangolo è facile da calcolare. Ma prima torniamo per un momento al cilindro originale. Il vertice del cilindro originale è un cerchio, e sappiamo che la circonferenza si calcola con la formula: L = 2πr. Nella figura è segnato in rosso.
Quando la parete laterale del cilindro è completamente aperta, vediamo che la circonferenza diventa la lunghezza del rettangolo risultante. I lati di questo rettangolo saranno la circonferenza (L = 2πr) e l'altezza del cilindro (h). L'area di un rettangolo è uguale al prodotto dei suoi lati - S = lunghezza x larghezza = L x h = 2πr x h = 2πrh. Di conseguenza, abbiamo ricevuto una formula per calcolare l'area della superficie laterale del cilindro.
Formula per la superficie laterale di un cilindro
Lato S = 2πrh
Superficie totale di un cilindro
Infine, se sommiamo l'area di tutte e tre le superfici, otteniamo la formula per la superficie totale di un cilindro. L'area della superficie di un cilindro è uguale all'area della sommità del cilindro + l'area della base del cilindro + l'area della superficie laterale del cilindro oppure S = πr 2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh. A volte questa espressione è scritta identica alla formula 2πr (r + h).
Formula per la superficie totale di un cilindro
S = 2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – raggio del cilindro, h – altezza del cilindro
Esempi di calcolo della superficie di un cilindro
Per comprendere le formule di cui sopra, proviamo a calcolare la superficie di un cilindro utilizzando degli esempi.
1. Il raggio della base del cilindro è 2, l'altezza è 3. Determina l'area della superficie laterale del cilindro.
La superficie totale si calcola utilizzando la formula: lato S. = 2πrh
Lato S = 2*3,14*2*34,6. Valutazioni totali ricevute: 990.
Nella preparazione all'Esame di Stato Unificato di matematica, gli studenti devono sistematizzare le loro conoscenze di algebra e geometria. Vorrei combinare tutte le informazioni conosciute, ad esempio, su come calcolare l'area di una piramide. Inoltre, partendo dalla base e dai bordi laterali fino a tutta la superficie. Se la situazione con le facce laterali è chiara, poiché sono triangoli, allora la base è sempre diversa.
Come trovare l'area della base della piramide?
Può essere assolutamente qualsiasi figura: da un triangolo arbitrario a un n-gon. E questa base, oltre alla differenza nel numero degli angoli, può essere una figura regolare o irregolare. Nei compiti dell'Esame di Stato Unificato che interessano gli scolari, ci sono solo compiti con le cifre corrette alla base. Pertanto, parleremo solo di loro.
Triangolo regolare
Cioè, equilatero. Quello in cui tutti i lati sono uguali e sono contrassegnati dalla lettera “a”. In questo caso, l'area della base della piramide viene calcolata con la formula:
S = (a 2 * √3) / 4.
Piazza
La formula per calcolare la sua area è la più semplice, anche qui “a” è il lato:
N-gon regolare arbitrario
Il lato di un poligono ha la stessa notazione. Per il numero degli angoli si usa la lettera latina n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Cosa fare quando si calcola la superficie laterale e totale?
Poiché la base è una figura regolare, tutte le facce della piramide sono uguali. Inoltre ciascuno di essi è un triangolo isoscele, poiché i bordi laterali sono uguali. Quindi, per calcolare l'area laterale della piramide, avrai bisogno di una formula composta dalla somma di monomi identici. Il numero di termini è determinato dal numero di lati della base.
L'area di un triangolo isoscele si calcola con la formula in cui la metà del prodotto della base viene moltiplicata per l'altezza. Questa altezza nella piramide è chiamata apotema. La sua designazione è "A". La formula generale per la superficie laterale è:
S = ½ P*A, dove P è il perimetro della base della piramide.
Ci sono situazioni in cui non si conoscono i lati della base, ma si danno i bordi laterali (c) e l'angolo piatto al suo apice (α). Quindi è necessario utilizzare la seguente formula per calcolare l'area laterale della piramide:
S = n/2 * in 2 sin α .
Compito n. 1
Condizione. Trova l'area totale della piramide se la sua base ha un lato di 4 cm e l'apotema ha un valore di √3 cm.
