Linearizzazione armonica. Metodo di linearizzazione armonica: linee guida per il lavoro di laboratorio Metodo di linearizzazione armonica di auto-oscillazione matlab

Scopo del metodo di linearizzazione armonica.

L'idea del metodo di linearizzazione armonica fu proposta nel 1934. N. M. Krylov e N. N. Bogolyubov. In relazione ai sistemi di controllo automatico, questo metodo è stato sviluppato da L. S. Goldfarb e E. P. Popov. Altri nomi per questo metodo e le sue modifiche sono il metodo del bilancio armonico, il metodo di descrizione delle funzioni e il metodo della linearizzazione equivalente.

Il metodo della linearizzazione armonica è un metodo per studiare le auto-oscillazioni. Permette di determinare le condizioni di esistenza e i parametri di possibili auto-oscillazioni nei sistemi non lineari.

La conoscenza dei parametri delle auto-oscillazioni ci consente di presentare un quadro dei possibili processi nel sistema e, in particolare, determinare le condizioni di stabilità. Supponiamo, ad esempio, che come risultato dello studio delle auto-oscillazioni in qualche sistema non lineare, abbiamo ottenuto la dipendenza dell'ampiezza di queste auto-oscillazioni UN dal coefficiente di trasmissione K parte lineare del sistema mostrato in Fig. 12.1, e sappiamo che le autooscillazioni sono stabili.

Dal grafico segue quello con un valore elevato del coefficiente di trasmissione K, Quando k > k kr, ci sono auto-oscillazioni nel sistema. La loro ampiezza diminuisce fino a zero al diminuire del coefficiente di trasmissione K Prima K cr. Nella Figura 12.1, le frecce mostrano convenzionalmente la natura dei processi transitori a valori diversi K: A k > k kr il processo transitorio causato dalla deviazione iniziale si contrae in auto-oscillazioni. Dalla figura è chiaro che quando K< k cr, il sistema risulta essere stabile. Così, K kr è il valore critico del coefficiente di trasmissione in funzione della condizione di stabilità. Il suo superamento porta al fatto che la modalità iniziale del sistema diventa instabile e in esso sorgono auto-oscillazioni. Di conseguenza, la conoscenza delle condizioni per l'esistenza delle autooscillazioni nel sistema ci consente di determinare le condizioni di stabilità.

L’idea della linearizzazione armonica.

Consideriamo un sistema non lineare, il cui diagramma è mostrato in Fig. 12.2, e . Il sistema è costituito da una parte lineare con funzione di trasferimento W l ( S) e collegamento non lineare Paesi Bassi con una caratteristica specifica . Un collegamento con un coefficiente pari a -1 indica che il feedback nel sistema è negativo. Crediamo che ci siano auto-oscillazioni nel sistema, di cui vogliamo trovare l'ampiezza e la frequenza. Nella modalità considerata, la quantità di input X collegamento e output non lineari Y sono funzioni periodiche del tempo.

Il metodo di linearizzazione armonica si basa sul presupposto che le oscillazioni all'ingresso del collegamento non lineare siano sinusoidali, cioè e. quello

, (12.1)

DoveUN– ampiezza ed è la frequenza di queste auto-oscillazioni, ed è una possibile componente costante nel caso generale in cui le auto-oscillazioni sono asimmetriche.

In realtà le autooscillazioni nei sistemi non lineari sono sempre non sinusoidali a causa della distorsione della loro forma da parte dell'elemento non lineare. Pertanto, l'ipotesi iniziale specificata significa che il metodo di linearizzazione armonica lo è fondamentalmente vicino e l'ambito della sua applicazione è limitato ai casi in cui le auto-oscillazioni all'ingresso di un collegamento non lineare sono abbastanza vicine a quelle sinusoidali. Affinché ciò avvenga, la parte lineare del sistema non deve consentire il passaggio delle armoniche superiori delle autooscillazioni, cioè essere filtro passa basso. Quest'ultimo è illustrato in Fig. 12.2, b . Se, ad esempio, la frequenza delle auto-oscillazioni è uguale a , allora la parte lineare mostrata in Fig. 12.2, b La risposta in frequenza svolgerà il ruolo di filtro passa-basso per queste oscillazioni, poiché la seconda armonica, la cui frequenza è uguale a 2, praticamente non passerà all'ingresso del collegamento non lineare. Pertanto, in questo caso è applicabile il metodo di linearizzazione armonica.

Se la frequenza delle auto-oscillazioni è uguale a , la parte lineare passerà liberamente la seconda, la terza e le altre armoniche delle auto-oscillazioni. In questo caso, non si può dire che le oscillazioni all'ingresso del collegamento non lineare saranno abbastanza vicine a quelle sinusoidali, cioè non è soddisfatto il prerequisito necessario per applicare il metodo di linearizzazione armonica.

Per determinare se la parte lineare del sistema è un filtro passa-basso e quindi determinare l'applicabilità del metodo di linearizzazione armonica, è necessario conoscere la frequenza delle auto-oscillazioni. Tuttavia, può essere conosciuto solo utilizzando questo metodo. Così, L'applicabilità del metodo di linearizzazione armonica deve essere determinata alla fine dello studio come prova.

Notiamo che se, a seguito di questo test, non viene confermata l'ipotesi che la parte lineare del sistema svolga il ruolo di filtro passa-basso, ciò non significa che i risultati ottenuti siano errati, anche se, ovviamente , li mette in dubbio e richiede in qualche modo un'ulteriore verifica.un altro metodo.

Quindi, supponendo che la parte lineare del sistema sia un filtro passa basso, assumiamo che le autooscillazioni all'ingresso del collegamento non lineare siano sinusoidali, cioè abbiano la forma (12.1). Le oscillazioni all'uscita di questo collegamento non saranno più sinusoidali a causa della loro distorsione dovuta alla non linearità. Come esempio in Fig. 12.3, all'uscita del collegamento non lineare viene tracciata una curva per una certa ampiezza del segnale d'ingresso puramente sinusoidale in base alla caratteristica del collegamento ivi indicata.

