Perhitungan luas volume benda revolusi. Bagaimana cara menghitung volume suatu benda revolusi? Bekerja di buku catatan

Volume suatu benda revolusi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Dalam rumusnya, bilangan harus ada sebelum integral. Dan begitulah yang terjadi - segala sesuatu yang berputar dalam kehidupan terhubung dengan konstanta ini.

Saya rasa mudah untuk menebak cara menetapkan batas integrasi “a” dan “be” dari gambar yang sudah selesai.

Fungsi... apa fungsi ini? Mari kita lihat gambarnya. Bangun datar dibatasi oleh grafik parabola di bagian atas. Inilah fungsi yang tersirat dalam rumus.

Dalam tugas praktek, bangun datar terkadang terletak di bawah sumbu. Ini tidak mengubah apa pun - integran dalam rumusnya dikuadratkan: demikian integralnya selalu non-negatif , yang sangat logis.

Mari kita hitung volume benda rotasi menggunakan rumus ini:

Seperti yang sudah saya catat, integralnya hampir selalu menjadi sederhana, yang utama adalah berhati-hati.

Menjawab:

Dalam jawaban Anda, Anda harus menunjukkan dimensi - satuan kubik. Artinya, dalam benda rotasi kita terdapat kurang lebih 3,35 “kubus”. Mengapa kubik unit? Karena formulasinya paling universal. Mungkin ada sentimeter kubik, mungkin ada meter kubik, mungkin ada kilometer kubik, dll., itulah jumlah manusia hijau yang dapat dimasukkan ke dalam piring terbang dalam imajinasi Anda.

Contoh 2

Tentukan volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi mengelilingi sumbu suatu bangun yang dibatasi oleh garis,

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Mari kita perhatikan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering ditemui dalam praktik.

Contoh 3

Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis gambar yang dibatasi oleh garis ,, dan

Larutan: Mari kita gambarkan pada gambar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis ,,,, tanpa lupa bahwa persamaan tersebut mendefinisikan sumbu:

Gambar yang diinginkan diarsir dengan warna biru. Ketika diputar pada porosnya, ternyata menjadi donat nyata dengan empat sudut.

Mari kita hitung volume benda revolusi sebagai perbedaan volume benda.

Pertama, mari kita lihat gambar yang dilingkari merah. Ketika berputar di sekitar sumbu, diperoleh kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume kerucut yang terpotong ini dengan.

Perhatikan gambar yang dilingkari warna hijau. Jika Anda memutar gambar ini di sekitar sumbu, Anda juga akan mendapatkan kerucut terpotong, hanya sedikit lebih kecil. Mari kita nyatakan volumenya dengan.

Dan, tentu saja, perbedaan volumenya persis dengan volume “donat” kita.

Kami menggunakan rumus standar untuk mencari volume benda revolusi:

1) Gambar yang dilingkari merah di atas dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

2) Gambar yang dilingkari warna hijau di atasnya dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

3) Volume badan revolusi yang diinginkan:

Menjawab:

Menariknya, dalam hal ini penyelesaiannya dapat diperiksa dengan menggunakan rumus sekolah untuk menghitung volume kerucut terpotong.

Keputusan itu sendiri sering kali ditulis lebih pendek, seperti ini:

Sekarang mari kita istirahat sebentar dan bercerita tentang ilusi geometris.

Orang sering kali memiliki ilusi yang terkait dengan volume, seperti yang diperhatikan oleh Perelman (yang lain) dalam bukunya Geometri yang menghibur. Lihatlah gambar datar dalam soal yang diselesaikan - tampaknya luasnya kecil, dan volume benda revolusi hanya lebih dari 50 unit kubik, yang tampaknya terlalu besar. Ngomong-ngomong, rata-rata orang meminum cairan yang setara dengan ruangan seluas 18 meter persegi sepanjang hidupnya, yang, sebaliknya, tampaknya volumenya terlalu kecil.