Soluzione. Devi iniziare calcolando il perimetro della base. Poiché questo è un triangolo regolare, allora P = 3*4 = 12 cm Poiché l'apotema è noto, possiamo immediatamente calcolare l'area dell'intera superficie laterale: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Per il triangolo alla base, ottieni il seguente valore dell'area: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Per determinare l'intera area, dovrai sommare i due valori risultanti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Risposta. 10√3 cm2.
Problema n.2
Condizione. C'è una piramide quadrangolare regolare. La lunghezza del lato base è di 7 mm, il bordo laterale è di 16 mm. È necessario scoprire la sua superficie.
Soluzione. Poiché il poliedro è quadrangolare e regolare, la sua base è quadrata. Una volta conosciuta l'area della base e delle facce laterali, sarai in grado di calcolare l'area della piramide. La formula per il quadrato è riportata sopra. E per le facce laterali si conoscono tutti i lati del triangolo. Pertanto, puoi utilizzare la formula di Erone per calcolare le loro aree.
I primi calcoli sono semplici e portano al seguente numero: 49 mm 2. Per il secondo valore dovrai calcolare il semiperimetro: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Ora puoi calcolare l'area di un triangolo isoscele: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Esistono solo quattro triangoli di questo tipo, quindi quando calcoli il numero finale dovrai moltiplicarlo per 4.
Risulta: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.
Risposta. Il valore desiderato è 267,576 mm 2.
Problema n.3
Condizione. Per una piramide quadrangolare regolare, è necessario calcolare l'area. Come sappiamo, il lato del quadrato è 6 cm e l'altezza è 4 cm.
Soluzione. Il modo più semplice è utilizzare la formula con il prodotto tra perimetro e apotema. Il primo valore è facile da trovare. La seconda è un po’ più complicata.
Dovremo ricordare il teorema di Pitagora e considerare che è formato dall'altezza della piramide e dall'apotema, che è l'ipotenusa. La seconda gamba è uguale alla metà del lato del quadrato, poiché l'altezza del poliedro cade nel suo centro.
L'apotema richiesto (ipotenusa di un triangolo rettangolo) è pari a √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Ora puoi calcolare il valore richiesto: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Risposta. 96 cm2.
Problema n.4
Condizione. Viene fornito il lato corretto: i lati della sua base sono 22 mm, i bordi laterali sono 61 mm. Qual è l'area della superficie laterale di questo poliedro?
Soluzione. Il ragionamento in esso contenuto è lo stesso descritto nell'attività n. 2. Solo che è stata data una piramide con un quadrato alla base, e ora è un esagono.
Innanzitutto, la superficie di base viene calcolata utilizzando la formula sopra: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Ora devi trovare il semiperimetro di un triangolo isoscele, che è la faccia laterale. (22+61*2):2 = 72 cm Non resta che utilizzare la formula di Erone per calcolare l'area di ciascuno di questi triangoli, quindi moltiplicarla per sei e aggiungerla a quella ottenuta per la base.
Calcoli utilizzando la formula di Erone: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calcoli che daranno la superficie laterale: 660 * 6 = 3960 cm 2. Resta da sommarli per scoprire l'intera superficie: 5217,47≈5217 cm 2.
Risposta. La base è 726√3 cm2, la superficie laterale è 3960 cm2, l'area totale è 5217 cm2.
In una piramide triangolare regolare SABC R- metà della costola AB, S- superiore.
È risaputo che RS = 6 e la superficie laterale è uguale a 36
.
Trova la lunghezza del segmento AVANTI CRISTO..
Facciamo un disegno. In una piramide regolare le facce laterali sono triangoli isosceli.
Segmento S.R.- la mediana ribassata alla base, e quindi l'altezza della faccia laterale.
La superficie laterale di una piramide triangolare regolare è pari alla somma delle aree
tre facce laterali uguali Lato S = 3 S ABS. Da qui S ABS = 36: 3 = 12- zona del viso.
L'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto della sua base e dell'altezza
S ABS = 0,5 AB SR. Conoscendo l'area e l'altezza troviamo il lato della base AB = BC.
12 = 0,5AB6
12 = 3AB
AB = 4
Risposta: 4
Puoi affrontare il problema dall'altra parte. Lascia che il lato base AB = BC = a.