Figura 12.3. Passaggio di un'oscillazione armonica attraverso un collegamento non lineare.

Tuttavia, poiché riteniamo che la parte lineare del sistema trasmetta solo l'armonica fondamentale delle autooscillazioni, ha senso interessarsi solo a questa armonica all'uscita della sezione non lineare. Pertanto, espanderemo le oscillazioni di uscita in una serie di Fourier e scarteremo le armoniche più alte. Di conseguenza otteniamo:

;

; (12.3)

;

Riscriviamo l'espressione (12.2) in una forma più comoda per un uso successivo, sostituendo in essa le seguenti espressioni per e ottenute da (12.1):

Sostituendo queste espressioni nella (12.2), avremo:

(12.4)

. (12.5)

Vengono qui introdotte le seguenti notazioni:

. (12.6)

L'equazione differenziale (12.5) è valida per un segnale di ingresso sinusoidale (12.1) e determina il segnale di uscita del collegamento non lineare senza tenere conto delle armoniche superiori.

I coefficienti secondo le espressioni (12.3) per i coefficienti di Fourier sono funzioni della componente costante, ampiezza UN e la frequenza delle auto-oscillazioni all'ingresso del collegamento non lineare. A fisso UN, e l'equazione (12.5) è lineare. Pertanto, se scartiamo le armoniche più alte, allora per un segnale armonico fisso il collegamento non lineare originale può essere sostituito da uno lineare equivalente, descritto dall'equazione (12.5). Questa sostituzione si chiama linearizzazione armonica .

Nella fig. La Figura 12.4 mostra convenzionalmente uno schema di questo collegamento, costituito da due collegamenti paralleli.

Riso. 12.4. Elemento lineare equivalente ottenuto come risultato della linearizzazione armonica.

Un collegamento () passa la componente costante e l'altro solo la componente sinusoidale delle auto-oscillazioni.

I coefficienti sono chiamati coefficienti di linearizzazione armonica O coefficienti di trasferimento armonico: - coefficiente di trasmissione della componente costante, e - due coefficienti di trasmissione della componente sinusoidale delle autooscillazioni. Questi coefficienti sono determinati dalla non linearità e dai valori e secondo le formule (12.3). Esistono espressioni già pronte definite utilizzando queste formule per una serie di collegamenti non lineari tipici. Per questi e, in generale, per tutti i collegamenti non lineari privi di inerzia, le quantità non dipendono e sono funzioni solo dell'ampiezza UN E .

Ministero dell'Istruzione e della Scienza della Federazione Russa

Università tecnica statale di Saratov

Istituto Balakovo di ingegneria, tecnologia e gestione

Metodo di linearizzazione armonica

Linee guida per il lavoro di laboratorio nel corso "Teoria del controllo automatico" per gli studenti della specialità 210100

Approvato

consiglio di redazione ed editoria

Istituto di tecnologia di Balakovo,

tecnologia e gestione

Balakovo 2004

Scopo del lavoro: Studio di sistemi non lineari utilizzando il metodo della linearizzazione armonica (bilancio armonico), determinazione dei coefficienti di linearizzazione armonica per vari collegamenti non lineari. Acquisire competenze nel trovare i parametri delle oscillazioni simmetriche di ampiezza e frequenza costanti (autooscillazioni), utilizzando metodi algebrici, di frequenza e anche utilizzando il criterio di Mikhailov.

INFORMAZIONI DI BASE

Il metodo di linearizzazione armonica si riferisce a metodi approssimati per lo studio dei sistemi non lineari. Permette di valutare in modo abbastanza semplice e con una precisione accettabile la stabilità dei sistemi non lineari e di determinare la frequenza e l'ampiezza delle oscillazioni stabilite nel sistema.

Si presuppone che l'ACS non lineare in esame possa essere rappresentato nella seguente forma

e la parte non lineare deve avere una nonlinearità

Questa non linearità può essere continua o relè, a valore singolo o isteretica.

Qualsiasi funzione o segnale può essere espanso in una serie secondo un sistema di funzioni linearmente indipendenti, in un caso particolare, ortonormali. La serie di Fourier può essere utilizzata come una serie ortogonale.

Espandiamo il segnale di uscita della parte non lineare del sistema in una serie di Fourier

, (2)

ecco i coefficienti di Fourier,

. (3)

Pertanto il segnale secondo la (2) può essere rappresentato come una somma infinita di armoniche con frequenze crescenti ecc. Questo segnale viene fornito all'ingresso della parte lineare del sistema non lineare.

Indichiamo la funzione di trasferimento della parte lineare

, (4)

e il grado del polinomio del numeratore deve essere inferiore al grado del polinomio del denominatore. In questo caso la risposta in frequenza della parte lineare ha la forma

dove 1 - non ha poli, 2 - ha uno o più poli.

Per la risposta in frequenza è giusto scrivere

Pertanto, la parte lineare di un sistema non lineare è un filtro passa-alto. In questo caso la parte lineare trasmetterà solo le basse frequenze senza attenuazione, mentre le alte frequenze verranno notevolmente attenuate all'aumentare della frequenza.

Nel metodo di linearizzazione armonica si presuppone che la parte lineare del sistema lasci passare solo la componente continua del segnale e la prima armonica. Quindi il segnale all'uscita della parte lineare avrà la forma

Questo segnale attraversa l'intero circuito chiuso del sistema Fig. 1 e all'uscita dell'elemento non lineare senza tenere conto delle armoniche superiori, secondo (2) abbiamo

. (7)

Quando si studiano sistemi non lineari utilizzando il metodo di linearizzazione armonica, sono possibili casi di oscillazioni simmetriche e asimmetriche. Consideriamo il caso di oscillazioni simmetriche. Qui e.