Secara umum, sistem pendidikan di Uni Soviet memang yang terbaik. Buku yang sama karya Perelman, yang diterbitkan pada tahun 1950, berkembang dengan sangat baik, seperti yang dikatakan sang humoris, memikirkan dan mengajarkan Anda untuk mencari solusi orisinal dan non-standar terhadap masalah. Saya baru-baru ini membaca ulang beberapa bab dengan penuh minat, saya merekomendasikannya, ini dapat diakses bahkan oleh para humanis. Tidak, Anda tidak perlu tersenyum karena saya menawarkan waktu luang, pengetahuan dan wawasan luas dalam komunikasi adalah hal yang hebat.

Setelah penyimpangan liris, tepat untuk menyelesaikan tugas kreatif:

Contoh 4

Hitung volume suatu benda yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis,, dimana.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Harap dicatat bahwa semua kasus terjadi di band, dengan kata lain, batasan integrasi yang sudah jadi sebenarnya diberikan. Gambarlah grafik fungsi trigonometri dengan benar, izinkan saya mengingatkan Anda pada materi pelajaran tentang transformasi geometri grafik : jika argumennya habis dibagi dua: , maka grafiknya diregangkan sepanjang sumbunya sebanyak dua kali. Dianjurkan untuk menemukan setidaknya 3-4 poin menurut tabel trigonometri untuk menyelesaikan gambar dengan lebih akurat. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Omong-omong, tugas tersebut dapat diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Jenis pelajaran: digabungkan.

Tujuan pelajaran: belajar menghitung volume benda rotasi menggunakan integral.

Tugas:

memantapkan kemampuan mengidentifikasi trapesium lengkung dari sejumlah bangun ruang dan mengembangkan keterampilan menghitung luas trapesium lengkung;
mengenal konsep bangun tiga dimensi;
belajar menghitung volume benda rotasi;
mempromosikan pengembangan pemikiran logis, pidato matematika yang kompeten, akurasi dalam membuat gambar;
menumbuhkan minat terhadap mata pelajaran, mengoperasikan konsep dan gambar matematika, menumbuhkan kemauan, kemandirian, dan ketekunan dalam mencapai hasil akhir.

Selama kelas

I. Momen organisasi.

Salam dari grup. Komunikasikan tujuan pelajaran kepada siswa.

Cerminan. Melodi yang tenang.

– Saya ingin memulai pelajaran hari ini dengan sebuah perumpamaan. “Pada suatu ketika hiduplah seorang bijak yang mengetahui segalanya. Seorang pria ingin membuktikan bahwa orang bijak tidak mengetahui segalanya. Sambil memegang kupu-kupu di telapak tangannya, dia bertanya: “Katakan padaku, orang bijak, kupu-kupu mana yang ada di tanganku: hidup atau mati?” Dan ia sendiri berpikir: “Jika orang hidup berkata, aku akan membunuhnya; orang mati akan berkata, Aku akan melepaskannya.” Orang bijak itu, setelah berpikir, menjawab: "Semua ada di tanganmu". (Presentasi.Menggeser)

– Oleh karena itu, mari kita bekerja dengan produktif hari ini, memperoleh pengetahuan baru, dan kita akan menerapkan keterampilan dan kemampuan yang diperoleh dalam kehidupan masa depan dan dalam kegiatan praktis. "Semua ada di tanganmu".

II. Pengulangan materi yang telah dipelajari sebelumnya.

– Mari kita mengingat kembali pokok-pokok materi yang telah dipelajari sebelumnya. Untuk melakukan ini, mari selesaikan tugasnya “Hilangkan kata-kata yang tidak perlu.”(Menggeser.)

(Siswa pergi ke I.D. menggunakan penghapus untuk menghapus kata tambahan.)

- Benar "Diferensial". Cobalah untuk menyebutkan kata-kata yang tersisa dengan satu kata yang umum. (Kalkulus integral.)

– Mari kita mengingat tahapan dan konsep utama yang terkait dengan kalkulus integral..

“kelompok matematika”.

Latihan. Pulihkan kesenjangannya. (Siswa keluar dan menulis kata-kata yang diperlukan dengan pena.)