Poi la zona del viso S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.
L'area di ciascuna delle tre facce è pari a 3a, l'area delle tre facce è uguale 9a.
Secondo le condizioni del problema, l'area della superficie laterale della piramide è 36.
Lato S = 9a = 36.
Da qui un = 4.
L'area della superficie laterale di una piramide arbitraria è uguale alla somma delle aree delle sue facce laterali. Ha senso fornire una formula speciale per esprimere quest'area nel caso di una piramide regolare. Diamo quindi una piramide regolare, alla base della quale si trova un n-gono regolare con lato uguale ad a. Sia h l'altezza della faccia laterale, detta anche apotema piramidi. L'area di una faccia laterale è pari a 1/2ah, e l'intera superficie laterale della piramide ha un'area pari a n/2ha. Poiché na è il perimetro della base della piramide, possiamo scrivere la formula trovata Nella forma:
Superficie laterale di una piramide regolare è uguale al prodotto del suo apotema per metà del perimetro di base.
Riguardo superficie totale, quindi aggiungiamo semplicemente l'area della base a quella laterale.
Sfera e sfera inscritta e circoscritta. Va notato che il centro della sfera inscritta nella piramide si trova all'intersezione dei piani bisettoriali degli angoli diedri interni della piramide. Il centro della sfera descritta vicino alla piramide si trova all'intersezione dei piani passanti per i punti medi degli spigoli della piramide e perpendicolari ad essi.
Piramide tronca. Se una piramide è tagliata da un piano parallelo alla sua base, allora si chiama la parte racchiusa tra il piano di taglio e la base piramide tronca. La figura mostra una piramide; scartando la sua parte che si trova sopra il piano di taglio, otteniamo una piramide tronca. È chiaro che la piccola piramide scartata è omotetica alla grande piramide con il centro di omotetismo al vertice. Il coefficiente di somiglianza è uguale al rapporto tra le altezze: k=h 2 /h 1, o i bordi laterali, o altre dimensioni lineari corrispondenti di entrambe le piramidi. Sappiamo che le aree di figure simili sono legate come quadrati di dimensioni lineari; quindi le aree delle basi di entrambe le piramidi (cioè l'area delle basi della piramide tronca) sono correlate come
Qui S 1 è l'area della base inferiore e S 2 è l'area della base superiore del tronco di piramide. Le superfici laterali delle piramidi sono nella stessa relazione. Una regola simile esiste per i volumi.
Volumi di corpi simili sono legati come i cubi delle loro dimensioni lineari; ad esempio i volumi delle piramidi sono rapportati come il prodotto delle loro altezze per l'area delle basi, da cui si ricava subito la nostra regola. È di carattere del tutto generale e deriva direttamente dal fatto che il volume ha sempre una dimensione pari alla terza potenza della lunghezza. Usando questa regola, ricaviamo una formula che esprime il volume di una piramide tronca attraverso l'altezza e l'area delle basi.
Sia data una piramide tronca con altezza h e aree di base S 1 e S 2. Se immaginiamo che sia estesa ad una piramide intera, allora il coefficiente di somiglianza tra la piramide intera e la piramide piccola può essere facilmente trovato come radice del rapporto S 2 /S 1 . L'altezza di una piramide tronca è espressa come h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Ora abbiamo il volume di una piramide tronca (V 1 e V 2 indicano i volumi delle piramidi piene e piccole)
formula per il volume di una piramide tronca
Deriviamo la formula per l'area S della superficie laterale di una piramide regolare tronca attraverso i perimetri P 1 e P 2 delle basi e la lunghezza dell'apotema a. Ragioniamo esattamente allo stesso modo di quando ricaviamo la formula del volume. Integriamo la piramide con la parte superiore, abbiamo P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, dove k è il coefficiente di somiglianza, P 1 e P 2 sono i perimetri delle basi, e S 1 e S 2 sono le aree delle superfici laterali dell'intera piramide risultante e di conseguenza la sua parte superiore. Per la superficie laterale troviamo (a 1 e a 2 sono apotemi delle piramidi, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))
formula per la superficie laterale di una piramide regolare tronca