Introduciamo la seguente notazione

Sostituendoli nella (7), otteniamo . (8)

Considerando che

. (9)

Secondo (3) e (8) quando

. (10)

L'espressione (9) è una linearizzazione armonica della nonlinearità; stabilisce una relazione lineare tra la variabile di ingresso e la variabile di uscita in . Le quantità sono chiamate coefficienti di linearizzazione armonica.

Va notato che l'equazione (9) è lineare per quantità specifiche e (l'ampiezza e la frequenza delle oscillazioni armoniche nel sistema). Ma in generale mantiene proprietà non lineari, poiché i coefficienti sono diversi per diversi e . Questa caratteristica permette di studiare le proprietà dei sistemi non lineari utilizzando il metodo della linearizzazione armonica [Popov E.P.].

Nel caso di oscillazioni asimmetriche, la linearizzazione armonica della nonlinearità porta all'equazione lineare

. (12)

Proprio come l'equazione (9), l'equazione linearizzata (11) preserva le proprietà di un elemento non lineare, poiché i coefficienti di linearizzazione armonica , , così come la componente costante dipendono sia dallo spostamento che dall'ampiezza delle oscillazioni armoniche.

Le equazioni (9) e (11) permettono di ottenere le funzioni di trasferimento di elementi non lineari armonicamente linearizzati. Così per le vibrazioni simmetriche

, (13)

in questo caso la funzione di trasferimento di frequenza

dipende solo dall'ampiezza e non dipende dalla frequenza delle oscillazioni nel sistema.

Va notato che se la non linearità dispari-simmetrica è inequivocabile, allora nel caso di oscillazioni simmetriche secondo (9) e (10) otteniamo che , (15)

(16)

e la non linearità linearizzata ha la forma

Per nonlinearità ambigue (con isteresi), l'integrale nell'espressione (16) non è uguale a zero, a causa della differenza nel comportamento della curva in aumento e in diminuzione, pertanto è valida l'espressione completa (9).

Troviamo i coefficienti di linearizzazione armonica per alcune caratteristiche non lineari. Supponiamo che la caratteristica non lineare abbia la forma di una caratteristica del relè con isteresi e zona morta. Consideriamo come le oscillazioni armoniche attraversano un elemento non lineare con tale caratteristica.



Se la condizione è soddisfatta, cioè se l'ampiezza del segnale di ingresso è inferiore alla zona morta, allora non c'è segnale all'uscita dell'elemento non lineare. Se l'ampiezza è , il relè commuta nei punti A, B, C e D. Indichiamo e .

. (18)

Nel calcolare i coefficienti di linearizzazione armonica occorre tenere presente che con caratteristiche non lineari simmetriche gli integrali nelle espressioni (10) sono a semiciclo (0, ) con conseguente raddoppio del risultato. Così

. (19)

Per un elemento non lineare con una caratteristica relè e una zona morta

Per un elemento non lineare avente una caratteristica relè con isteresi

I coefficienti di linearizzazione armonica per altre caratteristiche non lineari possono essere ottenuti in modo simile.

Consideriamo due modi per determinare le oscillazioni simmetriche di ampiezza e frequenza costanti (autooscillazioni) e la stabilità dei sistemi linearizzati: algebrico e di frequenza. Consideriamo innanzitutto il metodo algebrico. Per il sistema chiuso Fig. 1, la funzione di trasferimento della parte lineare è uguale a

Scriviamo la funzione di trasferimento linearizzata armonicamente della parte non lineare

L'equazione caratteristica di un sistema a circuito chiuso ha la forma

. (22)

Se nel sistema in esame si verificano auto-oscillazioni, ciò indica la presenza di due radici puramente immaginarie nella sua equazione caratteristica. Sostituiamo quindi il valore della radice nell'equazione caratteristica (22).

. (23)

Immaginiamo

Otteniamo due equazioni che determinano l'ampiezza e la frequenza desiderate

. (24)

Se nella soluzione sono possibili valori positivi reali di ampiezza e frequenza, nel sistema possono verificarsi auto-oscillazioni. Se l'ampiezza e la frequenza non hanno valori positivi, le auto-oscillazioni nel sistema sono impossibili.

Consideriamo l'esempio 1. Sia il sistema non lineare in studio ad avere la forma

In questo esempio, l'elemento non lineare è un elemento sensibile con una caratteristica di relè, per cui si applicano i coefficienti di linearizzazione armonica

L'attuatore ha una funzione di trasferimento della forma

La funzione di trasferimento dell'oggetto regolamentato è uguale a

. (27)

Funzione di trasferimento della parte lineare del sistema

, (28)

Sulla base della (22), (25) e (28), scriviamo l'equazione caratteristica del sistema chiuso

, (29)

Sia 1/sec, sec, sec, v.

In questo caso i parametri del moto periodico sono uguali

7,071 ,

Consideriamo un metodo per determinare i parametri delle auto-oscillazioni in un sistema di controllo automatico linearizzato utilizzando il criterio di Mikhailov. Il metodo si basa sul fatto che quando si verificano auto-oscillazioni, il sistema si troverà sul confine di stabilità e l’odogramma di Mikhailov in questo caso passerà attraverso l’origine delle coordinate.

Nell'esempio 2 troveremo i parametri delle auto-oscillazioni a condizione che l'elemento non lineare nel sistema Fig. 4 sia un elemento sensibile avente una caratteristica del relè con isteresi, per cui i coefficienti di linearizzazione armonica

La parte lineare è rimasta invariata.

Scriviamo l'equazione caratteristica del sistema chiuso

L'odogramma di Mikhailov si ottiene mediante sostituzione.

Il compito è selezionare tale ampiezza di oscillazioni alla quale l'odografo passerà attraverso l'origine delle coordinate. Da notare che in questo caso la frequenza attuale è , poiché è in questo caso che la curva passerà per l'origine.

I calcoli effettuati in MATHCAD 7 a 1/sec, sec, sec, v e v hanno dato i seguenti risultati. Nella Fig. 5 l’odografo di Mikhailov passa per l’origine delle coordinate. Per aumentare la precisione dei calcoli, ingrandiremo il frammento richiesto del grafico. La figura 6 mostra un frammento dell'odografo, ingrandito in prossimità dell'origine. La curva passa per l'origine in c.