– Kita akan mendengar abstrak tentang penerapan integral nanti.

Bekerja di buku catatan.

– Rumus Newton-Leibniz diturunkan oleh fisikawan Inggris Isaac Newton (1643–1727) dan filsuf Jerman Gottfried Leibniz (1646–1716). Hal ini tidak mengherankan, karena matematika adalah bahasa yang digunakan oleh alam itu sendiri.

– Mari kita pertimbangkan bagaimana rumus ini digunakan untuk menyelesaikan masalah praktis.

Contoh 1: Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis

Solusi: Mari kita buat grafik fungsi pada bidang koordinat . Mari kita pilih luas gambar yang perlu dicari.

AKU AKU AKU. Mempelajari materi baru.

– Perhatikan layar. Apa yang ditunjukkan pada gambar pertama? (Menggeser) (Gambar tersebut menunjukkan gambar datar.)

– Apa yang ditunjukkan pada gambar kedua? Apakah angka ini datar? (Menggeser) (Gambar tersebut menunjukkan gambar tiga dimensi.)

– Di luar angkasa, di bumi, dan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak hanya menjumpai bangun datar, tetapi juga bangun datar tiga dimensi, namun bagaimana cara menghitung volume benda tersebut? Misalnya volume planet, komet, meteorit, dll.

– Orang-orang memikirkan tentang volume ketika membangun rumah dan ketika menuangkan air dari satu wadah ke wadah lainnya. Aturan dan teknik untuk menghitung volume harus muncul; seberapa akurat dan masuk akalnya aturan tersebut adalah masalah lain.

Pesan dari seorang siswa. (Tyurina Vera.)

Tahun 1612 sangat bermanfaat bagi penduduk kota Linz di Austria, tempat tinggal astronom terkenal Johannes Kepler, terutama untuk buah anggur. Orang-orang sedang menyiapkan tong anggur dan ingin tahu cara menentukan volumenya secara praktis. (Geser 2)

– Dengan demikian, karya Kepler meletakkan dasar bagi seluruh aliran penelitian yang mencapai puncaknya pada kuartal terakhir abad ke-17. desain dalam karya I. Newton dan G.V. Leibniz kalkulus diferensial dan integral. Sejak saat itu, matematika variabel menempati posisi terdepan dalam sistem pengetahuan matematika.

– Hari ini Anda dan saya akan melakukan kegiatan praktis seperti itu, oleh karena itu,

Topik pelajaran kita: “Menghitung volume benda rotasi menggunakan integral tertentu.” (Menggeser)

– Anda akan mempelajari definisi benda rotasi dengan menyelesaikan tugas berikut.

"Labirin".

Labirin (kata Yunani) berarti pergi ke bawah tanah. Labirin adalah jaringan jalan, lorong, dan ruangan yang saling berhubungan yang rumit.

Namun definisi tersebut “rusak”, meninggalkan petunjuk dalam bentuk anak panah.

Latihan. Temukan jalan keluar dari situasi yang membingungkan dan tuliskan definisinya.

Menggeser. "Instruksi peta" Perhitungan volume.

Dengan menggunakan integral tertentu, Anda dapat menghitung volume suatu benda tertentu, khususnya benda revolusi.

Benda revolusi adalah benda yang diperoleh dengan memutar trapesium lengkung di sekitar alasnya (Gbr. 1, 2)

Volume suatu benda rotasi dihitung dengan menggunakan salah satu rumus:

1. di sekitar sumbu OX.

2. , jika rotasi trapesium melengkung sekitar sumbu op-amp.

Setiap siswa menerima kartu instruksi. Guru menekankan poin-poin utama.

– Guru menjelaskan solusi dari contoh di papan tulis.

