Fattorizzazione di un polinomio. Metodi per fattorizzare un polinomio di grado superiore a due Sviluppo delle parentesi quadre

Questo è uno dei modi più semplici per semplificare un'espressione. Per applicare questo metodo, ricordiamo la legge distributiva della moltiplicazione relativa all'addizione (non aver paura di queste parole, conosci sicuramente questa legge, potresti averne dimenticato il nome).

La legge dice: per moltiplicare la somma di due numeri per un terzo numero, è necessario moltiplicare ciascun termine per questo numero e sommare il risultato risultante, in altre parole .

Puoi anche fare l'operazione inversa, ed è proprio questa operazione inversa che ci interessa. Come si può vedere dal campione, il fattore comune a può essere tolto dalla parentesi.

Un'operazione simile può essere fatta sia con variabili, come e, ad esempio, sia con numeri: .

Sì, questo è un esempio molto elementare, proprio come l'esempio fatto prima, con la scomposizione di un numero, perché tutti sanno che i numeri sono divisibili per, ma cosa succede se ottieni un'espressione più complicata:

Come scoprire, ad esempio, per cosa è divisibile un numero? No, chiunque può farlo con una calcolatrice, ma senza di essa è difficile? E per questo ci sono segni di divisibilità, vale davvero la pena conoscere questi segni, ti aiuteranno a capire rapidamente se il fattore comune può essere tolto dalla parentesi.

Segni di divisibilità

Non è così difficile ricordarli, molto probabilmente, molti di loro ti erano già familiari, e alcuni saranno una nuova utile scoperta, maggiori dettagli nella tabella:

Nota: nella tabella manca il test di divisibilità per 4. Se le ultime due cifre sono divisibili per 4, allora l'intero numero è divisibile per 4.

Bene, come ti piace il segno? Ti consiglio di ricordartelo!

Bene, torniamo all'espressione, forse può toglierlo dalla parentesi e basta? No, i matematici tendono a semplificare, quindi al massimo, sopportare TUTTO ciò che viene sopportato!

E quindi, con il gioco tutto è chiaro, ma per quanto riguarda la parte numerica dell'espressione? Entrambi i numeri sono dispari, quindi non puoi dividere per

Puoi utilizzare il test di divisibilità: la somma delle cifre, e, che compongono il numero è uguale, e divisibile per, significa divisibile per.

Sapendo questo, puoi tranquillamente dividere in una colonna e, come risultato della divisione, otteniamo (i segni di divisibilità sono utili!). Quindi, possiamo togliere il numero tra parentesi, proprio come y, e come risultato abbiamo:

Per assicurarti che tutto sia stato espanso correttamente, puoi controllare l'espansione moltiplicando!

Il fattore comune può essere espresso anche in termini di potenza. Qui, ad esempio, vedi il moltiplicatore comune?

Tutti i membri di questa espressione hanno delle x - le togliamo, sono tutte divise per - le togliamo di nuovo, guarda cosa è successo: .

2. Formule di moltiplicazione abbreviate

Le formule di moltiplicazione abbreviate sono già state menzionate in teoria; se hai difficoltà a ricordare cosa sono, allora dovresti rinfrescarti la memoria.

Bene, se ti consideri molto intelligente e sei troppo pigro per leggere una tale nuvola di informazioni, continua a leggere, guarda le formule e affronta immediatamente gli esempi.

L'essenza di questa scomposizione è notare una certa formula nell'espressione che hai di fronte, applicarla e ottenere così il prodotto di qualcosa e qualcosa, questa è tutta la scomposizione. Di seguito le formule:

Ora prova a fattorizzare le seguenti espressioni utilizzando le formule sopra:

Ecco cosa sarebbe dovuto succedere:

Come avrai notato, queste formule sono un modo di fattorizzazione molto efficace; non sempre è adatto, ma può essere molto utile!

3. Metodo di raggruppamento o raggruppamento

Ecco un altro esempio per te:

Allora cosa ne farai? Sembra che qualcosa sia diviso in e in, e qualcosa in e in

Ma non puoi dividere tutto insieme in una cosa, beh non c'è alcun fattore comune qui, non importa come sembri, cosa dovresti lasciarlo così, senza tenerlo in considerazione nei fattori?

Qui devi mostrare ingegnosità e il nome di questo ingegno è raggruppamento!

Si usa proprio quando non tutti i membri hanno divisori comuni. Per il raggruppamento di cui hai bisogno trovare gruppi di termini che hanno fattori comuni e riorganizzarli in modo che lo stesso fattore possa essere ottenuto da ciascun gruppo.