Fig.5. Fig.6.

La frequenza di oscillazione può essere trovata dalla condizione che il modulo sia uguale a zero. Per le frequenze

i valori dei moduli sono tabulati

Pertanto, la frequenza di oscillazione è 6,38. Va notato che la precisione dei calcoli può essere facilmente aumentata.

La soluzione periodica risultante, determinata dai valori di ampiezza e frequenza, deve essere esaminata per verificarne la stabilità. Se la soluzione è stabile, nel sistema avviene un processo auto-oscillatorio (ciclo limite stabile). Altrimenti il ciclo limite sarà instabile.

Il modo più semplice per studiare la stabilità di una soluzione periodica è utilizzare il criterio di stabilità di Mikhailov in forma grafica. Si è scoperto che in , la curva di Mikhailov passa per l'origine delle coordinate. Se dai un piccolo incremento, la curva prenderà una posizione sopra lo zero o sotto. Quindi nell'ultimo esempio daremo un incremento in, cioè e . La posizione delle curve di Mikhailov è mostrata in Fig. 7.

Quando la curva passa sopra lo zero, ciò indica la stabilità del sistema e un processo di transizione smorzato. Quando la curva di Mikhailov passa sotto lo zero, il sistema è instabile e il processo di transizione è divergente. Pertanto, una soluzione periodica con un'ampiezza in e una frequenza di oscillazione pari a 6,38 è stabile.

Per studiare la stabilità di una soluzione periodica si può utilizzare anche un criterio analitico ricavato dal criterio grafico di Mikhailov. Infatti, per sapere se la curva di Mikhailov si porterà sopra lo zero, è sufficiente guardare dove si sposterà il punto della curva di Mikhailov, che si trova all'origine delle coordinate.

Se espandiamo lo spostamento di questo punto lungo gli assi delle coordinate X e Y, allora per la stabilità di una soluzione periodica, il vettore determinato dalle proiezioni sugli assi delle coordinate

dovrebbe trovarsi a destra della tangente MN alla curva Mikhailov, se guardi lungo la curva nella direzione crescente, la cui direzione è determinata dalle proiezioni

Scriviamo la condizione di stabilità analitica nella forma seguente

In questa espressione vengono prese le derivate parziali rispetto al parametro corrente della curva di Mikhailov

È da notare che l’espressione analitica del criterio di stabilità (31) vale solo per sistemi non superiori al quarto ordine, poiché, ad esempio, per un sistema del quinto ordine all’origine delle coordinate, la condizione (31) può essere soddisfatti e il sistema sarà instabile

Applichiamo il criterio (31) per studiare la stabilità della soluzione periodica ottenuta nell'Esempio 1.

, ,

introduzione

I sistemi di relè si sono diffusi nella pratica del controllo automatico. Il vantaggio dei sistemi a relè è la semplicità di progettazione, affidabilità, facilità di manutenzione e configurazione. I sistemi di relè rappresentano una classe speciale di sistemi di controllo automatico non lineare.

A differenza di quelli continui nei sistemi a relè, l'azione regolatrice cambia bruscamente ogni volta che il segnale di controllo del relè (molto spesso si tratta di un errore di controllo) passa attraverso alcuni valori fissi (di soglia), ad esempio attraverso lo zero.

I sistemi di relè, di norma, hanno prestazioni elevate grazie al fatto che l'azione di controllo in essi cambia quasi istantaneamente e l'attuatore è esposto a un segnale costante a tratti di ampiezza massima. Allo stesso tempo, nei sistemi a relè si verificano spesso auto-oscillazioni, il che in molti casi rappresenta uno svantaggio. In questo articolo viene studiato un sistema di relè con quattro diverse leggi di controllo.

Struttura del sistema oggetto di studio

Il sistema in esame (Fig.) 1 comprende un elemento di confronto ES, un elemento relè RE, un attuatore (integratore ideale con guadagno = 1), un oggetto di controllo (un collegamento aperiodico con tre costanti di tempo , , e guadagno). I valori dei parametri di sistema sono riportati nella tabella. 1 Appendice A.

Le caratteristiche statiche (caratteristiche ingresso-uscita) degli elementi relè in studio sono mostrate in Fig. 2.

Nella fig. 2a mostra le caratteristiche di un relè ideale a due posizioni, Fig. 2b caratteristica di un relè a tre posizioni con zona morta. Nella fig. 2,c e 2,d mostrano le caratteristiche di un relè a due posizioni con isteresi positiva e negativa rispettivamente.

L'ASR analizzato può essere modellato utilizzando pacchetti di modellazione ben noti, ad esempio SIAM o VisSim.

Commento. In alcuni pacchetti di simulazione, il valore di output

il segnale del relè può assumere solo valori ±1 anziché ±B, dove B è un numero arbitrario. In questi casi è necessario assumere il guadagno dell'integratore pari a .

Ordine di lavoro

Per completare il lavoro, ogni studente riceve una versione dei dati iniziali dal docente (vedi sezione 2).

Il lavoro si svolge in due fasi.

La prima fase è computazionale e di ricerca (può essere eseguita al di fuori del laboratorio).

La seconda fase è sperimentale (effettuata in laboratorio). In questa fase, utilizzando uno dei pacchetti, vengono simulati i processi transitori nel sistema in esame per le modalità calcolate nella prima fase e viene verificata l'accuratezza dei metodi teorici.

Il materiale teorico necessario è presentato nella sezione 4; La sezione 5 contiene le domande del test.

3.1. Parte di calcolo e ricerca

1. Ottenere le espressioni per le caratteristiche di ampiezza-frequenza e frequenza di fase, reali e immaginarie della parte lineare del sistema.