Mari kita perhatikan kutipan dari dongeng terkenal karya A. S. Pushkin “Kisah Tsar Saltan, tentang putranya yang mulia dan perkasa Pangeran Guidon Saltanovich dan tentang Putri Angsa yang cantik” (Geser 4):

…..
Dan pembawa pesan mabuk itu membawanya
Pada hari yang sama pesanannya adalah sebagai berikut:
“Raja memerintahkan para bangsawannya,
Tanpa membuang waktu,
Dan ratu serta keturunannya
Diam-diam membuangnya ke dalam jurang air.”
Tidak ada yang bisa dilakukan: para bangsawan,
Khawatir tentang kedaulatan
Dan kepada ratu muda,
Kerumunan datang ke kamar tidurnya.
Mereka menyatakan keinginan raja -
Dia dan putranya mempunyai bagian yang jahat,
Kami membacakan dekrit itu dengan lantang,
Dan ratu pada jam yang sama
Mereka memasukkan saya ke dalam tong bersama anak saya,
Mereka memasang aspal dan pergi
Dan mereka mengizinkan saya masuk ke okiyan -
Inilah yang diperintahkan Tsar Saltan.

Berapa volume tong tersebut agar ratu dan putranya dapat muat di dalamnya?

– Perhatikan tugas berikut

1. Tentukan volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu ordinat trapesium lengkung yang dibatasi oleh garis: x 2 + kamu 2 = 64, kamu = -5, kamu = 5, x = 0.

Jawaban: 1163 cm 3 .

Temukan volume benda yang diperoleh dengan memutar trapesium parabola mengelilingi sumbu absis kamu = , x = 4, kamu = 0.

IV. Konsolidasi materi baru

Contoh 2. Hitung volume benda yang dibentuk oleh putaran kelopak terhadap sumbu x kamu = x 2 , kamu 2 = x.

Mari kita buat grafik fungsinya. kamu = x 2 , kamu 2 = x. Jadwal kamu2 = x mengkonversi ke formulir kamu= .

Kita punya V = V 1 – V 2 Mari kita hitung volume masing-masing fungsi

– Sekarang, mari kita lihat menara stasiun radio di Moskow di Shabolovka, yang dibangun sesuai dengan desain insinyur Rusia yang luar biasa, akademisi kehormatan V. G. Shukhov. Ini terdiri dari bagian - hiperboloid rotasi. Selain itu, masing-masingnya terbuat dari batang logam lurus yang menghubungkan lingkaran yang berdekatan (Gbr. 8, 9).

- Mari kita pertimbangkan masalahnya.

Temukan volume benda yang diperoleh dengan memutar busur hiperbola di sekitar sumbu imajinernya, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 8, dimana

kubus unit

tugas kelompok. Siswa menggambar banyak tugas, menggambar di kertas Whatman, dan salah satu perwakilan kelompok mempertahankan karyanya.

kelompok pertama.

Memukul! Memukul! Pukulan lain!
Bola terbang ke gawang - BOLA!
Dan ini adalah bola semangka
Hijau, bulat, enak.
Perhatikan lebih baik - sungguh luar biasa!
Itu hanya terbuat dari lingkaran.
Potong semangka menjadi lingkaran
Dan cicipi.

Temukan volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu OX dari fungsi terbatas

Kesalahan! Penunjuknya tidak ditentukan.

– Tolong beri tahu saya di mana kita bertemu sosok ini?

Rumah. tugas untuk 1 kelompok. SILINDER (menggeser) .

"Silinder - ada apa?" – Aku bertanya pada ayahku.
Sang ayah tertawa: Topi paling atas adalah topi.
Untuk mendapatkan ide yang benar,
Sebuah silinder, katakanlah, adalah kaleng.
Pipa kapal uap - silinder,
Pipa di atap kita juga,

Semua pipa mirip dengan silinder.
Dan saya memberi contoh seperti ini -
Kaleidoskopku tercinta,
Anda tidak bisa mengalihkan pandangan darinya,
Dan itu juga terlihat seperti silinder.

- Latihan. Pekerjaan rumah: buat grafik fungsinya dan hitung volumenya.

kelompok ke-2. KERUCUT (menggeser).