Certo, non è necessario riorganizzarli, ma questo dà chiarezza; per chiarezza puoi mettere tra parentesi singole parti dell'espressione; non è vietato metterle quanto vuoi, l'importante è non confondere i segni.

Tutto questo non è molto chiaro? Mi spiego con un esempio:

In un polinomio - mettiamo il termine - dopo il termine - otteniamo

raggruppiamo i primi due termini in una parentesi separata e raggruppiamo anche il terzo e il quarto termine, togliendo il segno meno dalla parentesi, otteniamo:

Ora esaminiamo separatamente ciascuna delle due “pile” in cui abbiamo diviso l'espressione tra parentesi.

Il trucco sta nel suddividerlo in pile da cui è possibile estrarre il fattore più grande o, come in questo esempio, provare a raggruppare i termini in modo che dopo aver rimosso i fattori dalle pile dalle parentesi, abbiamo ancora le stesse espressioni all'interno delle parentesi.

Da entrambe le parentesi togliamo i divisori comuni dei termini, dalla prima parentesi, dalla seconda otteniamo:

Ma questa non è decomposizione!

Pasino della scomposizione dovrebbe rimanere solo la moltiplicazione, ma per ora il nostro polinomio è semplicemente diviso in due parti...

MA! Questo polinomio ha un fattore comune. Questo

oltre la parentesi e otteniamo il prodotto finale

Bingo! Come puoi vedere qui c'è già un prodotto e fuori dalle parentesi non c'è né addizione né sottrazione, la scomposizione è completa, perché Non abbiamo altro da togliere dalle parentesi.

Può sembrare un miracolo che dopo aver tolto i fattori tra parentesi ci siano rimaste le stesse espressioni tra parentesi, che abbiamo nuovamente messo fuori parentesi.

E questo non è affatto un miracolo, il fatto è che gli esempi nei libri di testo e nell'Esame di Stato unificato sono realizzati appositamente in modo che la maggior parte delle espressioni nei compiti di semplificazione o fattorizzazione con il giusto approccio ad essi, si semplificano facilmente e si chiudono bruscamente come un ombrello quando si preme un pulsante, quindi cerca proprio quel pulsante in ogni espressione.

Mi sono distratto, cosa ci facciamo con la semplificazione? L'intricato polinomio assunse una forma più semplice: .

D'accordo, non è così ingombrante come prima?

4. Selezione di un quadrato completo.

A volte, per applicare formule di moltiplicazione abbreviate (ripetiamo l'argomento), è necessario trasformare un polinomio esistente, presentando uno dei suoi termini come somma o differenza di due termini.

In tal caso devi farlo, imparerai dall'esempio:

Un polinomio in questa forma non può essere espanso utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate, quindi deve essere trasformato. Forse all'inizio non ti sarà chiaro quale termine dividere in quale, ma col tempo imparerai a vedere subito le formule della moltiplicazione abbreviata, anche se non sono del tutto presenti, e determinerai rapidamente cosa manca da la formula completa, ma per ora - impara, uno studente, o meglio uno scolaretto.

Per la formula completa per la differenza al quadrato, invece, qui serve. Immaginiamo il terzo termine come differenza, otteniamo: All'espressione tra parentesi si può applicare la formula del quadrato della differenza (da non confondere con la differenza dei quadrati!!!), abbiamo: , a questa espressione possiamo applicare la formula della differenza dei quadrati (da non confondere con la differenza al quadrato!!!), immaginando come, otteniamo: .

Un'espressione fattorizzata non sempre appare più semplice e più piccola di quanto non fosse prima dell'espansione, ma in questa forma diventa più flessibile, nel senso che non devi preoccuparti di cambiare segni e altre sciocchezze matematiche. Bene, affinché tu possa decidere da solo, è necessario fattorizzare le seguenti espressioni.

Esempi:

Risposte:​

5. Fattorizzazione di un trinomio quadratico

Per la scomposizione di un trinomio quadratico in fattori, vedere ulteriori esempi di scomposizione.

Esempi di 5 metodi per fattorizzare un polinomio

1. Togliere il fattore comune tra parentesi. Esempi.

Ricordi cos'è la legge distributiva? Questa è la regola:

Esempio:

Fattorizzare il polinomio.

Soluzione:

Un altro esempio:

Consideralo.

Soluzione:

Se l'intero termine viene tolto dalle parentesi, tra parentesi rimane invece un'unità!