2. Calcolare e costruire la caratteristica ampiezza-fase della parte lineare del sistema. Per i calcoli utilizzare i programmi del pacchetto TAU. Necessariamente stampare valori di risposta in frequenza reali e immaginari(10 – 15 punti corrispondenti terzo e secondo quadranti).

4. Utilizzando il metodo grafico-analitico di Goldfarb, determinare l'ampiezza e la frequenza delle auto-oscillazioni e la loro stabilità per tutti e quattro i relè. I parametri delle autooscillazioni possono essere calcolati anche analiticamente. Descrivere qualitativamente il ritratto di fase del sistema per ciascun caso.

5. Per un relè a tre posizioni, determinare un valore del guadagno della parte lineare in corrispondenza del quale non sono presenti autooscillazioni e il valore limite in corrispondenza del quale le autooscillazioni falliscono.

parte sperimentale

1. Utilizzando uno dei pacchetti di modellizzazione disponibili, assemblare uno schema di modellizzazione per l'ASR in studio. Con il permesso dell'insegnante, puoi utilizzare un diagramma già pronto. Configurare i parametri del circuito in base all'attività.

2. Analizzare il processo transitorio in un sistema con un relè ideale (stamparlo), applicando un'azione graduale x(t)=40*1(t) all'ingresso. Misurare l'ampiezza e la frequenza delle auto-oscillazioni, confrontandole con i valori calcolati. Ripeti l'esperimento, impostando condizioni iniziali diverse da zero (ad esempio, y(0)=10, y(1) (0)=-5).

3. Analizzare il processo transitorio in un sistema con un relè a tre posizioni per due diversi valori dell'ampiezza del segnale di ingresso x(t)= 40*1(t) e x(t)=15*1(t). Stampa i processi transitori, misura l'ampiezza e la frequenza delle auto-oscillazioni (se esistono), confrontali con i valori calcolati e trai conclusioni.

4. Esaminare i processi transitori in un sistema con un relè a tre posizioni per altri valori del guadagno della parte lineare (vedere paragrafo 5, sezione 3.1).

5. Analizzare i processi transitori in un sistema con relè a due posizioni con isteresi in condizioni iniziali pari a zero e diverse da zero e x(t)=40*1(t). Stampa i processi transitori, misura l'ampiezza e la frequenza delle auto-oscillazioni (se esistono), confrontali con i valori calcolati e trai conclusioni.

Parte teorica

Un metodo ampiamente utilizzato per il calcolo dei sistemi non lineari è il metodo della linearizzazione armonica (descrizione delle funzioni).

Il metodo consente di determinare i parametri delle auto-oscillazioni (ampiezza e frequenza), la stabilità delle auto-oscillazioni e la stabilità della posizione di equilibrio di un ASR non lineare. Sulla base del metodo di linearizzazione armonica, sono stati sviluppati metodi per la costruzione di processi transitori, analisi e sintesi di ASR non lineare.

Metodo di linearizzazione armonica

Come già notato, negli ASR non lineari e soprattutto a relè, Oscillazioni periodiche stabili ampiezza e frequenza costanti, il cosiddetto auto-oscillazioni. Inoltre, le auto-oscillazioni possono persistere anche con cambiamenti significativi nei parametri del sistema. La pratica ha dimostrato che in molti casi le oscillazioni della variabile controllata (Fig. 3) sono prossime all'armonica.

La vicinanza delle autooscillazioni a quelle armoniche ci consente di utilizzare il metodo di linearizzazione armonica per determinare i loro parametri: ampiezza A e frequenza w 0. Il metodo si basa sul presupposto che la parte lineare del sistema sia un filtro passa basso (ipotesi di filtro). Determiniamo le condizioni in cui le auto-oscillazioni nel sistema possono essere prossime all'armonico. Limitiamoci ai sistemi che, come in Fig. 3 può essere ridotto ad un collegamento in serie di un elemento non lineare e di una parte lineare. Supponiamo che il segnale di riferimento sia un valore costante; per semplicità lo prenderemo uguale a zero. E il segnale di errore (Figura 3) è armonico:

(1)

Il segnale di uscita di un elemento non lineare, come qualsiasi segnale periodico - in Figura 3 si tratta di oscillazioni rettangolari - può essere rappresentato come la somma delle armoniche della serie di Fourier.

Supponiamo che la parte lineare del sistema sia un filtro passa basso (Fig. 4) e lascia passare solo la prima armonica con frequenza w 0. Il secondo con frequenza 2w 0 e armoniche superiori viene filtrato dalla parte lineare. In questo caso, su uscita lineare le parti esisteranno praticamente solo prima armonica , e l'influenza delle armoniche superiori può essere trascurata

Pertanto, se la parte lineare del sistema è un filtro passa-basso e la frequenza delle autooscillazioni w 0 soddisfa le condizioni

, (4)

Si chiama presupposto che la parte lineare del sistema sia un filtro passa-basso ipotesi di filtro . L'ipotesi del filtro è sempre soddisfatta se la differenza tra i gradi dei polinomi del denominatore e del numeratore della funzione di trasferimento della parte lineare

(5)

almeno due

La condizione (6) è soddisfatta per molti sistemi reali. Un esempio è un collegamento aperiodico del secondo ordine e un'integrazione reale

. (7)

Quando si studiano le autooscillazioni vicine all'armonica, viene presa in considerazione solo la prima armonica delle oscillazioni periodiche all'uscita di un elemento non lineare, poiché le armoniche superiori sono ancora praticamente filtrate dalla parte lineare. Nella modalità di auto-oscillazione, viene eseguita linearizzazione armonica elemento non lineare. L'elemento non lineare viene sostituito da uno lineare equivalente con guadagno complesso (funzione descrittiva) in funzione dell'ampiezza del segnale armonico in ingresso:

dove e sono la parte reale e quella immaginaria,

- discussione,

– modulo.