Ibu berkata: Dan sekarang
Ceritaku tentang kerucut.
Pengamat bintang dengan topi tinggi
Menghitung bintang sepanjang tahun.
CONE - topi pengamat bintang.
Seperti itulah dia. Dipahami? Itu dia.
Ibu sedang berdiri di depan meja,
Saya menuangkan minyak ke dalam botol.
-Di mana corongnya? Tidak ada corong.
Carilah itu. Jangan berdiri di pinggir lapangan.
- Bu, aku tidak mau mengalah.
Ceritakan lebih banyak kepada kami tentang kerucut.
– Corongnya berbentuk kerucut kaleng penyiram.
Ayo, temukan dia untukku secepatnya.
Saya tidak dapat menemukan corongnya
Tapi ibu membuat tas,
Aku melilitkan karton itu ke jariku
Dan dia dengan cekatan mengamankannya dengan klip kertas.
Minyaknya mengalir, ibu senang,
Kerucutnya keluar dengan tepat.

Latihan. Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis

Rumah. tugas untuk kelompok ke-2. PIRAMIDA(menggeser).

Saya melihat gambarnya. Dalam gambar ini
Ada PYRAMID di gurun pasir.
Segala sesuatu di piramida itu luar biasa,
Ada semacam misteri dan misteri di dalamnya.
Dan Menara Spasskaya di Lapangan Merah
Hal ini sangat akrab bagi anak-anak dan orang dewasa.
Kalau dilihat dari menaranya terlihat biasa saja,
Apa yang ada di atasnya? Piramida!

Latihan. Pekerjaan rumah: buat grafik fungsi dan hitung volume limas

– Kami menghitung volume berbagai benda berdasarkan rumus dasar volume benda menggunakan integral.

Ini merupakan konfirmasi lain bahwa integral tertentu merupakan landasan bagi studi matematika.

- Nah, sekarang mari kita istirahat sebentar.

Temukan pasangan.

Melodi domino matematika dimainkan.

“Jalan yang saya cari sendiri tidak akan pernah terlupakan…”

Pekerjaan penelitian. Penerapan integral dalam bidang ekonomi dan teknologi.

Tes untuk siswa yang kuat dan sepak bola matematika.

Simulator matematika.

2. Himpunan semua antiturunan dari suatu fungsi tertentu disebut

A) integral tak tentu,

B) fungsi,

B) diferensiasi.

7. Hitunglah volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis trapesium lengkung yang dibatasi oleh garis:

D/Z. Hitung volume benda rotasi.

Cerminan.

Penerimaan refleksi dalam bentuk sinkronisasi(lima baris).

Baris pertama – nama topik (satu kata benda).

Baris ke-2 – deskripsi topik dalam dua kata, dua kata sifat.

Baris ke-3 – deskripsi tindakan dalam topik ini dalam tiga kata.

Baris ke-4 merupakan frase empat kata yang menunjukkan sikap terhadap topik (satu kalimat utuh).

Baris ke-5 merupakan sinonim yang mengulang intisari topik.

Volume.
Integral pasti, fungsi yang dapat diintegralkan.
Kami membangun, kami memutar, kami menghitung.
Benda yang diperoleh dengan memutar trapesium melengkung (di sekeliling alasnya).
Benda rotasi (benda geometri volumetrik).

Kesimpulan (menggeser).

Integral tertentu merupakan landasan tertentu dalam pembelajaran matematika, yang memberikan kontribusi yang sangat diperlukan dalam memecahkan masalah-masalah praktis.
Topik “Integral” dengan jelas menunjukkan hubungan antara matematika dan fisika, biologi, ekonomi dan teknologi.
Perkembangan ilmu pengetahuan modern tidak terpikirkan tanpa penggunaan integral. Dalam hal ini, perlu untuk mulai mempelajarinya dalam kerangka pendidikan khusus menengah!

Penilaian. (Dengan komentar.)

Omar Khayyam yang hebat - ahli matematika, penyair, filsuf. Dia mendorong kita untuk menjadi tuan atas nasib kita sendiri. Mari kita simak kutipan karyanya:

Anda mungkin berkata, hidup ini hanya sesaat.
Hargai, dapatkan inspirasi darinya.
Saat Anda membelanjakannya, itu akan berlalu.
Jangan lupa: dia adalah ciptaanmu.