2. Formule di moltiplicazione abbreviate. Esempi.

Le formule che utilizziamo più spesso sono differenza di quadrati, differenza di cubi e somma di cubi. Ricordi queste formule? In caso contrario, ripeti urgentemente l'argomento!

Esempio:

Fattorizza l'espressione.

Soluzione:

In questa espressione è facile scoprire la differenza dei cubi:

Esempio:

Soluzione:

3. Metodo di raggruppamento. Esempi

A volte è possibile scambiare i termini in modo che lo stesso fattore possa essere estratto da ciascuna coppia di termini adiacenti. Questo fattore comune può essere tolto dalla parentesi e il polinomio originale si trasformerà in un prodotto.

Esempio:

Fattorizzare il polinomio.

Soluzione:

Raggruppiamo i termini come segue:
.

Nel primo gruppo togliamo il fattore comune tra parentesi, nel secondo - :
.

Ora il fattore comune può anche essere tolto dalle parentesi:
.

4. Metodo per selezionare un quadrato completo. Esempi.

Se il polinomio può essere rappresentato come la differenza dei quadrati di due espressioni, non resta che applicare la formula di moltiplicazione abbreviata (differenza dei quadrati).

Esempio:

Fattorizzare il polinomio.

Soluzione:Esempio:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(quadrato\ somma\ ((\sinistra (x+3 \destra))^(2)))-9-7=((\sinistra(x+3 \destra))^(2))-16= \\
=\sinistra(x+3+4 \destra)\sinistra(x+3-4 \destra)=\sinistra(x+7 \destra)\sinistra(x-1 \destra) \\
\end(array)

Fattorizzare il polinomio.

Soluzione:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(quadrato\differenze((\sinistra(((x)^(2))-2 \destra))^(2)))-4-1=((\sinistra(((x)^ (2))-2 \destra))^(2))-5= \\
=\sinistra(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \destra)\sinistra(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \destra) \\
\end(array)

5. Fattorizzazione di un trinomio quadratico. Esempio.

Un trinomio quadrato è un polinomio della forma, dove - l'ignoto, - alcuni numeri, e.

I valori della variabile che fanno svanire il trinomio quadratico si chiamano radici del trinomio. Pertanto, le radici di un trinomio sono le radici di un'equazione quadratica.

Teorema.

Esempio:

Fattorizziamo il trinomio quadratico: .

Innanzitutto, risolviamo l'equazione quadratica: ora possiamo scrivere la fattorizzazione di questo trinomio quadratico:

Ora la tua opinione...

Abbiamo descritto in dettaglio come e perché fattorizzare un polinomio.

Abbiamo fornito molti esempi di come farlo nella pratica, evidenziato insidie, fornito soluzioni...

Che ne dici?

Cosa pensi di questo articolo? Utilizzi queste tecniche? Comprendi la loro essenza?

Scrivi nei commenti e... preparati all'esame!

Finora è la persona più importante della tua vita.

Un polinomio è un'espressione costituita dalla somma di monomi. Questi ultimi sono il prodotto di una costante (numero) e della radice (o delle radici) dell'espressione elevata a k. In questo caso si parla di polinomio di grado k. L'espansione di un polinomio comporta una trasformazione dell'espressione in cui i termini vengono sostituiti da fattori. Consideriamo le modalità principali per realizzare questo tipo di trasformazione.

Metodo per espandere un polinomio isolando un fattore comune

Questo metodo si basa sulle leggi della legge di distribuzione. Quindi, mn + mk = m * (n + k).

• Esempio: espandere 7y 2 + 2uy e 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).

Tuttavia, non sempre è possibile trovare il fattore necessariamente presente in ciascun polinomio, quindi questo metodo non è universale.

Metodo di espansione polinomiale basato su formule di moltiplicazione abbreviate

Le formule di moltiplicazione abbreviate sono valide per polinomi di qualsiasi grado. In generale, l'espressione di trasformazione è simile alla seguente:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), dove k è un rappresentante di numeri naturali .

Le formule più utilizzate nella pratica sono per i polinomi del secondo e terzo ordine:

u2 – l2 = (u – l)(u + l),

u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).

• Esempio: espandere 25p 2 – 144b 2 e 64m 3 – 8l 3.

25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),

64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

Metodo di espansione polinomiale: raggruppamento dei termini di un'espressione

Questo metodo ha in qualche modo qualcosa in comune con la tecnica di derivazione del fattore comune, ma presenta alcune differenze. In particolare, prima di isolare un fattore comune, è opportuno raggruppare i monomi. Il raggruppamento si basa sulle regole delle leggi combinatorie e commutative.