Nel caso generale, dipende sia dall'ampiezza e dalla frequenza delle auto-oscillazioni che dalla componente costante. Guadagno fisicamente complesso di un elemento non lineare, più spesso chiamato coefficiente di linearizzazione armonica , C'è guadagno complesso di un elemento non lineare alla prima armonica. Modulo del coefficiente di linearizzazione armonica

(9)

è numericamente uguale al rapporto tra l'ampiezza della prima armonica all'uscita dell'elemento non lineare e l'ampiezza del segnale armonico in ingresso.

Discussione

(10)

caratterizza lo sfasamento tra la prima armonica delle oscillazioni in uscita e il segnale armonico in ingresso. Per nonlinearità inequivocabili, come, ad esempio, in Fig. 2,a e 2,b, espressione reale e

Per nonlinearità ambigue, Fig. 2,c, 2,d, determinato dalla formula

dove S è l'area del ciclo di isteresi. L'area S viene presa con un segno più se il ciclo di isteresi viene bypassato in direzione positiva (figura 2, c) e con un segno meno altrimenti (figura 2, d).

Nel caso generale e vengono calcolati utilizzando le formule

, (12)

dove , è una funzione non lineare (caratteristica di un elemento non lineare).

Tenendo conto di quanto sopra, quando si studiano le autooscillazioni vicine all'armonica, l'ASR non lineare (Fig. 3) viene sostituito da uno equivalente con un coefficiente di linearizzazione armonica invece di un elemento non lineare (Fig. 5). Il segnale di uscita dell'elemento non lineare in Fig. 5 è designato come , questo è

sottolinea che l'elemento non lineare genera solo

la prima armonica delle oscillazioni. Le formule per i coefficienti di linearizzazione armonica per le nonlinearità tipiche possono essere trovate in letteratura, ad esempio, in. L'Appendice Tabella B mostra le caratteristiche degli elementi del relè in studio, le formule e i loro odografi. Formule e odografi per il coefficiente di linearizzazione armonica inversa, definito dall'espressione

, (13)

dove sono sia la parte reale che quella immaginaria. Gli odografi e sono costruiti rispettivamente nelle coordinate , e .

Scriviamo ora le condizioni per l'esistenza delle auto-oscillazioni. Il sistema in Fig. 5 equivale a lineare. In un sistema lineare, esistono oscillazioni non smorzate se si trova al confine di stabilità. Utilizziamo la condizione del confine di stabilità secondo il criterio di Nyquist:

. (14)

Equazione (14) C'è condizione per l'esistenza di auto-oscillazioni, prossimo all'armonico. Se ci sono davvero positivo soluzioni A e w 0 dell'equazione (14), allora nell'ASR non lineare si hanno autooscillazioni prossime all'armonica. Altrimenti le autooscillazioni sono assenti o non armoniche. L’equazione (14) si divide in due – rispetto alla parte reale e a quella immaginaria:

;

Dividendo entrambi i lati dell'equazione (14) e tenendo conto della formula (13), otteniamo la condizione per l'esistenza di auto-oscillazioni sotto forma di L.S. Goldfarb:

. (17)

Anche l’equazione (17) si divide in due:

(18)

e in alcuni casi è più conveniente utilizzarli per determinare i parametri delle auto-oscillazioni.

Goldfarb ha proposto un metodo grafico-analitico per risolvere il sistema (17) e determinare la stabilità delle auto-oscillazioni.

Nelle coordinate , e , sono costruiti gli odografi e (Fig. 6, a). Se gli odografi si intersecano, allora esistono auto-oscillazioni. I parametri delle auto-oscillazioni - A e w 0 sono determinati nei punti di intersezione - frequenza w 0 secondo l'odogramma, ampiezza secondo l'odogramma. Nella fig. 6,a – due punti di intersezione, che indica la presenza di due cicli limite.

Per determinare la stabilità delle auto-oscillazioni, secondo Goldfarb, il lato sinistro dell'AFC della parte lineare viene ombreggiato quando ci si sposta lungo l'AFC nella direzione dell'aumento della frequenza (Fig. 6).

Le autooscillazioni sono stabili se, nel punto di intersezione, l'odografo dell'elemento non lineare passa dall'area non ombreggiata all'area ombreggiata quando si sposta nella direzione dell'ampiezza A crescente.

Se la transizione avviene da un'area ombreggiata a un'area non ombreggiata, le auto-oscillazioni non sono stabili.

Nella fig. La Figura 6b rappresenta qualitativamente il ritratto di fase corrispondente a due cicli limite in Fig. 6, a. Il punto di intersezione con i parametri e in Fig. 6a corrisponde al ciclo limite instabile di Fig. 6b, punto con parametri e e per ottenere l'interruzione delle auto-oscillazioni, in questo caso odografi e non si intersecano. Lo stesso effetto può essere ottenuto aumentando la zona morta d o riducendo l'ampiezza del segnale di uscita del relè B. Esiste un certo valore limite K l al quale tocca l'AFC della parte lineare Errore! Errore di comunicazione. in cui e il valore di ampiezza è . Ciò porta naturalmente ad un cambiamento qualitativo nel ritratto di fase del sistema.

Illustriamo il calcolo dei coefficienti di linearizzazione armonica con alcuni esempi: prima per vibrazioni simmetriche, poi per quelle asimmetriche. Notiamo innanzitutto che se la nonlinearità simmetrica dispari F(x) è a valore singolo, allora, secondo (4.11) e (4.10), otteniamo

e durante il calcolo Q(4.11) possiamo limitarci all'integrazione su un periodo di un quarto, quadruplicando cioè il risultato

Per la nonlinearità del ciclo F(x) (simmetrica dispari), varrà l'espressione completa (4.10)

e puoi usare le formule

cioè, raddoppiando il risultato dell'integrazione in un semiciclo.

Esempio 1. Studiamo la nonlinearità cubica (Fig. 4.4, i):

Dipendenza q(a) mostrato in Fig. 4.4, B. Dalla fig. 4.4, UNè chiaro che per una data ampiezza sono etero q(a)x media la dipendenza curvilinea F(x) da un dato

trama -a£ X£ . UN. Naturalmente è bello q(a) la pendenza di questa retta media q(a)x aumenta con l'ampiezza UN(per una caratteristica cubica questo aumento avviene secondo una legge quadratica).