Kecuali mencari luas bangun datar menggunakan integral tertentu (lihat 7.2.3.) penerapan topik yang paling penting adalah menghitung volume benda rotasi. Materinya sederhana, tapi pembaca harus siap: harus bisa menyelesaikannya integral tak tentu kompleksitas sedang dan terapkan rumus Newton-Leibniz di integral tertentu, n Anda juga membutuhkan keterampilan menggambar yang kuat. Secara umum, ada banyak aplikasi menarik dalam kalkulus integral dengan menggunakan integral tertentu, Anda dapat menghitung luas bangun, volume rotasi benda, panjang busur, luas permukaan benda; dan banyak lagi. Bayangkan suatu bangun datar pada bidang koordinat. Diperkenalkan? ... Sekarang angka ini juga dapat diputar, dan diputar dengan dua cara:

– di sekitar sumbu x ;

– di sekitar sumbu ordinat .

Mari kita lihat kedua kasus tersebut. Metode rotasi kedua sangat menarik; metode ini menyebabkan kesulitan paling besar, namun sebenarnya solusinya hampir sama dengan rotasi yang lebih umum di sekitar sumbu x. Mari kita mulai dengan jenis rotasi yang paling populer.

Perhitungan volume suatu benda yang dibentuk dengan memutar suatu bangun datar pada suatu sumbu SAPI

Contoh 1

Hitung volume suatu benda yang diperoleh dengan memutar suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis pada suatu sumbu.

Larutan: Seperti halnya dalam masalah pencarian luas, penyelesaiannya dimulai dengan menggambar bangun datar. Artinya, di pesawat XOY kita perlu membuat bangun datar yang dibatasi oleh garis, dan jangan lupa bahwa persamaan tersebut menentukan sumbunya. Gambar di sini cukup sederhana:

Bentuk datar yang diinginkan diberi warna biru; Hasil perputarannya menghasilkan piring terbang agak bulat telur dengan dua puncak tajam pada porosnya SAPI, simetris terhadap sumbu SAPI. Sebenarnya benda tersebut memiliki nama matematika, lihat di buku referensi.

Bagaimana cara menghitung volume suatu benda revolusi? Jika suatu benda terbentuk sebagai hasil perputaran pada suatu sumbuSAPI, secara mental dibagi menjadi lapisan paralel dengan ketebalan kecil dx, yang tegak lurus terhadap sumbu SAPI. Volume seluruh benda jelas sama dengan jumlah volume lapisan-lapisan dasar tersebut. Setiap lapisan, seperti irisan lemon bulat, tingginya berbentuk silinder rendah dx dan dengan radius dasar F(X). Maka volume satu lapisan adalah hasil kali luas alas π F 2 per tinggi silinder ( dx), atau π∙ F 2 (X)∙dx. Dan luas seluruh benda rotasi adalah jumlah volume dasar, atau integral tertentu yang bersesuaian. Volume suatu benda revolusi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Cara menentukan batas integrasi “a” dan “be” dapat dengan mudah ditebak dari gambar yang sudah selesai. Fungsi... apa fungsi ini? Mari kita lihat gambarnya. Bangun datar dibatasi oleh grafik parabola di puncaknya. Inilah fungsi yang tersirat dalam rumus. Dalam tugas praktek, bangun datar terkadang terletak di bawah sumbu SAPI. Ini tidak mengubah apa pun - fungsi dalam rumus dikuadratkan: F 2 (X), Dengan demikian, volume suatu badan revolusi selalu non-negatif, yang sangat logis. Mari kita hitung volume benda rotasi menggunakan rumus ini:

Seperti yang telah kami catat, integralnya hampir selalu sederhana, yang utama adalah berhati-hati.