Tutti i monomi presentati nell'espressione sono divisi in gruppi, in ciascuno dei quali viene assegnato un valore comune in modo tale che il secondo fattore sia lo stesso in tutti i gruppi. In generale, questo metodo di scomposizione può essere rappresentato come l'espressione:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).

• Esempio: distribuzione 14mn + 16ln – 49m – 56l.

14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).

Metodo di espansione polinomiale: formazione di un quadrato perfetto

Questo metodo è uno dei più efficaci nell'espansione di un polinomio. Nella fase iniziale, è necessario determinare i monomi che possono essere “collassati” nel quadrato della differenza o della somma. Per fare ciò, utilizzare una delle relazioni:

(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2 ,

• Esempio: espandi l’espressione u 4 + 4u 2 – 1.

Tra i suoi monomi selezioniamo i termini che formano un quadrato completo: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =

= (u4 + 2 * 2u2 + 4) – 4 – 1 = (u4 + 2 * 2u2 + 4) – 5.

Completa la trasformazione utilizzando le regole di moltiplicazione abbreviate: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).

Quello. u4 + 4u2 – 1 = (u2 + 2 – √5)(u2 + 2 + √5).

Molto spesso il numeratore e il denominatore di una frazione sono espressioni algebriche che devono prima essere scomposte e poi, dopo averne trovate identiche tra loro, dividere per esse sia il numeratore che il denominatore, cioè ridurre la frazione. Un intero capitolo del libro di testo di algebra della seconda media è dedicato al compito di fattorizzare un polinomio. Si può fare la fattorizzazione 3 modi, nonché una combinazione di questi metodi.

1. Applicazione delle formule di moltiplicazione abbreviate

Come è noto, a moltiplicare un polinomio per un polinomio, devi moltiplicare ciascun termine di un polinomio per ciascun termine dell'altro polinomio e sommare i prodotti risultanti. Ci sono almeno 7 (sette) casi frequenti di moltiplicazione di polinomi inclusi nel concetto. Per esempio,

Tabella 1. Fattorizzazione nel 1° modo

2. Togliere il fattore comune tra parentesi

Questo metodo si basa sull'applicazione della legge della moltiplicazione distributiva. Per esempio,

Dividiamo ogni termine dell'espressione originale per il fattore che togliamo e otteniamo un'espressione tra parentesi (cioè, il risultato della divisione di ciò che era per ciò che togliamo rimane tra parentesi). Prima di tutto hai bisogno determinare correttamente il moltiplicatore, che deve essere tolto dalla staffa.

Il fattore comune può anche essere un polinomio tra parentesi:

Quando esegui il compito di “fattorizzare”, devi prestare particolare attenzione ai segni quando metti il ​​fattore totale tra parentesi. Per cambiare il segno di ogni termine in una parentesi (b-a), togliamo il fattore comune tra parentesi -1 , e ogni termine tra parentesi verrà diviso per -1: (b - a) = - (a - b) .

Se l'espressione tra parentesi è al quadrato (o a qualsiasi potenza pari), allora i numeri tra parentesi possono essere scambiati completamente liberamente, poiché i meno tolti tra parentesi si trasformeranno comunque in più una volta moltiplicati: (b - un) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 e così via…

3. Metodo di raggruppamento

A volte non tutti i termini di un'espressione hanno un fattore comune, ma solo alcuni. Allora puoi provare termini di gruppo tra parentesi in modo da poter eliminare qualche fattore da ciascuno. Metodo di raggruppamento- questa è una doppia rimozione dei fattori comuni dalle parentesi.

4. Utilizzando diversi metodi contemporaneamente

A volte è necessario applicare non uno, ma diversi metodi per fattorizzare un polinomio contemporaneamente.

Questo è un riassunto dell'argomento "Fattorizzazione". Seleziona i passaggi successivi:

• Vai al riepilogo successivo:

Qualsiasi polinomio algebrico di grado n può essere rappresentato come un prodotto di n fattori lineari della forma e un numero costante, che sono i coefficienti del polinomio di grado più alto x, cioè

Dove - sono le radici del polinomio.

La radice di un polinomio è il numero (reale o complesso) che fa svanire il polinomio. Le radici di un polinomio possono essere radici reali o radici complesse coniugate, quindi il polinomio può essere rappresentato nella seguente forma:

Consideriamo i metodi per decomporre i polinomi di grado “n” nel prodotto di fattori di primo e secondo grado.