Esempio 2. Studiamo la caratteristica del relè del loop (Fig. 4.5, a). Nella fig. 4.5,6 viene presentata la funzione integranda F(a sin y) per le formule (4.21). La commutazione del relè avviene a ½ X½= b , Pertanto, al momento della commutazione, il valore y1 è determinato dall'espressione sin y1= b /UN. Usando le formule (4.21) otteniamo (per UN³b)

Nella fig. 4.5, b mostra i grafici di q(a) e q"(a). Il primo mostra la variazione della pendenza della retta media q( UN)x s modifica UN(vedi Fig. 4.5, a). Naturalmente, q( UN)à0 a аа¥ a, poiché il segnale di uscita rimane costante (F( X)=c)per qualsiasi aumento illimitato del segnale di ingresso X. Dalle considerazioni fisiche è chiaro anche il perché Q" <0. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сигнала на выходе, в то время как гистерезисная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что Q" < 0. Абсолютное значение Q" diminuisce al crescere dell'ampiezza a, poiché è chiaro che la spira occuperà la parte minore della “sezione di lavoro” della caratteristica F( X), maggiore è l'ampiezza delle oscillazioni della variabile X.

L'ampiezza-fase caratteristica di tale non linearità (Fig. 4.5, a), secondo (4.13). presentato nel modulo

Inoltre, l'ampiezza e la fase della prima armonica all'uscita della non linearità hanno rispettivamente la forma

Dove Q E Q" sopra definito (Fig. 4.5, b). Di conseguenza, la linearizzazione armonica trasforma il ritardo delle coordinate non lineari (ciclo di isteresi) in un ritardo di fase equivalente, caratteristico dei sistemi lineari, ma con una differenza significativa: la dipendenza dello sfasamento dall'ampiezza delle oscillazioni di ingresso, che non è presente nei sistemi lineari .

Esempio 3. Studiamo le caratteristiche inequivocabili dei relè (Fig. 4.6, a, V). Simile al precedente, otteniamo, rispettivamente

quanto mostrato in Fig. 4.6, b, a.

Esempio 4. Studiamo una caratteristica con una zona morta, una sezione lineare e una saturazione (Fig. 4.7, a). Qui Q"= 0 e il coefficiente Q(UN) ha due varianti di valori secondo la Fig. 4.7, b, dove per loro è costruito F (a sin y):

1) per b1 £ a £ b2, secondo la (4.19), abbiamo

ciò tenendo conto del rapporto UN peccato y1 = B 1 dà

2) per a³ b2

che, tenendo conto della relazione a sin y2 = b2 dà

Il risultato è presentato graficamente in Fig. 4.7, a.

Esempio 5. Come casi particolari, i coefficienti corrispondenti q(a) poiché due caratteristiche (Fig. 4.8, a, b) sono uguali

che è rappresentato graficamente in Fig. 4.8, b, d. Inoltre, per la caratteristica con saturazione (Fig. 4.8, a) abbiamo q=k a 0 £ UN£ B.

Mostriamo ora degli esempi di calcolo dei coefficienti di linearizzazione armonica per vibrazioni asimmetriche con le stesse non linearità.

Esempio 6. Per il caso di nonlinearità cubica F( X) =kx3 secondo la formula (4.16) abbiamo

e secondo le formule (4.17)

Esempio 7. Per una caratteristica del relè del circuito (Fig. 4.5, UN) utilizzando le stesse formule che abbiamo

Esempio 8. Per una caratteristica con una zona morta (Fig. 4.1:1), si applicheranno le stesse espressioni F° E Q. I loro grafici sono presentati in Fig. 4.9, un, b. In cui Q"== 0. Per una caratteristica del relè ideale (Fig. 4.10) otteniamo

quanto mostrato in Fig. 4.10, aeb.

Esempio 9. Per una caratteristica con sezione lineare q saturazione (Fig. 4.11, a) per a ³ b+½ X 0 ½ abbiamo

Queste dipendenze sono presentate sotto forma di grafici in Fig. 4.11, B, V.

Esempio 10. Per una caratteristica asimmetrica

(Fig. 4.12, a) utilizzando la formula (4.l6) troviamo

e secondo le formule (4.17)

I risultati sono mostrati graficamente in Fig. 4.12, B E V.

Le espressioni e i grafici dei coefficienti di linearizzazione armonica ottenuti in questi esempi verranno utilizzati di seguito durante la risoluzione dei problemi di ricerca

auto-oscillazioni, oscillazioni forzate e processi di controllo.

Sulla base della proprietà del filtro della parte lineare del sistema (lezione 12), cerchiamo una soluzione periodica del sistema non lineare (Fig. 4.21) all'ingresso dell'elemento non lineare approssimativamente nella forma

x = a peccato w T (4.50)

con persone sconosciute UN e W. Viene specificata la forma della non linearità = F( X) e la funzione di trasferimento della parte lineare

Viene eseguita la linearizzazione armonica della nonlinearità

che porta alla funzione di trasferimento

La risposta in frequenza ampiezza-fase del sistema a circuito aperto assume la forma

Una soluzione periodica del sistema linearizzato (4.50) si ottiene se esiste una coppia di radici puramente immaginarie nell'equazione caratteristica del sistema chiuso.

E secondo il criterio di Nyquist ciò corrisponde al brano W(J w) attraverso il punto -1. Di conseguenza, la soluzione periodica (4.50) è determinata dall'uguaglianza

L'equazione (4.51) determina l'ampiezza richiesta UN e la frequenza w della soluzione periodica. Questa equazione può essere risolta graficamente come segue. Sul piano complesso (U, V), la risposta in frequenza ampiezza-fase della parte lineare Wl( J w) (Fig. 4.22), così come la caratteristica di fase-ampiezza inversa della non linearità con il segno opposto -1 / Wн( UN). Punto IN la loro intersezione (Fig. 4.22) e ne determina i valori UN e w, e il valore UN conteggiato lungo la curva -1 / W (a) , e il valore di w dipende dalla curva Wл (jw).