Menjawab:

Dalam jawaban Anda, Anda harus menunjukkan dimensi - satuan kubik. Artinya, dalam benda rotasi kita terdapat kurang lebih 3,35 “kubus”. Mengapa kubik unit? Karena ini adalah formulasi yang paling universal. Mungkin ada sentimeter kubik, mungkin ada meter kubik, mungkin ada kilometer kubik, dll., itulah jumlah manusia hijau yang dapat dimasukkan ke dalam piring terbang dalam imajinasi Anda.

Contoh 2

Temukan volume benda yang dibentuk oleh rotasi pada suatu sumbu SAPI bangun datar yang dibatasi oleh garis,,.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Contoh 3

Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar bangun yang dibatasi oleh garis , , dan mengelilingi sumbu absis.

Larutan: Mari kita gambarkan dalam gambar sebuah bangun datar yang dibatasi oleh garis , , , , tanpa melupakan persamaannya X= 0 menentukan sumbu oh:

Gambar yang diinginkan diarsir dengan warna biru. Saat berputar pada suatu sumbu SAPI hasilnya adalah donat bersudut datar (mesin cuci dengan dua permukaan berbentuk kerucut).

Mari kita hitung volume benda rotasi sebagai perbedaan volume benda. Pertama, mari kita lihat gambar yang dilingkari merah. Saat berputar pada suatu sumbu SAPI hasilnya kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume kerucut yang terpotong ini dengan V 1 .

Perhatikan gambar yang dilingkari warna hijau. Jika Anda memutar gambar ini di sekitar porosnya SAPI, maka Anda mendapatkan kerucut terpotong yang sama, hanya sedikit lebih kecil. Mari kita nyatakan volumenya dengan V 2 .

Jelas sekali perbedaan volumenya V = V 1 - V 2 adalah volume "donat" kita.

Kami menggunakan rumus standar untuk mencari volume benda rotasi:

1) Gambar yang dilingkari merah di atas dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

2) Gambar yang dilingkari warna hijau di atasnya dibatasi oleh garis lurus, oleh karena itu:

3) Volume benda rotasi yang diinginkan:

Menjawab:

Menariknya, dalam hal ini penyelesaiannya dapat diperiksa dengan menggunakan rumus sekolah untuk menghitung volume kerucut terpotong.

Keputusan itu sendiri sering kali ditulis lebih pendek, seperti ini:

I. Volume badan-badan revolusi. Pelajari terlebih dahulu Bab XII paragraf 197, 198 dari buku teks karya G. M. Fikhtengolts * Analisislah secara rinci contoh-contoh yang diberikan pada paragraf 198.

508. Hitung volume benda yang dibentuk dengan memutar elips mengelilingi sumbu Sapi.

Dengan demikian,

530. Tentukan luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi mengelilingi sumbu Ox busur sinusoidal y = sin x dari titik X = 0 ke titik X = It.

531. Hitung luas permukaan kerucut dengan tinggi h dan jari-jari r.

532. Hitung luas permukaan yang terbentuk

rotasi astroid x3 -)- y* - a3 mengelilingi sumbu Sapi.

533. Hitung luas permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran kurva 18 ug - x (6 - x) z mengelilingi sumbu Ox.

534. Tentukan permukaan torus yang dihasilkan oleh rotasi lingkaran X2 - j - (y-3)2 = 4 mengelilingi sumbu Ox.

535. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh perputaran lingkaran X = biaya, y = aint terhadap sumbu Ox.

536. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh putaran lingkaran kurva x = 9t2, y = St - 9t3 mengelilingi sumbu Ox.

537. Tentukan luas permukaan yang dibentuk dengan memutar busur kurva x = e*sint, y = el cost mengelilingi sumbu Ox

dari t = 0 sampai t = —.

538. Tunjukkan bahwa permukaan yang dihasilkan oleh rotasi busur sikloid x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) mengelilingi sumbu Oy sama dengan 16 u2 o2.

539. Temukan permukaan yang diperoleh dengan memutar cardioid di sekitar sumbu kutub.

540. Temukan luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi lemniscate Di sekitar sumbu kutub.