Metodo numero 1.Metodo dei coefficienti indeterminati.

I coefficienti di tale espressione trasformata sono determinati con il metodo dei coefficienti indefiniti. L'essenza del metodo è che il tipo di fattori in cui viene scomposto un dato polinomio è noto in anticipo. Quando si utilizza il metodo dei coefficienti incerti, sono vere le seguenti affermazioni:

P.1. Due polinomi sono identicamente uguali se i loro coefficienti sono uguali per le stesse potenze di x.

P.2. Qualsiasi polinomio di terzo grado viene scomposto nel prodotto di fattori lineari e quadratici.

P.3. Qualsiasi polinomio di quarto grado può essere scomposto nel prodotto di due polinomi di secondo grado.

Esempio 1.1.È necessario fattorizzare l'espressione cubica:

P.1. Secondo le affermazioni accettate, la stessa uguaglianza vale per l'espressione cubica:

P.2. La parte destra dell'espressione può essere rappresentata come termini come segue:

P.3. Componiamo un sistema di equazioni dalla condizione di uguaglianza dei coefficienti alle corrispondenti potenze dell'espressione cubica.

Questo sistema di equazioni può essere risolto selezionando coefficienti (se si tratta di un semplice problema accademico) oppure è possibile utilizzare metodi per risolvere sistemi di equazioni non lineari. Risolvendo questo sistema di equazioni, troviamo che i coefficienti incerti sono determinati come segue:

Pertanto, l'espressione originale viene fattorizzata nella seguente forma:

Questo metodo può essere utilizzato sia nei calcoli analitici che nella programmazione informatica per automatizzare il processo di ricerca della radice di un'equazione.

Metodo numero 2.Formule della Vieta

Le formule di Vieta sono formule che collegano i coefficienti delle equazioni algebriche di grado n e le sue radici. Queste formule furono implicitamente presentate nelle opere del matematico francese François Vieta (1540 - 1603). Dato che Vieth considerava solo le radici reali positive, non ebbe quindi la possibilità di scrivere queste formule in una forma esplicita generale.

Per ogni polinomio algebrico di grado n che ha radici n-reali,

Sono valide le seguenti relazioni che collegano le radici di un polinomio con i suoi coefficienti:

Le formule di Vieta sono convenienti da utilizzare per verificare la correttezza della ricerca delle radici di un polinomio, nonché per costruire un polinomio da radici date.

Esempio 2.1. Consideriamo come le radici di un polinomio sono correlate ai suoi coefficienti usando l'esempio di un'equazione cubica

Secondo le formule di Vieta, la relazione tra le radici di un polinomio e i suoi coefficienti ha la seguente forma:

Relazioni simili possono essere fatte per qualsiasi polinomio di grado n.

Metodo n. 3. Fattorizzazione di un'equazione quadratica con radici razionali

Dall'ultima formula di Vieta segue che le radici di un polinomio sono divisori del suo termine libero e del suo coefficiente principale. A questo proposito, se la formulazione del problema specifica un polinomio di grado n con coefficienti interi

allora questo polinomio ha una radice razionale (frazione irriducibile), dove p è il divisore del termine libero e q è il divisore del coefficiente principale. In questo caso, un polinomio di grado n può essere rappresentato come (teorema di Bezout):

Un polinomio, il cui grado è 1 inferiore al grado del polinomio iniziale, viene determinato dividendo un polinomio di grado n binomio, ad esempio utilizzando lo schema di Horner o nel modo più semplice - "colonna".

Esempio 3.1.È necessario fattorizzare il polinomio

P.1. Dato che il coefficiente del termine più alto è uguale a uno, le radici razionali di questo polinomio sono divisori del termine libero dell'espressione, cioè possono essere numeri interi . Sostituiamo ciascuno dei numeri presentati nell'espressione originale e troviamo che la radice del polinomio presentato è uguale a .

Dividiamo il polinomio originale per un binomio:

Usiamo lo schema di Horner

I coefficienti del polinomio originale vengono impostati nella riga superiore, mentre la prima cella della riga superiore rimane vuota.

Nella prima cella della seconda riga viene scritta la radice trovata (nell'esempio in esame viene scritto il numero “2”), e i seguenti valori nelle celle vengono calcolati in un certo modo e sono i coefficienti del polinomio, che si ottiene dividendo il polinomio per il binomio. I coefficienti sconosciuti sono determinati come segue:

Il valore dalla cella corrispondente della prima riga viene trasferito alla seconda cella della seconda riga (nell'esempio in esame viene scritto il numero “1”).