Possiamo invece utilizzare due equazioni scalari che seguono dalla (4.51) e dalla (4.52):

che determinano anche le due quantità ricercate UN e W.

È più conveniente utilizzare le ultime due equazioni su scala logaritmica, utilizzando logaritmica

caratteristiche di frequenza della parte lineare. Allora invece di (4.53) e (4.54) avremo le seguenti due equazioni:

Nella fig. 4.23 a sinistra ci sono i grafici dei membri a sinistra delle equazioni (4.55) e (4.56), e a destra ci sono i membri a destra di queste equazioni. In questo caso, lungo l'asse delle ascisse a sinistra è riportata la frequenza w, come di consueto, su scala logaritmica, mentre a destra l'ampiezza UN in scala naturale. La soluzione a queste equazioni sarà i seguenti valori UN e w, in modo che entrambe le uguaglianze (4.55) e (4.56) siano osservate simultaneamente. Questa soluzione è mostrata in Fig. 4.23 con linee sottili a forma di rettangolo.

Ovviamente non sarà possibile intuire subito questa soluzione. Pertanto vengono effettuati dei tentativi, indicati in linee tratteggiate. Gli ultimi punti di questi rettangoli di prova M1 e M2 non cadono sulla fase caratteristica della non linearità. Ma se si trovano su entrambi i lati della caratteristica, come in Fig. 4.23, la soluzione si trova per interpolazione - tracciando la retta MM1 .

Trovare una soluzione periodica è semplificato nel caso di non linearità non ambigua F( X). Poi Q"= 0 e le equazioni (4.55) e (4.56) assumono la forma

La soluzione è mostrata in Fig. 4.24.

Riso . 4.24.

Dopo aver determinato una soluzione periodica, è necessario indagarne la stabilità. Come già accennato, una soluzione periodica si verifica nel caso in cui la caratteristica ampiezza-fase del circuito aperto

passa per il punto -1. Diamo all'ampiezza una deviazione D UN. Il sistema ritornerà ad una soluzione periodica se in D UN> 0 oscillazioni si estinguono e in D UN < 0 - расходятся. Следовательно, при DUN> 0 caratteristica W(jw, UN) deve essere deformato (Fig. 4.25) in modo che in D UN> 0 è stato soddisfatto il criterio di stabilità di Nyquist e per D UN < 0 - нарушался.

Quindi è necessario che ad una data frequenza w ci sia

Ne consegue che nella Fig. 4.22 lettura dell'ampiezza positiva UN lungo la curva -1/Wí ( UN) deve essere diretto dall'interno verso l'esterno attraverso la curva Wл (jw) , come mostrato dalla freccia. Altrimenti la soluzione periodica è instabile.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Lascia che l'amplificatore nel sistema di tracciamento (Fig. 4.13, a) abbia caratteristica del relè(Fig. 4.17, UN). Pa Fig. 4.17, B un grafico del coefficiente di linearizzazione armonica q( UN) e q’( UN) =0. Per determinare la soluzione periodica utilizzando il metodo della frequenza, secondo la Fig. 4.22, occorre esaminare l'espressione

Dalla formula (4.24) otteniamo questa nonlinearità

Il grafico di questa funzione è mostrato in Fig. 4.26.

La funzione di trasferimento della parte lineare ha la forma

La sua caratteristica ampiezza-fase è mostrata in Fig. 4.27. Funzione -1 / Wí ( UN), essendo reale in questo caso (Fig. 4.26), si adatta interamente alla parte negativa dell'asse reale (Fig. 4.27). In questo caso, nell'area della variazione di ampiezza b £ UN£ b l'ampiezza è misurata da sinistra dall'esterno nella curva Wл(jw), e nella sezione UN>b - invertito. Pertanto, il primo punto di intersezione ( UN 1) fornisce una soluzione periodica instabile e la seconda ( UN 2) - stabile (auto-oscillazioni). Ciò è coerente con la soluzione precedente (esempio 2 lezione 15, 16).

Consideriamo anche il caso caratteristiche del relè del circuito(Fig. 4.28, a) nello stesso sistema di tracciamento (Fig. 4.13, a). La risposta in frequenza ampiezza-fase della parte lineare è la stessa (Fig. 4.28, b). L'espressione per la curva –1/Wн( UN), secondo (4.52) e (4.23), assume la forma

Questa è una linea retta parallela all'asse delle ascisse (Fig. 4.28, B), con lettura dell'ampiezza UN da destra a sinistra. L'intersezione darà una soluzione periodica stabile (autooscillazioni). Per ottenere grafici di ampiezza e frequenza

da K l , presentato in Fig. 4.20, necessario in Fig. 4.28 costruisci una serie di curve Wл(jw) per ciascun valore K l e trova nei loro punti di intersezione con la linea –1/Wн( UN) valori corrispondenti UN e W.

Pertanto, se la parte lineare del sistema è un filtro passa-basso e la frequenza delle autooscillazioni w 0 soddisfa le condizioni

, (4)

almeno due

La condizione (6) è soddisfatta per molti sistemi reali. Un esempio è un collegamento aperiodico del secondo ordine e un'integrazione reale

dove e sono la parte reale e quella immaginaria,

- discussione,

– modulo.

è numericamente uguale al rapporto tra l'ampiezza della prima armonica all'uscita dell'elemento non lineare e l'ampiezza del segnale armonico in ingresso.

Discussione

Per nonlinearità ambigue, Fig. 2,c, 2,d, determinato dalla formula

Nel caso generale e vengono calcolati utilizzando le formule

dove , è una funzione non lineare (caratteristica di un elemento non lineare).

Sottolinea che un elemento non lineare genera solo

dove sono sia la parte reale che quella immaginaria. Gli odografi e sono costruiti rispettivamente nelle coordinate , e .