La terza cella della seconda riga contiene il valore del prodotto della prima cella e della seconda cella della seconda riga più il valore della terza cella della prima riga (nell'esempio considerato 2 ∙ 1 -5 = -3 ).

La quarta cella della seconda riga contiene il valore del prodotto della prima cella e della terza cella della seconda riga più il valore della quarta cella della prima riga (nell'esempio in esame, 2 ∙ (-3) + 7 = 1).

Pertanto, il polinomio originale viene fattorizzato:

Metodo numero 4.Utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate

Le formule di moltiplicazione abbreviate vengono utilizzate per semplificare i calcoli, nonché per fattorizzare i polinomi. Le formule di moltiplicazione abbreviate consentono di semplificare la soluzione dei singoli problemi.

Formule utilizzate per fattorizzare

In generale, questo compito richiede un approccio creativo, poiché non esiste un metodo universale per risolverlo. Ma proviamo a dare qualche consiglio.

Nella stragrande maggioranza dei casi, la fattorizzazione di un polinomio si basa su un corollario del teorema di Bezout, cioè si trova o si seleziona la radice e si riduce il grado del polinomio di uno dividendo per . Si cerca la radice del polinomio risultante e si ripete il processo fino alla completa espansione.

Se non è possibile trovare la radice, vengono utilizzati metodi di espansione specifici: dal raggruppamento all'introduzione di termini aggiuntivi reciprocamente esclusivi.

Un'ulteriore presentazione si basa sulla capacità di risolvere equazioni di grado superiore con coefficienti interi.

Tra parentesi il fattore comune.

Cominciamo con il caso più semplice, quando il termine libero è uguale a zero, cioè il polinomio ha la forma .

Ovviamente la radice di tale polinomio è , cioè possiamo rappresentare il polinomio nella forma .

Questo metodo non è altro che mettendo il fattore comune tra parentesi.

Esempio.

Fattorizzare un polinomio di terzo grado.

Soluzione.

Ovviamente, qual è la radice del polinomio? X può essere tolto dalle parentesi:

Troviamo le radici del trinomio quadratico

Così,

Inizio pagina

Fattorizzazione di un polinomio con radici razionali.

Innanzitutto, consideriamo un metodo per espandere un polinomio con coefficienti interi della forma , il coefficiente di grado più alto è uguale a uno.

In questo caso, se un polinomio ha radici intere, allora queste sono divisori del termine libero.

Esempio.

Soluzione.

Controlliamo se ci sono radici intatte. Per fare ciò, annota i divisori del numero -18 : . Cioè, se un polinomio ha radici intere, allora sono tra i numeri scritti. Controlliamo questi numeri in sequenza utilizzando lo schema di Horner. La sua comodità sta anche nel fatto che alla fine si ottengono i coefficienti di espansione del polinomio:

Questo è, x=2 E x=-3 sono le radici del polinomio originale e possiamo rappresentarlo come un prodotto:

Resta da espandere il trinomio quadratico.

Il discriminante di questo trinomio è negativo, quindi non ha radici reali.

Risposta:

Commento:

Invece dello schema di Horner, si potrebbe usare la scelta della radice e la successiva divisione del polinomio per un polinomio.

Consideriamo ora lo sviluppo di un polinomio a coefficienti interi della forma , e il coefficiente di grado più alto non è uguale a uno.

In questo caso il polinomio può avere radici frazionarie razionali.

Esempio.

Fattorizza l'espressione.

Soluzione.

Eseguendo un cambio di variabile y=2x, passiamo ad un polinomio con coefficiente pari a uno al massimo grado. Per fare ciò, moltiplica prima l'espressione per 4 .

Se la funzione risultante ha radici intere, allora queste sono tra i divisori del termine libero. Scriviamoli:

Calcoliamo in sequenza i valori della funzione g(y) in questi punti fino al raggiungimento dello zero.

Questo è, y=-5è la radice , quindi, è la radice della funzione originale. Dividiamo il polinomio per una colonna (angolo) in un binomio.

Così,

Non è consigliabile continuare a controllare i restanti divisori, poiché è più semplice fattorizzare il trinomio quadratico risultante

Quindi,

Polinomi sconosciuti. Il teorema sulla distribuzione dei polinomi in addizioni di incognite. Disposizione canonica di un polinomio.